VARIANTS[66] = {
    label: "Вариант 66",
    tasks: [
      {
        text: `Из данных равенств выберите тождество:`,
        opts: [
          ["а", "$y + y + y + y + y = 5 + y$"], ["б", "$y \\cdot y \\cdot y \\cdot y \\cdot y \\cdot y = 6y^6$"], ["в", "$y + y + y = y^2$"],
          ["г", "$y + y + y + y = y^4$"], ["д", "$y \\cdot y \\cdot y \\cdot y = y^4$"],
        ],
        sol: `Тождество — равенство, верное при <em>любых</em> значениях переменной.
<ul>
  <li>а) $y+y+y+y+y=5+y$ — неверно: слева $5y$, справа $5+y$ (не одно и то же);</li>
  <li>б) $y\\cdot y\\cdot y\\cdot y\\cdot y\\cdot y=6y^6$ — неверно: слева $y^6$, не $6y^6$;</li>
  <li>в) $y+y+y=y^2$ — неверно: слева $3y$, справа $y^2$ (например, при $y=2$: $6\\neq 4$);</li>
  <li>г) $y+y+y+y=y^4$ — неверно: слева $4y$, справа $y^4$;</li>
  <li>д) $y\\cdot y\\cdot y\\cdot y=y^4$ — <b>верно</b> ✓ (произведение четырёх одинаковых множителей равно четвёртой степени).</li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: д)&ensp;$y\\cdot y\\cdot y\\cdot y=y^4$</div>`
      },
      {
        text: `Определите, в какой из данных точек график функции $y = 2x + 5$ пересекает ось ординат:`,
        opts: [
          ["а", "$A(2{,}5;\\;0)$"], ["б", "$B(0;\\;2{,}5)$"], ["в", "$C(5;\\;0)$"],
          ["г", "$D(-2{,}5;\\;0)$"], ["д", "$E(0;\\;5)$"],
        ],
        sol: `Ось ординат ($Oy$) — это прямая $x=0$. Подставим $x=0$ в уравнение функции:
$$y = 2\\cdot 0 + 5 = 5.$$
Значит, график пересекает ось $Oy$ в точке $(0;\\;5)$.
<div class="sol-ans">Ответ: д)&ensp;$E(0;\\;5)$</div>`
      },
      {
        text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
        opts: [
          ["а", "в ромб всегда можно вписать окружность;"],
          ["б", "для сторон треугольника $ABC$ верно $\\dfrac{AC}{\\sin B} = \\dfrac{BC}{\\sin A}$;"],
          ["в", "$\\cos 120^{\\circ} = \\dfrac{1}{2}$;"],
          ["г", "площадь круга находится по формуле $S = \\pi R^2$?"],
        ],
        sol: `<ul>
  <li>а) В ромб всегда можно вписать окружность (сумма противоположных сторон равна) — <b>верно</b>;</li>
  <li>б) Теорема синусов — <b>верно</b>;</li>
  <li>в) $\\cos 120^{\\circ}=\\cos(180^{\\circ}-60^{\\circ})=-\\cos 60^{\\circ}=-\\dfrac{1}{2}$ (отрицательное число!) — <b style="color:#dc2626">НЕВЕРНО</b>;</li>
  <li>г) Формула площади круга $S=\\pi R^2$ — <b>верно</b>.</li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: в)</div>`
      },
      {
        text: `Какая из следующих последовательностей является геометрической прогрессией? Ответ обоснуйте.<br>
               а) $25;\\; 35;\\; 45;\\; \\ldots$&emsp;
               б) $0{,}2;\\; 0{,}02;\\; 0{,}002;\\; \\ldots$&emsp;
               в) $\\dfrac{4}{3};\\; 9;\\; \\dfrac{5}{16};\\; \\ldots$&emsp;
               г) $5;\\; -5;\\; -15;\\; \\ldots$`,
        sol: `Геометрическая прогрессия — последовательность, в которой каждый член (начиная со второго) получается умножением предыдущего на одно и то же число $q$ (знаменатель прогрессии).
