VARIANTS[11] = {
    label: "Вариант 11",
    tasks: [
      {
        text: `Определите, графиком какой из следующих функций является прямая:`,
        opts: [
          ["а", "$y = \\dfrac{4}{x}$"], ["б", "$y = \\dfrac{x}{4}$"], ["в", "$y = 4x^2$"],
          ["г", "$y = 4\\sqrt{x}$"], ["д", "$y = 4|x|$"],
        ],
        sol: `<ul>
<li>а) $y=4/x$ — гипербола</li>
<li><b>б) $y=x/4=(1/4)x$</b> — линейная функция вида $y=kx$, её график — <b>прямая</b> ✓</li>
<li>в) $y=4x^2$ — парабола</li>
<li>г) $y=4\\sqrt{x}$ — ветвь параболы (только $x\\geq 0$)</li>
<li>д) $y=4|x|$ — две полупрямые (V-образный график)</li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: б)&ensp;$y=\\dfrac{x}{4}$</div>`
      },
      {
        text: `Выражение, тождественно равное выражению $(a^5)^{-1} \\cdot a^{-13}$, имеет вид:`,
        opts: [
          ["а", "$a^{-9}$"], ["б", "$a^{-18}$"], ["в", "$a^8$"],
          ["г", "$a^{18}$"], ["д", "$a^{17}$"],
        ],
        sol: `$$(a^5)^{-1}\\cdot a^{-13} = a^{-5}\\cdot a^{-13} = a^{-5+(-13)} = a^{-18}$$
<div class="sol-ans">Ответ: б)&ensp;$a^{-18}$</div>`
      },
      {
        text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
        opts: [
          ["а", "любая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон;"],
          ["б", "сумма углов треугольника равна $360^{\\circ}$;"],
          ["в", "средняя линия трапеции равна полусумме оснований;"],
          ["г", "на плоскости две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой?"],
        ],
        sol: `<ul>
<li>а) Неравенство треугольника — <b>верно</b></li>
<li>б) Сумма углов треугольника $= 360°$ — <b style="color:#dc2626">НЕВЕРНО</b></li>
<li>в) Средняя линия трапеции $=\\frac{a+b}{2}$ — <b>верно</b></li>
<li>г) Транзитивность параллельности — <b>верно</b></li>
</ul>
Сумма углов любого треугольника равна $\\mathbf{180°}$, а не $360°$.
<div class="sol-ans">Ответ: б)</div>`
      },
      {
        text: `Решите уравнение $0{,}64 - x^2 = 0$.
               В ответ запишите наименьший корень уравнения.`,
        sol: `$$x^2 = 0{,}64 = \\left(\\frac{8}{10}\\right)^2 \\implies x = \\pm 0{,}8$$
Наименьший корень: $x = -0{,}8$.
<div class="sol-ans">Ответ: $-0{,}8$</div>`
      },
      {
        text: `Угол между высотой прямоугольного треугольника, проведённой к гипотенузе,
               и одним из катетов равен $60^{\\circ}$. Второй катет равен $16$ см.
               Найдите радиус окружности, описанной около треугольника.`,
        sol: `В прямоугольном $\\triangle ABC$ ($\\angle C=90°$) высота $CH$ опущена на гипотенузу $AB$.
<svg viewBox="0 0 175 112" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:175px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
  <polygon points="20,102 148,102 52,47" fill="rgba(37,99,235,0.06)" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
  <line x1="52" y1="47" x2="52" y2="102" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.3" stroke-dasharray="4,2"/>
  <path d="M45,102 L45,95 L52,95" fill="none" stroke="#555" stroke-width="1.2"/>
  <path d="M50,51 L54,54 L56,50" fill="none" stroke="#555" stroke-width="1.2"/>
  <path d="M52,67 A20,20 0 0,1 69,57" fill="none" stroke="#e11d48" stroke-width="1.3"/>
  <text x="67" y="72" font-size="10" fill="#e11d48">60°</text>
  <text x="2" y="112" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
  <text x="150" y="112" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
  <text x="54" y="42" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
  <text x="43" y="112" font-size="10" fill="#334155">H</text>
  <text x="18" y="78" font-size="10" fill="#2563eb">AC=16</text>
  <text x="78" y="110" font-size="10" fill="#334155">2R = AB = ?</text>
</svg>
<b>Свойство высоты в прямоугольном треугольнике:</b> угол между высотой $CH$ и катетом $BC$ равен $\\angle A$.
$$\\angle BCH = \\angle A = 60°$$
Значит $\\angle A=60°$, $\\angle B=30°$.
