VARIANTS[72] = {
    label: "Вариант 72",
    tasks: [
      {
        text: `Какое из данных чисел является решением неравенства $2x \\geq -3$:`,
        opts: [
          ["а", "$-2$"], ["б", "$-2{,}5$"], ["в", "$-1$"], ["г", "$-1{,}7$"], ["д", "$-3$"],
        ],
        sol: `Решаем: $2x \\geq -3 \\Rightarrow x \\geq -1{,}5$. Из вариантов только в) $-1 \\geq -1{,}5$.
<div class="sol-ans">Ответ: в)&ensp;$-1$</div>`
      },
      {
        text: `Какое из следующих выражений равно $a^8$:`,
        opts: [
          ["а", "$(a^5)^{-3}$"], ["б", "$(a^2)^6$"], ["в", "$a \\cdot a^7$"],
          ["г", "$a^{24}/a^3$"], ["д", "$a^{16}/a^2$"],
        ],
        sol: `Умножение степеней: $a\\cdot a^7=a^{1+7}=a^8$ — верно ✓. Проверим остальные: а) $a^{-15}$; б) $a^{12}$; г) $a^{21}$; д) $a^{14}$ — не $a^8$.
<div class="sol-ans">Ответ: в)&ensp;$a\\cdot a^7$</div>`
      },
      {
        text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
        opts: [
          ["а", "отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны, называется медианой;"],
          ["б", "у любого параллелограмма все стороны равны;"],
          ["в", "сторона ромба с периметром $P$ равна $a = \\dfrac{P}{4}$;"],
          ["г", "в любой треугольник можно вписать окружность?"],
        ],
        sol: `<ul>
  <li>а) Медиана — отрезок из вершины в середину противолежащей стороны — <b>верно</b>;</li>
  <li>б) У любого параллелограмма все стороны равны — <b style="color:#dc2626">НЕВЕРНО</b>. Все четыре стороны равны лишь у ромба;</li>
  <li>в) Сторона ромба $a=P/4$ — <b>верно</b>;</li>
  <li>г) В любой треугольник можно вписать окружность — <b>верно</b>.</li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: б)</div>`
      },
      {
        text: `Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые
               $2m^2(1-3m) - (-m^3 + 5m^2)$.`,
        sol: `Раскрываем скобки:
$$2m^2(1-3m)-(-m^3+5m^2)=2m^2-6m^3+m^3-5m^2$$
Приводим подобные:
$$=-3m^2-5m^3$$
<div class="sol-ans">Ответ: $-5m^3-3m^2$</div>`
      },
      {
        text: `Ордината точки, принадлежащей графику функции $y = -x + 2$,
               равна числу, противоположному числу $-5$.
               Найдите абсциссу этой точки.`,
        sol: `<b>Противоположное число</b> к числу $a$ — это число $-a$ (их сумма равна нулю).
<br><b>Шаг 1.</b> Число, противоположное $-5$, равно $-(-5) = 5$. Значит, ордината нашей точки $y = 5$.
<br><b>Шаг 2.</b> Точка принадлежит графику $y = -x + 2$, поэтому её координаты удовлетворяют уравнению. Подставим $y = 5$:
$$-x + 2 = 5.$$
<b>Шаг 3.</b> Перенесём $2$ вправо с противоположным знаком:
$$-x = 5 - 2 = 3.$$
<b>Шаг 4.</b> Умножим обе части на $-1$:
$$x = -3.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $x=-3$</div>`
      },
      {
        text: `При помощи циркуля и линейки постройте прямоугольный треугольник по катету
               и проекции этого катета на гипотенузу. Запишите алгоритм построения.`,
        sol: `<b>Дано:</b> катет $a$ и его проекция $m$ на гипотенузу.
<br><b>Ключевое соотношение:</b> $a^2=m\\cdot c$, откуда $c=a^2/m$.
<br><b>Алгоритм построения:</b>
<ol>
  <li>Построить гипотенузу $c$: из соотношения $m:a=a:c$ методом третьего пропорционального. На луче отложить $OA=m$ и $OB=a$ (в ту же сторону). Построить полуокружность с диаметром $OB$, провести из $A$ перпендикуляр — он пересечёт полуокружность в точке $Q$, $OQ=\\sqrt{ma}$. Повторить для $a:\\sqrt{ma}=\\sqrt{ma}:c$, получить $c=a^2/m$.</li>
  <li>Построить второй катет $b=\\sqrt{c^2-a^2}$ через теорему Пифагора (полуокружность на гипотенузе).</li>
  <li>Построить прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$.</li>
</ol>
<b>Обоснование:</b> $a^2=m\\cdot c$ — катет является средним геометрическим гипотенузы и своей проекции.
