📋 Справочник · §31–36

### §15 — Первый закон Ньютона

$\vec{F}_\text{рез} = \vec{0} \Leftrightarrow \vec{a} = \vec{0}$

Тело покоится или движется равномерно прямолинейно, если равнодействующая = 0.

### §16 — Масса. Сила тяжести

$F_\text{т} = mg$
$m = \rho V$

$[m]=\text{кг}$ · скалярная · не зависит от планеты

### §17 — Второй закон Ньютона

$\vec{F}_\text{рез} = m\vec{a}$
$\vec{a} = \vec{F}_\text{рез}/m$

$1\,\text{Н} = 1\,\dfrac{\text{кг}{\cdot}\text{м}}{\text{с}^2}$ · только в ИСО

### §18 — Третий закон Ньютона

$\vec{F}_{1\to2} = -\vec{F}_{2\to1}$

Равны по модулю, противоположны, одной природы, на разных телах.

### §19 — Закон Гука

$F_\text{упр} = k|\Delta l|$
$F_{\text{упр},x} = -kx$

$k$ — жёсткость [Н/м] · $k = F/|\Delta l|$

### §20 — Силы трения

$F_\text{тр} = \mu N$
$F_\text{тр.пок}^{max} = \mu_\text{пок} N$

$\mu$ — коэфф. трения · против скорости

### §21 — Свободное падение

$v_y = gt;\quad y = gt^2/2$
$t_\text{пад} = \sqrt{2h/g}$
$v_\text{пад} = \sqrt{2gh}$

Горизонтальный бросок: $x = v_0 t$; $l = v_0\sqrt{2h/g}$

Вверх: $H = v_0^2/(2g)$; $t_\text{пол} = 2v_0/g$

### §31 — Импульс тела

$\vec{p} = m\vec{v}$

$[\,p\,] = \text{кг}{\cdot}\text{м/с}$ · направление ∥ $\vec{v}$

$\Delta\vec{p} = \vec{F}\,\Delta t$
$\vec{p}_{\text{сист}} = \sum \vec{p}_i$
$\Delta\vec{p}_{\text{сист}} = \vec{F}_{\text{внешн}}\,\Delta t$

### §32 — Закон сохранения импульса

Замкнутая система ($F_{\text{внешн}}=0$):

$\vec{p}_{\text{сист}} = \text{const}$

Неупругий удар:

$m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1{+}m_2)v$

Из покоя (отдача, ракета):

$m_1 v_1 + m_2 v_2 = 0$

### §33 — Механическая работа. Мощность

$A = F\,\Delta r\cos\alpha$
$A = mgh$ (подъём тела)
$A = kx^2/2$ (деформация пружины)
$P = A/\Delta t$
$P = Fv\cos\alpha$

$[A]=\text{Дж}=\text{Н}{\cdot}\text{м}$ · $[P]=\text{Вт}=\text{Дж/с}$

α острый → A > 0 · α = 90° → A = 0 · α тупой → A < 0

### §34 — Потенциальная энергия

$E_\text{п} = mgh$ (гравитационная)
$E_\text{п} = kx^2/2$ (пружина)
$\Delta E_\text{п} = -A$

$E_\text{п}$ равна работе сил взаимодействия
при переходе на нулевой уровень.

Нулевой уровень выбирается произвольно;
$\Delta E_\text{п}$ от него не зависит.

### 📐 Быстрые выводы §31–32

Сила через изменение импульса:

$F = \dfrac{\Delta p}{\Delta t} = \dfrac{m\,\Delta v}{\Delta t}$

Скорость после удара (неупр.):

$v = \dfrac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2}$

Отдача / ракета из покоя:

$m_1 v_1 = -m_2 v_2$

### 📐 Быстрые выводы §33

Если α = 0° → cos α = 1 → $A = F\Delta r$

Если α = 90° → cos α = 0 → $A = 0$

Мощность через скорость:

$P = Fv$ (при $\alpha = 0°$)

Деформация пружины из работы:

$x = \sqrt{2A/k}$

Высота из работы силы тяжести:

$h = A/(mg)$

### 📐 Быстрые выводы §34

$E_\text{п}$ растёт пропорц. $h$ (линейно)
и пропорц. $x^2$ (квадратично)

Деформация из $E_\text{п}$:

$x = \sqrt{2E_\text{п}/k}$

Масса из $E_\text{п}$ и $h$:

$m = E_\text{п}/(gh)$

Работа = убыль $E_\text{п}$:

$A = E_{\text{п}1} - E_{\text{п}2} = -\Delta E_\text{п}$

### 📏 Единицы

$[p] = \text{кг}{\cdot}\text{м/с}$
$[A] = [E_\text{п}] = \text{Дж} = \text{Н}{\cdot}\text{м}$
$[P] = \text{Вт} = \text{Дж/с}$
$1\,\text{кВт} = 1000\,\text{Вт}$
$g \approx 10\,\text{м/с}^2$

### §35 — Кинетическая энергия

$E_\text{к} = \dfrac{mv^2}{2}$

$[E_\text{к}] = \text{Дж}$ · скалярная · всегда ≥ 0

$\Delta E_\text{к} = A_\text{рез}$

Теорема о кинетической энергии: изменение $E_\text{к}$ = работа всех сил.

$E_\text{мех} = E_\text{к} + E_\text{п}$

Полная механическая энергия = кинетическая + потенциальная.

### §36 — Закон сохранения энергии

Без трения (замкнутая система):

$E_\text{мех} = \text{const}$
$E_{\text{к}1} + E_{\text{п}1} = E_{\text{к}2} + E_{\text{п}2}$

С трением (диссипативные силы):

$\Delta E_\text{мех} = A_\text{внеш}$

Полная энергия — всегда:

$E_\text{полн} = E_\text{мех} + E_\text{внутр} = \text{const}$

### 📐 Быстрые выводы §35–36

Скорость из высоты (без трения):

$v = \sqrt{2gh}$

Высота из скорости (без трения):

$h = \dfrac{v^2}{2g}$

Работа трения через Eмех:

$A_\text{тр} = \Delta E_\text{мех} = E_{\text{мех}2} - E_{\text{мех}1}$

# Физика 9 класс

Кинематика · Динамика · Статика · Гидростатика · Импульс · Работа · Энергия

§1 · Физика 9 кл

## Механическое движение. Материальная точка

где? куда? с какой скоростью?
Кинематика описывает движение тел — без выяснения причин. Тело движется = меняет положение. Материальная точка — модель, когда размер тела не важен.
📍 положение тела〰️ траектория🔄 виды движения
§1. Механическое движение

### Материальная точка

не важно как выглядит — важно где находится
✓ точка✗ не точка самолёт в перелёте самолёт на посадке Земля вокруг Солнца Земля при вращении поезд на маршруте колесо поезда

📏 Когда можно считать тело точкой? Спроси себя: важно ли, где именно на теле приложена сила или откуда мерить расстояние? Если нет — это точка. Самолёт летит из Москвы в Сочи: 1400 км, а сам самолёт — 70 м. Размер самолёта в сотни раз меньше пути — берём как точку. Но если самолёт заходит на посадку — нам важно, где нос, где хвост, как он наклонён. Уже не точка.

### Траектория

след, который оставляет тело при движении

Прямолинейная — прямая (поезд по рельсам). Криволинейная — кривая (мяч в полёте).

⚠️ Важно: траектория зависит от того, кто смотрит. Представь: ты едешь в поезде и бросаешь мяч прямо вверх. Ты видишь — мяч летит вертикально вверх и падает обратно в руки. Но твой друг стоит на платформе и смотрит в окно — он видит, что мяч описывает дугу (параболу), потому что мяч ещё и едет вместе с поездом. Одно движение, два наблюдателя — две разные траектории. Траектория — не свойство мяча, а свойство наблюдателя.

### Виды механического движения

поступательное · вращательное · колебательное

Поступательное: все точки тела движутся параллельно — тело не вращается (лифт, поезд). Вращательное: каждая точка описывает окружность (колесо). Колебательное: тело раз за разом возвращается назад (маятник).

### Задача кинематики

где? куда? с какой скоростью?

Кинематика отвечает на вопросы где находится и как движется, но не почему. Почему тело разгоняется или тормозит — это уже динамика (§15–).

Как это понять?

Кинематика — это как GPS-навигатор: он показывает где ты, куда едешь и с какой скоростью. Но ему всё равно, почему ты туда едешь и что движет машиной. Сначала учим КАК движется (кинематика, §1–14), потом ПОЧЕМУ (динамика, §15–).

Механическое движение — это просто изменение места: был здесь, стал там. Звучит очевидно, но физика требует точности: относительно чего? в какой момент времени? с каким телом сравниваем?

### Анимация: виды движения

🚂
Поезд
Поступательное — все точки движутся параллельно, тело не вращается
🌍
Земля
Вращательное движение вокруг оси + поступательное по орбите
🎸
Струна
Колебательное движение — периодически возвращается в исходное положение
🌀
Волчок
Сочетание вращательного и поступательного движений
Запомни!

- Материальная точка — это модель, а не реальный объект.
- Траектория относительна: зависит от системы отсчёта.
- Кинематика описывает движение, не объясняет его причины.

1. Можно ли считать Луну материальной точкой при описании её движения вокруг Земли?
2. Приведи пример тела, совершающего одновременно поступательное и вращательное движение.
3. Что изучает кинематика? Чем она отличается от динамики?

§2 · Физика 9 кл

## Относительность движения. Система отсчёта

от чего · куда · когда = система отсчёта
Движение относительно: один и тот же объект в разных системах отсчёта движется по-разному. Система отсчёта — тело + координатная сетка + часы.
🔄 относительность📍 тело отсчёта⏱️ часы
§2. Относительность движения. Система отсчёта

### Система отсчёта (СО)

от чего считать · куда · когда

Чтобы описать движение, нужны: тело отсчёта (относительно чего считать), координатная система (куда двигаться) и часы (когда).

### Относительность траектории

разные наблюдатели — разные пути

Ты в поезде бросаешь мяч вертикально вверх и ловишь его — для тебя он полетел прямо вверх и вернулся. Твой друг на платформе смотрит в окно: он видит, что мяч летел по дуге вперёд и вниз — потому что поезд двигался, пока мяч был в воздухе. Никто не ошибается — просто каждый описывает движение из своей системы отсчёта.

### Координата точки

$x, y, z$ — числа вдоль осей

Представь ось — это линейка, у которой есть ноль и направления «+» и «−». Координата — это просто число на этой линейке: насколько далеко от нуля и в какую сторону. Например, $x = -3\,\text{м}$ значит «3 метра влево от начала». По одному числу можно точно сказать, где находится точка — больше ничего не нужно.

### Тело отсчёта

то, относительно чего считаем

Тело отсчёта — это то, что ты считаешь неподвижным в своей задаче. Чаще всего это Земля — стоишь на ней, от неё и меряешь. Но можно выбрать любое: вагон поезда, самолёт, другую планету. Выбор не меняет физику — он меняет удобство расчётов. Задача про падающий камень в движущемся поезде решается проще в системе поезда, чем в системе Земли.

Как это понять?

Ты едешь в поезде и смотришь на пассажира напротив — он неподвижен. Выгляни в окно — деревья мчатся назад. Это и есть относительность движения.

Без системы отсчёта вопрос «движется ли тело?» не имеет смысла. Ты сейчас неподвижен относительно Земли, но летишь со скоростью 30 км/с вокруг Солнца.

### Интерактив: поезд и платформа

Скорость пассажира (в вагоне): 5 м/с
Скорость пассажира относительно земли = — м/с
Запомни!

- Движение всегда относительно: нужно указывать систему отсчёта.
- СО = тело отсчёта + координатная система + часы.
- Одно и то же тело в разных СО имеет разные траектории и скорости.

1. Пассажир в поезде бросает мяч вертикально вверх. Опишите траекторию мяча в СО поезда и в СО Земли.
2. Является ли движение абсолютным понятием? Обоснуй ответ.

§3 · Физика 9 кл

## Скалярные и векторные величины. Действия над векторами

$\vec{c} = \vec{a} + \vec{b};\quad |\vec{b}| = |k||\vec{a}|$
Скаляр — только число. Вектор — число и направление. Складывают векторы по правилу параллелограмма или треугольника.
📏 скаляр: масса, путь➡️ вектор: скорость, сила▱ правило параллелограмма
§3. Скалярные и векторные величины

### Векторное сложение

$\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$ (правило параллелограмма)

Идёшь на север 3 шага, поворачиваешь на восток 4 шага — ты сместился на 5 шагов на северо-восток. Это и есть сложение двух векторов. Правило треугольника: приставь начало второго вектора к концу первого — стрелка от самого начала до самого конца и есть сумма. Правило параллелограмма: оба вектора из одной точки — диагональ параллелограмма и есть сумма.

### Умножение на скаляр

$\vec{b} = k\vec{a};\quad |\vec{b}| = |k||\vec{a}|$

$k > 0$: вектор в том же направлении. $k < 0$: вектор в обратном направлении. Модуль = $|k|$ × модуль исходного.

### Вычитание векторов

$\vec{d} = \vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$

Вычесть вектор — значит прибавить противоположный. Шёл 5 м на север, потом «отнять» 3 м на север — то же, что прибавить 3 м на юг, итого 2 м на север. Графически: отложи оба вектора из одной точки — разность смотрит из конца $\vec{b}$ в конец $\vec{a}$. Пригодится при нахождении изменения скорости: $\Delta\vec{v} = \vec{v} - \vec{v}_0$.

### Три важных случая

0°: $|\vec{c}| = |\vec{a}|+|\vec{b}|$
180°: $|\vec{c}| = \big||\vec{a}|-|\vec{b}|\big|$
90°: $|\vec{c}| = \sqrt{|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2}$

Если векторы в одну сторону — складывай числами. Навстречу — вычитай. Перпендикулярно — теорема Пифагора. Любой другой угол — формула параллелограмма.

Как это понять?

Самолёт летит на восток 500 км/ч, боковой ветер 120 км/ч с севера. Нельзя сказать «итоговая скорость 620 км/ч» — надо сложить векторно: $\sqrt{500^2 + 120^2} \approx 514$ км/ч и немного на юг. Именно поэтому пилоты учитывают ветер при прокладке курса.

Правило простое: если направления совпадают — складывай числами. Если нет — только по правилу параллелограмма или треугольника.

### Интерактив: сложение векторов

|a|: 60
|b|: 50
Угол α: 60°
|c| = —
Запомни!

- Модуль суммы ≠ сумма модулей (только если оба вектора в одну сторону).
- Вектора складывают геометрически, не числами.
- Сумма всегда: $|\vec{a}|-|\vec{b}| \leq |\vec{c}| \leq |\vec{a}|+|\vec{b}|$

1. Можно ли сложить вектор и скаляр? Почему?
2. При каком угле между двумя равными векторами их сумма равна одному из них?

§4 · Физика 9 кл

## Проекция вектора на ось

$a_x = a\cos\varphi$
Проекция вектора на ось — его «тень» на ось. Знак зависит от направления: угол острый — плюс, тупой — минус. Позволяет переводить векторные задачи в скалярные по осям.
$a_x = a\cos\varphi$➕ острый угол➖ тупой угол
§4. Проекция вектора на ось

### Проекция на ось Ox

$a_x = a\cos\varphi$

$\varphi$ — угол между вектором и осью Ox. Если вектор «наклонён» в сторону оси (угол острый, до 90°) — проекция положительная. Если «отклонился» от неё (угол тупой, больше 90°) — отрицательная. Перпендикулярен оси — проекция нулевая: вся «сила» вектора уходит в другую ось. Проверь себя: $a_x = 10\cos 60° = 5$ (острый → плюс), $a_x = 10\cos 120° = -5$ (тупой → минус).

### Проекции в 2D

$a_x = a\cos\varphi;\quad a_y = a\sin\varphi$

Любой вектор можно разложить на две составляющие — горизонтальную и вертикальную. Пример: сила 10 Н под углом 37° к горизонту → $F_x = 10\cos 37° = 8$ Н (горизонталь), $F_y = 10\sin 37° = 6$ Н (вертикаль). Теперь вместо одного вектора под углом — два числа, с которыми считать проще. И проверка: $\sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{100} = 10$ Н ✓

### Сложение через проекции

$c_x = a_x + b_x;\quad c_y = a_y + b_y$

Чтобы сложить два вектора под произвольным углом: найди проекции каждого на обе оси, сложи проекции числами, восстанови вектор по теореме Пифагора. Это аналитический метод — точнее, чем рисовать на бумаге.

### Восстановление вектора

$a = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}$

Из проекций находим модуль (по теореме Пифагора) и направление ($\varphi$). Метод компонент — основной в физике.

Как это понять?

Представь: солнце светит сбоку, вектор — карандаш. Тень карандаша на стене — это и есть проекция. Если карандаш параллелен стене — тень максимальная. Перпендикулярен — тень нулевая.

В физике проекции — способ «разобрать» вектор на составляющие. Движение под углом = горизонтальная часть + вертикальная часть. Каждую решаем отдельно!

### Интерактив: проекция вектора

Угол φ: 37°
|a|: 70
ax = — | ay = —
Запомни!

- $a_x = a\cos\varphi$ — проекция на ось.
- Знак проекции зависит от направления вектора относительно оси.
- $a = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}$ — восстановление модуля из проекций.

1. Может ли проекция вектора быть больше его модуля? Равна модулю? Равна нулю?
2. Вектор $|\vec{a}| = 10$ направлен под $60°$ к оси Ox. Найди $a_x$ и $a_y$.

§5 · Физика 9 кл

## Путь и перемещение

$s \geq |\Delta\vec{r}|$
Путь — длина траектории (скаляр, всегда ≥ 0). Перемещение — вектор из начальной точки в конечную. Путь всегда ≥ модуля перемещения.
📏 путь s — скаляр➡️ перемещение Δr — вектор s ≥ |Δr|
§5. Путь и перемещение

### Путь s

длина траектории

Скалярная величина — только число, без направления. Всегда ≥ 0: «минусового» пути не бывает. Одометр в машине считает путь: даже если ты вернулся на старт — он накрутил столько, сколько ты проехал. Зависит от маршрута, а не только от начальной и конечной точек.

### Перемещение $\Delta\vec{r}$

$\Delta\vec{r} = \vec{r}_2 - \vec{r}_1$

Векторная величина — имеет и число, и направление. Натяни верёвку напрямую от старта до финиша: её длина и направление — это и есть перемещение. Не важно, как ты шёл — зигзагами или по прямой: перемещение одно и то же, если начало и конец совпадают.

### Проекции перемещения

$\Delta r_x = x_2 - x_1;\quad \Delta r_y = y_2 - y_1$

Проекция перемещения — просто разность координат: где был минус где стал. Переехал с отметки $x_1 = 20\,\text{м}$ на $x_2 = 8\,\text{м}$: $\Delta r_x = 8 - 20 = -12\,\text{м}$. Минус значит «двигался в сторону уменьшения оси» — то есть назад. Никакой тайны: минус — это просто направление.

