VARIANTS[61] = {
    label: "Вариант 61",
    tasks: [
      {
        text: `Определите, какое из данных уравнений является приведённым:`,
        opts: [
          ["а", "$4x^2 + x = 0$"], ["б", "$2 - 4x - 3x^2 = 0$"], ["в", "$x^2 - 3x + 2 = 0$"],
          ["г", "$3x + 2 = 0$"], ["д", "$-x^2 - 3x + 4 = 0$"],
        ],
        sol: `<b>Приведённое квадратное уравнение</b> — это уравнение вида $x^2 + px + q = 0$, у которого коэффициент при $x^2$ равен $1$.<br>
              Проверим варианты:
              <ul>
                <li>а) $4x^2 + x = 0$ — коэффициент при $x^2$ равен $4$;</li>
                <li>б) $2 - 4x - 3x^2 = 0$ — коэффициент при $x^2$ равен $-3$;</li>
                <li>в) $x^2 - 3x + 2 = 0$ — коэффициент при $x^2$ равен $1$ — <b>приведённое</b>;</li>
                <li>г) $3x + 2 = 0$ — линейное, не квадратное;</li>
                <li>д) $-x^2 - 3x + 4 = 0$ — коэффициент при $x^2$ равен $-1$.</li>
              </ul>
              <div class="sol-ans">Ответ: в) $x^2 - 3x + 2 = 0$.</div>`
      },
      {
        text: `Какое из данных выражений равно выражению $\\dfrac{\\sqrt{16}}{2}$:`,
        opts: [
          ["а", "$\\sqrt{8}$"], ["б", "$8$"], ["в", "$\\sqrt{2}$"], ["г", "$2$"], ["д", "$4$"],
        ],
        sol: `Вычислим: $\\sqrt{16} = 4$, тогда
              $$\\dfrac{\\sqrt{16}}{2} = \\dfrac{4}{2} = 2.$$
              <div class="sol-ans">Ответ: г) $2$.</div>`
      },
      {
        text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
        opts: [
          ["а", "острый угол больше $0^{\\circ}$ и меньше $90^{\\circ}$;"],
          ["б", "если $\\alpha$ — острый угол, то $\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1$;"],
          ["в", "центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы;"],
          ["г", "в любом параллелограмме все углы равны между собой?"],
        ],
        sol: `Разберём утверждения:
              <ul>
                <li>а) определение острого угла — <b>верно</b>;</li>
                <li>б) основное тригонометрическое тождество — <b>верно</b>;</li>
                <li>в) свойство описанной около прямоугольного треугольника окружности — <b>верно</b>;</li>
                <li>г) в произвольном параллелограмме противолежащие углы равны, но соседние углы в общем случае различны (равенство всех углов выполняется только в прямоугольнике) — <b>не верно</b>.</li>
              </ul>
              <div class="sol-ans">Ответ: г).</div>`
      },
      {
        text: `Найдите наименьшее целое решение неравенства $\\dfrac{5}{x-1} \\geq 0$.`,
        sol: `Числитель $5 > 0$, поэтому знак дроби совпадает со знаком знаменателя.<br>
              Дробь определена при $x \\ne 1$. Условие $\\dfrac{5}{x-1} \\geq 0$ выполняется, когда
              $$x - 1 > 0 \\;\\Longleftrightarrow\\; x > 1.$$
              Целые числа, удовлетворяющие неравенству $x > 1$: $2,\\;3,\\;4,\\;\\ldots$<br>
              Наименьшее из них — $2$.
              <div class="sol-ans">Ответ: $2$.</div>`
      },
      {
        text: `Сократите дробь $\\dfrac{4x^2 - 9y^2}{2x - 3y}$ и найдите её значение, если $x = 0{,}5$, $y = \\dfrac{2}{3}$.`,
        sol: `<b>Формула разности квадратов:</b> $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.<br>
              <b>Шаг 1. Раскладываем числитель.</b><br>
              Заметим, что $4x^2 = (2x)^2$ и $9y^2 = (3y)^2$, значит числитель — разность квадратов:
              $$4x^2 - 9y^2 = (2x)^2 - (3y)^2 = (2x - 3y)(2x + 3y).$$
              <b>Шаг 2. Сокращаем дробь.</b><br>
              В числителе и знаменателе есть общий множитель $(2x - 3y)$:
              $$\\dfrac{(2x - 3y)(2x + 3y)}{2x - 3y} = 2x + 3y, \\quad 2x \\neq 3y.$$
              <b>Шаг 3. Подставляем значения $x = 0{,}5$, $y = \\dfrac{2}{3}$.</b>
              $$2 \\cdot 0{,}5 + 3 \\cdot \\dfrac{2}{3} = 1 + 2 = 3.$$
              <div class="sol-ans">Ответ: $2x + 3y$; значение равно $3$.</div>`
