VARIANTS[79] = {
    label: "Вариант 79",
    tasks: [
      {
        text: `Определите наибольшее из значений числовых выражений:`,
        opts: [
          ["а", "$2^2$"], ["б", "$3^{-1}$"], ["в", "$(-2)^{-1}$"],
          ["г", "$(-4)^2$"], ["д", "$\\left(\\dfrac{1}{8}\\right)^{-1}$"],
        ],
        sol: `Вычислим каждое: а) $2^2=4$; б) $3^{-1}=\\dfrac{1}{3}$; в) $(-2)^{-1}=-\\dfrac{1}{2}$; г) $(-4)^2=16$; д) $\\left(\\dfrac{1}{8}\\right)^{-1}=8$.
<br>Наибольшее: $16$.
<div class="sol-ans">Ответ: г)&ensp;$(-4)^2 = 16$</div>`
      },
      {
        text: `Наименьшим целым решением неравенства $2x > -5$ является:`,
        opts: [
          ["а", "$-3$"], ["б", "$-2{,}5$"], ["в", "$-2$"], ["г", "$-1$"], ["д", "$0$"],
        ],
        sol: `$2x > -5 \\implies x > -2{,}5$.
<br>Наименьшее целое, строго большее $-2{,}5$: $x=-2$.
<div class="sol-ans">Ответ: в)&ensp;$-2$</div>`
      },
      {
        text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
        opts: [
          ["а", "площадь треугольника можно найти по формуле $S = \\dfrac{1}{2} a h_a$;"],
          ["б", "диагонали равнобедренной трапеции равны между собой;"],
          ["в", "$\\operatorname{ctg} 45^{\\circ} = 1$;"],
          ["г", "окружность, описанная около четырёхугольника, касается всех его сторон?"],
        ],
        sol: `<ul>
<li>а) $S=\\tfrac{1}{2}ah_a$ — <b>верно</b></li>
<li>б) Диагонали равнобедренной трапеции равны — <b>верно</b></li>
<li>в) $\\operatorname{ctg}45°=1$ — <b>верно</b></li>
<li>г) «Описанная окружность <em>касается</em> всех сторон» — <b style="color:#dc2626">НЕВЕРНО</b>. Описанная окружность проходит через вершины (а касается сторон вписанная).</li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: г)</div>`
      },
      {
        text: `Упростите выражение $\\dfrac{x^2-a^2}{x+a} - (3x-a)$
               и найдите его значение при $x = 12$.`,
        sol: `Раскладываем числитель по формуле разности квадратов ($x\\neq -a$):
$$\\dfrac{x^2-a^2}{x+a} - (3x-a) = \\dfrac{(x-a)(x+a)}{x+a} - (3x-a) = (x-a)-(3x-a)$$
$$= x - a - 3x + a = -2x$$
При $x=12$: $-2\\cdot12 = -24$.
<div class="sol-ans">Ответ: $-2x$;&ensp; при $x=12$ значение равно $-24$</div>`
      },
      {
        text: `При каком значении $x$ числа $x+1$, $2x-3$, $6x+6$
               являются последовательными членами арифметической прогрессии?`,
        sol: `<b>Характеристическое свойство арифметической прогрессии:</b> каждый член (начиная со второго) равен среднему арифметическому соседних. Если $a$, $b$, $c$ — три подряд идущих члена АП, то $b = \\dfrac{a+c}{2}$, или равносильно $2b = a + c$.
