VARIANTS[76] = {
    label: "Вариант 76",
    tasks: [
      {
        text: `Определите, какое из данных чисел является решением неравенства $x < -6$:`,
        opts: [
          ["а", "$-3$"], ["б", "$-2$"], ["в", "$-1$"], ["г", "$0$"], ["д", "$-8$"],
        ],
        sol: `Неравенство $x \\lt -6$ выполняется только для чисел, строго меньших $-6$.
<ul>
  <li>а) $-3$: $-3 \\gt -6$ — нет;</li>
  <li>б) $-2$: нет;</li>
  <li>в) $-1$: нет;</li>
  <li>г) $0$: нет;</li>
  <li>д) $-8$: $-8 \\lt -6$ — <b>да</b> ✓</li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: д)&ensp;$-8$</div>`
      },
      {
        text: `Разность каких двух чисел <b>НЕ</b> равна $4{,}5$:`,
        opts: [
          ["а", "$-0{,}5$ и $-5$"], ["б", "$-2{,}5$ и $-7$"], ["в", "$6{,}5$ и $2$"],
          ["г", "$10$ и $5{,}5$"], ["д", "$-0{,}5$ и $4$"],
        ],
        sol: `Проверим разность в каждом варианте:
<ul>
  <li>а) $-0{,}5 - (-5) = 4{,}5$ ✓</li>
  <li>б) $-2{,}5 - (-7) = 4{,}5$ ✓</li>
  <li>в) $6{,}5 - 2 = 4{,}5$ ✓</li>
  <li>г) $10 - 5{,}5 = 4{,}5$ ✓</li>
  <li>д) $-0{,}5 - 4 = -4{,}5 \\neq 4{,}5$ &nbsp;<b style="color:#dc2626">✗ — НЕ равна</b></li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: д)</div>`
      },
      {
        text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
        opts: [
          ["а", "угол правильного шестиугольника равен $120^{\\circ}$;"],
          ["б", "$\\operatorname{tg} 45^{\\circ} = \\operatorname{ctg} 45^{\\circ}$;"],
          ["в", "центр окружности, вписанной в угол, равноудалён от сторон угла;"],
          ["г", "в равностороннем треугольнике есть только два равных угла?"],
        ],
        sol: `<ul>
  <li>а) Угол правильного шестиугольника $(6-2)\\cdot180^\\circ/6 = 120^\\circ$ — <b>верно</b></li>
  <li>б) $\\operatorname{tg}45^\\circ = \\operatorname{ctg}45^\\circ = 1$ — <b>верно</b></li>
  <li>в) Центр вписанной в угол окружности равноудалён от его сторон — <b>верно</b></li>
  <li>г) «В равностороннем треугольнике есть только два равных угла» — <b style="color:#dc2626">НЕВЕРНО</b>: все три угла равны ($60^\\circ$ каждый).</li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: г)</div>`
      },
      {
        text: `Разложите на множители многочлен $64x^2 - 81y^2 + 8x - 9y$.`,
        sol: `Первые два слагаемых — разность квадратов, последние два группируем:
$$64x^2 - 81y^2 + 8x - 9y = (64x^2 - 81y^2) + (8x - 9y)$$
$$= (8x - 9y)(8x + 9y) + (8x - 9y)$$
Выносим общий множитель $(8x - 9y)$:
$$= (8x - 9y)(8x + 9y + 1)$$
<div class="sol-ans">Ответ: $(8x - 9y)(8x + 9y + 1)$</div>`
      },
      {
        text: `Найдите значение выражения $a^2 : b - ab$ при $a = -4$, $b = -1{,}6$.`,
        sol: `<b>Порядок действий:</b> сначала выполняем возведение в степень, затем умножение и деление, в конце сложение и вычитание.
<br><b>Свойство квадрата:</b> $(-a)^2 = a^2$ (квадрат отрицательного числа положителен).
<br><b>Правило знаков:</b> минус на минус даёт плюс.
