VARIANTS[46] = {
    label: "Вариант 46",
    tasks: [
      {
        text: `Определите наибольшее натуральное число, принадлежащее промежутку
               $\\left(-\\dfrac{2}{3};\\; 7{,}1\\right)$:`,
        opts: [
          ["а", "$2$"], ["б", "$1$"], ["в", "$0$"], ["г", "$6$"], ["д", "$7$"],
        ],
        sol: `Натуральные числа: $1, 2, 3, \\ldots$ Все они принадлежат промежутку $(-0{,}67;\\;7{,}1)$, если не превышают $7$. Наибольшее такое число — $7$, так как $7 \\lt 7{,}1$, а $8 \\gt 7{,}1$.
<div class="sol-ans">Ответ: д)&ensp;$7$</div>`
      },
      {
        text: `График обратной пропорциональности $y = \\dfrac{k}{x}$ проходит через точку
               $(\\sqrt{5};\\; -2\\sqrt{5})$. Коэффициент $k$ равен:`,
        opts: [
          ["а", "$k = \\sqrt{5}$"], ["б", "$k = -2\\sqrt{5}$"], ["в", "$k = -10$"],
          ["г", "$k = 2$"], ["д", "$k = -5$"],
        ],
        sol: `$k = x\\cdot y = \\sqrt{5}\\cdot(-2\\sqrt{5}) = -2\\cdot5 = -10$
<div class="sol-ans">Ответ: в)&ensp;$k=-10$</div>`
      },
      {
        text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
        opts: [
          ["а", "диагонали ромба лежат на биссектрисах его углов;"],
          ["б", "диаметр окружности равен двум радиусам;"],
          ["в", "если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники равны;"],
          ["г", "прямоугольная трапеция имеет два прямых угла?"],
        ],
        sol: `<ul>
<li>а) Диагонали ромба лежат на биссектрисах его углов — <b>верно</b></li>
<li>б) Диаметр равен двум радиусам — <b>верно</b></li>
<li>в) «Два равных угла ⟹ треугольники равны» — <b style="color:#dc2626">НЕВЕРНО</b>. Равенство двух углов означает лишь подобие (ААА), но не равенство: стороны могут различаться.</li>
<li>г) Прямоугольная трапеция имеет два прямых угла — <b>верно</b></li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: в)</div>`
      },
      {
        text: `Решите уравнение $2x^2 + x = 0$.
               В ответ запишите среднее арифметическое корней уравнения.`,
        sol: `$$x(2x+1)=0 \\implies x_1=0,\\quad x_2=-\\dfrac{1}{2}$$
Среднее арифметическое:
$$\\dfrac{x_1+x_2}{2}=\\dfrac{0+\\left(-\\dfrac{1}{2}\\right)}{2}=-\\dfrac{1}{4}$$
<div class="sol-ans">Ответ: $-\\dfrac{1}{4}$</div>`
      },
      {
        text: `$ABCD$ — прямоугольник, $O$ — точка пересечения его диагоналей.
               Угол $DBC$ равен $32^{\\circ}$. Найдите угол $AOD$.`,
        sol: `<svg viewBox="0 0 130 185" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:240px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px 0">
  <!-- AB=80, BC=130 -->
  <polygon points="20,165 100,165 100,35 20,35" fill="rgba(37,99,235,0.06)" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
  <line x1="20" y1="165" x2="100" y2="35" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="4,3"/>
  <line x1="100" y1="165" x2="20" y2="35" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="4,3"/>
  <path d="M 100 135 A 22 22 0 0 0 84 128" fill="rgba(220,38,38,0.12)" stroke="#dc2626" stroke-width="1.3"/>
  <path d="M 34 100 A 22 22 0 0 0 34 80" fill="rgba(22,163,74,0.12)" stroke="#16a34a" stroke-width="1.3"/>
  <circle cx="60" cy="100" r="3" fill="#334155"/>
  <text x="5" y="178" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
  <text x="103" y="178" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
  <text x="103" y="30" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
  <text x="5" y="30" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">D</text>
  <text x="63" y="97" font-size="11" font-family="serif" font-style="italic">O</text>
  <text x="80" y="152" font-size="11" fill="#dc2626" font-weight="bold">32°</text>
  <text x="36" y="92" font-size="11" fill="#16a34a" font-weight="bold">116°</text>
</svg>
<b>Свойства прямоугольника:</b>
<br>1) Все углы прямоугольника прямые ($90°$).
