VARIANTS[13] = {
    label: "Вариант 13",
    tasks: [
      {
        text: `Определите, какая из следующих пар чисел является вершиной параболы
               $y = -(x-3)^2 + 1$:`,
        opts: [
          ["а", "$(3;\\ 1)$"], ["б", "$(3;\\ {-1})$"], ["в", "$(-3;\\ 1)$"],
          ["г", "$(-1;\\ 3)$"], ["д", "$(1;\\ {-3})$"],
        ],
        sol: `Парабола $y = a(x-h)^2 + k$ имеет вершину $(h;\\,k)$.
<br>Здесь $a=-1$, $h=3$, $k=1$ — вершина $(3;\\,1)$.
<svg viewBox="0 0 175 145" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:175px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
  <defs><marker id="a13t1" viewBox="0 0 7 6" refX="7" refY="3" markerWidth="5" markerHeight="5" orient="auto"><path d="M0,0.5 L7,3 L0,5.5Z" fill="#94a3b8"/></marker></defs>
  <line x1="5" y1="70" x2="168" y2="70" stroke="#bbb" stroke-width="1.2" marker-end="url(#a13t1)"/>
  <line x1="20" y1="138" x2="20" y2="5" stroke="#bbb" stroke-width="1.2" marker-end="url(#a13t1)"/>
  <text x="169" y="74" font-size="10" fill="#777">x</text><text x="22" y="6" font-size="10" fill="#777">y</text>
  <polyline points="56,140 76,70 90,44 104,35 118,44 132,70 152,140" fill="none" stroke="#2563eb" stroke-width="2.2" stroke-linecap="round" stroke-linejoin="round"/>
  <circle cx="104" cy="35" r="5" fill="#e11d48"/>
  <text x="108" y="32" font-size="10" fill="#e11d48" font-weight="bold">(3; 1)</text>
  <text x="14" y="64" font-size="9" fill="#555">1</text>
  <line x1="100" y1="68" x2="100" y2="72" stroke="#777" stroke-width="1"/>
  <text x="96" y="82" font-size="9" fill="#555">3</text>
</svg>
<div class="sol-ans">Ответ: а)&ensp;$(3;\\,1)$</div>`
      },
      {
        text: `Определите, какие из чисел <b>НЕ</b> являются решением двойного неравенства
               $-6 < 2x < 8$:`,
        opts: [
          ["а", "$-2$"], ["б", "$0$"], ["в", "$5$"], ["г", "$-3$"], ["д", "$1$"],
        ],
        sol: `Разделим на $2$: $-3 < x < 4$.
<br>Проверяем каждое число:
<ul>
<li>а) $-2$: $-3<-2<4$ ✓ — решение</li>
<li>б) $0$: ✓ — решение</li>
<li>в) $5$: $5>4$ ✗ — <b>НЕ решение</b></li>
<li>г) $-3$: $-3$ не строго больше $-3$ ✗ — <b>НЕ решение</b></li>
<li>д) $1$: ✓ — решение</li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: в) и г)</div>`
      },
      {
        text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
        opts: [
          ["а", "прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке;"],
          ["б", "периметр квадрата со стороной $a$ равен $4a$;"],
          ["в", "углы при основании равнобедренной трапеции равны между собой;"],
          ["г", "у любого параллелограмма все углы равны между собой?"],
        ],
        sol: `<ul>
<li>а) Высоты пересекаются в ортоцентре — <b>верно</b></li>
<li>б) Периметр квадрата $= 4a$ — <b>верно</b></li>
<li>в) Углы при основании равнобедренной трапеции равны — <b>верно</b></li>
<li>г) Все углы параллелограмма равны — <b style="color:#dc2626">НЕВЕРНО</b></li>
</ul>
В параллелограмме противоположные углы равны, а соседние в сумме дают $180°$. Равны все только у прямоугольника.
