VARIANTS[45] = {
    label: "Вариант 45",
    tasks: [
      {
        text: `Определите наименьшее натуральное число, принадлежащее промежутку
               $\\left(-\\dfrac{3}{4};\\; 5{,}6\\right)$:`,
        opts: [
          ["а", "$-1$"], ["б", "$0$"], ["в", "$1$"], ["г", "$2$"], ["д", "$5$"],
        ],
        sol: `Натуральные числа: $1, 2, 3, \\ldots$ Наименьшее из них, попадающее в промежуток $(-0{,}75;\\;5{,}6)$, — это $1$.
<div class="sol-ans">Ответ: в)&ensp;$1$</div>`
      },
      {
        text: `График обратной пропорциональности $y = \\dfrac{k}{x}$ проходит через точку
               $(-\\sqrt{3};\\; 4\\sqrt{3})$. Коэффициент $k$ равен:`,
        opts: [
          ["а", "$k = -\\sqrt{3}$"], ["б", "$k = 4\\sqrt{3}$"], ["в", "$k = -12$"],
          ["г", "$k = 4$"], ["д", "$k = 3$"],
        ],
        sol: `$k = x\\cdot y = (-\\sqrt{3})\\cdot4\\sqrt{3} = -4\\cdot3 = -12$
<div class="sol-ans">Ответ: в)&ensp;$k=-12$</div>`
      },
      {
        text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
        opts: [
          ["а", "диагонали ромба взаимно перпендикулярны;"],
          ["б", "если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого, то такие треугольники равны;"],
          ["в", "хорда окружности, проходящая через её центр, является диаметром;"],
          ["г", "боковые стороны равнобедренной трапеции равны между собой?"],
        ],
        sol: `<ul>
<li>а) Диагонали ромба перпендикулярны — <b>верно</b></li>
<li>б) «Две стороны равны ⟹ треугольники равны» — <b style="color:#dc2626">НЕВЕРНО</b>. Для равенства треугольников нужно ССС, СУС, УСУ или УУС. Два равных основания — недостаточно.</li>
<li>в) Хорда через центр = диаметр — <b>верно</b></li>
<li>г) Боковые стороны равнобедренной трапеции равны — <b>верно</b></li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: б)</div>`
      },
      {
        text: `Решите уравнение $3x^2 + x = 0$.
               В ответ запишите среднее арифметическое корней уравнения.`,
        sol: `$$x(3x+1)=0 \\implies x_1=0,\\quad x_2=-\\dfrac{1}{3}$$
Среднее арифметическое:
$$\\dfrac{x_1+x_2}{2}=\\dfrac{0+\\left(-\\dfrac{1}{3}\\right)}{2}=-\\dfrac{1}{6}$$
<div class="sol-ans">Ответ: $-\\dfrac{1}{6}$</div>`
      },
      {
        text: `$ABCD$ — прямоугольник, $O$ — точка пересечения его диагоналей.
               Угол $AOB$ равен $46^{\\circ}$. Найдите угол $ADB$.`,
        sol: `<svg viewBox="0 0 130 185" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:240px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px 0">
  <!-- AB=50, BC=120, BC/AB=2.4 → ∠AOB ≈ 46° -->
  <polygon points="40,165 90,165 90,45 40,45" fill="rgba(37,99,235,0.06)" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
  <line x1="40" y1="165" x2="90" y2="45" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="4,3"/>
  <line x1="90" y1="165" x2="40" y2="45" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="4,3"/>
  <path d="M 57 125 A 22 22 0 0 1 73 125" fill="rgba(220,38,38,0.12)" stroke="#dc2626" stroke-width="1.3"/>
  <path d="M 40 70 A 25 25 0 0 1 50 68" fill="rgba(22,163,74,0.12)" stroke="#16a34a" stroke-width="1.3"/>
  <circle cx="65" cy="105" r="3" fill="#334155"/>
  <text x="22" y="178" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
  <text x="93" y="178" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
  <text x="93" y="40" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
  <text x="22" y="40" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">D</text>
  <text x="68" y="103" font-size="11" font-family="serif" font-style="italic">O</text>
  <text x="56" y="143" font-size="11" fill="#dc2626" font-weight="bold">46°</text>
  <text x="52" y="78" font-size="11" fill="#16a34a" font-weight="bold">23°</text>
</svg>
В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам: $OA = OB = OC = OD$.
