VARIANTS[40] = {
    label: "Вариант 40",
    tasks: [
      {
        text: `Определите промежуток, которому принадлежит число $2{,}21$:`,
        opts: [
          ["а", "$(2{,}1;\\; 2{,}121)$"], ["б", "$(2;\\; 2{,}01)$"], ["в", "$(2;\\; 2{,}1)$"],
          ["г", "$(2{,}2;\\; 2{,}3)$"], ["д", "$(2{,}1;\\; 2{,}2)$"],
        ],
        sol: `Проверяем каждый вариант: $2{,}2 < 2{,}21 < 2{,}3$ ✓
<div class="sol-ans">Ответ: г)&ensp;$(2{,}2;\\;2{,}3)$</div>`
      },
      {
        text: `Значение выражения $-1{,}5 : 3 - 0{,}4$ равно:`,
        opts: [
          ["а", "$-0{,}9$"], ["б", "$-0{,}1$"], ["в", "$0{,}1$"], ["г", "$0{,}9$"], ["д", "$-5{,}4$"],
        ],
        sol: `$$-1{,}5 : 3 - 0{,}4 = -0{,}5 - 0{,}4 = -0{,}9$$
<div class="sol-ans">Ответ: а)&ensp;$-0{,}9$</div>`
      },
      {
        text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
        opts: [
          ["а", "если все стороны квадрата уменьшить в $2$ раза, то его площадь уменьшится в $2$ раза;"],
          ["б", "в треугольнике против большего угла лежит большая сторона;"],
          ["в", "сторона квадрата с диагональю $d$ равна $\\dfrac{d}{\\sqrt{2}}$;"],
          ["г", "внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним?"],
        ],
        sol: `<ul>
<li>а) Стороны $\\div2$ ⟹ площадь $\\div 2^2 = 4$, а не в $2$ — <b style="color:#dc2626">НЕВЕРНО</b></li>
<li>б) В треугольнике против большего угла лежит большая сторона — <b>верно</b></li>
<li>в) Диагональ $d = a\\sqrt{2} \\Rightarrow a = \\dfrac{d}{\\sqrt{2}}$ — <b>верно</b></li>
<li>г) Внешний угол равен сумме двух несмежных внутренних — <b>верно</b></li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: а)</div>`
      },
      {
        text: `Выполните деление: $\\dfrac{m^2-1}{m} : \\dfrac{m-1}{m}$.`,
        sol: `Деление на дробь — умножаем на обратную. ОДЗ: $m\\neq0$, $m\\neq1$.
$$\\dfrac{m^2-1}{m}:\\dfrac{m-1}{m} = \\dfrac{m^2-1}{m}\\cdot\\dfrac{m}{m-1} = \\dfrac{(m-1)(m+1)}{\\cancel{m}}\\cdot\\dfrac{\\cancel{m}}{m-1} = m+1$$
<div class="sol-ans">Ответ: $m+1$</div>`
      },
      {
        text: `Найдите больший корень уравнения $x^4 - 8x^2 - 9 = 0$.`,
        sol: `<b>Метод решения биквадратного уравнения:</b> уравнение вида $ax^4 + bx^2 + c = 0$ решается заменой $t = x^2$, где $t \\geq 0$ (квадрат числа неотрицателен).
<br><b>Шаг 1.</b> Делаем замену $t = x^2$, $t \\geq 0$:
$$t^2 - 8t - 9 = 0$$
<b>Шаг 2.</b> Решаем по <b>теореме Виета</b> (ищем числа с суммой $8$ и произведением $-9$): это $9$ и $-1$.
$$(t - 9)(t + 1) = 0 \\implies t_1 = 9,\\; t_2 = -1$$
<b>Шаг 3.</b> Корень $t_2 = -1$ <em>не подходит</em>, так как $t = x^2 \\geq 0$. Остаётся $t = 9$.
<br><b>Шаг 4.</b> Возвращаемся к $x$:
$$x^2 = 9 \\implies x = \\pm\\sqrt{9} = \\pm 3$$
<b>Шаг 5.</b> Больший из корней $\\{-3,\\,3\\}$ — это $x = 3$.
<div class="sol-ans">Ответ: больший корень $x = 3$</div>`
      },
      {
        text: `В треугольнике $ABC$ $BC = 10$ см, $CM$ — биссектриса, $AM = MB = 8$ см.
               Найдите синус угла $B$.`,
        sol: `<b>Свойство:</b> если в треугольнике биссектриса является одновременно медианой, то треугольник — равнобедренный (с боковыми сторонами, выходящими из этой вершины).
