VARIANTS[62] = {
    label: "Вариант 62",
    tasks: [
      { // V62_MARKER
        text: `Определите, какое из данных уравнений является приведённым:`,
        opts: [
          ["а", "$2x^2 + x = 0$"], ["б", "$3 - 4x - 2x^2 = 0$"], ["в", "$x^2 - 4x - 12 = 0$"],
          ["г", "$3x - 7 = 0$"], ["д", "$-x^2 - 5x + 6 = 0$"],
        ],
        sol: `<b>Приведённое квадратное уравнение</b> — это уравнение вида $x^2 + px + q = 0$, у которого коэффициент при $x^2$ равен $1$.<br>
              Проверим варианты:
              <ul>
                <li>а) $2x^2 + x = 0$ — коэффициент при $x^2$ равен $2$;</li>
                <li>б) $3 - 4x - 2x^2 = 0$ — коэффициент при $x^2$ равен $-2$;</li>
                <li>в) $x^2 - 4x - 12 = 0$ — коэффициент при $x^2$ равен $1$ — <b>приведённое</b>;</li>
                <li>г) $3x - 7 = 0$ — линейное, не квадратное;</li>
                <li>д) $-x^2 - 5x + 6 = 0$ — коэффициент при $x^2$ равен $-1$.</li>
              </ul>
              <div class="sol-ans">Ответ: в) $x^2 - 4x - 12 = 0$.</div>`
      },
      {
        text: `Какое из данных выражений равно выражению $\\dfrac{\\sqrt{36}}{2}$:`,
        opts: [
          ["а", "$\\sqrt{3}$"], ["б", "$2\\sqrt{3}$"], ["в", "$\\dfrac{\\sqrt{6}}{2}$"], ["г", "$3$"], ["д", "$3\\sqrt{2}$"],
        ],
        sol: `Вычислим: $\\sqrt{36} = 6$, тогда
              $$\\dfrac{\\sqrt{36}}{2} = \\dfrac{6}{2} = 3.$$
              <div class="sol-ans">Ответ: г) $3$.</div>`
      },
      {
        text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
        opts: [
          ["а", "тупой угол больше $90^{\\circ}$ и меньше $180^{\\circ}$;"],
          ["б", "если $\\alpha$ — острый угол, то $\\operatorname{tg}\\alpha \\cdot \\operatorname{ctg}\\alpha = 1$;"],
          ["в", "радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы;"],
          ["г", "в любом параллелограмме все стороны равны между собой?"],
        ],
        sol: `Разберём утверждения:
              <ul>
                <li>а) определение тупого угла — <b>верно</b>;</li>
                <li>б) $\\operatorname{tg}\\alpha \\cdot \\operatorname{ctg}\\alpha = \\dfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\cdot\\dfrac{\\cos\\alpha}{\\sin\\alpha} = 1$ — <b>верно</b>;</li>
                <li>в) свойство описанной около прямоугольного треугольника окружности — <b>верно</b>;</li>
                <li>г) в произвольном параллелограмме противолежащие стороны равны, но соседние стороны в общем случае различны (все стороны равны только в ромбе) — <b>не верно</b>.</li>
              </ul>
              <div class="sol-ans">Ответ: г).</div>`
      },
      {
        text: `Найдите наибольшее целое решение неравенства $\\dfrac{5}{x+1} \\leq 0$.`,
        sol: `Числитель $5 > 0$, поэтому знак дроби совпадает со знаком знаменателя.<br>
              Дробь определена при $x \\ne -1$. Условие $\\dfrac{5}{x+1} \\leq 0$ выполняется, когда
              $$x + 1 < 0 \\;\\Longleftrightarrow\\; x < -1.$$
              Целые числа, удовлетворяющие неравенству $x < -1$: $\\ldots,\\;-4,\\;-3,\\;-2$.<br>
              Наибольшее из них — $-2$.
