VARIANTS[53] = {
    label: "Вариант 53",
    tasks: [
      {
        text: `Определите, какое из данных чисел <b>НЕ</b> является решением неравенства $x^2 \\leq 4$:`,
        opts: [
          ["а", "$0$"], ["б", "$1$"], ["в", "$2$"], ["г", "$-3$"], ["д", "$-2$"],
        ],
        sol: `<b>Решение неравенства:</b><br>
              $x^2 \\leq 4 \\iff |x| \\leq 2 \\iff -2 \\leq x \\leq 2$.<br>
              <br>
              Проверяем числа: $0,\\ 1,\\ 2,\\ -2$ принадлежат отрезку $[-2;\\ 2]$ — это решения.<br>
              Число $-3 \\notin [-2;\\ 2]$, так как $(-3)^2 = 9 > 4$.<br>
              <div class="sol-ans">Ответ: г) $-3$</div>`
      },
      {
        text: `Значение выражения $\\dfrac{18 \\cdot 9 + 18 \\cdot 3}{18 \\cdot 12}$ равно:`,
        opts: [
          ["а", "$18$"], ["б", "$1$"], ["в", "$12$"], ["г", "$2$"], ["д", "$4$"],
        ],
        sol: `<b>Вычисление:</b> вынесем общий множитель $18$ в числителе:<br>
              $\\dfrac{18 \\cdot 9 + 18 \\cdot 3}{18 \\cdot 12} = \\dfrac{18(9+3)}{18 \\cdot 12} = \\dfrac{18 \\cdot 12}{18 \\cdot 12} = 1$.
              <div class="sol-ans">Ответ: б) $1$</div>`
      },
      {
        text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
        opts: [
          ["а", "диагонали прямоугольника равны между собой;"],
          ["б", "для прямоугольного треугольника с катетами $m$ и $n$ и гипотенузой $k$ справедливо $m^2 + n^2 = k^2$;"],
          ["в", "в треугольнике может быть два прямых угла;"],
          ["г", "вписанный угол равен половине соответствующего центрального угла?"],
        ],
        sol: `<b>Анализ утверждений:</b>
              <ul>
                <li>а) верно — свойство прямоугольника;</li>
                <li>б) верно — теорема Пифагора;</li>
                <li>в) <b>не верно</b> — сумма углов треугольника равна $180^{\\circ}$, а два прямых угла дают $90^{\\circ}+90^{\\circ}=180^{\\circ}$, тогда на третий угол не остаётся;</li>
                <li>г) верно — теорема о вписанном угле.</li>
              </ul>
              <div class="sol-ans">Ответ: в)</div>`
      },
      {
        text: `Найдите значения аргумента, при которых значения функции $y = -9x + 7$ неположительны.`,
        sol: `<b>Условие:</b> $y \\leq 0$, то есть $-9x + 7 \\leq 0$.<br>
              <br>
              $-9x \\leq -7 \\iff 9x \\geq 7 \\iff x \\geq \\dfrac{7}{9}$.
              <div class="sol-ans">Ответ: $x \\geq \\dfrac{7}{9}$</div>`
      },
      {
        text: `Найдите значение выражения $(18n^4 + 27n^3) : (9n^2) - 10n^3 : (5n)$ при $n = -4$.`,
        sol: `<b>Правило деления многочлена на одночлен:</b> делим каждый член многочлена на этот одночлен. Для степеней: $\\dfrac{a^m}{a^k}=a^{m-k}$.<br>
              <b>Шаг 1.</b> Сначала упростим выражение, а потом подставим число — так считать проще, чем сразу подставлять $n=-4$.<br>
              <b>Шаг 2.</b> Делим первый многочлен на $9n^2$ почленно:
              $$\\dfrac{18n^4 + 27n^3}{9n^2} = \\dfrac{18n^4}{9n^2} + \\dfrac{27n^3}{9n^2} = 2n^2 + 3n.$$
              <b>Шаг 3.</b> Делим второй одночлен:
              $$\\dfrac{10n^3}{5n} = 2n^2.$$
              <b>Шаг 4.</b> Вычитаем результаты:
              $$(2n^2 + 3n) - 2n^2 = 3n.$$
              <b>Шаг 5.</b> Подставляем $n=-4$:
              $$3 \\cdot (-4) = -12.$$
              <div class="sol-ans">Ответ: $-12$</div>`
      },
      {
        text: `$ABCD$ — равнобедренная трапеция с основаниями $AD = 10$ см, $BC = 6$ см.