<ul>
  <li>а) $25;\\; 35;\\; 45;\\;\\ldots$ &nbsp; $\\dfrac{35}{25}=1{,}4,\\;\\dfrac{45}{35}\\approx1{,}286$ — отношения разные (АП с $d=10$). <b>Не ГП.</b></li>
  <li>б) $0{,}2;\\; 0{,}02;\\; 0{,}002;\\;\\ldots$ &nbsp; $\\dfrac{0{,}02}{0{,}2}=0{,}1,\\;\\dfrac{0{,}002}{0{,}02}=0{,}1$ — отношение постоянное, $q=0{,}1$. Это <b>ГП</b> ✓</li>
  <li>в) $\\dfrac{4}{3};\\; 9;\\; \\dfrac{5}{16};\\;\\ldots$ &nbsp; $\\dfrac{9}{4/3}=\\dfrac{27}{4},\\;\\dfrac{5/16}{9}=\\dfrac{5}{144}$ — отношения разные. <b>Не ГП.</b></li>
  <li>г) $5;\\; -5;\\; -15;\\;\\ldots$ &nbsp; $\\dfrac{-5}{5}=-1,\\;\\dfrac{-15}{-5}=3$ — отношения разные (АП с $d=-10$). <b>Не ГП.</b></li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: б)&ensp;$0{,}2;\\; 0{,}02;\\; 0{,}002;\\;\\ldots$ — ГП со знаменателем $q=0{,}1$.</div>`
      },
      {
        text: `Упростите выражение $\\dfrac{m^2}{m-1} \\cdot \\dfrac{m^2-2m+1}{2m^3}$.`,
        sol: `<b>Формула квадрата разности:</b> $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.
<br><b>Правило умножения дробей:</b> $\\dfrac{a}{b}\\cdot\\dfrac{c}{d}=\\dfrac{ac}{bd}$.
<br><b>Шаг 1. Найдём ОДЗ.</b> Знаменатели не равны нулю: $m-1\\neq 0$ и $2m^3\\neq 0$, значит $m\\neq 1$ и $m\\neq 0$.
<br><b>Шаг 2.</b> Разложим числитель второй дроби по формуле квадрата разности: $m^2-2m+1 = m^2 - 2\\cdot m\\cdot 1 + 1^2 = (m-1)^2$:
$$\\dfrac{m^2}{m-1}\\cdot\\dfrac{(m-1)^2}{2m^3}.$$
<b>Шаг 3.</b> Перемножим дроби и сократим общие множители $(m-1)$ и $m^2$:
$$\\dfrac{m^2(m-1)^2}{(m-1)\\cdot 2m^3} = \\dfrac{m-1}{2m}.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $\\dfrac{m-1}{2m}$.</div>`
      },
      {
        text: `Около окружности с радиусом $3$ см описана равнобедренная трапеция,
               площадь которой равна $24$ см². Найдите длину боковой стороны этой трапеции.`,
        sol: `<b>Свойство 1.</b> Высота трапеции, описанной около окружности, равна диаметру вписанной окружности:
$$h = 2r = 2\\cdot 3 = 6\\text{ см}.$$
<b>Свойство 2.</b> Для равнобедренной трапеции, описанной около окружности, суммы противоположных сторон равны:
$$a+b = 2c.$$
Из формулы площади трапеции $S=\\dfrac{a+b}{2}\\cdot h$:
$$24 = \\dfrac{a+b}{2}\\cdot 6 \\implies a+b = 8\\text{ см}.$$
<svg viewBox="0 0 165 110" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:320px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
  <polygon points="25,90 65,30 100,30 140,90" fill="rgba(37,99,235,0.06)" stroke="#475569" stroke-width="1.8"/>
  <circle cx="82" cy="60" r="21" fill="rgba(220,38,38,0.06)" stroke="#dc2626" stroke-width="1.5"/>
  <line x1="82" y1="60" x2="82" y2="90" stroke="#dc2626" stroke-width="1" stroke-dasharray="3,2"/>
  <circle cx="82" cy="60" r="2" fill="#dc2626"/>
  <line x1="82" y1="30" x2="82" y2="90" stroke="#16a34a" stroke-width="1" stroke-dasharray="4,2"/>
  <text x="14" y="102" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
  <text x="143" y="102" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">D</text>
  <text x="58" y="24" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
  <text x="102" y="24" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
  <text x="80" y="104" font-size="11" fill="#334155">a</text>
  <text x="80" y="22" font-size="11" fill="#334155">b</text>
  <text x="38" y="62" font-size="11" fill="#334155">c</text>
  <text x="123" y="62" font-size="11" fill="#334155">c</text>
  <text x="86" y="52" font-size="10" fill="#16a34a">h=6</text>
  <text x="64" y="78" font-size="10" fill="#dc2626" font-weight="bold">r=3</text>
</svg>
Тогда $2c = a+b = 8\\implies c = 4$ см.