### Соотношение пути и перемещения

$s \geq |\Delta\vec{r}|$

Равенство достигается только при прямолинейном движении в одну сторону — тогда маршрут совпадает с прямой от старта до финиша. Стоит хоть раз повернуть или вернуться — путь сразу стал длиннее перемещения. Это как разница между прямой дорогой и объездом: расстояние по прямой — перемещение, по дороге — путь.

Как это понять?

Ты вышел из дома (точка A), дошёл до магазина (B, 500 м), вернулся домой (A). Путь = 1000 м. Перемещение = 0 (начальная и конечная точка совпадают)!

GPS-навигатор считает путь (сколько проехал). Рулетка между двумя точками — это перемещение. Одометр в машине — путь. Смещение в прямом смысле — перемещение.

### Интерактив: путь и перемещение

Сегмент 1 (м): 120 м
Сегмент 2 (м, назад): 60 м
Путь = — м | Перемещение = — м
Запомни!

- Путь — скаляр (длина), перемещение — вектор (смещение).
- $s \geq |\Delta\vec{r}|$ — путь всегда не меньше модуля перемещения.
- При движении «туда-обратно»: $s > 0$, но $\Delta\vec{r}$ может быть = $\vec{0}$.

1. При каком условии путь равен модулю перемещения?
2. Тело прошло путь $s = 100\,\text{м}$. Может ли его перемещение быть равно нулю?

§6 · Физика 9 кл

## Равномерное прямолинейное движение. Скорость

$v = \Delta r / \Delta t;\quad x = x_0 + v_x t$
Равномерное движение — скорость постоянна по модулю и направлению. Скорость — векторная величина: показывает быстроту и направление изменения положения.
$v = \text{const}$$x = x_0 + vt$[v] = м/с
§6. Равномерное прямолинейное движение

### Скорость (вектор)

$\vec{v} = \Delta\vec{r}/\Delta t$

Скорость — вектор: у неё есть и число («60 км/ч»), и направление («на север»). Направлена туда, куда движется тело в данный момент. При равномерном движении оба параметра не меняются — ни быстрее/медленнее, ни поворотов. Стоит сказать только «скорость 20 м/с» без направления — это уже не вектор, а только его модуль.

### Закон движения

$x = x_0 + v_x t$

Три части: где стоял ($x_0$) + куда движешься ($v_x \cdot t$). Если $v_x > 0$ — координата растёт (движение в сторону «+»). Если $v_x < 0$ — убывает (движение назад). Пример: $x = 100 - 5t$ → начал на отметке 100 м и едет назад со скоростью 5 м/с. Через 20 с будет на нуле, потом «уйдёт» в отрицательные координаты.

### Перевод единиц

$1\,\text{м/с} = 3{,}6\,\text{км/ч}$

$v\,[\text{м/с}] = v\,[\text{км/ч}] / 3{,}6$. Пример: 72 км/ч = 72/3.6 = 20 м/с. Часто нужно на экзамене!

### Путь при равномерном движении

$s = |v_x| \cdot t$

Путь = скорость × время. Перемещение: $\Delta r_x = v_x t$ (со знаком). Путь всегда ≥ 0.

Как это понять?

Равномерное движение — идеализация, но очень полезная. Поезд «Москва–Петербург» на перегоне между остановками, самолёт в крейсерском полёте, свет в вакууме — всё это приближённо равномерное движение.

На графике $x(t)$ — прямая линия. Наклон = скорость: проведи прямую круче — едешь быстрее, положе — медленнее, горизонталь — стоишь. По одной прямой можно мгновенно прочитать скорость: $v_x = \Delta x / \Delta t$ — возьми любые два момента на прямой.

### Интерактив: равномерное движение

v, м/с: 10 м/с
x₀, м: 0 м
x(5с) = —
✈️
Самолёт
Крейсерский полёт — ~равномерное движение: v ≈ const
🚢
Корабль
На спокойной воде — близко к равномерному
🌍
Земля
Движение по орбите ≈ равномерное (скорость почти постоянна)
💡
Свет
В вакууме движется строго равномерно: $c = 3\cdot10^8$ м/с
Запомни!

- $v = \text{const}$ — ни по модулю, ни по направлению не меняется.
- $x = x_0 + v_x t$ — закон движения (линейный!)
- $1\,\text{м/с} = 3{,}6\,\text{км/ч}$

1. Автомобиль движется равномерно. Закон движения: $x = 100 + 15t$ (м). Найдите начальную координату и скорость.
2. Поезд прошёл 180 км за 2 часа. Найдите скорость в м/с и км/ч.

§7 · Физика 9 кл

## Графическое представление равномерного движения

$v(t) = \text{const};\quad x(t) = x_0 + vt$
График v(t) — горизонтальная прямая. График x(t) — наклонная прямая. Площадь под v(t) = перемещение. Наклон x(t) = скорость.
📊 v(t) — горизонталь📈 x(t) — прямая S = Δr (площадь)
§7. Графики равномерного движения

### График v(t)

горизонтальная прямая

Скорость не меняется — горизонтальная прямая. Прямая выше нуля: едешь «вперёд». Ниже нуля: едешь «назад». На нуле: стоишь. Ширина прямоугольника под графиком — это время $\Delta t$, высота — скорость $v_x$. Площадь = $v_x \cdot \Delta t$ = перемещение. Это не просто формула — это прямо следует из рисунка!

### График x(t)

наклонная прямая

$x = x_0 + v_x t$ — прямая линия на графике. Крутой наклон вверх = большая скорость вперёд. Горизонталь = тело стоит ($v = 0$). Наклон вниз = движение назад ($v_x < 0$). Точка, где прямая пересекает ось $x$ — это начальная координата $x_0$. По наклону прямой можно найти скорость: $v_x = \Delta x / \Delta t$.

### Площадь под v(t)

$\Delta r_x = v_x \cdot \Delta t$ = площадь

Площадь фигуры под графиком v(t) = перемещение — это универсальное правило, работает для любого движения, не только равномерного. При равномерном фигура — прямоугольник: $S = v \cdot \Delta t = \Delta r$. При неравномерном — любая фигура: считаем её площадь.

### Встреча двух тел

$x_1(t) = x_2(t)$

Два тела движутся и «встречаются», когда их координаты совпадают: $x_1(t) = x_2(t)$. На графике x(t) это просто точка пересечения двух прямых. Координата встречи — по оси $x$ в точке пересечения, время встречи — по оси $t$. Если прямые параллельны — тела движутся с одинаковой скоростью и никогда не встретятся (или всегда рядом, если совпадают).

Как это понять?

Почему площадь под v(t) = перемещение? Представь: едешь 3 м/с в течение 5 секунд. Прямоугольник: ширина 5 с, высота 3 м/с. Площадь = 5 × 3 = 15 м — именно столько проехал!

Наклон x(t) = скорость: крутая линия — едешь быстро, пологая — медленно, горизонтальная — стоишь. Линии идут вниз — едешь в обратную сторону (отрицательная v).

### Интерактив: графики двух тел

v₁, м/с: 10 м/с
x₀₁, м: 0 м
v₂, м/с: -5 м/с
x₀₂, м: 75 м
Встреча: t = — с, x = — м
Запомни!

- Наклон графика x(t) = скорость $v_x$ (с учётом знака!).
- Площадь под v(t) = перемещение $\Delta r_x$.
- Пересечение x(t) двух тел = момент встречи.

1. Как по графику x(t) определить скорость тела?
2. Два тела движутся навстречу. Как выглядит их встреча на графике x(t)?

§8 · Физика 9 кл

## Неравномерное движение. Средняя и мгновенная скорость

$\langle v \rangle = s/\Delta t;\quad \langle\vec{v}\rangle = \Delta\vec{r}/\Delta t$
Средняя скорость — отношение пути ко времени (скаляр). Средняя скорость (вектор) — отношение перемещения ко времени. Мгновенная — предел при Δt→0.
⟨v⟩ = s/Δt v_мгн — в данный момент Δt → 0
§8. Средняя и мгновенная скорость

### Средняя скорость пути (скаляр)

$\langle v \rangle = s / \Delta t$

Весь пройденный путь, делённый на всё затраченное время. Всегда ≥ 0 — отрицательного «пути» не бывает. Важно: если ехал медленно долго, а потом быстро чуть-чуть — средняя скорость ближе к медленной, а не к их среднему. Спидометр в машине показывает мгновенную скорость, а не среднюю за поездку.

### Средняя скорость (вектор)

$\langle\vec{v}\rangle = \Delta\vec{r}/\Delta t$

Вектор перемещения, делённый на время. Направлена от начальной точки к конечной. Если ты сделал круг и вернулся — перемещение нулевое, значит и средняя векторная скорость нулевая, хотя весь маршрут ты реально ехал! Именно поэтому важно различать «скорость пути» и «скорость перемещения».

### Мгновенная скорость

скорость в данный миг

Скорость именно в данный миг — как спидометр в машине: показывает не «сколько в среднем», а «прямо сейчас». Направлена всегда по касательной к траектории: именно туда полетит тело, если в этот момент убрать все силы. Поэтому мяч, оторвавшись от ракетки, летит по касательной, а не продолжает дугу.

### Средняя скорость за два участка

$\langle v\rangle = \dfrac{s_1+s_2}{t_1+t_2} = \dfrac{2v_1 v_2}{v_1+v_2}$

Если два участка равны по длине: средняя скорость = гармоническое среднее, а не среднеарифметическое! Почему? На медленном участке тратишь больше времени — он «перевешивает». Пример: 60 км туда за 1 ч, 60 км обратно за 2 ч. Средняя = 120 / 3 = 40 км/ч, а не (60+30)/2 = 45 км/ч.

Как это понять?

Маршрут A→B→A: 100 км туда, 100 км обратно. Туда 100 км/ч (1 час), обратно 50 км/ч (2 часа). Средняя скорость = 200 км / 3 ч ≈ 67 км/ч, а НЕ (100+50)/2 = 75 км/ч!

Среднеарифметическое скоростей не даёт среднюю скорость — нужно делить весь путь / всё время. А мгновенная скорость — это просто то, что показывает спидометр прямо сейчас.

### Интерактив: средняя скорость

v₁, км/ч: 60 км/ч
v₂, км/ч: 40 км/ч
⟨v⟩ = — | (v₁+v₂)/2 = —
Запомни!

- Средняя скорость = весь путь / всё время.
- $\langle v\rangle \neq (v_1+v_2)/2$ в общем случае!
- Мгновенная скорость направлена по касательной к траектории.

1. Рысь пробежала первую половину пути со скоростью 3 м/с, вторую — со скоростью 6 м/с. Найдите среднюю скорость.
2. Куда направлена мгновенная скорость тела при движении по окружности?

§9 · Физика 9 кл

## Сложение скоростей

$\vec{v} = \vec{v}' + \vec{u}$
Скорость тела в неподвижной СО = скорость тела относительно подвижной СО + скорость подвижной СО. Применяется при движении лодки в реке, самолёта в потоке.
🚤 лодка в реке✈️ самолёт в ветре$\vec{v} = \vec{v}' + \vec{u}$
§9. Сложение скоростей

### Закон сложения скоростей

$\vec{v} = \vec{v}' + \vec{u}$

Три скорости: $\vec{v}'$ — скорость лодки относительно воды (как гребёт мотор), $\vec{u}$ — скорость течения воды относительно берега, $\vec{v}$ — итоговая скорость лодки относительно берега. Сложи первые два вектора — получишь третий. Именно так навигаторы кораблей и самолётов считают реальный курс с учётом ветра/течения.

### Лодка поперёк реки

$v = \sqrt{v'^2 + u^2}$

Лодка гребёт перпендикулярно берегу ($v'$ — поперечная скорость), течение несёт вдоль реки ($u$ — продольная). Два вектора под углом 90° → суммарная скорость по теореме Пифагора: $v = \sqrt{v'^2 + u^2}$. Лодка движется наискосок — не туда, куда гребёт! Берег она пересечёт в другом месте.

### Время переправы

$t = d/v'$

Время пересечения реки шириной $d$ зависит только от поперечной скорости $v'$: $t = d/v'$. Сколько бы ни было течение — оно сносит лодку вдоль, но не замедляет переправу. Хочешь оказаться точно напротив? Гребись под углом против течения, чтобы боковые скорости скомпенсировались.

### Снос течением

$\Delta x = u \cdot t = u \cdot d/v'$

Пока лодка пересекала реку за время $t = d/v'$, течение успело снести её на $\Delta x = u \cdot t$. Широкая река + быстрое течение = большой снос. Пример: $d = 80$ м, $v' = 4$ м/с, $u = 3$ м/с → $t = 20$ с, снос = $3 \cdot 20 = 60$ м! Почти столько же, сколько ширина реки.

Как это понять?

Плывёшь поперёк реки: для тебя берег движется прямо назад. Но кто-то с берега видит, что тебя несёт течением. Твоя «настоящая» скорость (относительно берега) — диагональ параллелограмма.

Самолёт летит на восток, ветер с севера — он отклоняется. Пилот должен корректировать курс, направляя нос немного севернее. Это и есть сложение скоростей на практике.

### Интерактив: лодка в реке

v' (лодка), м/с: 4 м/с
u (течение), м/с: 3 м/с
Ширина реки, м: 80 м
v = — м/с | t = — с | снос = — м
Запомни!

- $\vec{v} = \vec{v}' + \vec{u}$ — складываем векторно.
- Время переправы зависит только от $v'$ (скорость поперёк).
- Снос = $u \cdot t$ (течение × время).

1. Лодка плывёт со скоростью 4 м/с поперёк реки, течение 3 м/с. Найдите скорость лодки относительно берега.
2. Самолёт летит со скоростью 600 км/ч при встречном ветре 100 км/ч. Какова его скорость относительно земли?

§10 · Физика 9 кл

## Ускорение

$\vec{a} = \Delta\vec{v}/\Delta t$
Ускорение характеризует быстроту изменения скорости. Это вектор — направлен туда, куда изменяется скорость. При торможении — против движения.
$[a] = \text{м/с}^2$⬆️ разгон: a ∥ v⬇️ торможение: a против v
§10. Ускорение

### Ускорение

$\vec{a} = \Delta\vec{v}/\Delta t$

Ускорение показывает, насколько быстро меняется скорость. Единица: 1 м/с² — это «на 1 м/с за каждую секунду». $a = 5\,\text{м/с}^2$: скорость прибавляется на 5 м/с каждую секунду. Важно: ускорение — вектор. Оно может менять и модуль скорости (разгон/торможение), и её направление (повороты).

### Ускорение при разгоне

$\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{v}$ (сонаправлены)

Ускорение направлено туда же, куда движется тело — скорость растёт. Машина стартует: ускорение вперёд → скорость растёт с каждой секундой. Чем дольше разгоняешься с постоянным ускорением — тем быстрее едешь. При $a = 5\,\text{м/с}^2$ через 4 с скорость: $0 + 5 \cdot 4 = 20$ м/с.

### Ускорение при торможении

$\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{v}$ (противоположны)

Машина едет вперёд ($v > 0$), нажимаешь тормоз: ускорение направлено назад ($a < 0$). Каждую секунду скорость уменьшается на $|a|$ м/с. Через $t = v_0 / |a|$ секунд — полная остановка. Запомни: ускорение со знаком «минус» — не значит «едет назад», это значит «тормозит».

### Изменение скорости

$\Delta\vec{v} = \vec{v} - \vec{v}_0 = \vec{a}\cdot\Delta t$

Изменение скорости — это вектор, направленный вдоль ускорения. $\Delta\vec{v} = \vec{a} \cdot \Delta t$: умножь ускорение на время — получишь, как изменилась скорость. При разгоне $\Delta v > 0$ (скорость выросла), при торможении $\Delta v < 0$ (упала). Это та же физика, просто записанная векторно.

Как это понять?

Ускорение — это «изменение скорости в секунду». $a = 3\,\text{м/с}^2$ означает: каждую секунду скорость растёт на 3 м/с. Начал с 0 → через 1 с: 3 м/с → через 2 с: 6 м/с → через 3 с: 9 м/с.

Важно: ускорение НЕ означает «быстро едет». Большое ускорение = быстро разгоняется. Черепаха может ехать быстро (v большая), но с нулевым ускорением (равномерно).

### Интерактив: ускорение

v₀, м/с: 0 м/с
a, м/с²: 3 м/с²
v(5с) = —
🚀
Ракета
При взлёте a = 3g ≈ 30 м/с². Космонавт «весит» в 3 раза больше
🏎️
Формула-1
a ≈ 15 м/с² при разгоне (0–100 км/ч за 2 с)
🌍
Свободное падение
g ≈ 9,8 м/с² — ускорение при падении на Землю
🛑
Аварийное торможение
a ≈ −8 м/с² (против движения). 100 км/ч → 0 за ~3,5 с
Запомни!

- $a = \Delta v / \Delta t$ — изменение скорости за единицу времени.
- Ускорение вдоль скорости → разгон; против → торможение.
- Ускорение ≠ большая скорость! Это быстрота изменения скорости.

1. Автомобиль разогнался с 0 до 20 м/с за 5 с. Найдите ускорение.
2. Тело движется с $v_0 = 15$ м/с и тормозит с ускорением $a = 3\,\text{м/с}^2$. Через сколько секунд оно остановится?

§11 · Физика 9 кл

## Скорость при равноускоренном движении

$v = v_0 + at;\quad \langle v \rangle = (v_0 + v)/2$
При равноускоренном движении скорость меняется линейно: каждую секунду добавляется a м/с. Средняя скорость = полусумма начальной и конечной.
$v = v_0 + at$$v(t)$ — прямая$\langle v\rangle = (v_0+v)/2$
§11. Скорость при равноускоренном движении

### Скорость

$v_x = v_{0x} + a_x t$

Скорость прибавляет по $a$ каждую секунду — значит, меняется равномерно. График v(t) — прямая линия. Крутой наклон вверх = большое ускорение (быстрый разгон). Наклон вниз = замедление. По наклону прямой сразу видно $a_x$: $a_x = \Delta v / \Delta t$.

### Средняя скорость

$\langle v_x \rangle = (v_{0x} + v_x)/2$

Для равноускоренного движения это точная формула, не приближение. Почему работает? Скорость меняется равномерно — как температура воздуха от утра до вечера. «Средняя за день» = (утром + вечером) / 2. Здесь то же самое: скорость менялась по прямой — среднее точно посередине.

### График v(t) — прямая

наклон = $a_x$; пересечение = $v_{0x}$

$a > 0$: прямая идёт вверх (разгон). $a < 0$: вниз (торможение). Точка, где прямая пересекает ось $t$ — это момент, когда $v = 0$: тело остановилось или развернулось. После этого момента скорость меняет знак — тело начинает двигаться в обратную сторону.

### Площадь под v(t)

трапеция = $\Delta r = \langle v\rangle \cdot t$

Под прямой v(t) при равноускоренном движении — трапеция (или треугольник при $v_0 = 0$). Площадь этой фигуры = перемещение. Формула трапеции: $(v_0 + v)/2 \cdot t$ — это то же самое, что средняя скорость × время. Удобная проверка: посчитай перемещение двумя способами и сравни.

