VARIANTS[43] = {
    label: "Вариант 43",
    tasks: [
      {
        text: `Выберите функцию, график которой изображён на рисунке:`,
        figure: `<svg viewBox="0 0 260 240" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:280px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px auto;background:#fff">
  <defs>
    <marker id="v43t1ax" markerWidth="7" markerHeight="6" refX="7" refY="3" orient="auto"><path d="M0,0.5 L7,3 L0,5.5z" fill="#94a3b8"/></marker>
  </defs>
  <!-- Сетка (шаг 20px = 1 единица). Origin: (60,200). x: -2..9, y: -1..9 -->
  <g stroke="#e2e8f0" stroke-width="1">
    <line x1="20"  y1="20"  x2="20"  y2="220"/><line x1="40"  y1="20"  x2="40"  y2="220"/>
    <line x1="80"  y1="20"  x2="80"  y2="220"/><line x1="100" y1="20"  x2="100" y2="220"/>
    <line x1="120" y1="20"  x2="120" y2="220"/><line x1="140" y1="20"  x2="140" y2="220"/>
    <line x1="160" y1="20"  x2="160" y2="220"/><line x1="180" y1="20"  x2="180" y2="220"/>
    <line x1="200" y1="20"  x2="200" y2="220"/><line x1="220" y1="20"  x2="220" y2="220"/>
    <line x1="240" y1="20"  x2="240" y2="220"/>
    <line x1="20"  y1="40"  x2="240" y2="40" /><line x1="20"  y1="60"  x2="240" y2="60" />
    <line x1="20"  y1="80"  x2="240" y2="80" /><line x1="20"  y1="100" x2="240" y2="100"/>
    <line x1="20"  y1="120" x2="240" y2="120"/><line x1="20"  y1="140" x2="240" y2="140"/>
    <line x1="20"  y1="160" x2="240" y2="160"/><line x1="20"  y1="180" x2="240" y2="180"/>
    <line x1="20"  y1="220" x2="240" y2="220"/>
  </g>
  <!-- оси -->
  <line x1="20" y1="200" x2="252" y2="200" stroke="#475569" stroke-width="1.4" marker-end="url(#v43t1ax)"/>
  <line x1="60" y1="232" x2="60" y2="12" stroke="#475569" stroke-width="1.4" marker-end="url(#v43t1ax)"/>
  <!-- метки -->
  <text x="245" y="214" font-size="11" fill="#475569" font-style="italic">x</text>
  <text x="68"  y="18"  font-size="11" fill="#475569" font-style="italic">y</text>
  <text x="56"  y="214" font-size="10" fill="#64748b">0</text>
  <text x="98"  y="214" font-size="10" fill="#64748b">2</text>
  <text x="138" y="214" font-size="10" fill="#64748b">4</text>
  <text x="46"  y="164" font-size="10" fill="#64748b">2</text>
  <text x="46"  y="124" font-size="10" fill="#64748b">4</text>
  <text x="46"  y="84"  font-size="10" fill="#64748b">6</text>
  <!-- парабола y=(x-2)^2+2: точки (x,y): (-1,11)→(40,-20 за рамкой), (0,6)→(60,80), (1,3)→(80,140), (2,2)→(100,160), (3,3)→(120,140), (4,6)→(140,80), (5,11)→(160,-20) -->
  <path d="M 60,80 Q 70,118 80,140 Q 90,156 100,160 Q 110,156 120,140 Q 130,118 140,80" fill="none" stroke="#2563eb" stroke-width="2.4"/>
  <!-- продолжение к точкам выше графика (5,11) ушло за рамку; ограничимся (0..4) для ясности -->
  <!-- Вершина -->
  <circle cx="100" cy="160" r="3.6" fill="#dc2626"/>
  <text x="106" y="172" font-size="11" fill="#dc2626" font-weight="bold">(2; 2)</text>
</svg>`,
        opts: [
          ["а", "$y = (x+2)^2 - 2$"], ["б", "$y = (x+2)^2 + 2$"], ["в", "$y = (x-2)^2 + 3$"],
          ["г", "$y = (x-2)^2 + 2$"], ["д", "$y = (x-2)^2 - 2$"],
        ],
        sol: `<b>Свойство параболы $y=(x-a)^2+b$:</b> вершина находится в точке $(a;\\,b)$, ветви направлены вверх (коэффициент при $x^2$ положительный).
<br><b>Шаг 1.</b> По рисунку определяем координаты вершины: $(2;\\,2)$. Значит $a=2$, $b=2$.
