VARIANTS[41] = {
    label: "Вариант 41",
    tasks: [
      {
        text: `Определите верное равенство:`,
        opts: [
          ["а", "$7\\% = 70$"], ["б", "$7\\% = 7$"], ["в", "$7\\% = 0{,}7$"],
          ["г", "$7\\% = 0{,}07$"], ["д", "$7\\% = 0{,}007$"],
        ],
        sol: `$7\\% = \\dfrac{7}{100} = 0{,}07$
<div class="sol-ans">Ответ: г)&ensp;$7\\%=0{,}07$</div>`
      },
      {
        text: `Запишите одночлен $3a^4b \\cdot \\left(-\\dfrac{1}{3}a^3\\right)$ в стандартном виде:`,
        opts: [
          ["а", "$-ab$"], ["б", "$-a^7b$"], ["в", "$a^4b$"],
          ["г", "$2\\dfrac{2}{3}ab$"], ["д", "$9a^7b$"],
        ],
        sol: `$$3a^4b\\cdot\\left(-\\dfrac{1}{3}a^3\\right) = \\left(3\\cdot\\left(-\\dfrac{1}{3}\\right)\\right)\\cdot a^{4+3}\\cdot b = -a^7b$$
<div class="sol-ans">Ответ: б)&ensp;$-a^7b$</div>`
      },
      {
        text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
        opts: [
          ["а", "радиус описанной окружности прямоугольного треугольника с гипотенузой $c$ находится по формуле $R = \\dfrac{c}{2}$;"],
          ["б", "площадь прямоугольного треугольника с катетами $a$ и $b$ находится по формуле $S = \\dfrac{ab}{2}$;"],
          ["в", "расстояние от точки до прямой определяется длиной перпендикуляра, проведённого к этой прямой;"],
          ["г", "если в треугольнике $ABC$ сторона $BC$ — наибольшая, то угол $C$ — наибольший?"],
        ],
        sol: `<ul>
<li>а) $R=c/2$ для прямоугольного треугольника — <b>верно</b></li>
<li>б) $S=ab/2$ — <b>верно</b></li>
<li>в) Расстояние = длина перпендикуляра — <b>верно</b></li>
<li>г) Сторона $BC$ лежит <em>напротив</em> угла $A$. Наибольшая сторона ⟹ наибольший противолежащий угол. Значит наибольший угол — $\\angle A$, а не $\\angle C$ — <b style="color:#dc2626">НЕВЕРНО</b></li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: г)</div>`
      },
      {
        text: `График функции $y = kx - 4$ проходит через точку $K\\!\\left(-\\dfrac{1}{2};\\; 4\\right)$.
               Найдите коэффициент $k$.`,
        sol: `Подставляем координаты точки $K$ в уравнение:
$$4 = k\\cdot\\left(-\\dfrac{1}{2}\\right) - 4 \\implies 8 = -\\dfrac{k}{2} \\implies k = -16$$
<div class="sol-ans">Ответ: $k = -16$</div>`
      },
      {
        text: `Диагонали параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$,
               площадь треугольника $AOB$ равна $15$ см².
               Высота, проведённая из вершины $C$ к $AD$, равна $6$ см.
