VARIANTS[1] = {
    label: "Вариант 1",
    tasks: [
      {
        text: `Какое из следующих чисел является натуральным:`,
        opts: [
          ["а", "$-1$"], ["б", "$0$"], ["в", "$1{,}65$"],
          ["г", "$36$"], ["д", "$\\dfrac{9}{50}$"],
        ],
        sol: `Натуральные числа — это 1, 2, 3, … (положительные целые).
<ul>
  <li>а) $-1$ — отрицательное;</li>
  <li>б) $0$ — нуль, не натуральное;</li>
  <li>в) $1{,}65$ — дробное;</li>
  <li>г) $36 = 6^2$ — натуральное ✓</li>
  <li>д) $\\dfrac{9}{50}$ — правильная дробь.</li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: г)&ensp;$36$</div>`
      },
      {
        text: `Результат упрощения выражения $5a^4 : a^{-15}$ имеет вид:`,
        opts: [
          ["а", "$5a^{-11}$"], ["б", "$5a^{19}$"], ["в", "$\\dfrac{5}{a^{19}}$"],
          ["г", "$5a^{11}$"],  ["д", "$\\dfrac{a^{11}}{5}$"],
        ],
        sol: `При делении степеней с одним основанием показатели <em>вычитаются</em>:
$$5a^4 : a^{-15} = 5\\cdot a^{4-(-15)} = 5\\cdot a^{4+15} = 5a^{19}$$
<div class="sol-ans">Ответ: б)&ensp;$5a^{19}$</div>`
      },
      {
        text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
        opts: [
          ["а", "вертикальные углы равны между собой;"],
          ["б", "если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный;"],
          ["в", "противоположные стороны параллелограмма равны;"],
          ["г", "диагонали любого ромба равны между собой?"],
        ],
        sol: `<ul>
  <li>а) Вертикальные углы равны — <b>верно</b></li>
  <li>б) Два равных угла ⟹ равнобедренный — <b>верно</b></li>
  <li>в) Противоположные стороны параллелограмма равны — <b>верно</b></li>
  <li>г) Диагонали любого ромба равны — <b style="color:#dc2626">НЕВЕРНО</b></li>
</ul>
В ромбе диагонали взаимно перпендикулярны и делятся пополам, но равны по длине лишь у <b>квадрата</b> — частного случая ромба.
<div class="sol-ans">Ответ: г)</div>`
      },
      {
        text: `Определите наименьшее целое решение совокупности неравенств
               $$\\left[\\begin{array}{l} x^2 - 3x \\leq 0, \\\\[4pt] x > -2{,}5. \\end{array}\\right.$$`,
        sol: `Совокупность «$[\\,$» означает объединение: решение удовлетворяет <em>хотя бы одному</em> из неравенств.
<br><b>Неравенство 1:</b> $x^2-3x\\leq 0\\Rightarrow x(x-3)\\leq 0\\Rightarrow 0\\leq x\\leq 3$
<br><b>Неравенство 2:</b> $x>-2{,}5$
<br>Объединение: $(0\\leq x\\leq 3)\\cup(x>-2{,}5) = x>-2{,}5$
<svg viewBox="0 0 268 50" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:268px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0"><defs><marker id="arr4sol" viewBox="0 0 7 6" refX="7" refY="3" markerWidth="5" markerHeight="5" orient="auto"><path d="M0,0.5 L7,3 L0,5.5Z" fill="#555"/></marker></defs><line x1="8" y1="25" x2="256" y2="25" stroke="#bbb" stroke-width="1.2" marker-end="url(#arr4sol)"/><line x1="50" y1="21" x2="50" y2="29" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="50" y="42" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">−2</text><line x1="85" y1="21" x2="85" y2="29" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="85" y="42" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">−1</text><line x1="120" y1="21" x2="120" y2="29" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="120" y="42" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">0</text><line x1="155" y1="21" x2="155" y2="29" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="155" y="42" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">1</text><line x1="190" y1="21" x2="190" y2="29" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="190" y="42" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">2</text><line x1="225" y1="21" x2="225" y2="29" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="225" y="42" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">3</text><line x1="32" y1="25" x2="250" y2="25" stroke="#2563eb" stroke-width="4" stroke-linecap="round" opacity="0.55"/><circle cx="32" cy="25" r="5" fill="white" stroke="#2563eb" stroke-width="2"/><text x="32" y="14" font-size="9" text-anchor="middle" fill="#2563eb">−2,5</text></svg>Наименьшее целое число, большее $-2{,}5$: это $-2$.
