VARIANTS[68] = {
    label: "Вариант 68",
    tasks: [
      {
        text: `Какое из данных чисел является простым:`,
        opts: [
          ["а", "$39$"], ["б", "$6$"], ["в", "$7$"], ["г", "$1$"], ["д", "$15$"],
        ],
        sol: `<p>Проверяем каждое число:</p>
<ul>
  <li>$39 = 3 \\times 13$ — составное;</li>
  <li>$6 = 2 \\times 3$ — составное;</li>
  <li>$7$ — делится только на $1$ и на себя, значит <b>простое</b>;</li>
  <li>$1$ — не является ни простым, ни составным по определению;</li>
  <li>$15 = 3 \\times 5$ — составное.</li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: в) $7$</div>`
      },
      {
        text: `Абсцисса точки, принадлежащей графику функции $y = 3x - 2$, равна $-1$.
               Тогда ордината этой точки равна:`,
        opts: [
          ["а", "$5$"], ["б", "$-5$"], ["в", "$-1$"], ["г", "$\\dfrac{2}{3}$"], ["д", "$\\dfrac{1}{3}$"],
        ],
        sol: `<p>Подставляем $x = -1$ в формулу функции:</p>
<p>$$y = 3 \\cdot (-1) - 2 = -3 - 2 = -5.$$</p>
<div class="sol-ans">Ответ: б) $-5$</div>`
      },
      {
        text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
        opts: [
          ["а", "для прямоугольного треугольника $ABC$ с прямым углом $C$ верно $\\cos A = \\dfrac{AC}{AB}$;"],
          ["б", "диагонали ромба взаимно перпендикулярны;"],
          ["в", "площадь ромба равна половине произведения диагоналей;"],
          ["г", "сумма градусных мер всех углов квадрата равна $270^{\\circ}$?"],
        ],
        sol: `<p>Квадрат — четырёхугольник, сумма внутренних углов которого равна $360^{\\circ}$, а не $270^{\\circ}$.</p>
<p>Утверждения а), б), в) — верны. Утверждение г) — <b>неверно</b>.</p>
<div class="sol-ans">Ответ: г)</div>`
      },
      {
        text: `Решите уравнение $\\dfrac{x}{-5{,}6} = \\dfrac{-0{,}25}{-7}$.`,
        sol: `<p>Из свойства пропорции $\\dfrac{x}{-5{,}6} = \\dfrac{-0{,}25}{-7} = \\dfrac{0{,}25}{7}$:</p>
<p>$$x = (-5{,}6) \\cdot \\dfrac{0{,}25}{7} = \\dfrac{-5{,}6 \\cdot 0{,}25}{7} = \\dfrac{-1{,}4}{7} = -0{,}2.$$</p>
<div class="sol-ans">Ответ: $x = -0{,}2$</div>`
      },
      {
        text: `Найдите сумму натуральных значений переменной из области определения
               выражения $\\sqrt{9-3x}$.`,
        sol: `<b>Условие существования квадратного корня:</b> $\\sqrt{f(x)}$ определён только тогда, когда подкоренное выражение неотрицательно, то есть $f(x) \\geq 0$.
<br><b>Шаг 1.</b> Запишем условие для выражения $\\sqrt{9-3x}$:
$$9 - 3x \\geq 0.$$
<b>Шаг 2.</b> Перенесём $-3x$ в правую часть:
$$9 \\geq 3x.$$
<b>Шаг 3.</b> Разделим обе части на $3$ (положительное число — знак не меняется):
$$3 \\geq x, \\quad \\text{то есть} \\quad x \\leq 3.$$
<b>Шаг 4.</b> Натуральные числа из области определения — те, что не превосходят $3$: это $1,\\;2,\\;3$.
<br><b>Шаг 5.</b> Их сумма: $1 + 2 + 3 = 6$.
<div class="sol-ans">Ответ: $6$</div>`
      },
      {
        text: `Найдите шестой член арифметической прогрессии, если её второй член равен $5$,
               а разность прогрессии равна $2$.`,
        sol: `<b>Формула $n$-го члена арифметической прогрессии:</b> $a_n = a_1 + (n-1)d$.
<br>Связь любых двух членов: $a_n = a_k + (n-k)d$ — от $k$-го члена до $n$-го прибавляем разность $(n-k)$ раз.
<br><b>Шаг 1.</b> По условию $a_2 = 5$, $d = 2$. От второго члена до шестого нужно прибавить разность $6 - 2 = 4$ раза:
$$a_6 = a_2 + (6 - 2)\\cdot d = a_2 + 4d.$$
<b>Шаг 2.</b> Подставим значения:
$$a_6 = 5 + 4\\cdot 2 = 5 + 8 = 13.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $13$</div>`
      },
      {
        text: `В параллелограмм с диагоналями, равными $10$ см и $24$ см, вписана окружность.
