VARIANTS[24] = {
    label: "Вариант 24",
    tasks: [
      {
        text: `Какая из следующих точек является центром окружности,
               заданной уравнением $(x+4)^2 + (y-3)^2 = 2$:`,
        opts: [
          ["а", "$A(-4;\\;3)$"], ["б", "$B(-4;\\;{-3})$"], ["в", "$C(4;\\;{-3})$"],
          ["г", "$D(4;\\;3)$"], ["д", "$E(3;\\;{-4})$"],
        ],
        sol: `Стандартное уравнение окружности: $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$, центр $= (a,\\,b)$.
<br>Сравниваем: $(x+4)^2+(y-3)^2=2$ — здесь $a=-4$, $b=3$.
<div class="sol-ans">Ответ: а)&ensp;$A(-4;\\;3)$</div>`
      },
      {
        text: `Произведение дробей $\\dfrac{1}{a-b} \\cdot \\dfrac{a^2-b^2}{1}$ равно:`,
        opts: [
          ["а", "$a+b$"], ["б", "$\\dfrac{a+b}{b}$"], ["в", "$\\dfrac{a+b}{a}$"],
          ["г", "$1$"], ["д", "$\\dfrac{1}{a+b}$"],
        ],
        sol: `Разложим $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ и сократим $(a-b)$:
$$\\dfrac{1}{a-b}\\cdot\\dfrac{a^2-b^2}{1} = \\dfrac{(a-b)(a+b)}{a-b} = a+b$$
<div class="sol-ans">Ответ: а)&ensp;$a+b$</div>`
      },
      {
        text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
        opts: [
          ["а", "через точку, лежащую вне окружности, можно провести ровно две касательные к этой окружности;"],
          ["б", "площадь ромба равна произведению диагоналей;"],
          ["в", "если стороны одного треугольника равны $6$, $8$ и $10$, другого — $3$, $4$ и $5$, то треугольники подобны между собой;"],
          ["г", "$\\cos 60^{\\circ} = \\dfrac{1}{2}$?"],
        ],
        sol: `<ul>
<li>а) Через внешнюю точку окружности проходят ровно две касательные — <b>верно</b></li>
<li>б) «Площадь ромба равна произведению диагоналей» — <b style="color:#dc2626">НЕВЕРНО</b>. Правильная формула: $S=\\dfrac{1}{2}d_1 d_2$ (половина произведения диагоналей).</li>
<li>в) Стороны $6:8:10=3:4:5$, коэффициент подобия $2$ — <b>верно</b></li>
<li>г) $\\cos60°=\\dfrac{1}{2}$ — <b>верно</b></li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: б)</div>`
      },
      {
        text: `Определите, принадлежит ли точка $A(-1;\\;1)$ графику функции $y = 3x + 4$.
               Ответ обоснуйте.`,
        sol: `Подставляем координаты точки $A(-1;\\,1)$ в уравнение $y=3x+4$:
$$y = 3\\cdot(-1)+4 = -3+4 = 1$$
Получили $y=1$, и у точки $A$ координата $y=1$.
<br>Так как $1=1$, точка $A(-1;\\,1)$ <b>принадлежит</b> графику функции.
<div class="sol-ans">Ответ: да, принадлежит</div>`
      },
      {
        text: `Учащемуся в возрасте $10$ лет требуется не менее $9$–$10$ часов сна.
               Выполняется ли это требование, если он спит $\\dfrac{5}{12}$ суток? Ответ обоснуйте.`,
        sol: `<b>Правило нахождения части от числа:</b> чтобы найти $\\dfrac{m}{n}$ от числа $A$, нужно умножить $A$ на $\\dfrac{m}{n}$. <b>Длительность суток:</b> $24$ часа.
<br><b>Шаг 1.</b> Найдём, сколько часов составляет $\\dfrac{5}{12}$ суток:
$$\\dfrac{5}{12}\\cdot 24 = \\dfrac{5\\cdot 24}{12} = \\dfrac{120}{12} = 10\\text{ ч}.$$
<b>Шаг 2.</b> Сравним полученное время с нижней границей нормы. По условию требуется <b>не менее $9$ часов</b>, значит нужно, чтобы фактическое время сна было $\\geq 9$ ч.
<br>Так как $10\\geq 9$, требование выполняется.