               Найдите длину стороны $BC$ параллелограмма.`,
        sol: `<b>Шаг 1. Площадь параллелограмма.</b>
<br>Диагонали делят параллелограмм на $4$ равновеликих треугольника:
$$S_{ABCD} = 4\\cdot S_{AOB} = 4\\cdot15 = 60\\text{ см}^2$$
<svg viewBox="0 0 195 125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:260px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px 0">
  <polygon points="20,105 130,105 165,30 55,30" fill="rgba(37,99,235,0.06)" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
  <line x1="20" y1="105" x2="165" y2="30" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="4,3"/>
  <line x1="130" y1="105" x2="55" y2="30" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="4,3"/>
  <polygon points="20,105 55,30 92.5,67.5" fill="rgba(37,99,235,0.18)" stroke="none"/>
  <line x1="165" y1="30" x2="165" y2="105" stroke="#16a34a" stroke-width="1.8" stroke-dasharray="5,3"/>
  <polygon points="165,105 165,97 157,97 157,105" fill="none" stroke="#16a34a" stroke-width="1.2"/>
  <circle cx="92.5" cy="67.5" r="2.5" fill="#334155"/>
  <text x="5" y="115" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
  <text x="132" y="118" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">D</text>
  <text x="50" y="24" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
  <text x="168" y="24" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
  <text x="95" y="62" font-size="11" font-family="serif" font-style="italic">O</text>
  <text x="42" y="80" font-size="11" fill="#2563eb" font-weight="bold">15</text>
  <text x="169" y="70" font-size="11" fill="#16a34a">h=6</text>
</svg>
<b>Шаг 2. Длина $AD$.</b>
<br>Высота из $C$ к $AD$ — это расстояние между параллельными сторонами $BC$ и $AD$ (высота параллелограмма):
$$S_{ABCD} = AD\\cdot h \\implies 60 = AD\\cdot6 \\implies AD = 10\\text{ см}$$
<b>Шаг 3.</b> В параллелограмме $BC\\parallel AD$, поэтому $BC = AD = 10$ см.
<div class="sol-ans">Ответ: $BC = 10$ см</div>`
      },
      {
        text: `Определите, при каких значениях переменной разность дробей
               $\\dfrac{4a-3}{5}$ и $\\dfrac{4a-5}{7}$ неотрицательна.
               В ответ запишите наименьшее натуральное значение переменной.`,
        sol: `<b>Метод решения линейного неравенства с дробями:</b> приводим дроби к общему знаменателю, затем избавляемся от знаменателя (если он положителен — знак сохраняется).
<br><b>Шаг 1.</b> По условию разность дробей неотрицательна, значит составим неравенство:
$$\\dfrac{4a-3}{5} - \\dfrac{4a-5}{7} \\geq 0$$
<b>Шаг 2.</b> Приводим к общему знаменателю $35$:
$$\\dfrac{7(4a-3) - 5(4a-5)}{35} \\geq 0$$
<b>Шаг 3.</b> Раскрываем скобки в числителе:
$$7(4a-3) = 28a - 21, \\quad 5(4a-5) = 20a - 25$$
$$28a - 21 - (20a - 25) = 28a - 21 - 20a + 25 = 8a + 4$$
Неравенство принимает вид:
$$\\dfrac{8a + 4}{35} \\geq 0$$
<b>Шаг 4.</b> Так как $35 \\gt 0$, можно умножить обе части на $35$ без изменения знака:
$$8a + 4 \\geq 0 \\implies 8a \\geq -4 \\implies a \\geq -\\dfrac{1}{2}$$
<b>Шаг 5.</b> Среди натуральных чисел ($1, 2, 3,\\ldots$) условию $a \\geq -\\dfrac{1}{2}$ удовлетворяют все. Наименьшее натуральное число — это $a = 1$.
<div class="sol-ans">Ответ: $1$</div>`
      },
      {
        text: `Найдите значение выражения
               $\\left(\\dfrac{4}{3-\\sqrt{5}}\\right)^{\\!2} - \\left(\\dfrac{6-5\\sqrt{6}}{5-\\sqrt{6}}\\right)^{\\!2}$.
               В ответ запишите число, противоположное найденному.`,
        sol: `<b>Метод рационализации знаменателя:</b> чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе вида $a - \\sqrt{b}$, умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое $a + \\sqrt{b}$ и применяем <b>формулу разности квадратов:</b> $(a-\\sqrt{b})(a+\\sqrt{b}) = a^2 - b$.
