VARIANTS[74] = {
    label: "Вариант 74",
    tasks: [
      {
        text: `На рисунке изображены два графика линейных функций.
               Используя график, запишите координаты точки их пересечения:`,
        figure: `<img src="/img/exam9/v74_t1.png" class="task-fig" />`,
        opts: [
          ["а", "$(1;\\;2)$"], ["б", "$(4;\\;2)$"], ["в", "$(2;\\;2)$"],
          ["г", "$(2;\\;4)$"], ["д", "$(4;\\;0)$"],
        ],
        sol: `<p>По графику найдите точку пересечения двух прямых и прочитайте её координаты $(x;y)$.</p>
<div class="sol-ans">Ответ: определяется по рисунку (координаты точки пересечения двух прямых)</div>`
      },
      {
        text: `Определите, какое из данных выражений равно частному
               $\\dfrac{4}{x^7} : \\dfrac{36}{x^{14}}$:`,
        opts: [
          ["а", "$\\dfrac{x^2}{9}$"], ["б", "$\\dfrac{144}{x^{21}}$"], ["в", "$9x^7$"],
          ["г", "$\\dfrac{x^7}{9}$"], ["д", "$\\dfrac{x^7}{32}$"],
        ],
        sol: `<p>Деление дробей — умножение на обратную:</p>
<p>$$\\dfrac{4}{x^7} : \\dfrac{36}{x^{14}} = \\dfrac{4}{x^7} \\cdot \\dfrac{x^{14}}{36} = \\dfrac{4x^{14}}{36x^7} = \\dfrac{x^7}{9}.$$</p>
<div class="sol-ans">Ответ: г) $\\dfrac{x^7}{9}$</div>`
      },
      {
        text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
        opts: [
          ["а", "площадь квадрата со стороной $a$ равна $a^2$;"],
          ["б", "диаметр окружности в два раза больше её радиуса;"],
          ["в", "треугольник, два угла которого равны $30^{\\circ}$ и $60^{\\circ}$, — прямоугольный;"],
          ["г", "диагонали любого параллелограмма равны?"],
        ],
        sol: `<p>Диагонали равны только у прямоугольника (и квадрата), но не у произвольного параллелограмма. Утверждение г) неверно.</p>
<div class="sol-ans">Ответ: г)</div>`
      },
      {
        text: `Сравните значение выражения $\\dfrac{2}{5} \\cdot \\left(2\\dfrac{1}{2}\\right)^2 - 3 : 2$
               с числом $\\left(\\dfrac{1}{4}\\right)^0$.`,
        sol: `<p>Вычислим выражение:</p>
<p>$$\\dfrac{2}{5} \\cdot \\left(\\dfrac{5}{2}\\right)^2 - \\dfrac{3}{2} = \\dfrac{2}{5} \\cdot \\dfrac{25}{4} - \\dfrac{3}{2} = \\dfrac{50}{20} - \\dfrac{3}{2} = \\dfrac{5}{2} - \\dfrac{3}{2} = 1.$$</p>
<p>Вычислим число: $\\left(\\dfrac{1}{4}\\right)^0 = 1$.</p>
<p>Сравниваем: $1 = 1$.</p>
<div class="sol-ans">Ответ: значение выражения равно числу $\\left(\\dfrac{1}{4}\\right)^0$</div>`
      },
      {
        text: `В соревнованиях по армрестлингу приняли участие $45$ спортсменов.
               Сколько мальчиков и сколько девочек участвовали в соревнованиях,
               если отношение количества девочек к количеству мальчиков равно $4:5$?`,
        sol: `<b>Метод частей:</b> если две величины относятся как $m:n$, всё целое делим на $m+n$ равных частей. Каждая часть равна $\\dfrac{\\text{целое}}{m+n}$.
<br><b>Шаг 1.</b> Отношение количества девочек к количеству мальчиков $4:5$. Значит, всего получается $4+5 = 9$ частей.
<br><b>Шаг 2.</b> Найдём, сколько спортсменов в одной части:
$$\\text{одна часть} = \\dfrac{45}{9} = 5\\text{ спортсменов}.$$
<b>Шаг 3.</b> Количество девочек ($4$ части) и мальчиков ($5$ частей):
$$\\text{девочки} = 4\\cdot 5 = 20,\\qquad \\text{мальчики} = 5\\cdot 5 = 25.$$
<b>Проверка.</b> $20 + 25 = 45$ ✓, $20:25 = 4:5$ ✓.
<div class="sol-ans">Ответ: 20 девочек и 25 мальчиков</div>`
      },
      {
        text: `Дан равнобедренный треугольник с основанием $24$ см и боковой стороной $15$ см.
               Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.`,
        sol: `<b>Свойство равнобедренного треугольника:</b> высота к основанию делит основание пополам.
<br><b>Теорема Пифагора:</b> $c^2 = a^2 + b^2$.
<br><b>Формула радиуса вписанной окружности:</b> $r = \\dfrac{S}{p}$, где $p$ — полупериметр.
