VARIANTS[67] = {
    label: "Вариант 67",
    tasks: [
      {
        text: `Какое из данных чисел является простым:`,
        opts: [
          ["а", "$9$"], ["б", "$1$"], ["в", "$77$"], ["г", "$51$"], ["д", "$2$"],
        ],
        sol: `<p>Проверяем каждое число:</p>
<ul>
  <li>$9 = 3 \\times 3$ — составное;</li>
  <li>$1$ — не является ни простым, ни составным по определению;</li>
  <li>$77 = 7 \\times 11$ — составное;</li>
  <li>$51 = 3 \\times 17$ — составное;</li>
  <li>$2$ — делится только на $1$ и на себя, значит простое.</li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: д) $2$</div>`
      },
      {
        text: `Абсцисса точки, принадлежащей графику функции $y = -3x + 2$, равна $1$.
               Тогда ордината этой точки равна:`,
        opts: [
          ["а", "$5$"], ["б", "$-1$"], ["в", "$1$"], ["г", "$-1{,}5$"], ["д", "$\\dfrac{2}{3}$"],
        ],
        sol: `<p>Подставляем $x = 1$ в формулу функции:</p>
<p>$$y = -3 \\cdot 1 + 2 = -3 + 2 = -1.$$</p>
<div class="sol-ans">Ответ: б) $-1$</div>`
      },
      {
        text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
        opts: [
          ["а", "для прямоугольного треугольника $ABC$ с прямым углом $C$ верно $\\sin A = \\dfrac{BC}{AB}$;"],
          ["б", "диагонали прямоугольника равны;"],
          ["в", "площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту;"],
          ["г", "сумма градусных мер всех углов квадрата равна $180^{\\circ}$?"],
        ],
        sol: `<p>Квадрат — это четырёхугольник, сумма внутренних углов которого равна $360^{\\circ}$, а не $180^{\\circ}$.</p>
<p>Утверждения а), б), в) — верны. Утверждение г) — <b>неверно</b>.</p>
<div class="sol-ans">Ответ: г)</div>`
      },
      {
        text: `Решите уравнение $\\dfrac{x}{-3{,}6} = \\dfrac{0{,}25}{-0{,}9}$.`,
        sol: `<p>Из свойства пропорции $\\dfrac{x}{-3{,}6} = \\dfrac{0{,}25}{-0{,}9}$:</p>
<p>$$x = \\frac{(-3{,}6) \\cdot 0{,}25}{-0{,}9} = \\frac{-0{,}9}{-0{,}9} = 1.$$</p>
<div class="sol-ans">Ответ: $x = 1$</div>`
      },
      {
        text: `Найдите сумму натуральных значений переменной из области определения
               выражения $\\sqrt{-2x+6}$.`,
        sol: `<b>Условие существования квадратного корня:</b> $\\sqrt{f(x)}$ определён только тогда, когда подкоренное выражение неотрицательно, то есть $f(x) \\geq 0$.
<br><b>Шаг 1.</b> Запишем условие для нашего выражения $\\sqrt{-2x+6}$:
$$-2x + 6 \\geq 0.$$
<b>Шаг 2.</b> Решим неравенство. Перенесём $-2x$ в правую часть:
$$6 \\geq 2x,$$
а затем разделим обе части на $2$ (положительное число — знак не меняется):
$$x \\leq 3.$$
<b>Шаг 3.</b> Выберем натуральные числа из найденной области. Натуральные числа — это $1,\\;2,\\;3,\\;4,\\ldots$ Из них условию $x \\leq 3$ удовлетворяют: $1,\\;2,\\;3$.
<br><b>Шаг 4.</b> Найдём их сумму:
$$1 + 2 + 3 = 6.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $6$</div>`
      },
      {
        text: `Найдите шестой член арифметической прогрессии, если её третий член равен $9$,
               а разность прогрессии равна $-2$.`,
        sol: `<b>Формула $n$-го члена арифметической прогрессии:</b> $a_n = a_1 + (n-1)d$.
<br>Из неё легко получить связь любых двух членов: $a_n = a_k + (n-k)d$, так как от $k$-го члена до $n$-го нужно прибавить разность $d$ ровно $(n-k)$ раз.
<br><b>Шаг 1.</b> По условию $a_3 = 9$, $d = -2$. Найдём $a_6$, прибавив разность $d$ три раза (от 3-го к 6-му члену):
$$a_6 = a_3 + (6-3)\\cdot d = a_3 + 3d.$$
<b>Шаг 2.</b> Подставим значения:
$$a_6 = 9 + 3\\cdot(-2) = 9 - 6 = 3.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $3$</div>`
      },
      {
        text: `В параллелограмм с диагоналями, равными $6$ см и $8$ см, вписана окружность.
