VARIANTS[70] = {
    label: "Вариант 70",
    tasks: [
      {
        text: `Определите, какое из данных равенств является верным:`,
        opts: [
          ["а", "$4(x-y) = x-4y$"], ["б", "$4(x-y) = 4x-y$"], ["в", "$4(x-y) = 4x-4y$"],
          ["г", "$4(x-y) = 4y-4x$"], ["д", "$4(x-y) = 4x+4y$"],
        ],
        sol: `По <b>распределительному закону</b> умножения:
$$4(x-y) = 4\\cdot x - 4\\cdot y = 4x-4y$$
<ul>
  <li>а) $x-4y$ — четвёрка вынесена только из второго слагаемого — <b style="color:#dc2626">неверно</b></li>
  <li>б) $4x-y$ — четвёрка вынесена только из первого слагаемого — <b style="color:#dc2626">неверно</b></li>
  <li>в) $4x-4y$ — <b>верно</b> ✓</li>
  <li>г) $4y-4x$ — знак изменён — <b style="color:#dc2626">неверно</b></li>
  <li>д) $4x+4y$ — знак минус заменён на плюс — <b style="color:#dc2626">неверно</b></li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: в)</div>`
      },
      {
        text: `$40\\%$ от числа $220$ равны:`,
        opts: [
          ["а", "$8{,}8$"], ["б", "$260$"], ["в", "$88$"], ["г", "$80$"], ["д", "$550$"],
        ],
        sol: `$$220 \\cdot 0{,}4 = 88$$
<div class="sol-ans">Ответ: в)&ensp;$88$</div>`
      },
      {
        text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
        opts: [
          ["а", "биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке;"],
          ["б", "радиус окружности, описанной около треугольника, можно найти по формуле $R = \\dfrac{abc}{4S}$;"],
          ["в", "в треугольнике против большего угла лежит большая сторона;"],
          ["г", "около любого параллелограмма можно описать окружность?"],
        ],
        sol: `<ul>
  <li>а) Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке — <b>верно</b></li>
  <li>б) $R = \\dfrac{abc}{4S}$ — стандартная формула радиуса описанной окружности — <b>верно</b></li>
  <li>в) Против большего угла лежит большая сторона — <b>верно</b></li>
  <li>г) Около любого параллелограмма можно описать окружность — <b style="color:#dc2626">НЕВЕРНО</b></li>
</ul>
Для описанной окружности необходимо, чтобы сумма противоположных углов равнялась $180°$. В произвольном параллелограмме $\\angle A = \\angle C$ и $\\angle B = \\angle D$, поэтому $\\angle A + \\angle C = 2\\angle A \\neq 180°$ в общем случае. Описанная окружность существует лишь у <b>прямоугольника</b>.
<div class="sol-ans">Ответ: г)</div>`
      },
      {
        text: `Найдите все целые решения неравенства $-9 \\leq 2x \\leq -3$.`,
        sol: `Делим все части на $2$:
$$-4{,}5 \\leq x \\leq -1{,}5$$
Целые числа на отрезке $[-4{,}5;\\; -1{,}5]$: это $-4,\\; -3,\\; -2$.
<div class="sol-ans">Ответ: $-4,\\; -3,\\; -2$</div>`
      },
      {
        text: `Найдите третий член геометрической прогрессии, если её первый член равен $0{,}2$,
               а знаменатель прогрессии равен $2{,}5$.`,
        sol: `<b>Формула $n$-го члена геометрической прогрессии:</b> $a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}$, где $a_1$ — первый член, $q$ — знаменатель прогрессии.
<br><b>Шаг 1.</b> По условию $a_1 = 0{,}2$, $q = 2{,}5$, нужно найти $a_3$. Подставляем $n = 3$:
$$a_3 = a_1 \\cdot q^{3-1} = 0{,}2 \\cdot (2{,}5)^{2}.$$
<b>Шаг 2.</b> Вычислим $(2{,}5)^2 = 6{,}25$:
$$a_3 = 0{,}2 \\cdot 6{,}25 = 1{,}25.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $1{,}25$</div>`
      },
      {
        text: `Найдите косинус угла $ACB$, изображённого на клетчатой бумаге.`,
        figure: `<img src="/img/exam9/v70_t6.png" class="task-fig" />`,
        sol: `<b>Определение косинуса в прямоугольном треугольнике:</b> $\\cos\\alpha = \\dfrac{\\text{прилежащий катет}}{\\text{гипотенуза}}$.
<br><b>Теорема Пифагора:</b> для прямоугольного треугольника с катетами $a$, $b$ и гипотенузой $c$ верно $c^2 = a^2 + b^2$.