               Диагональ $BD$ равна $10$ см. Найдите площадь трапеции.`,
        sol: `<svg viewBox="0 0 220 195" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:300px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px auto">
  <!-- Точные пропорции: AD=10, BC=6, BD=10, h=6, AH=2, HD=8. Масштаб 18px/см -->
  <!-- A=(20,168), D=(200,168), B=(56,60), C=(164,60), H=(56,168) -->
  <polygon points="20,168 200,168 164,60 56,60" fill="rgba(37,99,235,0.07)" stroke="#334155" stroke-width="2"/>
  <line x1="56" y1="60" x2="200" y2="168" stroke="#dc2626" stroke-width="2"/>
  <line x1="56" y1="60" x2="56" y2="168" stroke="#16a34a" stroke-width="1.8" stroke-dasharray="5,3"/>
  <polygon points="56,168 64,168 64,160 56,160" fill="none" stroke="#16a34a" stroke-width="1.2"/>
  <text x="6" y="180" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
  <text x="203" y="180" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">D</text>
  <text x="48" y="54" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
  <text x="167" y="54" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
  <text x="50" y="184" font-size="11" font-family="serif" font-style="italic" fill="#16a34a">H</text>
  <text x="105" y="184" font-size="11" fill="#334155">10</text>
  <text x="105" y="54" font-size="11" fill="#334155">6</text>
  <text x="33" y="118" font-size="12" fill="#16a34a" font-weight="bold">h=6</text>
  <text x="120" y="120" font-size="11" fill="#dc2626" font-weight="bold">BD=10</text>
  <text x="32" y="180" font-size="9" fill="#475569">AH=2</text>
  <text x="115" y="180" font-size="9" fill="#475569">HD=8</text>
</svg>
              <b>Свойство равнобедренной трапеции:</b> высоты, опущенные из вершин меньшего основания на большее, отсекают по краям равные отрезки длины $\\dfrac{AD - BC}{2}$.<br>
              <b>Теорема Пифагора:</b> $c^2 = a^2 + b^2$ в прямоугольном треугольнике.<br>
              <b>Формула площади трапеции:</b> $S = \\dfrac{a + b}{2} \\cdot h$.<br>
              <b>Шаг 1. Находим положение основания высоты.</b><br>
              Опустим высоту $BH \\perp AD$. Так как трапеция равнобедренная,
              $$AH = \\dfrac{AD - BC}{2} = \\dfrac{10 - 6}{2} = 2\\text{ см},$$
              а $HD = AD - AH = 10 - 2 = 8$ см.<br>
              <b>Шаг 2. Находим высоту $BH$ по теореме Пифагора.</b><br>
              В прямоугольном $\\triangle BHD$ гипотенуза $BD = 10$ и катет $HD = 8$:
              $$BH = \\sqrt{BD^2 - HD^2} = \\sqrt{100 - 64} = \\sqrt{36} = 6\\text{ см}.$$
              <b>Шаг 3. Находим площадь.</b>
              $$S = \\dfrac{AD + BC}{2} \\cdot BH = \\dfrac{10 + 6}{2} \\cdot 6 = 8 \\cdot 6 = 48\\text{ см}^2.$$
              <div class="sol-ans">Ответ: $48$ см²</div>`
      },
      {
        text: `Решите уравнение $1 + \\dfrac{5}{m^2 - m - 6} = \\dfrac{-1}{m + 2}$.`,
        sol: `<b>План решения дробного уравнения:</b> разложить знаменатели, найти ОДЗ, умножить на общий знаменатель, решить полученное уравнение и проверить корни.<br>
              <b>Шаг 1. Раскладываем знаменатель.</b><br>
              По теореме Виета подбираем числа $-3$ и $2$ (произведение $-6$, сумма $-1$):
              $$m^2 - m - 6 = (m - 3)(m + 2).$$
              <b>Шаг 2. Находим ОДЗ.</b><br>
              Знаменатели не должны равняться нулю: $m \\neq 3,\\; m \\neq -2$.<br>
              <b>Шаг 3. Умножаем обе части на общий знаменатель $(m-3)(m+2)$.</b><br>
              $$(m-3)(m+2) + 5 = -(m-3).$$
              <b>Шаг 4. Раскрываем скобки.</b><br>
              $m^2 - m - 6 + 5 = -m + 3$;<br>
              $m^2 - m - 1 = -m + 3$;<br>
              $m^2 = 4$, откуда $m = \\pm 2$.<br>
              <b>Шаг 5. Проверяем корни по ОДЗ.</b><br>
              $m = -2$ не входит в ОДЗ — отбрасываем. Значит, остаётся $m = 2$.