<br><b>Шаг 1.</b> Применим свойство к трём данным числам $a = x+1$, $b = 2x-3$, $c = 6x+6$:
$$2(2x - 3) = (x + 1) + (6x + 6).$$
<b>Шаг 2.</b> Раскроем скобки и приведём подобные:
$$4x - 6 = 7x + 7.$$
<b>Шаг 3.</b> Перенесём $x$-ы в одну сторону, числа в другую:
$$4x - 7x = 7 + 6,$$
$$-3x = 13.$$
<b>Шаг 4.</b> Разделим на $-3$:
$$x = -\\dfrac{13}{3}.$$
<b>Проверка.</b> При $x = -\\dfrac{13}{3}$ члены прогрессии: $x+1 = -\\dfrac{10}{3}$, $2x-3 = -\\dfrac{35}{3}$, $6x+6 = -\\dfrac{60}{3} = -20$. Разности: $-\\dfrac{35}{3} - \\left(-\\dfrac{10}{3}\\right) = -\\dfrac{25}{3}$ и $-\\dfrac{60}{3} - \\left(-\\dfrac{35}{3}\\right) = -\\dfrac{25}{3}$ — разности равны, прогрессия ✓.
<div class="sol-ans">Ответ: $x = -\\dfrac{13}{3}$</div>`
      },
      {
        text: `Найдите площадь треугольника $ABC$, если размеры одной клетки $1$ см $\\times$ $1$ см.`,
        figure: `<img src="/img/exam9/v79_t6.png" class="task-fig" />`,
        sol: `<b>Формула площади треугольника по координатам вершин</b> (формула «шнурков»):
$$S = \\dfrac{1}{2}\\bigl|x_{A}(y_{B}-y_{C}) + x_{B}(y_{C}-y_{A}) + x_{C}(y_{A}-y_{B})\\bigr|.$$
<b>Альтернатива — метод «описанного прямоугольника»:</b> описать вокруг треугольника прямоугольник со сторонами по линиям сетки, его площадь подсчитать по клеткам, а затем вычесть площади трёх прямоугольных треугольников по углам.
<br><b>Шаг 1.</b> По рисунку определить координаты вершин $A$, $B$, $C$ в клетках.
<br><b>Шаг 2.</b> Подставить координаты в формулу или применить метод описанного прямоугольника.
<br><b>Шаг 3.</b> Получить ответ в см² (так как одна клетка — $1$ см $\\times$ $1$ см, площадь клетки $= 1$ см²).
<div class="sol-ans">Ответ: определяется по рисунку</div>`
      },
      {
        text: `Из всех учащихся, выполнявших контрольную работу, на «$10$» выполнили $2$ учащихся,
               на «$9$» — $3$, на «$8$» — $5$, на «$7$» — $6$, на «$6$» — $3$, на «$5$» — $1$.
               Какой процент всех учащихся составляют учащиеся, получившие оценки не меньше «$7$»?`,
        sol: `<b>Формула вычисления процентного отношения:</b> чтобы найти, какой процент составляет число $a$ от числа $b$, надо отношение $\\dfrac{a}{b}$ умножить на $100\\%$.
<br><b>Шаг 1. Найдём общее число учащихся,</b> сложив количество получивших каждую оценку:
$$N = 2 + 3 + 5 + 6 + 3 + 1 = 20.$$
<b>Шаг 2. Найдём число учащихся с оценками не меньше «$7$».</b> Это оценки $7$, $8$, $9$, $10$ — соответственно $6$, $5$, $3$, $2$ учащихся:
$$N_{\\geq 7} = 6 + 5 + 3 + 2 = 16.$$
<b>Шаг 3. Найдём процентное отношение:</b>
$$\\dfrac{N_{\\geq 7}}{N}\\cdot 100\\% = \\dfrac{16}{20}\\cdot 100\\% = 0{,}8\\cdot 100\\% = 80\\%.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $80\\%$</div>`
      },
      {
        text: `Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения параболы
               $y = 2x^2 + 3$ и прямой $y = 2x + 7$.`,
        sol: `<b>Метод поиска точек пересечения графиков:</b> в точках пересечения значения функций совпадают, поэтому приравниваем правые части и получаем уравнение относительно $x$.