<br><b>Шаг 2.</b> Подставляем в общую формулу: $y=(x-2)^2+2$.
<br><b>Проверка:</b> при $x=0$ получаем $y=4+2=6$ — точка $(0;\\,6)$ на графике; при $x=4$ получаем $y=4+2=6$ — точка $(4;\\,6)$. Парабола симметрична относительно прямой $x=2$ — это и есть ось симметрии через вершину.
<div class="sol-ans">Ответ: г)&ensp;$y=(x-2)^2+2$</div>`
      },
      {
        text: `Результат сокращения дроби $\\dfrac{18ab - 9a}{9ab}$ равен:`,
        opts: [
          ["а", "$\\dfrac{2ab-a}{ab}$"], ["б", "$\\dfrac{2b-1}{b}$"], ["в", "$2b-1$"],
          ["г", "$\\dfrac{b-1}{b}$"], ["д", "$2ab - 9a$"],
        ],
        sol: `Выносим $9a$ за скобку в числителе:
$$\\dfrac{18ab-9a}{9ab} = \\dfrac{9a(2b-1)}{9ab} = \\dfrac{2b-1}{b}\\quad(a\\neq0,\\,b\\neq0)$$
<div class="sol-ans">Ответ: б)&ensp;$\\dfrac{2b-1}{b}$</div>`
      },
      {
        text: `Какое из следующих утверждений <b>НЕ</b> верно:`,
        opts: [
          ["а", "в любой треугольник можно вписать окружность;"],
          ["б", "в равнобедренном треугольнике углы при основании равны;"],
          ["в", "если у четырёхугольника все углы прямые, то это прямоугольник;"],
          ["г", "прямой угол равен $100^{\\circ}$?"],
        ],
        sol: `<ul>
<li>а) В любой треугольник вписывается окружность — <b>верно</b></li>
<li>б) Равнобедренный: углы при основании равны — <b>верно</b></li>
<li>в) Все углы прямые ⟹ прямоугольник — <b>верно</b></li>
<li>г) «Прямой угол $=100°$» — <b style="color:#dc2626">НЕВЕРНО</b>. Прямой угол $= 90°$.</li>
</ul>
<div class="sol-ans">Ответ: г)</div>`
      },
      {
        text: `Найдите количество целых решений системы неравенств
               $$\\begin{cases} x < -10, \\\\[4pt] x > -15. \\end{cases}$$`,
        sol: `Система: $-15 < x < -10$. Целые числа в этом промежутке:
$$-14,\\;-13,\\;-12,\\;-11$$
<div class="sol-ans">Ответ: $4$ целых решения</div>`
      },
      {
        text: `Найдите площадь треугольника со сторонами $5$ см, $5$ см и $6$ см.`,
        sol: `<b>Свойство равнобедренного треугольника:</b> высота, проведённая к основанию, является также медианой (т.е. делит основание пополам).
<br><b>Формула площади треугольника:</b> $S = \\dfrac{1}{2}\\cdot a\\cdot h$, где $a$ — основание, $h$ — высота к нему.
<br><b>Шаг 1.</b> У нашего треугольника две стороны по $5$ см и одна $6$ см — он равнобедренный с основанием $6$ см. Высота $CM$, опущенная на основание, делит его пополам: $AM = MB = 3$ см.
<svg viewBox="0 0 160 105" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:220px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px 0">
  <polygon points="20,88 128,88 74,16" fill="rgba(37,99,235,0.08)" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
  <line x1="74" y1="16" x2="74" y2="88" stroke="#dc2626" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="4,3"/>
  <polygon points="74,88 82,88 82,80 74,80" fill="none" stroke="#334155" stroke-width="1.2"/>
  <circle cx="74" cy="88" r="2.5" fill="#dc2626"/>
  <text x="5" y="100" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
  <text x="131" y="100" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
  <text x="70" y="10" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
  <text x="69" y="100" font-size="11" font-family="serif" font-style="italic" fill="#dc2626">M</text>
  <text x="36" y="56" font-size="12" fill="#334155">5</text>
  <text x="100" y="56" font-size="12" fill="#334155">5</text>
  <text x="68" y="102" font-size="11" fill="#334155">6</text>
  <text x="79" y="55" font-size="12" fill="#dc2626">h</text>
</svg>
<b>Шаг 2.</b> Найдём высоту $h = CM$ по <b>теореме Пифагора</b> в прямоугольном треугольнике $ACM$:
$$AC^2 = AM^2 + CM^2 \\implies 5^2 = 3^2 + h^2$$
$$h^2 = 25 - 9 = 16 \\implies h = \\sqrt{16} = 4\\text{ см}$$
<b>Шаг 3.</b> Считаем площадь:
$$S = \\dfrac{1}{2}\\cdot 6\\cdot 4 = 12\\text{ см}^2$$
<br><br><b>Альтернативный способ — формула Герона.</b>
<br><b>Формула Герона:</b> $S = \\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p = \\dfrac{a+b+c}{2}$ — полупериметр треугольника со сторонами $a$, $b$, $c$.