<div class="sol-ans">Ответ: г)</div>`
      },
      {
        text: `Найдите значение выражения $6x - 12$,
               если $\\dfrac{3x^2 - 5x}{x} = 0$.`,
        sol: `При $x\\neq 0$:
$$\\frac{3x^2-5x}{x} = \\frac{x(3x-5)}{x} = 3x-5 = 0 \\implies x = \\frac{5}{3}$$
$$6x-12 = 6\\cdot\\frac{5}{3}-12 = 10-12 = -2$$
<div class="sol-ans">Ответ: $-2$</div>`
      },
      {
        text: `Периметр ромба $ABCD$ равен $48$ см. Угол между стороной $AD$ и диагональю $AC$
               равен $30^{\\circ}$. Найдите диагональ $BD$ ромба.`,
        sol: `<b>Свойства ромба:</b> все четыре стороны равны; диагонали перпендикулярны, делятся точкой пересечения пополам и делят углы ромба пополам (являются биссектрисами).
<br><b>Признак равностороннего треугольника:</b> равнобедренный треугольник с углом $60°$ является равносторонним.
<br><br>
<b>Шаг 1.</b> Так как все стороны ромба равны, найдём сторону через периметр:
$$a = \\dfrac{P}{4} = \\dfrac{48}{4} = 12\\text{ см}$$
<svg viewBox="0 0 170 118" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:170px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
  <!-- равносторонний треугольник ABD (светло-оранжевый) -->
  <polygon points="20,90 92,90 56,28" fill="rgba(251,146,60,0.2)" stroke="none"/>
  <!-- ромб -->
  <polygon points="20,90 92,90 128,28 56,28" fill="none" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
  <!-- диагональ AC (синяя, дана) -->
  <line x1="20" y1="90" x2="128" y2="28" stroke="#2563eb" stroke-width="1.3" stroke-dasharray="5,3"/>
  <!-- диагональ BD (зелёная, ищем) -->
  <line x1="92" y1="90" x2="56" y2="28" stroke="#16a34a" stroke-width="1.6" stroke-dasharray="5,3"/>
  <!-- дуга ∠DAC = 30° (между AD и AC, начало на AD, конец на AC) -->
  <!-- AD: A+18×(0.502,−0.865)=(29,74); AC: A+18×(0.867,−0.498)=(36,81) -->
  <path d="M29,74 A18,18 0 0,1 36,81" fill="none" stroke="#e11d48" stroke-width="1.5"/>
  <text x="38" y="76" font-size="10" fill="#e11d48" font-weight="bold">30°</text>
  <!-- дуга ∠DAB = 60° (между AB и AD, пунктир) -->
  <!-- AB: A+(20,0)=(40,90); AD: A+20×(0.502,−0.865)=(30,73) -->
  <path d="M40,90 A20,20 0 0,0 30,73" fill="none" stroke="#94a3b8" stroke-width="1" stroke-dasharray="3,2"/>
  <text x="44" y="88" font-size="9" fill="#94a3b8">60°</text>
  <!-- метки вершин -->
  <text x="3" y="100" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
  <text x="94" y="102" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
  <text x="130" y="24" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
  <text x="44" y="22" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">D</text>
  <!-- подписи -->
  <text x="56" y="100" font-size="10" fill="#334155" text-anchor="middle">12</text>
  <text x="69" y="57" font-size="10" fill="#2563eb">AC</text>
  <text x="69" y="72" font-size="10" fill="#16a34a" font-weight="bold">BD = ?</text>
</svg>
<b>Шаг 2.</b> Диагональ $AC$ — биссектриса угла $A$ ромба, поэтому $\\angle DAC = \\dfrac{\\angle DAB}{2}$. По условию $\\angle DAC = 30°$, значит:
$$\\angle DAB = 2\\cdot 30° = 60°$$
<b>Шаг 3.</b> Рассмотрим треугольник $ABD$:
<ul>
<li>$AB = AD = 12$ (стороны ромба равны),</li>
<li>$\\angle DAB = 60°$.</li>
</ul>
Это равнобедренный треугольник с углом $60°$ — значит, он <b>равносторонний</b>, и все стороны равны:
$$BD = AB = 12\\text{ см}$$
<i>Проверка по теореме косинусов:</i> $BD^2 = 12^2+12^2-2\\cdot 12\\cdot 12\\cdot\\cos 60° = 144$ ✓
<div class="sol-ans">Ответ: $BD = 12$ см</div>`
      },
      {
        text: `Сократите дробь $\\dfrac{4n^2 - 9m^2}{9m^2 + 4n^2 + 12mn}$.`,
        sol: `<b>Формула разности квадратов:</b> $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.