<div class="sol-ans">Ответ: $c = 4$ см.</div>`
      },
      {
        text: `Сравните корень уравнения $\\dfrac{4}{3}\\left(\\dfrac{1}{2}x - 1\\right) = 4$
               с числом $\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^{-3}$.`,
        sol: `<b>Свойство степени с отрицательным показателем:</b> $\\left(\\dfrac{a}{b}\\right)^{-n} = \\left(\\dfrac{b}{a}\\right)^{n}$.
<br><b>Шаг 1.</b> Решим уравнение. Сначала избавимся от множителя $\\dfrac{4}{3}$ перед скобкой — разделим обе части на $\\dfrac{4}{3}$, то есть умножим на $\\dfrac{3}{4}$:
$$\\dfrac{1}{2}x - 1 = 4\\cdot\\dfrac{3}{4} = 3.$$
<b>Шаг 2.</b> Переносим $-1$ в правую часть:
$$\\dfrac{1}{2}x = 3 + 1 = 4.$$
<b>Шаг 3.</b> Умножим обе части на $2$:
$$x = 4\\cdot 2 = 8.$$
<b>Шаг 4.</b> Вычислим число для сравнения по свойству степени:
$$\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^{-3} = 2^{3} = 8.$$
<b>Шаг 5.</b> Сравниваем: $x = 8$ и $8$. Значит, корень уравнения <b>равен</b> числу $\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^{-3}$.
<div class="sol-ans">Ответ: корень уравнения равен числу $\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^{-3}$ (оба равны $8$).</div>`
      },
      {
        text: `Найдите сумму целых значений аргумента, для которых график функции
               $y = \\dfrac{2x-1}{x^2+x-12}$ расположен выше прямой $y = \\dfrac{1}{2}$.`,
        sol: `Условие: $\\dfrac{2x-1}{x^2+x-12} \\gt \\dfrac{1}{2}.$ Перенесём всё в одну часть:
$$\\dfrac{2x-1}{x^2+x-12} - \\dfrac{1}{2} \\gt 0 \\iff \\dfrac{2(2x-1)-(x^2+x-12)}{2(x^2+x-12)} \\gt 0 \\iff \\dfrac{-x^2+3x+10}{2(x^2+x-12)} \\gt 0.$$
Умножим числитель и знаменатель на $-1$ (знак меняется):
$$\\dfrac{x^2-3x-10}{2(x^2+x-12)} \\lt 0.$$
Разложим: $x^2-3x-10=(x-5)(x+2)$, $\\;x^2+x-12=(x+4)(x-3)$:
$$\\dfrac{(x-5)(x+2)}{2(x+4)(x-3)} \\lt 0.$$
Критические точки: $-4,\\;-2,\\;3,\\;5$ (точки $-4$ и $3$ исключены из ОДЗ).
