VARIANTS[78] = {
    label: "Вариант 78",
    tasks: [
      {
        text: `Определите, решением какого из данных неравенств является числовой промежуток $(-4;\\; +\\infty)$:`,
        opts: [
          ["а", "$x < -4$"], ["б", "$x > -4$"], ["в", "$x \\leq -4$"],
          ["г", "$x \\geq -4$"], ["д", "$x \\leq 4$"],
        ],
        sol: `Промежуток $(-4;\\,+\\infty)$ — все числа строго больше $-4$. Неравенство $x \\gt -4$ задаёт его.
<div class="sol-ans">Ответ: б)</div>`
      },
      {
        text: `Частное каких двух чисел <b>НЕ</b> равно $-2$:`,
        opts: [
          ["а", "$10$ и $-5$"], ["б", "$-2$ и $1$"], ["в", "$-1$ и $0{,}5$"],
          ["г", "$-0{,}5$ и $1$"], ["д", "$-6$ и $3$"],
        ],
        sol: `а)$-2$✓ б)$-2$✓ в)$-2$✓ г)$-0{,}5\\neq-2$ <b style="color:#dc2626">НЕ равно</b> д)$-2$✓
<div class="sol-ans">Ответ: г)</div>`
      },
      {
        text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
        opts: [
          ["а", "если в треугольнике два угла равны, то он — равнобедренный;"],
          ["б", "площадь прямоугольного треугольника с катетами $a$ и $b$ равна $S = \\dfrac{ab}{2}$;"],
          ["в", "в любой четырёхугольник можно вписать окружность;"],
          ["г", "сумма смежных углов равна $180^{\\circ}$?"],
        ],
        sol: `а) верно; б) верно; г) верно.
<br>в) <b style="color:#dc2626">НЕВЕРНО</b> — вписанная окружность есть только если $AB+CD=BC+AD$.
<div class="sol-ans">Ответ: в)</div>`
      },
      {
        text: `Определите масштаб изображения, если расстояние на местности,
               равное $50$ км, изображено на карте отрезком в $5$ мм.`,
        sol: `Переводим: $50$ км $= 50\\,000\\,000$ мм.
$$M = \\dfrac{5\\text{ мм}}{50\\,000\\,000\\text{ мм}} = \\dfrac{1}{10\\,000\\,000}$$
<div class="sol-ans">Ответ: $1:10\\,000\\,000$</div>`
      },
      {
        text: `Сумма градусных мер вписанного угла и соответствующего ему центрального угла равна $150^{\\circ}$.
               Найдите градусную меру вписанного угла.`,
        sol: `<b>Теорема о вписанном угле:</b> вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Значит, центральный угол вдвое больше вписанного.
<br><b>Шаг 1.</b> Обозначим вписанный угол через $\\alpha$. Тогда соответствующий центральный угол равен $2\\alpha$.
<br><b>Шаг 2.</b> По условию их сумма равна $150^\\circ$:
$$\\alpha + 2\\alpha = 150^\\circ.$$
<b>Шаг 3.</b> Приведём подобные и найдём $\\alpha$:
$$3\\alpha = 150^\\circ \\implies \\alpha = 50^\\circ.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $50^\\circ$</div>`
      },
      {
        text: `Найдите координаты точки графика линейной функции $y = -4x - 35$,
               ордината которой в $3$ раза больше абсциссы.`,
        sol: `<b>Метод подстановки:</b> используя связь между координатами, выражаем одну переменную через другую и подставляем в уравнение функции.
<br><b>Координаты точки:</b> абсцисса — это $x$, ордината — это $y$.
<br><b>Шаг 1. Запишем условие в виде равенства.</b> «Ордината в $3$ раза больше абсциссы» означает $y = 3x$.
<br><b>Шаг 2. Подставим $y = 3x$ в уравнение функции $y = -4x - 35$:</b>
$$3x = -4x - 35.$$
<b>Шаг 3.</b> Перенесём $-4x$ влево с противоположным знаком:
$$3x + 4x = -35 \\implies 7x = -35.$$
<b>Шаг 4.</b> Разделим обе части на $7$:
$$x = \\dfrac{-35}{7} = -5.$$
<b>Шаг 5. Найдём ординату</b> из $y = 3x$:
$$y = 3\\cdot(-5) = -15.$$
<b>Проверка.</b> Подставим $x = -5$: $y = -4\\cdot(-5) - 35 = 20 - 35 = -15$ ✓.
<div class="sol-ans">Ответ: $(-5;\\;-15)$</div>`
      },
      {
        text: `Известно, что функция $y = f(x)$ является нечётной и $f(5) = -2$, $f(-7) = 8$.