<br><b>Шаг 1.</b> Подставим $a = -4$ и $b = -1{,}6$ в выражение, заменив деление на дробь:
$$a^2 : b - ab = \\dfrac{a^2}{b} - ab.$$
<b>Шаг 2.</b> Вычислим $a^2 = (-4)^2 = 16$ и подставим значения:
$$\\dfrac{16}{-1{,}6} - (-4)\\cdot(-1{,}6).$$
<b>Шаг 3.</b> Выполним деление:
$$\\dfrac{16}{-1{,}6} = -10.$$
<b>Шаг 4.</b> Выполним умножение (минус на минус — плюс):
$$(-4)\\cdot(-1{,}6) = 6{,}4.$$
<b>Шаг 5.</b> Соберём всё (минус перед скобкой меняет знак):
$$-10 - 6{,}4 = -16{,}4.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $-16{,}4$</div>`
      },
      {
        text: `Четвёртый член геометрической прогрессии равен $4$, а знаменатель равен $2$.
               Найдите сумму четырёх первых членов этой прогрессии.`,
        sol: `<b>Формула $n$-го члена геометрической прогрессии:</b> $a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}$, откуда $a_1 = \\dfrac{a_n}{q^{n-1}}$.
<br><b>Связь соседних членов:</b> $a_{n+1} = a_n \\cdot q$.
<br><b>Шаг 1.</b> По условию $a_4 = 4$, $q = 2$. Найдём первый член из равенства $a_4 = a_1 \\cdot q^{3}$:
$$a_1 = \\dfrac{a_4}{q^{3}} = \\dfrac{4}{2^{3}} = \\dfrac{4}{8} = \\dfrac{1}{2}.$$
<b>Шаг 2.</b> Найдём остальные члены, умножая каждый предыдущий на знаменатель $q = 2$:
$$a_2 = a_1\\cdot q = \\dfrac{1}{2}\\cdot 2 = 1, \\quad a_3 = a_2\\cdot q = 1\\cdot 2 = 2, \\quad a_4 = 4.$$
<b>Шаг 3.</b> Сложим:
$$S_{4} = \\dfrac{1}{2} + 1 + 2 + 4 = \\dfrac{15}{2} = 7{,}5.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $7{,}5$</div>`
      },
      {
        text: `В четырёхугольнике $ABCD$ $AB = 5$ см, $AD = 8$ см, $CD = 2\\sqrt{6}$ см,
               $\\angle A = 60^{\\circ}$, $\\angle C = 90^{\\circ}$. Найдите длину стороны $BC$.`,
        sol: `<b>Теорема косинусов:</b> $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\\cos\\gamma$.
<br><b>Теорема Пифагора:</b> $c^2 = a^2 + b^2$ для прямоугольного треугольника.
<br><b>Значение:</b> $\\cos 60^{\\circ} = \\dfrac{1}{2}$.
<br><b>Шаг 1.</b> Проведём диагональ $BD$. Четырёхугольник разобьётся на два треугольника: $ABD$ (с известным углом $\\angle A = 60^{\\circ}$) и $BCD$ (с прямым углом $\\angle C = 90^{\\circ}$).
<br><b>Шаг 2. Найдём $BD$ из $\\triangle ABD$ по теореме косинусов.</b> Известны $AB = 5$, $AD = 8$, $\\angle A = 60^{\\circ}$:
$$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2\\cdot AB\\cdot AD\\cdot\\cos A = 5^2 + 8^2 - 2\\cdot 5\\cdot 8\\cdot\\dfrac{1}{2}.$$
Вычислим: $25 + 64 - 40 = 49$, значит $BD = \\sqrt{49} = 7$ см.