Как это понять?

$v = v_0 + at$ — каждую секунду скорость меняется на $a$. Начал с 5 м/с, $a = 3$ м/с²: через 1 с — 8 м/с, через 2 с — 11 м/с, через 3 с — 14 м/с. Просто прибавляй $a$ каждую секунду.

График $v(t)$ — прямая линия. Наклонена вверх = разгон. Наклонена вниз = торможение. Пересекает ось $t$ — это момент остановки. Закрашенная площадь под графиком = пройденный путь!

### Интерактив: v(t) при равноускоренном движении

v₀, м/с: 0 м/с
a, м/с²: 2 м/с²
v(5с) = — м/с | ⟨v⟩ = — м/с
Запомни!

- $v = v_0 + at$ — линейная зависимость от времени.
- $\langle v\rangle = (v_0 + v)/2$ — строго для равноускоренного движения.
- График v(t) — прямая; наклон = $a$.

1. Тело начало движение с $v_0 = 4$ м/с, $a = 2\,\text{м/с}^2$. Найдите скорость через 5 с.
2. Поезд затормозил с $v_0 = 20$ м/с до остановки за 50 с. Найдите ускорение.

§12 · Физика 9 кл

## Перемещение и координата при равноускоренном движении

$x = x_0 + v_0 t + \tfrac{at^2}{2};\quad v^2 = v_0^2 + 2a\Delta r$
Координата при равноускоренном движении — квадратичная функция времени (парабола). Формула «без t» связывает скорость, ускорение и перемещение напрямую.
парабола x(t)$v^2 = v_0^2 + 2as$квадратичная зависимость
§12. Перемещение при равноускоренном движении

### Перемещение

$\Delta r_x = v_{0x}t + \dfrac{a_x t^2}{2}$

При $a > 0$: расстояние нарастает всё быстрее — это парабола. Первую секунду проехал немного, вторую — больше, третью — ещё больше. Почему? Ускорение каждую секунду добавляет не просто постоянную прибавку к пути, а «нарастающую»: $1^2, 2^2, 3^2$... При $a = 0$ — прямая линия (равномерное движение). При $a \ne 0$ — парабола.

### Координата

$x = x_0 + v_{0x}t + \dfrac{a_x t^2}{2}$

График x(t) — парабола: сначала пологая, потом всё круче (при $a > 0$). Вершина параболы — это точка, где $v = 0$: мяч, брошенный вверх, достиг максимальной высоты. После вершины парабола идёт вниз — тело движется обратно. Нашёл вершину на графике — нашёл максимальное смещение.

### Формула «без t»

$v_x^2 = v_{0x}^2 + 2a_x\Delta r_x$

Спасает, когда в задаче не дано время. Машина тормозит с 72 км/ч (= 20 м/с) до нуля при $a = -4\,\text{м/с}^2$: тормозной путь $s = v_0^2 / (2|a|) = 400 / 8 = 50$ м — и никакого $t$! Запомни: если в задаче нет $t$ и не нужно его найти, сразу бери эту формулу.

### Таблица сравнения

Равном.: $\Delta r = vt$
Равноуск.: $\Delta r = v_0 t + at^2/2$
«без t»: $v^2 = v_0^2 + 2as$
Как это понять?

Формула $x = x_0 + v_0 t + \frac{at^2}{2}$ — это три слагаемых: где стоял ($x_0$) + куда уже шёл ($v_0 t$) + куда добавило ускорение ($at^2/2$). При $v_0=0$, $x_0=0$ остаётся только $at^2/2$ — парабола.

Формула «без $t$»: $v^2 = v_0^2 + 2a\Delta r$ спасает когда в задаче не дано время. Торможение до нуля: $0 = v_0^2 - 2|a|s$, значит $s = v_0^2/(2|a|)$.

### Интерактив: x(t) при равноускоренном движении

v₀, м/с: 10 м/с
a, м/с²: -2 м/с²
Δr(5с) = — м | v(5с) = — м/с
🚗
Тормозной путь
При скорости 60 км/ч ≈ 17 м/с и a = −8 м/с²: s = 17²/16 ≈ 18 м
🎢
Свободное падение
Мяч падает с h = 20 м: t = √(2h/g) ≈ 2 с, v = gt ≈ 20 м/с
🚀
Старт ракеты
a = 30 м/с². Через 10 с: v = 300 м/с, s = 1500 м
⛷️
Горнолыжник
Разгоняется вниз: a ≈ 5 м/с², за 10 с набирает 50 м/с ≈ 180 км/ч!
Запомни!

- $x = x_0 + v_0 t + at^2/2$ — уравнение движения (парабола).
- $v^2 = v_0^2 + 2a\Delta r$ — когда нет времени в условии.
- Вершина параболы — точка остановки ($v = 0$).

1. Тело $v_0 = 10$ м/с, $a = -2\,\text{м/с}^2$. Найдите перемещение за 4 с.
2. Автомобиль тормозит: $v_0 = 20$ м/с, $a = -4\,\text{м/с}^2$. Какой тормозной путь до полной остановки?

§13 · Физика 9 кл

## Криволинейное движение. Угловая и линейная скорости

$\omega = 2\pi/T;\quad v = \omega R;\quad \nu = 1/T$
При движении по окружности вводится угловая скорость ω. Линейная скорость тем больше, чем дальше точка от оси. Все точки тела имеют одинаковое ω.
$\omega$ = рад/с$v = \omega R$$T = 1/\nu$
§13. Движение по окружности

### Угловая скорость

$\omega = \Delta\varphi/\Delta t = 2\pi/T = 2\pi\nu$

Угол, на который поворачивается тело за одну секунду — в радианах. Один полный оборот = $2\pi \approx 6{,}28$ рад. Вентилятор делает 10 оборотов в секунду: $\omega = 10 \cdot 2\pi \approx 63$ рад/с. Все точки колеса вращаются с одной $\omega$ — одинаковый угол за одинаковое время, но скорость разная: у края быстрее, у центра — медленнее.

### Линейная скорость

$v = \omega R$

При одной и той же угловой скорости точки, дальше от оси, проходят больший путь за оборот — значит, движутся быстрее. Велосипедное колесо: ступица и обод вращаются с одним $\omega$, но скорость обода в 10 раз выше, чем точки в 10 раз ближе к центру. Именно поэтому резина на внешнем крае стирается быстрее.

### Период и частота

$T = 2\pi/\omega;\quad \nu = 1/T;\quad \omega = 2\pi\nu$

Период $T$ — сколько секунд на один полный оборот. Частота $\nu$ — сколько оборотов в секунду. Они обратны: $T = 1/\nu$. Пример: мотор 3000 об/мин = 50 об/с → $\nu = 50$ Гц, $T = 0{,}02$ с. Секундная стрелка: $T = 60$ с, $\nu = 1/60$ Гц. Перевод в $\omega$: умножь $\nu$ на $2\pi$.

### Длина дуги

$s = R\cdot\Delta\varphi$

Дуга = радиус × угол (в радианах). Легко запомнить: 1 рад — это угол, при котором дуга равна радиусу. Полный оборот: $\Delta\varphi = 2\pi$ рад → $s = 2\pi R$ — длина окружности. Знакомая формула! $2\pi R$ — это просто частный случай $s = R \cdot \Delta\varphi$ при полном обороте.

Как это понять?

Велосипедное колесо: все спицы вращаются с одной угловой скоростью ω (одинаковый угол в секунду). Но конец спицы (обод) движется намного быстрее, чем её центр — потому что $v = \omega R$ и $R$ больше.

Часовые стрелки: угловая скорость секундной стрелки в 60 раз больше минутной. Но линейная скорость зависит ещё и от длины стрелки.

### Интерактив: движение по окружности

R, м: 1 м
ν, об/с: 1 об/с
ω = — рад/с | v = — м/с | T = — с
🎡
Колесо обозрения
Все кабинки вращаются с одинаковым ω, но внешние движутся быстрее
⚙️
Шестерёнки
Разные ω, но на точках касания линейные скорости одинаковы
🌍
Земля
Один оборот за 24 ч = ω = 7,27·10⁻⁵ рад/с. На экваторе v = 465 м/с!
💿
Виниловая пластинка
33 об/мин. Внешние дорожки длиннее, но воспроизводятся с той же скоростью
Запомни!

- $\omega = 2\pi\nu = 2\pi/T$ — угловая скорость.
- $v = \omega R$ — линейная скорость точки на расстоянии R от оси.
- $1\,\text{об} = 2\pi\,\text{рад}$; $1\,\text{Гц} = 1\,\text{об/с}$.

1. Вентилятор вращается с частотой 10 Гц. Найдите ω и T.
2. Точка на диске радиусом 0,5 м вращается с ω = 20 рад/с. Найдите линейную скорость.

§14 · Физика 9 кл

## Ускорение при движении по окружности

$a_c = v^2/R = \omega^2 R$
Даже при постоянной скорости на окружности есть ускорение — центростремительное. Оно направлено к центру и изменяет направление скорости, но не её модуль.
$a_c = v^2/R$→ к центру⊥ скорости
§14. Центростремительное ускорение

### Центростремительное ускорение

$a_c = v^2/R = \omega^2 R$

Направлено к центру окружности и перпендикулярно скорости. Изменяет только направление скорости — заставляет тело «поворачивать», не разгоняя и не тормозя. Крутой поворот на большой скорости: маленький $R$ и большое $v$ → огромное $a_c$ → «тебя вдавливает в кресло». При увеличении радиуса поворота — $a_c$ падает.

### Эквивалентные формулы

$a_c = \omega^2 R = \omega v = \dfrac{4\pi^2 R}{T^2}$

Три формулы — одна физика, разные «входные данные». Знаешь скорость и радиус → $a_c = v^2/R$. Знаешь угловую скорость и радиус → $a_c = \omega^2 R$. Знаешь период и радиус → $a_c = 4\pi^2 R / T^2$. Выбирай ту, где уже есть нужные данные — не нужно переводить лишний раз.

### Направление

всегда к центру кривизны

Даже если скорость по модулю не меняется, направление всё время поворачивает — значит, есть ускорение. Его называют «нормальным» (⊥ к траектории) или центростремительным (к центру). При равномерном движении по окружности только оно и есть: $a_\tau = 0$. Тело едет с постоянной скоростью, но постоянно ускоряется!

### Полное ускорение при неравномерном

$a = \sqrt{a_c^2 + a_\tau^2}$

Машина разгоняется в повороте: $a_c$ меняет направление скорости (к центру дуги), $a_\tau$ меняет модуль скорости (вдоль движения). Оба действуют одновременно и перпендикулярны друг другу → полное ускорение: теорема Пифагора $a = \sqrt{a_c^2 + a_\tau^2}$. Водитель «давит на газ в вираже» — чувствует оба одновременно.

Как это понять?

Крутишь камень на верёвке — верёвка постоянно тянет к центру. Уберёшь руку (уберёшь центростремительную силу) — камень полетит по прямой. Ускорение меняет направление скорости, заставляя тело «поворачивать».

Луна на орбите: скорость ~1 км/с, но она постоянно «падает» к Земле. Это и есть центростремительное ускорение — оно удерживает Луну на орбите.

### Интерактив: центростремительное ускорение

v, м/с: 10 м/с
R, м: 10 м
a_c = — м/с²
🎢
Американские горки
В петле a_c = v²/R. При высокой скорости — ощущение «перегрузки»
🛸
МКС
v ≈ 7,7 км/с, R = 6770 км → a_c ≈ 8,7 м/с² ≈ g
🏎️
Гоночный поворот
200 км/ч, R = 100 м → a_c = 31 м/с² ≈ 3g. Нужна прижимная сила
🌍
Земля вокруг Солнца
v = 30 км/с, R = 1,5·10¹¹ м → a_c = 6·10⁻³ м/с²
Запомни!

- $a_c = v^2/R = \omega^2 R$ — к центру, ⊥ скорости.
- При равномерном движении по окружности ускорение ≠ 0!
- Чем больше $v$ и меньше $R$ — тем больше $a_c$.

1. Автомобиль движется в повороте со скоростью 20 м/с, радиус 50 м. Найдите центростремительное ускорение.
2. Спутник летит по круговой орбите. Ускорение равно $g = 9{,}8\,\text{м/с}^2$, радиус 6 400 км. Найдите скорость спутника.

§15 · Физика 9 кл

## Первый закон Ньютона. Инерция

$\vec{F}_\text{рез} = \vec{0} \Leftrightarrow \vec{a} = \vec{0}$
Если равнодействующая всех сил равна нулю, тело покоится или движется равномерно прямолинейно. Покой и равномерное прямолинейное движение физически равноправны.
📌 закон инерции 🔄 инерциальные СО ⚖️ покой = равномерное движение
§15. Первый закон Ньютона

### Первый закон Ньютона

$\vec{F}_\text{рез} = \vec{0} \Rightarrow \vec{a} = \vec{0}$

Проще говоря: тело само ничего не меняет. Стоит — будет стоять. Летит — будет лететь. Чтобы скорость изменилась (по величине или по направлению), нужна суммарная сила. Нет суммарной силы — нет ускорения. Это работает только в инерциальных системах отсчёта (там, где нет «фиктивных» сил — в покоящемся вагоне, в равномерно летящем самолёте).

### Инерция

свойство тела

Инерция — это «нежелание» тела менять скорость. Тяжёлую тележку трудно разогнать — и столь же трудно остановить. Лёгкий мяч реагирует мгновенно. Разница — в инерции. Количественная мера инерции — масса: больше масса → больше инерция → нужна большая сила, чтобы изменить скорость.

### Инерциальная система отсчёта

ИСО

ИСО — это система, в которой тело не ускоряется без причины. Земля приближённо ИСО. Равномерно летящий самолёт — ИСО: на борту кидаешь мяч вверх — он падает обратно в руки, как на земле. Но самолёт на вираже — уже нет: мяч «улетит» сам по себе без видимых сил. Любая ИСО движется относительно другой ИСО только равномерно и прямолинейно.

### Равнодействующая = 0

$\vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \ldots = \vec{0}$

Важно: не «сил нет», а «векторная сумма нулевая». На стол давит тяжесть книги вниз, стол давит на книгу вверх — две силы, но они в сумме ноль → книга стоит неподвижно. Машина едет равномерно? Тяга = трению → $F_\text{рез} = 0$ → $a = 0$. Равновесие — это всегда баланс сил, а не их отсутствие.

Инерция вокруг нас
🚌
Автобус тормозит
Пассажир летит вперёд — тело стремится сохранить скорость
🍸
Трюк со скатертью
Посуда остаётся на месте — она инертна, не успевает тронуться
🔨
Забивание гвоздя
Тяжёлый молоток — большая инерция — большая сила удара
🚗
Ремень безопасности
При ударе тело летит вперёд — ремень удерживает от инерции
🪐
Планеты и спутники
Летят по орбите — сила тяжести меняет направление, но не гасит скорость
⚽
Мяч в полёте
Без воздуха летел бы вечно — трение воздуха постепенно тормозит

### 🎬 Анимация: шайба с трением и без

🔵 Лёд (почти без трения): шайба не останавливается. 🟠 Асфальт: трение гасит скорость.

Почему ракеты летают в космосе без топлива?

Запустив ракету и выключив двигатель, она продолжает лететь по инерции — в космосе нет воздуха и почти нет сил. Первый закон Ньютона работает идеально.

Именно поэтому межпланетные зонды летят к Марсу или Юпитеру, включая двигатели лишь для корректировки курса.

Запомни!

- 1-й закон: без силы — нет ускорения. Скорость не меняется ни по модулю, ни по направлению.
- Покой и равномерное прямолинейное движение — физически одно и то же (оба: $a = 0$).
- Инерция — не сила, а свойство тела. Мера инерции — масса.

Простыми словами

Тело само по себе не хочет ничего менять. Если оно стоит — хочет стоять. Если летит — хочет лететь. Чтобы что-то изменить, нужна сила.

Именно поэтому в магазине тяжёлую тележку трудно сдвинуть с места — у неё большая инерция. И трудно остановить разогнавшуюся.

1. Что такое инерция? Приведи 3 примера из жизни.
2. Чем отличается инерциальная система отсчёта от неинерциальной?
3. Могут ли на тело действовать силы и при этом оно двигалось равномерно прямолинейно?

§16 · Физика 9 кл

## Масса тела. Плотность. Сила тяжести

$F_\text{т} = mg$
Масса — мера инертности тела и его гравитационных свойств. Она постоянна везде — и на Земле, и на Луне. Сила тяжести меняется, масса — нет.
⚖️ скалярная величина 📐 [m] = кг 🌍 не зависит от g
§16. Масса тела

### Сила тяжести

$F_\text{т} = mg$

Каждый килограмм массы даёт ~10 Н силы тяжести. Человек 60 кг: $F_\text{т} = 60 \cdot 10 = 600$ Н — именно с такой силой его тянет к Земле. Направлена всегда строго вниз, к центру Земли. Вес кажется разным на разных планетах, потому что $g$ меняется, а масса — нет.

### Плотность → масса

$m = \rho V$

$\rho$ — плотность вещества (кг/м³).
$V$ — объём тела (м³).

Вода: $\rho = 1000\,\text{кг/м}^3$; Воздух: $\rho \approx 1{,}29\,\text{кг/м}^3$

### Аддитивность массы

$m = m_1 + m_2 + \ldots$

Масса кузова + масса двигателя + масса пассажиров = масса автомобиля. Это очевидно, но важен вывод: масса не меняется от того, как расположены части тела и как они движутся. Сжатая пружина весит столько же, сколько разжатая. Разогнанная машина — столько же, что стоящая.

### Масса и инерция

бо́льшая $m$ → бо́льшая инерция

Одинаковая сила — разный эффект. Пнул лёгкий мяч (0,5 кг) и тяжёлый камень (5 кг) с одинаковой силой: мяч улетит в 10 раз быстрее ($a = F/m$). Масса — это «количество инертности»: насколько трудно изменить состояние тела. Большая масса = нужна большая сила для того же ускорения.

### 🎚️ Интерактив: масса → сила тяжести

Масса $m$: 60 кг
$g$ (планета): 10 м/с²
$F_\text{т} = 60 \cdot 10 = 600\,\text{Н}$

### 🪐 Вес человека (60 кг) на разных планетах

Масса всегда 60 кг — одинакова везде. Меняется только сила тяжести!

Масса ≠ Вес

Ты весишь на Луне в 6 раз меньше — но твоя масса не изменилась. Там тебя так же трудно разогнать или остановить.

«Вес» в быту — это сила тяжести в ньютонах. В физике «масса» и «вес» — разные вещи. Масса в кг, вес (сила тяжести) в ньютонах.

Запомни!

- Масса (кг) — скалярная, не зависит от планеты и состояния движения.
- Сила тяжести (Н) — зависит от $g$: на Луне ($g \approx 1{,}6\,\text{м/с}^2$) в 6 раз меньше.
- $F_\text{т} = mg$ — всегда направлена вертикально вниз.

