VARIANTS[57] = {
    label: "Вариант 57",
    tasks: [
      {
        text: `Определите рисунок, на котором изображён график функции $y = 3$:`,
        figure: `<img src="/img/exam9/v57_t1.png" class="task-fig" />`,
        sol: `Уравнение $y = 3$ задаёт <b>постоянную функцию</b>: при любом значении $x$ значение $y$ равно $3$.
<br>Графиком является <b>горизонтальная прямая</b>, параллельная оси $Ox$ и проходящая через точку $(0;\\,3)$ (на высоте $3$ над осью абсцисс).
<svg viewBox="0 0 220 180" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:220px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
  <defs><marker id="v57t1a" viewBox="0 0 7 6" refX="7" refY="3" markerWidth="6" markerHeight="6" orient="auto"><path d="M0,0.5 L7,3 L0,5.5Z" fill="#555"/></marker></defs>
  <line x1="20" y1="150" x2="210" y2="150" stroke="#888" stroke-width="1.2" marker-end="url(#v57t1a)"/>
  <line x1="110" y1="170" x2="110" y2="15" stroke="#888" stroke-width="1.2" marker-end="url(#v57t1a)"/>
  <text x="205" y="165" font-size="11" fill="#555">x</text>
  <text x="95" y="20" font-size="11" fill="#555">y</text>
  <text x="115" y="163" font-size="10" fill="#555">0</text>
  <line x1="20" y1="90" x2="200" y2="90" stroke="#2563eb" stroke-width="2.2"/>
  <circle cx="110" cy="90" r="3" fill="#2563eb"/>
  <text x="118" y="86" font-size="11" fill="#1d4ed8">y = 3</text>
  <line x1="107" y1="90" x2="113" y2="90" stroke="#1e293b" stroke-width="1"/>
  <text x="98" y="94" font-size="10" fill="#555">3</text>
</svg>
<div class="sol-ans">Ответ: горизонтальная прямая $y=3$, параллельная оси $Ox$ и проходящая через точку $(0;\\,3)$.</div>`
      },
      {
        text: `Определите, какой из данных одночленов записан в стандартном виде:`,
        opts: [
          ["а", "$3xyuz$"], ["б", "$-x \\cdot \\dfrac{1}{2} \\cdot y \\cdot z$"], ["в", "$0{,}25x^5yz$"],
          ["г", "$0{,}5x^5y \\cdot 2z$"], ["д", "$x^5y \\cdot 2zy$"],
        ],
        sol: `Одночлен записан <b>в стандартном виде</b>, если он представлен как произведение <em>одного числового коэффициента</em> и переменных, каждая из которых встречается ровно один раз и возведена в натуральную степень.
<ul>
  <li>а) $3xyuz$ — коэффициент один ($3$), но обычно требуется упорядочение; формально допустимо, однако чаще считают нестандартным из-за порядка переменных;</li>
  <li>б) $-x\\cdot\\dfrac{1}{2}\\cdot y\\cdot z$ — <b>два</b> числовых множителя ($-1$ и $\\tfrac{1}{2}$);</li>
  <li>в) $0{,}25x^5yz$ — один коэффициент $0{,}25$, переменные $x^5,\\ y,\\ z$ записаны по одному разу — <b>стандартный вид</b> ✓</li>
  <li>г) $0{,}5x^5y\\cdot 2z$ — два числовых множителя ($0{,}5$ и $2$);</li>
  <li>д) $x^5y\\cdot 2zy$ — переменная $y$ встречается дважды.</li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: в)&ensp;$0{,}25x^5yz$</div>`
      },
      {
        text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
        opts: [
          ["а", "$\\sin 30^{\\circ} = \\dfrac{1}{2}$;"],
          ["б", "площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними;"],
          ["в", "сумма углов прямоугольника равна $270^{\\circ}$;"],
          ["г", "периметр квадрата со стороной $a$ равен $4a$?"],
        ],
        sol: `<ul>
  <li>а) $\\sin 30^{\\circ}=\\dfrac{1}{2}$ — табличное значение, <b>верно</b>;</li>
  <li>б) $S_{\\triangle}=\\dfrac{1}{2}ab\\sin\\gamma$ — <b>верно</b>;</li>
  <li>в) Сумма углов любого выпуклого четырёхугольника, в том числе прямоугольника, равна $360^{\\circ}$ ($4\\cdot 90^{\\circ}=360^{\\circ}$), а не $270^{\\circ}$ — <b style="color:#dc2626">НЕВЕРНО</b>;</li>
  <li>г) $P_{\\text{кв}}=4a$ — <b>верно</b>.</li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: в)</div>`
      },
      {
        text: `Известно, что функция $y = f(x)$ нечётная и $f(5) = -9$, $f(-3) = 4$.
