VARIANTS[42] = {
    label: "Вариант 42",
    tasks: [
      {
        text: `Определите верное равенство:`,
        opts: [
          ["а", "$9\\% = 90$"], ["б", "$9\\% = 9$"], ["в", "$9\\% = 0{,}9$"],
          ["г", "$9\\% = 0{,}09$"], ["д", "$9\\% = 0{,}009$"],
        ],
        sol: `$9\\% = \\dfrac{9}{100} = 0{,}09$
<div class="sol-ans">Ответ: г)&ensp;$9\\%=0{,}09$</div>`
      },
      {
        text: `Запишите одночлен $2m^5n \\cdot \\left(-\\dfrac{1}{2}m^4\\right)$ в стандартном виде:`,
        opts: [
          ["а", "$-mn$"], ["б", "$-m^9n$"], ["в", "$-mn^9$"],
          ["г", "$\\dfrac{1}{2}mn$"], ["д", "$4m^9n$"],
        ],
        sol: `$$2m^5n\\cdot\\left(-\\dfrac{1}{2}m^4\\right) = \\left(2\\cdot\\left(-\\dfrac{1}{2}\\right)\\right)\\cdot m^{5+4}\\cdot n = -m^9n$$
<div class="sol-ans">Ответ: б)&ensp;$-m^9n$</div>`
      },
      {
        text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
        opts: [
          ["а", "радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника с катетами $a$, $b$ и гипотенузой $c$ находится по формуле $r = \\dfrac{a+b-c}{2}$;"],
          ["б", "площадь прямоугольника со сторонами $a$, $b$ находится по формуле $S = ab$;"],
          ["в", "из данной точки, не лежащей на данной прямой, к данной прямой можно провести только один перпендикуляр;"],
          ["г", "если в треугольнике $ABC$ сторона $AC$ — наибольшая, то угол $A$ — наибольший?"],
        ],
        sol: `<ul>
<li>а) $r=\\dfrac{a+b-c}{2}$ — <b>верно</b></li>
<li>б) $S=ab$ для прямоугольника — <b>верно</b></li>
<li>в) один перпендикуляр — <b>верно</b></li>
<li>г) $AC$ напротив $\\angle B$ — наибольший $\\angle B$, не $\\angle A$ — <b style="color:#dc2626">НЕВЕРНО</b></li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: г)</div>`
      },
      {
        text: `График функции $y = kx + 5$ проходит через точку $K\\!\\left(-\\dfrac{1}{5};\\; 25\\right)$.
               Найдите коэффициент $k$.`,
        sol: `Подставляем $K\\!\\left(-\\dfrac{1}{5};\\;25\\right)$: $25=k\\cdot\\left(-\\dfrac{1}{5}\\right)+5 \\implies 20=-\\dfrac{k}{5} \\implies k=-100$.
<div class="sol-ans">Ответ: $k = -100$</div>`
      },
      {
        text: `Диагонали параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$,
               площадь треугольника $COD$ равна $12$ см².
               Высота, проведённая из вершины $C$ к $AB$, равна $8$ см.
               Найдите длину стороны $CD$ параллелограмма.`,
        sol: `<b>Свойство диагоналей параллелограмма:</b> диагонали параллелограмма делят его на $4$ треугольника <em>равной площади</em> (равновеликие треугольники).
<br><b>Шаг 1.</b> По этому свойству:
$$S_{ABCD} = 4\\cdot S_{COD} = 4\\cdot 12 = 48\\text{ см}^2$$
<svg viewBox="0 0 195 125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:260px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px 0">
  <polygon points="20,105 130,105 165,30 55,30" fill="rgba(37,99,235,0.06)" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
  <line x1="20" y1="105" x2="165" y2="30" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="4,3"/>
  <line x1="130" y1="105" x2="55" y2="30" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="4,3"/>
  <!-- Треугольник COD (верхний правый) -->
  <polygon points="130,105 165,30 92.5,67.5" fill="rgba(37,99,235,0.18)" stroke="none"/>
  <!-- Высота из C к AB (вниз) -->
  <line x1="165" y1="30" x2="165" y2="105" stroke="#16a34a" stroke-width="1.8" stroke-dasharray="5,3"/>
  <polygon points="165,105 165,97 157,97 157,105" fill="none" stroke="#16a34a" stroke-width="1.2"/>
  <circle cx="92.5" cy="67.5" r="2.5" fill="#334155"/>
  <text x="5" y="115" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
  <text x="132" y="118" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
  <text x="168" y="24" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
  <text x="50" y="24" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">D</text>
  <text x="95" y="62" font-size="11" font-family="serif" font-style="italic">O</text>
  <text x="125" y="60" font-size="11" fill="#2563eb" font-weight="bold">12</text>
  <text x="169" y="70" font-size="11" fill="#16a34a">h=8</text>
</svg>
<b>Шаг 2.</b> <b>Формула площади параллелограмма:</b> $S = a\\cdot h$, где $a$ — сторона, $h$ — высота, проведённая к этой стороне.