1. Чем отличается масса от силы тяжести?
2. Как изменится сила тяжести тела при полёте на Марс ($g \approx 3{,}7\,\text{м/с}^2$)?
3. Масса тела 5 кг. Какова его сила тяжести на Луне ($g = 1{,}6\,\text{м/с}^2$)?

§17 · Физика 9 кл

## Второй закон Ньютона

$\vec{F}_\text{рез} = m\vec{a}$
Ускорение тела прямо пропорционально равнодействующей сил и обратно пропорционально массе. Направление ускорения совпадает с направлением равнодействующей.
📐 [F] = Н = кг·м/с² ↗️ a ∥ F_рез ⚙️ только в ИСО
§17. Второй закон Ньютона

### Второй закон Ньютона

$\vec{F}_\text{рез} = m\vec{a}$

Хочешь разогнать тело — приложи силу. Чем больше сила → тем больше ускорение. Чем больше масса → тем меньше ускорение при той же силе. $a = F/m$: ускорение прямо пропорционально силе и обратно пропорционально массе. Ускорение направлено туда же, куда и сила — всегда.

### Единица силы — 1 Ньютон

$1\,\text{Н} = 1\,\dfrac{\text{кг}{\cdot}\text{м}}{\text{с}^2}$

1 Н — это сила, которая разгоняет 1 кг на 1 м/с каждую секунду. Яблоко (~100 г) тянет к земле с силой ~1 Н. Ты поднимаешь гантель 1 кг → прикладываешь ~10 Н. Сила — вектор: у неё есть и модуль, и направление. Направление ускорения совпадает с направлением равнодействующей.

### Несколько сил — равнодействующая

$m\vec{a} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \ldots$

На тело тянут вправо с силой 30 Н и влево с трением 10 Н. В закон Ньютона входит не «30» и не «10» по отдельности — только их векторная сумма: 30 − 10 = 20 Н вправо. Именно эта равнодействующая и вызывает ускорение: $a = 20/m$. Сначала сложи все силы — потом подставляй в формулу.

### Горизонтальное движение

$ma = F_\text{тяга} - F_\text{тр}$

Самая частая ситуация в задачах. Двигатель толкает вперёд, трение тормозит — берём разницу: $F_\text{рез} = F_\text{тяга} - F_\text{тр}$. Если $F_\text{тяга} > F_\text{тр}$ → разгон ($a > 0$). Если $F_\text{тяга} = F_\text{тр}$ → равномерно ($a = 0$, 1-й закон!). Если $F_\text{тяга} < F_\text{тр}$ → тормозит ($a < 0$). Все три случая — из одной формулы.

### 🎚️ Интерактив: $a = F / m$

Сила $F$: 20 Н
Масса $m$: 4 кг
$a = 20 / 4 = 5{,}0\,\text{м/с}^2$

### 🎬 Анимация: разгон тела — скорость растёт!

Синяя стрелка = сила $F$, длина = ускорение $a = F/m$. Поменяй ползунки и нажми снова!

Второй закон в жизни
🛹
Скейтборд
Сильнее оттолкнулся → больше $F$ → больше ускорение $a$
🚀
Ракета
Большая тяга + малая масса → огромное ускорение при старте
🏋️
Штанга
Тяжёлая штанга поднимается медленнее: $a = F/m$, большое $m$
🚗
Авто
Мощный двигатель → большая $F$ → быстрый разгон
Почему порожний грузовик разгоняется быстрее гружёного?

Двигатель создаёт одинаковую тягу $F$. Но с грузом масса $m$ больше → ускорение $a = F/m$ меньше.

Именно поэтому гоночные автомобили такие лёгкие — минимальная масса при максимальной мощности двигателя.

Запомни!

- В 2-м законе $F$ — это равнодействующая, а не одна из сил.
- Если $F_\text{рез} = 0$ — получаем 1-й закон: $a = 0$.
- Ускорение всегда параллельно равнодействующей и направлено в ту же сторону.

### Пример задачи

Тело массой $m = 5\,\text{кг}$ тянут силой $F_\text{тяга} = 30\,\text{Н}$. Сила трения $F_\text{тр} = 10\,\text{Н}$. Найдите ускорение.

1. 1Равнодействующая: $F_\text{рез} = F_\text{тяга} - F_\text{тр} = 30 - 10 = 20\,\text{Н}$
2. 22-й закон: $a = F_\text{рез}/m = 20/5 = 4\,\text{м/с}^2$

1. Как изменится ускорение тела, если силу увеличить в 3 раза, а массу уменьшить в 2 раза?
2. Можно ли применять второй закон Ньютона в неинерциальных системах отсчёта?

§18 · Физика 9 кл

## Третий закон Ньютона. Принцип Галилея

$\vec{F}_{1\to2} = -\vec{F}_{2\to1}$
Силы взаимодействия двух тел равны по модулю, противоположны по направлению и приложены к РАЗНЫМ телам. Они не компенсируют друг друга!
⚡ на разных телах ↔️ одна природа 🌍 принцип Галилея
§18. Третий закон Ньютона

### Третий закон Ньютона

$\vec{F}_{1\to2} = -\vec{F}_{2\to1}$

Любое взаимодействие — двустороннее. Ты толкаешь стену — стена толкает тебя с той же силой. Магнит притягивает гвоздь — гвоздь притягивает магнит с равной силой. Земля тянет тебя вниз — ты тянешь Землю вверх. Разница в том, что Земля на это не реагирует — у неё масса в $10^{22}$ раз больше твоей, ускорение исчезающе мало.

### Свойства пары сил

всегда парные

- Равны по модулю
- Противоположны по направлению
- Одинаковой природы
- Приложены к разным телам
- Действуют одновременно

### Принцип относительности Галилея

ИСО ↔ ИСО

В ровно летящем самолёте можно спокойно поиграть в мяч — всё идёт как на земле. Ни один эксперимент внутри ровно движущегося корабля не покажет, движешься ты или стоишь. Это и есть принцип Галилея: физика не различает покой и равномерное прямолинейное движение. Законы одинаковы в любой ИСО.

### Почему лошадь тянет телегу?

разные тела!

Лошадь тянет телегу с силой $F$, телега тянет лошадь с силой $-F$. Но обе силы на разных телах. Телега едет, потому что $F_\text{тяга} > F_\text{тр.телеги}$.

### 📌 Действие и противодействие — визуализация

Третий закон вокруг нас
🚀
Ракета
Газы летят назад → ракета летит вперёд — среда не нужна!
💣
Выстрел пушки
Снаряд вперёд → отдача толкает пушку назад с той же силой
🛶
Вёсла
Толкаешь воду назад → вода толкает лодку вперёд
🧊
Конькобежец
Отталкивается от льда → лёд давит назад с равной силой

### 🎬 Анимация: отдача — два тела разлетаются

🔵 Лёгкое тело летит быстрее. 🟠 Тяжёлое — медленнее. Силы равны, скорости — нет!

Почему ракета летит в вакууме?

Многие думают: «В вакууме ракета не может лететь — не от чего оттолкнуться». Это неверно!

Ракета отталкивается от собственных газов: газы назад — ракета вперёд. Третий закон работает без среды.

Запомни!

- Силы 3-го закона не компенсируют друг друга — они приложены к разным телам.
- Пара сил 3-го закона всегда одинаковой природы (обе гравитационные, или обе упругие).
- Принцип Галилея: физика одинакова в любой инерциальной СО.

1. Почему пара сил третьего закона не уравновешивает тело?
2. Лошадь тянет телегу с силой 500 Н. С какой силой телега действует на лошадь?
3. В чём смысл принципа относительности Галилея?

§19 · Физика 9 кл

## Деформация. Закон Гука

$F_\text{упр} = k|\Delta l|$
Сила упругости пропорциональна деформации. Жёсткость k показывает, насколько сильно тело сопротивляется деформации. Природа сил упругости — электромагнитная.
📏 упругая деформация ⚡ электромагнитная природа 📐 [k] = Н/м
§19. Закон Гука

### Закон Гука

$F_\text{упр} = k|\Delta l|$

Растянешь пружину на 1 см — сила 2 Н. На 2 см — сила 4 Н. На 10 см — 20 Н. Сила пропорциональна деформации: коэффициент пропорциональности $k$ — жёсткость. Чем жёстче пружина (большее $k$), тем больше сила при той же деформации. Направлена всегда обратно растяжению — пружина «хочет» вернуться.

### Знаковая форма

$F_{\text{упр},x} = -kx$

Пружина растянута вправо ($x > 0$) — сила тянет влево ($F_x < 0$). Пружина сжата влево ($x < 0$) — сила толкает вправо ($F_x > 0$). Минус в формуле — не просто знак, а физический смысл: сила всегда против деформации, всегда «возвращает» тело к исходному положению.

### Жёсткость

$k = \dfrac{F}{\Delta l}$

Единица Н/м: сколько ньютонов нужно на метр деформации. Пружина с $k = 500$ Н/м: растяни на 1 см = 0,01 м → сила 5 Н. Пружинные весы: измеряют деформацию, пересчитывают в килограммы именно через $k$. Жёсткость матраса, автомобильной подвески, прыжкового батута — всё описывается одной формулой Гука.

### Виды деформаций

упругая / пластическая

Упругая: убери силу — тело вернулось. Закон Гука работает. Примеры: сжатая пружина, натянутая резинка. Пластическая: убери силу — тело осталось деформированным. Перегнул проволоку — она уже не выпрямится. Предел упругости: слишком сильное растяжение — пружина не возвращается. Для каждого материала он свой.

### 🎚️ Интерактив: $F_\text{упр} = k \cdot \Delta l$

Жёсткость $k$: 200 Н/м
Деформация $\Delta l$: 10 см
$F_\text{упр} = 200 \cdot 0{,}10 = 20{,}0\,\text{Н}$

### 🎬 Пружина: визуализация деформации

Двигай ползунки выше — пружина меняет растяжение. Красная стрелка = сила упругости $F_\text{упр}$.

Закон Гука в жизни
🚗
Подвеска авто
Пружинная подвеска сжимается на ямах → $F=k\Delta l$ гасит удар
⚖️
Пружинные весы
Деформация пружины пропорциональна массе груза
🛏️
Матрас
Пружины деформируются равномерно — каждая по закону Гука
🏹
Лук и стрела
Натягиваем тетиву → копим упругую энергию → стрела летит
Запомни!

- Закон Гука: $F = k|\Delta l|$ — работает только при упругой деформации (не слишком большой).
- Сила упругости противоположна деформации (знак минус в $F_x = -kx$).
- Природа силы упругости — электромагнитная (взаимодействие атомов тела).

Как это понять?

Повесь гирю на пружину — пружина растянется до равновесия: сила тяжести вниз = сила упругости вверх. Чем тяжелее гиря — тем больше растяжение. Именно так работают пружинные весы: шкала откалибрована по закону Гука, каждый лишний килограмм даёт одинаковое дополнительное растяжение.

Предел упругости важен в инженерии: строительные балки, мосты, пружины механизмов — всё рассчитывается так, чтобы деформация оставалась упругой. Нарушишь предел — конструкция не вернётся в исходное состояние, жди аварии.

### Пример задачи

На пружину жёсткостью $k = 500\,\text{Н/м}$ подвесили груз массой $m = 2\,\text{кг}$, $g = 10\,\text{м/с}^2$. Найдите деформацию пружины.

1. 1Сила тяжести груза: $F_\text{т} = mg = 2 \cdot 10 = 20\,\text{Н}$
2. 2При равновесии: $F_\text{упр} = F_\text{т} = 20\,\text{Н}$
3. 3Деформация: $\Delta l = F/k = 20/500 = 0{,}04\,\text{м} = 4\,\text{см}$

§20 · Физика 9 кл

## Силы трения

$F_\text{тр} = \mu N$
Трение скольжения пропорционально силе нормального давления. Коэффициент трения μ зависит от материала и состояния поверхностей, но не от площади контакта.
↔️ против скорости 📐 μ — безразмерный 🛞 качение < скольжение
§20. Силы трения

### Трение скольжения

$F_\text{тр} = \mu N$

$\mu$ — безразмерный коэффициент: чем глаже поверхности, тем меньше. Лёд–металл: $\mu \approx 0{,}03$. Резина–асфальт: $\mu \approx 0{,}7$. $N$ — с какой силой тело давит на поверхность (на горизонтали $N = mg$). Сила трения всегда направлена против скорости скольжения — никогда не разгоняет, только тормозит.

### Трение покоя

$F_\text{тр.пок} \leq \mu_\text{пок} N$

Книга лежит на столе — ты слегка толкаешь, она не двигается. Трение покоя точно «отвечает» на твой толчок, уравновешивая его. Усиливаешь толчок — трение покоя растёт вместе с ним. Но есть предел: $F_\text{тр.пок}^{max} = \mu_\text{пок} N$. Преодолел этот предел — книга тронулась, и дальше работает уже трение скольжения.

### Горизонтальная поверхность

$N = mg;\quad F_\text{тр} = \mu mg$

На горизонтальной поверхности вся тяжесть тела давит на неё перпендикулярно → $N = mg$ → $F_\text{тр} = \mu mg$. Сурприз: большой кубик и маленький кубик из того же материала и с той же массой имеют одинаковое трение — площадь не важна! Важны только материалы ($\mu$) и вес ($N$).

### Трение качения и сопротивление среды

$F_\text{кач} \ll F_\text{скольж}$

Колесо катится — в точке контакта нет скольжения, трение мало. Именно поэтому колесо изобрели: перевезти груз на колёсах в 10–100 раз легче, чем волоком. Шарикоподшипник — то же самое: шарики катятся, не скользят → потери минимальны. В жидкости или воздухе сопротивление растёт со скоростью в квадрате: вдвое быстрее — в четыре раза больше тормозит.

### 🎚️ Интерактив: $F_\text{тр} = \mu \cdot N$

Коэфф. трения $\mu$: 0.30
Масса $m$ (→ $N\!=\!mg$): 10 кг
$F_\text{тр} = 0{,}30 \cdot 100 = 30{,}0\,\text{Н}$

### 🎬 Диаграмма сил трения

Двигай ползунки — стрелки меняют масштаб. $N\!=\!mg$ (вертикаль), $F_\text{тр}\!=\!\mu N$ (горизонталь).

### 📊 Типичные значения коэффициента трения $\mu$

Материалы | μ (скольжение) | μ (покой)
--- | --- | ---
Лёд — металл | 0.03 | 0.05
Дерево — дерево | 0.30 | 0.45
Резина — асфальт | 0.70 | 0.80
Сталь — сталь (смазка) | 0.10 | 0.12
Кожа — асфальт | 0.50 | 0.65

Трение в жизни
👟
Кроссовки
Рифлёная подошва → большой $\mu$ → не скользишь при ходьбе
🚗
Тормоза
$F_\text{торм}=\mu mg$ — чем больше $\mu$, тем короче тормозной путь
❄️
Лыжи
Смазка снижает $\mu$ снега → скорость выше
🔩
Болт и гайка
Трение покоя в резьбе удерживает соединение от раскручивания
Как это понять?

Трение покоя — «умное»: оно подстраивается под приложенную силу. Толкаешь ящик с силой 10 Н — трение покоя ровно 10 Н. Усиливаешь до 30 Н — трение тоже 30 Н. Но как только преодолеешь максимум ($\mu_\text{пок} N$) — ящик трогается, и дальше тебя сопротивляет уже трение скольжения, которое обычно меньше. Именно поэтому сдвинуть тяжёлый предмет труднее, чем поддерживать его движение.

Трение — двуликое: мешает движению (гасит скорость, тратит энергию), но и помогает: без него ты не смог бы ходить, автомобиль — тормозить, болты — держаться в резьбе. Мир без трения — это ад на льду.

Запомни!

- $F_\text{тр} = \mu N$ — трение скольжения; направлено против скорости.
- Трение покоя изменяется от 0 до максимума $\mu_\text{пок} N$.
- Трение не зависит от площади контакта — только от материалов и нормальной силы.

1. Почему трение покоя может быть меньше трения скольжения?
2. Брусок скользит по горизонтальной поверхности. Как направлена сила трения?
3. Почему в подшипниках используют шарики, а не скользящие втулки?

§21 · Физика 9 кл

## Движение тела под действием силы тяжести

$t_\text{пад} = \sqrt{2h/g};\quad v_\text{пад} = \sqrt{2gh}$
Свободное падение, горизонтальный бросок, вертикальный бросок — всё это движение под действием только силы тяжести. Траектория горизонтального броска — парабола.
⬇️ g = 10 м/с² 📐 траектория — парабола ⏱️ время не зависит от v₀
§21. Движение под действием силы тяжести

### Свободное падение (вниз)

$v_y = gt;\quad y = \dfrac{gt^2}{2}$

Уронил камень с высоты 20 м: $t = \sqrt{2 \cdot 20 / 10} = 2$ с. Скорость при ударе: $v = 10 \cdot 2 = 20$ м/с = 72 км/ч. Жёстко! Бросил вверх с той же высоты: время падения то же — только подождёшь дольше. Ускорение $g$ одинаково для пера и молотка (в вакууме). Это доказал Галилей.

### Горизонтальный бросок

$x = v_0 t;\quad y = \dfrac{gt^2}{2}$

Два движения одновременно: по горизонтали — равномерно со скоростью $v_0$, по вертикали — свободное падение без начальной скорости. Они не мешают друг другу! Дальность: чем быстрее бросаешь и чем выше стол, тем дальше улетит. Стрела, вылетевшая горизонтально с коня, и монета, упавшая с той же высоты, ударятся о землю одновременно.

### Бросок вертикально вверх

$v_y = v_0 - gt;\quad y = v_0 t - \dfrac{gt^2}{2}$

Бросил вверх со скоростью 20 м/с: поднимается $t_\text{п} = 20/10 = 2$ с, максимальная высота $H = 20^2/(2 \cdot 10) = 20$ м. Потом падает ещё 2 с — полёт симметричен: подъём = спуск. Скорость при возвращении равна начальной (в вакууме). В верхней точке $v = 0$, но $a = g \ne 0$ — тело не зависает, оно всё время ускоряется вниз.

### Ускорение свободного падения

$g \approx 10\,\text{м/с}^2$

Не зависит от массы, размера или материала — это экспериментальный факт. Перо и молоток падают с одинаковым ускорением в вакууме. На Луне Армстронг это демонстрировал: перо и молоток упали одновременно! Используем $g = 10\,\text{м/с}^2$ для простоты (точнее: 9,8 м/с², разница ~2%).

