VARIANTS[12] = {
    label: "Вариант 12",
    tasks: [
      {
        text: `Определите, графиком какой из следующих функций является прямая:`,
        opts: [
          ["а", "$y = -\\dfrac{1}{5x}$"], ["б", "$y = \\dfrac{1}{5}x^2$"], ["в", "$y = -\\dfrac{1}{5}x$"],
          ["г", "$y = \\dfrac{\\sqrt{x}}{5}$"], ["д", "$y = 5|x|$"],
        ],
        sol: `<ul>
<li>а) $y=-\\dfrac{1}{5x}$ — гипербола</li>
<li>б) $y=\\dfrac{1}{5}x^2$ — парабола</li>
<li><b>в) $y=-\\dfrac{1}{5}x = \\left(-\\dfrac{1}{5}\\right)x$</b> — линейная функция вида $y=kx$, её график — <b>прямая</b> ✓</li>
<li>г) $y=\\dfrac{\\sqrt{x}}{5}$ — ветвь параболы (только $x\\geq 0$)</li>
<li>д) $y=5|x|$ — V-образный график (две полупрямые)</li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: в)&ensp;$y=-\\dfrac{1}{5}x$</div>`
      },
      {
        text: `Выражение, тождественно равное выражению $(b^{-2})^{-4} \\cdot b^3$, имеет вид:`,
        opts: [
          ["а", "$b^{-3}$"], ["б", "$b^{-5}$"], ["в", "$b^{11}$"],
          ["г", "$b^5$"], ["д", "$b^{-9}$"],
        ],
        sol: `$$(b^{-2})^{-4}\\cdot b^3 = b^{(-2)\\cdot(-4)}\\cdot b^3 = b^8\\cdot b^3 = b^{8+3} = b^{11}$$
<div class="sol-ans">Ответ: в)&ensp;$b^{11}$</div>`
      },
      {
        text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
        opts: [
          ["а", "гипотенуза прямоугольного треугольника всегда больше катета;"],
          ["б", "сумма углов четырёхугольника равна $180^{\\circ}$;"],
          ["в", "средняя линия треугольника равна половине основания;"],
          ["г", "на плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой?"],
        ],
        sol: `<ul>
<li>а) Гипотенуза — наибольшая сторона прямоугольного треугольника — <b>верно</b></li>
<li>б) Сумма углов четырёхугольника $= 180°$ — <b style="color:#dc2626">НЕВЕРНО</b></li>
<li>в) Средняя линия треугольника $= \\dfrac{1}{2}$ основания — <b>верно</b></li>
<li>г) Транзитивность перпендикулярности на плоскости — <b>верно</b></li>
</ul>
Сумма углов любого четырёхугольника равна $\\mathbf{360°}$, а не $180°$.
<div class="sol-ans">Ответ: б)</div>`
      },
      {
        text: `Решите уравнение $0{,}49 - x^2 = 0$.
               В ответ запишите наибольший корень уравнения.`,
        sol: `$$x^2 = 0{,}49 = \\left(\\frac{7}{10}\\right)^2 \\implies x = \\pm 0{,}7$$
Наибольший корень: $x = 0{,}7$.
<div class="sol-ans">Ответ: $0{,}7$</div>`
      },
      {
        text: `Угол между высотой прямоугольного треугольника, проведённой к гипотенузе,
               и катетом, длина которого $12$ см, равен $30^{\\circ}$.
               Найдите радиус окружности, описанной около треугольника.`,
        sol: `В прямоугольном $\\triangle ABC$ ($\\angle C=90°$) высота $CH$ опущена на гипотенузу $AB$.
<svg viewBox="0 0 175 112" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:175px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
  <polygon points="20,102 148,102 52,47" fill="rgba(37,99,235,0.06)" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
  <line x1="52" y1="47" x2="52" y2="102" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.3" stroke-dasharray="4,2"/>
  <path d="M45,102 L45,95 L52,95" fill="none" stroke="#555" stroke-width="1.2"/>
  <path d="M50,51 L54,54 L56,50" fill="none" stroke="#555" stroke-width="1.2"/>
  <path d="M52,67 A20,20 0 0,1 67,58" fill="none" stroke="#e11d48" stroke-width="1.3"/>
  <text x="60" y="72" font-size="10" fill="#e11d48">30°</text>
  <text x="2" y="112" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
  <text x="150" y="112" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
  <text x="54" y="42" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
  <text x="43" y="112" font-size="10" fill="#334155">H</text>
  <text x="84" y="110" font-size="10" fill="#2563eb">BC=12</text>
  <text x="78" y="88" font-size="10" fill="#334155">2R = AB = ?</text>
</svg>
<b>Свойство высоты в прямоугольном треугольнике:</b> угол между высотой $CH$ и катетом $BC$ равен $\\angle A$.
$$\\angle BCH = \\angle A = 30°$$
Значит $\\angle A=30°$, $\\angle B=60°$.