               Найдите радиус этой окружности.`,
        sol: `<b>Свойство описанного четырёхугольника:</b> если в четырёхугольник вписана окружность, то суммы его противоположных сторон равны.
<br>В параллелограмме противоположные стороны и так равны, поэтому условие $AB+CD = BC+AD$ даёт $2AB = 2BC$, то есть все стороны равны. Значит, такой параллелограмм — это <b>ромб</b>.
<br><b>Свойство диагоналей ромба:</b> диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.
<br><b>Шаг 1.</b> Найдём сторону ромба. Половины диагоналей $\\dfrac{d_1}{2} = 5$ см и $\\dfrac{d_2}{2} = 12$ см являются катетами прямоугольного треугольника, гипотенуза которого — сторона ромба. По <b>теореме Пифагора</b>:
$$a = \\sqrt{5^2 + 12^2} = \\sqrt{25 + 144} = \\sqrt{169} = 13\\text{ см}.$$
<b>Шаг 2.</b> Найдём площадь ромба. <b>Формула площади ромба через диагонали:</b> $S = \\dfrac{d_1 \\cdot d_2}{2}$:
$$S = \\dfrac{10 \\cdot 24}{2} = 120\\text{ см}^{2}.$$
<b>Шаг 3.</b> Найдём радиус вписанной окружности. <b>Формула:</b> $r = \\dfrac{S}{p}$, где $p$ — полупериметр.
<br>Так как у ромба все четыре стороны равны $a$, полупериметр: $p = \\dfrac{4a}{2} = 2a = 26$ см.
$$r = \\dfrac{S}{p} = \\dfrac{120}{26} = \\dfrac{60}{13}\\text{ см} \\approx 4{,}6\\text{ см}.$$
<svg viewBox="0 0 250 130" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:340px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px auto">
  <polygon points="17,65 125,20 233,65 125,110" fill="rgba(37,99,235,0.07)" stroke="#334155" stroke-width="2"/>
  <line x1="17" y1="65" x2="233" y2="65" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="4,3"/>
  <line x1="125" y1="20" x2="125" y2="110" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="4,3"/>
  <polygon points="125,65 133,65 133,57 125,57" fill="none" stroke="#334155" stroke-width="1.2"/>
  <circle cx="125" cy="65" r="42" fill="rgba(220,38,38,0.06)" stroke="#dc2626" stroke-width="1.8"/>
  <line x1="125" y1="65" x2="125" y2="107" stroke="#dc2626" stroke-width="1" stroke-dasharray="3,2"/>
  <circle cx="125" cy="65" r="2.5" fill="#334155"/>
  <text x="5" y="70" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
  <text x="121" y="14" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
  <text x="237" y="70" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
  <text x="121" y="124" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">D</text>
  <text x="60" y="62" font-size="10" fill="#475569">d₁=24</text>
  <text x="170" y="62" font-size="10" fill="#475569">d₁=24</text>
  <text x="129" y="42" font-size="10" fill="#475569">d₂=10</text>
  <text x="129" y="92" font-size="10" fill="#475569">d₂=10</text>
  <text x="55" y="38" font-size="11" fill="#334155">a=13</text>
  <text x="130" y="90" font-size="11" fill="#dc2626" font-weight="bold">r=60/13</text>
</svg>
<div class="sol-ans">Ответ: $r = \\dfrac{60}{13}$ см</div>`
      },
      {
        text: `Найдите значение выражения
               $-8 : \\left(-1\\dfrac{1}{7}\\right) + \\dfrac{1}{2} \\cdot \\left(-1\\dfrac{1}{5}\\right) + 6 \\cdot \\left(-\\dfrac{1}{3}\\right) - 8 : \\dfrac{4}{5}$.
               В ответ запишите число, обратное ему.`,
        sol: `<b>Перевод смешанного числа в неправильную дробь:</b> $a\\dfrac{b}{c}=\\dfrac{a\\cdot c+b}{c}$.
<br><b>Правило деления дробей:</b> $\\dfrac{a}{b}:\\dfrac{c}{d}=\\dfrac{a}{b}\\cdot\\dfrac{d}{c}$.
<br><b>Обратное число</b> к дроби $\\dfrac{p}{q}$ равно $\\dfrac{q}{p}$.
