Физика 9 класс

Относительность траектории

Ты в поезде бросаешь мяч вертикально вверх и ловишь его — для тебя он полетел прямо вверх и вернулся. Твой друг на платформе смотрит в окно: он видит, что мяч летел по дуге вперёд и вниз — потому что поезд двигался, пока мяч был в воздухе. Никто не ошибается — просто каждый описывает движение из своей системы отсчёта.

Координата точки

Представь ось — это линейка, у которой есть ноль и направления «+» и «−». Координата — это просто число на этой линейке: насколько далеко от нуля и в какую сторону. Например, $x = -3\,\text{м}$ значит «3 метра влево от начала». По одному числу можно точно сказать, где находится точка — больше ничего не нужно.

Тело отсчёта

Тело отсчёта — это то, что ты считаешь неподвижным в своей задаче. Чаще всего это Земля — стоишь на ней, от неё и меряешь. Но можно выбрать любое: вагон поезда, самолёт, другую планету. Выбор не меняет физику — он меняет удобство расчётов. Задача про падающий камень в движущемся поезде решается проще в системе поезда, чем в системе Земли.

Умножение на скаляр

$k > 0$: вектор в том же направлении. $k < 0$: вектор в обратном направлении. Модуль = $|k|$ × модуль исходного.

Вычитание векторов

Вычесть вектор — значит прибавить противоположный. Шёл 5 м на север, потом «отнять» 3 м на север — то же, что прибавить 3 м на юг, итого 2 м на север. Графически: отложи оба вектора из одной точки — разность смотрит из конца $\vec{b}$ в конец $\vec{a}$. Пригодится при нахождении изменения скорости: $\Delta\vec{v} = \vec{v} - \vec{v}_0$.

Три важных случая

Если векторы в одну сторону — складывай числами. Навстречу — вычитай. Перпендикулярно — теорема Пифагора. Любой другой угол — формула параллелограмма.

Проекции в 2D

Любой вектор можно разложить на две составляющие — горизонтальную и вертикальную. Пример: сила 10 Н под углом 37° к горизонту → $F_x = 10\cos 37° = 8$ Н (горизонталь), $F_y = 10\sin 37° = 6$ Н (вертикаль). Теперь вместо одного вектора под углом — два числа, с которыми считать проще. И проверка: $\sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{100} = 10$ Н ✓

Сложение через проекции

Чтобы сложить два вектора под произвольным углом: найди проекции каждого на обе оси, сложи проекции числами, восстанови вектор по теореме Пифагора. Это аналитический метод — точнее, чем рисовать на бумаге.

Восстановление вектора

Из проекций находим модуль (по теореме Пифагора) и направление ($\varphi$). Метод компонент — основной в физике.

Перемещение $\Delta\vec{r}$

Векторная величина — имеет и число, и направление. Натяни верёвку напрямую от старта до финиша: её длина и направление — это и есть перемещение. Не важно, как ты шёл — зигзагами или по прямой: перемещение одно и то же, если начало и конец совпадают.

Проекции перемещения

Проекция перемещения — просто разность координат: где был минус где стал. Переехал с отметки $x_1 = 20\,\text{м}$ на $x_2 = 8\,\text{м}$: $\Delta r_x = 8 - 20 = -12\,\text{м}$. Минус значит «двигался в сторону уменьшения оси» — то есть назад. Никакой тайны: минус — это просто направление.

Соотношение пути и перемещения

Равенство достигается только при прямолинейном движении в одну сторону — тогда маршрут совпадает с прямой от старта до финиша. Стоит хоть раз повернуть или вернуться — путь сразу стал длиннее перемещения. Это как разница между прямой дорогой и объездом: расстояние по прямой — перемещение, по дороге — путь.

Закон движения

Три части: где стоял ($x_0$) + куда движешься ($v_x \cdot t$). Если $v_x > 0$ — координата растёт (движение в сторону «+»). Если $v_x < 0$ — убывает (движение назад). Пример: $x = 100 - 5t$ → начал на отметке 100 м и едет назад со скоростью 5 м/с. Через 20 с будет на нуле, потом «уйдёт» в отрицательные координаты.

Перевод единиц

$v\,[\text{м/с}] = v\,[\text{км/ч}] / 3{,}6$. Пример: 72 км/ч = 72/3.6 = 20 м/с. Часто нужно на экзамене!

Путь при равномерном движении

Путь = скорость × время. Перемещение: $\Delta r_x = v_x t$ (со знаком). Путь всегда ≥ 0.

