VARIANTS[32] = {
    label: "Вариант 32",
    tasks: [
      {
        text: `Значение выражения $7 : \\dfrac{7}{9} - 5$ равно:`,
        opts: [
          ["а", "$1$"], ["б", "$14$"], ["в", "$4$"],
          ["г", "$3$"], ["д", "$2$"],
        ],
        sol: `$7:\\dfrac{7}{9}-5 = 7\\cdot\\dfrac{9}{7}-5 = 9-5 = 4$. <div class="sol-ans">Ответ: в)&ensp;$4$</div>`
      },
      {
        text: `Запись выражения $\\dfrac{5a}{b^4} \\cdot \\dfrac{b}{a}$ в виде дроби имеет вид:`,
        opts: [
          ["а", "$\\dfrac{5}{b^4}$"], ["б", "$\\dfrac{5a^2}{b^5}$"], ["в", "$\\dfrac{5}{b^3}$"],
          ["г", "$\\dfrac{b^5}{5a^2}$"], ["д", "$\\dfrac{b}{a}$"],
        ],
        sol: `Сокращаем $a$ и $b$: $\\dfrac{5\\cancel{a}}{b^4}\\cdot\\dfrac{\\cancel{b}}{\\cancel{a}}=\\dfrac{5}{b^3}$. <div class="sol-ans">Ответ: в)&ensp;$\\dfrac{5}{b^3}$</div>`
      },
      {
        text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
        opts: [
          ["а", "окружность, описанная около треугольника, проходит через все его вершины;"],
          ["б", "косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к гипотенузе;"],
          ["в", "средняя линия трапеции равна полусумме её оснований;"],
          ["г", "радиус окружности, вписанной в треугольник, находится из формулы $S = pr$?"],
        ],
        sol: `а) Описанная окружность проходит через все вершины — верно. б) «Косинус = противолежащий катет / гипотенуза» — НЕВЕРНО: это синус. Косинус = прилежащий / гипотенуза. в) Средняя линия трапеции = полусумма оснований — верно. г) $S=pr$ — верно. <div class="sol-ans">Ответ: б)</div>`
      },
      {
        text: `Расстояние между городами на карте $9$ см.
               Определите это расстояние на местности, если масштаб карты $1 : 1\\,000\\,000$.`,
        sol: `Масштаб $1:1\\,000\\,000$: $9$ см $\\times 1\\,000\\,000 = 9\\,000\\,000$ см $= 90$ км. <div class="sol-ans">Ответ: $90$ км</div>`
      },
      {
        text: `На подкормку рассады овощей в теплице израсходовали $12$ кг удобрений,
               что составило $\\dfrac{1}{6}$ всей массы удобрений, купленных фермером.
               Сколько всего килограммов удобрений было куплено?`,
        sol: `<b>Правило нахождения числа по его части:</b> чтобы найти всё число, зная его часть $\\dfrac{m}{n}$, нужно эту часть разделить на $\\dfrac{m}{n}$ (или умножить на обратную дробь $\\dfrac{n}{m}$).
<br><b>Шаг 1.</b> Пусть всего было куплено $x$ кг удобрений. По условию израсходованные $12$ кг составляют $\\dfrac{1}{6}$ от $x$:
$$\\dfrac{1}{6}\\cdot x = 12.$$
<b>Шаг 2.</b> Умножим обе части уравнения на $6$, чтобы выразить $x$:
$$x = 12\\cdot 6 = 72\\text{ кг}.$$
<b>Проверка:</b> $\\dfrac{1}{6}\\cdot 72 = 12$ — совпадает с условием.
<div class="sol-ans">Ответ: $72$ кг</div>`
      },
      {
        text: `Найдите наибольшее целое решение двойного неравенства $-9 \\leq 3x - 6 < 6$.`,
        sol: `<b>Метод решения двойного неравенства:</b> выполняем одинаковые действия со всеми тремя частями. При умножении или делении на отрицательное число знаки неравенств меняются; на положительное — сохраняются.
