VARIANTS[73] = {
    label: "Вариант 73",
    tasks: [
      {
        text: `На рисунке изображён график функции $f(x)$.
               Используя график, определите $f(-3)$:`,
        figure: `<img src="/img/exam9/v73_t1.png" class="task-fig" />`,
        opts: [
          ["а", "$1$"], ["б", "$-3$"], ["в", "$0$"], ["г", "$3$"], ["д", "$-2$"],
        ],
        sol: `<p>По графику функции найдите на оси $Ox$ точку $x = -3$, восстановите из неё перпендикуляр до пересечения с графиком и прочитайте соответствующую ординату — это и будет значение $f(-3)$.</p>
<div class="sol-ans">Ответ: определяется по рисунку (см. метод выше)</div>`
      },
      {
        text: `Определите, какое из данных выражений равно частному
               $\\dfrac{3}{x^5} : \\dfrac{27}{x^{10}}$:`,
        opts: [
          ["а", "$\\dfrac{x^2}{9}$"], ["б", "$\\dfrac{81}{x^{15}}$"], ["в", "$9x^5$"],
          ["г", "$\\dfrac{x^5}{9}$"], ["д", "$\\dfrac{x^5}{3}$"],
        ],
        sol: `<p>Деление дробей — умножение на обратную:</p>
<p>$$\\dfrac{3}{x^5} : \\dfrac{27}{x^{10}} = \\dfrac{3}{x^5} \\cdot \\dfrac{x^{10}}{27} = \\dfrac{3x^{10}}{27x^5} = \\dfrac{x^5}{9}.$$</p>
<div class="sol-ans">Ответ: г) $\\dfrac{x^5}{9}$</div>`
      },
      {
        text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
        opts: [
          ["а", "периметр квадрата со стороной $a$ равен $4a$;"],
          ["б", "радиус окружности в два раза меньше её диаметра;"],
          ["в", "треугольник, два угла которого равны $20^{\\circ}$ и $70^{\\circ}$, — прямоугольный;"],
          ["г", "диагонали любого параллелограмма перпендикулярны?"],
        ],
        sol: `<p>Диагонали перпендикулярны только у ромба (и квадрата), но не у произвольного параллелограмма. Утверждение г) неверно.</p>
<div class="sol-ans">Ответ: г)</div>`
      },
      {
        text: `Сравните значение выражения $\\dfrac{2}{3} \\cdot \\left(1\\dfrac{1}{2}\\right)^2 + 1 : 2$
               с числом $\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^0$.`,
        sol: `<p>Вычислим выражение:</p>
<p>$$\\dfrac{2}{3} \\cdot \\left(\\dfrac{3}{2}\\right)^2 + \\dfrac{1}{2} = \\dfrac{2}{3} \\cdot \\dfrac{9}{4} + \\dfrac{1}{2} = \\dfrac{18}{12} + \\dfrac{1}{2} = \\dfrac{3}{2} + \\dfrac{1}{2} = 2.$$</p>
<p>Вычислим число: $\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^0 = 1$.</p>
<p>Сравниваем: $2 \\gt 1$.</p>
<div class="sol-ans">Ответ: значение выражения больше числа $\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^0$</div>`
      },
      {
        text: `В классе $24$ учащихся. Сколько в классе мальчиков и сколько девочек,
               если отношение количества девочек к количеству мальчиков равно $3:5$?`,
        sol: `<b>Метод частей (деление в данном отношении):</b> если две величины относятся как $m:n$, считаем «части» — каждая величина равна нужному числу одинаковых частей. Тогда одна часть $= \\dfrac{\\text{целое}}{m+n}$.
<br><b>Шаг 1.</b> Отношение количества девочек к количеству мальчиков $3:5$. Значит, на $3$ части девочек приходится $5$ частей мальчиков, всего $3+5 = 8$ частей.
<br><b>Шаг 2.</b> Найдём, сколько учащихся в одной части. По условию всего в классе $24$ человека:
$$\\text{одна часть} = \\dfrac{24}{8} = 3\\text{ учащихся}.$$
<b>Шаг 3.</b> Найдём количество девочек ($3$ части) и мальчиков ($5$ частей):
$$\\text{девочки} = 3\\cdot 3 = 9,\\qquad \\text{мальчики} = 5\\cdot 3 = 15.$$
<b>Проверка.</b> $9 + 15 = 24$ ✓, отношение $9:15 = 3:5$ ✓.
