VARIANTS[19] = {
    label: "Вариант 19",
    tasks: [
      {
        text: `Определите рисунок, на котором изображён график функции $y = (x+1)^3$:`,
        figure: `<img src="/img/exam9/v19_t1.png" class="task-fig" />`,
        sol: `Функция $y=(x+1)^3$ — это график $y=x^3$, сдвинутый на $1$ единицу <b>влево</b>.
<br>Ключевые свойства:
<ul>
<li>Точка перегиба: $(-1;\\,0)$ — на оси $Ox$ при $x=-1$</li>
<li>$y$-пересечение: при $x=0$, $y=1$ — точка $(0;\\,1)$</li>
<li>Возрастает на всей $\\mathbb{R}$ (классическая S-образная форма куба)</li>
<li>Проходит через $(-2;\\,-1)$, так как $(-2+1)^3=-1$</li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: график, пересекающий ось $Ox$ в точке $(-1;\\,0)$</div>`
      },
      {
        text: `Какие из данных чисел являются решениями системы неравенств
               $$\\left\\{\\begin{array}{l} x < 7, \\\\[4pt] x \\geq -\\dfrac{1}{2}; \\end{array}\\right.$$`,
        opts: [
          ["а", "$6$"], ["б", "$7$"], ["в", "$0$"],
          ["г", "$-\\dfrac{3}{4}$"], ["д", "$-1$"],
        ],
        sol: `Решение системы: $-\\dfrac{1}{2}\\leq x<7$.
<svg viewBox="0 0 240 52" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:240px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px 0">
  <defs><marker id="a19t2" viewBox="0 0 7 6" refX="7" refY="3" markerWidth="5" markerHeight="5" orient="auto"><path d="M0,0.5 L7,3 L0,5.5Z" fill="#555"/></marker></defs>
  <line x1="8" y1="26" x2="228" y2="26" stroke="#bbb" stroke-width="1.2" marker-end="url(#a19t2)"/>
  <line x1="40" y1="22" x2="40" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="40" y="44" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">−1</text>
  <line x1="80" y1="22" x2="80" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="80" y="44" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">0</text>
  <line x1="200" y1="22" x2="200" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="200" y="44" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">7</text>
  <line x1="60" y1="26" x2="200" y2="26" stroke="#2563eb" stroke-width="4" stroke-linecap="round" opacity="0.55"/>
  <circle cx="60" cy="26" r="5" fill="#2563eb"/>
  <circle cx="200" cy="26" r="5" fill="white" stroke="#2563eb" stroke-width="2"/>
  <text x="60" y="14" font-size="9" text-anchor="middle" fill="#2563eb">−1/2</text>
</svg>
Проверяем каждое:
<ul>
<li>а) $6$: $-\\frac{1}{2}\\leq 6<7$ ✓</li>
<li>б) $7$: условие $x<7$ нарушено ✗</li>
<li>в) $0$: $-\\frac{1}{2}\\leq 0<7$ ✓</li>
<li>г) $-\\frac{3}{4}=-0{,}75$: $-0{,}75 < -0{,}5$ ✗</li>
<li>д) $-1<-\\frac{1}{2}$ ✗</li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: а) и в)</div>`
      },
      {
        text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
        opts: [
          ["а", "диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам;"],
          ["б", "площадь квадрата со стороной $4$ см равна $16$ см²;"],
          ["в", "если четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность, то $\\angle A + \\angle B = 180^{\\circ}$;"],
          ["г", "если у $\\triangle ABC$ $\\angle C = 90^{\\circ}$, $AC = 3$, $BC = 4$, то $\\operatorname{tg} A = \\dfrac{4}{3}$?"],
        ],
        sol: `<ul>
<li>а) Диагонали параллелограмма делятся пополам — <b>верно</b></li>
<li>б) $S_{\\text{кв}}=4^2=16$ см² — <b>верно</b></li>
<li>в) Во вписанном четырёхугольнике $\\angle A+\\angle B=180°$ — <b style="color:#dc2626">НЕВЕРНО</b></li>
<li>г) $\\operatorname{tg}A = \\dfrac{BC}{AC}=\\dfrac{4}{3}$ — <b>верно</b></li>
</ul>
В вписанном четырёхугольнике в сумме $180°$ дают <em>противоположные</em> углы: $\\angle A+\\angle C=180°$ и $\\angle B+\\angle D=180°$. Углы $A$ и $B$ — соседние, их сумма не обязательно равна $180°$.