<br>«Второй катет» $AC$ — тот, что не связан напрямую с $60°$:
$$\\sin(\\angle B) = \\frac{AC}{AB} \\implies \\sin 30° = \\frac{16}{AB} \\implies \\frac{1}{2} = \\frac{16}{AB}$$
$$AB = 32\\text{ см}$$
Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника:
$$R = \\frac{AB}{2} = \\frac{32}{2} = 16\\text{ см}$$
<div class="sol-ans">Ответ: $R = 16$ см</div>`
      },
      {
        text: `Найдите значение выражения
               $\\dfrac{1}{1+\\sqrt{2}} + \\dfrac{1}{\\sqrt{2}+\\sqrt{3}} + \\dfrac{1}{\\sqrt{3}+2}$.`,
        sol: `<b>Метод рационализации знаменателя:</b> чтобы избавиться от радикала в знаменателе, умножаем числитель и знаменатель на <em>сопряжённое выражение</em> — то же выражение с противоположным знаком.
<br><b>Формула разности квадратов:</b> $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$ — позволяет «сворачивать» произведение сопряжённых выражений.
<br><b>Идея:</b> после рационализации возникает <b>телескопическая сумма</b>, в которой соседние слагаемые попарно сокращаются.
<br><br>
<b>Шаг 1.</b> Рационализируем <em>первую дробь</em>. Сопряжённое выражение для $1+\\sqrt{2}$ — это $\\sqrt{2}-1$. Умножим числитель и знаменатель на него:
$$\\dfrac{1}{1+\\sqrt{2}} = \\dfrac{\\sqrt{2}-1}{(1+\\sqrt{2})(\\sqrt{2}-1)} = \\dfrac{\\sqrt{2}-1}{(\\sqrt{2})^2-1^2} = \\dfrac{\\sqrt{2}-1}{2-1} = \\sqrt{2}-1$$
<b>Шаг 2.</b> Рационализируем <em>вторую дробь</em>. Сопряжённое к $\\sqrt{2}+\\sqrt{3}$ — $\\sqrt{3}-\\sqrt{2}$:
$$\\dfrac{1}{\\sqrt{2}+\\sqrt{3}} = \\dfrac{\\sqrt{3}-\\sqrt{2}}{(\\sqrt{2}+\\sqrt{3})(\\sqrt{3}-\\sqrt{2})} = \\dfrac{\\sqrt{3}-\\sqrt{2}}{3-2} = \\sqrt{3}-\\sqrt{2}$$
<b>Шаг 3.</b> Рационализируем <em>третью дробь</em>. Сопряжённое к $\\sqrt{3}+2$ — $2-\\sqrt{3}$:
$$\\dfrac{1}{\\sqrt{3}+2} = \\dfrac{2-\\sqrt{3}}{(\\sqrt{3}+2)(2-\\sqrt{3})} = \\dfrac{2-\\sqrt{3}}{4-3} = 2-\\sqrt{3}$$
<b>Шаг 4.</b> Складываем полученные выражения. Заметим, что сумма телескопическая — соседние слагаемые сокращаются:
$$(\\sqrt{2}-1) + (\\sqrt{3}-\\sqrt{2}) + (2-\\sqrt{3})$$
Группируем подобные:
$$= -1 + (\\sqrt{2}-\\sqrt{2}) + (\\sqrt{3}-\\sqrt{3}) + 2 = -1 + 0 + 0 + 2 = 1$$
<div class="sol-ans">Ответ: $1$</div>`
      },
      {
        text: `Определите количество целых решений системы неравенств
               $$\\begin{cases} \\dfrac{x+2}{2} - 3 \\leq \\dfrac{x-3}{3}, \\\\[6pt] x^2 < 5x + 6. \\end{cases}$$`,
        sol: `<b>Решение системы неравенств:</b> решаем каждое неравенство отдельно, затем берём <em>пересечение</em> множеств решений.
<br><b>Метод интервалов</b> для квадратного неравенства: раскладываем квадратный трёхчлен на множители $(x-x_1)(x-x_2)$ и находим знаки на интервалах между корнями.