<br><b>Шаг 1.</b> Полупериметр: $p = \\dfrac{5+5+6}{2} = \\dfrac{16}{2} = 8$ см.
<br><b>Шаг 2.</b> Подставляем в формулу:
$$S = \\sqrt{8\\cdot(8-5)\\cdot(8-5)\\cdot(8-6)} = \\sqrt{8\\cdot 3\\cdot 3\\cdot 2} = \\sqrt{144} = 12\\text{ см}^2$$
Оба способа дают один и тот же ответ.
<div class="sol-ans">Ответ: $12$ см²</div>`
      },
      {
        text: `Упростите выражение $\\sqrt{7}\\cdot(\\sqrt{64} + \\sqrt{112} - 5\\sqrt{7})\\cdot(-\\sqrt{28})$.`,
        sol: `<b>Свойство квадратного корня:</b> $\\sqrt{a\\cdot b} = \\sqrt{a}\\cdot\\sqrt{b}$ (для $a,b\\geq 0$), а также $\\sqrt{a}\\cdot\\sqrt{a} = a$ (для $a\\geq 0$).
<br><b>Шаг 1.</b> Упрощаем каждый корень в скобках, вынося полный квадрат из-под корня:
$$\\sqrt{64} = 8$$
$$\\sqrt{112} = \\sqrt{16\\cdot 7} = \\sqrt{16}\\cdot\\sqrt{7} = 4\\sqrt{7}$$
$$\\sqrt{28} = \\sqrt{4\\cdot 7} = \\sqrt{4}\\cdot\\sqrt{7} = 2\\sqrt{7}$$
<b>Шаг 2.</b> Подставляем и упрощаем выражение в скобках, приводя подобные слагаемые $4\\sqrt{7}$ и $-5\\sqrt{7}$:
$$8 + 4\\sqrt{7} - 5\\sqrt{7} = 8 - \\sqrt{7}$$
Исходное выражение принимает вид:
$$\\sqrt{7}\\cdot(8 - \\sqrt{7})\\cdot(-2\\sqrt{7})$$
<b>Шаг 3.</b> Перемножим крайние множители $\\sqrt{7}$ и $-2\\sqrt{7}$:
$$\\sqrt{7}\\cdot(-2\\sqrt{7}) = -2\\cdot(\\sqrt{7})^2 = -2\\cdot 7 = -14$$
<b>Шаг 4.</b> Умножаем результат на оставшуюся скобку, раскрывая её:
$$-14\\cdot(8 - \\sqrt{7}) = -14\\cdot 8 + 14\\sqrt{7} = -112 + 14\\sqrt{7} = 14(\\sqrt{7} - 8)$$
<div class="sol-ans">Ответ: $14(\\sqrt{7}-8)$</div>`
      },
      {
        text: `Найдите область определения функции
               $y = \\sqrt{12 - 6x} - \\dfrac{3}{x^2 - 4}$.`,
        sol: `<b>Правила нахождения области определения:</b>
<br>1) Подкоренное выражение чётной степени должно быть неотрицательным: $\\sqrt{f(x)}$ определён при $f(x) \\geq 0$.
<br>2) Знаменатель дроби не может равняться нулю: $\\dfrac{1}{g(x)}$ определена при $g(x) \\neq 0$.
<br>В нашей функции присутствуют оба элемента — выписываем оба условия.
<br><b>Шаг 1.</b> Подкоренное выражение $12 - 6x$ должно быть $\\geq 0$:
$$12 - 6x \\geq 0 \\implies 6x \\leq 12 \\implies x \\leq 2$$
<b>Шаг 2.</b> Знаменатель $x^2 - 4$ должен быть $\\neq 0$:
$$x^2 - 4 \\neq 0 \\implies x^2 \\neq 4 \\implies x \\neq \\pm 2$$
<b>Шаг 3.</b> Объединяем условия: $x \\leq 2$ и $x \\neq -2$ и $x \\neq 2$.