<div class="sol-ans">Ответ: в)</div>`
      },
      {
        text: `Найдите значение выражения $10A$,
               если $A = \\sqrt{0{,}36} \\cdot \\sqrt{100} - \\sqrt{1{,}69}$.`,
        sol: `Извлекаем корни:
$$\\sqrt{0{,}36}=0{,}6;\\quad \\sqrt{100}=10;\\quad \\sqrt{1{,}69}=1{,}3$$
Подставляем:
$$A = 0{,}6\\cdot 10 - 1{,}3 = 6 - 1{,}3 = 4{,}7$$
$$10A = 10\\cdot 4{,}7 = 47$$
<div class="sol-ans">Ответ: $47$</div>`
      },
      {
        text: `Первый член арифметической прогрессии равен $-3\\dfrac{3}{4}$,
               разность прогрессии равна $-0{,}25$.
               Является ли членом данной прогрессии число $-8$? Ответ обоснуйте.`,
        sol: `Дано: $a_1 = -3\\dfrac{3}{4} = -\\dfrac{15}{4}$, $d = -0{,}25 = -\\dfrac{1}{4}$.
<br>Формула $n$-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
<br>Если $-8$ — член прогрессии, найдём его номер $n$:
$$-8 = -\\dfrac{15}{4} + (n-1)\\cdot\\left(-\\dfrac{1}{4}\\right)$$
Умножим обе части на $-4$:
$$32 = 15 + (n-1)$$
$$n-1 = 17 \\implies n = 18$$
Получили <b>натуральное число</b> $n=18$, значит $-8$ — это <b>18-й член</b> прогрессии.
<div class="sol-ans">Ответ: да, $-8$ — член прогрессии (18-й по счёту)</div>`
      },
      {
        text: `$ABCD$ — прямоугольник с периметром $22$ см,
               сторона $AB$ на $5$ см меньше стороны $AD$.
               Найдите площадь прямоугольника.`,
        sol: `<b>Формула периметра прямоугольника:</b> $P = 2(a+b)$, где $a$ и $b$ — соседние стороны.
<br><b>Формула площади прямоугольника:</b> $S = a\\cdot b$.
<br><b>Шаг 1.</b> Обозначим $AD = x$ см. Тогда по условию $AB = x-5$ см, так как сторона $AB$ на $5$ см меньше $AD$.
<br><b>Шаг 2.</b> Составим уравнение по формуле периметра:
$$2(AD+AB) = 22 \\;\\implies\\; 2(x + x-5) = 22$$
$$2(2x-5) = 22 \\;\\implies\\; 2x-5 = 11 \\;\\implies\\; x = 8$$
<b>Шаг 3.</b> Находим стороны: $AD = 8$ см, $AB = 8-5 = 3$ см.
<svg viewBox="0 0 175 80" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:175px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px 0">
  <polygon points="20,65 140,65 140,15 20,15" fill="rgba(37,99,235,0.07)" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
  <text x="6" y="71" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
  <text x="142" y="71" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">D</text>
  <text x="142" y="14" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
  <text x="6" y="14" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
  <text x="80" y="76" font-size="11" fill="#334155" text-anchor="middle">AD = 8</text>
  <text x="11" y="42" font-size="11" fill="#334155">AB=3</text>
</svg>
<b>Шаг 4.</b> Применяем формулу площади:
$$S = AD\\cdot AB = 8\\cdot 3 = 24\\text{ см}^2$$
<div class="sol-ans">Ответ: $24$ см²</div>`
      },
      {
        text: `Оптовая стоимость справочного издания «Памятные места Беларуси» $20$ р.
               Какое наибольшее количество данных книг по розничной цене можно купить на $7000$ р.,
               если розничная цена на $30\\%$ выше оптовой?`,
        sol: `<b>Правило увеличения числа на $p$ процентов:</b> новое значение равно $N\\cdot\\left(1+\\dfrac{p}{100}\\right)$.