<br>Высота, проведённая из $C$ к $AB$, и есть высота параллелограмма к стороне $AB$:
$$S_{ABCD} = AB\\cdot h \\implies 48 = AB\\cdot 8 \\implies AB = 6\\text{ см}$$
<b>Шаг 3.</b> По <b>свойству параллелограмма</b> противоположные стороны равны:
$$CD = AB = 6\\text{ см}$$
<div class="sol-ans">Ответ: $CD = 6$ см</div>`
      },
      {
        text: `Определите, при каких значениях переменной разность дробей
               $\\dfrac{2b-5}{4}$ и $\\dfrac{4b-3}{6}$ неположительна.
               В ответ запишите наименьшее целое значение переменной.`,
        sol: `<b>Метод решения линейного неравенства с дробями:</b> приводим дроби к общему знаменателю, затем избавляемся от знаменателя (если он положителен — знак сохраняется).
<br><b>Шаг 1.</b> По условию разность дробей неположительна:
$$\\dfrac{2b-5}{4} - \\dfrac{4b-3}{6} \\leq 0$$
<b>Шаг 2.</b> Приводим к общему знаменателю $12$:
$$\\dfrac{3(2b-5) - 2(4b-3)}{12} \\leq 0$$
<b>Шаг 3.</b> Раскрываем скобки:
$$3(2b - 5) = 6b - 15, \\quad 2(4b - 3) = 8b - 6$$
$$6b - 15 - (8b - 6) = 6b - 15 - 8b + 6 = -2b - 9$$
Неравенство принимает вид:
$$\\dfrac{-2b - 9}{12} \\leq 0$$
<b>Шаг 4.</b> Так как $12 \\gt 0$, умножим обе части на $12$ без смены знака:
$$-2b - 9 \\leq 0 \\implies -2b \\leq 9$$
Делим на $-2$ (отрицательное число — знак неравенства меняется):
$$b \\geq -\\dfrac{9}{2} = -4{,}5$$
<b>Шаг 5.</b> Среди целых чисел условию $b \\geq -4{,}5$ удовлетворяют $-4, -3, -2, \\ldots$. Наименьшее целое — это $b = -4$.
<div class="sol-ans">Ответ: $-4$</div>`
      },
      {
        text: `Найдите значение выражения
               $\\left(\\dfrac{7}{3-\\sqrt{2}}\\right)^{\\!2} - \\left(\\dfrac{3-4\\sqrt{3}}{4-\\sqrt{3}}\\right)^{\\!2}$.
               В ответ запишите число, противоположное найденному.`,
        sol: `<b>Метод рационализации знаменателя:</b> чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе вида $a - \\sqrt{b}$, умножаем на сопряжённое $a + \\sqrt{b}$ и применяем <b>формулу разности квадратов:</b> $(a-\\sqrt{b})(a+\\sqrt{b}) = a^2 - b$.
