VARIANTS[4] = {
    label: "Вариант 4",
    tasks: [
      {
        text: `Определите, какое из следующих равенств верно:`,
        opts: [
          ["а", "$b^2 \\cdot b^9 = b^{18}$"], ["б", "$b^2 \\cdot b^9 = 11b$"],
          ["в", "$b^2 \\cdot b^9 = b^{11}$"], ["г", "$b^2 \\cdot b^9 = b^7$"],
          ["д", "$b^2 \\cdot b^9 = 18b$"],
        ],
        sol: `При умножении степеней с одним основанием показатели <em>складываются</em>:
$$b^2 \\cdot b^9 = b^{2+9} = b^{11}$$
<div class="sol-ans">Ответ: в)&ensp;$b^{11}$</div>`
      },
      {
        text: `Значение выражения $14\\dfrac{10}{21} - 2\\dfrac{12}{21}$ равно:`,
        opts: [
          ["а", "$12\\dfrac{2}{21}$"],  ["б", "$12\\dfrac{19}{21}$"],
          ["в", "$11\\dfrac{19}{21}$"], ["г", "$10\\dfrac{19}{21}$"],
          ["д", "$11\\dfrac{2}{21}$"],
        ],
        sol: `$$14\\tfrac{10}{21} - 2\\tfrac{12}{21} = (14-2) + \\left(\\tfrac{10}{21}-\\tfrac{12}{21}\\right) = 12 - \\tfrac{2}{21} = 11\\tfrac{21}{21} - \\tfrac{2}{21} = 11\\tfrac{19}{21}$$
<div class="sol-ans">Ответ: в)&ensp;$11\\dfrac{19}{21}$</div>`
      },
      {
        text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
        opts: [
          ["а", "на плоскости через точку можно провести только одну прямую, параллельную данной;"],
          ["б", "если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный;"],
          ["в", "у любого прямоугольника диагонали перпендикулярны;"],
          ["г", "сумма двух соседних углов параллелограмма равна $180^{\\circ}$?"],
        ],
        sol: `<ul>
  <li>а) Через точку на плоскости проходит ровно одна прямая, параллельная данной — <b>верно</b> (аксиома параллельных)</li>
  <li>б) Два равных угла ⟹ равнобедренный треугольник — <b>верно</b></li>
  <li>в) У любого прямоугольника диагонали перпендикулярны — <b style="color:#dc2626">НЕВЕРНО</b></li>
  <li>г) Сумма двух соседних углов параллелограмма $= 180°$ — <b>верно</b></li>
</ul>
Диагонали прямоугольника <em>равны</em> между собой, но не обязательно перпендикулярны — перпендикулярны диагонали ромба.
<div class="sol-ans">Ответ: в)</div>`
      },
      {
        text: `Определите количество целых решений системы неравенств
               $$\\begin{cases} x < 8, \\\\[4pt] 5 - x \\leq 0. \\end{cases}$$`,
        sol: `Из второго неравенства: $5-x \\leq 0 \\Rightarrow x \\geq 5$.
<br>Система: $5 \\leq x \\lt 8$
<br>Целые числа: $5,\\ 6,\\ 7$ — ровно <b>3</b> числа.
<div class="sol-ans">Ответ: 3</div>`
      },
      {
        text: `В окружность с радиусом $25$ см вписан треугольник, одна сторона которого
               является диаметром, а другая — равна $14$ см. Найдите площадь этого треугольника.`,
        sol: `<b>Теорема Фалеса (о вписанном угле):</b> вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, равен $90°$.
<br><b>Теорема Пифагора:</b> в прямоугольном треугольнике $c^2 = a^2 + b^2$, где $c$ — гипотенуза.
<br><b>Формула площади прямоугольного треугольника:</b> $S = \\dfrac{1}{2}\\cdot a\\cdot b$.
<br><br>
<b>Шаг 1.</b> Одна сторона треугольника — диаметр окружности, значит:
$$d = 2R = 2\\cdot 25 = 50\\text{ см}$$
<b>Шаг 2.</b> По теореме Фалеса вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой ($90°$). Значит, треугольник <em>прямоугольный</em>, его гипотенуза $= 50$ см.