               Найдите значение выражения $f(3) + f(-5)$.`,
        sol: `Для нечётной функции выполняется тождество $f(-x)=-f(x)$.
<br>Тогда:
$$f(-5) = -f(5) = -(-9) = 9,$$
$$f(3) = -f(-3) = -4.$$
Складываем:
$$f(3)+f(-5) = -4 + 9 = 5.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $5$</div>`
      },
      {
        text: `Коробка конфет кондитерской фабрики «Коммунарка» стоит $17$ р. $60$ к.
               Какое наибольшее количество коробок можно купить на $130$ р.?`,
        sol: `<b>Метод составления неравенства по условию:</b> общая стоимость покупки не должна превосходить имеющейся суммы.<br>
<b>Шаг 1.</b> Переведём цену в рубли: $17$ р. $60$ к. $= 17{,}60$ р.<br>
<b>Шаг 2.</b> Обозначим $n$ — число коробок. Тогда стоимость $n$ коробок равна $17{,}60\\,n$ рублей. По условию её хватает на $130$ р., поэтому
$$17{,}60\\,n \\leq 130.$$
<b>Шаг 3.</b> Решаем неравенство, делим обе части на положительное число $17{,}60$:
$$n \\leq \\dfrac{130}{17{,}60} = 7{,}3863\\ldots$$
<b>Шаг 4.</b> Так как $n$ — натуральное число (количество коробок), наибольшее значение, удовлетворяющее $n\\leq 7{,}38\\ldots$, — это $n=7$.<br>
<b>Шаг 5.</b> Проверим:
<ul>
  <li>$7\\cdot 17{,}60 = 123{,}20$ р. $\\leq 130$ р. — подходит;</li>
  <li>$8\\cdot 17{,}60 = 140{,}80$ р. $\\gt 130$ р. — не подходит.</li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: $7$ коробок</div>`
      },
      {
        text: `В квадрат, диагональ которого равна $8$ см, вписана окружность.