      },
      {
        text: `В параллелограмме $ABCD$ углы $BAC$ и $DAC$ равны $45^{\\circ}$ и $30^{\\circ}$ соответственно, $AB = 6$ см. Найдите длину стороны $BC$.`,
        sol: `<svg viewBox="0 0 320 200" width="320" height="200" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="display:block;margin:6px auto">
                <defs>
                  <marker id="v61t6arr" markerWidth="6" markerHeight="6" refX="5" refY="3" orient="auto">
                    <path d="M0,0 L6,3 L0,6 z" fill="#333"/>
                  </marker>
                </defs>
                <polygon points="40,160 110,40 290,40 220,160" fill="none" stroke="#1f6feb" stroke-width="2"/>
                <line x1="40" y1="160" x2="290" y2="40" stroke="#1f6feb" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="4,3"/>
                <text x="28" y="174" font-size="14">A</text>
                <text x="100" y="34" font-size="14">B</text>
                <text x="290" y="34" font-size="14">C</text>
                <text x="222" y="174" font-size="14">D</text>
                <text x="78" y="138" font-size="12" fill="#b00">45°</text>
                <text x="80" y="158" font-size="12" fill="#b00">30°</text>
                <text x="60" y="100" font-size="12">6</text>
              </svg>
              <b>Теорема синусов:</b> в треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов:
              $$\\dfrac{a}{\\sin A} = \\dfrac{b}{\\sin B} = \\dfrac{c}{\\sin C}.$$
              <b>Свойство параллельных прямых:</b> при пересечении секущей накрест лежащие углы равны.<br>
              <b>Шаг 1. Находим $\\angle BCA$.</b><br>
              В параллелограмме $BC \\parallel AD$, а $AC$ — секущая. Углы $\\angle BCA$ и $\\angle DAC$ накрест лежащие, значит
              $$\\angle BCA = \\angle DAC = 30^{\\circ}.$$
              <b>Шаг 2. Записываем известное в $\\triangle ABC$.</b><br>
              $\\angle BAC = 45^{\\circ}$, $\\angle BCA = 30^{\\circ}$, $AB = 6$ — сторона, противолежащая углу $\\angle BCA$.<br>
              Сторона $BC$ противолежит углу $\\angle BAC$.<br>
              <b>Шаг 3. Применяем теорему синусов.</b>
              $$\\dfrac{AB}{\\sin\\angle BCA} = \\dfrac{BC}{\\sin\\angle BAC},$$
              $$\\dfrac{6}{\\sin 30^{\\circ}} = \\dfrac{BC}{\\sin 45^{\\circ}}.$$
              <b>Шаг 4. Подставляем табличные значения $\\sin 30^{\\circ} = \\dfrac{1}{2}$ и $\\sin 45^{\\circ} = \\dfrac{\\sqrt{2}}{2}$.</b>
              $$BC = \\dfrac{6 \\sin 45^{\\circ}}{\\sin 30^{\\circ}} = \\dfrac{6 \\cdot \\tfrac{\\sqrt{2}}{2}}{\\tfrac{1}{2}} = 6\\sqrt{2}\\text{ см}.$$
              <div class="sol-ans">Ответ: $BC = 6\\sqrt{2}$ см.</div>`
      },
      {
        text: `График функции $f(x) = kx + b$ изображён на рисунке.
               Используя график функции, найдите $k$ и $b$.
               Запишите формулу функции $y = f(x)$.`,
        figure: `<img src="/img/exam9/v61_t7.png" class="task-fig" />`,
        sol: `<b>Метод (по графику):</b>
              <ul>
                <li>Свободный коэффициент $b$ — это ордината точки пересечения графика с осью $Oy$ (значение $y$ при $x = 0$).</li>
                <li>Угловой коэффициент $k$ находится по двум точкам $(x_1;\\,y_1)$ и $(x_2;\\,y_2)$ графика по формуле
                $$k = \\dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}.$$</li>
                <li>После нахождения $k$ и $b$ записываем формулу $y = kx + b$.</li>
              </ul>
              Например, если на графике видно, что прямая пересекает ось $Oy$ в точке $(0;\\,b)$ и проходит через точку $(x_1;\\,y_1)$, то
              $$k = \\dfrac{y_1 - b}{x_1 - 0},\\qquad f(x) = kx + b.$$
              <div class="sol-ans">Ответ: $f(x) = kx + b$, где $k$ и $b$ определяются по графику указанным способом.</div>`
      },
      {
        text: `В геометрической прогрессии произведение третьего и десятого членов равно $120$.