<br>Условие $x \\leq 2$ с исключением $x = 2$ превращается в $x \\lt 2$. С учётом $x \\neq -2$:
$$x \\in (-\\infty;\\,-2)\\cup(-2;\\,2)$$
<div class="sol-ans">Ответ: $(-\\infty;\\,-2)\\cup(-2;\\,2)$</div>`
      },
      {
        text: `Найдите значение выражения $81x_0$, где $x_0$ — наибольший корень уравнения
               $$\\dfrac{x^2}{4x^2+4x+1} - \\dfrac{6x}{2x+1} + 5 = 0.$$`,
        sol: `<b>Формула квадрата суммы:</b> $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
<br><b>Шаг 1.</b> Замечаем, что $4x^2 + 4x + 1 = (2x)^2 + 2\\cdot 2x\\cdot 1 + 1^2 = (2x + 1)^2$.
<br>Уравнение принимает вид:
$$\\dfrac{x^2}{(2x + 1)^2} - \\dfrac{6x}{2x + 1} + 5 = 0$$
<b>ОДЗ:</b> $2x + 1 \\neq 0$, то есть $x \\neq -\\dfrac{1}{2}$.
<br><b>Шаг 2. Замена переменной.</b> Заметим, что $\\dfrac{x^2}{(2x + 1)^2} = \\left(\\dfrac{x}{2x + 1}\\right)^2$.
<br>Пусть $t = \\dfrac{x}{2x + 1}$. Уравнение становится:
$$t^2 - 6t + 5 = 0$$
<b>Шаг 3.</b> По <b>теореме Виета</b> (сумма $6$, произведение $5$): корни $1$ и $5$.
$$(t - 1)(t - 5) = 0 \\implies t = 1 \\text{ или } t = 5$$
<b>Шаг 4. Возвращаемся к $x$.</b>
<br>— При $t = 1$: $\\dfrac{x}{2x + 1} = 1 \\implies x = 2x + 1 \\implies -x = 1 \\implies x = -1$.
<br>— При $t = 5$: $\\dfrac{x}{2x + 1} = 5 \\implies x = 5(2x + 1) = 10x + 5 \\implies -9x = 5 \\implies x = -\\dfrac{5}{9}$.
<br><b>Шаг 5. Проверка ОДЗ.</b> Оба значения $\\neq -\\dfrac{1}{2}$ ✓.
<br><b>Шаг 6.</b> Сравним корни: $-\\dfrac{5}{9} \\approx -0{,}56$, а $-1$ меньше. Наибольший корень:
$$x_0 = -\\dfrac{5}{9}$$
$$81x_0 = 81\\cdot\\left(-\\dfrac{5}{9}\\right) = -\\dfrac{81\\cdot 5}{9} = -9\\cdot 5 = -45$$
<div class="sol-ans">Ответ: $-45$</div>`
      },
      {
        text: `Найдите площадь описанной равнобедренной трапеции, если точка касания вписанной
               в неё окружности делит боковую сторону на отрезки, равные $4$ см и $9$ см.`,
        sol: `<b>Шаг 1. Основания трапеции.</b>
<br>Боковая сторона $= 4+9 = 13$ см. По свойству касательных из одной точки: от каждой вершины оба касательных отрезка равны.
<br>Обозначим: от вершин большего основания — по $9$, от вершин меньшего — по $4$.
