VARIANTS[16] = {
    label: "Вариант 16",
    tasks: [
      {
        text: `Определите, какое из следующих множеств <b>НЕ</b> может быть областью определения
               нечётной функции:`,
        opts: [
          ["а", "$(-\\infty;\\ {+\\infty})$"],
          ["б", "$[-9;\\ 0) \\cup (0;\\ 9]$"],
          ["в", "$[-10;\\ 10]$"],
          ["г", "$(-8;\\ {-1}) \\cup (-1;\\ 1) \\cup (1;\\ 8)$"],
          ["д", "$[-11;\\ 11)$"],
        ],
        sol: `Область нечётной функции симметрична относительно нуля.
<ul>
<li>а–г) все симметричны ✓</li>
<li>д) $[-11;11)$: $-11$ включён, $11$ исключён — <b style="color:#dc2626">несимметрично</b> ✗</li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: д)</div>`
      },
      {
        text: `Запись числового выражения $3^4 \\cdot 3^3 : 3^2$ в виде степени с основанием $3$
               имеет вид:`,
        opts: [
          ["а", "$3^9$"], ["б", "$3^{-1}$"], ["в", "$3^3$"],
          ["г", "$3^4$"],  ["д", "$3^5$"],
        ],
        sol: `Умножение — складываем показатели, деление — вычитаем:
$$3^4\\cdot3^3:3^2 = 3^{4+3-2} = 3^5$$
<div class="sol-ans">Ответ: д)&ensp;$3^5$</div>`
      },
      {
        text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
        opts: [
          ["а", "биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке;"],
          ["б", "$\\sin 150^{\\circ} = -\\dfrac{1}{2}$;"],
          ["в", "диаметр окружности, описанной около квадрата, равен его диагонали;"],
          ["г", "медиана треугольника делит сторону, к которой она проведена, пополам?"],
        ],
        sol: `<ul>
<li>а) Биссектрисы пересекаются в инцентре — <b>верно</b></li>
<li>б) $\\sin150°=-\\dfrac{1}{2}$ — <b style="color:#dc2626">НЕВЕРНО</b>: $\\sin150°=+\\dfrac{1}{2}$</li>
<li>в) Диаметр описанной окружности квадрата равен его диагонали — <b>верно</b></li>
<li>г) Медиана проведена к середине стороны — <b>верно</b></li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: б)</div>`
      },
      {
        text: `Найдите второй член последовательности, заданной формулой $a_n = 2n^2 + 5n + 1$.`,
        sol: `$$a_2 = 2\\cdot2^2+5\\cdot2+1 = 8+10+1 = 19$$
<div class="sol-ans">Ответ: $19$</div>`
      },
      {
        text: `Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность, $P$ — точка пересечения диагоналей,
               $\\angle ACB = 48^{\\circ}$, $\\angle CAD = 54^{\\circ}$. Найдите $\\angle CPD$.`,
        sol: `<svg viewBox="0 0 190 155" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:190px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
  <circle cx="88" cy="73" r="65" fill="none" stroke="#cbd5e1" stroke-width="1.2"/>
  <polygon points="44,28 152,73 108,135 24,73" fill="rgba(37,99,235,0.06)" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
  <line x1="44" y1="28" x2="108" y2="135" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="4,2"/>
  <line x1="152" y1="73" x2="24" y2="73" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="4,2"/>
  <circle cx="72" cy="73" r="3" fill="#1e293b"/>
  <text x="70" y="67" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic">P</text>
  <text x="38" y="23" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
  <text x="155" y="76" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
  <text x="110" y="149" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
  <text x="8" y="76" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">D</text>
  <text x="92" y="120" font-size="10" fill="#2563eb">48°</text>
  <text x="50" y="48" font-size="10" fill="#e11d48">54°</text>
</svg>
<b>Теорема о вписанном угле:</b> вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается; равносильно, дуга равна удвоенному вписанному углу.
<br><b>Теорема об угле между хордами:</b> угол между двумя пересекающимися внутри окружности хордами равен полусумме двух перехваченных дуг.
<br><br>
<b>Шаг 1.</b> Угол $\\angle ACB = 48°$ — вписанный, опирается на дугу $AB$. По теореме о вписанном угле:
$$\\overset{\\frown}{AB} = 2\\cdot\\angle ACB = 2\\cdot 48° = 96°$$
<b>Шаг 2.</b> Угол $\\angle CAD = 54°$ — вписанный, опирается на дугу $CD$:
$$\\overset{\\frown}{CD} = 2\\cdot\\angle CAD = 2\\cdot 54° = 108°$$
<b>Шаг 3.</b> Точка $P$ — пересечение диагоналей $AC$ и $BD$ внутри окружности. Угол $\\angle CPD$ — между хордами $AC$ и $BD$, причём он перехватывает дуги $CD$ и $AB$ (противоположные дуги).