<br><b>Треугольник $AOB$ — равнобедренный</b> ($OA=OB$):
$$\\angle OAB = \\angle OBA = \\dfrac{180°-46°}{2} = 67°$$
<b>Углы при $O$:</b>&ensp;$A,O,C$ лежат на диагонали $AC$, поэтому $\\angle DOA = 180°-46° = 134°$.
<br><b>Треугольник $DOA$ — равнобедренный</b> ($OD=OA$):
$$\\angle ODA = \\dfrac{180°-134°}{2} = 23°$$
Так как $O$ лежит на отрезке $BD$, то $\\angle ADB = \\angle ODA = 23°$.
<div class="sol-ans">Ответ: $\\angle ADB = 23°$</div>`
      },
      {
        text: `Найдите значение выражения $14A$, если
               $A = (2\\sqrt{2} - 1)(\\sqrt{8} + 1) - 8 \\cdot \\dfrac{1}{7}$.`,
        sol: `<b>Формула разности квадратов:</b> $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.
<br><b>Шаг 1.</b> Упрощаем $\\sqrt{8}$, вынося полный квадрат из-под корня:
$$\\sqrt{8} = \\sqrt{4\\cdot 2} = \\sqrt{4}\\cdot\\sqrt{2} = 2\\sqrt{2}$$
Значит, первое произведение принимает вид $(2\\sqrt{2} - 1)(2\\sqrt{2} + 1)$.
<br><b>Шаг 2.</b> Применяем формулу разности квадратов (здесь $a = 2\\sqrt{2}$, $b = 1$):
$$(2\\sqrt{2} - 1)(2\\sqrt{2} + 1) = (2\\sqrt{2})^2 - 1^2 = 4\\cdot 2 - 1 = 8 - 1 = 7$$
<b>Шаг 3.</b> Подставляем в выражение для $A$:
$$A = 7 - 8\\cdot\\dfrac{1}{7} = 7 - \\dfrac{8}{7} = \\dfrac{7\\cdot 7 - 8}{7} = \\dfrac{49 - 8}{7} = \\dfrac{41}{7}$$
<b>Шаг 4.</b> Находим $14A$:
$$14A = 14\\cdot\\dfrac{41}{7} = \\dfrac{14}{7}\\cdot 41 = 2\\cdot 41 = 82$$
<div class="sol-ans">Ответ: $82$</div>`
      },
      {
        text: `При каких целых отрицательных значениях $n$ верно неравенство
               $\\dfrac{n+1}{3} - \\dfrac{n+2}{6} < \\dfrac{n+3}{2}$?`,
        sol: `<b>Свойство неравенства:</b> при умножении обеих частей неравенства на одно и то же <em>положительное</em> число знак неравенства сохраняется.