<div class="sol-ans">Ответ: $-2$</div>`
      },
      {
        text: `Сократите дробь $\\dfrac{x^2 - 12x + 35}{x^2 - 10x + 25}$
               и найдите значение полученной дроби при $x = 3$.`,
        sol: `<b>Теорема Виета (обратная):</b> если $x_1+x_2=-b/a$ и $x_1\\cdot x_2=c/a$, то $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$.
<br><b>Формула квадрата суммы:</b> $(x\\pm a)^2 = x^2\\pm 2ax+a^2$.
<br><br>
<b>Шаг 1.</b> Разложим <em>числитель</em> на множители. Ищем такие $x_1$ и $x_2$, что $x_1+x_2=12$ и $x_1\\cdot x_2=35$.
<br>Подходят $x_1=5$ и $x_2=7$, поэтому:
$$x^2-12x+35 = (x-5)(x-7)$$
<b>Шаг 2.</b> Разложим <em>знаменатель</em>. Замечаем, что это полный квадрат:
$$x^2-10x+25 = x^2-2\\cdot 5\\cdot x+5^2 = (x-5)^2$$
<b>Шаг 3.</b> Сокращаем общий множитель $(x-5)$ (так как $x\\neq 5$, иначе знаменатель обращается в нуль):
$$\\dfrac{(x-5)(x-7)}{(x-5)^2} = \\dfrac{x-7}{x-5}$$
<b>Шаг 4.</b> Подставляем $x=3$ в полученную дробь:
$$\\dfrac{3-7}{3-5} = \\dfrac{-4}{-2} = 2$$
<div class="sol-ans">Ответ: $2$</div>`
      },
      {
        text: `Диагонали параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$, $BC = 10$ см.
               Высота, проведённая из вершины $C$ к стороне $AD$, равна $6$ см.
               Найдите площадь треугольника $AOB$.`,
        sol: `<b>Свойства параллелограмма:</b> противоположные стороны равны; диагонали точкой пересечения делятся пополам и разбивают параллелограмм на <b>4 равновеликих треугольника</b>.
<br><b>Формула площади параллелограмма:</b> $S = a\\cdot h$, где $a$ — сторона, $h$ — высота к ней.
<br><br>
<b>Шаг 1.</b> Так как $BC$ и $AD$ — противоположные стороны параллелограмма, то $AD = BC = 10$ см.
<br><b>Шаг 2.</b> Высота из $C$ к $AD$ равна $6$ см, поскольку $BC\\parallel AD$, значит высота от стороны $BC$ к $AD$ — это расстояние между параллельными прямыми.
<br><b>Шаг 3.</b> Находим площадь всего параллелограмма:
$$S_{ABCD} = AD\\cdot h = 10\\cdot 6 = 60\\text{ см}^2$$
<b>Шаг 4.</b> Точка $O$ — пересечение диагоналей. Диагонали разбивают параллелограмм на четыре треугольника, у которых равные площади (каждая равна $S/4$):
<svg viewBox="0 0 250 145" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:250px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0"><polygon points="20,118 205,118 222,28 37,28" fill="rgba(37,99,235,0.06)" stroke="#475569" stroke-width="1.8"/><polygon points="20,118 205,118 115,73" fill="rgba(37,99,235,0.25)" stroke="none"/><line x1="20" y1="118" x2="222" y2="28" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="5,3"/><line x1="205" y1="118" x2="37" y2="28" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="5,3"/><circle cx="115" cy="73" r="3" fill="#1e293b"/><text x="4" y="123" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">A</text><text x="208" y="123" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">B</text><text x="224" y="24" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">C</text><text x="26" y="24" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">D</text><text x="120" y="70" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">O</text><text x="110" y="108" font-size="11" fill="#1d4ed8" text-anchor="middle">S/4</text></svg>
<b>Шаг 5.</b> Поэтому:
$$S_{AOB} = \\dfrac{S_{ABCD}}{4} = \\dfrac{60}{4} = 15\\text{ см}^2$$
<div class="sol-ans">Ответ: $15$ см²</div>`
      },
      {
        text: `Отчисления в бюджет по фиксированной ставке с доходов физических лиц
               в Беларуси составляют $13\\%$ от заработной платы. После удержания налога
               на доходы сотрудник предприятия получил $1305$ р.
               Сколько рублей составляет заработная плата сотрудника без вычета налога?`,
        sol: `<b>Метод уравнения для задачи на проценты:</b> неизвестную величину обозначаем переменной, выражаем её через известные данные и составляем уравнение.
<br><b>Свойство:</b> если из величины удерживают $p\\%$, то остаётся $(100-p)\\%$.
