VARIANTS[63] = {
    label: "Вариант 63",
    tasks: [
      {
        text: `Определите, какое из данных равенств является верным:`,
        opts: [
          ["а", "$a^5 = 5a$"], ["б", "$a^5 = 5a^5$"], ["в", "$a^5 = 5 + a^5$"],
          ["г", "$a^5 = a^5$ (т.е. $a \\cdot a \\cdot a \\cdot a \\cdot a = a^5$)"], ["д", "$a^5 = 5 : a^5$"],
        ],
        sol: `По определению степени с натуральным показателем:
              $$a^5 = \\underbrace{a\\cdot a\\cdot a\\cdot a\\cdot a}_{5\\text{ раз}}.$$
              Остальные равенства неверны: $5a$, $5a^5$, $5+a^5$, $5:a^5$ — это другие выражения.
              <div class="sol-ans">Ответ: <b>г</b>.</div>`
      },
      {
        text: `Частное дробей $\\dfrac{4}{5}$ и $\\dfrac{24}{25}$ равно:`,
        opts: [
          ["а", "$\\dfrac{6}{5}$"], ["б", "$\\dfrac{125}{96}$"], ["в", "$\\dfrac{5}{6}$"],
          ["г", "$1{,}2$"], ["д", "$\\dfrac{96}{125}$"],
        ],
        sol: `Деление дробей — это умножение на обратную:
              $$\\dfrac{4}{5} : \\dfrac{24}{25} = \\dfrac{4}{5}\\cdot\\dfrac{25}{24} = \\dfrac{4\\cdot 25}{5\\cdot 24} = \\dfrac{100}{120} = \\dfrac{5}{6}.$$
              <div class="sol-ans">Ответ: <b>в</b>.</div>`
      },
      {
        text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
        opts: [
          ["а", "если две окружности касаются внешним образом, то сумма их радиусов равна расстоянию между их центрами;"],
          ["б", "$\\sin 60^{\\circ} = \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$;"],
          ["в", "на плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой;"],
          ["г", "у любого ромба все углы прямые?"],
        ],
        sol: `Проверяем каждое утверждение:
              <ul>
                <li>а) верно — это свойство внешнего касания окружностей;</li>
                <li>б) верно — табличное значение $\\sin 60^{\\circ} = \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$;</li>
                <li>в) верно — признак параллельности прямых на плоскости;</li>
                <li>г) <b>неверно</b> — прямые углы есть только у квадрата (частного случая ромба), а не у любого ромба.</li>
              </ul>
              <div class="sol-ans">Ответ: <b>г</b>.</div>`
      },
      {
        text: `Найдите значение выражения $\\left(3\\dfrac{1}{3}\\right)^{-2}$.
               В ответ запишите противоположное ему число.`,
        sol: `Превратим смешанное число в обыкновенную дробь: $3\\dfrac{1}{3} = \\dfrac{10}{3}$.<br>
              По свойству $a^{-n} = \\dfrac{1}{a^{n}}$:
              $$\\left(\\dfrac{10}{3}\\right)^{-2} = \\left(\\dfrac{3}{10}\\right)^{2} = \\dfrac{9}{100} = 0{,}09.$$
              Противоположное число: $-0{,}09$.
              <div class="sol-ans">Ответ: $-0{,}09$ (или $-\\dfrac{9}{100}$).</div>`
      },
      {
        text: `Вершина угла $ABC$ лежит на окружности с центром в точке $O$,
               а стороны пересекают окружность в точках $A$ и $C$.
               Угол $ABO$ равен $40^{\\circ}$, угол $ACO$ равен $30^{\\circ}$.