<div class="sol-ans">Ответ: да, требование выполняется — ровно $10$ часов сна</div>`
      },
      {
        text: `Сравните значение выражения
               $\\dfrac{5}{12} \\cdot \\left(-\\dfrac{3}{5}\\right) + \\dfrac{1}{4} \\cdot \\left(-\\dfrac{3}{8}\\right) - \\dfrac{1}{7} \\cdot \\dfrac{4}{7}$
               с числом $-2$.`,
        sol: `<b>Порядок действий:</b> сначала умножения, потом сложение и вычитание. <b>Правило умножения дробей:</b> $\\dfrac{a}{b}\\cdot\\dfrac{c}{d}=\\dfrac{ac}{bd}$. <b>Знак произведения:</b> минус на плюс — минус, плюс на плюс — плюс.
<br><b>Шаг 1.</b> Вычислим каждое произведение, сокращая по ходу:
$$\\dfrac{5}{12}\\cdot\\left(-\\dfrac{3}{5}\\right) = -\\dfrac{5\\cdot 3}{12\\cdot 5} = -\\dfrac{3}{12} = -\\dfrac{1}{4};$$
$$\\dfrac{1}{4}\\cdot\\left(-\\dfrac{3}{8}\\right) = -\\dfrac{3}{32};$$
$$\\dfrac{1}{7}\\cdot\\dfrac{4}{7} = \\dfrac{4}{49}.$$
<b>Шаг 2.</b> Подставим найденные значения в исходное выражение:
$$-\\dfrac{1}{4} + \\left(-\\dfrac{3}{32}\\right) - \\dfrac{4}{49} = -\\dfrac{1}{4} - \\dfrac{3}{32} - \\dfrac{4}{49}.$$
<b>Шаг 3.</b> Найдём общий знаменатель. НОК$(4;32;49) = 32\\cdot 49 = 1568$. Приведём дроби:
$$-\\dfrac{1}{4} = -\\dfrac{392}{1568},\\quad -\\dfrac{3}{32} = -\\dfrac{147}{1568},\\quad -\\dfrac{4}{49} = -\\dfrac{128}{1568}.$$
<b>Шаг 4.</b> Сложим числители:
$$-\\dfrac{392+147+128}{1568} = -\\dfrac{667}{1568}\\approx -0{,}43.$$
<b>Шаг 5.</b> Сравним с числом $-2$. Так как $-0{,}43\\gt -2$ (отрицательное число с меньшим модулем больше), получаем:
<div class="sol-ans">Ответ: выражение $\\gt -2$</div>`
      },
      {
        text: `Найдите площадь треугольника со сторонами $10$ см, $24$ см и $26$ см.`,
        sol: `<b>Теорема, обратная теореме Пифагора:</b> если для сторон $a$, $b$, $c$ треугольника выполнено равенство $a^2+b^2=c^2$, то треугольник прямоугольный, а $c$ — гипотенуза.
<br><b>Формула площади прямоугольного треугольника:</b> $S = \\dfrac{1}{2}\\cdot a\\cdot b$, где $a$ и $b$ — катеты.
<br><b>Шаг 1.</b> Проверим, прямоугольный ли треугольник. Сравним квадрат большей стороны с суммой квадратов двух других:
$$10^2+24^2 = 100+576 = 676$$
$$26^2 = 676$$
Поскольку $10^2+24^2=26^2$, треугольник прямоугольный, его катеты — $10$ и $24$.
<svg viewBox="0 0 130 200" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:130px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px 0">
  <polygon points="20,180 100,180 20,20" fill="rgba(37,99,235,0.08)" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
  <polygon points="20,180 32,180 32,168 20,168" fill="none" stroke="#334155" stroke-width="1.3"/>
  <text x="6" y="15" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
  <text x="102" y="189" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
  <text x="5" y="190" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
  <text x="0" y="100" font-size="11" fill="#334155">24 см</text>
  <text x="50" y="194" font-size="11" fill="#334155">10 см</text>
  <text x="65" y="98" font-size="11" fill="#334155">26 см</text>
</svg>
<b>Шаг 2.</b> Применяем формулу площади:
$$S = \\dfrac{1}{2}\\cdot 10\\cdot 24 = 120\\text{ см}^2$$
<div class="sol-ans">Ответ: $120$ см²</div>`
      },
      {
        text: `Найдите частное $m$ и $n$, если
               $m = 3^{-2} \\cdot 3^2 \\cdot \\dfrac{(7^{-1})^{-2}}{3^{-5}}$
               и $n = \\dfrac{1}{7^{-2}} \\cdot 9^{-1} \\cdot \\dfrac{1}{3^{-5}}$.`,
        sol: `<b>Свойства степеней:</b> $x^m\\cdot x^n=x^{m+n}$,&ensp; $(x^m)^n=x^{mn}$,&ensp; $\\dfrac{x^m}{x^n}=x^{m-n}$,&ensp; $\\dfrac{1}{x^{-n}}=x^n$.