<br><br>
<b>Шаг 1.</b> Обозначим за $x$ заработную плату до удержания налога — это и есть то, что мы ищем.
<br><b>Шаг 2.</b> По условию налог составляет $13\\%$ от $x$. Значит, на руки сотрудник получает оставшиеся $100\\%-13\\%=87\\%$ от $x$:
$$0{,}87\\cdot x = 1305$$
<b>Шаг 3.</b> Решаем уравнение — делим обе части на $0{,}87$:
$$x = \\dfrac{1305}{0{,}87} = \\dfrac{1305\\cdot 100}{87} = \\dfrac{130500}{87}$$
<b>Шаг 4.</b> Выполняем деление: $130500:87 = 1500$.
$$x = 1500\\text{ р.}$$
<b>Проверка:</b> $13\\%$ от $1500$ — это $0{,}13\\cdot 1500=195$ р.; на руки $1500-195=1305$ р. ✓
<div class="sol-ans">Ответ: $1500$ р.</div>`
      },
      {
        text: `Найдите значение выражения $x_1 \\cdot x_2 + y_1 \\cdot y_2$,
               где $(x_1;\\, y_1)$, $(x_2;\\, y_2)$ — решения системы уравнений
               $$\\begin{cases} x^2 - y = 21, \\\\[4pt] x + y = 9. \\end{cases}$$`,
        sol: `<b>Метод подстановки</b> для системы уравнений: выражаем одну переменную через другую и подставляем.
<br><b>Теорема Виета (обратная):</b> для $x^2+px+q=0$ корни $x_1,x_2$ удовлетворяют $x_1+x_2=-p$, $x_1\\cdot x_2=q$.
<br><br>
<b>Шаг 1.</b> Из второго уравнения системы выразим $y$ через $x$:
$$y = 9 - x$$
<b>Шаг 2.</b> Подставим это выражение в первое уравнение:
$$x^2 - (9-x) = 21$$
$$x^2 + x - 30 = 0$$
<b>Шаг 3.</b> Решаем квадратное уравнение. По теореме Виета: $x_1+x_2=-1$, $x_1\\cdot x_2=-30$. Подходят $-6$ и $5$:
$$(x+6)(x-5)=0 \\implies x_1=-6,\\; x_2=5$$
<b>Шаг 4.</b> Для каждого корня находим соответствующий $y$ по формуле $y=9-x$:
<table style="border-collapse:collapse;margin:8px 0"><tr><td style="padding:2px 14px 2px 0"><b>$x_1=-6$:</b></td><td>$y_1=9-(-6)=15$</td></tr><tr><td style="padding:2px 14px 2px 0"><b>$x_2=5$:</b></td><td>$y_2=9-5=4$</td></tr></table>
<b>Шаг 5.</b> Вычисляем нужное выражение:
$$x_1 x_2 + y_1 y_2 = (-6)\\cdot 5 + 15\\cdot 4 = -30+60 = 30$$
<div class="sol-ans">Ответ: $30$</div>`
      },
      {
        text: `Функция $y = f(x)$ нечётная и для $x > 0$ задаётся формулой
               $f(x) = -x^2 - \\dfrac{1}{x}$.
               Найдите значение выражения $f(-2) - f\\!\\left(-\\dfrac{1}{2}\\right)$.`,
        sol: `<b>Свойство нечётной функции:</b> $f(-x)=-f(x)$ для всех $x$ из области определения.
<br><b>Идея решения:</b> формула $f(x)=-x^2-\\dfrac{1}{x}$ дана только при $x\\gt 0$. Чтобы найти значения функции в отрицательных точках, используем свойство нечётности: $f(-a)=-f(a)$.
<br><br>
<b>Шаг 1.</b> Вычисляем $f(2)$ по данной формуле (так как $2\\gt 0$):
$$f(2) = -2^2 - \\dfrac{1}{2} = -4 - \\dfrac{1}{2} = -\\dfrac{9}{2}$$
<b>Шаг 2.</b> Так как функция нечётная, то $f(-2) = -f(2)$:
$$f(-2) = -\\left(-\\dfrac{9}{2}\\right) = \\dfrac{9}{2}$$
<b>Шаг 3.</b> Вычисляем $f\\!\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)$ по той же формуле (так как $\\dfrac{1}{2}\\gt 0$):
$$f\\!\\left(\\dfrac{1}{2}\\right) = -\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^2 - \\dfrac{1}{1/2} = -\\dfrac{1}{4} - 2 = -\\dfrac{9}{4}$$
<b>Шаг 4.</b> По свойству нечётности:
$$f\\!\\left(-\\dfrac{1}{2}\\right) = -f\\!\\left(\\dfrac{1}{2}\\right) = -\\left(-\\dfrac{9}{4}\\right) = \\dfrac{9}{4}$$
<b>Шаг 5.</b> Находим требуемую разность:
$$f(-2) - f\\!\\left(-\\dfrac{1}{2}\\right) = \\dfrac{9}{2} - \\dfrac{9}{4} = \\dfrac{18}{4} - \\dfrac{9}{4} = \\dfrac{9}{4}$$
<div class="sol-ans">Ответ: $\\dfrac{9}{4}$</div>`
      },
      {
        text: `В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности
               делит гипотенузу на отрезки длиной $5$ см и $3$ см.