               Найдите значение выражения $2f(-5) + 3f(7)$.`,
        sol: `<b>Свойство нечётной функции:</b> $f(-x) = -f(x)$ для всех $x$ из области определения (график симметричен относительно начала координат).
<br><b>Шаг 1. Найдём $f(-5)$.</b> По свойству нечётности:
$$f(-5) = -f(5) = -(-2) = 2.$$
<b>Шаг 2. Найдём $f(7)$.</b> По свойству нечётности:
$$f(7) = -f(-7) = -8.$$
<b>Шаг 3. Подставим в выражение $2f(-5) + 3f(7)$:</b>
$$2\\cdot 2 + 3\\cdot(-8) = 4 + (-24) = -20.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $-20$</div>`
      },
      {
        text: `Решите уравнение $\\dfrac{x^2 + 3x}{x + 3} = 2 - x^2$.`,
        sol: `<b>Правило сокращения дроби:</b> одинаковый множитель в числителе и знаменателе сокращается (если он не равен нулю).
<br><b>Теорема Виета:</b> для уравнения $x^2 + px + q = 0$ сумма корней равна $-p$, произведение равно $q$.
<br><b>Шаг 1. ОДЗ.</b> Знаменатель $x + 3 \\neq 0$, значит, $x \\neq -3$.
<br><b>Шаг 2.</b> Вынесем в числителе общий множитель $x$ и сократим:
$$\\dfrac{x^2 + 3x}{x + 3} = \\dfrac{x(x + 3)}{x + 3} = x.$$
<b>Шаг 3.</b> Уравнение становится $x = 2 - x^2$, или
$$x^2 + x - 2 = 0.$$
<b>Шаг 4.</b> По теореме Виета подбираем два числа: сумма $-1$, произведение $-2$ — это $1$ и $-2$. Значит, $x_{1} = 1$, $x_{2} = -2$.
<br><b>Шаг 5.</b> Проверим по ОДЗ: ни один корень не равен $-3$ — оба подходят.
<div class="sol-ans">Ответ: $x=1,\\ x=-2$</div>`
      },
      {
        text: `В треугольнике $ABC$ проведены биссектриса $BK$ и медиана $CM$,
               которые пересекаются в точке $F$.
               Площадь треугольника $ABC$ равна $120$, $AB : BC = 2 : 3$.
               Найдите площадь четырёхугольника $AMFK$.`,
        sol: `<svg viewBox="0 0 265 210" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:265px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
  <polygon points="30,190 60,110 103,130 110,190" fill="rgba(34,197,94,0.35)" stroke="none"/>
  <polygon points="30,190 90,30 230,190" fill="rgba(37,99,235,0.06)" stroke="#475569" stroke-width="1.8"/>
  <line x1="230" y1="190" x2="60" y2="110" stroke="#2563eb" stroke-width="1.8" stroke-dasharray="6,3"/>
  <line x1="90" y1="30" x2="110" y2="190" stroke="#dc2626" stroke-width="1.8" stroke-dasharray="6,3"/>
  <text x="18" y="200" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">A</text>
  <text x="84" y="22" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">B</text>
  <text x="232" y="200" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">C</text>
  <circle cx="60" cy="110" r="3" fill="#2563eb"/>
  <text x="44" y="108" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic" fill="#2563eb">M</text>
  <circle cx="110" cy="190" r="3" fill="#dc2626"/>
  <text x="104" y="205" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic" fill="#dc2626">K</text>
  <circle cx="103" cy="130" r="3" fill="#7c3aed"/>
  <text x="107" y="128" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic" fill="#7c3aed">F</text>
  <text x="70" y="170" font-size="10" fill="#15803d" text-anchor="middle">AMFK</text>
</svg>
<b>Свойство биссектрисы:</b> биссектриса делит противоположную сторону в отношении прилежащих сторон. Здесь $BK$ — биссектриса из $B$: $AK:KC = AB:BC = 2:3$.
<br><b>Свойство медианы:</b> медиана $CM$ из $C$ делит сторону $AB$ пополам — $M$ — середина $AB$.
<br><b>Свойство площадей:</b> если у треугольников общая высота, то их площади относятся как основания.
<br><b>Теорема Фалеса:</b> параллельные прямые отсекают на двух пересекающих их прямых пропорциональные отрезки.