<br><b>Шаг 1.</b> Упростим первую дробь $\\dfrac{7}{3 - \\sqrt{2}}$:
$$\\dfrac{7}{3-\\sqrt{2}} = \\dfrac{7(3+\\sqrt{2})}{(3-\\sqrt{2})(3+\\sqrt{2})} = \\dfrac{7(3+\\sqrt{2})}{9 - 2} = \\dfrac{7(3+\\sqrt{2})}{7} = 3 + \\sqrt{2}$$
<b>Шаг 2.</b> Упростим вторую дробь $\\dfrac{3 - 4\\sqrt{3}}{4 - \\sqrt{3}}$, умножив числитель и знаменатель на сопряжённое $4 + \\sqrt{3}$:
$$\\dfrac{(3 - 4\\sqrt{3})(4 + \\sqrt{3})}{(4 - \\sqrt{3})(4 + \\sqrt{3})} = \\dfrac{12 + 3\\sqrt{3} - 16\\sqrt{3} - 4\\cdot 3}{16 - 3}$$
В числителе: $12 - 12 + (3 - 16)\\sqrt{3} = -13\\sqrt{3}$. В знаменателе: $13$. Получаем:
$$\\dfrac{-13\\sqrt{3}}{13} = -\\sqrt{3}$$
<b>Шаг 3.</b> Подставим в исходное выражение, используя <b>формулу квадрата суммы</b> $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$$(3 + \\sqrt{2})^2 - (-\\sqrt{3})^2 = (9 + 6\\sqrt{2} + 2) - 3 = 11 + 6\\sqrt{2} - 3 = 8 + 6\\sqrt{2}$$
<b>Шаг 4.</b> По условию надо записать число, <em>противоположное</em> найденному. Противоположное к $8 + 6\\sqrt{2}$ — это $-(8 + 6\\sqrt{2})$.
<div class="sol-ans">Ответ: $-(8+6\\sqrt{2})$</div>`
      },
      {
        text: `В ботаническом саду ландшафтный дизайнер решил разместить кусты пионов так,
               чтобы в каждом ряду было одинаковое количество кустов,
               при этом рядов — на $7$ меньше, чем кустов в каждом ряду.
               Определите, можно ли на клумбе посадить $60$ кустов пионов. Ответ обоснуйте.`,
        sol: `<b>Метод введения переменной и составления квадратного уравнения.</b>
<br><b>Шаг 1.</b> Пусть $x$ — количество кустов в каждом ряду ($x$ — натуральное число). По условию рядов на $7$ меньше, значит число рядов равно $x - 7$ (это должно быть положительно, то есть $x \\gt 7$).
<br><b>Шаг 2.</b> Общее число кустов = (число в одном ряду) $\\times$ (число рядов). По условию оно равно $60$, значит:
$$x(x - 7) = 60 \\implies x^2 - 7x - 60 = 0$$
<b>Шаг 3.</b> Решаем по <b>формуле дискриминанта</b> $D = b^2 - 4ac$:
$$D = (-7)^2 - 4\\cdot 1\\cdot(-60) = 49 + 240 = 289 = 17^2$$
$$x = \\dfrac{7 \\pm 17}{2} \\implies x_1 = 12, \\quad x_2 = -5$$
<b>Шаг 4.</b> Корень $x_2 = -5$ <em>не подходит</em>, так как $x$ должно быть натуральным. Остаётся $x = 12$.
<br><b>Шаг 5. Проверка:</b> $12$ кустов в каждом ряду, рядов $12 - 7 = 5$, всего кустов $12\\cdot 5 = 60$ $\\checkmark$.
<div class="sol-ans">Ответ: да, можно — $12$ кустов в ряду и $5$ рядов</div>`
      },
      {
        text: `Гипотенуза прямоугольного треугольника равна $13$ см, радиус вписанной окружности — $2$ см.
               Найдите площадь треугольника.`,
        sol: `<b>Формула радиуса вписанной окружности прямоугольного треугольника:</b> с катетами $a$, $b$ и гипотенузой $c$:
$$r = \\dfrac{a + b - c}{2}$$
<b>Формула площади через вписанную окружность:</b> $S = r\\cdot s$, где $s = \\dfrac{a + b + c}{2}$ — полупериметр.