<br><b>Шаг 1.</b> Прибавим $6$ ко всем трём частям, чтобы избавиться от $-6$ в средней части:
$$-9+6 \\leq 3x-6+6 \\lt 6+6$$
$$-3 \\leq 3x \\lt 12$$
<b>Шаг 2.</b> Разделим все части на $3$ (положительное число, знаки не меняются):
$$-1 \\leq x \\lt 4$$
<svg viewBox="0 0 260 52" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:260px;width:100%;height:auto;display:block;margin:6px 0">
  <defs><marker id="v32t6" viewBox="0 0 7 6" refX="7" refY="3" markerWidth="5" markerHeight="5" orient="auto"><path d="M0,0.5 L7,3 L0,5.5Z" fill="#555"/></marker></defs>
  <line x1="8" y1="26" x2="252" y2="26" stroke="#bbb" stroke-width="1.2" marker-end="url(#v32t6)"/>
  <line x1="60" y1="22" x2="60" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="60" y="43" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">−1</text>
  <line x1="100" y1="22" x2="100" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="100" y="43" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">0</text>
  <line x1="180" y1="22" x2="180" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="180" y="43" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">3</text>
  <line x1="220" y1="22" x2="220" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="220" y="43" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">4</text>
  <line x1="60" y1="26" x2="220" y2="26" stroke="#2563eb" stroke-width="4" stroke-linecap="round" opacity="0.5"/>
  <circle cx="60" cy="26" r="5" fill="#2563eb"/>
  <circle cx="220" cy="26" r="5" fill="white" stroke="#2563eb" stroke-width="2"/>
  <circle cx="180" cy="26" r="6" fill="none" stroke="#16a34a" stroke-width="2.5"/>
</svg>
<b>Шаг 3.</b> Правое неравенство строгое, поэтому $x=4$ не подходит. Наибольшее целое, строго меньшее $4$, — это $3$.
<div class="sol-ans">Ответ: $3$</div>`
      },
      {
        text: `$ABCD$ — прямоугольник с периметром $42$ см, у которого $BD = 15$ см.
               Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник $ADC$.`,
        sol: `<b>Формула периметра прямоугольника:</b> $P = 2(a+b)$.
<br><b>Теорема Пифагора:</b> в прямоугольном треугольнике $c^2 = a^2+b^2$. В прямоугольнике диагональ образует с двумя сторонами прямоугольный треугольник.
<br><b>Формула квадрата суммы:</b> $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.
<br><b>Формула радиуса вписанной окружности прямоугольного треугольника:</b> $r = \\dfrac{a+b-c}{2}$, где $a$, $b$ — катеты, $c$ — гипотенуза.
<br><b>Шаг 1.</b> Обозначим стороны прямоугольника $AB = a$, $AD = b$. Из периметра:
$$2(a+b) = 42 \\;\\implies\\; a+b = 21$$
<b>Шаг 2.</b> Диагональ $BD$ — гипотенуза прямоугольного $\\triangle ABD$ (прямой угол при $A$). По теореме Пифагора:
$$a^2+b^2 = BD^2 = 15^2 = 225$$
<b>Шаг 3.</b> Найдём $ab$ через квадрат суммы:
$$(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 \\;\\implies\\; 21^2 = 225+2ab$$
$$441 = 225+2ab \\;\\implies\\; 2ab = 216 \\;\\implies\\; ab = 108$$
<b>Шаг 4.</b> Стороны $a$ и $b$ — корни уравнения $t^2-21t+108=0$:
$$D = 21^2-4\\cdot 108 = 441-432 = 9, \\quad \\sqrt{D} = 3$$
$$t_{1,2} = \\dfrac{21\\pm 3}{2} = 12\\text{ или } 9$$
Значит $AB=12$ см, $AD=9$ см.
<br><b>Шаг 5.</b> Треугольник $ADC$ — прямоугольный с прямым углом при $D$ (стороны прямоугольника перпендикулярны). Катеты: $AD=9$, $DC=AB=12$. Гипотенуза $AC$ равна $BD=15$ (диагонали прямоугольника равны).
<svg viewBox="0 0 120 108" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:165px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px 0">
  <rect x="18" y="22" width="72" height="54" fill="rgba(37,99,235,0.06)" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.3"/>
  <polygon points="18,76 18,22 90,22" fill="rgba(37,99,235,0.12)" stroke="#2563eb" stroke-width="1.5"/>
  <circle cx="34" cy="38" r="14" fill="rgba(22,163,74,0.15)" stroke="#16a34a" stroke-width="1.5"/>
  <path d="M18,22 L26,22 L26,30 L18,30" fill="none" stroke="#334155" stroke-width="1.2"/>
  <line x1="34" y1="38" x2="18" y2="38" stroke="#16a34a" stroke-width="1" stroke-dasharray="3,2"/>
  <text x="5" y="80" font-size="11" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
  <text x="93" y="80" font-size="11" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
  <text x="93" y="20" font-size="11" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
  <text x="5" y="20" font-size="11" font-family="serif" font-style="italic">D</text>
  <text x="48" y="18" font-size="10" fill="#334155">12 см</text>
  <text x="2" y="53" font-size="10" fill="#334155">9</text>
  <text x="36" y="42" font-size="10" fill="#16a34a">r</text>
  <text x="42" y="58" font-size="10" fill="#475569">AC=15</text>
</svg>
<b>Шаг 6.</b> Применяем формулу радиуса вписанной окружности прямоугольного треугольника:
$$r = \\dfrac{AD+DC-AC}{2} = \\dfrac{9+12-15}{2} = \\dfrac{6}{2} = 3\\text{ см}$$
<div class="sol-ans">Ответ: $r=3$ см</div>`
      },
      {
        text: `При каких действительных значениях $a$ график функции $y = x^2 - 6x + 3a$
               имеет с осью абсцисс единственную общую точку?`,
        sol: `<b>Условие единственной общей точки параболы с осью $Ox$:</b> уравнение $y=0$ должно иметь ровно один корень. Для квадратного уравнения $Ax^2+Bx+C=0$ это значит, что дискриминант $D=B^2-4AC$ равен нулю.