<br><b>Шаг 1.</b> Упростим первую дробь $\\dfrac{4}{3 - \\sqrt{5}}$, умножив числитель и знаменатель на сопряжённое $3 + \\sqrt{5}$:
$$\\dfrac{4}{3-\\sqrt{5}} = \\dfrac{4(3+\\sqrt{5})}{(3-\\sqrt{5})(3+\\sqrt{5})} = \\dfrac{4(3+\\sqrt{5})}{9 - 5} = \\dfrac{4(3+\\sqrt{5})}{4} = 3 + \\sqrt{5}$$
<b>Шаг 2.</b> Упростим вторую дробь $\\dfrac{6 - 5\\sqrt{6}}{5 - \\sqrt{6}}$, умножив на сопряжённое $5 + \\sqrt{6}$:
$$\\dfrac{(6-5\\sqrt{6})(5+\\sqrt{6})}{(5-\\sqrt{6})(5+\\sqrt{6})} = \\dfrac{30 + 6\\sqrt{6} - 25\\sqrt{6} - 5\\cdot 6}{25 - 6}$$
В числителе: $30 - 30 + (6 - 25)\\sqrt{6} = -19\\sqrt{6}$. В знаменателе: $19$. Значит:
$$\\dfrac{-19\\sqrt{6}}{19} = -\\sqrt{6}$$
<b>Шаг 3.</b> Подставим в исходное выражение, применяя <b>формулу квадрата суммы</b> $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$$(3+\\sqrt{5})^2 - (-\\sqrt{6})^2 = (9 + 6\\sqrt{5} + 5) - 6 = 14 + 6\\sqrt{5} - 6 = 8 + 6\\sqrt{5}$$
<b>Шаг 4.</b> По условию надо записать число, <em>противоположное</em> найденному. Противоположное к $8 + 6\\sqrt{5}$ — это $-(8 + 6\\sqrt{5})$.
<div class="sol-ans">Ответ: $-(8+6\\sqrt{5})$</div>`
      },
      {
        text: `В ботаническом саду ландшафтный дизайнер решил разместить кусты роз так,
               чтобы в каждом ряду было одинаковое количество кустов,
               при этом рядов — на $8$ больше, чем кустов в каждом ряду.
               Определите, можно ли на клумбе посадить $128$ кустов роз. Ответ обоснуйте.`,
        sol: `<b>Метод введения переменной и составления квадратного уравнения.</b>
<br><b>Шаг 1.</b> Пусть $x$ — количество кустов в каждом ряду ($x$ — натуральное число). По условию рядов на $8$ больше, значит число рядов равно $x + 8$.
<br><b>Шаг 2.</b> Общее число кустов = (число в одном ряду) $\\times$ (число рядов). По условию оно равно $128$, поэтому:
$$x(x + 8) = 128 \\implies x^2 + 8x - 128 = 0$$
<b>Шаг 3.</b> Решаем квадратное уравнение по <b>формуле дискриминанта</b> $D = b^2 - 4ac$:
$$D = 8^2 - 4\\cdot 1\\cdot(-128) = 64 + 512 = 576 = 24^2$$
$$x = \\dfrac{-8 \\pm 24}{2} \\implies x_1 = 8, \\quad x_2 = -16$$
<b>Шаг 4.</b> Так как $x$ — количество кустов, оно должно быть натуральным, поэтому $x_2 = -16$ <em>не подходит</em>. Остаётся $x = 8$.
<br><b>Шаг 5. Проверка:</b> $8$ кустов в каждом ряду, рядов $8 + 8 = 16$, всего кустов $8\\cdot 16 = 128$ $\\checkmark$.
<div class="sol-ans">Ответ: да, можно — $8$ кустов в ряду и $16$ рядов</div>`
      },
      {
        text: `Гипотенуза прямоугольного треугольника равна $10$ см, радиус вписанной окружности — $2$ см.
               Найдите площадь треугольника.`,
        sol: `<b>Формула радиуса вписанной окружности прямоугольного треугольника:</b> с катетами $a$, $b$ и гипотенузой $c$:
$$r = \\dfrac{a + b - c}{2}$$
<b>Формула площади через вписанную окружность:</b> $S = r\\cdot s$, где $s = \\dfrac{a + b + c}{2}$ — полупериметр.