<br><b>Шаг 1.</b> Найдём розничную цену. По условию она на $30\\%$ выше оптовой, значит:
$$20\\cdot\\left(1+\\dfrac{30}{100}\\right) = 20\\cdot 1{,}3 = 26\\text{ р.}$$
<b>Шаг 2.</b> Чтобы узнать, сколько книг можно купить на $7000$ р., делим бюджет на цену одной книги:
$$\\dfrac{7000}{26} = 269{,}23\\ldots$$
<b>Шаг 3.</b> Количество книг — натуральное число, поэтому округляем результат <b>вниз</b>: получаем $269$ книг.
<br><b>Шаг 4.</b> Проверим граничные значения:
<br>$\\bullet$ $269\\cdot 26 = 6994$ р. — меньше $7000$, значит на $269$ книг денег хватит;
<br>$\\bullet$ $270\\cdot 26 = 7020$ р. — больше $7000$, значит $270$ книг купить уже нельзя.
<div class="sol-ans">Ответ: $269$ книг</div>`
      },
      {
        text: `Упростите выражение
               $$\\left(\\dfrac{x-4}{x^2-2x+1} - \\dfrac{x+2}{x^2+x-2}\\right) : \\dfrac{1}{(2x-2)^2}.$$`,
        sol: `<b>Формула квадрата разности:</b> $a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$. <b>Разложение квадратного трёхчлена:</b> $x^2+x-2=(x+2)(x-1)$, так как корни $-2$ и $1$. <b>Правило деления дробей:</b> $\\dfrac{A}{B}:\\dfrac{C}{D}=\\dfrac{A}{B}\\cdot\\dfrac{D}{C}$.
<br><b>Шаг 1.</b> Разложим все знаменатели на множители:
$$x^2-2x+1 = (x-1)^2;$$
$$x^2+x-2 = (x+2)(x-1);$$
$$(2x-2)^2 = \\bigl(2(x-1)\\bigr)^2 = 4(x-1)^2.$$
<b>Шаг 2.</b> Найдём ОДЗ: знаменатели не равны нулю, значит $x\\neq 1$ и $x\\neq -2$.
<br><b>Шаг 3.</b> Сократим вторую дробь в скобках — множитель $(x+2)$ есть в числителе и в знаменателе:
$$\\dfrac{x+2}{(x+2)(x-1)} = \\dfrac{1}{x-1}.$$
<b>Шаг 4.</b> Приведём дроби в скобках к общему знаменателю $(x-1)^2$. Дробь $\\dfrac{1}{x-1}$ умножаем на $\\dfrac{x-1}{x-1}$:
$$\\dfrac{x-4}{(x-1)^2} - \\dfrac{x-1}{(x-1)^2} = \\dfrac{(x-4)-(x-1)}{(x-1)^2} = \\dfrac{-3}{(x-1)^2}.$$
<b>Шаг 5.</b> По правилу деления заменяем деление умножением на обратную дробь:
$$\\dfrac{-3}{(x-1)^2} : \\dfrac{1}{(2x-2)^2} = \\dfrac{-3}{(x-1)^2}\\cdot 4(x-1)^2.$$
Множители $(x-1)^2$ сокращаются:
$$\\dfrac{-3}{(x-1)^2}\\cdot 4(x-1)^2 = -3\\cdot 4 = -12.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $-12$</div>`
      },
      {
        text: `Найдите сумму координат точки пересечения прямых,
               заданных уравнениями $1{,}2x + 3{,}4y = 12$ и $2{,}5x + 1{,}4y = 25$.`,
        sol: `<b>Метод решения:</b> чтобы найти точку пересечения двух прямых, решаем систему из их уравнений. Используем метод сложения (исключаем одну переменную).