### 🎚️ Интерактив: свободное падение

Высота $h$: 20 м
$t = \sqrt{2{\cdot}20/10} = 2{,}0\,\text{с};\quad v = \sqrt{2{\cdot}10{\cdot}20} = 20{,}0\,\text{м/с}$
Парабола вокруг нас
⚽
Пас в футболе
Мяч летит по параболе: горизонталь — равномерно, вертикаль — ускорение $g$
💧
Фонтан
Струя воды — парабола. Дальность зависит от скорости и угла броска
🏀
Баскетбол
Точный бросок — правильно рассчитанная парабола траектории
🌋
Вулкан
Выброшенные камни летят по параболе — можно предсказать зону падения

### 🎬 Горизонтальный бросок vs. свободное падение — упадут одновременно!

🔵 Бросок горизонтально. 🟠 Падает вертикально. По вертикали оба движутся одинаково — упадут в одно время!

Галилей vs. интуиция

Интуиция подсказывает: брошенное горизонтально тело падает дольше, ведь оно летит дальше.

На самом деле: горизонтальная скорость не влияет на вертикальное падение. Оба тела — брошенное и просто упавшее с той же высоты — ударятся об землю одновременно. Именно это доказал Галилей, сбрасывая тела с Пизанской башни.

Запомни!

- Время падения $t = \sqrt{2h/g}$ — не зависит от начальной горизонтальной скорости!
- При горизонтальном броске: по горизонтали — равномерно ($v_x = v_0$), по вертикали — равноускоренно без начальной скорости.
- Свободное падение — движение только под действием силы тяжести.

Простыми словами

Если одновременно бросить один мяч горизонтально и уронить другой с той же высоты — они ударятся об пол одновременно. Горизонтальная скорость не влияет на вертикальное падение.

Это потому что горизонтальное и вертикальное движения независимы. Сила тяжести ускоряет только вертикальную составляющую скорости.

1. Что такое свободное падение? При каких условиях падение можно считать свободным?
2. Почему ускорения всех свободно падающих тел одинаковы?
3. Что такое горизонтальная дальность полёта? Как её вычислить?

§22 · Физика 9 кл

## Бросок тела под углом к горизонту

$v_x = v_0\cos\alpha;\quad v_y = v_0\sin\alpha - gt$
Любой бросок — это два независимых движения: равномерное горизонтальное и равноускоренное вертикальное. Меняя угол броска, можно управлять дальностью и высотой.
📐 L = v₀²sin2α/g ⬆️ H = v₀²sin²α/2g 🎯 max L при α=45°
§22. Бросок тела под углом к горизонту

### Составляющие скорости

$v_x = v_0\cos\alpha;\quad v_y = v_0\sin\alpha - gt$

При броске под углом $\alpha$ начальная скорость делится на две: $v_x = v_0\cos\alpha$ — горизонтальная (постоянна весь полёт, сила тяжести не влияет), $v_y = v_0\sin\alpha$ — вертикальная (убывает из-за $g$, в верхней точке = 0). Например, бросок со скоростью 20 м/с под 30°: $v_x = 17{,}3$ м/с, $v_{y0} = 10$ м/с.

### Дальность и высота

$L = \dfrac{v_0^2 \sin 2\alpha}{g};\quad H = \dfrac{v_0^2 \sin^2\!\alpha}{2g}$

Дальность $L = v_0^2\sin 2\alpha / g$: зависит от $\sin 2\alpha$, который максимален при $2\alpha = 90°$, то есть при $\alpha = 45°$ — золотой угол для максимальной дальности. При $\alpha = 30°$ и $\alpha = 60°$ дальность одинакова ($\sin 60° = \sin 120°$). Высота максимальна при $\alpha = 90°$ (бросок строго вверх).

### Полное время полёта

$T = \dfrac{2v_0\sin\alpha}{g}$

Время полёта — только от вертикального движения: тело улетело вверх (время $v_{y0}/g$) и упало обратно (ещё столько же). Горизонтальная скорость на время никак не влияет: хоть 1 м/с, хоть 100 м/с горизонтально — вертикальный цикл тот же. Поэтому формула: $T = 2v_0\sin\alpha / g$.

### Координаты в момент t

$x = v_0\cos\alpha\cdot t$
$y = v_0\sin\alpha\cdot t - \tfrac{gt^2}{2}$

В каждый момент $t$: горизонталь нарастает равномерно ($x = v_0\cos\alpha \cdot t$), вертикаль — по параболе ($y = v_0\sin\alpha \cdot t - gt^2/2$). Подставь $x$ вместо $t$ — получишь уравнение параболы: $y = x\tan\alpha - gx^2/(2v_0^2\cos^2\alpha)$. Вершина параболы — точка где $v_y = 0$, то есть $t = v_0\sin\alpha / g$.

Как это понять?

Представь: ты бросаешь мяч. По горизонтали мяч летит с постоянной скоростью — как будто никакой гравитации нет. По вертикали — он тормозит (летит вверх) и потом разгоняется (падает вниз), как при свободном падении.

Оба движения происходят одновременно и независимо. Поэтому траектория — парабола.

Угол 45° — золотой угол. При нём sin2α = sin90° = 1 — максимально возможная дальность для данной скорости.

### Интерактив: бросок под углом

Угол α: 45°
v₀, м/с: 20 м/с
L = — м | H = — м | T = — с
⚽
Удар по мячу
Футболист выбирает угол удара, чтобы мяч улетел как можно дальше
💦
Фонтан
Струи воды — параболы. Угол сопла определяет форму дуги
🎯
Артиллерия
Угол наклона ствола орудия рассчитывают по формуле дальности
🏀
Баскетбол
Траектория броска — парабола. Игрок интуитивно решает задачу §22
🚀
Ракета
Баллистические ракеты летят по параболе в безвоздушном пространстве
🌧️
Дождь
Капли вылетают из тучи с горизонтальной скоростью ветра + вертикальным ускорением g
Парадокс: почему именно 45°?

$L = v_0^2\sin 2\alpha / g$. Функция $\sin 2\alpha$ максимальна при $2\alpha = 90°$, то есть $\alpha = 45°$.

Но в реальности воздух тормозит мяч — оптимальный угол смещается к 35–40°. Именно поэтому в футболе не бьют «под 45°».

Запомни!

- Горизонтальная и вертикальная составляющие движения независимы.
- Максимальная дальность — при $\alpha = 45°$.
- Траектория при броске под углом — парабола.
- В верхней точке $v_y = 0$, но $v_x = v_0\cos\alpha \neq 0$.

1. Как направлена скорость тела в верхней точке траектории при броске под углом?
2. При каком угле броска дальность максимальна? Почему?
3. Что происходит с горизонтальной составляющей скорости в течение всего полёта?

§23 · Физика 9 кл

## Закон всемирного тяготения

$F = G\dfrac{m_1 m_2}{r^2}$
Каждое тело притягивает каждое другое тело с силой, прямо пропорциональной произведению масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними.
G = 6,67·10⁻¹¹ Н·м²/кг² 🌍 g = GM/R² 🛰️ v₁ = 7,9 км/с
§23. Закон всемирного тяготения

### Закон всемирного тяготения

$F = G\dfrac{m_1 m_2}{r^2}$

Два человека по 60 кг на расстоянии 1 м: $F = 6{,}67 \cdot 10^{-11} \cdot 60 \cdot 60 / 1^2 \approx 2{,}4 \cdot 10^{-7}$ Н — в миллиарды раз меньше нейтона. Для людей гравитация ничтожна. Но для планет ($10^{24}$ кг) — главная сила во Вселенной. $r$ — расстояние между центрами масс, не между поверхностями.

### Ускорение свободного падения

$g = \dfrac{GM}{R^2}$

Сила тяжести = $GMm/R^2 = mg$, значит $g = GM/R^2$ — зависит только от планеты, не от падающего тела. Марс легче Земли и меньше: $g_\text{Марс} = 3{,}7$ м/с². Юпитер огромен: $g_\text{Юп} = 25$ м/с² — тебя «приплющит» в 2,5 раза сильнее. Чем выше над поверхностью (больше $r$) — тем слабее $g$.

### Первая космическая скорость

$v_1 = \sqrt{gR} \approx 7{,}9\,\text{км/с}$

Если пушка на горе выстрелит горизонтально со скоростью 7,9 км/с — ядро начнёт «падать» к Земле, но Земля «убегает» под ней так же быстро. Ядро в вечном падении — орбита! Это минимальная орбитальная скорость: $mg = mv^2/R$ → $v_1 = \sqrt{gR}$. Реальные спутники летят чуть выше — нет атмосферы.

### Вторая космическая скорость

$v_2 = \sqrt{2gR} \approx 11{,}2\,\text{км/с}$

При скорости $v_2 \approx 11{,}2$ км/с тело навсегда покидает Землю — кинетической энергии хватает, чтобы «выбраться» из гравитационной ямы. Именно с такой скоростью стартуют межпланетные зонды. Быстрее $v_2$ — улетаешь к другим планетам или из Солнечной системы. Медленнее — возвращаешься назад.

Как это понять?

Ньютон заметил, что Луна падает на Земли так же, как яблоко — только «мимо». Луна движется так быстро по горизонтали, что, падая вниз, она «промахивается» мимо Земли. Это и есть орбита!

Закон работает между любыми телами: притягиваются две книги на столе, два облака, две галактики. Просто при малых массах сила крошечная.

Ключевой факт: сила падает как $1/r^2$. Увеличь расстояние в 2 раза — сила уменьшится в 4 раза.

### Интерактив: сила тяготения

m₁, кг: 50 кг
m₂, кг: 50 кг
r, м: 5 м
F = — Н
Данные планет Солнечной системы

Планета | M, кг | R, км | g, м/с²
--- | --- | --- | ---
Меркурий | 3,3·10²³ | 2 440 | 3,7
Венера | 4,9·10²⁴ | 6 050 | 8,9
Земля | 6,0·10²⁴ | 6 370 | 9,8
Марс | 6,4·10²³ | 3 390 | 3,7
Юпитер | 1,9·10²⁷ | 71 490 | 25
Луна | 7,3·10²² | 1 737 | 1,6

Почему Луна не падает на Землю?

Луна постоянно «падает» на Землю — сила тяжести притягивает её. Но скорость Луны (~1 км/с) настолько велика, что она успевает «промахнуться»: Земля «уходит из-под ног» так же быстро, как Луна к ней приближается. Это и есть орбита.

Это объяснение принадлежит Ньютону — он придумал «пушку на горе», из которой можно выстрелить так, что ядро облетит Землю.

Запомни!

- $F \propto m_1 m_2$ — вдвое тяжелее тело: сила вдвое больше.
- $F \propto 1/r^2$ — вдвое дальше: сила в четыре раза меньше.
- Первая космическая скорость: $v_1 \approx 7{,}9\,\text{км/с}$.
- $G = 6{,}67 \cdot 10^{-11}\,\text{Н}{\cdot}\text{м}^2/\text{кг}^2$ — запомнить значение!

1. Как изменится сила тяготения, если расстояние между телами уменьшить в 3 раза?
2. Что такое первая космическая скорость и как она связана с $g$ и $R$?
3. Почему ускорение свободного падения на разных планетах разное?

§24 · Физика 9 кл

## Вес тела. Невесомость

$P = m(g \pm a)$
Вес — это сила, с которой тело давит на опору или растягивает подвес. При ускорении тело «тяжелеет» или «легчает». При свободном падении — полная невесомость.
⬆️ лифт вверх: P > mg ⬇️ лифт вниз: P < mg 🕳️ a = g: P = 0
§24. Вес тела. Невесомость

### Вес тела при ускорении

$P = m(g + a)$ — лифт вверх ($a > 0$)
$P = m(g - a)$ — лифт вниз ($a > 0$)

Вес — это не то же самое, что сила тяжести! Вес $\vec{P}$ — сила на опору, сила тяжести $\vec{F}_\text{т} = m\vec{g}$ — всегда одна и та же.

### Невесомость

$a = g \Rightarrow P = 0$

Невесомость — не «нет гравитации», а «нет опоры». Стоишь на полу — пол давит снизу, ты его чувствуешь. Если пол исчезнет (лифт в свободном падении) — давить нечему, весы покажут 0. Твоя масса и $g$ никуда не делись, но опоры нет → веса нет → невесомость. Именно так на МКС: станция постоянно «падает» вокруг Земли.

### Перегрузка

$Q = P/(mg) = (g+a)/g$

$Q = P/(mg)$: сколько «своих весов» ты ощущаешь. В покое $Q = 1$ (норма). Лифт разгоняется вверх: $Q > 1$ — ты тяжелее. Ракетный старт: $Q = 3{-}4$ — тело давит на кресло с утроенной силой. Отрицательная перегрузка ($Q < 0$): лифт падает быстрее $g$ — тебя отрывает от пола. Предел выносимости человека: ~9g кратковременно.

### Пример: лифт

$m = 60\,\text{кг},\; a = 2\,\text{м/с}^2$

Вверх: $P = 60(10+2) = 720\,\text{Н}$ (тяжелее)
Вниз: $P = 60(10-2) = 480\,\text{Н}$ (легче)
Без ускорения: $P = 60\cdot10 = 600\,\text{Н}$

Как это понять?

Ты стоишь в лифте. Лифт трогается вверх — ты чувствуешь, что стал тяжелее. Пол давит на тебя сильнее. Весы покажут больше. Это и есть увеличение веса: $P = m(g + a)$.

Лифт едет вниз с ускорением — ты чувствуешь, что стал легче. Если трос обрежут (свободное падение) — ты взлетишь к потолку. Вес = 0. Невесомость!

Ключевое: вес и сила тяжести — разные вещи. Сила тяжести $mg$ всегда одна и та же. Вес зависит от ускорения.

### Интерактив: лифт

Масса m, кг: 60 кг
Ускорение a: 0 м/с²
P = — Н | F_т = — Н
🚀
Старт ракеты
Космонавт при старте испытывает 3–4g. Тело весит в 3–4 раза больше нормы
🛗
Лифт
Каждый день испытываешь перегрузку/невесомость при разгоне/торможении
✈️
Самолёт
В «яме» воздушной ямы самолёт резко снижается — пассажиры чувствуют невесомость
🎢
Американские горки
На верхней части петли — отрицательная перегрузка. Кровь приливает к голове
🌌
МКС
Станция находится в постоянном свободном падении вокруг Земли — отсюда невесомость
🏋️
Прыжок с парашютом
Первые секунды свободного падения — невесомость. Парашют раскрылся — перегрузка
МКС — почему невесомость?

Многие думают: на МКС невесомость, потому что «далеко от Земли» и нет гравитации. Но на высоте 400 км гравитация составляет ~88% от земной! Невесомость — потому что станция постоянно падает вокруг Земли. Это и есть орбитальный полёт.

Космонавты — парашютисты, которые никогда не приземляются.

Запомни!

- Вес $P \neq$ сила тяжести $F_\text{т} = mg$. Вес зависит от ускорения, сила тяжести — нет.
- Ускорение вверх → $P = m(g+a)$ — перегрузка.
- Ускорение вниз → $P = m(g-a)$ — облегчение.
- $a = g$ (свободное падение) → $P = 0$ — невесомость.

1. Чем отличается вес тела от силы тяжести?
2. Почему космонавты на орбите испытывают невесомость, хотя гравитация там есть?
3. Человек массой $m = 70\,\text{кг}$ в лифте. Лифт движется вниз с $a = 3\,\text{м/с}^2$. Каков его вес?

§25 · Физика 9 кл

## Условия равновесия тел. Момент силы

$M = F \cdot l;\quad \sum \vec{F} = \vec{0};\quad \sum M = 0$
Тело в равновесии — если нет ни поступательного, ни вращательного движения. Момент силы — это «вращательный эффект» силы. Чем длиннее плечо, тем легче повернуть.
📐 [M] = Н·м ⚖️ ΣM = 0 ↔️ ΣF = 0
§25. Момент силы. Условия равновесия

### Момент силы

$M = F \cdot l$

$F$ — сила (Н), $l$ — плечо (м) — перпендикуляр от оси вращения до линии действия силы (не до точки приложения!). Тот же болт, та же сила — но длинный ключ даёт больший момент → легче открутить. Удвоил плечо — удвоил момент при той же силе. $[M] = \text{Н}{\cdot}\text{м}$.

### Знак момента

$M = {+}F l$ или $M = {-}F l$

Чтобы условие равновесия $\sum M = 0$ работало, моментам нужен знак. Договоримся: «+» — против часовой стрелки (правило буравчика: палец вверх — ладонь против часовой). «−» — по часовой. Один груз на качелях «крутит» в одну сторону (+), второй — в другую (−). Баланс: суммарный момент = 0.

### 1-е условие равновесия (поступат.)

$\vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \ldots = \vec{0}$

Книга на столе: сила тяжести вниз + реакция стола вверх = 0 → покой. Люстра на потолке: тяжесть вниз + натяжение троса вверх = 0 → висит. Это условие не допускает ускорения: ни влево-вправо, ни вперёд-назад, ни вверх-вниз. Нарушишь — тело начнёт лететь.

### 2-е условие равновесия (вращат.)

$M_1 + M_2 + \ldots = 0$

Даже если все силы уравновешены (1-е условие), тело может вращаться — если их моменты не компенсируют друг друга. Кран: трос тянет вниз слева (момент +), противовес давит вниз справа (момент −). Сумма = 0 → не вращается. Нарушь баланс моментов — кран начнёт заваливаться.

### 🎚️ Интерактив: балансирующие качели

Двигай плечи — качели наклоняются! Найди баланс: $M_1 = M_2$

Плечо $l_1$ (синий, 4 кг): 0.8 м
Плечо $l_2$ (оранж., 6 кг): 0.6 м
M₁ = 32 Н·м | M₂ = 36 Н·м — наклон вправо
Момент силы в жизни
🔧
Гаечный ключ
Длинная ручка = большое плечо → меньше силы нужно для того же момента
🚪
Ручка двери
Ручка у края: $l$ велико → легко открыть. Толкать у петель: $l$ мало → очень тяжело!
🏗️
Башенный кран
Противовес сзади уравновешивает груз спереди: $M_1 = M_2$
🎡
Качели
Тяжёлый ребёнок сидит ближе к центру, лёгкий — дальше. $F_1 l_1 = F_2 l_2$
Почему трудно открыть дверь, толкая у петель?

Попробуй открыть дверь, нажав вблизи петель — почти невозможно! Плечо $l$ очень маленькое, значит момент $M = F \cdot l$ тоже мал при той же силе.

Поэтому ручки всегда ставят максимально далеко от петель — чтобы создавать большой момент небольшой силой.

Как найти плечо «косой» силы?

Плечо — это перпендикуляр из оси вращения на линию действия силы (не на саму стрелку). Если сила приложена под углом, плечо $l = d \cdot \sin\alpha$, где $d$ — расстояние от оси до точки приложения.

Как это понять?

Представь качели. Слева сел тяжёлый человек (60 кг × 1 м = 60 Н·м), справа лёгкий ребёнок (30 кг). Чтобы сбалансировать — ребёнок должен сесть на 2 м от оси: $30 \cdot 2 = 60$ Н·м. Моменты равны — качели в равновесии. Это и есть условие $\sum M = 0$.

Ключевая ловушка: плечо — это не расстояние до точки приложения силы, а перпендикуляр до линии действия. Если сила приложена под углом — плечо короче, чем кажется. Именно поэтому «косая» сила создаёт меньший момент, чем «прямая» та же сила на том же расстоянии.