              <div class="sol-ans">Ответ: $m = 2$</div>`
      },
      {
        text: `Найдите значение выражения $\\dfrac{9}{2-\\sqrt{13}} - \\dfrac{12}{5+\\sqrt{13}}$.
               В ответ запишите число, обратное полученному.`,
        sol: `<b>Метод рационализации знаменателя:</b> чтобы убрать корень из знаменателя, умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое выражение. При этом используется формула разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.<br>
              <b>Шаг 1.</b> Преобразуем первую дробь. Сопряжённое к $2-\\sqrt{13}$ — это $2+\\sqrt{13}$:
              $$\\dfrac{9}{2-\\sqrt{13}} = \\dfrac{9(2+\\sqrt{13})}{(2-\\sqrt{13})(2+\\sqrt{13})} = \\dfrac{9(2+\\sqrt{13})}{4-13} = \\dfrac{9(2+\\sqrt{13})}{-9} = -(2+\\sqrt{13}).$$
              <b>Шаг 2.</b> Преобразуем вторую дробь. Сопряжённое к $5+\\sqrt{13}$ — это $5-\\sqrt{13}$:
              $$\\dfrac{12}{5+\\sqrt{13}} = \\dfrac{12(5-\\sqrt{13})}{25-13} = \\dfrac{12(5-\\sqrt{13})}{12} = 5-\\sqrt{13}.$$
              <b>Шаг 3.</b> Считаем разность дробей:
              $$-(2+\\sqrt{13}) - (5-\\sqrt{13}) = -2 - \\sqrt{13} - 5 + \\sqrt{13} = -7.$$
              <b>Шаг 4.</b> По условию записываем число, обратное полученному. Обратное к $-7$ — это
              $$\\dfrac{1}{-7} = -\\dfrac{1}{7}.$$
              <div class="sol-ans">Ответ: $-\\dfrac{1}{7}$</div>`
      },
      {
        text: `Плиточник планирует уложить $300$ м² плитки. Если он будет укладывать на $5$ м²
               в день больше, чем запланировал, то закончит работу на $5$ дней раньше.
               Сколько квадратных метров плитки в день планирует укладывать плиточник?
               Успеет ли он выполнить заказ за $20$ рабочих дней, если будет работать с опережением?
               Ответ обоснуйте.`,
        sol: `<b>Пусть</b> $x$ м²/день — плановая производительность ($x>0$).<br>
              Плановое время: $\\dfrac{300}{x}$ дней; ускоренное: $\\dfrac{300}{x+5}$ дней.<br>
              <br>
              <b>Уравнение:</b> $\\dfrac{300}{x} - \\dfrac{300}{x+5} = 5$.<br>
              $300(x+5) - 300x = 5x(x+5)$;<br>
              $1500 = 5x^2 + 25x \\implies x^2 + 5x - 300 = 0$.<br>
              <br>
              $D = 25 + 1200 = 1225 = 35^2$;<br>
              $x = \\dfrac{-5 + 35}{2} = 15$ (отрицательный корень не подходит).<br>
              <br>
              <b>Плановая производительность:</b> $15$ м²/день; плановый срок $\\dfrac{300}{15}=20$ дней.<br>
              С опережением: $15+5=20$ м²/день, тогда срок $\\dfrac{300}{20}=15$ дней $< 20$ дней — <b>успеет</b>.
              <div class="sol-ans">Ответ: $15$ м²/день; да, успеет (закончит за $15$ дней).</div>`
      },
      {
        text: `В треугольник $ABC$ со сторонами $AB = 5$, $BC = 7$, $AC = 8$ вписана окружность.
               Касательная $MK$ к окружности пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $M$ и $K$
               так, что $MK$ не параллельна $BC$.