<br><b>Шаг 1.</b> Переведём смешанные числа в неправильные дроби:
$$1\\dfrac{1}{7} = \\dfrac{8}{7},\\qquad 1\\dfrac{1}{5} = \\dfrac{6}{5}.$$
<b>Шаг 2.</b> Вычислим первое деление, заменив его умножением на обратную дробь:
$$-8 : \\left(-\\dfrac{8}{7}\\right) = -8\\cdot\\left(-\\dfrac{7}{8}\\right) = 7.$$
<b>Шаг 3.</b> Вычислим первое произведение:
$$\\dfrac{1}{2}\\cdot\\left(-\\dfrac{6}{5}\\right) = -\\dfrac{6}{10} = -\\dfrac{3}{5}.$$
<b>Шаг 4.</b> Вычислим оставшиеся произведение и частное:
$$6\\cdot\\left(-\\dfrac{1}{3}\\right) = -2,\\qquad 8 : \\dfrac{4}{5} = 8\\cdot\\dfrac{5}{4} = 10.$$
<b>Шаг 5.</b> Соберём всё вместе и приведём к общему знаменателю $5$:
$$7 - \\dfrac{3}{5} - 2 - 10 = -5 - \\dfrac{3}{5} = -\\dfrac{25}{5} - \\dfrac{3}{5} = -\\dfrac{28}{5}.$$
<b>Шаг 6.</b> Запишем обратное число: для $-\\dfrac{28}{5}$ обратное равно $-\\dfrac{5}{28}$.
<div class="sol-ans">Ответ: $-\\dfrac{5}{28}$</div>`
      },
      {
        text: `Первую половину пути в $120$ км велосипедист преодолел со скоростью на $20\\%$ меньше планируемой,
               а вторую половину пути — со скоростью на $20\\%$ больше, чем планировал.
               Как изменится время его движения по сравнению с планируемым?`,
        sol: `<p>Пусть плановая скорость равна $v$. Половина пути — $60$ км.</p>
<p>Фактическое время:</p>
<p>$$t = \\dfrac{60}{0{,}8v} + \\dfrac{60}{1{,}2v} = \\dfrac{60}{v}\\left(\\dfrac{1}{0{,}8} + \\dfrac{1}{1{,}2}\\right) = \\dfrac{60}{v} \\cdot \\dfrac{1{,}2 + 0{,}8}{0{,}96} = \\dfrac{60}{v} \\cdot \\dfrac{2}{0{,}96} = \\dfrac{120}{0{,}96v} = \\dfrac{125}{v}.$$</p>
<p>Плановое время: $t_0 = \\dfrac{120}{v}$.</p>
<p>Отношение: $\\dfrac{t}{t_0} = \\dfrac{125/v}{120/v} = \\dfrac{125}{120} = \\dfrac{25}{24} \\gt 1$.</p>
<p>Фактическое время <b>увеличится</b> на $\\dfrac{25}{24} - 1 = \\dfrac{1}{24}$ часть от планируемого (примерно на $4{,}2\\%$).</p>
<div class="sol-ans">Ответ: время увеличится (на $\\dfrac{1}{24}$ часть от планируемого, примерно на $4{,}2\\%$)</div>`
      },
      {
        text: `В треугольник $ABC$ вписан квадрат, две вершины которого лежат на стороне $AC$,
               две другие — на сторонах $AB$ и $BC$.
               Найдите площадь квадрата, если $AC = 60$ см, высота треугольника $BH = 30$ см.`,
        sol: `<p>Пусть сторона квадрата равна $a$. Квадрат расположен основанием на $AC$.</p>
<p>На высоте $a$ от $AC$ ширина треугольника (по подобию) равна:</p>
<p>$$AC \\cdot \\dfrac{BH - a}{BH} = 60 \\cdot \\dfrac{30 - a}{30} = 2(30 - a).$$</p>
<p>Эта ширина должна равняться стороне квадрата $a$:</p>
<p>$$2(30 - a) = a \\Rightarrow 60 - 2a = a \\Rightarrow 3a = 60 \\Rightarrow a = 20.$$</p>
<p>Площадь квадрата: $S = a^2 = 20^2 = 400$ см².</p>
<svg viewBox="0 0 255 198" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:340px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px auto">
  <polygon points="20,168 125,63 230,168" fill="rgba(37,99,235,0.05)" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
  <rect x="92" y="98" width="70" height="70" fill="rgba(22,163,74,0.18)" stroke="#16a34a" stroke-width="2"/>
  <line x1="125" y1="63" x2="125" y2="168" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.3" stroke-dasharray="5,3"/>
  <polygon points="125,168 133,168 133,160 125,160" fill="none" stroke="#334155" stroke-width="1.2"/>
  <text x="6" y="180" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
  <text x="120" y="55" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
  <text x="233" y="180" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
  <text x="119" y="183" font-size="11" font-family="serif" font-style="italic" fill="#475569">H</text>
  <text x="125" y="138" font-size="13" fill="#15803d" font-weight="bold" text-anchor="middle">a=20</text>
  <text x="125" y="193" font-size="11" fill="#475569" text-anchor="middle">AC = 60 см</text>
  <text x="133" y="115" font-size="11" fill="#475569">BH=30</text>
</svg>
<div class="sol-ans">Ответ: $400$ см²</div>`
      },
    ]
};