<svg viewBox="0 0 195 115" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:300px;width:100%;height:auto;display:block;margin:8px 0">
  <!-- Трапеция ABCD: A=(36,90), B=(66,18), C=(114,18), D=(144,90) -->
  <!-- AD=108px=18см, BC=48px=8см, AB=CD=78px=13см, h=72px=12см -->
  <polygon points="36,90 144,90 114,18 66,18" fill="rgba(37,99,235,0.06)" stroke="#334155" stroke-width="1.8"/>
  <!-- Вписанная окружность: O=(90,54), r=36px=6см -->
  <circle cx="90" cy="54" r="36" fill="rgba(22,163,74,0.08)" stroke="#16a34a" stroke-width="1.5"/>
  <!-- Отрезок AP_left = 9см (красный) -->
  <line x1="36" y1="90" x2="57" y2="40" stroke="#dc2626" stroke-width="2.5"/>
  <!-- Отрезок P_leftB = 4см (синий) -->
  <line x1="57" y1="40" x2="66" y2="18" stroke="#2563eb" stroke-width="2.5"/>
  <!-- Правая боковая сторона (зеркально) -->
  <line x1="144" y1="90" x2="123" y2="40" stroke="#dc2626" stroke-width="2.5"/>
  <line x1="123" y1="40" x2="114" y2="18" stroke="#2563eb" stroke-width="2.5"/>
  <!-- Радиус до нижнего основания (пунктир) -->
  <line x1="90" y1="54" x2="90" y2="90" stroke="#16a34a" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="3,2"/>
  <!-- Точки касания -->
  <circle cx="90" cy="90" r="3" fill="#16a34a"/>
  <circle cx="90" cy="18" r="3" fill="#16a34a"/>
  <circle cx="57" cy="40" r="4" fill="#dc2626"/>
  <circle cx="123" cy="40" r="4" fill="#dc2626"/>
  <circle cx="90" cy="54" r="3" fill="#334155"/>
  <!-- Метки вершин -->
  <text x="20" y="101" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">A</text>
  <text x="147" y="101" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">D</text>
  <text x="58" y="13" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">B</text>
  <text x="115" y="13" font-size="13" font-family="serif" font-style="italic">C</text>
  <text x="93" y="51" font-size="12" font-family="serif" font-style="italic">O</text>
  <!-- Метки отрезков боковой стороны -->
  <text x="22" y="68" font-size="13" fill="#dc2626" font-weight="bold">9</text>
  <text x="47" y="32" font-size="13" fill="#2563eb" font-weight="bold">4</text>
  <text x="150" y="68" font-size="13" fill="#dc2626" font-weight="bold">9</text>
  <text x="119" y="32" font-size="13" fill="#2563eb" font-weight="bold">4</text>
  <!-- Метки оснований -->
  <text x="72" y="108" font-size="11" fill="#334155">AD = 18</text>
  <text x="76" y="12" font-size="11" fill="#334155">BC = 8</text>
  <!-- Радиус -->
  <text x="92" y="75" font-size="11" fill="#16a34a">r = 6</text>
</svg>
$$AD = 9+9 = 18\\text{ см}, \\quad BC = 4+4 = 8\\text{ см}$$
<b>Шаг 2. Высота трапеции.</b>
<br>Горизонтальный выступ ноги: $\\dfrac{AD-BC}{2} = \\dfrac{18-8}{2} = 5$ см.
$$h = \\sqrt{13^2-5^2} = \\sqrt{169-25} = \\sqrt{144} = 12\\text{ см}$$
<b>Шаг 3. Площадь.</b>
$$S = \\dfrac{AD+BC}{2}\\cdot h = \\dfrac{18+8}{2}\\cdot12 = 13\\cdot12 = 156\\text{ см}^2$$
<div class="sol-ans">Ответ: $156$ см²</div>`
      },
      {
        text: `В компанию поступил заказ на укладку $240$ м² напольной плитки.
               Плиточник принял решение укладывать на $10$ м² в день больше, чем запланировал ранее.
               В результате работа была закончена на $4$ дня раньше установленного срока.
               Успеет ли плиточник выполнить заказ за $10$ рабочих дней, если будет работать
               по первоначальному плану? Ответ обоснуйте.`,
        sol: `Пусть плановая выработка $= x$ м²/день.
<br>По плану: $\\dfrac{240}{x}$ дней. С ускорением: $\\dfrac{240}{x+10}$ дней, на $4$ меньше.
$$\\dfrac{240}{x+10} = \\dfrac{240}{x} - 4$$
Умножаем на $x(x+10)$:
$$240x = 240(x+10) - 4x(x+10)$$
$$0 = 2400 - 4x^2 - 40x \\implies x^2+10x-600=0$$
$$D = 100+2400 = 2500 = 50^2 \\implies x = \\dfrac{-10+50}{2} = 20\\text{ м²/день}$$
<b>Плановый срок:</b> $\\dfrac{240}{20} = 12$ дней.
<br><b>Проверка:</b> при $30$ м²/день: $240\\div30=8$ дней, $12-8=4$ ✓
<br><b>Ответ на вопрос:</b> за $10$ дней при выработке $20$ м²/день плиточник уложит $10\\times20=200$ м² $<240$ м².
<div class="sol-ans">Ответ: нет, не успеет — за $10$ дней уложит лишь $200$ м² из $240$ м²</div>`
      },
    ]
};