<br><b>Формула квадрата суммы:</b> $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.
<br><br>
<b>Шаг 1.</b> Разложим <em>числитель</em> по формуле разности квадратов ($a=2n$, $b=3m$):
$$4n^2 - 9m^2 = (2n)^2 - (3m)^2 = (2n-3m)(2n+3m)$$
<b>Шаг 2.</b> Разложим <em>знаменатель</em>. Замечаем, что это квадрат суммы:
$$9m^2 + 4n^2 + 12mn = (3m)^2 + 2\\cdot 3m\\cdot 2n + (2n)^2 = (3m+2n)^2$$
Так как $3m+2n = 2n+3m$, можно записать:
$$(3m+2n)^2 = (2n+3m)^2$$
<b>Шаг 3.</b> Сокращаем общий множитель $(2n+3m)$:
$$\\dfrac{(2n-3m)(2n+3m)}{(2n+3m)^2} = \\dfrac{2n-3m}{2n+3m}$$
<div class="sol-ans">Ответ: $\\dfrac{2n-3m}{2n+3m}$</div>`
      },
      {
        text: `Решите систему уравнений
               $$\\begin{cases} x - 4y = 2, \\\\[4pt] xy + 2y = 8 \\end{cases}$$
               и найдите значение выражения $x_1 \\cdot y_1 + x_2 \\cdot y_2$,
               где $(x_1;\\, y_1)$, $(x_2;\\, y_2)$ — решения системы.`,
        sol: `<b>Метод подстановки:</b> выражаем одну переменную через другую и подставляем.
<br><b>Теорема Виета (обратная):</b> $y^2+py+q=(y-y_1)(y-y_2)$, где $y_1+y_2=-p$, $y_1\\cdot y_2=q$.
<br><br>
<b>Шаг 1.</b> Из первого уравнения выразим $x$:
$$x = 2 + 4y$$
<b>Шаг 2.</b> Подставим во второе уравнение:
$$(2+4y)y + 2y = 8$$
$$2y + 4y^2 + 2y = 8$$
$$4y^2 + 4y - 8 = 0$$
<b>Шаг 3.</b> Разделим на $4$:
$$y^2 + y - 2 = 0$$
<b>Шаг 4.</b> По теореме Виета: $y_1+y_2=-1$, $y_1\\cdot y_2=-2$. Подходят $-2$ и $1$:
$$(y+2)(y-1)=0$$
<b>Шаг 5.</b> Для каждого $y$ находим $x = 2+4y$:
<table style="border-collapse:collapse;margin:6px 0"><tr><td style="padding:2px 12px 2px 0"><b>$y_1=-2$:</b></td><td>$x_1=2-8=-6$</td></tr><tr><td><b>$y_2=1$:</b></td><td>$x_2=2+4=6$</td></tr></table>
<b>Шаг 6.</b> Вычисляем требуемое выражение:
$$x_1y_1+x_2y_2 = (-6)(-2)+(6)(1) = 12+6 = 18$$
<div class="sol-ans">Ответ: $18$</div>`
      },
      {
        text: `Найдите значение выражения $\\sqrt{8 - 2\\sqrt{7}} + \\sqrt{32 - 10\\sqrt{7}}$.