              <div class="sol-ans">Ответ: $-2$.</div>`
      },
      {
        text: `Сократите дробь $\\dfrac{x^2 - 16y^2}{x - 4y}$ и найдите её значение, если $x = 1$, $y = \\dfrac{1}{2}$.`,
        sol: `<b>Формула разности квадратов:</b> $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.<br>
              <b>Шаг 1. Раскладываем числитель.</b><br>
              Так как $16y^2 = (4y)^2$, числитель — разность квадратов:
              $$x^2 - 16y^2 = x^2 - (4y)^2 = (x - 4y)(x + 4y).$$
              <b>Шаг 2. Сокращаем дробь на общий множитель $(x - 4y)$.</b>
              $$\\dfrac{(x - 4y)(x + 4y)}{x - 4y} = x + 4y, \\quad x \\neq 4y.$$
              <b>Шаг 3. Подставляем $x = 1$, $y = \\dfrac{1}{2}$.</b>
              $$1 + 4 \\cdot \\dfrac{1}{2} = 1 + 2 = 3.$$
              <div class="sol-ans">Ответ: $x + 4y$; значение равно $3$.</div>`
      },
      {
        text: `В параллелограмме $ABCD$ углы $BAC$ и $DAC$ равны $30^{\\circ}$ и $45^{\\circ}$ соответственно, $AD = 8$ см. Найдите длину стороны $AB$.`,
        sol: `<svg viewBox="0 0 320 200" width="320" height="200" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="display:block;margin:6px auto">
                <polygon points="40,160 110,40 290,40 220,160" fill="none" stroke="#1f6feb" stroke-width="2"/>
                <line x1="40" y1="160" x2="290" y2="40" stroke="#1f6feb" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="4,3"/>
                <text x="28" y="174" font-size="14">A</text>
                <text x="100" y="34" font-size="14">B</text>
                <text x="290" y="34" font-size="14">C</text>
                <text x="222" y="174" font-size="14">D</text>
                <text x="78" y="138" font-size="12" fill="#b00">30&#xB0;</text>
                <text x="80" y="158" font-size="12" fill="#b00">45&#xB0;</text>
                <text x="220" y="100" font-size="12">8</text>
              </svg>
              <b>Теорема синусов:</b> стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.<br>
              <b>Свойство параллелограмма:</b> противоположные стороны равны и параллельны.<br>
              <b>Шаг 1. Находим $\\angle BCA$.</b><br>
              $BC \\parallel AD$, $AC$ — секущая. Накрест лежащие углы равны:
              $$\\angle BCA = \\angle DAC = 45^{\\circ}.$$
              <b>Шаг 2. Записываем известное в $\\triangle ABC$.</b><br>
              $\\angle BAC = 30^{\\circ}$, $\\angle BCA = 45^{\\circ}$. Так как $BC = AD = 8$ см (противоположные стороны параллелограмма равны), сторона $BC = 8$ напротив угла $\\angle BAC$.<br>
              Искомая сторона $AB$ — напротив $\\angle BCA$.<br>
              <b>Шаг 3. По теореме синусов.</b>
              $$\\dfrac{AB}{\\sin\\angle BCA} = \\dfrac{BC}{\\sin\\angle BAC},$$
              $$\\dfrac{AB}{\\sin 45^{\\circ}} = \\dfrac{8}{\\sin 30^{\\circ}}.$$
              <b>Шаг 4. Подставляем $\\sin 30^{\\circ} = \\dfrac{1}{2}$, $\\sin 45^{\\circ} = \\dfrac{\\sqrt{2}}{2}$.</b>
              $$AB = \\dfrac{8 \\sin 45^{\\circ}}{\\sin 30^{\\circ}} = \\dfrac{8 \\cdot \\tfrac{\\sqrt{2}}{2}}{\\tfrac{1}{2}} = 8\\sqrt{2}\\text{ см}.$$
              <div class="sol-ans">Ответ: $AB = 8\\sqrt{2}$ см.</div>`
      },
      {
        text: `График функции $f(x) = kx + b$ изображён на рисунке.
               Используя график функции, найдите $k$ и $b$.
               Запишите формулу функции $y = f(x)$.`,
        figure: `<img src="/img/exam9/v62_t7.png" class="task-fig" />`,
        sol: `<b>Метод (по графику):</b>
              <ul>
                <li>Свободный коэффициент $b$ — это ордината точки пересечения графика с осью $Oy$ (значение $y$ при $x = 0$).</li>
                <li>Угловой коэффициент $k$ находится по двум точкам $(x_1;\\,y_1)$ и $(x_2;\\,y_2)$ графика по формуле
                $$k = \\dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}.$$</li>
                <li>После нахождения $k$ и $b$ записываем формулу $y = kx + b$.</li>
              </ul>
              Например, если на графике видно, что прямая пересекает ось $Oy$ в точке $(0;\\,b)$ и проходит через точку $(x_1;\\,y_1)$, то
              $$k = \\dfrac{y_1 - b}{x_1 - 0},\\qquad f(x) = kx + b.$$
              <div class="sol-ans">Ответ: $f(x) = kx + b$, где $k$ и $b$ определяются по графику указанным способом.</div>`
      },
      {
        text: `В геометрической прогрессии произведение четвёртого и двенадцатого членов равно $200$.