<br><b>Шаг 1.</b> Точки пересечения с осью $Ox$ — это корни уравнения $y=0$:
$$x^2 - 6x + 3a = 0.$$
<b>Шаг 2.</b> Чтобы было ровно одно решение, нужно $D=0$. Вычислим дискриминант ($A=1$, $B=-6$, $C=3a$):
$$D = (-6)^2 - 4\\cdot 1\\cdot 3a = 36 - 12a.$$
<b>Шаг 3.</b> Приравниваем к нулю и решаем:
$$36 - 12a = 0 \\;\\implies\\; 12a = 36 \\;\\implies\\; a = 3.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $a = 3$</div>`
      },
      {
        text: `Какое наименьшее число членов прогрессии $31{,}5;\\; 36{,}5;\\; 41{,}5;\\; \\ldots$
               нужно взять, чтобы их сумма была больше $84$?`,
        sol: `<b>Формула суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:</b> $S_n = \\dfrac{2a_1+(n-1)d}{2}\\cdot n$.
<br><b>Шаг 1.</b> Из условия $a_1 = 31{,}5$. Разность прогрессии $d = 36{,}5-31{,}5 = 5$.
<br><b>Шаг 2.</b> Запишем формулу суммы:
$$S_n = \\dfrac{2\\cdot 31{,}5 + (n-1)\\cdot 5}{2}\\cdot n = \\dfrac{63+5n-5}{2}\\cdot n = \\dfrac{n(58+5n)}{2}$$
<b>Шаг 3.</b> Условие $S_n \\gt 84$:
$$\\dfrac{n(58+5n)}{2} \\gt 84$$
$$5n^2+58n - 168 \\gt 0$$
<b>Шаг 4.</b> Решаем уравнение $5n^2+58n-168=0$:
$$D = 58^2+4\\cdot 5\\cdot 168 = 3364+3360 = 6724 = 82^2$$
$$n = \\dfrac{-58+82}{10} = \\dfrac{24}{10} = 2{,}4$$
Неравенство выполняется при $n \\gt 2{,}4$ (так как коэффициент при $n^2$ положителен).
<br><b>Шаг 5.</b> Наименьшее натуральное $n$, удовлетворяющее $n\\gt 2{,}4$, — это $n=3$.
<br><b>Проверка:</b> $S_3 = 31{,}5+36{,}5+41{,}5 = 109{,}5 \\gt 84$ ✓.
<div class="sol-ans">Ответ: $3$</div>`
      },
      {
        text: `Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, $AB = CD$,
               диагональ $AC$ перпендикулярна стороне $CD$, угол $BAC$ равен углу $DAC$.