<br>Катет $BC=12$ см, $\\angle A=30°$:
$$\\sin(\\angle A) = \\dfrac{BC}{AB} \\implies \\sin 30° = \\dfrac{12}{AB} \\implies \\dfrac{1}{2} = \\dfrac{12}{AB}$$
$$AB = 24\\text{ см}$$
Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника:
$$R = \\dfrac{AB}{2} = \\dfrac{24}{2} = 12\\text{ см}$$
<div class="sol-ans">Ответ: $R = 12$ см</div>`
      },
      {
        text: `Найдите значение выражения
               $\\dfrac{1}{2-\\sqrt{3}} + \\dfrac{1}{\\sqrt{2}-\\sqrt{3}} + \\dfrac{1}{\\sqrt{2}-1}$.`,
        sol: `<b>Метод рационализации знаменателя:</b> чтобы избавиться от радикала в знаменателе, умножаем числитель и знаменатель на <em>сопряжённое выражение</em>.
<br><b>Формула разности квадратов:</b> $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$ — позволяет «сворачивать» произведение сопряжённых.
<br><br>
<b>Шаг 1.</b> Рационализируем <em>первую дробь</em>. Сопряжённое к $2-\\sqrt{3}$ — это $2+\\sqrt{3}$:
$$\\dfrac{1}{2-\\sqrt{3}} = \\dfrac{2+\\sqrt{3}}{(2-\\sqrt{3})(2+\\sqrt{3})} = \\dfrac{2+\\sqrt{3}}{4-3} = 2+\\sqrt{3}$$
<b>Шаг 2.</b> Рационализируем <em>вторую дробь</em>. Сопряжённое к $\\sqrt{2}-\\sqrt{3}$ — это $\\sqrt{2}+\\sqrt{3}$:
$$\\dfrac{1}{\\sqrt{2}-\\sqrt{3}} = \\dfrac{\\sqrt{2}+\\sqrt{3}}{(\\sqrt{2})^2-(\\sqrt{3})^2} = \\dfrac{\\sqrt{2}+\\sqrt{3}}{2-3} = -(\\sqrt{2}+\\sqrt{3})$$
<b>Шаг 3.</b> Рационализируем <em>третью дробь</em>. Сопряжённое к $\\sqrt{2}-1$ — это $\\sqrt{2}+1$:
$$\\dfrac{1}{\\sqrt{2}-1} = \\dfrac{\\sqrt{2}+1}{(\\sqrt{2}-1)(\\sqrt{2}+1)} = \\dfrac{\\sqrt{2}+1}{2-1} = \\sqrt{2}+1$$
<b>Шаг 4.</b> Складываем полученные выражения и группируем подобные:
$$(2+\\sqrt{3}) + \\bigl(-(\\sqrt{2}+\\sqrt{3})\\bigr) + (\\sqrt{2}+1)$$
$$= 2 + \\sqrt{3} - \\sqrt{2} - \\sqrt{3} + \\sqrt{2} + 1$$
$$= 2 + 1 + (\\sqrt{3}-\\sqrt{3}) + (-\\sqrt{2}+\\sqrt{2}) = 3$$
<div class="sol-ans">Ответ: $3$</div>`
      },
      {
        text: `Определите количество целых решений системы неравенств
               $$\\begin{cases} x^2 \\leq 6 - x, \\\\[6pt] \\dfrac{x+3}{2} - 1 > \\dfrac{x-4}{7}. \\end{cases}$$`,
        sol: `<b>Решение системы неравенств:</b> решаем каждое неравенство отдельно, затем берём <em>пересечение</em> множеств решений.
<br><b>Метод интервалов</b> для квадратного неравенства: раскладываем квадратный трёхчлен и определяем знаки.
<br><br>
<b>Шаг 1.</b> Решаем первое неравенство. Перенесём $6-x$ влево:
$$x^2 + x - 6 \\leq 0$$
По теореме Виета корни — $-3$ и $2$ (так как $x_1+x_2=-1$, $x_1\\cdot x_2=-6$). Раскладываем:
$$(x+3)(x-2) \\leq 0$$
Произведение неположительно при $-3\\leq x\\leq 2$.