<br><b>Шаг 1.</b> Проведём высоту к основанию. Она делит основание ($24$ см) пополам — на отрезки по $12$ см. Получается прямоугольный треугольник с гипотенузой (боковая сторона) $15$ см и катетом $12$ см. По теореме Пифагора найдём высоту:
$$h = \\sqrt{15^2 - 12^2} = \\sqrt{225 - 144} = \\sqrt{81} = 9\\text{ см}.$$
<b>Шаг 2.</b> Найдём площадь треугольника:
$$S = \\dfrac{1}{2}\\cdot 24\\cdot 9 = 108\\text{ см}^{2}.$$
<b>Шаг 3.</b> Найдём полупериметр:
$$p = \\dfrac{24 + 15 + 15}{2} = \\dfrac{54}{2} = 27\\text{ см}.$$
<b>Шаг 4.</b> Применим формулу радиуса:
$$r = \\dfrac{S}{p} = \\dfrac{108}{27} = 4\\text{ см}.$$
<svg viewBox="0 0 208 170" width="208" height="170" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="display:block;margin:8px auto;">
  <polygon points="20,148 188,148 104,85" fill="#eef4ff" stroke="#3a6bc4" stroke-width="2"/>
  <line x1="104" y1="85" x2="104" y2="148" stroke="#aaa" stroke-width="1" stroke-dasharray="4,3"/>
  <circle cx="104" cy="120" r="28" fill="none" stroke="#e05c00" stroke-width="1.5"/>
  <text x="5" y="155" text-anchor="start" font-size="13" fill="#222">A</text>
  <text x="190" y="155" text-anchor="start" font-size="13" fill="#222">C</text>
  <text x="99" y="78" text-anchor="middle" font-size="13" fill="#222">B</text>
  <text x="96" y="163" text-anchor="middle" font-size="11" fill="#555">24 см</text>
  <text x="49" y="118" text-anchor="middle" font-size="11" fill="#555">15 см</text>
  <text x="162" y="118" text-anchor="middle" font-size="11" fill="#555">15 см</text>
  <text x="112" y="112" text-anchor="start" font-size="11" fill="#555">9 см</text>
  <text x="104" y="128" text-anchor="middle" font-size="11" fill="#e05c00">r=4</text>
  <polyline points="96,148 96,140 104,140" fill="none" stroke="#888" stroke-width="1"/>
</svg>
              <div class="sol-ans">Ответ: $r = 4$ см.</div>`
      },
      {
        text: `Определите, принадлежит ли промежутку убывания функции $y = -x^2 - 4x + 5$
               число $\\sqrt{2}$. Ответ обоснуйте.`,
        sol: `Функция $y = -x^2 - 4x + 5 = -(x^2 + 4x) + 5 = -(x+2)^2 + 9$ — парабола ветвями вниз с вершиной при $x = -2$.<br>
              Парабола ветвями вниз возрастает при $x \\lt -2$ и убывает при $x \\gt -2$.<br>
              Промежуток убывания: $(-2;\\,+\\infty)$.<br>
              Так как $\\sqrt{2} \\approx 1{,}41 \\gt -2$, то $\\sqrt{2}$ принадлежит промежутку убывания.
              <div class="sol-ans">Ответ: да, принадлежит (промежуток убывания $(-2;+\\infty)$, и $\\sqrt{2} \\gt -2$).</div>`
      },
      {
        text: `Решите уравнение
               $\\dfrac{2}{x-4} = \\dfrac{x}{x+4} + \\dfrac{16}{x^2-16}$.`,
        sol: `<b>Формула разности квадратов:</b> $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
<br><b>Правило решения дробно-рационального уравнения:</b> найти ОДЗ, привести к общему знаменателю, проверить корни.
<br><b>Теорема Виета:</b> для приведённого уравнения $x^2 + px + q = 0$ сумма корней равна $-p$, произведение равно $q$.
<br><b>Шаг 1. ОДЗ.</b> Знаменатели обнуляются при $x = 4$, $x = -4$. Значит, $x \\neq 4$ и $x \\neq -4$.
<br><b>Шаг 2.</b> По формуле разности квадратов $x^2 - 16 = (x-4)(x+4)$ — это общий знаменатель. Умножим обе части уравнения на $(x-4)(x+4)$. Левая часть даёт $2(x+4)$, правая — $x(x-4) + 16$:
$$2(x+4) = x(x-4) + 16.$$
<b>Шаг 3.</b> Раскроем скобки:
$$2x + 8 = x^2 - 4x + 16.$$
<b>Шаг 4.</b> Перенесём всё в одну часть:
$$x^2 - 4x - 2x + 16 - 8 = 0 \\implies x^2 - 6x + 8 = 0.$$
<b>Шаг 5.</b> Решим по теореме Виета: ищем два числа с суммой $6$ и произведением $8$ — это $2$ и $4$. Значит, $(x-2)(x-4) = 0$, откуда $x = 2$ или $x = 4$.
<br><b>Шаг 6.</b> Проверяем по ОДЗ: $x = 4$ не входит — это <b>посторонний корень</b>. Остаётся $x = 2$.