               Найдите величину угла $BOC$.`,
        sol: `<svg viewBox="0 0 260 240" width="260" height="240" style="display:block;margin:6px auto;background:#fff;border:1px solid #ccc">
                <circle cx="130" cy="120" r="90" fill="none" stroke="#333" stroke-width="1.5"/>
                <circle cx="130" cy="120" r="2.5" fill="#000"/>
                <text x="136" y="115" font-size="14" font-style="italic">O</text>
                <!-- B at top, A at left, C at right on the circle -->
                <circle cx="130" cy="30" r="2.5" fill="#000"/>
                <text x="124" y="22" font-size="14" font-style="italic">B</text>
                <circle cx="44" cy="155" r="2.5" fill="#000"/>
                <text x="28" y="160" font-size="14" font-style="italic">A</text>
                <circle cx="220" cy="145" r="2.5" fill="#000"/>
                <text x="226" y="150" font-size="14" font-style="italic">C</text>
                <line x1="130" y1="30" x2="44" y2="155" stroke="#1565c0" stroke-width="1.5"/>
                <line x1="130" y1="30" x2="220" y2="145" stroke="#1565c0" stroke-width="1.5"/>
                <line x1="44" y1="155" x2="220" y2="145" stroke="#1565c0" stroke-width="1.5"/>
                <line x1="130" y1="120" x2="130" y2="30" stroke="#888" stroke-dasharray="3 3"/>
                <line x1="130" y1="120" x2="44" y2="155" stroke="#888" stroke-dasharray="3 3"/>
                <line x1="130" y1="120" x2="220" y2="145" stroke="#888" stroke-dasharray="3 3"/>
              </svg>
              $OA=OB=OC=R$ (радиусы), значит треугольники $OAB$, $OAC$, $OBC$ равнобедренные, и углы при их основаниях равны.<br>
              В $\\triangle OAB$: $\\angle OAB = \\angle OBA = 40^{\\circ}$.<br>
              В $\\triangle OAC$: $\\angle OAC = \\angle OCA = 30^{\\circ}$.<br>
              Тогда $\\angle BAC = \\angle OAB + \\angle OAC = 40^{\\circ} + 30^{\\circ} = 70^{\\circ}$.<br>
              По сумме углов $\\triangle ABC$:
              $$\\angle ABC + \\angle ACB = 180^{\\circ} - 70^{\\circ} = 110^{\\circ}.$$
              Заметим, что $\\angle ABC = 40^{\\circ} + \\angle OBC$ и $\\angle ACB = 30^{\\circ} + \\angle OCB$. Подставляем:
              $$40^{\\circ} + 30^{\\circ} + \\angle OBC + \\angle OCB = 110^{\\circ} \\implies \\angle OBC + \\angle OCB = 40^{\\circ}.$$
              В $\\triangle OBC$ ($OB=OC$) углы при основании равны: $\\angle OBC = \\angle OCB = 20^{\\circ}$.<br>
              Значит $\\angle BOC = 180^{\\circ} - 20^{\\circ} - 20^{\\circ} = 140^{\\circ}$.
              <div class="sol-ans">Ответ: $\\angle BOC = 140^{\\circ}$.</div>`
      },
      {
        text: `Найдите число, $37\\%$ которого равны значению выражения $4{,}5 : 9 + 3{,}2$.`,
        sol: `<b>Правило нахождения числа по его проценту:</b> если $p\\%$ числа $N$ равны $A$, то $N = \\dfrac{A}{p/100}$.<br>
              <b>Шаг 1.</b> Сначала найдём значение выражения. По порядку действий деление выполняется раньше сложения:
              $$4{,}5 : 9 + 3{,}2 = 0{,}5 + 3{,}2 = 3{,}7.$$
              <b>Шаг 2.</b> Обозначим искомое число $N$. По условию $37\\%$ от $N$ равны $3{,}7$, то есть
              $$0{,}37\\,N = 3{,}7.$$
              <b>Шаг 3.</b> Находим $N$, разделив обе части на $0{,}37$:
              $$N = \\dfrac{3{,}7}{0{,}37} = 10.$$
              <div class="sol-ans">Ответ: $10$.</div>`
      },
      {
        text: `График линейной функции проходит через точки $A(-2;\\;-4)$ и $B(0;\\;0)$.
               Запишите формулу, задающую эту функцию,
               и найдите значение выражения $f(-1) + f(3)$.`,
        sol: `<b>Линейная функция</b> имеет вид $f(x) = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, $b$ — ордината точки пересечения с осью $Oy$ (значение при $x=0$).<br>
              <b>Шаг 1.</b> Так как точка $B(0;\\,0)$ принадлежит графику, то $f(0) = b = 0$. Значит формула имеет вид
              $$f(x) = kx.$$
              <b>Шаг 2.</b> Точка $A(-2;\\,-4)$ тоже принадлежит графику, значит $f(-2) = -4$. Подставляем:
              $$-4 = k \\cdot (-2) \\implies k = 2.$$
              <b>Шаг 3.</b> Записываем формулу: $f(x) = 2x$.<br>
              <b>Шаг 4.</b> Находим значение выражения $f(-1) + f(3)$:
              $$f(-1) + f(3) = 2 \\cdot (-1) + 2 \\cdot 3 = -2 + 6 = 4.$$
              <div class="sol-ans">Ответ: $f(x) = 2x$, $\\ f(-1)+f(3) = 4$.</div>`
      },
      {
        text: `Решите систему уравнений
               $$\\begin{cases} x - 2y = 1, \\\\[4pt] 3x + 4y = 23 \\end{cases}$$
               и найдите разность найденных значений $x$ и $y$.`,
        sol: `<b>Метод сложения:</b> уравниваем коэффициенты при одной из переменных так, чтобы при сложении уравнений эта переменная пропала.<br>
              <b>Шаг 1. Уравниваем коэффициенты при $y$.</b><br>
              В первом уравнении коэффициент при $y$ равен $-2$, во втором — $4$. Умножим первое уравнение на $2$, чтобы получить $-4y$:
              $$\\begin{cases} 2x - 4y = 2, \\\\ 3x + 4y = 23. \\end{cases}$$
              <b>Шаг 2. Складываем уравнения.</b><br>
              $y$ взаимно уничтожается:
              $$5x = 25 \\implies x = 5.$$
              <b>Шаг 3. Находим $y$.</b><br>
              Подставляем $x = 5$ в первое исходное уравнение $x - 2y = 1$:
              $$5 - 2y = 1 \\implies 2y = 4 \\implies y = 2.$$
              <b>Шаг 4. Находим разность.</b>
              $$x - y = 5 - 2 = 3.$$
              <div class="sol-ans">Ответ: $x = 5,\\ y = 2,\\ x - y = 3$.</div>`
      },
      {
        text: `Собственная скорость катера равна $24$ км/ч.