Запомни!

- Два условия равновесия: ΣF = 0 (нет поступательного движения) и ΣM = 0 (нет вращения).
- Плечо — это перпендикуляр от оси до линии действия силы, а не до точки приложения!
- $[M] = \text{Н}{\cdot}\text{м}$ — единица момента силы.

1. Что называется плечом силы? Как его найти?
2. Запиши оба условия равновесия тела.
3. Почему длинный гаечный ключ эффективнее короткого?

§26 · Физика 9 кл

## Простые механизмы. Рычаги. Блоки

$F_1 \cdot l_1 = F_2 \cdot l_2;\quad \dfrac{F_2}{F_1} = \dfrac{l_1}{l_2}$
Рычаг — это «умножитель силы»: выигрываешь в силе во столько раз, во сколько одно плечо длиннее другого. Но в расстоянии ты проигрываешь ровно столько же!
⚖️ F₁l₁ = F₂l₂ 🔄 блок меняет направление 📏 выигрыш = l₁/l₂
§26. Рычаги и блоки

### Условие равновесия рычага

$F_1 \cdot l_1 = F_2 \cdot l_2$

Плечо нагрузки 0,2 м, плечо твоей силы 1 м → выигрыш = 5: тянешь с силой 100 Н, а поднимаешь груз 500 Н. Но! Твоя рука переместится в 5 раз дальше груза — работа не меняется ($F_1 \cdot s_1 = F_2 \cdot s_2$). Рычаг не создаёт энергию — только перераспределяет силу и расстояние.

### Рычаг 1-го рода

ось между силами

Точка опоры — посередине, силы — по разные стороны. Качели: один толкает вниз слева, другой справа — точка опоры в центре. Ножницы: два лезвия, ось посередине. Лом под камень: камень давит вниз с одной стороны, ты тянешь вниз с другой — оба «вниз», но по разные стороны оси → противоположные моменты.

### Неподвижный блок

выигрыш = 1

Ось блока закреплена. Верёвка меняет направление: тянешь вниз — груз идёт вверх. В силе выигрыша нет: сила нужна равная весу груза. Но удобство огромное: легче тянуть вниз (своим весом), чем поднимать вверх с напряжением мышц. Именно поэтому блок на колодце.

### Подвижный блок

выигрыш = 2 (в силе)

Ось блока движется вместе с грузом — верёвка идёт сразу с двух сторон. Груз 100 кг = 1000 Н, а тянешь всего 500 Н — вдвое легче! Но верёвку надо вытянуть на 2 метра, чтобы груз поднялся на 1 метр. Работа та же: $500 \cdot 2 = 1000 \cdot 1$. «Золотое правило»: что выиграл в силе — проиграл в расстоянии.

### 🎚️ Интерактив: сила нужна меньше при длинном плече!

Плечо нагрузки $l_2$: 0.3 м
Плечо силы $l_1$: 0.9 м
F = 167 Н | Выигрыш = 3.0× | Нагрузка 50 кг

Увеличивай $l_1$ — стрелка силы уменьшается. Чем длиннее плечо, тем меньше нужно сил!

Рычаги вокруг нас
✂️
Ножницы
Рычаг 1-го рода. Длинные ручки и короткие лезвия — выигрыш в силе для резки
🚜
Лом под камень
Маленькое усилие на длинном конце — огромная сила на коротком конце у камня
🪣
Колодец
Блок на колодце меняет направление силы — тянуть вниз удобнее, чем поднимать вверх
🏗️
Строительный кран
Подвижные блоки дают выигрыш в силе, позволяя поднимать тонны
«Золотое правило механики»

Любой механизм — рычаг, блок, наклонная плоскость — даёт выигрыш либо в силе, либо в расстоянии, но никогда — в работе.

Выиграл в силе в $n$ раз → проиграл в пути в $n$ раз. Работа: $A = F \cdot s$ — остаётся той же.

Как это понять?

Архимед говорил: «Дайте мне точку опоры — и я переверну Землю». Рычаг с достаточно длинным плечом может создать любую силу. Но для этого нужно двигать ручку очень далеко. Поднять Землю на 1 нанометр потребовало бы, чтобы ты перемещал свою руку на сотни световых лет.

Именно это и есть «золотое правило механики»: выигрываешь в силе — проигрываешь в пути. Работа не меняется. Поэтому вечного двигателя не бывает — любой механизм лишь перераспределяет, но не создаёт энергию.

Запомни!

- Рычаг: $F_1 l_1 = F_2 l_2$ — момент сил с обеих сторон равен (равновесие).
- Неподвижный блок — меняет направление, выигрыш = 1.
- Подвижный блок — выигрыш = 2 (сила в 2 раза меньше, путь в 2 раза длиннее).

1. Сформулируй условие равновесия рычага.
2. Чем отличается подвижный блок от неподвижного?
3. Как получить выигрыш в силе 4 раза с помощью блоков?

§27 · Физика 9 кл

## Наклонная плоскость. «Золотое правило». КПД

$\dfrac{F_2}{F} = \dfrac{h}{l};\quad \eta = \dfrac{A_\text{пол}}{A_\text{затр}} \cdot 100\%$
Наклонная плоскость уменьшает нужную силу, но удлиняет путь. КПД показывает, какую долю работы мы используем с пользой — всегда меньше 100% из-за трения.
📏 выигрыш = l/h ⚡ КПД < 100% 🔄 золотое правило
§27. Наклонная плоскость и КПД

### Наклонная плоскость (без трения)

$F_2 = F \cdot \dfrac{h}{l}$

$F = mg$ — вес груза, $l$ — длина плоскости, $h$ — высота.

Выигрыш в силе: $l/h$ (во столько раз меньше нужная сила).

### КПД механизма

$\eta = \dfrac{A_\text{полез}}{A_\text{затрач}} \cdot 100\%$

$A_\text{полез} = mgh$ — работа против силы тяжести.

$A_\text{затрач} = F_2 \cdot l$ — работа приложенной силы.

Всегда: $\eta < 100\%$

### «Золотое правило механики»

$A_\text{затрач} \geq A_\text{полез}$

Ни один механизм не даёт выигрыша в работе. Выигрываешь в силе — проигрываешь в пути.

$F_2 \cdot l = mg \cdot h$ — идеально (без трения)

### Силы на наклонной плоскости

$N = mg\cos\alpha;\quad F_\text{тр} = \mu N$

Компонента вдоль плоскости: $mg\sin\alpha$ (надо преодолеть, чтобы двигаться).

С трением: $F_2 = mg\sin\alpha + \mu mg\cos\alpha$

### 🎚️ Интерактив: угол наклона → нужная сила

Угол $\alpha$: 20°
Масса $m$: 20 кг
F = 68 Н (против 200 Н напрямую) | Выигрыш = 2.9×

Меньше угол = больше выигрыш в силе. Но путь становится длиннее!

### 📊 КПД: полезная и затраченная работа

Коэфф. трения $\mu$: 0.15
КПД = 79% | Потери на трение: 21%

↑ μ = больше трение = меньше КПД. При $\mu = 0$ (идеальный механизм) КПД = 100%.

Наклонная плоскость в жизни
♿
Пандус
Длинный пологий пандус = большой $l/h$ → инвалидное кресло закатить легче
🔩
Шуруп
Резьба — это наклонная плоскость, «закрученная» вокруг стержня. $l/h$ очень велико
🪓
Топор / клин
Острый клин = малый угол α → огромный выигрыш в силе при ударе
🛣️
Серпантин дорог
Горный серпантин — очень длинная «наклонная плоскость» с малым углом
Почему КПД не бывает 100%?

Всегда есть трение в механизмах: блоки, подшипники, поверхности — всё это «ворует» часть работы и превращает её в тепло.

КПД 80-90% — хороший механизм. КПД < 50% — плохой. Задача инженеров — смазывать, полировать, выбирать материалы с малым $\mu$.

Запомни!

- Выигрыш наклонной плоскости = $l/h$ (длина/высота).
- КПД: $\eta = \frac{A_\text{пол}}{A_\text{затр}} \cdot 100\% < 100\%$ всегда (из-за трения).
- «Золотое правило»: выигрываешь в силе в $n$ раз → проигрываешь в пути в $n$ раз.

1. В чём состоит «золотое правило механики»?
2. Что такое КПД? Может ли он быть больше 100%?
3. Во сколько раз наклонная плоскость $l = 5\,\text{м}$, $h = 1\,\text{м}$ уменьшает нужную силу?

§28 · Физика 9 кл

## Центр тяжести. Виды равновесия

$x_c = \dfrac{\sum m_i x_i}{\sum m_i};\quad y_c = \dfrac{\sum m_i y_i}{\sum m_i}$
Центр тяжести — точка, через которую проходит равнодействующая всех сил тяжести, действующих на тело. Устойчивость тела зависит от положения центра тяжести и площади опоры.
⬆️ устойчивое: ЦТ снизу ↕️ неустойчивое: ЦТ сверху 🔄 безразличное: ЦТ = ось
§28. Центр тяжести. Виды равновесия

### Центр тяжести (ЦТ)

$x_c = \dfrac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2}$

Точка, в которой можно считать сосредоточенной всю массу тела при вычислении действия силы тяжести.

### Устойчивое равновесие

ЦТ — ниже точки опоры

При отклонении тело возвращается в исходное положение. Пример: маятник, кресло-качалка.

### Неустойчивое равновесие

ЦТ — выше точки опоры

При малейшем отклонении тело падает. Пример: карандаш на острие, пирамида вверх ногами.

### Безразличное равновесие

ЦТ = ось вращения

При отклонении тело остаётся в новом положении. Пример: однородный шар, колесо.

Как это понять?

Представь неваляшку. Как бы ты её ни толкнул — она возвращается. Потому что её центр тяжести очень низко (снизу тяжёлый груз). Это устойчивое равновесие.

А теперь попробуй поставить карандаш на острие. Почти невозможно — центр тяжести выше точки опоры. Малейшее отклонение — и он падает. Неустойчивое равновесие.

Правило устойчивости: чем ниже ЦТ и шире площадь опоры, тем устойчивее тело. Поэтому у грузовика широкая колея и низкий центр масс.

### Интерактив: виды равновесия

Тип: Устойчивое
Угол отклонения: 0°
Устойчивое равновесие — тело вернётся!
🏗️
Башенный кран
Тяжёлый противовес сзади — снижает ЦТ и не даёт упасть вперёд
🚗
Гоночный автомобиль
Очень низкий кузов — центр тяжести у земли для максимальной устойчивости в поворотах
⛵
Парусник
Тяжёлый киль снизу — устойчивость. Без киля парусник бы перевернулся
🤸
Гимнаст
Стойка на руках — неустойчивое равновесие. Мышцы постоянно корректируют ЦТ
🪆
Неваляшка
ЦТ очень низко — устойчивое равновесие. Сколько ни толкай — встанет
🚜
Трактор
Широкие гусеницы и низкий ЦТ — не перевернётся на склоне
Пизанская башня не падает — почему?

Башня накренена под углом ~4°. Казалось бы — должна упасть. Но центр тяжести башни всё ещё находится внутри площади опоры (фундамента). Как только ЦТ выйдет за её границу — башня упадёт.

Реставраторы укрепляли фундамент с более высокой стороны, чтобы чуть «выпрямить» башню и вернуть ЦТ подальше от края.

Запомни!

- ЦТ ниже опоры → устойчивое равновесие.
- ЦТ выше опоры → неустойчивое.
- ЦТ = ось → безразличное.
- Тело устойчиво, если вертикаль через ЦТ проходит внутри площади опоры.

1. Почему гоночные автомобили делают с низким центром тяжести?
2. Назовите пример устойчивого, неустойчивого и безразличного равновесия из жизни.
3. При каком условии тело, стоящее на наклонной поверхности, не опрокидывается?

§29 · Физика 9 кл

## Закон Архимеда. Плавание тел

$F_\text{выт} = \rho_\text{ж} g V_\text{погр}$
На тело, погружённое в жидкость или газ, действует выталкивающая сила, равная весу вытесненной жидкости. Тело плавает, если его средняя плотность меньше плотности жидкости.
🌊 [F_выт] = Н ⬆️ плавает: ρ_тела < ρ_жидк ⬇️ тонет: ρ_тела > ρ_жидк
§29. Закон Архимеда. Плавание тел

### Закон Архимеда

$F_\text{выт} = \rho_\text{ж} g V_\text{погр}$

$\rho_\text{ж}$ — плотность жидкости, $V_\text{погр}$ — объём погружённой части тела. Направление — вертикально вверх.

### Условие плавания

$F_\text{выт} = mg \Leftrightarrow \rho_\text{тела} \leq \rho_\text{жидк}$

Тело плавает, когда выталкивающая сила уравновешивает силу тяжести. При этом часть тела может быть над водой.

### Доля погружённой части

$\dfrac{V_\text{погр}}{V_\text{тела}} = \dfrac{\rho_\text{тела}}{\rho_\text{жидк}}$

Лёд ($\rho = 900\,\text{кг/м}^3$) в воде ($\rho = 1000$) погружён на $900/1000 = 90\%$. Над водой торчит лишь 10%.

### Тонет или плывёт?

$\rho_\text{т} < \rho_\text{ж}$ — плавает
$\rho_\text{т} > \rho_\text{ж}$ — тонет
$\rho_\text{т} = \rho_\text{ж}$ — нейтральный подъём
Как это понять?

Почему деревянный кубик плавает, а стальной тонет? Дерево легче воды ($\rho_\text{дерева} \approx 600\,\text{кг/м}^3 < 1000$). Стальной кубик тяжелее воды ($\rho_\text{ст} \approx 7800 > 1000$).

Но стальной корабль плавает! Потому что внутри много воздуха. Средняя плотность корабля (металл + воздух внутри) меньше воды.

Секрет Архимеда: не важно, из чего тело. Важно, сколько воды оно вытесняет. Выталкивающая сила = вес этой воды.

### Интерактив: тело в жидкости

ρ тела, кг/м³: 700 кг/м³
V тела, дм³: 5 дм³
F_выт = — Н | F_т = — Н
🧊
Айсберг
90% под водой, 10% видно. ρ льда = 900, ρ воды = 1000
🐟
Рыбий пузырь
Рыба сжимает/расширяет пузырь, меняя свою среднюю плотность
🚢
Корабль
Сталь + воздух. Средняя плотность меньше воды. Грузишь — погружается глубже
🎈
Воздушный шар
Горячий воздух легче холодного — выталкивающая сила в воздухе!
🏊
Мёртвое море
Солёность 30% — ρ = 1230 кг/м³. Человек всплывает сам
🔋
Ареометр
Прибор для измерения плотности: плавает, по шкале читаешь ρ жидкости
Как подводная лодка ныряет и всплывает?

У подводной лодки есть балластные цистерны. Чтобы нырнуть — заполняют водой (средняя плотность растёт, $\rho_\text{ср} > \rho_\text{воды}$, лодка тонет). Чтобы всплыть — продувают сжатым воздухом (выгоняют воду, $\rho_\text{ср} < \rho_\text{воды}$, лодка всплывает).

Это прямое применение закона Архимеда и условия плавания!

Запомни!

- $F_\text{выт} = \rho_\text{ж} g V_\text{погр}$ — зависит от плотности жидкости и объёма погружённой части.
- Тело плавает при $\rho_\text{тела} \leq \rho_\text{жидкости}$.
- Лёд в воде: 10% над водой — потому что $\rho_\text{льда}/\rho_\text{воды} = 0{,}9$.
- $F_\text{выт}$ не зависит от формы тела и глубины погружения (только от $V_\text{погр}$).

1. От чего зависит архимедова сила? Как изменится $F_\text{выт}$, если тело перенести из воды в ртуть?
2. Почему стальной корабль плавает, а стальной гвоздь тонет?
3. Определите, потонет или всплывёт тело плотностью $1200\,\text{кг/м}^3$ в воде.

§30 · Физика 9 кл

## Плавание судов. Воздухоплавание

$\langle\rho\rangle = \dfrac{m_\text{судна}}{V_\text{судна}} < \rho_\text{воды}$
Корабль плавает, потому что его средняя плотность (вместе с воздухом внутри) меньше воды. Воздушный шар летит, потому что вытесненный им воздух тяжелее шара с газом.
⚓ грузоподъёмность судна 🎈 F_выт воздуха 📏 осадка корабля
§30. Плавание судов. Воздухоплавание

### Условие плавания судна

$\langle\rho\rangle_\text{судна} = \dfrac{m_\text{т} + m_\text{груза}}{V_\text{корпуса}} < \rho_\text{воды}$

Средняя плотность = общая масса / полный объём корпуса. Пока $\langle\rho\rangle < 1000\,\text{кг/м}^3$ — судно плавает.

### Грузоподъёмность судна

$m_\text{груз}^{max} = \rho_\text{ж} V_\text{корп} - m_\text{судна}$

Максимальный груз — когда весь объём корпуса под водой. Ватерлиния не должна превышать борт.

### Воздушный шар

$F_\text{подъём} = (\rho_\text{возд} - \rho_\text{газа})gV - mg_\text{обол}$

Шар поднимается, если подъёмная сила превышает вес оболочки и корзины. Горячий воздух ($\rho \approx 0{,}9\,\text{кг/м}^3$) легче холодного ($\rho = 1{,}29$).

### Линия Плимсоля

метка на борту судна

Обязательная метка загрузки. Показывает максимально допустимую осадку в разных морях (солёная вода тяжелее пресной → корабль сидит выше).

Как это понять?

Возьми пустую жестяную банку. Она плавает — металл + воздух внутри = маленькая средняя плотность. Теперь наполни её водой — банка тонет.

Корабль работает так же. Огромный стальной корпус — как банка, только очень большая. Внутри воздух, каюты, машины. Средняя плотность корабля с воздухом — меньше воды. Загружаешь груз — осадка увеличивается.

Воздушный шар — такой же принцип, только в воздухе. Лёгкий газ (водород, гелий, горячий воздух) вытесняет тяжёлый атмосферный воздух. Разница в весе и есть подъёмная сила.

### Интерактив: корабль

Масса судна, т: 20 т
Груз, т: 5 т
Объём корпуса, м³: 40 м³
Осадка: — | ρ_ср = — кг/м³
⛴️
Танкер
Гружёный — глубоко сидит. Пустой — высоко. Средняя плотность изменилась
🎈
Монгольфьер
Первый воздушный шар (1783). Горячий воздух внутри — легче холодного снаружи
🛸
Дирижабль
Гелий внутри — безопаснее водорода. Подъём = вытесненный воздух тяжелее гелия
🌊
Осадка в морях
В солёном море (ρ=1025) судно сидит выше, чем в пресной воде (ρ=1000)
🏗️
Подъём затонувших кораблей
Закачивают воздух в корпус — вытесняют воду, уменьшают среднюю плотность
🐙
Кальмар
Nautilus (наутилус) — моллюск с камерой. Заполняет газом/жидкостью → регулирует плавучесть
Почему в солёной воде корабль «выше»?