<br><b>Метод интервалов:</b>
<table style="border-collapse:collapse;margin:8px 0;font-size:14px">
  <tr><th style="border:1px solid #cbd5e1;padding:4px 8px">интервал</th><th style="border:1px solid #cbd5e1;padding:4px 8px">$x\\lt-4$</th><th style="border:1px solid #cbd5e1;padding:4px 8px">$(-4;-2)$</th><th style="border:1px solid #cbd5e1;padding:4px 8px">$(-2;3)$</th><th style="border:1px solid #cbd5e1;padding:4px 8px">$(3;5)$</th><th style="border:1px solid #cbd5e1;padding:4px 8px">$x\\gt 5$</th></tr>
  <tr><td style="border:1px solid #cbd5e1;padding:4px 8px">знак дроби</td><td style="border:1px solid #cbd5e1;padding:4px 8px">$+$</td><td style="border:1px solid #cbd5e1;padding:4px 8px;color:#2563eb"><b>$-$</b></td><td style="border:1px solid #cbd5e1;padding:4px 8px">$+$</td><td style="border:1px solid #cbd5e1;padding:4px 8px;color:#2563eb"><b>$-$</b></td><td style="border:1px solid #cbd5e1;padding:4px 8px">$+$</td></tr>
</table>
Решение: $x\\in(-4;\\;-2)\\cup(3;\\;5)$.
<br>Целые значения: в $(-4;-2)$ — это $-3$; в $(3;5)$ — это $4$.
<br>Сумма: $-3+4=1$.
<div class="sol-ans">Ответ: $1$.</div>`
      },
      {
        text: `Дана окружность, длина которой равна $20\\pi$.
               Найдите площадь сектора круга, ограниченного этой окружностью,
               если угол этого сектора равен $72^{\\circ}$.`,
        sol: `<b>Формула длины окружности:</b> $C = 2\\pi R$.
<br><b>Формула площади сектора</b> с центральным углом $\\alpha^{\\circ}$: $S_{\\text{сект}} = \\dfrac{\\alpha}{360^{\\circ}}\\cdot \\pi R^{2}$.
<br><b>Шаг 1.</b> Найдём радиус. По условию длина окружности равна $20\\pi$, значит:
$$2\\pi R = 20\\pi \\implies R = 10\\text{ см}.$$
<b>Шаг 2.</b> Подставим в формулу площади сектора $\\alpha = 72^{\\circ}$ и $R = 10$:
$$S_{\\text{сект}} = \\dfrac{72}{360}\\cdot \\pi\\cdot 10^{2} = \\dfrac{1}{5}\\cdot 100\\pi = 20\\pi.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $20\\pi$ (кв. ед.).</div>`
      },
      {
        text: `На соревнованиях авиамоделистов первая модель пролетела на $10\\%$,
               или на $480$ м, меньше второй. Скорость первой модели на $20\\%$,
               или на $1$ м/с, больше скорости второй модели.
               Сколько минут находилась в воздухе каждая модель?`,
        sol: `<b>Связь процентов и десятичной дроби:</b> $10\\%=0{,}1$, $20\\%=0{,}2$.
<br><b>Формула пути:</b> $S=v\\cdot t$, откуда $t=\\dfrac{S}{v}$.
<br><b>Шаг 1. Найдём путь второй модели.</b> По условию $10\\%$ от $S_{2}$ — это и есть $480$ м (разница между путями моделей). Составим уравнение:
$$0{,}1\\cdot S_{2} = 480 \\implies S_{2} = \\dfrac{480}{0{,}1} = 4800\\text{ м}.$$
Первая модель пролетела на $480$ м меньше:
$$S_{1} = S_{2} - 480 = 4800 - 480 = 4320\\text{ м}.$$
<b>Шаг 2. Найдём скорость второй модели.</b> Аналогично, $20\\%$ от $v_{2}$ равны $1$ м/с:
$$0{,}2\\cdot v_{2} = 1 \\implies v_{2} = \\dfrac{1}{0{,}2} = 5\\text{ м/с}.$$
Скорость первой модели больше на $1$ м/с:
$$v_{1} = v_{2} + 1 = 6\\text{ м/с}.$$
<b>Шаг 3. Найдём время полёта</b> каждой модели и переведём в минуты ($60$ с $= 1$ мин):
$$t_{1} = \\dfrac{S_{1}}{v_{1}} = \\dfrac{4320}{6} = 720\\text{ с} = 12\\text{ мин};$$
$$t_{2} = \\dfrac{S_{2}}{v_{2}} = \\dfrac{4800}{5} = 960\\text{ с} = 16\\text{ мин}.$$
<div class="sol-ans">Ответ: 1-я модель — $12$ мин, 2-я модель — $16$ мин.</div>`
      },
    ]
};