<br><b>Шаг 1.</b> Запишем систему:
$$\\begin{cases} 1{,}2x + 3{,}4y = 12 \\\\ 2{,}5x + 1{,}4y = 25 \\end{cases}$$
<b>Шаг 2.</b> Уравняем коэффициенты при $x$. Умножим первое уравнение на $25$, второе — на $12$:
$$\\begin{cases} 30x + 85y = 300 \\\\ 30x + 16{,}8y = 300 \\end{cases}$$
<b>Шаг 3.</b> Вычтем второе уравнение из первого:
$$(85 - 16{,}8)y = 0 \\;\\implies\\; 68{,}2y = 0 \\;\\implies\\; y = 0$$
<b>Шаг 4.</b> Подставим $y=0$ в первое уравнение системы:
$$1{,}2x = 12 \\;\\implies\\; x = 10$$
<b>Шаг 5.</b> Значит, точка пересечения — $(10;\\,0)$. Тогда сумма координат:
$$x+y = 10+0 = 10$$
<div class="sol-ans">Ответ: $10$</div>`
      },
      {
        text: `Диагонали трапеции $ABCD$ ($AD \\| BC$) пересекаются в точке $O$.
               Площади треугольников $ABO$ и $BOC$ равны соответственно $16$ см² и $8$ см².
               Найдите площадь трапеции.`,
        sol: `<svg viewBox="0 0 205 110" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:205px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
  <polygon points="20,90 60,20 100,43" fill="rgba(37,99,235,0.22)" stroke="none"/>
  <polygon points="60,20 100,43 140,20" fill="rgba(251,146,60,0.28)" stroke="none"/>
  <polygon points="140,20 100,43 180,90" fill="rgba(22,163,74,0.20)" stroke="none"/>
  <polygon points="20,90 100,43 180,90" fill="rgba(225,29,72,0.16)" stroke="none"/>
  <polygon points="20,90 60,20 140,20 180,90" fill="none" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
  <line x1="20" y1="90" x2="140" y2="20" stroke="#475569" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="4,2"/>
  <line x1="60" y1="20" x2="180" y2="90" stroke="#475569" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="4,2"/>
  <circle cx="100" cy="43" r="3.5" fill="#1e293b"/>
  <text x="103" y="40" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic">O</text>
  <text x="6" y="100" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
  <text x="183" y="100" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">D</text>
  <text x="50" y="14" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
  <text x="142" y="14" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
  <text x="62" y="58" font-size="11" fill="#1d4ed8" font-weight="bold">16</text>
  <text x="98" y="32" font-size="11" fill="#c2410c" font-weight="bold">8</text>
  <text x="138" y="58" font-size="11" fill="#15803d" font-weight="bold">?</text>
  <text x="98" y="80" font-size="11" fill="#be123c" font-weight="bold">?</text>
</svg>
<b>Шаг 1 — отношение оснований.</b><br>
Треугольники $ABO$ и $BOC$ имеют общую вершину $B$, а основания $AO$ и $OC$ лежат на одной прямой $AC$. Значит, отношение площадей равно отношению оснований:
$$\\dfrac{S_{ABO}}{S_{BOC}} = \\dfrac{AO}{OC} = \\dfrac{16}{8} = 2$$
По свойству трапеции $\\dfrac{AO}{OC} = \\dfrac{AD}{BC}$, значит $\\dfrac{AD}{BC} = 2$.
<br><br>
<b>Шаг 2 — площадь треугольника AOD.</b><br>
Треугольники $AOD$ и $BOC$ <b>подобны</b> (т.к. $AD\\parallel BC$), коэффициент подобия $k = \\dfrac{AD}{BC} = 2$. Отношение площадей $= k^2 = 4$:
$$S_{AOD} = 4\\cdot S_{BOC} = 4\\cdot 8 = 32\\text{ см}^2$$
<b>Шаг 3 — площадь треугольника COD.</b><br>
В трапеции с диагоналями: $S_{ABO} = S_{COD}$ (известное свойство). Значит, $S_{COD} = 16$ см².
<br><br>
<b>Шаг 4 — итог.</b>
$$S_{ABCD} = S_{ABO}+S_{BOC}+S_{COD}+S_{AOD} = 16+8+16+32 = 72\\text{ см}^2$$
<div class="sol-ans">Ответ: $72$ см²</div>`
      },
    ]
};