<br>2) Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам.
<br><b>Шаг 1.</b> В прямоугольнике $\\angle ABC = 90°$. Точка $O$ лежит внутри угла $ABC$, поэтому:
$$\\angle ABD = \\angle ABC - \\angle DBC = 90° - 32° = 58°$$
<b>Шаг 2.</b> По свойству диагоналей: $OA = OB$ (половинки равных диагоналей).
<br>Значит, треугольник $AOB$ — <b>равнобедренный</b> с основанием $AB$. По <b>свойству равнобедренного треугольника</b> углы при основании равны:
$$\\angle OAB = \\angle OBA = \\angle ABD = 58°$$
<b>Шаг 3.</b> По <b>теореме о сумме углов треугольника</b> (сумма $= 180°$):
$$\\angle AOB = 180° - 58° - 58° = 64°$$
<b>Шаг 4.</b> Точки $A$, $O$, $C$ лежат на одной прямой (диагональ $AC$), поэтому углы $\\angle AOB$ и $\\angle BOC$ — смежные (как и $\\angle AOD$ и $\\angle DOC$). Углы $\\angle AOD$ и $\\angle AOB$ смежные:
$$\\angle AOD = 180° - \\angle AOB = 180° - 64° = 116°$$
<div class="sol-ans">Ответ: $\\angle AOD = 116°$</div>`
      },
      {
        text: `Найдите значение выражения $56A$, если
               $A = (3\\sqrt{2} - 2)(\\sqrt{18} + 2) - 14 \\cdot \\dfrac{1}{8}$.`,
        sol: `<b>Формула разности квадратов:</b> $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.
<br><b>Шаг 1.</b> Упрощаем $\\sqrt{18}$, вынося полный квадрат:
$$\\sqrt{18} = \\sqrt{9\\cdot 2} = \\sqrt{9}\\cdot\\sqrt{2} = 3\\sqrt{2}$$
Значит, первое произведение принимает вид $(3\\sqrt{2} - 2)(3\\sqrt{2} + 2)$.
<br><b>Шаг 2.</b> Применяем формулу разности квадратов (здесь $a = 3\\sqrt{2}$, $b = 2$):
$$(3\\sqrt{2} - 2)(3\\sqrt{2} + 2) = (3\\sqrt{2})^2 - 2^2 = 9\\cdot 2 - 4 = 18 - 4 = 14$$
<b>Шаг 3.</b> Подставляем в выражение для $A$:
$$A = 14 - 14\\cdot\\dfrac{1}{8} = 14 - \\dfrac{14}{8} = 14 - \\dfrac{7}{4} = \\dfrac{56 - 7}{4} = \\dfrac{49}{4}$$
<b>Шаг 4.</b> Находим $56A$:
$$56A = 56\\cdot\\dfrac{49}{4} = \\dfrac{56}{4}\\cdot 49 = 14\\cdot 49 = 686$$
<div class="sol-ans">Ответ: $686$</div>`
      },
      {
        text: `При каких натуральных значениях $m$ верно неравенство
               $\\dfrac{m+1}{2} - \\dfrac{m-2}{3} > \\dfrac{m+3}{4}$?`,
        sol: `<b>Свойство неравенства:</b> при умножении обеих частей на положительное число знак неравенства сохраняется.