<br><b>Шаг 3. Найдём $BC$ из $\\triangle BCD$ по теореме Пифагора.</b> Так как $\\angle C = 90^{\\circ}$, $BD$ — гипотенуза, а $BC$ и $CD$ — катеты. Подставим $CD = 2\\sqrt{6}$, $CD^2 = 4\\cdot 6 = 24$:
$$BC^2 = BD^2 - CD^2 = 49 - 24 = 25 \\implies BC = \\sqrt{25} = 5\\text{ см}.$$
<svg viewBox="0 0 220 230" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:300px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
  <polygon points="20,200 164,200 155,112 65,122" fill="rgba(37,99,235,0.07)" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
  <line x1="65" y1="122" x2="164" y2="200" stroke="#2563eb" stroke-width="1.4" stroke-dasharray="5,3"/>
  <polygon points="155,112 147,114 149,122 157,120" fill="rgba(0,0,0,0.08)" stroke="#334155" stroke-width="1.2"/>
  <path d="M 42 200 A 22 22 0 0 0 31 181" fill="none" stroke="#475569" stroke-width="1.2"/>
  <text x="6" y="213" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
  <text x="166" y="213" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">D</text>
  <text x="59" y="115" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
  <text x="158" y="108" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
  <text x="92" y="213" font-size="11" text-anchor="middle" fill="#c2410c">8</text>
  <text x="34" y="160" font-size="11" text-anchor="middle" fill="#c2410c">5</text>
  <text x="166" y="158" font-size="11" fill="#c2410c">2√6</text>
  <text x="108" y="111" font-size="11" fill="#c2410c">5</text>
  <text x="118" y="170" font-size="10" fill="#2563eb">BD=7</text>
  <text x="37" y="192" font-size="10" fill="#475569">60°</text>
</svg>
<div class="sol-ans">Ответ: $BC = 5$ см</div>`
      },
      {
        text: `В первый день туристы прошли $0{,}3$ намеченного пути,
               а во второй — преодолели $0{,}4$ намеченного пути.
               В третий день им оставалось пройти последние $15$ км.
               Каков весь путь туристов за $3$ дня?`,
        sol: `<b>Метод введения переменной:</b> неизвестную величину обозначаем буквой и составляем уравнение.
<br><b>Шаг 1. Введём переменную.</b> Пусть $S$ — весь намеченный путь (в километрах).
<br><b>Шаг 2. Выразим путь за два дня.</b> В первый день туристы прошли $0{,}3\\cdot S$, во второй — $0{,}4\\cdot S$. Всего за два дня:
$$0{,}3S + 0{,}4S = 0{,}7S.$$
<b>Шаг 3. Выразим оставшийся путь.</b> На третий день им осталось:
$$S - 0{,}7S = 0{,}3S.$$
<b>Шаг 4. Составим уравнение.</b> По условию это $15$ км:
$$0{,}3S = 15.$$
<b>Шаг 5.</b> Разделим обе части на $0{,}3$:
$$S = \\dfrac{15}{0{,}3} = 50\\text{ км}.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $50$ км</div>`
      },
      {
        text: `При каком значении $a$ графики функций $y = (a+1)x + 6$ и $y = 3x - 2$
               не имеют общих точек? Ответ обоснуйте.`,
        sol: `<b>Условие параллельности прямых:</b> две прямые $y = k_{1}x + b_{1}$ и $y = k_{2}x + b_{2}$ параллельны (и не имеют общих точек) тогда и только тогда, когда $k_{1} = k_{2}$ и $b_{1}\\neq b_{2}$.
<br><b>Шаг 1.</b> Запишем угловые коэффициенты данных прямых:
$$k_{1} = a + 1\\quad\\text{(из первой формулы)},\\qquad k_{2} = 3\\quad\\text{(из второй)}.$$
<b>Шаг 2.</b> Графики не имеют общих точек, когда прямые параллельны. Приравняем угловые коэффициенты:
$$a + 1 = 3 \\implies a = 2.$$
<b>Шаг 3. Проверим, что свободные члены не совпали</b> (иначе прямые совпадают, а не параллельны). При $a = 2$: $y = 3x + 6$ и $y = 3x - 2$. Свободные члены $6$ и $-2$ различны — значит, прямые параллельны и не имеют общих точек ✓.
<div class="sol-ans">Ответ: $a = 2$</div>`
      },
      {
        text: `Одна из диагоналей ромба в $1\\dfrac{1}{3}$ раза больше другой,
               периметр ромба равен $100$ см.