<div class="sol-ans">Ответ: алгоритм описан выше</div>`
      },
      {
        text: `Упростите выражение
               $\\left(\\dfrac{a}{3ab-b^2} - \\dfrac{5b}{3a^2-ab}\\right) : \\dfrac{5b^2-a^2}{ab^2-3a^2b}$.`,
        sol: `<b>Вынесение общего множителя за скобки:</b> $ax\\pm ay=a(x\\pm y)$.
<br><b>Правило вычитания дробей с разными знаменателями:</b> приводим к общему знаменателю.
<br><b>Правило деления дробей:</b> $\\dfrac{A}{B}:\\dfrac{C}{D}=\\dfrac{A}{B}\\cdot\\dfrac{D}{C}$.
<br><b>Шаг 1.</b> Разложим знаменатели первой и второй дробей на множители:
$$3ab-b^2 = b(3a-b),\\qquad 3a^2-ab = a(3a-b).$$
<b>Шаг 2.</b> Приведём скобку к общему знаменателю $ab(3a-b)$. Первую дробь домножим на $\\dfrac{a}{a}$, вторую — на $\\dfrac{b}{b}$:
$$\\dfrac{a}{b(3a-b)}-\\dfrac{5b}{a(3a-b)} = \\dfrac{a\\cdot a - 5b\\cdot b}{ab(3a-b)} = \\dfrac{a^2-5b^2}{ab(3a-b)}.$$
<b>Шаг 3.</b> Преобразуем делитель. Заметим: $5b^2-a^2 = -(a^2-5b^2)$ и $ab^2-3a^2b = ab(b-3a) = -ab(3a-b)$. Знаки минус сокращаются:
$$\\dfrac{5b^2-a^2}{ab^2-3a^2b} = \\dfrac{-(a^2-5b^2)}{-ab(3a-b)} = \\dfrac{a^2-5b^2}{ab(3a-b)}.$$
<b>Шаг 4.</b> Делим скобку на делитель — умножаем на обратную дробь. Дроби одинаковы, значит их частное равно $1$:
$$\\dfrac{a^2-5b^2}{ab(3a-b)}\\cdot\\dfrac{ab(3a-b)}{a^2-5b^2}=1.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $1$</div>`
      },
      {
        text: `На рисунке изображён график функции $y = -2x^2 + 7x + c$.
               Определите координаты точек $A$ и $B$.`,
        figure: `<img src="/img/exam9/v72_t8.png" class="task-fig" />`,
        sol: `<b>Точки пересечения параболы с осью $Ox$</b> — это её нули, то есть значения $x$, при которых $y=0$.
<br><b>Точка пересечения параболы с осью $Oy$:</b> при $x=0$ ордината равна свободному члену.
<br><b>Формула корней квадратного уравнения:</b> $x = \\dfrac{-b\\pm\\sqrt{D}}{2a}$, где $D = b^2-4ac$.
<br><b>Шаг 1. Определим $c$ по графику.</b> Подставив $x=0$ в формулу функции, получаем $y=c$. По рисунку парабола пересекает ось $Oy$ при $y=15$, значит $c=15$.
<br><b>Шаг 2.</b> Найдём точки пересечения параболы с осью $Ox$ из уравнения $y=0$:
$$-2x^2+7x+15=0.$$
Умножим обе части на $-1$:
$$2x^2-7x-15=0.$$
<b>Шаг 3.</b> Найдём дискриминант ($a=2$, $b=-7$, $c=-15$):
$$D=(-7)^2-4\\cdot 2\\cdot(-15)=49+120=169,\\quad \\sqrt{D}=13.$$
<b>Шаг 4.</b> Подставим в формулу корней:
$$x_1=\\dfrac{7+13}{4}=5,\\qquad x_2=\\dfrac{7-13}{4}=-\\dfrac{6}{4}=-1{,}5.$$
<b>Шаг 5.</b> Точка с меньшей абсциссой обычно обозначается $A$, с большей — $B$. Координаты обеих точек на оси $Ox$, то есть $y=0$:
$$A(-1{,}5;\\,0),\\qquad B(5;\\,0).$$
<div class="sol-ans">Ответ: $A(-1{,}5;\\;0)$, $B(5;\\;0)$ (по рисунку)</div>`
      },
      {
        text: `На подкормку рассады овощей в теплице израсходовали $12$ кг удобрений,
               что составило $\\dfrac{1}{6}$ массы удобрений, купленных на складе.
               Сколько всего килограммов удобрений было на складе,
               если купили $0{,}01$ имевшихся там удобрений?`,
        sol: `<b>Правило нахождения целого по части:</b> если $a$ составляет $\\dfrac{p}{q}$ часть числа $A$, то $A=a:\\dfrac{p}{q}=a\\cdot\\dfrac{q}{p}$.