<br><b>Шаг 1.</b> Наименьший общий знаменатель дробей $3,\\,6,\\,2$ равен $6$. Умножаем обе части на $6$:
$$6\\cdot\\dfrac{n+1}{3} - 6\\cdot\\dfrac{n+2}{6} \\lt 6\\cdot\\dfrac{n+3}{2}$$
$$2(n + 1) - (n + 2) \\lt 3(n + 3)$$
<b>Шаг 2.</b> Раскрываем скобки:
$$2n + 2 - n - 2 \\lt 3n + 9$$
$$n \\lt 3n + 9$$
<b>Шаг 3.</b> Переносим $3n$ влево, а $n$ — вправо:
$$n - 3n \\lt 9 \\implies -2n \\lt 9$$
<b>Шаг 4.</b> Делим обе части на $-2$. <b>Важно:</b> при делении на <em>отрицательное</em> число знак неравенства <em>меняется на противоположный:</em>
$$n \\gt -\\dfrac{9}{2} = -4{,}5$$
<b>Шаг 5.</b> Выбираем целые отрицательные числа, большие $-4{,}5$:
$$n \\in \\{-4,\\,-3,\\,-2,\\,-1\\}$$
<div class="sol-ans">Ответ: $n\\in\\{-4,\\;-3,\\;-2,\\;-1\\}$</div>`
      },
      {
        text: `Найдите значение выражения $6(x - y)$, где $(x;\\; y)$ — решение системы уравнений
               $$\\begin{cases} 3x + y = 2, \\\\[4pt] y^2 + 6xy + 9x^2 = -y. \\end{cases}$$`,
        sol: `<b>Формула квадрата суммы:</b> $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
<br><b>Шаг 1.</b> Замечаем структуру левой части второго уравнения:
$$y^2 + 6xy + 9x^2 = y^2 + 2\\cdot y\\cdot 3x + (3x)^2 = (y + 3x)^2 = (3x + y)^2$$
<b>Шаг 2.</b> Из первого уравнения системы: $3x + y = 2$. Подставляем во второе:
$$(3x + y)^2 = -y \\implies 2^2 = -y \\implies 4 = -y$$
$$y = -4$$
<b>Шаг 3.</b> Подставляем $y = -4$ в $3x + y = 2$:
$$3x + (-4) = 2 \\implies 3x = 6 \\implies x = 2$$
<b>Проверка:</b> подставим в исходное второе уравнение:
$$(-4)^2 + 6\\cdot 2\\cdot(-4) + 9\\cdot 2^2 = 16 - 48 + 36 = 4$$
$$-y = -(-4) = 4 \\checkmark$$
<b>Шаг 4.</b> Считаем искомое выражение:
$$6(x - y) = 6\\cdot(2 - (-4)) = 6\\cdot 6 = 36$$
<div class="sol-ans">Ответ: $36$</div>`
      },
      {
        text: `При открытии торгов в среду акции компании подорожали на некоторое количество процентов,
               а в четверг — подешевели на то же количество процентов.
               В результате они стали стоить на $4\\%$ дешевле, чем при открытии торгов в среду.
               На сколько процентов подорожали акции в среду?`,
        sol: `<b>Метод процентных коэффициентов:</b> увеличение величины на $p\\%$ соответствует умножению на $\\left(1 + \\dfrac{p}{100}\\right)$, уменьшение на $p\\%$ — умножению на $\\left(1 - \\dfrac{p}{100}\\right)$. Здесь же применяется <b>формула разности квадратов:</b> $(1+a)(1-a) = 1 - a^2$.
<br><b>Шаг 1.</b> Пусть $P$ — начальная цена акции, а $p$ — искомый процент изменения.
<br><b>Шаг 2.</b> В среду цена выросла на $p\\%$, значит к концу среды стала равна:
$$P_1 = P\\cdot\\left(1 + \\dfrac{p}{100}\\right)$$
<b>Шаг 3.</b> В четверг цена снизилась на $p\\%$ от <em>новой</em> цены $P_1$, значит к концу четверга:
$$P_2 = P_1\\cdot\\left(1 - \\dfrac{p}{100}\\right) = P\\cdot\\left(1 + \\dfrac{p}{100}\\right)\\left(1 - \\dfrac{p}{100}\\right)$$
По формуле разности квадратов:
$$P_2 = P\\cdot\\left(1 - \\dfrac{p^2}{10000}\\right)$$
<b>Шаг 4.</b> По условию итоговая цена на $4\\%$ ниже начальной, то есть $P_2 = 0{,}96\\cdot P$. Получаем:
$$1 - \\dfrac{p^2}{10000} = 0{,}96$$
<b>Шаг 5.</b> Решаем уравнение:
$$\\dfrac{p^2}{10000} = 0{,}04 \\implies p^2 = 400 \\implies p = 20$$
(берём положительный корень, так как $p$ — процент роста).