               Найдите площадь круга, окружность которого вписана в ромб.`,
        sol: `<b>Свойство диагоналей ромба:</b> диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам.
<br><b>Формула площади ромба:</b> $S = \\dfrac{d_{1}\\cdot d_{2}}{2}$.
<br><b>Формула радиуса вписанной окружности:</b> $r = \\dfrac{S}{p}$ ($p$ — полупериметр).
<br><b>Формула площади круга:</b> $S_{\\text{кр}} = \\pi r^{2}$.
<br><b>Шаг 1.</b> Заметим, что $1\\dfrac{1}{3} = \\dfrac{4}{3}$. Пусть меньшая диагональ $d_{1}$, тогда большая $d_{2} = \\dfrac{4}{3}d_{1}$. Половины диагоналей — катеты прямоугольного треугольника, гипотенуза которого — сторона ромба:
$$\\dfrac{d_{1}}{2} \\quad\\text{и}\\quad \\dfrac{d_{2}}{2} = \\dfrac{4d_{1}}{6} = \\dfrac{2d_{1}}{3}.$$
По <b>теореме Пифагора</b>:
$$a = \\sqrt{\\left(\\dfrac{d_{1}}{2}\\right)^{2} + \\left(\\dfrac{2d_{1}}{3}\\right)^{2}} = d_{1}\\sqrt{\\dfrac{1}{4} + \\dfrac{4}{9}} = d_{1}\\sqrt{\\dfrac{9 + 16}{36}} = d_{1}\\cdot\\dfrac{5}{6}.$$
<b>Шаг 2.</b> Из периметра $P = 4a = 100$ имеем $a = 25$ см. Тогда $d_{1}\\cdot\\dfrac{5}{6} = 25 \\implies d_{1} = 30$ см, $d_{2} = \\dfrac{4}{3}\\cdot 30 = 40$ см.
<br><b>Шаг 3.</b> Площадь ромба:
$$S = \\dfrac{30\\cdot 40}{2} = 600\\text{ см}^{2}.$$
<b>Шаг 4.</b> Полупериметр $p = \\dfrac{P}{2} = 50$ см. Радиус вписанной окружности:
$$r = \\dfrac{S}{p} = \\dfrac{600}{50} = 12\\text{ см}.$$
<b>Шаг 5.</b> Площадь круга:
$$S_{\\text{кр}} = \\pi r^{2} = \\pi\\cdot 12^{2} = 144\\pi\\text{ см}^{2}.$$
<svg viewBox="0 0 260 230" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:260px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
  <polygon points="70,115 130,35 190,115 130,195" fill="rgba(37,99,235,0.07)" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
  <line x1="70" y1="115" x2="190" y2="115" stroke="#94a3b8" stroke-width="1" stroke-dasharray="5,3"/>
  <line x1="130" y1="35" x2="130" y2="195" stroke="#94a3b8" stroke-width="1" stroke-dasharray="5,3"/>
  <polyline points="138,115 138,123 130,123" fill="none" stroke="#475569" stroke-width="1.2"/>
  <circle cx="130" cy="115" r="24" fill="rgba(220,38,38,0.08)" stroke="#dc2626" stroke-width="1.5"/>
  <circle cx="130" cy="115" r="2.5" fill="#1e293b"/>
  <line x1="130" y1="115" x2="130" y2="91" stroke="#dc2626" stroke-width="1" stroke-dasharray="3,2"/>
  <text x="134" y="105" font-size="10" fill="#dc2626">r=12</text>
  <text x="97" y="110" font-size="10" fill="#475569" text-anchor="middle">15</text>
  <text x="163" y="110" font-size="10" fill="#475569" text-anchor="middle">15</text>
  <text x="143" y="78" font-size="10" fill="#475569">20</text>
  <text x="143" y="158" font-size="10" fill="#475569">20</text>
</svg>
<div class="sol-ans">Ответ: $144\\pi$ см²</div>`
      },
    ]
};