<svg viewBox="0 0 200 115" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:200px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
<circle cx="100" cy="60" r="55" fill="rgba(37,99,235,0.06)" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.2"/>
<polygon points="45,60 155,60 100,5" fill="rgba(37,99,235,0.12)" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
<path d="M97,5 L97,17 L109,17" fill="none" stroke="#555" stroke-width="1.2"/>
<text x="30" y="73" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
<text x="158" y="73" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
<text x="98" y="0" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
<text x="88" y="80" font-size="10" fill="#2563eb">50 см</text>
<text x="55" y="38" font-size="10" fill="#e11d48">14 см</text>
</svg>
<b>Шаг 3.</b> По условию один катет равен $14$ см. По теореме Пифагора находим второй катет:
$$b = \\sqrt{50^2-14^2} = \\sqrt{2500-196} = \\sqrt{2304} = 48\\text{ см}$$
<b>Шаг 4.</b> Площадь прямоугольного треугольника — полупроизведение катетов:
$$S = \\tfrac{1}{2}\\cdot 14\\cdot 48 = 336\\text{ см}^2$$
<div class="sol-ans">Ответ: $336$ см²</div>`
      },
      {
        text: `Найдите значение выражения $\\dfrac{b - 5}{b - 2\\sqrt{5b} + 5}$ при $b = 20$.`,
        sol: `<b>Формула разности квадратов:</b> $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.
<br><b>Формула квадрата разности:</b> $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$.
<br><b>Идея:</b> при работе с радикалами представляем $b$ как $(\\sqrt{b})^2$, чтобы увидеть структуру формул сокращённого умножения.
<br><br>
<b>Шаг 1.</b> Разложим <em>знаменатель</em>. Представим $b=(\\sqrt{b})^2$ и $5=(\\sqrt{5})^2$:
$$b - 2\\sqrt{5b} + 5 = (\\sqrt{b})^2 - 2\\sqrt{b}\\cdot\\sqrt{5} + (\\sqrt{5})^2 = (\\sqrt{b}-\\sqrt{5})^2$$
(это квадрат разности).
<br><b>Шаг 2.</b> Разложим <em>числитель</em> по формуле разности квадратов:
$$b - 5 = (\\sqrt{b})^2 - (\\sqrt{5})^2 = (\\sqrt{b}-\\sqrt{5})(\\sqrt{b}+\\sqrt{5})$$
<b>Шаг 3.</b> Сокращаем общий множитель $(\\sqrt{b}-\\sqrt{5})$:
$$\\dfrac{(\\sqrt{b}-\\sqrt{5})(\\sqrt{b}+\\sqrt{5})}{(\\sqrt{b}-\\sqrt{5})^2} = \\dfrac{\\sqrt{b}+\\sqrt{5}}{\\sqrt{b}-\\sqrt{5}}$$
<b>Шаг 4.</b> Подставляем $b=20$. Заметим, что $\\sqrt{20} = \\sqrt{4\\cdot 5} = 2\\sqrt{5}$:
$$\\dfrac{\\sqrt{20}+\\sqrt{5}}{\\sqrt{20}-\\sqrt{5}} = \\dfrac{2\\sqrt{5}+\\sqrt{5}}{2\\sqrt{5}-\\sqrt{5}} = \\dfrac{3\\sqrt{5}}{\\sqrt{5}} = 3$$
<div class="sol-ans">Ответ: $3$</div>`
      },
      {
        text: `Функция задана формулой $f(x) = \\dfrac{3}{x}$.
               Расположите в порядке возрастания $f(-2{,}3)$, $f(-11{,}5)$, $f(-\\sqrt{3})$.
               Ответ обоснуйте.`,
        sol: `<b>Свойство гиперболы $y=\\dfrac{k}{x}$ при $k\\gt 0$:</b> функция <em>убывает</em> на каждом из промежутков $(-\\infty;0)$ и $(0;+\\infty)$.
<br><b>Правило сравнения значений убывающей функции:</b> чем больше аргумент, тем меньше значение функции.
<br><br>
<b>Шаг 1.</b> Определим характер функции. У функции $f(x)=\\dfrac{3}{x}$ коэффициент $k=3\\gt 0$, поэтому на промежутке $(-\\infty;0)$ функция <b>убывает</b>.
<br><b>Шаг 2.</b> Все три аргумента отрицательны, значит, лежат на промежутке убывания.
<br>Оценим $\\sqrt{3}$: так как $1\\lt 3\\lt 4$, то $1\\lt\\sqrt{3}\\lt 2$, точнее $\\sqrt{3}\\approx 1{,}73$, поэтому $-\\sqrt{3}\\approx -1{,}73$.
<br>Расставим аргументы по возрастанию:
$$-11{,}5 \\lt -2{,}3 \\lt -\\sqrt{3}$$
<b>Шаг 3.</b> Так как функция убывает, при увеличении аргумента значение $f$ уменьшается:
$$f(-11{,}5) \\gt f(-2{,}3) \\gt f(-\\sqrt{3})$$
<b>Шаг 4.</b> Перепишем по возрастанию (от меньшего к большему):
$$f(-\\sqrt{3}) \\lt f(-2{,}3) \\lt f(-11{,}5)$$
<b>Проверка вычислением:</b> $f(-\\sqrt{3})=-\\sqrt{3}\\approx -1{,}73$; $f(-2{,}3)\\approx -1{,}30$; $f(-11{,}5)\\approx -0{,}26$. Действительно, $-1{,}73\\lt -1{,}30\\lt -0{,}26$ ✓.