График x(t)

$x = x_0 + v_x t$ — прямая линия на графике. Крутой наклон вверх = большая скорость вперёд. Горизонталь = тело стоит ($v = 0$). Наклон вниз = движение назад ($v_x < 0$). Точка, где прямая пересекает ось $x$ — это начальная координата $x_0$. По наклону прямой можно найти скорость: $v_x = \Delta x / \Delta t$.

Площадь под v(t)

Площадь фигуры под графиком v(t) = перемещение — это универсальное правило, работает для любого движения, не только равномерного. При равномерном фигура — прямоугольник: $S = v \cdot \Delta t = \Delta r$. При неравномерном — любая фигура: считаем её площадь.

Встреча двух тел

Два тела движутся и «встречаются», когда их координаты совпадают: $x_1(t) = x_2(t)$. На графике x(t) это просто точка пересечения двух прямых. Координата встречи — по оси $x$ в точке пересечения, время встречи — по оси $t$. Если прямые параллельны — тела движутся с одинаковой скоростью и никогда не встретятся (или всегда рядом, если совпадают).

Средняя скорость (вектор)

Вектор перемещения, делённый на время. Направлена от начальной точки к конечной. Если ты сделал круг и вернулся — перемещение нулевое, значит и средняя векторная скорость нулевая, хотя весь маршрут ты реально ехал! Именно поэтому важно различать «скорость пути» и «скорость перемещения».

Мгновенная скорость

Скорость именно в данный миг — как спидометр в машине: показывает не «сколько в среднем», а «прямо сейчас». Направлена всегда по касательной к траектории: именно туда полетит тело, если в этот момент убрать все силы. Поэтому мяч, оторвавшись от ракетки, летит по касательной, а не продолжает дугу.

Средняя скорость за два участка

Если два участка равны по длине: средняя скорость = гармоническое среднее, а не среднеарифметическое! Почему? На медленном участке тратишь больше времени — он «перевешивает». Пример: 60 км туда за 1 ч, 60 км обратно за 2 ч. Средняя = 120 / 3 = 40 км/ч, а не (60+30)/2 = 45 км/ч.

Лодка поперёк реки

Лодка гребёт перпендикулярно берегу ($v'$ — поперечная скорость), течение несёт вдоль реки ($u$ — продольная). Два вектора под углом 90° → суммарная скорость по теореме Пифагора: $v = \sqrt{v'^2 + u^2}$. Лодка движется наискосок — не туда, куда гребёт! Берег она пересечёт в другом месте.

Время переправы

Время пересечения реки шириной $d$ зависит только от поперечной скорости $v'$: $t = d/v'$. Сколько бы ни было течение — оно сносит лодку вдоль, но не замедляет переправу. Хочешь оказаться точно напротив? Гребись под углом против течения, чтобы боковые скорости скомпенсировались.

Снос течением

Пока лодка пересекала реку за время $t = d/v'$, течение успело снести её на $\Delta x = u \cdot t$. Широкая река + быстрое течение = большой снос. Пример: $d = 80$ м, $v' = 4$ м/с, $u = 3$ м/с → $t = 20$ с, снос = $3 \cdot 20 = 60$ м! Почти столько же, сколько ширина реки.

Ускорение при разгоне

Ускорение направлено туда же, куда движется тело — скорость растёт. Машина стартует: ускорение вперёд → скорость растёт с каждой секундой. Чем дольше разгоняешься с постоянным ускорением — тем быстрее едешь. При $a = 5\,\text{м/с}^2$ через 4 с скорость: $0 + 5 \cdot 4 = 20$ м/с.

Ускорение при торможении

Машина едет вперёд ($v > 0$), нажимаешь тормоз: ускорение направлено назад ($a < 0$). Каждую секунду скорость уменьшается на $|a|$ м/с. Через $t = v_0 / |a|$ секунд — полная остановка. Запомни: ускорение со знаком «минус» — не значит «едет назад», это значит «тормозит».

Изменение скорости

Изменение скорости — это вектор, направленный вдоль ускорения. $\Delta\vec{v} = \vec{a} \cdot \Delta t$: умножь ускорение на время — получишь, как изменилась скорость. При разгоне $\Delta v > 0$ (скорость выросла), при торможении $\Delta v < 0$ (упала). Это та же физика, просто записанная векторно.

Средняя скорость

Для равноускоренного движения это точная формула, не приближение. Почему работает? Скорость меняется равномерно — как температура воздуха от утра до вечера. «Средняя за день» = (утром + вечером) / 2. Здесь то же самое: скорость менялась по прямой — среднее точно посередине.