               Найдите площадь треугольника.`,
        sol: `<b>Обозначения.</b> Пусть прямой угол в точке $C$, катеты $CA=b$, $CB=a$, гипотенуза $AB=c$. Вписанная окружность имеет радиус $r$ и касается гипотенузы в точке $P$: $AP=5$, $PB=3$.
<svg viewBox="0 0 200 180" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:200px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
  <path d="M20,158 L32,158 L32,146" fill="none" stroke="#475569" stroke-width="1.3"/>
  <line x1="20" y1="18" x2="20" y2="158" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
  <line x1="20" y1="158" x2="115" y2="158" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
  <line x1="115" y1="158" x2="20" y2="18" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
  <circle cx="51" cy="127" r="31" fill="rgba(37,99,235,0.09)" stroke="#2563eb" stroke-width="1.5"/>
  <line x1="51" y1="127" x2="20" y2="127" stroke="#2563eb" stroke-width="1" stroke-dasharray="3,2"/>
  <line x1="51" y1="127" x2="51" y2="158" stroke="#2563eb" stroke-width="1" stroke-dasharray="3,2"/>
  <circle cx="20" cy="127" r="2.5" fill="#2563eb"/>
  <circle cx="51" cy="158" r="2.5" fill="#2563eb"/>
  <circle cx="77" cy="109" r="2.5" fill="#dc2626"/>
  <text x="6" y="14" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
  <text x="117" y="168" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
  <text x="5" y="168" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
  <text x="79" y="106" font-size="11" font-family="serif" font-style="italic" fill="#dc2626">P</text>
  <text x="7" y="95" font-size="10" fill="#2563eb">r</text>
  <text x="33" y="170" font-size="10" fill="#2563eb">r</text>
  <text x="40" y="88" font-size="11" fill="#c2410c" font-weight="bold">5</text>
  <text x="96" y="140" font-size="11" fill="#c2410c" font-weight="bold">3</text>
  <text x="7" y="57" font-size="10" fill="#475569">5</text>
  <text x="38" y="168" font-size="10" fill="#475569">r</text>
  <text x="7" y="147" font-size="10" fill="#475569">r</text>
</svg>
<b>Шаг 1. Свойство касательных.</b>
<br>Из каждой вершины отрезки до двух точек касания равны. Поэтому:
<ul>
<li>Из $A$: касательная к гипотенузе $AP=5$, касательная к катету $CA$ тоже $=5$.</li>
<li>Из $B$: касательная к гипотенузе $BP=3$, касательная к катету $CB$ тоже $=3$.</li>
<li>Из $C$ (прямой угол): обе касательные равны $r$.</li>
</ul>
Значит:
$$AB = 5+3 = 8\\text{ см}, \\quad CA = 5+r, \\quad CB = 3+r$$
<b>Шаг 2. Теорема Пифагора.</b>
$$CA^2 + CB^2 = AB^2$$
$$(5+r)^2 + (3+r)^2 = 8^2$$
Раскрываем скобки:
$$(25+10r+r^2)+(9+6r+r^2)=64$$
$$2r^2+16r+34=64$$
$$2r^2+16r-30=0$$
$$r^2+8r-15=0 \\quad (*)$$
<b>Шаг 3. Площадь без нахождения $r$.</b>
<br>Площадь прямоугольного треугольника:
$$S=\\dfrac{1}{2}\\cdot CA\\cdot CB = \\dfrac{1}{2}(5+r)(3+r)$$
Раскрываем скобки:
$$S=\\dfrac{1}{2}\\bigl(15+8r+r^2\\bigr)$$
Из уравнения $(*)$: $r^2+8r=15$. Подставляем:
$$S=\\dfrac{1}{2}\\bigl(15+15\\bigr)=\\dfrac{1}{2}\\cdot30=15\\text{ см}^2$$
<div class="sol-ans">Ответ: $15$ см²</div>`
      },
    ]
};