<div class="sol-ans">Ответ (по возрастанию): $f(-\\sqrt{3}) \\lt f(-2{,}3) \\lt f(-11{,}5)$</div>`
      },
      {
        text: `Найдите сумму всех двузначных натуральных чисел,
               которые при делении на $11$ дают в остатке $6$.`,
        sol: `<b>Теорема о делении с остатком:</b> если число $n$ при делении на $d$ даёт остаток $r$, то $n = d\\cdot k + r$, где $k$ — целое неотрицательное число.
<br><b>Формула суммы арифметической прогрессии:</b> $S_n = \\dfrac{(a_1+a_n)\\cdot n}{2}$.
<br><br>
<b>Шаг 1.</b> Запишем общий вид искомых чисел. По условию число делится на $11$ с остатком $6$, поэтому имеет вид:
$$n = 11k + 6,\\quad k = 0, 1, 2, \\ldots$$
<b>Шаг 2.</b> Найдём, при каких $k$ число будет двузначным: $10\\leq 11k+6\\leq 99$.
<br>Левое неравенство: $11k\\geq 4 \\Rightarrow k\\geq 1$.
<br>Правое неравенство: $11k\\leq 93 \\Rightarrow k\\leq 8$ (так как $11\\cdot 8=88\\leq 93$, а $11\\cdot 9=99\\gt 93$).
<br>Итак, $k = 1, 2, \\ldots, 8$ — всего $8$ значений.
<br><b>Шаг 3.</b> Выпишем все двузначные числа:
$$17,\\ 28,\\ 39,\\ 50,\\ 61,\\ 72,\\ 83,\\ 94$$
Это <b>арифметическая прогрессия</b> с $a_1=17$, разностью $d=11$, $n=8$, $a_8=94$.
<br><b>Шаг 4.</b> По формуле суммы арифметической прогрессии:
$$S = \\dfrac{(a_1+a_n)\\cdot n}{2} = \\dfrac{(17+94)\\cdot 8}{2} = \\dfrac{111\\cdot 8}{2} = 111\\cdot 4 = 444$$
<div class="sol-ans">Ответ: $444$</div>`
      },
      {
        text: `Внутри угла $B$, равного $60^{\\circ}$, взята точка $K$.
               Расстояния от точки $K$ до сторон угла равны $2$ см и $3$ см.
               Найдите расстояние от точки $K$ до вершины угла $B$.`,
        sol: `Опустим перпендикуляры $KH_1=2$ и $KH_2=3$ на стороны угла.
<svg viewBox="0 0 215 158" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:215px;width:100%;height:auto;display:block;margin:12px 0">
  <!-- описанная окружность (диаметр = BK) -->
  <circle cx="80" cy="88" r="62" fill="none" stroke="#cbd5e1" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="5,3"/>
  <!-- диаметр BK -->
  <line x1="22" y1="108" x2="138" y2="68" stroke="#94a3b8" stroke-width="1" stroke-dasharray="5,3"/>
  <text x="62" y="97" font-size="8" fill="#94a3b8" font-style="italic">d=BK</text>
  <!-- четырёхугольник BH₁KH₂ -->
  <polygon points="22,108 138,108 138,68 69,28" fill="rgba(37,99,235,0.1)" stroke="#2563eb" stroke-width="0.8" stroke-dasharray="3,2"/>
  <!-- стороны угла -->
  <line x1="22" y1="108" x2="192" y2="108" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
  <line x1="22" y1="108" x2="72" y2="21" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
  <!-- дуга 60° при B -->
  <path d="M52,108 A30,30 0 0,0 37,82" fill="none" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.2"/>
  <text x="55" y="97" font-size="10" fill="#555">60°</text>
  <!-- метка B -->
  <text x="5" y="114" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
  <!-- точка K -->
  <circle cx="138" cy="68" r="3.5" fill="#1e293b"/>
  <text x="143" y="67" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">K</text>
  <!-- KH₁: перпендикуляр к нижней стороне -->
  <line x1="138" y1="68" x2="138" y2="108" stroke="#2563eb" stroke-width="2" stroke-dasharray="4,2"/>
  <path d="M131,108 L131,101 L138,101" fill="none" stroke="#555" stroke-width="1.3"/>
  <circle cx="138" cy="108" r="2.5" fill="#2563eb"/>
  <text x="141" y="93" font-size="12" fill="#2563eb" font-weight="bold">2</text>