<br><b>Шаг 1.</b> Условие $AM = MB = 8$ см означает, что $M$ — середина $AB$, то есть $CM$ является <em>медианой</em> из вершины $C$. По условию $CM$ — также <em>биссектриса</em>.
<br>По указанному свойству $\\triangle ABC$ равнобедренный с $AC = BC$, причём $BC = 10$ см дано, значит $AC = 10$ см.
<br>$AB = AM + MB = 8 + 8 = 16$ см.
<svg viewBox="0 0 200 105" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:260px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px 0">
  <polygon points="20,88 170,88 95,28" fill="rgba(37,99,235,0.07)" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
  <line x1="95" y1="28" x2="95" y2="88" stroke="#dc2626" stroke-width="1.8" stroke-dasharray="5,3"/>
  <polygon points="95,88 103,88 103,80 95,80" fill="none" stroke="#334155" stroke-width="1.2"/>
  <circle cx="95" cy="88" r="3" fill="#dc2626"/>
  <text x="6" y="100" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
  <text x="173" y="100" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
  <text x="91" y="22" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
  <text x="90" y="100" font-size="11" font-family="serif" font-style="italic" fill="#dc2626">M</text>
  <text x="50" y="56" font-size="11" fill="#334155">10</text>
  <text x="132" y="56" font-size="11" fill="#334155">10</text>
  <text x="90" y="102" font-size="11" fill="#334155">16</text>
  <text x="99" y="61" font-size="11" fill="#dc2626">h</text>
</svg>
<br><b>Шаг 2.</b> Применим <b>теорему косинусов:</b> $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\\cos\\gamma$, где $\\gamma$ — угол между сторонами $a$ и $b$, $c$ — сторона напротив этого угла.
<br>В $\\triangle ABC$: сторона $AC$ лежит напротив угла $B$, $BC$ и $AB$ — стороны, выходящие из вершины $B$. Поэтому:
$$AC^2 = BC^2 + AB^2 - 2\\cdot BC\\cdot AB\\cdot\\cos B$$
$$10^2 = 10^2 + 16^2 - 2\\cdot 10\\cdot 16\\cdot\\cos B$$
$$100 = 100 + 256 - 320\\cos B$$
$$320\\cos B = 256 \\implies \\cos B = \\dfrac{256}{320} = \\dfrac{4}{5}$$
<b>Шаг 3.</b> Применим <b>основное тригонометрическое тождество:</b> $\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1$.
<br>Угол $B$ — острый (так как $\\cos B \\gt 0$), значит $\\sin B \\gt 0$:
$$\\sin B = \\sqrt{1 - \\cos^2 B} = \\sqrt{1 - \\dfrac{16}{25}} = \\sqrt{\\dfrac{9}{25}} = \\dfrac{3}{5}$$
<div class="sol-ans">Ответ: $\\sin B = \\dfrac{3}{5}$</div>`
      },
      {
        text: `Найдите число целых решений неравенства
               $\\dfrac{(x+3)(-x^2+3x+4)}{x+2} \\geq 0$.`,
        sol: `<b>Метод интервалов</b> применяется для решения рациональных неравенств: находим корни числителя и знаменателя, отмечаем их на числовой прямой, определяем знак выражения на каждом интервале.
<br><b>Шаг 1.</b> Разложим квадратный трёхчлен в скобках. По <b>теореме Виета</b> ($x_1 + x_2 = 3$, $x_1 x_2 = -4$): корни $4$ и $-1$.
$$-x^2 + 3x + 4 = -(x^2 - 3x - 4) = -(x - 4)(x + 1)$$
<b>Шаг 2.</b> Подставляем в неравенство:
$$\\dfrac{(x + 3)\\cdot[-(x - 4)(x + 1)]}{x + 2} \\geq 0$$
Умножим обе части на $-1$ (знак неравенства меняется!):
$$\\dfrac{(x + 3)(x - 4)(x + 1)}{x + 2} \\leq 0$$
<b>Шаг 3.</b> Находим корни числителя ($-3,\\,-1,\\,4$) и точку, в которой выражение не определено: $x = -2$ (знаменатель равен нулю).
<br><b>Шаг 4.</b> Расставляем точки на числовой прямой и определяем знаки методом интервалов. Получаем:
$$x \\in [-3;\\,-2)\\cup[-1;\\,4]$$
(в точке $x = -2$ знаменатель обнуляется, поэтому она исключается; остальные корни числителя включаются, так как неравенство нестрогое).