               Найдите радиус этой окружности.`,
        sol: `<p>Параллелограмм с вписанной окружностью является ромбом (суммы противоположных сторон равны, что в параллелограмме означает равенство всех сторон).</p>
<p>Полудиагонали ромба: $d_1/2 = 3$ см, $d_2/2 = 4$ см. Сторона ромба:</p>
<p>$$a = \\sqrt{3^2 + 4^2} = \\sqrt{9 + 16} = \\sqrt{25} = 5 \\text{ см}.$$</p>
<p>Площадь ромба:</p>
<p>$$S = \\frac{d_1 \\cdot d_2}{2} = \\frac{6 \\cdot 8}{2} = 24 \\text{ см}^2.$$</p>
<p>Полупериметр: $p = 2a = 2 \\cdot 5 = 10$ см. Радиус вписанной окружности:</p>
<p>$$r = \\frac{S}{p} = \\frac{24}{10} = 2{,}4 \\text{ см}.$$</p>
<svg viewBox="0 0 185 185" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:260px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px auto">
  <!-- Ромб: d₁=6см=108px, d₂=8см=144px, сторона=5см=90px, r=2,4см=43px. Масштаб 18px/см -->
  <!-- Центр (92,92). A=(38,92), B=(92,20), C=(146,92), D=(92,164) -->
  <polygon points="38,92 92,20 146,92 92,164" fill="rgba(37,99,235,0.07)" stroke="#334155" stroke-width="2"/>
  <!-- Диагонали -->
  <line x1="38" y1="92" x2="146" y2="92" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="4,3"/>
  <line x1="92" y1="20" x2="92" y2="164" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="4,3"/>
  <!-- Прямой угол в центре -->
  <polygon points="92,92 100,92 100,84 92,84" fill="none" stroke="#334155" stroke-width="1.2"/>
  <!-- Вписанная окружность: r=43px, центр (92,92) -->
  <circle cx="92" cy="92" r="43" fill="rgba(220,38,38,0.06)" stroke="#dc2626" stroke-width="1.8"/>
  <line x1="92" y1="92" x2="92" y2="135" stroke="#dc2626" stroke-width="1" stroke-dasharray="3,2"/>
  <circle cx="92" cy="92" r="2.5" fill="#334155"/>
  <!-- Метки вершин -->
  <text x="22" y="97" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
  <text x="88" y="14" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
  <text x="150" y="97" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
  <text x="88" y="179" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">D</text>
  <!-- Длины диагоналей -->
  <text x="58" y="88" font-size="10" fill="#475569">d₁=6</text>
  <text x="148" y="88" font-size="10" fill="#475569">d₁=6</text>
  <text x="95" y="58" font-size="10" fill="#475569">d₂=8</text>
  <text x="95" y="135" font-size="10" fill="#475569">d₂=8</text>
  <!-- Сторона и радиус -->
  <text x="52" y="53" font-size="11" fill="#334155">a=5</text>
  <text x="96" y="118" font-size="11" fill="#dc2626" font-weight="bold">r=2,4</text>
</svg>
<div class="sol-ans">Ответ: $r = 2{,}4$ см</div>`
      },
      {
        text: `Найдите значение выражения
               $-\\dfrac{9}{5} : \\left(\\dfrac{16}{25} - 1\\right) - 0{,}025 : 0{,}01 + \\dfrac{1}{3} \\cdot (-6) - 4 : \\dfrac{2}{5}$.
               В ответ запишите число, обратное ему.`,
        sol: `<b>Порядок действий:</b> сначала выполняем действия в скобках, затем умножение и деление, в конце — сложение и вычитание (слева направо).
<br><b>Правило деления дробей:</b> $\\dfrac{a}{b}:\\dfrac{c}{d}=\\dfrac{a}{b}\\cdot\\dfrac{d}{c}$.
<br><b>Обратное число</b> к ненулевому числу $a$ — это число $\\dfrac{1}{a}$. У дроби $\\dfrac{p}{q}$ обратное равно $\\dfrac{q}{p}$.
<br><b>Шаг 1.</b> Вычислим выражение в скобках, приведя $1$ к знаменателю $25$:
$$\\dfrac{16}{25} - 1 = \\dfrac{16-25}{25} = -\\dfrac{9}{25}.$$
<b>Шаг 2.</b> Выполним первое деление, заменив деление умножением на обратную дробь:
$$-\\dfrac{9}{5} : \\left(-\\dfrac{9}{25}\\right) = -\\dfrac{9}{5}\\cdot\\left(-\\dfrac{25}{9}\\right) = \\dfrac{9\\cdot 25}{5\\cdot 9} = 5.$$
<b>Шаг 3.</b> Выполним второе деление десятичных дробей:
$$0{,}025 : 0{,}01 = \\dfrac{0{,}025}{0{,}01} = 2{,}5.$$
<b>Шаг 4.</b> Вычислим оставшиеся произведение и частное:
$$\\dfrac{1}{3}\\cdot(-6) = -2,\\qquad 4:\\dfrac{2}{5} = 4\\cdot\\dfrac{5}{2} = 10.$$
<b>Шаг 5.</b> Соберём всё вместе:
$$5 - 2{,}5 + (-2) - 10 = 5 - 2{,}5 - 2 - 10 = -9{,}5 = -\\dfrac{19}{2}.$$
<b>Шаг 6.</b> Запишем число, обратное полученному: у дроби $-\\dfrac{19}{2}$ обратная равна $-\\dfrac{2}{19}$.