  <text x="128" y="122" font-size="10" fill="#334155">H₁</text>
  <!-- KH₂: перпендикуляр к верхней стороне -->
  <line x1="138" y1="68" x2="69" y2="28" stroke="#e11d48" stroke-width="2" stroke-dasharray="4,2"/>
  <path d="M72.5,21.9 L78.6,25.4 L75.1,31.5" fill="none" stroke="#555" stroke-width="1.3"/>
  <circle cx="69" cy="28" r="2.5" fill="#e11d48"/>
  <text x="97" y="42" font-size="12" fill="#e11d48" font-weight="bold">3</text>
  <text x="55" y="22" font-size="10" fill="#334155">H₂</text>
  <!-- хорда H₁H₂ -->
  <line x1="138" y1="108" x2="69" y2="28" stroke="#16a34a" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="4,2"/>
  <text x="86" y="75" font-size="10" fill="#16a34a" font-weight="bold">√19</text>
  <!-- дуга 120° при K -->
  <path d="M138,90 A22,22 0 0,1 119,57" fill="none" stroke="#333" stroke-width="1.5"/>
  <text x="100" y="53" font-size="10" fill="#333" font-weight="bold">120°</text>
  <!-- центр описанной окружности -->
  <circle cx="80" cy="88" r="2" fill="#94a3b8"/>
  <text x="83" y="86" font-size="8" fill="#94a3b8" font-style="italic">O</text>
</svg>
<b>Шаг 1 — угол при K.</b><br>
Четырёхугольник $BH_1KH_2$ имеет три известных угла. Сумма углов четырёхугольника $= 360°$:
$$\\angle H_1KH_2 = 360° - 90° - 60° - 90° = 120°$$
<b>Шаг 2 — длина отрезка H₁H₂.</b><br>
Теорема косинусов в $\\triangle H_1KH_2$:
$$H_1H_2^2 = 2^2 + 3^2 - 2\\cdot2\\cdot3\\cdot\\cos120° = 4+9-12\\cdot\\left(-\\tfrac{1}{2}\\right) = 13+6 = 19$$
$$H_1H_2 = \\sqrt{19}$$
<b>Шаг 3 — четыре точки на одной окружности.</b><br>
Так как $\\angle BH_1K = \\angle BH_2K = 90°$, по обратной теореме Фалеса все четыре точки $B, H_1, K, H_2$ лежат на одной окружности с диаметром $BK$.
<br><br>
<b>Шаг 4 — теорема синусов.</b><br>
В описанной окружности (диаметр $= BK$) вписанный угол $\\angle H_1BH_2 = 60°$ опирается на хорду $H_1H_2$:
$$\\dfrac{H_1H_2}{\\sin\\angle H_1BH_2} = BK \\implies BK = \\dfrac{\\sqrt{19}}{\\sin 60°} = \\dfrac{\\sqrt{19}}{\\tfrac{\\sqrt{3}}{2}} = \\dfrac{2\\sqrt{19}}{\\sqrt{3}} = \\dfrac{2\\sqrt{57}}{3}$$
<div class="sol-ans">Ответ: $\\dfrac{2\\sqrt{57}}{3}$ см</div>`
      },
      {
        text: `Решите уравнение $(x^2 + 2x + 3)^2 - 17(x^2 + 2x + 3) = 18$.
               В ответ запишите целые корни уравнения,
               удовлетворяющие неравенству $|x| \\leq 4$.`,
        sol: `<b>Метод замены переменной:</b> если в уравнении повторяется одно и то же выражение, обозначаем его новой буквой и сводим к квадратному уравнению.
<br><b>Теорема Виета (обратная)</b> для $t^2+pt+q=0$: $t_1+t_2=-p$, $t_1\\cdot t_2=q$.
<br><b>Дискриминант:</b> $D=b^2-4ac$; при $D\\lt 0$ вещественных корней нет.
<br><br>
<b>Шаг 1.</b> Выражение $x^2+2x+3$ встречается дважды. Сделаем замену:
$$t = x^2+2x+3$$
Уравнение примет вид:
$$t^2 - 17t - 18 = 0$$
<b>Шаг 2.</b> По теореме Виета: $t_1+t_2=17$, $t_1\\cdot t_2=-18$. Подходят $18$ и $-1$:
$$(t-18)(t+1)=0 \\implies t=18 \\text{ или } t=-1$$
<b>Шаг 3.</b> Возвращаемся к $x$.
<br><b>Случай 1:</b> $x^2+2x+3=18$, то есть $x^2+2x-15=0$.
<br>Раскладываем: $(x+5)(x-3)=0 \\Rightarrow x=-5$ или $x=3$.
<br>Проверяем условие $|x|\\leq 4$: $x=3$ подходит, $x=-5$ — нет.
<br><b>Случай 2:</b> $x^2+2x+3=-1$, то есть $x^2+2x+4=0$.
<br>Дискриминант: $D=4-16=-12\\lt 0$, значит корней нет.
<br><b>Шаг 4.</b> Условию $|x|\\leq 4$ удовлетворяет только $x=3$.
<div class="sol-ans">Ответ: $x=3$</div>`
      },
    ]
};