<br><b>Шаг 1.</b> По рисунку достроим прямоугольный треугольник так, чтобы угол $\\angle ACB$ оказался острым углом этого треугольника, а катеты шли по линиям клеток.
<br><b>Шаг 2.</b> Посчитаем длины катетов по клеткам.
<br><b>Шаг 3.</b> По теореме Пифагора находим гипотенузу.
<br><b>Шаг 4.</b> Применяем формулу косинуса: делим длину прилежащего катета на длину гипотенузы.
<div class="sol-ans">Ответ: определяется по рисунку</div>`
      },
      {
        text: `Решите уравнение $(x-2)^2 - (x+8)^2 = 30$.`,
        sol: `<b>Формулы сокращённого умножения</b> (квадрат разности и квадрат суммы):
<br>$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$,&ensp; $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
<br><b>Шаг 1.</b> Раскроем квадраты:
$$(x-2)^2 = x^2 - 4x + 4,$$
$$(x+8)^2 = x^2 + 16x + 64.$$
<b>Шаг 2.</b> Подставим в уравнение, аккуратно раскроем скобки (минус перед скобкой меняет знаки):
$$(x^2 - 4x + 4) - (x^2 + 16x + 64) = 30,$$
$$x^2 - 4x + 4 - x^2 - 16x - 64 = 30.$$
<b>Шаг 3.</b> Приведём подобные слагаемые ($x^2 - x^2 = 0$, $-4x - 16x = -20x$, $4 - 64 = -60$):
$$-20x - 60 = 30.$$
<b>Шаг 4.</b> Перенесём $-60$ в правую часть, поменяв знак:
$$-20x = 90.$$
<b>Шаг 5.</b> Разделим обе части на $-20$:
$$x = \\dfrac{90}{-20} = -4{,}5.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $x = -4{,}5$</div>`
      },
      {
        text: `Упростите выражение
               $\\dfrac{(x^2+2)(x^4+4)(x^8+16)(x^2-2)}{x^{16}-256}$.`,
        sol: `<b>Формула разности квадратов:</b> $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.
<br><b>Шаг 1.</b> Переставим множители в числителе так, чтобы рядом оказались $(x^2-2)$ и $(x^2+2)$. Применим формулу разности квадратов:
$$(x^2-2)(x^2+2) = (x^2)^2 - 2^2 = x^4 - 4.$$
<b>Шаг 2.</b> Полученный множитель $(x^4-4)$ умножим на $(x^4+4)$ — снова разность квадратов:
$$(x^4-4)(x^4+4) = (x^4)^2 - 4^2 = x^8 - 16.$$
<b>Шаг 3.</b> Аналогично:
$$(x^8-16)(x^8+16) = (x^8)^2 - 16^2 = x^{16} - 256.$$
<b>Шаг 4.</b> Числитель равен $x^{16}-256$ — совпадает со знаменателем, значит дробь равна $1$:
$$\\dfrac{x^{16}-256}{x^{16}-256} = 1.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $1$</div>`
      },
      {
        text: `Брат и сестра вышли одновременно из дома в тренажёрный зал, находящийся на расстоянии
               $1$ км $200$ м от дома. Дойдя до тренажёрного зала, сестра вспомнила, что забыла абонемент,
               и с той же скоростью отправилась домой. На каком расстоянии от тренажёрного зала
               сестра встретит брата, если скорость брата $3$ км/ч, а скорость сестры $2{,}4$ км/ч?`,
        sol: `<b>Формула пути:</b> $S = v\\cdot t$, откуда $t = \\dfrac{S}{v}$.
<br><b>Скорость сближения</b> при движении навстречу равна сумме скоростей.
<br><b>Шаг 1.</b> Переведём расстояние в единые единицы: $d = 1$ км $200$ м $= 1{,}2$ км. Обозначим скорость брата $v_{1} = 3$ км/ч, скорость сестры $v_{2} = 2{,}4$ км/ч (брат идёт быстрее, поэтому первым придёт в зал именно он, и затем повернёт назад).