<br><b>Шаг 1.</b> Упростим $m$. По свойству степени степени $(7^{-1})^{-2}=7^2$, а деление на $3^{-5}$ равно умножению на $3^5$:
$$m = 3^{-2}\\cdot 3^2\\cdot 7^2\\cdot 3^5 = 3^{-2+2+5}\\cdot 7^2 = 3^5\\cdot 7^2.$$
<b>Шаг 2.</b> Упростим $n$. Имеем $\\dfrac{1}{7^{-2}}=7^2$, $9^{-1}=3^{-2}$ (так как $9=3^2$), $\\dfrac{1}{3^{-5}}=3^5$:
$$n = 7^2\\cdot 3^{-2}\\cdot 3^5 = 7^2\\cdot 3^{-2+5} = 7^2\\cdot 3^3.$$
<b>Шаг 3.</b> Найдём частное. Сокращаем $7^2$ и применяем правило $\\dfrac{x^m}{x^n}=x^{m-n}$:
$$\\dfrac{m}{n} = \\dfrac{3^5\\cdot 7^2}{3^3\\cdot 7^2} = 3^{5-3} = 3^2 = 9.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $\\dfrac{m}{n}=9$</div>`
      },
      {
        text: `Барановичскому станкостроительному заводу поступил заказ на изготовление $1200$ дробилок,
               которые используют для дробления пластиковых деталей к определённому сроку.
               Работая точно по графику, рабочие изготовили $25\\%$ заказа,
               а затем стали производить в день на $50$ дробилок больше и выполнили заказ за $3$ дня
               до назначенного срока. За сколько дней рабочие выполнили заказ?`,
        sol: `<b>Метод введения переменной:</b> обозначим неизвестную плановую выработку буквой $x$ и составим уравнение по условию о сроках.
<br><b>Шаг 1.</b> Пусть $x$ — количество дробилок, которое нужно было выпускать в день по плану. Тогда плановый срок выполнения заказа: $\\dfrac{1200}{x}$ дней.
<br><b>Шаг 2.</b> Сначала рабочие изготовили $25\\%$ заказа, то есть $\\dfrac{25}{100}\\cdot 1200 = 300$ дробилок. По плановой выработке это заняло $\\dfrac{300}{x}$ дней.
<br><b>Шаг 3.</b> Оставшиеся $1200-300=900$ дробилок делали по $x+50$ штук в день. Это заняло $\\dfrac{900}{x+50}$ дней.
<br><b>Шаг 4.</b> Закончили на $3$ дня раньше плана, значит фактический срок на $3$ меньше планового:
$$\\dfrac{1200}{x} - \\left(\\dfrac{300}{x}+\\dfrac{900}{x+50}\\right) = 3.$$
Упрощаем левую часть, $\\dfrac{1200}{x}-\\dfrac{300}{x}=\\dfrac{900}{x}$:
$$\\dfrac{900}{x} - \\dfrac{900}{x+50} = 3.$$
<b>Шаг 5.</b> Умножим обе части на $x(x+50)$, чтобы избавиться от знаменателей:
$$900(x+50) - 900x = 3x(x+50);$$
$$45000 = 3x^2+150x \\;\\implies\\; x^2+50x-15000 = 0.$$
<b>Шаг 6.</b> Решим квадратное уравнение через дискриминант:
$$D = 50^2 + 4\\cdot 15000 = 2500+60000 = 62500 = 250^2;$$
$$x = \\dfrac{-50+250}{2} = 100\\;\\;\\text{(второй корень отрицательный, не подходит)}.$$
<b>Шаг 7.</b> Найдём фактический срок. По плану заказ занял бы $\\dfrac{1200}{100}=12$ дней, фактически — на $3$ дня меньше: $12-3=9$ дней.
<br><b>Проверка:</b> первые $\\dfrac{300}{100}=3$ дня + последние $\\dfrac{900}{150}=6$ дней = $9$ дней.
<div class="sol-ans">Ответ: $9$ дней</div>`
      },
      {
        text: `В окружности проведены две взаимно перпендикулярные хорды $AB$ и $CD$,
               которые пересекаются в точке $K$, $AK = 4$, $KB = 9$, $DK = 3$.
               Найдите площадь круга, ограниченного этой окружностью.`,
        sol: `<b>Теорема о пересекающихся хордах:</b> если две хорды пересекаются в точке $K$, то $AK\\cdot KB = CK\\cdot KD$.
<br><b>Свойство хорды:</b> серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности.