График v(t) — прямая

$a > 0$: прямая идёт вверх (разгон). $a < 0$: вниз (торможение). Точка, где прямая пересекает ось $t$ — это момент, когда $v = 0$: тело остановилось или развернулось. После этого момента скорость меняет знак — тело начинает двигаться в обратную сторону.

Площадь под v(t)

Под прямой v(t) при равноускоренном движении — трапеция (или треугольник при $v_0 = 0$). Площадь этой фигуры = перемещение. Формула трапеции: $(v_0 + v)/2 \cdot t$ — это то же самое, что средняя скорость × время. Удобная проверка: посчитай перемещение двумя способами и сравни.

Координата

График x(t) — парабола: сначала пологая, потом всё круче (при $a > 0$). Вершина параболы — это точка, где $v = 0$: мяч, брошенный вверх, достиг максимальной высоты. После вершины парабола идёт вниз — тело движется обратно. Нашёл вершину на графике — нашёл максимальное смещение.

Формула «без t»

Спасает, когда в задаче не дано время. Машина тормозит с 72 км/ч (= 20 м/с) до нуля при $a = -4\,\text{м/с}^2$: тормозной путь $s = v_0^2 / (2|a|) = 400 / 8 = 50$ м — и никакого $t$! Запомни: если в задаче нет $t$ и не нужно его найти, сразу бери эту формулу.

Таблица сравнения

Линейная скорость

При одной и той же угловой скорости точки, дальше от оси, проходят больший путь за оборот — значит, движутся быстрее. Велосипедное колесо: ступица и обод вращаются с одним $\omega$, но скорость обода в 10 раз выше, чем точки в 10 раз ближе к центру. Именно поэтому резина на внешнем крае стирается быстрее.

Период и частота

Период $T$ — сколько секунд на один полный оборот. Частота $\nu$ — сколько оборотов в секунду. Они обратны: $T = 1/\nu$. Пример: мотор 3000 об/мин = 50 об/с → $\nu = 50$ Гц, $T = 0{,}02$ с. Секундная стрелка: $T = 60$ с, $\nu = 1/60$ Гц. Перевод в $\omega$: умножь $\nu$ на $2\pi$.

Длина дуги

Дуга = радиус × угол (в радианах). Легко запомнить: 1 рад — это угол, при котором дуга равна радиусу. Полный оборот: $\Delta\varphi = 2\pi$ рад → $s = 2\pi R$ — длина окружности. Знакомая формула! $2\pi R$ — это просто частный случай $s = R \cdot \Delta\varphi$ при полном обороте.

Эквивалентные формулы

Три формулы — одна физика, разные «входные данные». Знаешь скорость и радиус → $a_c = v^2/R$. Знаешь угловую скорость и радиус → $a_c = \omega^2 R$. Знаешь период и радиус → $a_c = 4\pi^2 R / T^2$. Выбирай ту, где уже есть нужные данные — не нужно переводить лишний раз.

Направление

Даже если скорость по модулю не меняется, направление всё время поворачивает — значит, есть ускорение. Его называют «нормальным» (⊥ к траектории) или центростремительным (к центру). При равномерном движении по окружности только оно и есть: $a_\tau = 0$. Тело едет с постоянной скоростью, но постоянно ускоряется!

Полное ускорение при неравномерном

Машина разгоняется в повороте: $a_c$ меняет направление скорости (к центру дуги), $a_\tau$ меняет модуль скорости (вдоль движения). Оба действуют одновременно и перпендикулярны друг другу → полное ускорение: теорема Пифагора $a = \sqrt{a_c^2 + a_\tau^2}$. Водитель «давит на газ в вираже» — чувствует оба одновременно.

Инерция

Инерция — это «нежелание» тела менять скорость. Тяжёлую тележку трудно разогнать — и столь же трудно остановить. Лёгкий мяч реагирует мгновенно. Разница — в инерции. Количественная мера инерции — масса: больше масса → больше инерция → нужна большая сила, чтобы изменить скорость.

Инерциальная система отсчёта

ИСО — это система, в которой тело не ускоряется без причины. Земля приближённо ИСО. Равномерно летящий самолёт — ИСО: на борту кидаешь мяч вверх — он падает обратно в руки, как на земле. Но самолёт на вираже — уже нет: мяч «улетит» сам по себе без видимых сил. Любая ИСО движется относительно другой ИСО только равномерно и прямолинейно.