               В ответ запишите число, обратное полученному.`,
        sol: `<b>Формула квадрата разности:</b> $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
<br><b>Формула выноса корня из квадрата:</b> $\\sqrt{a^2}=|a|$. При $a\\geq 0$ модуль раскрывается как $|a|=a$, при $a\\lt 0$ — как $|a|=-a$.
<br><b>Идея:</b> подкоренное выражение вида $A - 2\\sqrt{B}$ часто можно представить как квадрат разности $(\\sqrt{m}-\\sqrt{n})^2$, где $m+n=A$ и $mn=B$.
<br><br>
<b>Шаг 1.</b> Преобразуем <em>первое</em> подкоренное выражение: $8 - 2\\sqrt{7}$.
<br>Ищем представление в виде $(\\sqrt{m}-\\sqrt{n})^2 = m + n - 2\\sqrt{mn}$. Нужно $m+n=8$ и $mn=7$. Подходят $m=7$, $n=1$:
$$8 - 2\\sqrt{7} = 7 - 2\\sqrt{7} + 1 = (\\sqrt{7})^2 - 2\\cdot\\sqrt{7}\\cdot 1 + 1^2 = (\\sqrt{7}-1)^2$$
Извлекаем корень. Так как $\\sqrt{7}\\approx 2{,}65\\gt 1$, выражение $\\sqrt{7}-1\\gt 0$:
$$\\sqrt{8-2\\sqrt{7}} = \\sqrt{(\\sqrt{7}-1)^2} = \\sqrt{7}-1$$
<b>Шаг 2.</b> Преобразуем <em>второе</em> подкоренное выражение: $32 - 10\\sqrt{7}$. Здесь $2\\sqrt{mn}=10\\sqrt{7}$, то есть $\\sqrt{mn}=5\\sqrt{7}$, $mn=175$. И $m+n=32$. Подходят $m=25$, $n=7$:
$$32 - 10\\sqrt{7} = 25 - 10\\sqrt{7} + 7 = 5^2 - 2\\cdot 5\\cdot\\sqrt{7} + (\\sqrt{7})^2 = (5-\\sqrt{7})^2$$
Так как $5\\gt\\sqrt{7}$, имеем $5-\\sqrt{7}\\gt 0$:
$$\\sqrt{32-10\\sqrt{7}} = 5-\\sqrt{7}$$
<b>Шаг 3.</b> Складываем оба корня:
$$\\sqrt{8-2\\sqrt{7}} + \\sqrt{32-10\\sqrt{7}} = (\\sqrt{7}-1) + (5-\\sqrt{7}) = -1 + 5 + (\\sqrt{7}-\\sqrt{7}) = 4$$
<b>Шаг 4.</b> Запишем число, обратное $4$:
$$\\dfrac{1}{4}$$
<div class="sol-ans">Ответ: $\\dfrac{1}{4}$</div>`
      },
      {
        text: `Периметр параллелограмма равен $30$ см, соседние стороны относятся как $2:3$.
               Угол между высотами, проведёнными к соседним сторонам из вершины тупого угла
               параллелограмма, равен $60^{\\circ}$. Найдите площадь параллелограмма.`,
        sol: `<b>Шаг 1 — стороны.</b>
<br>Пусть $a=2k$, $b=3k$. Периметр: $2(2k+3k)=30 \\Rightarrow k=3$, т.е. $a=6$, $b=9$ см.