<br><b>Теорема Виета (обратная):</b> если $x_{1}+x_{2}=-p$ и $x_{1}\\cdot x_{2}=q$, то $x_{1}$ и $x_{2}$ — корни уравнения $x^{2}+px+q=0$.
<br><b>Шаг 1.</b> Приравняем правые части уравнений:
$$2x^2 + 3 = 2x + 7.$$
<b>Шаг 2.</b> Перенесём всё в левую часть:
$$2x^2 - 2x - 4 = 0.$$
Разделим обе части на $2$:
$$x^2 - x - 2 = 0.$$
<b>Шаг 3.</b> По теореме Виета ищем два числа, у которых сумма $1$, а произведение $-2$. Подходят $2$ и $-1$. Значит, $(x-2)(x+1) = 0$, откуда $x_{1} = 2$, $x_{2} = -1$.
<br><b>Шаг 4. Найдём ординаты</b> точек пересечения, подставив корни в более простое уравнение прямой $y = 2x + 7$:
$$\\text{при } x = 2:\\;\\; y = 2\\cdot 2 + 7 = 11;$$
$$\\text{при } x = -1:\\;\\; y = 2\\cdot(-1) + 7 = 5.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $(2;\\,11)$ и $(-1;\\,5)$</div>`
      },
      {
        text: `В прямоугольнике $ABCD$ $AB = 3$ см, $AD = 4$ см. В треугольники $ABC$ и $ADC$
               вписаны окружности, которые касаются диагонали $AC$ в точках $M$ и $K$.
               Найдите длину отрезка $MK$.`,
        figure: `<img src="/img/exam9/v79_t9.png" class="task-fig" />`,
        sol: `Диагональ $AC = \\sqrt{AB^2+BC^2} = \\sqrt{9+16} = 5$ см.
<br>Оба треугольника $ABC$ и $ACD$ прямоугольные с катетами $3$ и $4$, гипотенузой $5$.
<svg viewBox="0 0 165 175" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:320px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
  <!-- Масштаб 26px/см. A=(25,143), B=(103,143), C=(103,39), D=(25,39) -->
  <!-- AB=78px=3см, BC=104px=4см, AC=130px=5см -->
  <rect x="25" y="39" width="78" height="104" fill="rgba(37,99,235,0.05)" stroke="#334155" stroke-width="2"/>
  <!-- Диагональ AC -->
  <line x1="25" y1="143" x2="103" y2="39" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.4" stroke-dasharray="6,3"/>
  <!-- Прямые углы при B=(103,143) и D=(25,39) -->
  <polygon points="103,143 95,143 95,135 103,135" fill="none" stroke="#334155" stroke-width="1.3"/>
  <polygon points="25,39 33,39 33,47 25,47" fill="none" stroke="#334155" stroke-width="1.3"/>
  <!-- Вписанная окружность в △ABC: центр (77,117), r=26 -->
  <circle cx="77" cy="117" r="26" fill="rgba(220,38,38,0.09)" stroke="#dc2626" stroke-width="1.8"/>
  <!-- Вписанная окружность в △ACD: центр (51,65), r=26 -->
  <circle cx="51" cy="65" r="26" fill="rgba(22,163,74,0.09)" stroke="#16a34a" stroke-width="1.8"/>
  <!-- Радиусы от центров к точкам касания M и K (пунктир) -->
  <line x1="77" y1="117" x2="56" y2="101" stroke="#dc2626" stroke-width="1" stroke-dasharray="3,2"/>
  <line x1="51" y1="65" x2="72" y2="81" stroke="#16a34a" stroke-width="1" stroke-dasharray="3,2"/>
  <!-- Точки касания: M=(56,101), K=(72,81) -->
  <circle cx="56" cy="101" r="4.5" fill="#dc2626" stroke="white" stroke-width="1.5"/>
  <circle cx="72" cy="81" r="4.5" fill="#16a34a" stroke="white" stroke-width="1.5"/>
  <!-- Отрезок MK — жирный фиолетовый -->