<br><b>Шаг 1.</b> Наименьший общий знаменатель дробей $2,\\,3,\\,4$ равен $12$. Умножаем обе части на $12$:
$$12\\cdot\\dfrac{m+1}{2} - 12\\cdot\\dfrac{m-2}{3} \\gt 12\\cdot\\dfrac{m+3}{4}$$
$$6(m + 1) - 4(m - 2) \\gt 3(m + 3)$$
<b>Шаг 2.</b> Раскрываем скобки:
$$6m + 6 - 4m + 8 \\gt 3m + 9$$
$$2m + 14 \\gt 3m + 9$$
<b>Шаг 3.</b> Переносим $3m$ влево, числа — вправо:
$$2m - 3m \\gt 9 - 14 \\implies -m \\gt -5$$
<b>Шаг 4.</b> Умножаем на $-1$. <b>Важно:</b> при умножении на <em>отрицательное</em> число знак неравенства <em>меняется на противоположный:</em>
$$m \\lt 5$$
<b>Шаг 5.</b> Натуральные числа, меньшие $5$:
$$m \\in \\{1,\\,2,\\,3,\\,4\\}$$
<div class="sol-ans">Ответ: $m\\in\\{1,\\;2,\\;3,\\;4\\}$</div>`
      },
      {
        text: `Найдите значение выражения $10(x - y)$, где $(x;\\; y)$ — решение системы уравнений
               $$\\begin{cases} x^2 + 4xy + 4y^2 = -x - 6y, \\\\[4pt] x + 2y = 1. \\end{cases}$$`,
        sol: `<b>Формула квадрата суммы:</b> $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
<br><b>Шаг 1.</b> Замечаем структуру левой части первого уравнения:
$$x^2 + 4xy + 4y^2 = x^2 + 2\\cdot x\\cdot 2y + (2y)^2 = (x + 2y)^2$$
<b>Шаг 2.</b> Из второго уравнения системы: $x + 2y = 1$. Подставляем в первое:
$$(x + 2y)^2 = -x - 6y$$
$$1^2 = -(x + 6y) \\implies x + 6y = -1$$
<b>Шаг 3.</b> Получили новую систему: $\\{x + 2y = 1;\\; x + 6y = -1\\}$.
<br>Вычтем первое уравнение из второго (метод вычитания исключает $x$):
$$(x + 6y) - (x + 2y) = -1 - 1 \\implies 4y = -2 \\implies y = -\\dfrac{1}{2}$$
<b>Шаг 4.</b> Подставляем $y = -\\dfrac{1}{2}$ в $x + 2y = 1$:
$$x + 2\\cdot\\left(-\\dfrac{1}{2}\\right) = 1 \\implies x - 1 = 1 \\implies x = 2$$
<b>Шаг 5.</b> Вычисляем искомое выражение:
$$10(x - y) = 10\\cdot\\left(2 - \\left(-\\dfrac{1}{2}\\right)\\right) = 10\\cdot\\dfrac{5}{2} = 25$$
<div class="sol-ans">Ответ: $25$</div>`
      },
      {
        text: `При открытии торгов в среду акции компании подешевели на некоторое количество процентов,
               а в четверг — подорожали на то же количество процентов.
               В результате они стали стоить на $9\\%$ дешевле, чем при открытии торгов в среду.
               На сколько процентов подорожали акции в четверг?`,
        sol: `<b>Метод процентных коэффициентов:</b> уменьшение на $p\\%$ соответствует умножению на $\\left(1 - \\dfrac{p}{100}\\right)$, увеличение на $p\\%$ — на $\\left(1 + \\dfrac{p}{100}\\right)$. Также используется <b>формула разности квадратов:</b> $(1-a)(1+a) = 1 - a^2$.
<br><b>Шаг 1.</b> Пусть $P$ — цена при открытии торгов в среду, а $p$ — искомый процент.
<br><b>Шаг 2.</b> В среду цена снизилась на $p\\%$, значит к концу среды:
$$P_1 = P\\cdot\\left(1 - \\dfrac{p}{100}\\right)$$
<b>Шаг 3.</b> В четверг цена выросла на $p\\%$ от $P_1$, значит к концу четверга:
$$P_2 = P_1\\cdot\\left(1 + \\dfrac{p}{100}\\right) = P\\cdot\\left(1 - \\dfrac{p}{100}\\right)\\left(1 + \\dfrac{p}{100}\\right)$$
По формуле разности квадратов:
$$P_2 = P\\cdot\\left(1 - \\dfrac{p^2}{10000}\\right)$$
<b>Шаг 4.</b> По условию итоговая цена на $9\\%$ ниже начальной, то есть $P_2 = 0{,}91\\cdot P$:
$$1 - \\dfrac{p^2}{10000} = 0{,}91$$
<b>Шаг 5.</b> Решаем:
$$\\dfrac{p^2}{10000} = 0{,}09 \\implies p^2 = 900 \\implies p = 30$$
(берём положительный корень).
<div class="sol-ans">Ответ: подорожали на $30\\%$</div>`
      },
      {
        text: `$ABCD$ — вписанная трапеция. Центр $O$ описанной окружности лежит на большем основании $AD$,
               $BH$ — высота трапеции. Найдите площадь трапеции, если $BD = 20$ см, $AH = 9$ см.`,
        sol: `<b>Теорема Фалеса (о вписанном угле, опирающемся на диаметр):</b> вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой ($90°$).