<br><b>Шаг 2.</b> Решаем второе неравенство. Умножим обе части на $14$ (общий знаменатель):
$$7(x+3) - 14 \\gt 2(x-4)$$
$$7x + 21 - 14 \\gt 2x - 8$$
$$7x + 7 \\gt 2x - 8$$
$$5x \\gt -15$$
$$x \\gt -3$$
<b>Шаг 3.</b> Берём пересечение: $\\{-3\\leq x\\leq 2\\}\\cap\\{x\\gt -3\\} = \\{-3\\lt x\\leq 2\\}$.
<br><b>Шаг 4.</b> Целые числа из $(-3;2]$: $-2,-1,0,1,2$ — всего <b>5</b> чисел.
<div class="sol-ans">Ответ: $5$</div>`
      },
      {
        text: `Найдите все значения переменной, при которых разность дробей
               $\\dfrac{x}{x-2}$ и $\\dfrac{1}{x}$ равна дроби $\\dfrac{4}{x^2-2x}$.`,
        sol: `<b>Решение дробно-рациональных уравнений:</b> 1) находим ОДЗ; 2) умножаем обе части на общий знаменатель; 3) решаем полученное уравнение; 4) проверяем корни на принадлежность ОДЗ.
<br><b>Теорема Виета (обратная):</b> $x^2+px+q=(x-x_1)(x-x_2)$, где $x_1+x_2=-p$, $x_1\\cdot x_2=q$.
<br><br>
<b>Шаг 1.</b> Запишем уравнение:
$$\\dfrac{x}{x-2} - \\dfrac{1}{x} = \\dfrac{4}{x^2-2x}$$
<b>Шаг 2.</b> Разложим знаменатель правой части: $x^2-2x = x(x-2)$ — это и есть общий знаменатель.
<br>ОДЗ: $x\\neq 0$ и $x\\neq 2$.
<br><b>Шаг 3.</b> Умножим обе части на $x(x-2)$:
$$\\dfrac{x}{x-2}\\cdot x(x-2) - \\dfrac{1}{x}\\cdot x(x-2) = \\dfrac{4}{x(x-2)}\\cdot x(x-2)$$
$$x\\cdot x - (x-2) = 4$$
$$x^2 - x + 2 = 4$$
$$x^2 - x - 2 = 0$$
<b>Шаг 4.</b> По теореме Виета: $x_1+x_2=1$, $x_1\\cdot x_2=-2$. Подходят $2$ и $-1$:
$$(x-2)(x+1) = 0 \\implies x=2 \\text{ или } x=-1$$
<b>Шаг 5.</b> Проверяем ОДЗ: $x=2$ не входит (отбрасываем). Остаётся $x=-1$.
<br><b>Проверка</b> $x=-1$:
$$\\dfrac{-1}{-3} - \\dfrac{1}{-1} = \\dfrac{1}{3} + 1 = \\dfrac{4}{3};\\quad \\dfrac{4}{1+2} = \\dfrac{4}{3} \\checkmark$$
<div class="sol-ans">Ответ: $x = -1$</div>`
      },
      {
        text: `Число $a$ равно $80\\%$ от числа $b$. Число $c$ равно $140\\%$ от числа $b$.
               Найдите значение выражения $a + b + c$,
               если известно, что число $c$ на $72$ больше числа $a$.`,
        sol: `<b>Перевод процентов в дроби:</b> $p\\%$ от числа $N$ — это $\\dfrac{p}{100}\\cdot N$.
<br><b>Метод составления уравнения:</b> переводим условия с процентами в равенства и решаем.
<br><br>
<b>Шаг 1.</b> Запишем условия в виде уравнений.
<br>• «$a$ равно $80\\%$ от $b$»:
$$a = 0{,}8b \\quad (1)$$
<br>• «$c$ равно $140\\%$ от $b$»:
$$c = 1{,}4b \\quad (2)$$
<br>• «$c$ на $72$ больше $a$»:
$$c - a = 72 \\quad (3)$$
<b>Шаг 2.</b> Подставляем $(1)$ и $(2)$ в $(3)$:
$$1{,}4b - 0{,}8b = 72$$
$$0{,}6b = 72$$
$$b = 120$$
<b>Шаг 3.</b> Находим $a$ из $(1)$ и $c$ из $(2)$:
$$a = 0{,}8\\cdot 120 = 96$$
$$c = 1{,}4\\cdot 120 = 168$$
<b>Проверка</b> $(3)$: $c - a = 168 - 96 = 72$ ✓
<br><b>Шаг 4.</b> Вычисляем сумму:
$$a + b + c = 96 + 120 + 168 = 384$$
<div class="sol-ans">Ответ: $384$</div>`
      },
      {
        text: `Дан параллелограмм $ABCD$. На стороне $AD$ взята точка $M$, такая, что
               $BM$ — биссектриса угла $B$, а $CM$ — биссектриса угла $C$ параллелограмма.