               Чему равно произведение второго и четырнадцатого членов этой прогрессии?`,
        sol: `<b>Формула $n$-го члена геометрической прогрессии:</b>
              $$b_n = b_1 \\cdot q^{n-1}.$$
              <b>Шаг 1. Записываем произведение двух членов.</b>
              $$b_p \\cdot b_q = b_1 q^{p-1} \\cdot b_1 q^{q-1} = b_1^2 \\cdot q^{p+q-2}.$$
              <b>Шаг 2. Свойство.</b><br>
              Произведение зависит только от суммы номеров. Значит, если $p + q = r + s$, то
              $$b_p \\cdot b_q = b_r \\cdot b_s.$$
              <b>Шаг 3. Сравниваем суммы.</b><br>
              Для $(4, 12)$: $4 + 12 = 16$.<br>
              Для $(2, 14)$: $2 + 14 = 16$.<br>
              Суммы совпадают, поэтому
              $$b_2 \\cdot b_{14} = b_4 \\cdot b_{12} = 200.$$
              <div class="sol-ans">Ответ: $200$.</div>`
      },
      {
        text: `На изготовление комплекта деталей для автопогрузчика бригада затратила $\\dfrac{1}{4}$ часа
               и выпустила за $8$-часовую смену $480$ деталей. Сколько деталей выпустит бригада за смену,
               если время на изготовление комплекта деталей будет равно $\\dfrac{4}{17}$ часа?`,
        sol: `<b>Метод решения задачи по действиям:</b> находим число комплектов за смену, число деталей в одном комплекте, а затем общее количество деталей при новой норме.<br>
              <b>Шаг 1.</b> Находим, сколько комплектов выпускалось за смену в первом случае. Делим время смены на время одного комплекта (по правилу деления на дробь — умножаем на обратную):
              $$8 : \\dfrac{1}{4} = 8 \\cdot 4 = 32\\text{ комплекта}.$$
              <b>Шаг 2.</b> Находим, сколько деталей в одном комплекте. По условию за смену выпущено $480$ деталей, всего $32$ комплекта:
              $$480 : 32 = 15\\text{ деталей в комплекте}.$$
              <b>Шаг 3.</b> Находим, сколько комплектов будет выпущено за смену при новой норме $\\dfrac{4}{17}$ часа:
              $$8 : \\dfrac{4}{17} = 8 \\cdot \\dfrac{17}{4} = 34\\text{ комплекта}.$$
              <b>Шаг 4.</b> Так как в каждом комплекте по $15$ деталей, общее количество деталей за смену:
              $$34 \\cdot 15 = 510\\text{ деталей}.$$
              <div class="sol-ans">Ответ: $510$ деталей.</div>`
      },
      {
        text: `В угол $A$ вписана окружность с радиусом $8$ см и центром в точке $O_1$.
               Расстояние от центра этой окружности до вершины угла равно $40$ см.
               Найдите радиус большей окружности с центром в точке $O_2$,
               которая касается сторон данного угла и данной окружности.`,
        figure: `<img src="/img/exam9/v62_t10.png" class="task-fig" />`,
        sol: `<svg viewBox="0 0 420 220" width="420" height="220" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="display:block;margin:6px auto">
                <line x1="20" y1="110" x2="410" y2="35" stroke="#1f6feb" stroke-width="2"/>
                <line x1="20" y1="110" x2="410" y2="185" stroke="#1f6feb" stroke-width="2"/>
                <line x1="20" y1="110" x2="410" y2="110" stroke="#888" stroke-width="1" stroke-dasharray="4,3"/>
                <circle cx="190" cy="110" r="38" fill="none" stroke="#b00" stroke-width="2"/>
                <circle cx="190" cy="110" r="2" fill="#b00"/>
                <text x="196" y="106" font-size="13" fill="#b00">O&#x2081;</text>
                <text x="200" y="128" font-size="12" fill="#b00">R=8</text>
                <circle cx="340" cy="110" r="57" fill="none" stroke="#0a0" stroke-width="2"/>
                <circle cx="340" cy="110" r="2" fill="#0a0"/>
                <text x="346" y="106" font-size="13" fill="#0a0">O&#x2082;</text>
                <text x="346" y="128" font-size="12" fill="#0a0">r</text>
                <text x="8" y="115" font-size="14">A</text>
              </svg>
              Центры обеих окружностей лежат на биссектрисе угла $A$. Пусть $\\angle A = 2\\alpha$.<br>
              Из прямоугольного треугольника, образованного вершиной $A$, центром $O_1$ и точкой касания:
              $$\\sin\\alpha = \\dfrac{R}{AO_1} = \\dfrac{8}{40} = \\dfrac{1}{5}.$$
              Для большей окружности радиуса $r$ с центром $O_2$ (лежит дальше от $A$, чем $O_1$):
              $$\\sin\\alpha = \\dfrac{r}{AO_2} \\;\\Longrightarrow\\; AO_2 = 5r.$$
              Окружности касаются внешним образом, $O_1$ лежит между $A$ и $O_2$, поэтому
              $$O_1 O_2 = AO_2 - AO_1 = 5r - 40,\\qquad O_1 O_2 = R + r = 8 + r.$$
              Получаем уравнение:
              $$5r - 40 = 8 + r \\;\\Longrightarrow\\; 4r = 48 \\;\\Longrightarrow\\; r = 12\\;\\text{см}.$$
              <div class="sol-ans">Ответ: $r = 12$ см.</div>`
      },
    ]
};