<br><b>Шаг 2. Время до того, как первый дошёл до зала:</b>
$$t_{1} = \\dfrac{d}{v_{1}} = \\dfrac{1{,}2}{3} = 0{,}4\\text{ ч}.$$
<b>Шаг 3. За это время сестра прошла</b> $v_{2}\\cdot t_{1} = 2{,}4\\cdot 0{,}4 = 0{,}96$ км. Значит, до зала ей осталось:
$$1{,}2 - 0{,}96 = 0{,}24\\text{ км}.$$
<b>Шаг 4.</b> Теперь они движутся навстречу друг другу. Скорость сближения:
$$v_{сбл} = v_{1} + v_{2} = 3 + 2{,}4 = 5{,}4\\text{ км/ч}.$$
Время до встречи:
$$t_{2} = \\dfrac{0{,}24}{5{,}4} = \\dfrac{24}{540} = \\dfrac{2}{45}\\text{ ч}.$$
<b>Шаг 5. Расстояние от зала до места встречи</b> равно пути, который прошёл вышедший из зала:
$$x = v_{1}\\cdot t_{2} = 3\\cdot\\dfrac{2}{45} = \\dfrac{6}{45} = \\dfrac{2}{15}\\text{ км} \\approx 133{,}3\\text{ м}.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $\\dfrac{2}{15}$ км $\\approx 133$ м от тренажёрного зала</div>`
      },
      {
        text: `В треугольнике $ABC$ медиана $AK$ перпендикулярна биссектрисе $BM$.
               Найдите длину стороны $AB$, если $AK = BM = 12$.`,
        sol: `<svg viewBox="0 0 220 225" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:300px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px auto">
  <polygon points="110,60 35,110 185,210" fill="rgba(37,99,235,0.06)" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
  <line x1="110" y1="60" x2="110" y2="160" stroke="#2563eb" stroke-width="2.2"/>
  <line x1="35" y1="110" x2="135" y2="110" stroke="#dc2626" stroke-width="2.2"/>
  <polygon points="110,110 118,110 118,102 110,102" fill="rgba(0,0,0,0.08)" stroke="#334155" stroke-width="1.3"/>
  <circle cx="110" cy="60" r="3.5" fill="#334155"/>
  <circle cx="35" cy="110" r="3.5" fill="#334155"/>
  <circle cx="185" cy="210" r="3.5" fill="#334155"/>
  <circle cx="110" cy="160" r="3.5" fill="#2563eb"/>
  <circle cx="135" cy="110" r="3.5" fill="#dc2626"/>
  <circle cx="110" cy="110" r="3" fill="#475569"/>
  <text x="113" y="55" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
  <text x="18" y="115" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
  <text x="188" y="218" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
  <text x="113" y="175" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic" fill="#2563eb">K</text>
  <text x="138" y="107" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic" fill="#dc2626">M</text>
  <text x="113" y="108" font-size="11" font-family="serif" font-style="italic" fill="#475569">P</text>
  <text x="70" y="85" font-size="11" fill="#2563eb" font-weight="bold">AK=12</text>
  <text x="60" y="104" font-size="11" fill="#dc2626" font-weight="bold">BM=12</text>
  <text x="114" y="88" font-size="10" fill="#2563eb">6</text>
  <text x="114" y="140" font-size="10" fill="#2563eb">6</text>
  <text x="63" y="107" font-size="10" fill="#dc2626">9</text>
  <text x="120" y="107" font-size="10" fill="#dc2626">3</text>
</svg>
<b>Теорема Пифагора:</b> в прямоугольном треугольнике с катетами $a$, $b$ и гипотенузой $c$ выполняется $c^2 = a^2 + b^2$.
<br><b>Свойство медианы:</b> медиана $AK$ из вершины $A$ делит сторону $BC$ пополам ($BK = KC$).
<br><b>Свойство биссектрисы:</b> биссектриса $BM$ из вершины $B$ делит сторону $AC$ в отношении $AM:MC = AB:BC$.
<br><b>Шаг 1.</b> Пусть $P$ — точка пересечения медианы $AK$ и биссектрисы $BM$. По условию $AK \\perp BM$ и $AK = BM = 12$.
<br>В этой стандартной конфигурации (медиана из $A$ перпендикулярна биссектрисе из $B$) выполняются соотношения:
$$AP = PK = \\dfrac{AK}{2} = 6$$ (точка $P$ — середина медианы $AK$);
$$BP:PM = 3:1, \\quad \\text{то есть}\\quad BP = \\dfrac{3}{4}\\cdot 12 = 9,\\;\\; PM = 3.$$
<b>Шаг 2.</b> Рассмотрим прямоугольный треугольник $APB$. Так как $AK \\perp BM$, то $\\angle APB = 90^\\circ$, а катеты — это $AP = 6$ и $BP = 9$. По теореме Пифагора:
$$AB^2 = AP^2 + BP^2 = 6^2 + 9^2 = 36 + 81 = 117.$$
<b>Шаг 3.</b> Извлечём корень. Так как $117 = 9 \\cdot 13$:
$$AB = \\sqrt{117} = \\sqrt{9}\\cdot\\sqrt{13} = 3\\sqrt{13}.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $AB = 3\\sqrt{13}$</div>`
      },
    ]
};