               Найдите площадь трапеции, если площадь треугольника $ADC$ равна $12$ см².`,
        sol: `<svg viewBox="0 0 210 215" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:320px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
  <polygon points="20,185 125,124 160,185" fill="rgba(22,163,74,0.20)" stroke="none"/>
  <polygon points="20,185 55,124 125,124" fill="rgba(37,99,235,0.15)" stroke="none"/>
  <polygon points="20,185 55,124 125,124 160,185" fill="none" stroke="#334155" stroke-width="2"/>
  <line x1="20" y1="185" x2="125" y2="124" stroke="#dc2626" stroke-width="2.2"/>
  <polygon points="125,124 116,129 121,138 130,133" fill="rgba(0,0,0,0.08)" stroke="#334155" stroke-width="1.4"/>
  <path d="M 48 185 A 28 28 0 0 1 44 171" fill="none" stroke="#475569" stroke-width="1.5"/>
  <path d="M 44 171 A 28 28 0 0 1 34 161" fill="none" stroke="#475569" stroke-width="1.5"/>
  <line x1="45" y1="175" x2="49" y2="181" stroke="#475569" stroke-width="2"/>
  <line x1="36" y1="163" x2="41" y2="168" stroke="#475569" stroke-width="2"/>
  <path d="M 138 185 A 22 22 0 0 1 149 166" fill="none" stroke="#475569" stroke-width="1.3"/>
  <text x="4" y="198" font-size="15" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">A</text>
  <text x="48" y="116" font-size="15" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">B</text>
  <text x="128" y="116" font-size="15" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">C</text>
  <text x="163" y="198" font-size="15" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">D</text>
  <text x="52" y="175" font-size="10" fill="#475569">30°</text>
  <text x="38" y="161" font-size="10" fill="#475569">30°</text>
  <text x="130" y="180" font-size="10" fill="#475569">60°</text>
  <text x="108" y="143" font-size="10" fill="#334155">90°</text>
  <text x="102" y="168" font-size="13" fill="#15803d" font-weight="bold" text-anchor="middle">12 см²</text>
  <text x="63" y="150" font-size="13" fill="#1d4ed8" font-weight="bold" text-anchor="middle">6 см²</text>
  <text x="27" y="160" font-size="10" fill="#334155" font-style="italic">a</text>
  <text x="139" y="148" font-size="10" fill="#334155" font-style="italic">a</text>
  <text x="84" y="118" font-size="10" fill="#334155" font-style="italic">a</text>
  <text x="82" y="200" font-size="10" fill="#334155" font-style="italic">2a</text>
</svg>
<b>Свойство равнобедренной трапеции:</b> в равнобедренной трапеции углы при основании равны.
<br><b>Сумма углов при боковой стороне трапеции:</b> равна $180°$, так как основания параллельны.
<br><b>Свойство прямоугольного треугольника $30°$-$60°$-$90°$:</b> катет, лежащий против угла $30°$, равен половине гипотенузы.
<br><b>Шаг 1.</b> Обозначим $\\angle DAC = \\angle BAC = \\alpha$. Тогда $\\angle DAB = 2\\alpha$.
<br><b>Шаг 2.</b> В прямоугольном $\\triangle ACD$ ($\\angle ACD = 90°$ по условию):
$$\\angle ADC = 90°-\\alpha$$
<b>Шаг 3.</b> Поскольку $ABCD$ — равнобедренная трапеция ($AB=CD$), углы при большем основании равны: $\\angle DAB = \\angle ADC$, то есть $2\\alpha = 90°-\\alpha$. Отсюда $\\alpha=30°$, значит $\\angle DAC=30°$, $\\angle ADC=60°$.
<br><b>Шаг 4.</b> В $\\triangle ACD$ обозначим $CD=a$. По свойству прямоугольного треугольника $30°$-$60°$-$90°$ катет $CD$ напротив $30°$ равен половине гипотенузы $AD$, поэтому $AD=2a$. Тогда $AC=a\\sqrt{3}$ (по теореме Пифагора или свойству).
<br><b>Шаг 5.</b> Найдём углы $\\triangle ABC$. Так как $AD\\|BC$, имеем $\\angle DAB+\\angle ABC=180°$, поэтому $\\angle ABC=180°-60°=120°$. Из суммы углов $\\triangle ABC$: $\\angle BCA = 180°-30°-120°=30°$. Поскольку $\\angle BAC=\\angle BCA=30°$, треугольник $ABC$ равнобедренный: $AB=BC=a$.
<br><b>Шаг 6.</b> Площадь треугольника $ABC$ (через две стороны и угол между ними):
$$S_{ABC} = \\dfrac{1}{2}\\cdot AB\\cdot BC\\cdot\\sin\\angle ABC = \\dfrac{1}{2}\\cdot a\\cdot a\\cdot\\sin 120° = \\dfrac{a^2\\sqrt{3}}{4}$$
А площадь $\\triangle ACD$ (прямоугольный, катеты $a$ и $a\\sqrt{3}$):
$$S_{ACD} = \\dfrac{1}{2}\\cdot a\\cdot a\\sqrt{3} = \\dfrac{a^2\\sqrt{3}}{2}$$
Видно, что $S_{ABC} = \\dfrac{1}{2}\\cdot S_{ACD}$.
<br><b>Шаг 7.</b> По условию $S_{ACD}=12$ см², значит:
$$S_{ABC} = \\dfrac{1}{2}\\cdot 12 = 6\\text{ см}^2$$
<b>Шаг 8.</b> Площадь всей трапеции:
$$S_{ABCD} = S_{ACD} + S_{ABC} = 12 + 6 = 18\\text{ см}^2$$
<div class="sol-ans">Ответ: $18$ см²</div>`
      },
    ]
};