               Найдите площадь параллелограмма, если $BM = 12$ см, $CM = 16$ см.`,
        figure: `<svg class="task-fig" viewBox="0 0 265 168" width="265" height="168">
  <polygon points="35,143 200,143 220,35 55,35" fill="none" stroke="#334155" stroke-width="2.2"/>
  <line x1="200" y1="143" x2="45" y2="89" stroke="#2563eb" stroke-width="1.8"/>
  <line x1="220" y1="35" x2="45" y2="89" stroke="#c2410c" stroke-width="1.8"/>
  <circle cx="45" cy="89" r="3.5" fill="#1e293b"/>
  <text x="21" y="156" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">A</text>
  <text x="203" y="156" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">B</text>
  <text x="223" y="30" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">C</text>
  <text x="41" y="30" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">D</text>
  <text x="30" y="87" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">M</text>
  <text x="118" y="130" text-anchor="middle" font-size="11" font-family="sans-serif" fill="#1d4ed8">BM = 12 см</text>
  <text x="120" y="60" text-anchor="middle" font-size="11" font-family="sans-serif" fill="#c2410c">CM = 16 см</text>
</svg>`,
        sol: `<b>Свойство параллелограмма:</b> сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180°$ (соседние углы дополнительны).
<br><b>Свойство биссектрис:</b> биссектриса делит угол пополам.
<br><b>Теорема Пифагора:</b> в прямоугольном треугольнике $c^2 = a^2+b^2$.
<br><b>Формула площади параллелограмма:</b> $S = a\\cdot b\\cdot\\sin\\alpha$, где $\\alpha$ — угол между сторонами $a$ и $b$.
<br><b>Формула синуса двойного угла:</b> $\\sin 2\\alpha = 2\\sin\\alpha\\cos\\alpha$.
<br><br>
<b>Шаг 1 — найдём угол BMC.</b> В параллелограмме $\\angle B + \\angle C = 180°$ (соседние углы). Делим на 2:
$$\\angle MBC + \\angle MCB = \\dfrac{\\angle B}{2} + \\dfrac{\\angle C}{2} = 90°$$
В $\\triangle BMC$ сумма углов $180°$, значит:
$$\\angle BMC = 180° - 90° = 90°$$
Треугольник $BMC$ — <b>прямоугольный</b>!
<br><b>Шаг 2 — длина BC.</b> По теореме Пифагора:
$$BC = \\sqrt{BM^2 + CM^2} = \\sqrt{144+256} = \\sqrt{400} = 20\\text{ см}$$
<b>Шаг 3 — длина AB.</b> В $\\triangle ABM$: углы $\\angle BAM = \\angle A/2$ и $\\angle AMB = \\angle MAD = \\angle A/2$ (накрест лежащие при параллельных $BC$ и $AD$). Значит, $\\triangle ABM$ — <em>равнобедренный</em>, и $AM = AB$.
<br>Аналогично в $\\triangle DCM$: $DM = DC = AB$.
<br>Так как $AD = AM + MD$:
$$AD = AB + AB = 2\\cdot AB$$
$AD = BC = 20$, значит $AB = 10$ см.
<br><b>Шаг 4 — синус угла B.</b> Из прямоугольного $\\triangle BMC$:
$$\\sin(\\angle MBC) = \\dfrac{CM}{BC} = \\dfrac{16}{20} = \\dfrac{4}{5},\\quad \\cos(\\angle MBC) = \\dfrac{BM}{BC} = \\dfrac{12}{20} = \\dfrac{3}{5}$$
Поскольку $\\angle B = 2\\angle MBC$, применяем формулу двойного угла:
$$\\sin(\\angle B) = 2\\sin(\\angle MBC)\\cos(\\angle MBC) = 2\\cdot\\dfrac{4}{5}\\cdot\\dfrac{3}{5} = \\dfrac{24}{25}$$
<b>Шаг 5 — площадь.</b>
$$S = AB\\cdot BC\\cdot\\sin(\\angle B) = 10\\cdot 20\\cdot\\dfrac{24}{25} = \\dfrac{4800}{25} = 192\\text{ см}^2$$
<div class="sol-ans">Ответ: $192$ см²</div>`
      },
    ]
};