<br><b>Шаг 2 — острый угол.</b>
<svg viewBox="0 0 180 128" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:180px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
  <polygon points="50,110 158,110 122,48 14,48" fill="rgba(37,99,235,0.07)" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
  <!-- h₁: от A(50,110) до H₁(131,63) на стороне BC -->
  <line x1="50" y1="110" x2="131" y2="63" stroke="#2563eb" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="4,2"/>
  <circle cx="131" cy="63" r="2.5" fill="#2563eb"/>
  <!-- знак прямого угла при H₁(131,63): BC→(-0.502,−0.865), к A→(−0.868,0.504) -->
  <!-- P1=H₁+5×BC=(129,59), P2=H₁+5×(к A)=(127,66), corner=(124,61) -->
  <path d="M129,59 L124,61 L127,66" fill="none" stroke="#555" stroke-width="1.2"/>
  <!-- h₂: от A(50,110) до H₂(50,48) на стороне CD -->
  <line x1="50" y1="110" x2="50" y2="48" stroke="#e11d48" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="4,2"/>
  <circle cx="50" cy="48" r="2.5" fill="#e11d48"/>
  <!-- знак прямого угла при H₂(50,48): CD горизонтальна, h₂ вертикальна -->
  <path d="M44,48 L44,54 L50,54" fill="none" stroke="#555" stroke-width="1.2"/>
  <path d="M50,88 A22,22 0 0,1 69,99" fill="none" stroke="#333" stroke-width="1.3"/>
  <text x="59" y="87" font-size="10" fill="#333" font-weight="bold">60°</text>
  <text x="32" y="122" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
  <text x="160" y="122" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
  <text x="124" y="43" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
  <text x="4" y="43" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">D</text>
  <text x="140" y="69" font-size="10" fill="#2563eb">$h_1$</text>
  <text x="36" y="80" font-size="10" fill="#e11d48">$h_2$</text>
</svg>
Из геометрии параллелограмма можно показать, что угол между двумя высотами из вершины тупого угла равен <b>острому углу</b> параллелограмма. Значит, острый угол $\\beta = 60°$.
<br><b>Шаг 3 — площадь.</b>
$$S = a\\cdot b\\cdot\\sin\\beta = 6\\cdot 9\\cdot\\sin 60° = 54\\cdot\\frac{\\sqrt{3}}{2} = 27\\sqrt{3}\\text{ см}^2$$
<div class="sol-ans">Ответ: $27\\sqrt{3}$ см²</div>`
      },
      {
        text: `Во время строительных работ на Всебелорусской молодёжной стройке в Хатыни
               двое студентов были определены на подсобные работы. Работая с одной скоростью,
               они выполнили половину отведённой работы, затем увеличили скорость: один — на $20\\%$,
               а второй — на $16\\%$, и вторую половину работы выполнили на один день раньше
               запланированного времени. Успеют ли студенты выполнить работу за $14$ дней?
               Ответ обоснуйте.`,
        sol: `Пусть $n$ — плановое число дней. Скорость каждого $s = \\dfrac{1}{2n}$ ед/день, вместе: $\\dfrac{1}{n}$.
<br><b>Первая половина</b> (работа $=\\tfrac{1}{2}$) — скорость не менялась:
$$t_1 = \\frac{1/2}{1/n} = \\frac{n}{2}\\text{ дней}$$
<b>Вторая половина</b> — скорости увеличились:
$$\\text{1-й: }1{,}2s,\\quad \\text{2-й: }1{,}16s,\\quad \\text{вместе: }2{,}36s = \\frac{2{,}36}{2n} = \\frac{1{,}18}{n}$$
$$t_2 = \\frac{1/2}{1{,}18/n} = \\frac{n}{2{,}36} = \\frac{25n}{59}\\text{ дней}$$
<b>Фактическое время:</b>
$$t = t_1+t_2 = \\frac{n}{2}+\\frac{25n}{59} = \\frac{59n+50n}{118} = \\frac{109n}{118}$$
<b>Условие «на 1 день раньше»:</b>
$$n - \\frac{109n}{118} = \\frac{9n}{118} = 1 \\implies n = \\frac{118}{9} \\approx 13{,}1\\text{ дней}$$
<b>Фактическое время выполнения:</b>
$$t = \\frac{109n}{118} = \\frac{109}{9} = 12\\frac{1}{9} \\approx 12{,}1\\text{ дней}$$
Так как $12{,}1 < 14$, студенты <b>успеют</b> выполнить работу за $14$ дней — с запасом около $2$ дней.
<div class="sol-ans">Ответ: да, успеют ($\\approx 12{,}1$ дней $< 14$ дней)</div>`
      },
    ]
};