<br><b>Шаг 1.</b> Из формулы радиуса находим сумму катетов:
$$2 = \\dfrac{a + b - 10}{2} \\implies a + b - 10 = 4 \\implies a + b = 14$$
<svg viewBox="0 0 145 140" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:200px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px 0">
  <polygon points="30,115 102,115 30,19" fill="rgba(37,99,235,0.07)" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
  <polygon points="30,115 38,115 38,107 30,107" fill="none" stroke="#334155" stroke-width="1.2"/>
  <circle cx="54" cy="91" r="24" fill="rgba(22,163,74,0.10)" stroke="#16a34a" stroke-width="1.5"/>
  <line x1="54" y1="91" x2="54" y2="115" stroke="#16a34a" stroke-width="1" stroke-dasharray="3,2"/>
  <line x1="54" y1="91" x2="30" y2="91" stroke="#16a34a" stroke-width="1" stroke-dasharray="3,2"/>
  <circle cx="54" cy="91" r="2.5" fill="#16a34a"/>
  <text x="14" y="124" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
  <text x="105" y="124" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
  <text x="14" y="15" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
  <text x="56" y="88" font-size="11" font-family="serif" font-style="italic" fill="#16a34a">I</text>
  <text x="36" y="66" font-size="11" fill="#334155">$b$</text>
  <text x="62" y="122" font-size="11" fill="#334155">$a$</text>
  <text x="55" y="101" font-size="10" fill="#16a34a">r=2</text>
</svg>
<b>Шаг 2.</b> Считаем полупериметр:
$$s = \\dfrac{a + b + c}{2} = \\dfrac{14 + 10}{2} = 12\\text{ см}$$
<b>Шаг 3.</b> Находим площадь:
$$S = r\\cdot s = 2\\cdot 12 = 24\\text{ см}^2$$
<b>Проверка:</b> по теореме Пифагора $a^2 + b^2 = c^2 = 100$. Из $(a + b)^2 = 14^2 = 196$ получаем $a^2 + 2ab + b^2 = 196$, значит $2ab = 196 - 100 = 96$, то есть $ab = 48$. Площадь прямоугольного треугольника $= \\dfrac{ab}{2} = 24$ ✓
<div class="sol-ans">Ответ: $24$ см²</div>`
      },
      {
        text: `Решите уравнение $x(x-1)(x-3)(x-4) = 40$.
               В ответ запишите корни уравнения, удовлетворяющие неравенству $|x| < 5$.`,
        sol: `<b>Идея решения:</b> в уравнении вида $(x-a)(x-b)(x-c)(x-d) = k$ удобно группировать множители так, чтобы суммы корней внутри пар были одинаковы.
<br><b>Шаг 1.</b> Сгруппируем так: $\\{0,\\,4\\}$ и $\\{1,\\,3\\}$ — обе пары имеют сумму $4$.
$$[x(x - 4)]\\cdot[(x - 1)(x - 3)] = 40$$
Раскрываем скобки в каждой паре:
$$x(x - 4) = x^2 - 4x$$
$$(x - 1)(x - 3) = x^2 - 4x + 3$$
Тогда уравнение принимает вид:
$$(x^2 - 4x)(x^2 - 4x + 3) = 40$$
<b>Шаг 2. Замена переменной.</b> Пусть $t = x^2 - 4x$:
$$t(t + 3) = 40 \\implies t^2 + 3t - 40 = 0$$
<b>Шаг 3.</b> Решаем по <b>формуле дискриминанта:</b>
$$D = 3^2 - 4\\cdot 1\\cdot(-40) = 9 + 160 = 169 = 13^2$$
$$t = \\dfrac{-3 \\pm 13}{2} \\implies t_1 = 5, \\quad t_2 = -8$$
<b>Шаг 4. Случай $t = 5$:</b> $x^2 - 4x = 5 \\implies x^2 - 4x - 5 = 0$.
<br>По теореме Виета (сумма $4$, произведение $-5$): корни $5$ и $-1$.
$$(x - 5)(x + 1) = 0 \\implies x = 5\\text{ или } x = -1$$
<b>Шаг 5. Случай $t = -8$:</b> $x^2 - 4x = -8 \\implies x^2 - 4x + 8 = 0$.
$$D = 16 - 32 = -16 \\lt 0$$
Дискриминант отрицателен, поэтому вещественных корней нет.
<br><b>Шаг 6. Проверка условия $|x| \\lt 5$:</b>
<ul>
<li>$x = 5$: $|5| = 5$, неравенство $|x| \\lt 5$ строгое, поэтому <em>не подходит</em>.</li>
<li>$x = -1$: $|-1| = 1 \\lt 5$ ✓</li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: $x = -1$</div>`
      },
    ]
};
