VARIANTS[69] = {
    label: "Вариант 69",
    tasks: [
      {
        text: `Определите, какое из данных равенств является верным:`,
        opts: [
          ["а", "$3(x-y) = 3x-y$"], ["б", "$3(x-y) = x-3y$"], ["в", "$3(x-y) = 3x-3y$"],
          ["г", "$3(x-y) = 3y-3x$"], ["д", "$3(x-y) = 3x+3y$"],
        ],
        sol: `По <b>распределительному закону</b> умножения:
$$3(x-y) = 3\\cdot x - 3\\cdot y = 3x-3y$$
<ul>
  <li>а) $3x-y$ — вынесли тройку только из первого слагаемого — <b style="color:#dc2626">неверно</b></li>
  <li>б) $x-3y$ — вынесли тройку только из второго слагаемого — <b style="color:#dc2626">неверно</b></li>
  <li>в) $3x-3y$ — <b>верно</b> ✓</li>
  <li>г) $3y-3x$ — знак изменён — <b style="color:#dc2626">неверно</b></li>
  <li>д) $3x+3y$ — знак минус заменён на плюс — <b style="color:#dc2626">неверно</b></li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: в)</div>`
      },
      {
        text: `$30\\%$ от числа $120$ равны:`,
        opts: [
          ["а", "$3{,}6$"], ["б", "$360$"], ["в", "$36$"], ["г", "$150$"], ["д", "$400$"],
        ],
        sol: `$$120 \\cdot 0{,}3 = 36$$
<div class="sol-ans">Ответ: в)&ensp;$36$</div>`
      },
      {
        text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
        opts: [
          ["а", "медианы треугольника пересекаются в одной точке;"],
          ["б", "радиус вписанной в треугольник окружности можно найти по формуле $r = S/p$;"],
          ["в", "в треугольнике против большей стороны лежит больший угол;"],
          ["г", "в любой параллелограмм можно вписать окружность?"],
        ],
        sol: `<ul>
  <li>а) Медианы треугольника пересекаются в одной точке — <b>верно</b></li>
  <li>б) $r = S/p$ (где $p$ — полупериметр) — <b>верно</b></li>
  <li>в) Против большей стороны лежит больший угол — <b>верно</b></li>
  <li>г) В любой параллелограмм можно вписать окружность — <b style="color:#dc2626">НЕВЕРНО</b></li>
</ul>
Для вписанной окружности нужно: $AB+CD = BC+AD$. В параллелограмме $AB=CD$ и $BC=AD$, поэтому условие даёт $AB=BC$ — это <b>ромб</b>. Обычный параллелограмм (не ромб) вписанной окружности не имеет.
<div class="sol-ans">Ответ: г)</div>`
      },
      {
        text: `Найдите все целые решения неравенства $-23 \\leq 10x \\leq 13$.`,
        sol: `Делим все части на $10$:
$$-2{,}3 \\leq x \\leq 1{,}3$$
Целые числа на отрезке $[-2{,}3;\\; 1{,}3]$: это $-2,\\; -1,\\; 0,\\; 1$.
<div class="sol-ans">Ответ: $-2,\\; -1,\\; 0,\\; 1$</div>`
      },
      {
        text: `Найдите четвёртый член геометрической прогрессии, если её первый член равен $5$,
               а знаменатель прогрессии равен $2$.`,
        sol: `<b>Формула $n$-го члена геометрической прогрессии:</b> $a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}$, где $a_1$ — первый член, $q$ — знаменатель прогрессии.
<br><b>Шаг 1.</b> По условию $a_1 = 5$, $q = 2$, нужно найти $a_4$. Подставляем $n = 4$:
$$a_4 = a_1 \\cdot q^{4-1} = 5 \\cdot 2^{3}.$$
<b>Шаг 2.</b> Вычислим $2^3 = 8$ и подставим:
$$a_4 = 5 \\cdot 8 = 40.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $40$</div>`
      },
      {
        text: `Найдите синус угла $BAC$, изображённого на клетчатой бумаге.`,
        figure: `<img src="/img/exam9/v69_t6.png" class="task-fig" />`,
        sol: `<b>Определение синуса в прямоугольном треугольнике:</b> $\\sin\\alpha = \\dfrac{\\text{противолежащий катет}}{\\text{гипотенуза}}$.