               Найдите длину этой окружности.`,
        sol: `<b>Теорема Пифагора:</b> $c^2 = a^2 + b^2$.<br>
<b>Свойство квадрата:</b> диагональ квадрата делит его на два равных прямоугольных равнобедренных треугольника, у которых катеты — стороны квадрата.<br>
<b>Свойство вписанной окружности:</b> радиус окружности, вписанной в квадрат, равен половине стороны.<br>
<b>Формула длины окружности:</b> $C = 2\\pi R$.<br>
<b>Шаг 1. Находим сторону квадрата.</b><br>
Пусть $a$ — сторона, $d = 8$ — диагональ. По теореме Пифагора в одном из треугольников (катеты $a$ и $a$):
$$d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2 \\implies 2a^2 = 64 \\implies a^2 = 32 \\implies a = \\sqrt{32} = 4\\sqrt{2}\\text{ см}.$$
<b>Шаг 2. Находим радиус вписанной окружности.</b>
$$R = \\dfrac{a}{2} = \\dfrac{4\\sqrt{2}}{2} = 2\\sqrt{2}\\text{ см}.$$
<b>Шаг 3. Находим длину окружности.</b>
$$C = 2\\pi R = 2\\pi \\cdot 2\\sqrt{2} = 4\\pi\\sqrt{2}\\text{ см}.$$
<svg viewBox="0 0 200 200" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:200px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
  <rect x="30" y="30" width="140" height="140" fill="rgba(37,99,235,0.05)" stroke="#475569" stroke-width="1.8"/>
  <circle cx="100" cy="100" r="70" fill="none" stroke="#2563eb" stroke-width="1.8"/>
  <line x1="30" y1="30" x2="170" y2="170" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="5,3"/>
  <line x1="100" y1="100" x2="170" y2="100" stroke="#dc2626" stroke-width="1.4"/>
  <circle cx="100" cy="100" r="2.5" fill="#1e293b"/>
  <text x="22" y="26" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
  <text x="174" y="26" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
  <text x="174" y="182" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
  <text x="22" y="182" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">D</text>
  <text x="130" y="96" font-size="11" fill="#dc2626">R</text>
  <text x="86" y="116" font-size="11" font-family="serif" font-style="italic">O</text>
  <text x="80" y="20" font-size="11" fill="#475569">a = 4√2</text>
</svg>
<div class="sol-ans">Ответ: $C = 4\\pi\\sqrt{2}$ см</div>`
      },
      {
        text: `Найдите наименьшее целое значение переменной, при котором сумма дробей
               $\\dfrac{2x-5}{4}$ и $\\dfrac{3-4x}{6}$ неположительна.`,
        sol: `<b>Метод решения линейного неравенства</b> с дробями: приводим к общему знаменателю, домножаем на положительное число (знак не меняется), решаем.<br>
<b>Шаг 1.</b> «Неположительна» означает «не больше нуля», то есть $\\leq 0$. Записываем неравенство:
$$\\dfrac{2x-5}{4} + \\dfrac{3-4x}{6} \\leq 0.$$
<b>Шаг 2.</b> Приводим к общему знаменателю $12$ (наименьшее общее кратное чисел $4$ и $6$):
$$\\dfrac{3(2x-5) + 2(3-4x)}{12} \\leq 0.$$
<b>Шаг 3.</b> Раскрываем скобки в числителе:
$$\\dfrac{6x-15+6-8x}{12} \\leq 0 \\iff \\dfrac{-2x-9}{12} \\leq 0.$$
<b>Шаг 4.</b> Так как знаменатель $12\\gt 0$, неравенство равносильно тому, что числитель $\\leq 0$:
$$-2x-9 \\leq 0 \\iff -2x \\leq 9 \\iff x \\geq -\\dfrac{9}{2} = -4{,}5$$
(при делении на отрицательное число $-2$ знак неравенства меняется на противоположный).<br>
<b>Шаг 5.</b> Ищем наименьшее целое $x$, удовлетворяющее $x\\geq -4{,}5$. Это $x=-4$.