<div class="sol-ans">Ответ: 9 девочек и 15 мальчиков</div>`
      },
      {
        text: `Дан равнобедренный треугольник с основанием $12$ см и боковой стороной $10$ см.
               Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.`,
        sol: `<b>Свойство равнобедренного треугольника:</b> высота, проведённая к основанию, делит основание пополам.
<br><b>Теорема Пифагора:</b> $c^2 = a^2 + b^2$ (в прямоугольном треугольнике).
<br><b>Формула радиуса вписанной окружности:</b> $r = \\dfrac{S}{p}$, где $S$ — площадь треугольника, $p$ — его полупериметр.
<br><b>Шаг 1.</b> Проведём высоту из вершины (между равными сторонами) на основание. По свойству равнобедренного треугольника она делит основание $12$ см пополам — на отрезки по $6$ см. Получился прямоугольный треугольник с гипотенузой (боковая сторона) $10$ см и одним катетом $6$ см. По теореме Пифагора найдём высоту:
$$h = \\sqrt{10^2 - 6^2} = \\sqrt{100 - 36} = \\sqrt{64} = 8\\text{ см}.$$
<b>Шаг 2.</b> Найдём площадь треугольника по формуле $S = \\dfrac{1}{2}\\cdot\\text{основание}\\cdot\\text{высота}$:
$$S = \\dfrac{1}{2}\\cdot 12\\cdot 8 = 48\\text{ см}^{2}.$$
<b>Шаг 3.</b> Найдём полупериметр (половину суммы всех сторон):
$$p = \\dfrac{12 + 10 + 10}{2} = \\dfrac{32}{2} = 16\\text{ см}.$$
<b>Шаг 4.</b> Применим формулу радиуса вписанной окружности:
$$r = \\dfrac{S}{p} = \\dfrac{48}{16} = 3\\text{ см}.$$
<svg viewBox="0 0 208 170" width="208" height="170" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="display:block;margin:8px auto;">
  <polygon points="20,148 188,148 104,36" fill="#eef4ff" stroke="#3a6bc4" stroke-width="2"/>
  <line x1="104" y1="36" x2="104" y2="148" stroke="#aaa" stroke-width="1" stroke-dasharray="4,3"/>
  <circle cx="104" cy="106" r="42" fill="none" stroke="#e05c00" stroke-width="1.5"/>
  <text x="5" y="155" text-anchor="start" font-size="13" fill="#222">A</text>
  <text x="190" y="155" text-anchor="start" font-size="13" fill="#222">C</text>
  <text x="99" y="28" text-anchor="middle" font-size="13" fill="#222">B</text>
  <text x="96" y="163" text-anchor="middle" font-size="11" fill="#555">12 см</text>
  <text x="49" y="100" text-anchor="middle" font-size="11" fill="#555">10 см</text>
  <text x="162" y="100" text-anchor="middle" font-size="11" fill="#555">10 см</text>
  <text x="112" y="92" text-anchor="start" font-size="11" fill="#555">8 см</text>
  <text x="104" y="112" text-anchor="middle" font-size="11" fill="#e05c00">r=3</text>
  <polyline points="96,148 96,140 104,140" fill="none" stroke="#888" stroke-width="1"/>
</svg>
<div class="sol-ans">Ответ: $r = 3$ см</div>`
      },
      {
        text: `Определите, принадлежит ли промежутку возрастания функции $y = x^2 - 4x + 5$
               число $\\sqrt{7}$. Ответ обоснуйте.`,
        sol: `<b>Выделение полного квадрата:</b> $x^2 - 2px + p^2 + r = (x-p)^2 + r$.
<br><b>Свойство параболы $y = a(x-x_{0})^2 + y_{0}$ при $a \\gt 0$:</b> ветви направлены вверх, вершина в точке $(x_{0};y_{0})$, функция убывает на $(-\\infty;\\,x_{0}]$ и возрастает на $[x_{0};\\,+\\infty)$.
<br><b>Оценка квадратного корня:</b> если $a^2 \\lt n \\lt b^2$ ($a,b\\gt 0$), то $a \\lt \\sqrt{n} \\lt b$.
<br><b>Шаг 1. Найдём промежуток возрастания.</b> Выделим полный квадрат в $y = x^2 - 4x + 5$. Замечаем, что $x^2 - 4x = (x-2)^2 - 4$, поэтому
$$y = (x-2)^2 - 4 + 5 = (x-2)^2 + 1.$$
Это парабола с ветвями вверх ($a = 1 \\gt 0$) и вершиной в точке $(2;\\,1)$. Значит, функция возрастает на промежутке $[2;\\,+\\infty)$.