Морская вода плотнее пресной ($\rho \approx 1025$ vs $1000\,\text{кг/м}^3$). Это значит, что для той же архимедовой силы нужен меньший объём погружённой части. Корабль «всплывает» немного выше при переходе из реки в море.

Именно поэтому на кораблях рисуют несколько линий Плимсоля: для Атлантики, для тропиков (горячая вода менее плотная), для пресных рек.

Запомни!

- Судно плавает, если $\langle\rho\rangle_\text{судна} < \rho_\text{воды}$.
- Загружая груз, увеличиваем $\langle\rho\rangle$ → судно глубже погружается.
- Воздушный шар поднимается, если $(\rho_\text{возд} - \rho_\text{газа}) \cdot gV > mg_\text{оболочки}$.
- В солёной воде судно сидит выше, чем в пресной.

1. Почему стальной корабль плавает, хотя сталь тяжелее воды?
2. Как изменится осадка судна при переходе из моря в реку?
3. Какой газ легче заполняет воздушный шар: водород, гелий или горячий воздух? В чём их отличия?

§31 · Физика 9 кл

## Импульс тела. Импульс системы тел

$\vec{p} = m\vec{v}$
Импульс — это «количество движения»: учитывает и массу, и скорость сразу.
Изменить импульс может только внешняя сила, и только она.
⚡ связь с 2-м законом Ньютона 📐 [p] = кг·м/с ↗️ векторная величина
§31. Импульс тела. Импульс системы тел

### Импульс тела

$\vec{p} = m\vec{v}$

Векторная величина. Направление совпадает с $\vec{v}$.

Единица: $[p] = \text{кг}{\cdot}\text{м/с}$

### Изменение импульса

$\Delta\vec{p} = \vec{F}\,\Delta t$

Изменение импульса тела равно импульсу силы $\vec{F}\,\Delta t$.

Также: $\dfrac{\Delta\vec{p}}{\Delta t} = \vec{F}$ — 2-й закон Ньютона.

### Импульс системы тел

$\vec{p}_{\text{сист}} = \vec{p}_1 + \vec{p}_2 + \ldots$

Внутренние силы — взаимодействие тел внутри системы.
Внешние силы — действующие на систему снаружи.

### Закон изменения импульса системы

$\Delta\vec{p}_{\text{сист}} = \vec{F}_{\text{внешн}}\,\Delta t$

Изменение импульса системы равно импульсу результирующей внешних сил.

Внутренние силы импульс системы не изменяют.

### 📌 Импульс — вектор вдоль скорости

### 💥 Удар о стену: почему |Δp| = m(v₁+v₂)

### 🎚️ Интерактив: p = mv — меняй параметры

Масса $m$: 5 кг
Скорость $v$: 10 м/с
p = 5 × 10 = 50 кг·м/с

💡 Попробуй: грузовик m=20 кг, v=30 м/с vs велосипедист m=2 кг, v=5 м/с — у кого импульс больше?

Запомни!

- Импульс — вектор. Нельзя просто складывать числа, если тела движутся в разные стороны — нужно учитывать знак проекции на ось.
- $\Delta\vec{p} = \vec{F}\,\Delta t$ — это и есть 2-й закон Ньютона в другой форме записи.
- Внутренние силы не меняют импульс системы — только внешние.

Частые ошибки

- Путают импульс тела $p = mv$ с кинетической энергией $E_k = mv^2/2$ — это разные вещи.
- При ударе мяча о стену берут $|\Delta p| = mv_2 - mv_1$ — забывают, что скорости противоположны, надо $m(v_2 + v_1)$.
- Считают, что большая сила = большое изменение импульса. На самом деле важно произведение $F \cdot \Delta t$.

🧑‍🎓 Как я это понял

Зачем импульс, если есть скорость?
Грузовик едет 5 км/ч, велосипедист — тоже 5 км/ч. Но остановить грузовик в сто раз сложнее. Дело не только в скорости — важна ещё и масса. Импульс $p = mv$ учитывает сразу и то, и другое.

Почему машины «мнутся» и почему это хорошо?
Когда машина бьётся, скорость меняется за какое-то время: $\Delta p = F \cdot \Delta t$. Суммарное изменение импульса фиксировано. Но если кузов мнётся — время удара $\Delta t$ увеличивается → сила $F$ уменьшается. Именно поэтому делают «зоны деформации» и подушки безопасности: не жалеют машину, зато спасают водителя.

Почему каратист бьёт резко, а не медленно?
При резком ударе время контакта $\Delta t$ мизерное. Из $\Delta p = F \cdot \Delta t$ следует $F = \Delta p / \Delta t$. Чем меньше $\Delta t$ — тем больше $F$. Одно и то же изменение импульса за 0,001 с даёт силу, которая за 1 с выглядела бы смешно.

Пример решения задачи

### Мяч падает на пол и отскакивает

Мяч массой $m = 0{,}10\,\text{кг}$ падает с высоты $h = 0{,}20\,\text{м}$ на горизонтальный пол и отскакивает (упруго). Время удара $\Delta t = 5{,}0 \cdot 10^{-3}\,\text{с}$, $g = 10\,\text{м/с}^2$. Найдите среднюю силу удара.

Дано | $m = 0{,}10\,\text{кг};\quad h = 0{,}20\,\text{м}$
| $\Delta t = 5{,}0\cdot10^{-3}\,\text{с};\quad g = 10\,\text{м/с}^2$
Найти | $F_{\text{пол}} — ?$

1. 1 Ось $Oy$ — вверх. Находим скорость мяча перед ударом:
   \[v_1 = \sqrt{2gh} = \sqrt{2\cdot10\cdot0{,}20} = 2\,\text{м/с}\quad\text{(направлена вниз, проекция } {-}2\text{ м/с)}\]
2. 2 При упругом отскоке скорость сохраняется по модулю: $v_2 = 2\,\text{м/с}$ (вверх, проекция $+2$ м/с).
   Изменение импульса (по модулю):\[|\Delta p| = m\cdot|v_2 - (-v_1)| = m(v_2+v_1) = 0{,}10\cdot4 = 0{,}40\,\text{кг}{\cdot}\text{м/с}\]
3. 3 По 2-му закону Ньютона: $\vec{F}_{\text{рез}}\,\Delta t = \Delta\vec{p}$, откуда средняя сила пола на мяч:\[F_{\text{пол}} = \frac{|\Delta p|}{\Delta t} + mg = \frac{0{,}40}{5{,}0\cdot10^{-3}} + 1 \approx 81\,\text{Н}\]
4. 4 По 3-му закону Ньютона сила мяча на пол равна $81\,\text{Н}$ — это в 81 раз больше веса мяча!

Контрольные вопросы

1. Что такое импульс тела? Как он направлен? В каких единицах измеряется?
2. Как можно изменить импульс тела? Почему это изменение направлено именно так?
3. Что называют механической системой? Что такое импульс системы тел?
4. Какие силы называют внутренними? Какие — внешними?
5. Какие силы могут изменить импульс механической системы? Почему?

§32 · Физика 9 кл

## Закон сохранения импульса. Реактивное движение

$\vec{p}_{\text{сист}} = \text{const}$
Если внешние силы на систему не действуют — суммарный импульс не меняется.
Это объясняет и удары, и ракеты, и прыжки с лодки.
🚀 реактивное движение 💥 удар тел 🔒 замкнутая система
§32. Закон сохранения импульса. Реактивное движение

### Закон сохранения импульса

$\vec{p}_{\text{сист}} = \text{const}$

Импульс системы сохраняется, если результирующая внешних сил равна нулю.

Замкнутая система: $\vec{F}_{\text{внешн}} = 0$.

### Применимость ЗСИ

$\vec{F}_{\text{внешн}} = 0 \;\Rightarrow\; \vec{p}=\text{const}$

ЗСИ применим к незамкнутым системам, если:

- внешние силы малы по сравнению с внутренними;
- проекция внешних сил на направление движения равна нулю.

### Абсолютно неупругий удар

$m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2 = (m_1{+}m_2)\vec{v}$

После удара тела движутся вместе с одинаковой скоростью $\vec{v}$.

### Реактивное движение

$m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2 = 0$

Если система покоилась ($p_0 = 0$), после отделения части тело и отделившаяся часть движутся в противоположных направлениях.

Пушка на платформе, ракета, прыжок с лодки.

### Схема абсолютно неупругого удара (проекция на ось $Ox$)

Импульс до удара = Импульс после: $m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1{+}m_2)v$

### 🚀 Ракета: реактивное движение в вакууме

### 🧊 Лёд: суммарный импульс = 0

Запомни!

- ЗСИ работает только если результирующая внешних сил = 0. Трение, сила тяжести, реакция опоры — это всё внешние силы!
- При ударе внутренние силы огромны (тысячи ньютонов), а внешние малы → ЗСИ применим даже для незамкнутой системы.
- Ось выбирай сам. Всегда задавай положительное направление до составления уравнения.

Частые ошибки

- Забывают знак: если вагоны едут навстречу, один из $v$ — отрицательный по выбранной оси.
- Путают «реактивное движение» с «отталкиванием от среды» — ракета летит в вакууме без воздуха.
- При отдаче пушки берут $v_{\text{пушки}} = v_{\text{снаряда}}$ — забывают, что массы разные: $m_1 v_1 = m_2 v_2$.

🧑‍🎓 Как я это понял

Лёд и друг
Встань на лёд (трение почти нулевое) и толкни друга. Ты сам покатишься назад! Ты дал другу импульс вперёд — ты получил равный импульс назад. До толчка система покоилась ($p = 0$). После — суммарный импульс всё равно равен нулю. Ничего не пропало.

Как работает ракета в космосе?
В космосе не на что опереться. Ракета выбрасывает газы назад — газы получают импульс назад. По ЗСИ ракета получает равный импульс вперёд. Никакого «отталкивания от воздуха» — чисто закон сохранения импульса.

Внутренние силы — «кукловод без рук»
Сидишь в лодке и толкаешь борт изнутри. Лодка не поплывёт — ты часть той же системы. Только внешняя сила (весло, которое упирается в воду) может изменить суммарный импульс. Внутренние силы переносят импульс между частями системы, но общую сумму не меняют.

Пример решения задачи

### Два вагона движутся навстречу и сцепляются

Вагон массой $m_1 = 10\,\text{т}$ движется со скоростью $v_1 = 0{,}1\,\text{м/с}$. Навстречу ему движется вагон массой $m_2 = 20\,\text{т}$ со скоростью $v_2 = 0{,}2\,\text{м/с}$. После сцепки определите скорость вагонов.

Дано | $m_1 = 10^4\,\text{кг};\; v_1 = 0{,}1\,\text{м/с}$
| $m_2 = 2{\cdot}10^4\,\text{кг};\; v_2 = 0{,}2\,\text{м/с}$
Найти | $v — ?$

1. 1 Ось $Ox$: в направлении движения 1-го вагона. Тогда $v_1 = +0{,}1$ м/с, а $v_2 = -0{,}2$ м/с (навстречу).
2. 2 ЗСИ (силы трения малы по сравнению с силой удара):\[m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1+m_2)\,v\]
3. 3 Подставляем:\[v = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1+m_2} = \frac{10^4\cdot(+0{,}1) + 2\cdot10^4\cdot(-0{,}2)}{3\cdot10^4} = \frac{1000 - 4000}{30000} = -0{,}1\,\text{м/с}\]
4. 4 Знак «$-$» — вагоны едут в сторону отрицательного направления оси, т.е. в сторону 2-го вагона.
   Ответ: $v = 0{,}1\,\text{м/с}$ в сторону второго вагона.

Контрольные вопросы

1. Что происходит с импульсом системы, если внешние силы на неё не действуют?
2. В каких случаях закон сохранения импульса применим к незамкнутой системе?
3. Что такое реактивная сила? Приведите примеры.
4. Почему скорость ракеты увеличивается по мере её полёта?
5. Почему для запуска спутников применяют многоступенчатые ракеты?

§33 · Физика 9 кл

## Механическая работа. Мощность

$A = F\,\Delta r\cos\alpha$
Работа — это результат действия силы вдоль перемещения.
Мощность — это насколько быстро совершается работа.
📐 [A] = Дж = Н·м ⚡ [P] = Вт = Дж/с 📐 cosα — ключ к знаку
§33. Механическая работа. Мощность

### Механическая работа

$A = F\,\Delta r\cos\alpha$

$F$ — модуль силы, $\Delta r$ — модуль перемещения, $\alpha$ — угол между $\vec{F}$ и $\Delta\vec{r}$.

$[A] = \text{Дж} = \text{Н}{\cdot}\text{м}$

### Знак работы

α < 90° → cos α > 0 → A > 0 положительная
α = 90° → cos α = 0 → A = 0 равна нулю
α > 90° → cos α < 0 → A < 0 отрицательная

### Работа при подъёме тела

$A = mgh$

Работа силы тяжести при подъёме тела массой $m$ на высоту $h$ (сила и перемещение сонаправлены).

### Работа по деформации пружины

$A = \dfrac{kx^2}{2}$

Работа внешней силы при растяжении или сжатии пружины жёсткостью $k$ на $x$.

### Мощность

$P = \dfrac{A}{\Delta t}$

Мощность — быстрота совершения работы.

$[P] = \text{Вт} = \dfrac{\text{Дж}}{\text{с}}$; 1 кВт = 10³ Вт; 1 МВт = 10⁶ Вт

### Мощность через скорость

$P = Fv\cos\alpha$

Из $A = F\Delta r\cos\alpha$ и $P = A/\Delta t$, так как $\Delta r/\Delta t = v$.

Если сила вдоль движения: $P = Fv$

Силы, перпендикулярные перемещению, работы не совершают (α = 90°, cos 90° = 0).
Примеры: сила реакции опоры при горизонтальном движении, центростремительная сила при движении по окружности.

### 🛷 Санки: только Fcosα совершает работу

### 🔩 Пружина: работа = площадь треугольника под F-x

Откуда $P = Fv$: $A = F\Delta r\cos\alpha$ ÷ Δt $P = F\dfrac{\Delta r}{\Delta t}\cos\alpha$ $\Delta r/\Delta t = v$ $P = Fv\cos\alpha$ при α=0° $P = Fv$ ✓
Запомни!

- Угол α — это угол между вектором силы $\vec{F}$ и вектором перемещения $\Delta\vec{r}$, а не с горизонтом или чем-то ещё.
- Если тело движется горизонтально, а сила направлена вертикально — работа равна нулю.
- Сила тяжести совершает положительную работу при спуске и отрицательную при подъёме.

Частые ошибки

- Берут угол между верёвкой и горизонтом вместо угла между $\vec{F}$ и $\Delta\vec{r}$ — результат неверный.
- Забывают $A = kx^2/2$ — это не $A = kx$, потому что сила пружины сама растёт с деформацией.
- Путают мощность двигателя с силой тяги: большая мощность ≠ большая сила (при высокой скорости сила маленькая и наоборот).

🧑‍🎓 Как я это понял

Нести сумку — это не работа (серьёзно)
Когда несёшь сумку по горизонтали, ты держишь её рукой вверх (сила направлена вертикально), а сумка при этом едет горизонтально. Угол между силой и перемещением = 90°, cos 90° = 0, значит $A = 0$. Мышцы устают — это да. Но с точки зрения физики работа равна нулю. Обидно.

Угол α — это угол между «куда тянешь» и «куда едет»
Тянешь санки верёвкой под углом 30° к земле: часть силы тянет вперёд (делает работу), часть — поднимает санки вверх (работы нет). Только та часть силы, которая направлена вдоль движения, и совершает работу — это и есть $F \cos\alpha$.

Мощность — это «кто быстрее сделает ту же работу»
Подняться на 5-й этаж пешком за 2 минуты или за 10 — работа одинакова ($mgh$). Но кто пробежал за 2 минуты — его мощность в 5 раз больше. Именно поэтому двигатели характеризуют мощностью: не «сколько сделает», а «как быстро».

Зачем формула $P = Fv$?
Если знаешь скорость машины и силу тяги — мощность считается мгновенно. Гоночная машина едет 60 м/с с тягой 3000 Н → мощность = 180 000 Вт = 180 кВт. Никакого времени знать не нужно.

### Схема: работа при разных углах

### 🎚️ Интерактив: как угол α влияет на работу

Угол α: 45°
cos 45° = 0.71
A > 0 — положительная
Сила «помогает» движению

Примеры решения задач

### Автомобиль поднимается в гору

Автомобиль массой $m = 2{,}0\,\text{т}$, мощность двигателя $P \approx 2{,}9\cdot10^4\,\text{Вт}$, скорость подъёма $v = 3{,}0\,\text{м/с}$, $g = 10\,\text{м/с}^2$. Найдите угол наклона горы.

1. 1 Сила тяги направлена вдоль движения (α = 0°), поэтому $P = Fv$:
   $F = P/v = 2{,}9\cdot10^4\,/\,3{,}0 \approx 9{,}7\cdot10^3\,\text{Н}$
2. 2 При равномерном движении сила тяги = составляющая тяжести вдоль горы:
   $F = mg\sin\alpha$
3. 3$\sin\alpha = F/(mg) = 9700/(2000\cdot10) = 0{,}485 \approx 0{,}5$ → $\alpha = 30°$

### Работа по деформации пружины

Пружину жёсткостью $k = 200\,\text{Н/м}$ растянули с $l_0 = 16\,\text{см}$ до $l = 20\,\text{см}$. Найдите работу внешней силы.

1. 1 Деформация (удлинение, а не полная длина!):
   $x = l - l_0 = 0{,}20 - 0{,}16 = 0{,}04\,\text{м}$
2. 2 Работа внешней силы при деформации пружины:\[A = \frac{kx^2}{2} = \frac{200\cdot(0{,}04)^2}{2} = \frac{200\cdot0{,}0016}{2} = 0{,}16\,\text{Дж}\]

Главные выводы
1. Работа силы равна произведению модулей силы и перемещения на косинус угла между ними.
2. Острый угол → A > 0; тупой угол → A < 0; прямой угол → A = 0.
3. Силы, перпендикулярные перемещению тела, работы не совершают.
4. Мощность численно равна работе, совершаемой за единицу времени.
5. Мощность пропорциональна произведению действующей силы и скорости движения тела.

Контрольные вопросы

1. Положительной или отрицательной будет работа силы тяжести, действующей на тело, движущееся вверх? Падающее вниз? Почему?
2. Положительной или отрицательной будет работа силы сопротивления воздуха при движении мяча вверх? При движении вниз?
3. Чему равна суммарная работа, которую совершила сила тяжести при броске мяча вверх и при его движении обратно?
4. Совершает ли работу нормальная составляющая силы реакции поверхности, действующая на движущееся по этой поверхности тело?
5. Можно ли при заданной мощности выиграть и в силе, и в скорости одновременно?