<div class="sol-ans">Ответ: $x = 2$.</div>`
      },
      {
        text: `Найдите область определения выражений
               $\\sqrt{\\dfrac{(x+1)(x-3)}{x(x-3)}}$ и $\\sqrt{\\dfrac{x+1}{x}}$.
               Запишите пересечение полученных множеств.`,
        sol: `<b>Условия существования выражения:</b>
<ul>
  <li>под чётным корнем — неотрицательное выражение: $\\sqrt{A}$ существует при $A \\geq 0$;</li>
  <li>знаменатель дроби не равен нулю.</li>
</ul>
<b>Шаг 1. Область определения первого выражения</b> $\\sqrt{\\dfrac{(x+1)(x-3)}{x(x-3)}}$.
<br>Сначала запишем требование $x(x-3) \\neq 0$: $x \\neq 0$, $x \\neq 3$.
<br>При $x \\neq 3$ множитель $(x-3)$ сокращается, и дробь становится $\\dfrac{x+1}{x}$. Условие подкоренного выражения:
$$\\dfrac{x+1}{x} \\geq 0.$$
<b>Метод интервалов.</b> Нули числителя: $x = -1$. Нуль знаменателя: $x = 0$ (точка выколота). Дробь $\\geq 0$ при $x \\leq -1$ или $x \\gt 0$. С учётом $x \\neq 3$:
$$D_{1} = (-\\infty;\\,-1\\,] \\cup (0;\\,3) \\cup (3;\\,+\\infty).$$
<b>Шаг 2. Область определения второго выражения</b> $\\sqrt{\\dfrac{x+1}{x}}$.
<br>Те же условия, но без выкалывания точки $3$:
$$D_{2} = (-\\infty;\\,-1\\,] \\cup (0;\\,+\\infty).$$
<b>Шаг 3. Пересечение.</b> Так как $D_{1}$ получается из $D_{2}$ выкалыванием точки $x = 3$, то $D_{1} \\subset D_{2}$ и:
$$D_{1} \\cap D_{2} = D_{1} = (-\\infty;\\,-1\\,] \\cup (0;\\,3) \\cup (3;\\,+\\infty).$$
<div class="sol-ans">Ответ: $(-\\infty;\\,-1\\,] \\cup (0;\\,3) \\cup (3;\\,+\\infty)$.</div>`
      },
      {
        text: `Две окружности касаются внешним образом в точке $A$.
               К ним проведена общая внешняя касательная $BC$, где $C$ и $B$ — точки касания.
               Найдите площадь треугольника $ABC$, если $AB = 12$ см, $AC = 9$ см.`,
        sol: `<b>Ключевое свойство:</b> угол, вписанный в окружность и опирающийся на диаметр, равен 90°.
              Точка $A$ — точка касания двух окружностей, $BC$ — общая касательная. По теореме об угле между касательной и хордой, $\\angle BAC = 90°$.<br>
              Значит, треугольник $ABC$ — прямоугольный с прямым углом при $A$.<br>
              По теореме Пифагора: $BC = \\sqrt{AB^2 + AC^2} = \\sqrt{144 + 81} = \\sqrt{225} = 15$ см.<br>
              Площадь: $S = \\dfrac{1}{2} \\cdot AB \\cdot AC = \\dfrac{1}{2} \\cdot 12 \\cdot 9 = 54$ см².
<svg viewBox="40 75 195 185" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:320px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
  <circle cx="82" cy="121" r="30" fill="rgba(37,99,235,0.07)" stroke="#2563eb" stroke-width="1.5"/>
  <circle cx="132" cy="188" r="53" fill="rgba(220,38,38,0.06)" stroke="#dc2626" stroke-width="1.5"/>
  <line x1="84" y1="85" x2="178" y2="157" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
  <polygon points="100,145 100,97 164,145" fill="rgba(22,163,74,0.13)" stroke="#16a34a" stroke-width="1.8"/>
  <polygon points="100,145 108,145 108,137 100,137" fill="rgba(0,0,0,0.08)" stroke="#334155" stroke-width="1.2"/>
  <circle cx="100" cy="145" r="3" fill="#16a34a"/>
  <circle cx="100" cy="97" r="3" fill="#2563eb"/>
  <circle cx="164" cy="145" r="3" fill="#dc2626"/>
  <text x="87" y="150" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic" fill="#15803d">A</text>
  <text x="87" y="93" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1d4ed8">B</text>
  <text x="168" y="150" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic" fill="#b91c1c">C</text>
  <text x="64" y="122" font-size="10" fill="#2563eb">O₁</text>
  <text x="134" y="192" font-size="10" fill="#dc2626">O₂</text>
  <text x="88" y="121" font-size="11" fill="#15803d" font-weight="bold">12</text>
  <text x="132" y="158" font-size="11" fill="#15803d" font-weight="bold">9</text>
  <text x="116" y="136" font-size="11" fill="#15803d" font-weight="bold">S=54</text>
</svg>
              <div class="sol-ans">Ответ: $S = 54$ см².</div>`
      },
    ]
};