<br><b>Шаг 4.</b> По теореме об угле между хордами:
$$\\angle CPD = \\dfrac{\\overset{\\frown}{CD}+\\overset{\\frown}{AB}}{2} = \\dfrac{108°+96°}{2} = \\dfrac{204°}{2} = 102°$$
<div class="sol-ans">Ответ: $102°$</div>`
      },
      {
        text: `Упростите выражение $|x - 4| + |x + 4| - 2$, если $x \\in (-4;\\ 0]$.`,
        sol: `<b>Определение модуля:</b> $|A| = A$, если $A\\geq 0$, и $|A| = -A$, если $A\\lt 0$.
<br><b>Идея:</b> для раскрытия модуля нужно определить знак подмодульного выражения на заданном промежутке.
<br><br>
<b>Шаг 1.</b> Определим знак $x-4$ при $x\\in(-4;\\,0]$.
<br>Так как $x\\leq 0$, то $x-4\\leq -4\\lt 0$. По определению модуля:
$$|x-4| = -(x-4) = 4-x$$
<b>Шаг 2.</b> Определим знак $x+4$ на промежутке $(-4;\\,0]$.
<br>Так как $x\\gt -4$ (по условию), то $x+4\\gt 0$. По определению модуля:
$$|x+4| = x+4$$
<b>Шаг 3.</b> Подставляем раскрытые модули в исходное выражение:
$$|x-4| + |x+4| - 2 = (4-x) + (x+4) - 2$$
<b>Шаг 4.</b> Приводим подобные слагаемые:
$$4 - x + x + 4 - 2 = (4+4-2) + (-x+x) = 6$$
Выражение оказалось <em>постоянным</em> на всём данном промежутке.
<div class="sol-ans">Ответ: $6$ (константа на всём промежутке)</div>`
      },
      {
        text: `Найдите все значения переменной, при которых значение выражения
               $\\dfrac{x + 2}{x + 3} + \\dfrac{2x}{x^2 - 9}$ равно нулю.`,
        sol: `<b>Решение дробно-рациональных уравнений:</b> 1) находим ОДЗ; 2) умножаем обе части на общий знаменатель; 3) решаем полученное уравнение; 4) проверяем корни на принадлежность ОДЗ.
<br><b>Формула разности квадратов:</b> $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.
<br><b>Теорема Виета (обратная):</b> $x^2+px+q=(x-x_1)(x-x_2)$, где $x_1+x_2=-p$, $x_1\\cdot x_2=q$.
<br><br>
<b>Шаг 1.</b> Запишем уравнение:
$$\\dfrac{x+2}{x+3} + \\dfrac{2x}{x^2-9} = 0$$
<b>Шаг 2.</b> Разложим знаменатель $x^2-9$ по формуле разности квадратов: $x^2-9=(x-3)(x+3)$. Это общий знаменатель.
<br>ОДЗ: $x\\neq 3$ и $x\\neq -3$.
<br><b>Шаг 3.</b> Умножим обе части уравнения на $(x-3)(x+3)$:
$$(x+2)(x-3) + 2x = 0$$
<b>Шаг 4.</b> Раскрываем скобки:
$$x^2 + 2x - 3x - 6 + 2x = 0$$
$$x^2 + x - 6 = 0$$
<b>Шаг 5.</b> По теореме Виета: $x_1+x_2=-1$, $x_1\\cdot x_2=-6$. Подходят $-3$ и $2$:
$$(x+3)(x-2) = 0 \\implies x = -3 \\text{ или } x = 2$$
<b>Шаг 6.</b> Проверяем ОДЗ: $x=-3$ не входит (отбрасываем). Остаётся $x=2$.
<br><b>Проверка</b> $x=2$:
$$\\dfrac{2+2}{2+3} + \\dfrac{2\\cdot 2}{4-9} = \\dfrac{4}{5} + \\dfrac{4}{-5} = \\dfrac{4}{5} - \\dfrac{4}{5} = 0 \\checkmark$$
<div class="sol-ans">Ответ: $x=2$</div>`
      },
      {
        text: `Если двузначное число разделить на сумму его цифр, в частном получим $6$,
               а в остатке — $5$. Если число, записанное теми же цифрами в обратном порядке,
               разделить на произведение цифр, то в частном получим $2$, а в остатке — $5$.
               Найдите это число.`,
        sol: `<b>Запись двузначного числа:</b> $10a+b$, где $a$ — цифра десятков ($1\\leq a\\leq 9$), $b$ — цифра единиц ($0\\leq b\\leq 9$). Число с теми же цифрами в обратном порядке: $10b+a$.
<br><b>Теорема о делении с остатком:</b> если $N$ при делении на $d$ даёт частное $q$ и остаток $r$, то $N = d\\cdot q + r$, $0\\leq r\\lt d$.