§34 · Физика 9 кл

## Потенциальная энергия

$E_\text{п} = mgh \quad\text{или}\quad E_\text{п} = \tfrac{kx^2}{2}$
Потенциальная энергия — это «запас» работы, которую могут совершить силы взаимодействия.
Нулевой уровень выбираешь сам — важна только разность энергий.
📐 [Eп] = Дж 📈 mgh — линейно от h 📈 kx²/2 — квадратично от x
§34. Потенциальная энергия
Потенциальная энергия — мера способности сил взаимодействия механической системы совершать работу.
Потенциальная энергия равна работе, которую совершат силы взаимодействия при переходе тела из данного состояния на нулевой уровень: $E_\text{п} = A$.

### Потенциальная энергия в поле тяжести

$E_\text{п} = mgh$

$m$ — масса тела, $g$ — ускорение свободного падения, $h$ — высота над нулевым уровнем.

$[E_\text{п}] = \text{Дж}$

### Потенциальная энергия упруго деформированного тела

$E_\text{п} = \dfrac{kx^2}{2}$

$k$ — жёсткость пружины, $x$ — деформация (растяжение или сжатие).

### Изменение потенциальной энергии и работа

$\Delta E_\text{п} = -A$

Изменение потенциальной энергии и работа сил взаимодействия имеют противоположные знаки.

Тело опускается → $A > 0$ → $\Delta E_\text{п} < 0$ (энергия убывает)

### Нулевой уровень

$E_\text{п}(h{=}0) = 0$

Нулевой уровень потенциальной энергии выбирается произвольно.

Изменение $\Delta E_\text{п}$ от выбора нулевого уровня не зависит.

### Графики потенциальной энергии

### 📏 Нулевой уровень — двигай и смотри что меняется, а что нет

Уровень h=0: пол (0 м)
🔵 Шар на нижней полке (2 м)
h₁ = 2 м
Eп₁ = 400 Дж
🟣 Шар на верхней полке (5 м)
h₂ = 5 м
Eп₂ = 1000 Дж
✅ Изменение энергии
ΔEп = 600 Дж
= 2 × 10 × 3 = не меняется!
💡 Двигай нулевой уровень — Eп₁ и Eп₂ меняются,
но ΔEп всегда = 600 Дж

### 🎚️ Интерактив: Eп = mgh

Масса $m$: 5 кг
Высота $h$: 4 м
Eп = 5 × 10 × 4 = 200 Дж

💡 Подними m=10 кг на h=10 м — 1000 Дж! Столько тратит кран, поднимая гирю.

Связь работы и энергии: тело опускается → $A_{\text{тяж}} > 0$ → $\Delta E_\text{п} = -A < 0$ → $E_\text{п}$ убывает
Запомни!

- $\Delta E_\text{п} = -A$: минус означает, что при совершении положительной работы запас энергии уменьшается.
- $x$ в формуле $E_\text{п} = kx^2/2$ — это деформация (изменение длины), а не полная длина пружины!
- Нулевой уровень для $mgh$ выбирают там, куда падает тело — тогда $E_\text{п}$ на нулевом уровне = 0.

Частые ошибки

- Подставляют полную длину пружины $l$ вместо деформации $x = l - l_0$ в $kx^2/2$.
- Путают знак: тело поднялось → $A_{\text{тяж}} < 0$ → $\Delta E_\text{п} = -A > 0$ → энергия выросла (всё логично).
- Думают, что $E_\text{п}$ — абсолютная характеристика тела. На самом деле она зависит от выбора нулевого уровня, зато $\Delta E_\text{п}$ — не зависит.

🧑‍🎓 Как я это понял

Потенциальная энергия — это «замороженная» работа
Кирпич лежит на высоте 10 м. Он ничего не делает. Но стоит его отпустить — он упадёт, разгонится и совершит работу. Откуда она возьмётся? Из высоты. Пока кирпич висит — у него есть потенциальная энергия. Это как деньги на счёте: их не видно, но они есть.

Нулевой уровень — сам выбираешь
Считать высоту от пола, от земли или от крыши — всё равно. Меняется только само число $E_\text{п} = mgh$, но разница $\Delta E_\text{п}$ между двумя положениями всегда одинакова. Именно поэтому нулевой уровень выбирают там, где удобно: обычно там, куда тело падает.

Пружина тоже хранит энергию — и квадратично
Растянул пружину в 2 раза сильнее — энергия выросла в 4 раза ($E_\text{п} = kx^2/2$). Это не линейно! Поэтому взведённый арбалет опасен сильнее, чем кажется: маленькая дополнительная деформация даёт большой прирост энергии.

$\Delta E_\text{п} = -A$: почему минус?
Тело падает → сила тяжести совершает работу $A > 0$ (помогает движению) → потенциальная энергия уменьшается $\Delta E_\text{п} < 0$. Энергия «потратилась» на работу. Знак минус — это просто способ сказать: что потратил на работу, то убыло из запаса.

Пример решения задачи

### Работа внешней силы и изменение $E_\text{п}$ пружины

Пружину жёсткостью $k = 200\,\text{Н/м}$ растянули с $l_0 = 16\,\text{см}$ до $l = 20\,\text{см}$. Найдите работу внешней силы, работу силы упругости и изменение потенциальной энергии.

1. 1 Деформация (не путать с полной длиной!):
   $x = l - l_0 = 0{,}20 - 0{,}16 = 0{,}04\,\text{м}$
2. 2 Работа внешней силы = прирост $E_\text{п}$ пружины:\[A_\text{внеш} = \frac{kx^2}{2} = \frac{200\cdot0{,}04^2}{2} = 0{,}16\,\text{Дж}\]
3. 3 Сила упругости — против деформации, значит работает против: $A_\text{упр} = -0{,}16\,\text{Дж}$
4. 4$\Delta E_\text{п} = -A_\text{упр} = -(-0{,}16) = +0{,}16\,\text{Дж}$ — энергия выросла. ✓

### Определить массу тела по работе при подъёме

При медленном подъёме камня из ямы глубиной $h = 2{,}0\,\text{м}$ совершена работа $A = 100\,\text{Дж}$, $g = 10\,\text{м/с}^2$. Найдите массу камня.

1. 1 При равномерном подъёме сила равна весу, поэтому $A = mgh$.
2. 2 Выражаем массу:\[m = \frac{A}{gh} = \frac{100}{10\cdot2{,}0} = 5{,}0\,\text{кг}\]

Главные выводы
1. Потенциальная энергия характеризует способность тела совершать работу.
2. Потенциальная энергия равна работе сил взаимодействия при переходе тела на нулевой уровень.
3. Изменение потенциальной энергии равно работе сил взаимодействия, взятой с противоположным знаком: $\Delta E_\text{п} = -A$.

Контрольные вопросы

1. В каких случаях тело обладает потенциальной энергией?
2. Как определить потенциальную энергию любого тела? От чего она зависит?
3. Чему равна потенциальная энергия тела в системе «тело + Земля»?
4. Чему равна потенциальная энергия упруго деформированного тела?
5. Почему значение потенциальной энергии зависит от выбора нулевого уровня, а её изменение — нет?

§35 · Физика 9 кл

## Кинетическая энергия. Полная энергия системы тел

$E_\text{к} = \dfrac{mv^2}{2}$
Кинетическая энергия — это «энергия движения». Она зависит от скорости квадратично:
удвоить скорость — значит учетверить энергию.
📐 [Eк] = Дж 📈 пропорциональна v² ⚡ теорема ΔEк = Aрез
§35. Кинетическая энергия

### Кинетическая энергия

$E_\text{к} = \dfrac{mv^2}{2}$

Скалярная величина, всегда $\geq 0$.

$[E_\text{к}] = \text{Дж}$

$m$ — масса тела, $v$ — скорость

### Теорема о кинетической энергии

$\Delta E_\text{к} = A_\text{рез}$

Изменение $E_\text{к}$ равно работе результирующей всех сил.

$\dfrac{mv^2}{2} - \dfrac{mv_0^2}{2} = A_\text{рез}$

### Механическая энергия

$E_\text{мех} = E_\text{к} + E_\text{п}$

Сумма кинетической и потенциальной энергии тела (или системы).

$E_\text{мех} = \dfrac{mv^2}{2} + mgh$

### Полная энергия системы

$E = E_\text{мех} + E_\text{внутр}$

Полная энергия системы тел включает механическую и внутреннюю (тепловую) энергию.

$E = \text{const}$ — закон сохранения энергии

### Калькулятор кинетической энергии

Масса m: 5 кг
Скорость v: 10 м/с
Eк = 5 × 100 / 2 = 250 Дж
Шкала: 0 — 4 500 Дж
Ключевое наблюдение

Скорость удвоить (×2) → $E_\text{к}$ увеличится в 4 раза.

Скорость утроить (×3) → $E_\text{к}$ увеличится в 9 раз.

Это потому что $E_\text{к} \sim v^2$ — зависит от квадрата скорости!

Как применять теорему о Eк
$A_\text{рез} = F_\text{рез}\,\Delta r$ → $A_\text{рез} = \Delta E_\text{к}$ → $A_\text{рез} = \dfrac{mv^2}{2} - \dfrac{mv_0^2}{2}$ Работа всех сил = изменение Eк
Запомни!

- В теореме учитывается работа ВСЕХ сил, а не только одной.
- $E_\text{к}$ скалярная и всегда $\geq 0$; импульс $\vec{p}$ — векторный.
- $E_\text{к}$ пропорциональна $v^2$: скорость ×2 → $E_\text{к}$ ×4.

Пример решения

### Поезд разгоняется до скорости

Поезд массой $m = 600\,\text{т} = 6\cdot10^5\,\text{кг}$ разгоняется с нуля до скорости $v = 54\,\text{км/ч} = 15\,\text{м/с}$. Найдите кинетическую энергию поезда и работу тяговых сил.

1. 1$E_\text{к} = \dfrac{mv^2}{2} = \dfrac{6\cdot10^5 \cdot 15^2}{2} = \dfrac{6\cdot10^5 \cdot 225}{2} = 6{,}75\cdot10^7\,\text{Дж} = 67{,}5\,\text{МДж}$
2. 2 По теореме о кинетической энергии: $A = \Delta E_\text{к} = E_\text{к} - 0 = 6{,}75\cdot10^7\,\text{Дж}$

Контрольные вопросы

1. Что такое кинетическая энергия? В каких единицах она измеряется?
2. Как изменится кинетическая энергия тела при увеличении его скорости в 3 раза?
3. Что гласит теорема о кинетической энергии? Какова её связь со 2-м законом Ньютона?
4. Что такое механическая энергия? Из каких частей она состоит?
5. Может ли кинетическая энергия тела быть отрицательной?

§36 · Физика 9 кл

## Закон сохранения энергии

$E_\text{мех} = \text{const}$
В замкнутой системе без трения полная механическая энергия не изменяется.
Кинетическая и потенциальная энергии непрерывно переходят друг в друга.
🔄 Eк ↔ Eп ⚡ без трения: Eмех = const 🌡 с трением: ΔEмех = Aвнеш
§36. Закон сохранения механической энергии

### ЗСЭ — замкнутая система (без трения)

$E_\text{мех} = \text{const}$

$E_{\text{к}1} + E_{\text{п}1} = E_{\text{к}2} + E_{\text{п}2}$

Условие: только консервативные силы (тяжесть и упругость).

### ЗСЭ с трением

$\Delta E_\text{мех} = A_\text{внеш}$

Изменение мех. энергии равно работе внешних (диссипативных) сил.

$A_\text{тр} < 0$ → $E_\text{мех}$ уменьшается → энергия уходит в тепло.

### Закон сохранения полной энергии

$E_\text{полн} = \text{const}$

$E_\text{полн} = E_\text{мех} + E_\text{внутр}$

Полная энергия сохраняется всегда, в любой системе.

### Практические следствия

$v = \sqrt{2gh}$

Скорость тела, упавшего с высоты $h$ (начальная скорость = 0, без трения).

Из: $mgh = \dfrac{mv^2}{2}$

### Маятник: превращение Eк ↔ Eп

Энергия в точках:
Eк (кинетическая)
Eп (потенциальная)
Eмех = const
Наблюдение

В высшей точке: Eп max, Eк = 0

В нижней точке: Eк max, Eп = 0

Сумма Eк + Eп = const всегда!

Закон сохранения с трением
При наличии сил трения механическая энергия убывает — переходит во внутреннюю (тепловую) энергию. Но полная энергия системы по-прежнему сохраняется: $E_\text{полн} = E_\text{мех} + E_\text{внутр} = \text{const}$.
$E_{\text{мех}1}$ + $A_\text{тр}$ = $E_{\text{мех}2}$ $A_\text{тр} < 0$ — трение уменьшает Eмех
Запомни!

- Без трения: $E_\text{к} + E_\text{п} = \text{const}$ — можно писать равенство в двух точках.
- С трением: $\Delta E_\text{мех} = A_\text{тр}$ — часть энергии ушла в теплоту.
- Полная энергия $E_\text{полн}$ сохраняется всегда.

Пример решения

### Шарик бросают вертикально вверх

Шарик массой $m = 0{,}5\,\text{кг}$ бросают вертикально вверх с начальной скоростью $v_0 = 20\,\text{м/с}$. $g = 10\,\text{м/с}^2$. Нет трения. Найдите максимальную высоту подъёма.

1. 1 В высшей точке скорость = 0: $E_{\text{к}2} = 0$. Нулевой уровень — точка бросания: $E_{\text{п}1} = 0$.
2. 2 По ЗСЭ: $E_{\text{к}1} + E_{\text{п}1} = E_{\text{к}2} + E_{\text{п}2}$
   $\dfrac{mv_0^2}{2} + 0 = 0 + mgh_{\max}$
3. 3$h_{\max} = \dfrac{v_0^2}{2g} = \dfrac{400}{20} = 20\,\text{м}$

Контрольные вопросы

1. При каком условии сохраняется механическая энергия системы тел?
2. Что происходит с механической энергией при наличии сил трения?
3. Как связаны кинетическая и потенциальная энергия тела при его падении?
4. Куда «исчезает» механическая энергия при торможении автомобиля?
5. Чем отличается механическая энергия от полной энергии системы?

🔬 Лабораторная работа № 11

## Проверка закона сохранения импульса

$m_1 l_1 = m_1 l_1' + m_2 l_2'$
Шар скатывается с лотка и сталкивается у края стола со вторым шаром. По дальностям полёта проверяем ЗСИ и вычисляем погрешности.
Задачи 1–7 хода работы Анализ погрешностей H = 15 см (фиксировано)

### 📋 Принцип метода

Оба шара вылетают горизонтально с одной высоты H, поэтому время полёта одинаково: $t = \sqrt{2H/g}$. Скорость пропорциональна дальности: $v = l/t$. Подставляя в ЗСИ $m_1 v_0 = m_1 v_1' + m_2 v_2'$, получаем рабочую формулу:

$m_1 l_1 = m_1 l_1' + m_2 l_2'$

$l_1$ — дальность шара 1 без столкновения; $l_1'$, $l_2'$ — дальности шаров после столкновения.

### Виртуальная установка — траектории

m₁ 200 г
m₂ 100 г
h лотка 15 см
l₁ = — м
l₁' = — м
l₂' = — м
Таблица измерений

№ | m₁, кг | m₂, кг | l₁, м | l₁', м | l₂', м
--- | --- | --- | --- | --- | ---

Проверка закона и погрешности

Контрольные вопросы

1. Как направлен импульс тела?
2. При каких условиях выполняется закон сохранения импульса?
3. Почему для системы двух шаров можно применять закон сохранения импульса?

Суперзадание
Можно ли утверждать, что суммарный импульс шаров не будет изменяться и при их дальнейшем полёте по параболической траектории вплоть до соударения с поверхностью стола? Ответ аргументируйте.
📐 Решение
Ответ: нет — суммарный вектор импульса изменяется.
Однако горизонтальная составляющая суммарного импульса остаётся постоянной, и именно она измеряется в опыте.

Аргументация:
1. Какие силы действуют на шары в полёте?
После удара оба шара летят по параболе. На каждый из них действует только сила тяжести (трение воздуха пренебрежимо мало). Сила тяжести — внешняя сила по отношению к системе «шар 1 + шар 2».
2. Как изменяется суммарный вектор импульса?
По второму закону Ньютона для системы тел: Δp = Fвнеш·Δt = (m₁+m₂)·g·Δt За каждую секунду полёта суммарный импульс приобретает направленную вертикально вниз добавку. Значит, суммарный вектор импульса непрерывно изменяется.
3. Почему опыт всё равно верифицирует закон сохранения импульса?
Сила тяжести направлена строго вертикально → горизонтальная проекция внешней силы равна нулю: Fвнеш, x = 0 ⟹ p1x + p2x = const Горизонтальные скорости шаров не меняются в течение всего полёта. Горизонтальная дальность l = vx · tпад, причём время падения одинаково для обоих шаров (одна высота стола). Следовательно, l ∝ vx ∝ px — расстояния пропорциональны горизонтальным импульсам, которые и сохраняются.
p⃗∑ — суммарный вектор импульса нарастает вниз; горизонтальная составляющая p∑x постоянна
Вывод: Суммарный вектор импульса системы изменяется под действием силы тяжести. Но его горизонтальная составляющая сохраняется во всё время полёта. Именно это свойство лежит в основе опыта: расстояния на столе отражают горизонтальные скорости, а горизонтальные импульсы не изменяются ни во время удара, ни после него.
Кинематика §1–14
Динамика §15–21
Тяготение §22–24
Статика §25–27
Гидростатика §28–30
Импульс & Энергия §31–36
0
0 / 8

## §1 — готово!

0
0 / 8

## §2 — готово!

0
0 / 8

## §3 — готово!

0
0 / 8

## §4 — готово!

0
0 / 8

## §5 — готово!

0
0 / 8

## §6 — готово!

0
0 / 8

## §7 — готово!

0
0 / 8

## §8 — готово!

0
0 / 8

## §9 — готово!

0
0 / 8

## §10 — готово!

0
0 / 8

## §11 — готово!

0
0 / 8

## §12 — готово!

0
0 / 8

## §13 — готово!

0
0 / 8

## §14 — готово!

0
0 / 8

## §15 — готово!

0
0 / 8

## §16 — готово!

0
0 / 9

## §17 — готово!

0
0 / 8

## §18 — готово!

0
0 / 9

## §19 — готово!

0
0 / 9

## §20 — готово!

0
0 / 9

## §21 — готово!

0
0 / 8

## §22 — готово!

0
0 / 8

## §23 — готово!

0
0 / 8

## §24 — готово!

0
0 / 8

## §25 — готово!

0
0 / 8

## §26 — готово!

0
0 / 8

## §27 — готово!

0
0 / 8

## §28 — готово!

0
0 / 9

## §29 — готово!

0
0 / 8

## §30 — готово!

0
0 / 12

## §31 — готово!

0
0 / 12

## §32 — готово!

0
0 / 8

## §33 — готово!

0
0 / 9

## §34 — готово!

0
0 / 8

## §35 — готово!

0
0 / 8

## §36 — готово!

0
0 / 12

## Сложные задачи — готово!