<br><b>Шаг 2. Сравним $\\sqrt{7}$ с числом $2$.</b> Так как $2^2 = 4 \\lt 7 \\lt 9 = 3^2$, имеем $2 \\lt \\sqrt{7} \\lt 3$. В частности $\\sqrt{7} \\gt 2$.
<br><b>Шаг 3. Вывод.</b> Так как $\\sqrt{7} \\gt 2$, то $\\sqrt{7}$ принадлежит промежутку возрастания $[2;\\,+\\infty)$.
<div class="sol-ans">Ответ: да, $\\sqrt{7}$ принадлежит промежутку возрастания $[2;\\,+\\infty)$</div>`
      },
      {
        text: `Решите уравнение
               $\\dfrac{8}{x^2-4} = \\dfrac{x+2}{x-2} + \\dfrac{x}{x+2}$.`,
        sol: `<b>Формула разности квадратов:</b> $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
<br><b>Правило решения дробно-рационального уравнения:</b> сначала найти ОДЗ (значения переменной, при которых знаменатели не равны нулю), затем привести к общему знаменателю и умножить обе части на него, в конце — проверить, не выходят ли корни из ОДЗ.
<br><b>Шаг 1. Найдём ОДЗ.</b> Знаменатели: $x^2 - 4$, $x - 2$ и $x + 2$. По формуле разности квадратов: $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$. Поэтому ОДЗ: $x \\neq 2$ и $x \\neq -2$.
<br><b>Шаг 2.</b> Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x-2)(x+2)$. Первая дробь даст $8$, вторая — $(x+2)\\cdot(x+2) = (x+2)^2$, третья — $x\\cdot(x-2)$:
$$8 = (x+2)^2 + x(x-2).$$
<b>Шаг 3.</b> Раскроем скобки в правой части:
$$8 = x^2 + 4x + 4 + x^2 - 2x = 2x^2 + 2x + 4.$$
<b>Шаг 4.</b> Перенесём всё в одну сторону:
$$2x^2 + 2x - 4 = 0,$$
и разделим на $2$:
$$x^2 + x - 2 = 0.$$
<b>Шаг 5.</b> Разложим на множители: ищем два числа, произведение которых $-2$, а сумма $1$ — это $2$ и $-1$. Получаем $(x-1)(x+2) = 0$, откуда $x = 1$ или $x = -2$.
<br><b>Шаг 6.</b> Проверим по ОДЗ: $x = -2$ не входит (знаменатель обнуляется) — это <b>посторонний корень</b>. Остаётся $x = 1$.
<div class="sol-ans">Ответ: $x = 1$</div>`
      },
      {
        text: `Найдите область определения выражений
               $\\sqrt{\\dfrac{(x+1)(x-3)}{x(x+1)}}$ и $\\sqrt{\\dfrac{x-3}{x}}$.
               Запишите пересечение полученных множеств.`,
        sol: `<b>Условия существования выражения:</b>
<ul>
  <li>под чётным корнем — неотрицательное выражение: $\\sqrt{A}$ существует при $A \\geq 0$;</li>
  <li>знаменатель дроби не равен нулю: $\\dfrac{P}{Q}$ существует при $Q \\neq 0$.</li>
</ul>
<b>Шаг 1. Область определения первого выражения</b> $\\sqrt{\\dfrac{(x+1)(x-3)}{x(x+1)}}$.
<br>Сначала знаменатель: $x(x+1) \\neq 0$, то есть $x \\neq 0$ и $x \\neq -1$.
<br>При этих условиях множитель $(x+1)$ в числителе и знаменателе можно сократить, и дробь равна $\\dfrac{x-3}{x}$. Условие подкоренного выражения $\\geq 0$:
$$\\dfrac{x-3}{x} \\geq 0.$$
<b>Метод интервалов.</b> Нули: $x = 3$ (числитель), $x = 0$ (знаменатель, точка выколота). Дробь положительна при $x \\lt 0$ или $x \\gt 3$ и равна нулю при $x = 3$. С учётом $x \\neq -1$:
$$D_{1} = (-\\infty;\\,-1)\\cup(-1;\\,0)\\cup[3;\\,+\\infty).$$
<b>Шаг 2. Область определения второго выражения</b> $\\sqrt{\\dfrac{x-3}{x}}$.