<br><b>Шаг 1.</b> $AK : KC = 2 : 3$, поэтому $AK = \\dfrac{2}{5}AC$. Треугольники $ABK$ и $ABC$ имеют общую высоту из $B$, значит площади относятся как основания:
$$S(ABK) = \\dfrac{AK}{AC}\\cdot S(ABC) = \\dfrac{2}{5}\\cdot 120 = 48.$$
<b>Шаг 2.</b> Медиана $CM$ делит $\\triangle ABC$ на два равновеликих:
$$S(ACM) = \\dfrac{1}{2}\\cdot S(ABC) = 60.$$
<b>Шаг 3.</b> Найдём отношение $CF : FM$. Через $M$ проведём прямую $MN \\parallel BK$, $N$ — на $AC$. По теореме Фалеса (в $\\triangle ABK$ прямая через $M$, параллельная $BK$, отсекает середину $AK$): $N$ — середина $AK$, поэтому $AN = NK = \\dfrac{1}{2}AK = \\dfrac{1}{5}AC$.
<br>В $\\triangle ACM$ прямые $BK$ и $MN$ параллельны, их секут $CM$ (в точках $F$ и $M$) и $CA$ (в точках $K$ и $N$). По теореме Фалеса:
$$\\dfrac{CF}{FM} = \\dfrac{CK}{KN} = \\dfrac{3/5\\cdot AC}{1/5\\cdot AC} = \\dfrac{3}{1}.$$
<b>Шаг 4.</b> В $\\triangle ACM$ точка $F$ делит $CM$ так, что $CF = \\dfrac{3}{4}CM$, $FM = \\dfrac{1}{4}CM$:
$$S(ACF) = \\dfrac{CF}{CM}\\cdot S(ACM) = \\dfrac{3}{4}\\cdot 60 = 45,$$
$$S(AMF) = S(ACM) - S(ACF) = 60 - 45 = 15.$$
<b>Шаг 5.</b> В $\\triangle ACF$ точка $K$ на $AC$ делит его в отношении $AK : KC = 2 : 3$:
$$S(AKF) = \\dfrac{AK}{AC}\\cdot S(ACF) = \\dfrac{2}{5}\\cdot 45 = 18.$$
<b>Шаг 6.</b> Четырёхугольник $AMFK$ состоит из двух треугольников $AMF$ и $AKF$ с общей стороной $AF$:
$$S(AMFK) = S(AMF) + S(AKF) = 15 + 18 = 33.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $33$</div>`
      },
      {
        text: `Имеется $2$ ящика для упаковки фруктов. В первом ящике — $54$ ячейки,
               причём в каждом ряду их одинаковое количество. Во втором ящике — $56$ ячеек,
               при этом число рядов меньше на $2$, а в каждом ряду на $5$ ячеек больше, чем в первом.
               Сколько ячеек в каждом ряду в первом ящике?`,
        sol: `<b>Метод введения двух переменных:</b> вводим переменные для неизвестных и составляем систему уравнений.
<br><b>Формула корней квадратного уравнения:</b> $x = \\dfrac{-b\\pm\\sqrt{D}}{2a}$, $D = b^2 - 4ac$.
<br><b>Шаг 1. Введём переменные для первого ящика.</b> Пусть $r$ — число рядов, $n$ — число ячеек в одном ряду. Тогда всего ячеек:
$$r\\cdot n = 54.\\qquad(1)$$
<b>Шаг 2. Составим уравнение для второго ящика.</b> Число рядов меньше на $2$, в каждом ряду на $5$ ячеек больше, всего $56$ ячеек:
$$(r-2)(n+5) = 56.$$
<b>Шаг 3.</b> Раскроем скобки:
$$rn + 5r - 2n - 10 = 56.$$
Подставим $rn = 54$ из (1):
$$54 + 5r - 2n - 10 = 56 \\implies 5r - 2n = 12.\\qquad(2)$$
<b>Шаг 4. Решим систему.</b> Из (1) выразим $n = \\dfrac{54}{r}$ и подставим в (2):
$$5r - \\dfrac{108}{r} = 12.$$
<b>Шаг 5.</b> Умножим на $r$ (при $r\\neq 0$):
$$5r^2 - 108 = 12r \\implies 5r^2 - 12r - 108 = 0.$$
<b>Шаг 6.</b> Найдём дискриминант ($a = 5$, $b = -12$, $c = -108$):
$$D = (-12)^2 - 4\\cdot 5\\cdot(-108) = 144 + 2160 = 2304 = 48^2.$$
$$r = \\dfrac{12\\pm 48}{10}:\\quad r_{1} = \\dfrac{60}{10} = 6,\\quad r_{2} = \\dfrac{-36}{10} \\lt 0.$$
По смыслу задачи $r \\gt 0$, поэтому $r = 6$.
<br><b>Шаг 7.</b> Найдём $n$ из (1): $n = \\dfrac{54}{6} = 9$ ячеек в ряду.
<br><b>Проверка для второго ящика:</b> $(6-2)(9+5) = 4\\cdot 14 = 56$ ✓.
<div class="sol-ans">Ответ: $9$ ячеек в ряду</div>`
      },
    ]
};