               Через сколько минут катер, двигаясь навстречу плоту, встретит его,
               если он находится от плота на расстоянии $12$ км?`,
        sol: `Плот плывёт со скоростью течения $v_p$ (км/ч). Катер идёт ему навстречу — значит против течения, его скорость относительно берега $24 - v_p$.<br>
              Скорость сближения катера и плота:
              $$(24 - v_p) + v_p = 24 \\text{ км/ч}.$$
              Скорость течения сокращается, поэтому ответ от неё не зависит.<br>
              Время до встречи:
              $$t = \\dfrac{12}{24} = 0{,}5\\text{ ч} = 30\\text{ мин}.$$
              <div class="sol-ans">Ответ: через $30$ минут.</div>`
      },
      {
        text: `Известно, что в равнобедренном треугольнике $ABC$ $AB = BC = 4$.
               Найдите $AC$, если медиана $AM = 3$.`,
        sol: `<svg viewBox="0 0 260 200" width="260" height="200" style="display:block;margin:6px auto;background:#fff;border:1px solid #ccc">
                <!-- Isoceles triangle: A bottom-left, C bottom-right, B top -->
                <polygon points="40,170 220,170 130,30" fill="none" stroke="#1565c0" stroke-width="1.7"/>
                <!-- M is midpoint of BC -->
                <line x1="40" y1="170" x2="175" y2="100" stroke="#c62828" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="4 3"/>
                <circle cx="40" cy="170" r="2.5" fill="#000"/>
                <text x="22" y="180" font-size="14" font-style="italic">A</text>
                <circle cx="220" cy="170" r="2.5" fill="#000"/>
                <text x="226" y="180" font-size="14" font-style="italic">C</text>
                <circle cx="130" cy="30" r="2.5" fill="#000"/>
                <text x="124" y="22" font-size="14" font-style="italic">B</text>
                <circle cx="175" cy="100" r="2.5" fill="#000"/>
                <text x="182" y="100" font-size="14" font-style="italic">M</text>
                <text x="92" y="135" font-size="13" fill="#c62828">AM = 3</text>
                <text x="78" y="65" font-size="13">AB = 4</text>
                <text x="180" y="65" font-size="13">BC = 4</text>
              </svg>
              $M$ — середина $BC$, поэтому $BM = MC = \\dfrac{BC}{2} = 2$ см.<br>
              <b>Идея:</b> используем теорему косинусов <em>дважды</em> с одним и тем же углом $B$ (общим для $\\triangle ABM$ и $\\triangle ABC$).
              <br><br>
              <b>Шаг 1.</b> Применим теорему косинусов к $\\triangle ABM$ (стороны $AB=4$, $BM=2$, $AM=3$):
              $$AM^2 = AB^2 + BM^2 - 2\\cdot AB\\cdot BM\\cdot\\cos\\angle B$$
              $$9 = 16 + 4 - 16\\cos\\angle B$$
              $$16\\cos\\angle B = 11 \\implies \\cos\\angle B = \\dfrac{11}{16}$$
              <b>Шаг 2.</b> Теперь применим теорему косинусов к $\\triangle ABC$ (тот же угол $B$, стороны $AB=BC=4$):
              $$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2\\cdot AB\\cdot BC\\cdot\\cos\\angle B$$
              $$AC^2 = 16 + 16 - 2\\cdot4\\cdot4\\cdot\\dfrac{11}{16}$$
              $$AC^2 = 32 - 22 = 10$$
              $$AC = \\sqrt{10}\\text{ см}$$
              <div class="sol-ans">Ответ: $AC = \\sqrt{10}$ см</div>`
      },
    ]
};