<div class="sol-ans">Ответ: подорожали на $20\\%$</div>`
      },
      {
        text: `$ABCD$ — вписанная трапеция. Центр $O$ описанной окружности лежит на большем основании $AD$,
               $CH$ — высота трапеции. Найдите площадь трапеции, если $AC = 10$ см, $HD = 4{,}5$ см.`,
        sol: `<b>Шаг 1. AD — диаметр.</b>
<br>Раз центр $O$ лежит на хорде $AD$, значит $AD$ проходит через центр — $AD$ является <b>диаметром</b>.
<br>По теореме Фалеса: $\\angle ACD = 90°$ (вписанный угол, опирающийся на диаметр).
<svg viewBox="0 0 195 110" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:280px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px 0">
  <path d="M 28 82 A 62 62 0 0 1 153 82" fill="rgba(37,99,235,0.05)" stroke="#2563eb" stroke-width="1.3" stroke-dasharray="5,3"/>
  <polygon points="28,82 72,22 108,22 153,82" fill="rgba(37,99,235,0.07)" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
  <line x1="28" y1="82" x2="108" y2="22" stroke="#dc2626" stroke-width="1.8"/>
  <line x1="108" y1="22" x2="108" y2="82" stroke="#16a34a" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="4,3"/>
  <polygon points="108,22 102,26 105,32 111,28" fill="none" stroke="#334155" stroke-width="1.2"/>
  <polygon points="108,82 116,82 116,74 108,74" fill="none" stroke="#334155" stroke-width="1.2"/>
  <circle cx="90" cy="82" r="2.5" fill="#334155"/>
  <text x="13" y="93" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
  <text x="157" y="93" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">D</text>
  <text x="66" y="17" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
  <text x="111" y="17" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
  <text x="107" y="92" font-size="11" font-family="serif" font-style="italic">H</text>
  <text x="87" y="78" font-size="11" font-family="serif" font-style="italic">O</text>
  <text x="55" y="58" font-size="11" fill="#dc2626">10</text>
  <text x="112" y="55" font-size="11" fill="#16a34a">h</text>
  <text x="133" y="93" font-size="10" fill="#475569">4,5</text>
  <text x="83" y="19" font-size="10" fill="#334155">BC</text>
</svg>
<b>Шаг 2. Находим $AD$.</b>
<br>Из прямоугольного $\\triangle ACD$ (прямой угол при $C$): $AC^2 = AH\\cdot AD$ (свойство высоты прямоугольного треугольника).
$$AH = AD - HD = AD - 4{,}5$$
$$10^2 = (AD-4{,}5)\\cdot AD \\implies AD^2 - 4{,}5\\,AD - 100 = 0$$
$$\\times2:\\quad 2AD^2-9\\,AD-200=0, \\quad D=81+1600=1681=41^2$$
$$AD=\\dfrac{9+41}{4}=\\dfrac{50}{4}=12{,}5\\text{ см}$$
<b>Шаг 3. Высота $CH$.</b>
$$AH = 12{,}5-4{,}5=8, \\quad CH^2=AH\\cdot HD = 8\\cdot4{,}5=36 \\implies CH=6$$
<b>Шаг 4. Основание $BC$.</b>
<br>Трапеция равнобедренная (вписанная). По симметрии: расстояние от $B$ до $AD$ = $AH'=4{,}5$ (зеркально).
$$BC = AD - 2\\cdot HD = 12{,}5 - 2\\cdot4{,}5 = 3{,}5\\text{ см}$$
<b>Шаг 5. Площадь.</b>
$$S = \\dfrac{AD+BC}{2}\\cdot CH = \\dfrac{12{,}5+3{,}5}{2}\\cdot6 = 8\\cdot6 = 48\\text{ см}^2$$
<div class="sol-ans">Ответ: $48$ см²</div>`
      },
    ]
};