<div class="sol-ans">Ответ: $-4$</div>`
      },
      {
        text: `Упростите выражение
               $\\left(\\dfrac{9}{4-\\sqrt{7}} - \\dfrac{33}{6-\\sqrt{3}} - \\dfrac{4}{\\sqrt{7}+\\sqrt{3}}\\right)^{\\!2}$.`,
        sol: `<b>Метод рационализации знаменателя:</b> чтобы убрать корень из знаменателя, умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое выражение. При этом срабатывает формула разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.<br>
<b>Шаг 1.</b> Преобразуем первую дробь. Сопряжённое к $4-\\sqrt{7}$ — это $4+\\sqrt{7}$:
$$\\dfrac{9}{4-\\sqrt{7}} = \\dfrac{9(4+\\sqrt{7})}{(4-\\sqrt{7})(4+\\sqrt{7})} = \\dfrac{9(4+\\sqrt{7})}{16-7} = \\dfrac{9(4+\\sqrt{7})}{9} = 4+\\sqrt{7}.$$
<b>Шаг 2.</b> Преобразуем вторую дробь. Сопряжённое к $6-\\sqrt{3}$ — это $6+\\sqrt{3}$:
$$\\dfrac{33}{6-\\sqrt{3}} = \\dfrac{33(6+\\sqrt{3})}{36-3} = \\dfrac{33(6+\\sqrt{3})}{33} = 6+\\sqrt{3}.$$
<b>Шаг 3.</b> Преобразуем третью дробь. Сопряжённое к $\\sqrt{7}+\\sqrt{3}$ — это $\\sqrt{7}-\\sqrt{3}$:
$$\\dfrac{4}{\\sqrt{7}+\\sqrt{3}} = \\dfrac{4(\\sqrt{7}-\\sqrt{3})}{7-3} = \\dfrac{4(\\sqrt{7}-\\sqrt{3})}{4} = \\sqrt{7}-\\sqrt{3}.$$
<b>Шаг 4.</b> Подставляем в исходное выражение и приводим подобные слагаемые:
$$(4+\\sqrt{7}) - (6+\\sqrt{3}) - (\\sqrt{7}-\\sqrt{3}) = 4+\\sqrt{7} - 6 - \\sqrt{3} - \\sqrt{7} + \\sqrt{3} = -2.$$
<b>Шаг 5.</b> По условию надо возвести в квадрат:
$$(-2)^2 = 4.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $4$</div>`
      },
      {
        text: `Дан параллелограмм $ABCD$. На стороне $BC$ взята некоторая точка $M$.
               Отрезок $DM$ пересекает диагональ $AC$ в точке $K$.
               Площади треугольников $MCK$ и $DCK$ равны соответственно $9$ см² и $15$ см².
               Найдите площадь параллелограмма.`,
        sol: `<svg viewBox="0 0 280 170" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:340px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
  <!-- A=(30,140), B=(50,40), C=(250,40), D=(230,140). -->
  <!-- CM=3/5·AD=120px → M=(130,40). K на AC при t=5/8 → K=(167.5, 77.5)≈(168,78) -->
  <polygon points="30,140 50,40 250,40 230,140" fill="rgba(37,99,235,0.06)" stroke="#475569" stroke-width="1.8"/>
  <!-- Диагональ AC -->
  <line x1="30" y1="140" x2="250" y2="40" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="5,3"/>
  <!-- Отрезок DM -->
  <line x1="230" y1="140" x2="130" y2="40" stroke="#dc2626" stroke-width="1.8"/>
  <!-- Подсветка треугольников MCK (S=9) и DCK (S=15) -->
  <polygon points="130,40 250,40 168,78" fill="rgba(220,38,38,0.18)" stroke="none"/>
  <polygon points="230,140 250,40 168,78" fill="rgba(22,163,74,0.18)" stroke="none"/>
  <!-- Точки M и K -->
  <circle cx="130" cy="40" r="3.5" fill="#dc2626"/>
  <circle cx="168" cy="78" r="3.5" fill="#16a34a"/>
  <!-- Подписи -->
  <text x="18" y="155" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
  <text x="42" y="34" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
  <text x="252" y="34" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
  <text x="234" y="155" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">D</text>
  <text x="123" y="34" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic" fill="#dc2626">M</text>
  <text x="172" y="76" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic" fill="#16a34a">K</text>
  <text x="195" y="58" font-size="11" fill="#dc2626" font-weight="bold">9</text>
  <text x="218" y="100" font-size="11" fill="#16a34a" font-weight="bold">15</text>
</svg>
Треугольники $MCK$ и $DCK$ имеют общую вершину $C$, а основания $MK$ и $KD$ лежат на одной прямой $DM$. Значит, их площади относятся как длины оснований:
$$\\dfrac{S_{MCK}}{S_{DCK}} = \\dfrac{MK}{KD} = \\dfrac{9}{15} = \\dfrac{3}{5}.$$
Так как $AD\\parallel BC$, то $\\triangle AKD \\sim \\triangle CKM$ (по двум углам: $\\angle AKD=\\angle CKM$ — вертикальные, $\\angle KAD=\\angle KCM$ — накрест-лежащие).