               Чему равно произведение одиннадцатого и второго членов этой прогрессии?`,
        sol: `<b>Формула $n$-го члена геометрической прогрессии:</b>
              $$b_n = b_1 \\cdot q^{n-1},$$
              где $b_1$ — первый член, $q$ — знаменатель прогрессии.<br>
              <b>Шаг 1. Записываем произведение двух членов с номерами $p$ и $q$.</b>
              $$b_p \\cdot b_q = b_1 q^{p-1} \\cdot b_1 q^{q-1} = b_1^2 \\cdot q^{p+q-2}.$$
              <b>Шаг 2. Делаем вывод о произведении.</b><br>
              Произведение зависит только от суммы номеров $p + q$. Значит, если $p + q = r + s$, то
              $$b_p \\cdot b_q = b_r \\cdot b_s.$$
              <b>Шаг 3. Сравниваем суммы номеров.</b><br>
              Для пары $(3, 10)$: сумма $3 + 10 = 13$.<br>
              Для пары $(2, 11)$: сумма $2 + 11 = 13$.<br>
              Суммы равны, значит и произведения равны:
              $$b_2 \\cdot b_{11} = b_3 \\cdot b_{10} = 120.$$
              <div class="sol-ans">Ответ: $120$.</div>`
      },
      {
        text: `На изготовление комплекта деталей для холодильной установки бригада затратила $\\dfrac{2}{5}$ часа
               и выпустила за $8$-часовую смену $640$ деталей. Сколько деталей выпустит бригада за смену,
               если время на изготовление комплекта деталей будет равно $\\dfrac{4}{15}$ часа?`,
        sol: `<b>Метод решения задачи по действиям:</b> постепенно находим число комплектов, число деталей в одном комплекте, а затем общее количество деталей.<br>
              <b>Шаг 1.</b> Находим, сколько комплектов бригада выпускала за смену в первом случае. Делим всё время смены на время одного комплекта (по правилу деления на дробь — умножаем на обратную):
              $$8 : \\dfrac{2}{5} = 8 \\cdot \\dfrac{5}{2} = 20\\text{ комплектов}.$$
              <b>Шаг 2.</b> Находим, сколько деталей в одном комплекте. По условию за смену выпущено $640$ деталей, всего $20$ комплектов:
              $$640 : 20 = 32\\text{ детали в комплекте}.$$
              <b>Шаг 3.</b> Находим, сколько комплектов будет выпущено за смену при новой норме времени $\\dfrac{4}{15}$ часа:
              $$8 : \\dfrac{4}{15} = 8 \\cdot \\dfrac{15}{4} = 30\\text{ комплектов}.$$
              <b>Шаг 4.</b> Так как в каждом комплекте по $32$ детали, общее количество деталей:
              $$30 \\cdot 32 = 960\\text{ деталей}.$$
              <div class="sol-ans">Ответ: $960$ деталей.</div>`
      },
      {
        text: `В угол $A$ вписана окружность с радиусом $6$ см и центром в точке $O_1$.
               Расстояние от центра этой окружности до вершины угла равно $30$ см.
               Найдите радиус меньшей окружности с центром в точке $O_2$,
               которая касается сторон данного угла и данной окружности.`,
        figure: `<img src="/img/exam9/v61_t10.png" class="task-fig" />`,
        sol: `<svg viewBox="0 0 360 220" width="360" height="220" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="display:block;margin:6px auto">
                <line x1="20" y1="110" x2="350" y2="35" stroke="#1f6feb" stroke-width="2"/>
                <line x1="20" y1="110" x2="350" y2="185" stroke="#1f6feb" stroke-width="2"/>
                <line x1="20" y1="110" x2="350" y2="110" stroke="#888" stroke-width="1" stroke-dasharray="4,3"/>
                <circle cx="220" cy="110" r="40" fill="none" stroke="#b00" stroke-width="2"/>
                <circle cx="220" cy="110" r="2" fill="#b00"/>
                <text x="226" y="106" font-size="13" fill="#b00">O₁</text>
                <text x="240" y="130" font-size="12" fill="#b00">R = 6</text>
                <circle cx="120" cy="110" r="22" fill="none" stroke="#0a0" stroke-width="2"/>
                <circle cx="120" cy="110" r="2" fill="#0a0"/>
                <text x="124" y="106" font-size="13" fill="#0a0">O₂</text>
                <text x="104" y="142" font-size="12" fill="#0a0">r</text>
                <text x="8" y="115" font-size="14">A</text>
              </svg>
              Центры обеих окружностей лежат на биссектрисе угла $A$. Пусть $\\angle A = 2\\alpha$.<br>
              Из прямоугольного треугольника, образованного вершиной $A$, центром $O_1$ и точкой касания окружности со стороной угла:
              $$\\sin\\alpha = \\dfrac{R}{AO_1} = \\dfrac{6}{30} = \\dfrac{1}{5}.$$
              Аналогично для меньшей окружности радиуса $r$ с центром $O_2$:
              $$\\sin\\alpha = \\dfrac{r}{AO_2} \\;\\Longrightarrow\\; AO_2 = \\dfrac{r}{\\sin\\alpha} = 5r.$$
              Окружности касаются внешним образом, $O_2$ лежит между $A$ и $O_1$, поэтому
              $$O_1 O_2 = R + r,\\qquad O_1 O_2 = AO_1 - AO_2 = 30 - 5r.$$
              Получаем уравнение:
              $$30 - 5r = 6 + r \\;\\Longrightarrow\\; 6r = 24 \\;\\Longrightarrow\\; r = 4\\;\\text{см}.$$
              <div class="sol-ans">Ответ: $r = 4$ см.</div>`
      },
    ]
};