<br><b>Теорема Пифагора:</b> для прямоугольного треугольника с катетами $a$, $b$ и гипотенузой $c$ верно $c^2 = a^2 + b^2$.
<br><b>Шаг 1.</b> По рисунку достроим прямоугольный треугольник так, чтобы $\\angle BAC$ стал острым углом этого треугольника, а катеты шли по линиям клеток.
<br><b>Шаг 2.</b> Посчитаем длины катетов по клеткам.
<br><b>Шаг 3.</b> По теореме Пифагора находим гипотенузу.
<br><b>Шаг 4.</b> Применяем формулу синуса: делим длину противолежащего катета на длину гипотенузы.
<div class="sol-ans">Ответ: определяется по рисунку</div>`
      },
      {
        text: `Решите уравнение $(x-4)^2 - (x+6)^2 = 30$.`,
        sol: `<b>Формулы сокращённого умножения</b> (квадрат разности и квадрат суммы):
<br>$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$,&ensp; $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
<br><b>Шаг 1.</b> Раскроем квадраты:
$$(x-4)^2 = x^2 - 8x + 16,$$
$$(x+6)^2 = x^2 + 12x + 36.$$
<b>Шаг 2.</b> Подставим в уравнение и аккуратно раскроем скобки (минус перед скобкой меняет знаки всех слагаемых):
$$(x^2 - 8x + 16) - (x^2 + 12x + 36) = 30,$$
$$x^2 - 8x + 16 - x^2 - 12x - 36 = 30.$$
<b>Шаг 3.</b> Приведём подобные слагаемые ($x^2 - x^2 = 0$, $-8x - 12x = -20x$, $16 - 36 = -20$):
$$-20x - 20 = 30.$$
<b>Шаг 4.</b> Перенесём $-20$ в правую часть, поменяв знак:
$$-20x = 50.$$
<b>Шаг 5.</b> Разделим обе части на $-20$ (знак меняется только когда делим неравенство, в уравнении знак сохраняется):
$$x = \\dfrac{50}{-20} = -2{,}5.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $x = -2{,}5$</div>`
      },
      {
        text: `Упростите выражение
               $\\dfrac{(2x^2+1)(4x^4+1)(16x^8+1)(2x^2-1)}{256x^{16}-1}$.`,
        sol: `<b>Формула разности квадратов:</b> $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, или, наоборот, $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.
<br><b>Шаг 1.</b> Воспользуемся переместительным свойством умножения и поставим $(2x^2-1)$ рядом с $(2x^2+1)$. Применим формулу разности квадратов:
$$(2x^2-1)(2x^2+1) = (2x^2)^2 - 1^2 = 4x^4 - 1.$$
<b>Шаг 2.</b> Теперь рядом с $(4x^4+1)$ стоит множитель $(4x^4-1)$. Снова применим формулу разности квадратов:
$$(4x^4-1)(4x^4+1) = (4x^4)^2 - 1 = 16x^8 - 1.$$
<b>Шаг 3.</b> Аналогично умножим на $(16x^8+1)$:
$$(16x^8-1)(16x^8+1) = (16x^8)^2 - 1 = 256x^{16} - 1.$$
<b>Шаг 4.</b> Получили, что числитель равен $256x^{16}-1$ — это в точности совпадает со знаменателем. Значит, дробь равна единице:
$$\\dfrac{256x^{16}-1}{256x^{16}-1} = 1.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $1$</div>`
      },
      {
        text: `Брат и сестра вышли одновременно из дома в тренажёрный зал, находящийся на расстоянии
               $1$ км $250$ м от дома. Дойдя до тренажёрного зала, брат вспомнил, что забыл абонемент,
               и с той же скоростью отправился домой. На каком расстоянии от тренажёрного зала
               брат встретит сестру, если скорость брата $5$ км/ч, а скорость сестры $3$ км/ч?`,
        sol: `Расстояние $d = 1{,}25$ км. Скорость брата $5$ км/ч, сестры $3$ км/ч.
<br><b>Шаг 1.</b> Время брата до зала: $t_1 = \\dfrac{1{,}25}{5} = 0{,}25$ ч.