<br><b>Шаг 1.</b> Из формулы радиуса находим сумму катетов:
$$2 = \\dfrac{a + b - 13}{2} \\implies a + b - 13 = 4 \\implies a + b = 17$$
<svg viewBox="0 0 145 140" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:200px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px 0">
  <polygon points="30,115 102,115 30,19" fill="rgba(37,99,235,0.07)" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
  <polygon points="30,115 38,115 38,107 30,107" fill="none" stroke="#334155" stroke-width="1.2"/>
  <circle cx="54" cy="91" r="24" fill="rgba(22,163,74,0.10)" stroke="#16a34a" stroke-width="1.5"/>
  <line x1="54" y1="91" x2="54" y2="115" stroke="#16a34a" stroke-width="1" stroke-dasharray="3,2"/>
  <line x1="54" y1="91" x2="30" y2="91" stroke="#16a34a" stroke-width="1" stroke-dasharray="3,2"/>
  <circle cx="54" cy="91" r="2.5" fill="#16a34a"/>
  <text x="14" y="124" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
  <text x="105" y="124" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
  <text x="14" y="15" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
  <text x="56" y="88" font-size="11" font-family="serif" font-style="italic" fill="#16a34a">I</text>
  <text x="36" y="66" font-size="11" fill="#334155">$b$</text>
  <text x="62" y="122" font-size="11" fill="#334155">$a$</text>
  <text x="55" y="101" font-size="10" fill="#16a34a">r=2</text>
</svg>
<b>Шаг 2.</b> Считаем полупериметр:
$$s = \\dfrac{a + b + c}{2} = \\dfrac{17 + 13}{2} = 15\\text{ см}$$
<b>Шаг 3.</b> Находим площадь:
$$S = r\\cdot s = 2\\cdot 15 = 30\\text{ см}^2$$
<b>Проверка:</b> по теореме Пифагора $a^2 + b^2 = 169$. Из $(a + b)^2 = 17^2 = 289$ получаем $a^2 + 2ab + b^2 = 289$, значит $2ab = 289 - 169 = 120$, то есть $ab = 60$. Площадь прямоугольного треугольника $= \\dfrac{ab}{2} = 30$ ✓
<div class="sol-ans">Ответ: $30$ см²</div>`
      },
      {
        text: `Решите уравнение $x(x-1)(x-2)(x-3) = 24$.
               В ответ запишите корни уравнения, удовлетворяющие неравенству $|x| < 4$.`,
        sol: `<b>Идея решения:</b> в уравнении вида $(x-a)(x-b)(x-c)(x-d) = k$ группируем множители так, чтобы суммы корней внутри пар были одинаковы.
<br><b>Шаг 1.</b> Сгруппируем: $\\{0,\\,3\\}$ и $\\{1,\\,2\\}$ — обе пары имеют сумму $3$.
$$[x(x - 3)]\\cdot[(x - 1)(x - 2)] = 24$$
Раскрываем скобки в каждой паре:
$$x(x - 3) = x^2 - 3x$$
$$(x - 1)(x - 2) = x^2 - 3x + 2$$
Уравнение принимает вид:
$$(x^2 - 3x)(x^2 - 3x + 2) = 24$$
<b>Шаг 2. Замена переменной.</b> Пусть $t = x^2 - 3x$:
$$t(t + 2) = 24 \\implies t^2 + 2t - 24 = 0$$
<b>Шаг 3.</b> Решаем по <b>формуле дискриминанта:</b>
$$D = 2^2 - 4\\cdot 1\\cdot(-24) = 4 + 96 = 100 = 10^2$$
$$t = \\dfrac{-2 \\pm 10}{2} \\implies t_1 = 4, \\quad t_2 = -6$$
<b>Шаг 4. Случай $t = 4$:</b> $x^2 - 3x = 4 \\implies x^2 - 3x - 4 = 0$.
<br>По теореме Виета (сумма $3$, произведение $-4$): корни $4$ и $-1$.
$$(x - 4)(x + 1) = 0 \\implies x = 4 \\text{ или } x = -1$$
<b>Шаг 5. Случай $t = -6$:</b> $x^2 - 3x = -6 \\implies x^2 - 3x + 6 = 0$.
$$D = 9 - 24 = -15 \\lt 0$$
Дискриминант отрицателен — вещественных корней нет.
<br><b>Шаг 6. Проверка условия $|x| \\lt 4$:</b>
<ul>
<li>$x = 4$: $|4| = 4$, строгое неравенство $|x| \\lt 4$ не выполняется.</li>
<li>$x = -1$: $|-1| = 1 \\lt 4$ ✓</li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: $x = -1$</div>`
      },
    ]
};