<br><br>
<b>Шаг 1.</b> Обозначим за $10a+b$ исходное число.
<br><b>Шаг 2.</b> <em>Первое условие:</em> деление на сумму цифр $a+b$ даёт частное $6$ и остаток $5$:
$$10a + b = 6(a+b) + 5$$
$$10a + b = 6a + 6b + 5$$
$$4a - 5b = 5 \\quad (*)$$
<b>Шаг 3.</b> Найдём пары цифр $(a;b)$, удовлетворяющие $(*)$. Преобразуем:
$$4a = 5b + 5 = 5(b+1)$$
Левая часть делится на $5$, поэтому $a$ кратно $5$, то есть $a=5$ (другой кратный $5$ — это $0$, что невозможно для двузначного числа).
<br>При $a=5$: $20 = 5(b+1) \\Rightarrow b+1 = 4 \\Rightarrow b = 3$.
<br>Получаем число $\\boldsymbol{53}$.
<br><b>Шаг 4.</b> <em>Второе условие</em> (проверка): число в обратном порядке $= 10b+a = 35$. Произведение цифр $= 5\\cdot 3 = 15$. По условию частное $2$, остаток $5$:
$$2\\cdot 15 + 5 = 30 + 5 = 35 \\checkmark$$
И остаток $5\\lt 15$ — корректно.
<br><b>Проверка условия 1:</b> сумма цифр $= 8$; $53:8 = 6$ (ост. $5$), так как $6\\cdot 8+5 = 48+5=53$ ✓.
<div class="sol-ans">Ответ: $53$</div>`
      },
      {
        text: `Найдите разность наибольшего и наименьшего целых решений двойного неравенства
               $x + 6 \\leq x^2 < 24 - 5x$.`,
        sol: `<b>Двойное неравенство</b> $A\\leq B\\lt C$ равносильно системе $\\{A\\leq B,\\; B\\lt C\\}$. Решаем каждую часть и берём пересечение.
<br><b>Метод интервалов</b> для квадратного неравенства: раскладываем трёхчлен на множители.
<br><b>Теорема Виета (обратная):</b> $x^2+px+q=(x-x_1)(x-x_2)$, где $x_1+x_2=-p$, $x_1\\cdot x_2=q$.
<br><br>
<b>Шаг 1.</b> Решаем первую часть: $x+6 \\leq x^2$, то есть $x^2 \\geq x+6$.
<br>Переносим всё влево:
$$x^2 - x - 6 \\geq 0$$
По теореме Виета: $x_1+x_2=1$, $x_1\\cdot x_2=-6$. Подходят $3$ и $-2$:
$$(x-3)(x+2) \\geq 0$$
Произведение неотрицательно вне корней: $x\\leq -2$ или $x\\geq 3$.
<br><b>Шаг 2.</b> Решаем вторую часть: $x^2 \\lt 24-5x$.
<br>Переносим всё влево:
$$x^2 + 5x - 24 \\lt 0$$
По теореме Виета: $x_1+x_2=-5$, $x_1\\cdot x_2=-24$. Подходят $-8$ и $3$:
$$(x+8)(x-3) \\lt 0$$
Произведение отрицательно между корнями: $-8\\lt x\\lt 3$.
<br><b>Шаг 3.</b> Берём пересечение:
$$(x\\leq -2 \\text{ или } x\\geq 3) \\cap (-8\\lt x\\lt 3) = -8 \\lt x \\leq -2$$
<svg viewBox="0 0 265 52" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:265px;width:100%;height:auto;display:block;margin:10px 0">
  <defs><marker id="a16t9" viewBox="0 0 7 6" refX="7" refY="3" markerWidth="5" markerHeight="5" orient="auto"><path d="M0,0.5 L7,3 L0,5.5Z" fill="#555"/></marker></defs>
  <line x1="8" y1="26" x2="255" y2="26" stroke="#bbb" stroke-width="1.2" marker-end="url(#a16t9)"/>
  <line x1="35" y1="22" x2="35" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="35" y="44" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">−9</text>
  <line x1="80" y1="22" x2="80" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="80" y="44" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">−7</text>
  <line x1="125" y1="22" x2="125" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="125" y="44" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">−5</text>
  <line x1="170" y1="22" x2="170" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="170" y="44" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">−3</text>
  <line x1="215" y1="22" x2="215" y2="30" stroke="#777" stroke-width="1"/><text x="215" y="44" font-size="10" text-anchor="middle" fill="#555">−1</text>
  <line x1="57" y1="26" x2="193" y2="26" stroke="#2563eb" stroke-width="4" stroke-linecap="round" opacity="0.55"/>
  <circle cx="57" cy="26" r="5" fill="white" stroke="#2563eb" stroke-width="2"/>
  <circle cx="193" cy="26" r="5" fill="#2563eb"/>
</svg>
<b>Шаг 4.</b> Целые числа из $(-8;\\,-2]$: $-7,\\,-6,\\,-5,\\,-4,\\,-3,\\,-2$.