<br>Условия: $x \\neq 0$ и $\\dfrac{x-3}{x} \\geq 0$ — те же интервалы, без выкалывания точки $-1$:
$$D_{2} = (-\\infty;\\,0)\\cup[3;\\,+\\infty).$$
<b>Шаг 3. Пересечение</b> $D_{1} \\cap D_{2}$. Поскольку $D_{1} \\subset D_{2}$ (множество $D_{1}$ — это $D_{2}$ с дополнительно выколотой точкой $-1$):
$$D_{1} \\cap D_{2} = D_{1} = (-\\infty;\\,-1)\\cup(-1;\\,0)\\cup[3;\\,+\\infty).$$
<div class="sol-ans">Ответ: $(-\\infty;\\,-1)\\cup(-1;\\,0)\\cup[3;\\,+\\infty)$</div>`
      },
      {
        text: `Две окружности касаются внешним образом в точке $A$.
               К ним проведена общая внешняя касательная $BC$, где $C$ и $B$ — точки касания.
               Найдите площадь треугольника $ABC$, если $AB = 6$ см, $AC = 8$ см.`,
        sol: `<p>Ключевое свойство: $\\angle BAC = 90°$.</p>
<p>Доказательство: Проведём общую внутреннюю касательную в точке касания $A$ (она перпендикулярна прямой центров). По теореме о касательно-хордовом угле угол между касательной в $A$ и хордой $AB$ (для первой окружности) равен вписанному углу, опирающемуся на дугу $AB$, который совпадает с углом $\\angle ACB$ (для второй окружности). Аналогично для $AC$. В итоге $\\angle BAC = 90°$.</p>
<p>Площадь прямоугольного треугольника с катетами $AB = 6$ и $AC = 8$:</p>
<p>$$S = \\dfrac{1}{2} \\cdot AB \\cdot AC = \\dfrac{1}{2} \\cdot 6 \\cdot 8 = 24 \\text{ см}^2.$$</p>
<svg viewBox="40 75 195 185" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:320px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
  <!-- Две окружности: O1=(82,121) r=30, O2=(132,188) r=53. Касаются в A=(100,145). -->
  <!-- Касательная BC через B=(100,97) и C=(164,145). Проверено: расст. от O1 до BC=30, от O2=53 ✓ -->
  <circle cx="82" cy="121" r="30" fill="rgba(37,99,235,0.07)" stroke="#2563eb" stroke-width="1.5"/>
  <circle cx="132" cy="188" r="53" fill="rgba(220,38,38,0.06)" stroke="#dc2626" stroke-width="1.5"/>
  <!-- Касательная BC (продлена от (88,88) до (176,154)) — проходит ровно через B и C -->
  <line x1="84" y1="85" x2="178" y2="157" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
  <!-- Треугольник ABC (прямой угол при A) -->
  <polygon points="100,145 100,97 164,145" fill="rgba(22,163,74,0.13)" stroke="#16a34a" stroke-width="1.8"/>
  <!-- Прямой угол при A=(100,145): AB вертикально ↑, AC горизонтально → -->
  <polygon points="100,145 108,145 108,137 100,137" fill="rgba(0,0,0,0.08)" stroke="#334155" stroke-width="1.2"/>
  <!-- Точки -->
  <circle cx="100" cy="145" r="3" fill="#16a34a"/>
  <circle cx="100" cy="97" r="3" fill="#2563eb"/>
  <circle cx="164" cy="145" r="3" fill="#dc2626"/>
  <!-- Метки вершин -->
  <text x="87" y="150" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic" fill="#15803d">A</text>
  <text x="87" y="93" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1d4ed8">B</text>
  <text x="168" y="150" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic" fill="#b91c1c">C</text>
  <!-- Метки центров -->
  <text x="64" y="122" font-size="10" fill="#2563eb">O₁</text>
  <text x="134" y="192" font-size="10" fill="#dc2626">O₂</text>
  <!-- Метки AB, AC, S -->
  <text x="88" y="121" font-size="11" fill="#15803d" font-weight="bold">6</text>
  <text x="132" y="158" font-size="11" fill="#15803d" font-weight="bold">8</text>
  <text x="116" y="136" font-size="11" fill="#15803d" font-weight="bold">S=24</text>
</svg>
<div class="sol-ans">Ответ: $S = 24$ см²</div>`
      },
    ]
};