<br><br>
<b>Шаг 1.</b> Решаем первое неравенство. Умножим обе части на $6$ (общий знаменатель):
$$3(x+2) - 18 \\leq 2(x-3)$$
$$3x + 6 - 18 \\leq 2x - 6$$
$$3x - 12 \\leq 2x - 6$$
$$x \\leq 6$$
<b>Шаг 2.</b> Решаем второе неравенство. Перенесём всё влево:
$$x^2 - 5x - 6 \\lt 0$$
<b>Шаг 3.</b> По теореме Виета: $x_1+x_2=5$, $x_1\\cdot x_2=-6$. Подходят $6$ и $-1$:
$$(x-6)(x+1) \\lt 0$$
Произведение отрицательно, когда множители разных знаков, что выполнено при $-1\\lt x\\lt 6$.
<br><b>Шаг 4.</b> Берём пересечение решений двух неравенств: $\\{x\\leq 6\\}\\cap\\{-1\\lt x\\lt 6\\} = \\{-1\\lt x\\lt 6\\}$.
<br><b>Шаг 5.</b> Считаем целые числа из промежутка $(-1;6)$: $0,1,2,3,4,5$ — всего <b>6</b> чисел.
<div class="sol-ans">Ответ: $6$</div>`
      },
      {
        text: `Найдите все значения переменной, при которых разность дробей
               $\\dfrac{x}{x+1}$ и $\\dfrac{1}{x}$ равна дроби $\\dfrac{1}{x^2+x}$.`,
        sol: `<b>Решение дробно-рациональных уравнений:</b> 1) найти ОДЗ (знаменатели $\\neq 0$); 2) привести к общему знаменателю или умножить обе части на него; 3) решить полученное уравнение; 4) проверить, входят ли корни в ОДЗ.
<br><b>Теорема Виета (обратная):</b> $x^2+px+q=(x-x_1)(x-x_2)$, где $x_1+x_2=-p$, $x_1\\cdot x_2=q$.
<br><br>
<b>Шаг 1.</b> Запишем условие в виде уравнения:
$$\\dfrac{x}{x+1} - \\dfrac{1}{x} = \\dfrac{1}{x^2+x}$$
<b>Шаг 2.</b> Разложим знаменатель правой части: $x^2+x = x(x+1)$. Это и есть общий знаменатель всех трёх дробей.
<br>ОДЗ: знаменатели не равны нулю, поэтому $x\\neq 0$ и $x\\neq -1$.
<br><b>Шаг 3.</b> Умножим обе части уравнения на $x(x+1)$:
$$\\dfrac{x}{x+1}\\cdot x(x+1) - \\dfrac{1}{x}\\cdot x(x+1) = \\dfrac{1}{x(x+1)}\\cdot x(x+1)$$
$$x\\cdot x - (x+1)\\cdot 1 = 1$$
$$x^2 - (x+1) = 1$$
<b>Шаг 4.</b> Раскрываем скобки и приводим к стандартному виду:
$$x^2 - x - 1 = 1$$
$$x^2 - x - 2 = 0$$
<b>Шаг 5.</b> По теореме Виета: $x_1+x_2=1$, $x_1\\cdot x_2=-2$. Подходят $-1$ и $2$:
$$(x+1)(x-2) = 0 \\implies x = -1 \\text{ или } x = 2$$
<b>Шаг 6.</b> Проверяем ОДЗ: $x=-1$ не входит в ОДЗ (отбрасываем). Остаётся $x=2$.
<br><b>Проверка</b> подстановкой $x=2$:
$$\\dfrac{2}{3} - \\dfrac{1}{2} = \\dfrac{4-3}{6} = \\dfrac{1}{6};\\quad \\dfrac{1}{4+2} = \\dfrac{1}{6} \\checkmark$$
<div class="sol-ans">Ответ: $x = 2$</div>`
      },
      {
        text: `Число $a$ равно $70\\%$ от числа $b$, число $c$ на $42$ больше числа $b$.
               Найдите значение выражения $a + b + c$,
               если известно, что число $a$ равно $40\\%$ от числа $c$.`,
        sol: `<b>Перевод процентов в дроби:</b> $p\\%$ от числа $N$ — это $\\dfrac{p}{100}\\cdot N$.
<br><b>Метод составления уравнения:</b> переводим условия с процентами в равенства, получаем систему и решаем её.
<br><br>
<b>Шаг 1.</b> Запишем каждое условие в виде уравнения.