  <line x1="56" y1="101" x2="72" y2="81" stroke="#7c3aed" stroke-width="3.5"/>
  <!-- Метки вершин -->
  <text x="9" y="150" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
  <text x="107" y="150" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
  <text x="107" y="36" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
  <text x="9" y="36" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic">D</text>
  <!-- Метки M и K -->
  <text x="40" y="100" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic" fill="#dc2626">M</text>
  <text x="76" y="78" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic" fill="#16a34a">K</text>
  <!-- Метки на диагонали: A--2--M--1--K--2--C -->
  <text x="32" y="128" font-size="11" fill="#475569">2</text>
  <text x="60" y="93" font-size="12" fill="#7c3aed" font-weight="bold">1</text>
  <text x="79" y="65" font-size="11" fill="#475569">2</text>
  <!-- Стороны прямоугольника -->
  <text x="55" y="160" font-size="11" fill="#334155" text-anchor="middle">AB = 3</text>
  <text x="116" y="95" font-size="11" fill="#334155">BC = 4</text>
  <!-- Метка AC=5 -->
  <text x="53" y="78" font-size="10" fill="#475569">AC=5</text>
</svg>
<b>Шаг 1.</b> Радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника:
$$r = \\dfrac{a+b-c}{2} = \\dfrac{3+4-5}{2} = 1\\text{ см}$$
<b>Шаг 2.</b> Точка касания $M$ на $AC$ в $\\triangle ABC$.
<br>Касательная из $A$: $s - BC = \\dfrac{3+4+5}{2} - 4 = 2$. Значит $AM = 2$ см.
<br><b>Шаг 3.</b> Точка касания $K$ на $AC$ в $\\triangle ACD$.
<br>Касательная из $A$: $s - CD = \\dfrac{4+3+5}{2} - 3 = 3$. Значит $AK = 3$ см.
$$MK = AK - AM = 3 - 2 = 1\\text{ см}$$
<div class="sol-ans">Ответ: $MK = 1$ см</div>`
      },
      {
        text: `Упростите выражение $\\dfrac{|x-2| + |x+4| - |x|}{|x+2|}$ при $x < -4$.`,
        sol: `<b>Определение модуля:</b> $|a| = a$ при $a \\geq 0$ и $|a| = -a$ при $a \\lt 0$.
<br><b>Метод раскрытия модулей:</b> определяем знак подмодульного выражения при заданном условии на $x$, после чего знак модуля убираем (если выражение отрицательно — с противоположным знаком).
<br><b>Шаг 1. Определим знаки подмодульных выражений при $x \\lt -4$.</b> Так как $x \\lt -4$, то:
<ul>
<li>$x - 2 \\lt -4 - 2 = -6 \\lt 0$, значит $|x-2| = -(x-2) = 2 - x$;</li>
<li>$x + 4 \\lt 0$ (так как $x \\lt -4$), значит $|x+4| = -(x+4) = -x - 4$;</li>
<li>$x \\lt -4 \\lt 0$, значит $|x| = -x$;</li>
<li>$x + 2 \\lt -4 + 2 = -2 \\lt 0$, значит $|x+2| = -(x+2) = -x - 2$.</li>
</ul>
<b>Шаг 2. Упростим числитель,</b> подставив раскрытые модули:
$$|x-2| + |x+4| - |x| = (2-x) + (-x-4) - (-x).$$
Раскроем скобки (минус перед $(-x)$ меняет знак):
$$= 2 - x - x - 4 + x = -2 - x = -(x+2).$$
<b>Шаг 3. Запишем знаменатель:</b> $|x+2| = -(x+2)$.
<br><b>Шаг 4. Сократим дробь.</b> При $x \\lt -4$ значение $x + 2 \\neq 0$, поэтому сокращение допустимо:
$$\\dfrac{-(x+2)}{-(x+2)} = 1.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $1$</div>`
      },
    ]
};