<svg viewBox="0 0 310 52" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:310px;width:100%;height:auto;display:block;margin:6px 0">
  <defs><marker id="v40t7" viewBox="0 0 7 6" refX="7" refY="3" markerWidth="5" markerHeight="5" orient="auto"><path d="M0,0.5 L7,3 L0,5.5Z" fill="#555"/></marker></defs>
  <line x1="8" y1="26" x2="302" y2="26" stroke="#bbb" stroke-width="1.2" marker-end="url(#v40t7)"/>
  <line x1="45" y1="22" x2="45" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="45" y="43" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">−3</text>
  <line x1="85" y1="22" x2="85" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="85" y="43" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">−2</text>
  <line x1="125" y1="22" x2="125" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="125" y="43" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">−1</text>
  <line x1="245" y1="22" x2="245" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="245" y="43" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">4</text>
  <line x1="45" y1="26" x2="85" y2="26" stroke="#2563eb" stroke-width="4" opacity="0.55"/>
  <circle cx="45" cy="26" r="5" fill="#2563eb"/>
  <circle cx="85" cy="26" r="5" fill="white" stroke="#2563eb" stroke-width="2"/>
  <line x1="125" y1="26" x2="245" y2="26" stroke="#2563eb" stroke-width="4" opacity="0.55"/>
  <circle cx="125" cy="26" r="5" fill="#2563eb"/>
  <circle cx="245" cy="26" r="5" fill="#2563eb"/>
</svg>
<b>Шаг 5.</b> Считаем целые числа в найденных интервалах:
<br>— Из $[-3;\\,-2)$: только $-3$ (1 число).
<br>— Из $[-1;\\,4]$: $-1, 0, 1, 2, 3, 4$ (6 чисел).
<br>Всего: $1 + 6 = 7$.
<div class="sol-ans">Ответ: $7$ целых решений</div>`
      },
      {
        text: `График линейной функции проходит через точки $A(-2;\\; 1)$ и $B(-1;\\; -3)$.
               Запишите формулу, задающую эту функцию.
               Найдите, при каких значениях переменной функция принимает неотрицательные значения.`,
        sol: `<b>Линейная функция:</b> график $y = kx + b$ — прямая; коэффициенты $k$ и $b$ находятся подстановкой координат двух точек графика.
<br><b>Шаг 1.</b> Найдём угловой коэффициент по формуле $k = \\dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$:
$$k = \\dfrac{-3 - 1}{-1 - (-2)} = \\dfrac{-4}{1} = -4$$
<b>Шаг 2.</b> Найдём $b$, подставив точку $A(-2;\\,1)$ в уравнение $y = kx + b$:
$$1 = -4\\cdot(-2) + b \\implies 1 = 8 + b \\implies b = -7$$
Значит, $f(x) = -4x - 7$.
<br><b>Шаг 3. Проверка</b> по второй точке $B(-1;\\,-3)$:
$$f(-1) = -4\\cdot(-1) - 7 = 4 - 7 = -3 \\quad \\checkmark$$
<b>Шаг 4.</b> «Функция принимает неотрицательные значения» означает $f(x) \\geq 0$. Решаем неравенство:
$$-4x - 7 \\geq 0 \\implies -4x \\geq 7$$
Делим обе части на $-4$ (отрицательное число — знак неравенства меняется):
$$x \\leq -\\dfrac{7}{4}$$
<div class="sol-ans">Ответ: $f(x)=-4x-7$;&ensp;функция неотрицательна при $x\\leq-\\dfrac{7}{4}$</div>`
      },
      {
        text: `Найдите площадь треугольника, если две его стороны равны $5$ см и $12$ см,
               а медиана, проведённая к третьей стороне, равна $6{,}5$ см.`,
        sol: `<b>Шаг 1. Строим параллелограмм.</b>
<br>Пусть $M$ — середина третьей стороны $AB$, а $CM=6{,}5$ — медиана. Отметим точку $D$ так, чтобы $M$ стала серединой отрезка $CD$ ($MD=CM=6{,}5$, $CD=13$).
<br>Тогда $ACBD$ — <b>параллелограмм</b>, диагонали $AB$ и $CD$ делятся точкой $M$ пополам.