<br><b>Теорема Пифагора:</b> $c^2 = a^2+b^2$ для прямоугольного треугольника.
<br><b>Формула площади круга:</b> $S=\\pi R^2$.
<br><b>Шаг 1.</b> По теореме о пересекающихся хордах:
$$AK\\cdot KB = CK\\cdot KD \\;\\implies\\; 4\\cdot 9 = CK\\cdot 3 \\;\\implies\\; CK = 12$$
Длины хорд: $AB = AK+KB = 4+9 = 13$,&ensp;$CD = CK+KD = 12+3 = 15$.
<br><b>Шаг 2.</b> Пусть $M$ — середина $AB$, $N$ — середина $CD$. Тогда $OM\\perp AB$ и $ON\\perp CD$ (по свойству перпендикуляра из центра к хорде).
<br><b>Шаг 3.</b> Так как $AB\\perp CD$ и $OM\\perp AB$, $ON\\perp CD$, четырёхугольник $ONKM$ — прямоугольник, поэтому $OM=KN$ и $ON=KM$.
<br><b>Шаг 4.</b> Находим $AM$ и $KM$:
$$AM = \\dfrac{AB}{2} = \\dfrac{13}{2} = 6{,}5$$
$$KM = AM - AK = 6{,}5 - 4 = 2{,}5$$
<b>Шаг 5.</b> Находим $CN$ и $KN$:
$$CN = \\dfrac{CD}{2} = \\dfrac{15}{2} = 7{,}5$$
$$KN = CK - CN = 12 - 7{,}5 = 4{,}5$$
Значит $OM=KN=4{,}5$.
<svg viewBox="0 0 270 228" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:400px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
  <circle cx="145" cy="110" r="81" fill="rgba(37,99,235,0.05)" stroke="#334155" stroke-width="1.5"/>
  <polygon points="145,110 105,110 105,120 145,120" fill="rgba(234,179,8,0.18)" stroke="#ca8a04" stroke-width="1.3" stroke-dasharray="4,2"/>
  <line x1="65" y1="120" x2="225" y2="120" stroke="#2563eb" stroke-width="1.8"/>
  <line x1="105" y1="40" x2="105" y2="180" stroke="#dc2626" stroke-width="1.8"/>
  <polygon points="105,120 113,120 113,112 105,112" fill="none" stroke="#334155" stroke-width="1.3"/>
  <line x1="65" y1="120" x2="145" y2="110" stroke="rgba(22,163,74,0.5)" stroke-width="1.5"/>
  <circle cx="145" cy="120" r="3" fill="#ca8a04"/>
  <circle cx="105" cy="110" r="3" fill="#ca8a04"/>
  <circle cx="145" cy="110" r="3.5" fill="#1e293b"/>
  <circle cx="105" cy="120" r="3" fill="#1e293b"/>
  <text x="48" y="124" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic" fill="#2563eb">A</text>
  <text x="227" y="124" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic" fill="#2563eb">B</text>
  <text x="108" y="34" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic" fill="#dc2626">C</text>
  <text x="108" y="190" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic" fill="#dc2626">D</text>
  <text x="88" y="133" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic">K</text>
  <text x="148" y="107" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic">O</text>
  <text x="147" y="133" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic" fill="#ca8a04">M</text>
  <text x="88" y="108" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic" fill="#ca8a04">N</text>
  <text x="79" y="114" font-size="10" fill="#2563eb">4</text>
  <text x="162" y="114" font-size="10" fill="#2563eb">9</text>
  <text x="109" y="78" font-size="10" fill="#dc2626">12</text>
  <text x="109" y="155" font-size="10" fill="#dc2626">3</text>
  <text x="115" y="134" font-size="10" fill="#ca8a04">KM=2,5</text>
  <text x="147" y="116" font-size="9" fill="#ca8a04">OM=4,5</text>
  <text x="50" y="107" font-size="10" fill="#16a34a" font-style="italic">R</text>
</svg>
<b>Шаг 6.</b> В прямоугольном треугольнике $OMA$ (прямой угол при $M$): $OA = R$, $OM = 4{,}5$, $AM = 6{,}5$. По теореме Пифагора:
$$R^2 = OM^2 + AM^2 = 4{,}5^2 + 6{,}5^2 = 20{,}25 + 42{,}25 = 62{,}5 = \\dfrac{125}{2}$$
<b>Шаг 7.</b> Площадь круга:
$$S = \\pi R^2 = \\dfrac{125\\pi}{2}\\text{ см}^2$$
<div class="sol-ans">Ответ: $\\dfrac{125\\pi}{2}$ см²</div>`
      },
    ]
};