<br>Коэффициент подобия:
$$\\dfrac{AD}{CM} = \\dfrac{KD}{KM} = \\dfrac{5}{3} \\implies CM = \\dfrac{3}{5}AD.$$
Площадь треугольника $CDM$:
$$S_{CDM} = S_{MCK} + S_{DCK} = 9 + 15 = 24\\text{ см}^2.$$
С другой стороны, если $h$ — высота параллелограмма, опущенная на $BC$, то $S_{CDM}=\\dfrac{1}{2}\\cdot CM\\cdot h$:
$$24 = \\dfrac{1}{2}\\cdot\\dfrac{3}{5}AD\\cdot h \\implies AD\\cdot h = \\dfrac{24\\cdot 2\\cdot 5}{3} = 80.$$
Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту:
$$S_{ABCD} = AD\\cdot h = 80\\text{ см}^2.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $80$ см²</div>`
      },
      {
        text: `Решите систему уравнений
               $$\\begin{cases} xy - x - y = 29, \\\\[4pt] x^2 + y^2 - x - y = 72. \\end{cases}$$`,
        sol: `<b>Идея:</b> в каждом уравнении встречается выражение $x+y$. Введём <em>одну</em> замену $s = x+y$.
<br><br>
<b>Шаг 1.</b> Из первого уравнения выражаем $xy$:
$$xy = s + 29$$
Из второго — выражаем $x^2+y^2$:
$$x^2+y^2 = s + 72$$
<b>Шаг 2.</b> Применяем тождество $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$, то есть $x^2+y^2 = s^2 - 2xy$.
<br>Подставляем найденные выражения:
$$s + 72 = s^2 - 2(s+29)$$
$$s + 72 = s^2 - 2s - 58$$
$$s^2 - 3s - 130 = 0$$
<b>Шаг 3. Решаем квадратное уравнение.</b>
<br>$D = 9+520 = 529 = 23^2$, корни:
$$s = \\dfrac{3\\pm23}{2}: \\quad s_1 = 13,\\quad s_2 = -10$$
<b>Шаг 4. Для каждого $s$ восстанавливаем $x$ и $y$.</b>
<br>Если $x+y = s$ и $xy = s+29$, то по обратной теореме Виета $x$ и $y$ — корни уравнения $t^2 - st + (s+29) = 0$.
<br><br>
<b>Случай 1:</b>&ensp;$s = 13$, $xy = 42$.
$$t^2 - 13t + 42 = 0 \\implies (t-6)(t-7)=0 \\implies t = 6\\text{ или }7$$
$$(x;\\,y) = (6;\\,7)\\ \\text{или}\\ (7;\\,6)$$
<b>Проверка:</b> $6\\cdot7-6-7 = 42-13 = 29$ ✓;&ensp; $36+49-6-7 = 72$ ✓.
<br><br>
<b>Случай 2:</b>&ensp;$s = -10$, $xy = 19$.
$$t^2 + 10t + 19 = 0 \\implies D = 100-76 = 24 \\implies t = -5\\pm\\sqrt{6}$$
$$(x;\\,y) = (-5+\\sqrt{6};\\,-5-\\sqrt{6})\\ \\text{или}\\ (-5-\\sqrt{6};\\,-5+\\sqrt{6})$$
<div class="sol-ans">Ответ: $(6;\\,7),\\ (7;\\,6),\\ (-5+\\sqrt{6};\\,-5-\\sqrt{6}),\\ (-5-\\sqrt{6};\\,-5+\\sqrt{6})$</div>`
      },
    ]
};