               Найдите периметр треугольника $AMK$.`,
        sol: `<svg viewBox="0 0 280 230" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:380px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px auto">
  <!-- Точные пропорции треугольника 5-7-8, масштаб 25px/см. -->
  <!-- A=(40,195), B=(103,87), C=(240,195). I=(115,152), r=√3·25≈43px -->
  <!-- P=(78,130) — касание на AB; Q=(115,195) — на AC; T=(100,192) — на MK -->
  <!-- M=(52,175) на AB, K=(107,195) на AC -->
  <!-- Треугольник ABC -->
  <polygon points="40,195 103,87 240,195" fill="rgba(234,179,8,0.05)" stroke="#92400e" stroke-width="2"/>
  <!-- Подсветка треугольника AMK -->
  <polygon points="40,195 52,175 107,195" fill="rgba(22,163,74,0.22)" stroke="#16a34a" stroke-width="2"/>
  <!-- Вписанная окружность -->
  <circle cx="115" cy="152" r="43" fill="rgba(37,99,235,0.06)" stroke="#0369a1" stroke-width="1.6" stroke-dasharray="4,3"/>
  <!-- Касательная MK (через точку T) -->
  <line x1="45" y1="173" x2="118" y2="200" stroke="#16a34a" stroke-width="2"/>
  <!-- Радиусы к точкам касания -->
  <line x1="115" y1="152" x2="78" y2="130" stroke="#0369a1" stroke-width="1" stroke-dasharray="3,2"/>
  <line x1="115" y1="152" x2="115" y2="195" stroke="#0369a1" stroke-width="1" stroke-dasharray="3,2"/>
  <line x1="115" y1="152" x2="100" y2="192" stroke="#0369a1" stroke-width="1" stroke-dasharray="3,2"/>
  <!-- Точки касания (красные) -->
  <circle cx="78" cy="130" r="3.5" fill="#dc2626"/>
  <circle cx="115" cy="195" r="3.5" fill="#dc2626"/>
  <circle cx="100" cy="192" r="3.5" fill="#dc2626"/>
  <!-- M и K (зелёные) -->
  <circle cx="52" cy="175" r="4" fill="#16a34a"/>
  <circle cx="107" cy="195" r="4" fill="#16a34a"/>
  <!-- Центр I -->
  <circle cx="115" cy="152" r="2.5" fill="#0369a1"/>
  <!-- Метки вершин -->
  <text x="22" y="208" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
  <text x="96" y="80" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
  <text x="246" y="208" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
  <!-- Метки точек касания -->
  <text x="65" y="127" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic" fill="#dc2626">P</text>
  <text x="119" y="208" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic" fill="#dc2626">Q</text>
  <text x="92" y="186" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic" fill="#dc2626">T</text>
  <!-- Метки M и K -->
  <text x="38" y="172" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic" fill="#16a34a">M</text>
  <text x="100" y="212" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic" fill="#16a34a">K</text>
  <!-- Метка I -->
  <text x="119" y="148" font-size="11" font-family="serif" font-style="italic" fill="#0369a1">I</text>
  <!-- Длины сторон -->
  <text x="55" y="145" font-size="12" fill="#334155">5</text>
  <text x="180" y="135" font-size="12" fill="#334155">7</text>
  <text x="155" y="210" font-size="12" fill="#334155">8</text>
  <!-- Подсказка AP=AQ=3 -->
  <text x="160" y="160" font-size="11" fill="#dc2626" font-weight="bold">AP=AQ=3</text>
</svg>
<b>Шаг 1. Точки касания вписанной окружности.</b>
<br>Окружность касается стороны $AB$ в точке $P$, стороны $AC$ — в точке $Q$, а касательной $MK$ — в точке $T$.
<br><b>Шаг 2. Длина $AP$ через полупериметр.</b>
<br>Полупериметр: $s=\\dfrac{5+7+8}{2}=10$.
<br>По известной формуле, касательная из вершины $A$ равна $s$ минус противоположная сторона:
$$AP = AQ = s - BC = 10 - 7 = 3\\text{ см}$$
<br><b>Шаг 3. Касательные из точек $M$ и $K$.</b>
<br>Из точки $M$ проведены две касательные: одна вдоль $AB$ (касается в $P$), другая — отрезок $MT$. По свойству касательных из одной внешней точки:
$$MP = MT$$
Аналогично из $K$:
$$KQ = KT$$
<br><b>Шаг 4. Периметр $\\triangle AMK$.</b>
<br>Распишем периметр и заменим $MT \\to MP$, $TK \\to KQ$:
$$P_{AMK} = \\underbrace{AM}_{\\text{на }AB} + \\underbrace{MK}_{=MT+TK} + \\underbrace{KA}_{\\text{на }AC}$$
$$= AM + MT + TK + KA = AM + MP + KQ + KA$$
Группируем по сторонам $AB$ и $AC$:
$$= \\underbrace{(AM + MP)}_{=\\,AP} + \\underbrace{(KQ + KA)}_{=\\,AQ} = AP + AQ$$
$$= 3 + 3 = 6\\text{ см}$$
<div class="sol-ans">Ответ: $P_{\\triangle AMK} = 6$ см</div>`
      },
    ]
};