<svg viewBox="0 0 155 130" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:240px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px 0">
  <polygon points="107,110 35,110 35,14 107,14" fill="rgba(234,179,8,0.10)" stroke="#ca8a04" stroke-width="1.3" stroke-dasharray="5,3"/>
  <polygon points="35,110 107,110 35,14" fill="rgba(37,99,235,0.12)" stroke="#2563eb" stroke-width="2"/>
  <polygon points="107,110 35,110 107,14" fill="rgba(22,163,74,0.12)" stroke="#16a34a" stroke-width="1.3"/>
  <line x1="35" y1="110" x2="107" y2="14" stroke="#dc2626" stroke-width="1.8"/>
  <circle cx="71" cy="62" r="3.5" fill="#dc2626"/>
  <polygon points="35,110 43,110 43,102 35,102" fill="none" stroke="#2563eb" stroke-width="1.2"/>
  <polygon points="107,110 107,102 99,102 99,110" fill="none" stroke="#16a34a" stroke-width="1.2"/>
  <text x="20" y="122" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
  <text x="110" y="122" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
  <text x="20" y="10" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
  <text x="110" y="10" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">D</text>
  <text x="67" y="57" font-size="11" font-family="serif" font-style="italic" fill="#dc2626">M</text>
  <text x="66" y="122" font-size="11" fill="#334155">5</text>
  <text x="22" y="65" font-size="11" fill="#334155">12</text>
  <text x="112" y="65" font-size="11" fill="#16a34a">12</text>
  <text x="66" y="9" font-size="11" fill="#334155">5</text>
  <text x="38" y="84" font-size="10" fill="#dc2626">6,5</text>
  <text x="82" y="42" font-size="10" fill="#dc2626">6,5</text>
  <text x="72" y="75" font-size="11" fill="#dc2626">13</text>
</svg>
<b>Шаг 2. Стороны параллелограмма.</b>
<br>$AC=BD=5$, $BC=AD=12$, диагональ $CD=2\\cdot6{,}5=13$.
<b>Шаг 3. Треугольник $ACD$ — прямоугольный.</b>
<br>Стороны $AC=5$, $AD=12$, $CD=13$:
$$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2 \\checkmark$$
По обратной теореме Пифагора: $\\angle A = 90°$.
$$S_{\\triangle ACD} = \\dfrac{1}{2}\\cdot AC\\cdot AD = \\dfrac{1}{2}\\cdot5\\cdot12 = 30\\text{ см}^2$$
<b>Шаг 4. Площадь исходного треугольника.</b>
<br>Диагональ $CD$ делит параллелограмм на два равных треугольника:
$$S_{\\triangle ABC} = S_{\\triangle ACD} = 30\\text{ см}^2$$
<div class="sol-ans">Ответ: $30$ см²</div>`
      },
      {
        text: `Из двух домов, расстояние между которыми $280$ м, вышли и одновременно пошли
               в одном направлении в школу мальчик и девочка. Девочка идёт впереди мальчика.
               Скорость девочки $70$ м/мин, скорость мальчика $5{,}4$ км/ч.
               Догонит ли мальчик девочку до прихода в школу, если путь девочки занимает $6$ мин?
               Ответ обоснуйте.`,
        sol: `<b>Переводим скорость мальчика:</b>
$$5{,}4\\text{ км/ч} = \\dfrac{5400\\text{ м}}{60\\text{ мин}} = 90\\text{ м/мин}$$
<b>Расстояние до школы</b> (от девочки): $70\\times6=420$ м. Мальчик стартует на $280$ м позади, значит ему до школы $420+280=700$ м.
<br><b>Скорость сближения:</b> мальчик быстрее на $90-70=20$ м/мин. Начальный разрыв $=280$ м.
<br><b>Время до нагона:</b>
$$t = \\dfrac{280}{20} = 14\\text{ мин}$$
Но девочка добирается до школы за $6$ мин, а мальчику нужно $14>6$ мин, чтобы её нагнать.
<br>Проверим по позициям (отсчёт от старта девочки):
<table style="border-collapse:collapse;font-size:12px;margin:6px 0">
<tr style="background:#f1f5f9"><td style="padding:3px 10px;border:1px solid #cbd5e1">Момент</td><td style="padding:3px 10px;border:1px solid #cbd5e1">Девочка</td><td style="padding:3px 10px;border:1px solid #cbd5e1">Мальчик</td></tr>
<tr><td style="padding:3px 10px;border:1px solid #cbd5e1">$t=0$</td><td style="padding:3px 10px;border:1px solid #cbd5e1">$0$ м</td><td style="padding:3px 10px;border:1px solid #cbd5e1">$-280$ м</td></tr>
<tr><td style="padding:3px 10px;border:1px solid #cbd5e1">$t=6$ мин</td><td style="padding:3px 10px;border:1px solid #cbd5e1">$420$ м (школа) ✓</td><td style="padding:3px 10px;border:1px solid #cbd5e1">$-280+540=260$ м</td></tr>
</table>
В момент, когда девочка прибыла в школу ($420$ м), мальчик находится на расстоянии $420-260=160$ м позади.
<div class="sol-ans">Ответ: нет, мальчик <b>не догонит</b> — время нагона $14$ мин, а путь девочки $6$ мин</div>`
      },
    ]
};