<div class="sol-ans">Ответ: $-\\dfrac{2}{19}$</div>`
      },
      {
        text: `Первую половину пути в $20$ км пешеход преодолел со скоростью на $10\\%$ меньше планируемой,
               а вторую половину пути — со скоростью на $10\\%$ больше, чем планировал.
               Как изменится время его движения по сравнению с планируемым?`,
        sol: `<p>Пусть плановая скорость равна $v$. Половина пути — $10$ км.</p>
<p>Фактическое время:</p>
<p>$$t = \\frac{10}{0{,}9v} + \\frac{10}{1{,}1v} = \\frac{10}{v}\\left(\\frac{1}{0{,}9} + \\frac{1}{1{,}1}\\right) = \\frac{10}{v} \\cdot \\frac{1{,}1 + 0{,}9}{0{,}99} = \\frac{10}{v} \\cdot \\frac{2}{0{,}99} = \\frac{20}{0{,}99v}.$$</p>
<p>Плановое время: $t_0 = \\dfrac{20}{v}$.</p>
<p>Отношение: $\\dfrac{t}{t_0} = \\dfrac{20/(0{,}99v)}{20/v} = \\dfrac{1}{0{,}99} = \\dfrac{100}{99} \\gt 1$.</p>
<p>Фактическое время <b>увеличится</b> примерно на $\\dfrac{1}{99} \\approx 1\\%$ от планируемого.</p>
<div class="sol-ans">Ответ: время увеличится (на $\\dfrac{1}{99}$ часть от планируемого, примерно на $1\\%$)</div>`
      },
      {
        text: `В треугольник $ABC$ вписан квадрат, две вершины которого лежат на стороне $AC$,
               две другие — на сторонах $AB$ и $BC$.
               Найдите площадь квадрата, если $AC = 30$ см, высота треугольника $BH = 20$ см.`,
        sol: `<p>Пусть сторона квадрата равна $a$. Квадрат расположен основанием на $AC$.</p>
<p>На высоте $a$ от $AC$ ширина треугольника (по подобию) равна:</p>
<p>$$AC \\cdot \\frac{BH - a}{BH} = 30 \\cdot \\frac{20 - a}{20}.$$</p>
<p>Эта ширина должна равняться стороне квадрата $a$:</p>
<p>$$30 \\cdot \\frac{20 - a}{20} = a \\Rightarrow \\frac{3(20 - a)}{2} = a \\Rightarrow 60 - 3a = 2a \\Rightarrow 5a = 60 \\Rightarrow a = 12.$$</p>
<p>Площадь квадрата: $S = a^2 = 12^2 = 144$ см².</p>
<svg viewBox="0 0 255 198" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:340px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px auto">
  <!-- Точные пропорции: AC=30=210px, BH=20=140px, a=12=84px. Масштаб 7px/см -->
  <!-- A=(20,168), B=(125,28), C=(230,168), H=(125,168) -->
  <!-- Квадрат: (83,168)-(167,168)-(167,84)-(83,84). Стороны на AB и BC ✓ -->
  <polygon points="20,168 125,28 230,168" fill="rgba(37,99,235,0.05)" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
  <!-- Вписанный квадрат -->
  <rect x="83" y="84" width="84" height="84" fill="rgba(22,163,74,0.18)" stroke="#16a34a" stroke-width="2"/>
  <!-- Высота BH (пунктир) -->
  <line x1="125" y1="28" x2="125" y2="168" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.3" stroke-dasharray="5,3"/>
  <!-- Прямой угол при H -->
  <polygon points="125,168 133,168 133,160 125,160" fill="none" stroke="#334155" stroke-width="1.2"/>
  <!-- Метки вершин -->
  <text x="6" y="180" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
  <text x="120" y="20" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
  <text x="233" y="180" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
  <text x="119" y="183" font-size="11" font-family="serif" font-style="italic" fill="#475569">H</text>
  <!-- Размеры -->
  <text x="122" y="130" font-size="13" fill="#15803d" font-weight="bold" text-anchor="middle">a=12</text>
  <text x="122" y="193" font-size="11" fill="#475569" text-anchor="middle">AC = 30 см</text>
  <text x="133" y="102" font-size="11" fill="#475569">BH=20</text>
</svg>
<div class="sol-ans">Ответ: $144$ см²</div>`
      },
    ]
};