<br><b>Шаг 1. Найдём массу купленных удобрений.</b> Израсходованные $12$ кг — это $\\dfrac{1}{6}$ от купленного, значит купленная масса в $6$ раз больше:
$$M_{куп}=12 : \\dfrac{1}{6} = 12\\cdot 6 = 72\\text{ кг}.$$
<b>Шаг 2. Найдём весь запас удобрений на складе.</b> По условию $72$ кг составляют $0{,}01$ имевшейся на складе массы. Обозначим её $M$. Составим уравнение:
$$0{,}01\\cdot M = 72.$$
<b>Шаг 3.</b> Разделим обе части на $0{,}01$:
$$M=\\dfrac{72}{0{,}01}=7200\\text{ кг}.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $7200$ кг</div>`
      },
      {
        text: `В треугольнике $ABC$ проведена высота $BH$.
               Биссектриса угла $C$ делит высоту $BH$ в отношении $13:5$, считая от точки $B$.
               Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, если $AB = 48$.`,
        sol: `<b>Свойство биссектрисы треугольника:</b> биссектриса делит противоположную сторону в отношении, равном отношению прилежащих сторон. Если в $\\triangle XYZ$ биссектриса из $Y$ пересекает $XZ$ в точке $L$, то $XL:LZ = XY:YZ$.
<br><b>Теорема Пифагора:</b> в прямоугольном треугольнике $c^2 = a^2 + b^2$.
<br><b>Теорема синусов:</b> $\\dfrac{AB}{\\sin C} = 2R$, где $R$ — радиус описанной окружности.
<br><b>Шаг 1.</b> Пусть биссектриса угла $C$ пересекает высоту $BH$ в точке $D$. По условию $BD:DH = 13:5$.
<br>Рассмотрим прямоугольный треугольник $BCH$ (так как $BH$ — высота, $\\angle BHC = 90^\\circ$). В нём $CD$ — биссектриса угла $C$, значит, по свойству биссектрисы для треугольника $BCH$:
$$\\dfrac{BC}{CH} = \\dfrac{BD}{DH} = \\dfrac{13}{5}.$$
<b>Шаг 2.</b> Введём параметр $t$: пусть $BC = 13t$, $CH = 5t$. Из прямоугольного $\\triangle BCH$ по теореме Пифагора найдём $BH$:
$$BH = \\sqrt{BC^2 - CH^2} = \\sqrt{(13t)^2 - (5t)^2} = \\sqrt{169t^2 - 25t^2} = \\sqrt{144t^2} = 12t.$$
<svg viewBox="0 0 240 200" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:320px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
  <polygon points="40,170 150,50 200,170" fill="rgba(37,99,235,0.06)" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
  <line x1="150" y1="50" x2="150" y2="170" stroke="#16a34a" stroke-width="1.3" stroke-dasharray="4,3"/>
  <polygon points="150,170 142,170 142,162 150,162" fill="none" stroke="#334155" stroke-width="1.2"/>
  <line x1="200" y1="170" x2="150" y2="137" stroke="#f97316" stroke-width="1.8" stroke-dasharray="5,3"/>
  <circle cx="150" cy="137" r="3.5" fill="#f97316"/>
  <text x="25" y="183" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
  <text x="146" y="44" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
  <text x="203" y="183" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
  <text x="152" y="183" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic" fill="#334155">H</text>
  <text x="135" y="135" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic" fill="#f97316">D</text>
  <text x="172" y="183" font-size="10" fill="#475569" text-anchor="middle">5t</text>
  <text x="178" y="148" font-size="11" fill="#334155">13t</text>
  <text x="156" y="115" font-size="11" fill="#16a34a">12t</text>
  <text x="156" y="98" font-size="10" fill="#f97316">BD=13</text>
  <text x="156" y="158" font-size="10" fill="#f97316">DH=5</text>
</svg>
<b>Шаг 3.</b> В прямоугольном $\\triangle BCH$: $\\sin C$ — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:
$$\\sin C = \\dfrac{BH}{BC} = \\dfrac{12t}{13t} = \\dfrac{12}{13}.$$
<b>Шаг 4.</b> Применим теорему синусов к $\\triangle ABC$: сторона $AB$ лежит против угла $C$, поэтому $\\dfrac{AB}{\\sin C} = 2R$. Отсюда:
$$R = \\dfrac{AB}{2\\sin C} = \\dfrac{48}{2\\cdot\\dfrac{12}{13}} = \\dfrac{48\\cdot 13}{2\\cdot 12} = \\dfrac{48\\cdot 13}{24} = 2\\cdot 13 = 26.$$
<div class="sol-ans">Ответ: $R=26$</div>`
      },
    ]
};