<br>• «$a$ равно $70\\%$ от $b$»:
$$a = 0{,}7b \\quad (1)$$
<br>• «$c$ на $42$ больше $b$»:
$$c = b + 42 \\quad (2)$$
<br>• «$a$ равно $40\\%$ от $c$»:
$$a = 0{,}4c \\quad (3)$$
<b>Шаг 2.</b> Подставляем $(1)$ и $(2)$ в $(3)$, чтобы получить уравнение с одной неизвестной $b$:
$$0{,}7b = 0{,}4(b+42)$$
<b>Шаг 3.</b> Раскрываем скобки:
$$0{,}7b = 0{,}4b + 16{,}8$$
$$0{,}3b = 16{,}8$$
$$b = 56$$
<b>Шаг 4.</b> Находим $a$ из $(1)$ и $c$ из $(2)$:
$$a = 0{,}7\\cdot 56 = 39{,}2$$
$$c = 56 + 42 = 98$$
<b>Проверка</b> $(3)$: $0{,}4\\cdot 98 = 39{,}2 = a$ ✓
<br><b>Шаг 5.</b> Вычисляем сумму:
$$a + b + c = 39{,}2 + 56 + 98 = 193{,}2$$
<div class="sol-ans">Ответ: $193{,}2$</div>`
      },
      {
        text: `Дан параллелограмм $ABCD$. На стороне $BC$ взята точка $K$, такая, что
               $AK$ — биссектриса угла $A$, а $DK$ — биссектриса угла $D$ параллелограмма.
               Найдите площадь параллелограмма, если $AK = 8$ см, $DK = 6$ см.`,
        figure: `<svg class="task-fig" viewBox="0 0 265 168" width="265" height="168">
  <polygon points="35,143 200,143 220,35 55,35" fill="none" stroke="#334155" stroke-width="2.2"/>
  <line x1="35" y1="143" x2="208" y2="107" stroke="#2563eb" stroke-width="1.8"/>
  <line x1="55" y1="35" x2="208" y2="107" stroke="#c2410c" stroke-width="1.8"/>
  <circle cx="208" cy="107" r="3.5" fill="#1e293b"/>
  <text x="21" y="156" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">A</text>
  <text x="203" y="156" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">B</text>
  <text x="223" y="30" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">C</text>
  <text x="41" y="30" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">D</text>
  <text x="215" y="105" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">K</text>
  <text x="108" y="136" text-anchor="middle" font-size="11" font-family="sans-serif" fill="#1d4ed8">AK = 8 см</text>
  <text x="120" y="72" text-anchor="middle" font-size="11" font-family="sans-serif" fill="#c2410c">DK = 6 см</text>
</svg>`,
        sol: `<b>Шаг 1 — угол при K в треугольнике AKD.</b>
<br>В параллелограмме $\\angle A + \\angle D = 180°$. Делим на 2:
$$\\angle KAD + \\angle KDA = \\frac{\\angle A}{2}+\\frac{\\angle D}{2} = 90°$$
В $\\triangle AKD$ сумма углов $= 180°$:
$$\\angle AKD = 180° - (\\angle KAD + \\angle KDA) = 180° - 90° = \\mathbf{90°}$$
Треугольник $AKD$ — <b>прямоугольный</b>!
<br><br>
<b>Шаг 2 — длина AD.</b>
$$AD = \\sqrt{AK^2 + DK^2} = \\sqrt{64+36} = \\sqrt{100} = 10\\text{ см}$$
<b>Шаг 3 — длина AB.</b>
<br>В $\\triangle ABK$: $\\angle BAK = \\angle A/2$, $\\angle ABK = 180°-\\angle A$, поэтому $\\angle AKB = \\angle A/2$.
<br>Треугольник $ABK$ — <b>равнобедренный</b>: $BK = AB$.
<br>Аналогично в $\\triangle DKC$: $KC = DC = AB$.
$$BC = BK + KC = AB + AB = 2\\cdot AB$$
Так как $BC = AD = 10$: $\\quad AB = 5$ см.
<br><br>
<b>Шаг 4 — площадь.</b>
<br>Из $\\triangle AKD$: $\\sin(\\angle KAD) = \\dfrac{DK}{AD} = \\dfrac{6}{10} = \\dfrac{3}{5}$, $\\cos(\\angle KAD) = \\dfrac{4}{5}$.
$$\\sin(\\angle A) = \\sin(2\\angle KAD) = 2\\cdot\\frac{3}{5}\\cdot\\frac{4}{5} = \\frac{24}{25}$$
$$S = AB\\cdot AD\\cdot\\sin(\\angle A) = 5\\cdot 10\\cdot\\frac{24}{25} = \\frac{1200}{25} = 48\\text{ см}^2$$
<i>Проверка через части:</i> $S_{ABK}+S_{AKD}+S_{DKC} = 12+24+12 = 48$ ✓
<div class="sol-ans">Ответ: $48$ см²</div>`
      },
    ]
};