<br>Наибольшее $= -2$, наименьшее $= -7$.
<br><b>Шаг 5.</b> Разность:
$$-2 - (-7) = 5$$
<div class="sol-ans">Ответ: $5$</div>`
      },
      {
        text: `Точка $M$ — середина стороны $BC$ параллелограмма $ABCD$ с площадью $240$ см².
               Отрезок $AM$ пересекает диагональ $BD$ в точке $F$.
               Найдите площадь четырёхугольника $FMCD$.`,
        figure: `<svg class="task-fig" viewBox="0 0 265 168" width="265" height="168">
  <polygon points="35,143 200,143 220,35 55,35" fill="rgba(37,99,235,0.07)" stroke="#334155" stroke-width="2.2"/>
  <polygon points="152,107 210,89 220,35 55,35" fill="rgba(251,146,60,0.2)" stroke="none"/>
  <line x1="200" y1="143" x2="55" y2="35" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="5,3"/>
  <line x1="35" y1="143" x2="210" y2="89" stroke="#2563eb" stroke-width="1.8"/>
  <circle cx="152" cy="107" r="3.5" fill="#1e293b"/>
  <circle cx="210" cy="89" r="3.5" fill="#1e293b"/>
  <text x="21" y="156" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">A</text>
  <text x="203" y="156" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">B</text>
  <text x="223" y="30" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">C</text>
  <text x="41" y="30" font-size="14" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">D</text>
  <text x="216" y="87" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">M</text>
  <text x="140" y="105" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic" fill="#1e293b">F</text>
  <text x="148" y="62" font-size="11" font-family="sans-serif" fill="#c2410c">FMCD</text>
</svg>`,
        sol: `<b>Метод координат:</b> вводим координаты вершин параллелограмма, чтобы свести задачу к вычислениям. Площадь от выбора координат не зависит — отношение площадей сохраняется.
<br><b>Формула Гаусса (площадь многоугольника по координатам):</b> для четырёхугольника с вершинами $(x_i;y_i)$:
$$2S = \\left|\\sum_i x_i(y_{i+1}-y_{i-1})\\right|$$
<br><br>
<b>Шаг 1 — выбираем координаты.</b>
<br>Поместим вершины параллелограмма так: $A=(0;0)$, $B=(1;0)$, $C=(1;1)$, $D=(0;1)$ (получится квадрат единичной площади, но отношения площадей такие же, как в любом параллелограмме).
<br>$M$ — середина $BC$, поэтому $M=\\bigl(1;\\tfrac{1}{2}\\bigr)$.
<br><b>Шаг 2 — находим точку F.</b>
<br>Прямая $AM$: точки вида $(t;\\tfrac{t}{2})$, где $t\\in[0;1]$.
<br>Прямая $BD$: точки вида $(1-s;s)$, где $s\\in[0;1]$.
<br>В точке $F$ обе прямые пересекаются:
$$t = 1-s,\\quad \\tfrac{t}{2} = s$$
Подставляем $s = \\tfrac{t}{2}$ в первое: $t = 1-\\tfrac{t}{2} \\Rightarrow \\tfrac{3t}{2}=1 \\Rightarrow t=\\tfrac{2}{3}$, $s=\\tfrac{1}{3}$.
<br>Получаем $F=\\bigl(\\tfrac{2}{3};\\tfrac{1}{3}\\bigr)$.
<br><b>Шаг 3 — площадь FMCD по формуле Гаусса.</b>
<br>Вершины (в порядке обхода): $F\\bigl(\\tfrac{2}{3};\\tfrac{1}{3}\\bigr)$, $M\\bigl(1;\\tfrac{1}{2}\\bigr)$, $C(1;1)$, $D(0;1)$.
<br>Применяем формулу:
$$2S = \\left|\\tfrac{2}{3}\\bigl(\\tfrac{1}{2}-1\\bigr)+1\\bigl(1-\\tfrac{1}{3}\\bigr)+1\\bigl(1-\\tfrac{1}{2}\\bigr)+0\\bigl(\\tfrac{1}{2}-1\\bigr)\\right|$$
$$= \\left|-\\tfrac{1}{3}+\\tfrac{2}{3}+\\tfrac{1}{2}\\right| = \\tfrac{5}{6}$$
Значит $S = \\tfrac{5}{12}$ от площади выбранного «единичного» параллелограмма.
<br><b>Шаг 4 — итог.</b>
<br>Реальная площадь параллелограмма $= 240$ см², поэтому:
$$S_{FMCD} = \\tfrac{5}{12}\\cdot 240 = 100\\text{ см}^2$$
<div class="sol-ans">Ответ: $100$ см²</div>`
      },
    ]
};