<br><b>Свойство высоты прямоугольного треугольника:</b> высота, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе, удовлетворяет соотношениям:
<br>$h^2 = m\\cdot n$ (где $m$, $n$ — проекции катетов на гипотенузу), а также $a^2 = m\\cdot c$, $b^2 = n\\cdot c$, где $a$, $b$ — катеты, $c$ — гипотенуза.
<br><b>Шаг 1.</b> Так как центр $O$ описанной окружности лежит на хорде $AD$, то $AD$ проходит через центр, то есть $AD$ — <b>диаметр</b>.
<br>По теореме Фалеса вписанный угол $\\angle ABD = 90°$ (опирается на диаметр $AD$).
<svg viewBox="0 0 195 110" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:280px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px 0">
  <!-- Симметрично V45: высота BH слева, диагональ BD -->
  <path d="M 28 82 A 62 62 0 0 1 153 82" fill="rgba(37,99,235,0.05)" stroke="#2563eb" stroke-width="1.3" stroke-dasharray="5,3"/>
  <polygon points="28,82 72,22 108,22 153,82" fill="rgba(37,99,235,0.07)" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
  <!-- BD (красная диагональ от B вниз-вправо к D) -->
  <line x1="72" y1="22" x2="153" y2="82" stroke="#dc2626" stroke-width="1.8"/>
  <!-- BH (зелёная высота из B вниз) -->
  <line x1="72" y1="22" x2="72" y2="82" stroke="#16a34a" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="4,3"/>
  <polygon points="72,22 78,26 75,32 69,28" fill="none" stroke="#334155" stroke-width="1.2"/>
  <polygon points="72,82 80,82 80,74 72,74" fill="none" stroke="#334155" stroke-width="1.2"/>
  <circle cx="90" cy="82" r="2.5" fill="#334155"/>
  <text x="13" y="93" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
  <text x="157" y="93" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">D</text>
  <text x="66" y="17" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
  <text x="111" y="17" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
  <text x="71" y="92" font-size="11" font-family="serif" font-style="italic">H</text>
  <text x="87" y="78" font-size="11" font-family="serif" font-style="italic">O</text>
  <text x="105" y="58" font-size="11" fill="#dc2626">BD=20</text>
  <text x="58" y="55" font-size="11" fill="#16a34a">h</text>
  <text x="36" y="93" font-size="10" fill="#475569">AH=9</text>
  <text x="83" y="19" font-size="10" fill="#334155">BC</text>
</svg>
<b>Шаг 2. Находим $AD$.</b> В прямоугольном $\\triangle ABD$ (прямой угол при $B$) $BH$ — высота, опущенная на гипотенузу $AD$.
<br>По свойству высоты: $BD^2 = HD\\cdot AD$, где $HD$ — проекция катета $BD$ на гипотенузу.
$$20^2 = HD\\cdot AD \\implies 400 = HD\\cdot AD$$
Также $HD = AD - AH = AD - 9$. Подставляем:
$$400 = (AD - 9)\\cdot AD \\implies AD^2 - 9AD - 400 = 0$$
<b>Шаг 3.</b> Решаем по <b>формуле дискриминанта:</b>
$$D = 81 + 1600 = 1681 = 41^2 \\implies AD = \\dfrac{9 + 41}{2} = 25\\text{ см}$$
(второй корень отрицательный, не подходит).
<br><b>Шаг 4.</b> Находим $HD$, $BH$ и второе основание трапеции.
$$HD = 25 - 9 = 16\\text{ см}$$
По свойству высоты $BH^2 = AH\\cdot HD = 9\\cdot 16 = 144$, значит $BH = 12$ см.
<br>Трапеция $ABCD$ равнобедренная (как вписанная). По симметрии расстояние от $C$ до $AD$ тоже даёт «выступ» $9$ см справа. Тогда:
$$BC = AD - 2\\cdot AH = 25 - 2\\cdot 9 = 7\\text{ см}$$
<b>Шаг 5.</b> По <b>формуле площади трапеции</b>:
$$S = \\dfrac{AD + BC}{2}\\cdot BH = \\dfrac{25 + 7}{2}\\cdot 12 = 16\\cdot 12 = 192\\text{ см}^2$$
<div class="sol-ans">Ответ: $192$ см²</div>`
      },
    ]
};