<br><b>Шаг 2.</b> За это время сестра прошла $3 \\cdot 0{,}25 = 0{,}75$ км. До зала осталось: $1{,}25 - 0{,}75 = 0{,}5$ км.
<br><b>Шаг 3.</b> Брат выходит из зала навстречу. Скорость сближения $5 + 3 = 8$ км/ч. Время: $t_2 = \\dfrac{0{,}5}{8} = \\dfrac{1}{16}$ ч.
<br><b>Шаг 4.</b> Брат прошёл от зала: $5 \\cdot \\dfrac{1}{16} = \\dfrac{5}{16}$ км $= 312{,}5$ м.
<div class="sol-ans">Ответ: $312{,}5$ м от тренажёрного зала</div>`
      },
      {
        text: `В треугольнике $ABC$ медиана $AM$ перпендикулярна биссектрисе $BK$.
               Найдите длину стороны $AB$, если $AM = BK = 20$.`,
        sol: `<svg viewBox="0 0 220 225" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:300px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px auto">
  <!-- A=(110,60), B=(35,110), C=(185,210), M=(110,160), K=(135,110), P=(110,110). Масштаб 5 ед/px -->
  <polygon points="110,60 35,110 185,210" fill="rgba(37,99,235,0.06)" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
  <!-- Медиана AM (синяя) -->
  <line x1="110" y1="60" x2="110" y2="160" stroke="#2563eb" stroke-width="2.2"/>
  <!-- Биссектриса BK (красная) -->
  <line x1="35" y1="110" x2="135" y2="110" stroke="#dc2626" stroke-width="2.2"/>
  <!-- Прямой угол при P=(110,110) -->
  <polygon points="110,110 118,110 118,102 110,102" fill="rgba(0,0,0,0.08)" stroke="#334155" stroke-width="1.3"/>
  <!-- Точки -->
  <circle cx="110" cy="60" r="3.5" fill="#334155"/>
  <circle cx="35" cy="110" r="3.5" fill="#334155"/>
  <circle cx="185" cy="210" r="3.5" fill="#334155"/>
  <circle cx="110" cy="160" r="3.5" fill="#2563eb"/>
  <circle cx="135" cy="110" r="3.5" fill="#dc2626"/>
  <circle cx="110" cy="110" r="3" fill="#475569"/>
  <!-- Метки вершин -->
  <text x="113" y="55" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
  <text x="18" y="115" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
  <text x="188" y="218" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
  <text x="113" y="175" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic" fill="#2563eb">M</text>
  <text x="138" y="107" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic" fill="#dc2626">K</text>
  <text x="113" y="108" font-size="11" font-family="serif" font-style="italic" fill="#475569">P</text>
  <!-- Метки длин -->
  <text x="70" y="85" font-size="11" fill="#2563eb" font-weight="bold">AM=20</text>
  <text x="60" y="104" font-size="11" fill="#dc2626" font-weight="bold">BK=20</text>
  <!-- AP=10, PM=10, BP=15, PK=5 -->
  <text x="114" y="88" font-size="10" fill="#2563eb">10</text>
  <text x="114" y="140" font-size="10" fill="#2563eb">10</text>
  <text x="63" y="107" font-size="10" fill="#dc2626">15</text>
  <text x="120" y="107" font-size="10" fill="#dc2626">5</text>
</svg>
<b>Шаг 1. Ключевые отрезки.</b>
<br>Пусть $P$ — точка пересечения $AM$ и $BK$. Поскольку $AM\\perp BK$ и $AM=BK=20$, из свойств медианы и биссектрисы в таком треугольнике можно показать, что:
$$AP = PM = 10\\text{ (медиана делится пополам)}$$
$$BP = 15,\\quad PK = 5\\text{ (биссектриса делится в отношении 3:1)}$$
<b>Шаг 2. Теорема Пифагора в $\\triangle APB$.</b>
<br>$\\angle APB = 90°$ (медиана $\\perp$ биссектрисе), катеты $AP=10$ и $BP=15$:
$$AB = \\sqrt{AP^2 + BP^2} = \\sqrt{10^2 + 15^2} = \\sqrt{100 + 225} = \\sqrt{325} = 5\\sqrt{13}$$
<div class="sol-ans">Ответ: $AB = 5\\sqrt{13}$</div>`
      },
    ]
};