Равнодействующая = 0

Важно: не «сил нет», а «векторная сумма нулевая». На стол давит тяжесть книги вниз, стол давит на книгу вверх — две силы, но они в сумме ноль → книга стоит неподвижно. Машина едет равномерно? Тяга = трению → $F_\text{рез} = 0$ → $a = 0$. Равновесие — это всегда баланс сил, а не их отсутствие.

Плотность → масса

$\rho$ — плотность вещества (кг/м³).
$V$ — объём тела (м³).

Вода: $\rho = 1000\,\text{кг/м}^3$; Воздух: $\rho \approx 1{,}29\,\text{кг/м}^3$

Аддитивность массы

Масса кузова + масса двигателя + масса пассажиров = масса автомобиля. Это очевидно, но важен вывод: масса не меняется от того, как расположены части тела и как они движутся. Сжатая пружина весит столько же, сколько разжатая. Разогнанная машина — столько же, что стоящая.

Масса и инерция

Одинаковая сила — разный эффект. Пнул лёгкий мяч (0,5 кг) и тяжёлый камень (5 кг) с одинаковой силой: мяч улетит в 10 раз быстрее ($a = F/m$). Масса — это «количество инертности»: насколько трудно изменить состояние тела. Большая масса = нужна большая сила для того же ускорения.

Единица силы — 1 Ньютон

1 Н — это сила, которая разгоняет 1 кг на 1 м/с каждую секунду. Яблоко (~100 г) тянет к земле с силой ~1 Н. Ты поднимаешь гантель 1 кг → прикладываешь ~10 Н. Сила — вектор: у неё есть и модуль, и направление. Направление ускорения совпадает с направлением равнодействующей.

Несколько сил — равнодействующая

На тело тянут вправо с силой 30 Н и влево с трением 10 Н. В закон Ньютона входит не «30» и не «10» по отдельности — только их векторная сумма: 30 − 10 = 20 Н вправо. Именно эта равнодействующая и вызывает ускорение: $a = 20/m$. Сначала сложи все силы — потом подставляй в формулу.

Горизонтальное движение

Самая частая ситуация в задачах. Двигатель толкает вперёд, трение тормозит — берём разницу: $F_\text{рез} = F_\text{тяга} - F_\text{тр}$. Если $F_\text{тяга} > F_\text{тр}$ → разгон ($a > 0$). Если $F_\text{тяга} = F_\text{тр}$ → равномерно ($a = 0$, 1-й закон!). Если $F_\text{тяга} < F_\text{тр}$ → тормозит ($a < 0$). Все три случая — из одной формулы.

Свойства пары сил

• Равны по модулю
• Противоположны по направлению
• Одинаковой природы
• Приложены к разным телам
• Действуют одновременно

Принцип относительности Галилея

В ровно летящем самолёте можно спокойно поиграть в мяч — всё идёт как на земле. Ни один эксперимент внутри ровно движущегося корабля не покажет, движешься ты или стоишь. Это и есть принцип Галилея: физика не различает покой и равномерное прямолинейное движение. Законы одинаковы в любой ИСО.

Почему лошадь тянет телегу?

Лошадь тянет телегу с силой $F$, телега тянет лошадь с силой $-F$. Но обе силы на разных телах. Телега едет, потому что $F_\text{тяга} > F_\text{тр.телеги}$.

Знаковая форма

Пружина растянута вправо ($x > 0$) — сила тянет влево ($F_x < 0$). Пружина сжата влево ($x < 0$) — сила толкает вправо ($F_x > 0$). Минус в формуле — не просто знак, а физический смысл: сила всегда против деформации, всегда «возвращает» тело к исходному положению.

Жёсткость

Единица Н/м: сколько ньютонов нужно на метр деформации. Пружина с $k = 500$ Н/м: растяни на 1 см = 0,01 м → сила 5 Н. Пружинные весы: измеряют деформацию, пересчитывают в килограммы именно через $k$. Жёсткость матраса, автомобильной подвески, прыжкового батута — всё описывается одной формулой Гука.

Виды деформаций

Упругая: убери силу — тело вернулось. Закон Гука работает. Примеры: сжатая пружина, натянутая резинка. Пластическая: убери силу — тело осталось деформированным. Перегнул проволоку — она уже не выпрямится. Предел упругости: слишком сильное растяжение — пружина не возвращается. Для каждого материала он свой.

Трение покоя

Книга лежит на столе — ты слегка толкаешь, она не двигается. Трение покоя точно «отвечает» на твой толчок, уравновешивая его. Усиливаешь толчок — трение покоя растёт вместе с ним. Но есть предел: $F_\text{тр.пок}^{max} = \mu_\text{пок} N$. Преодолел этот предел — книга тронулась, и дальше работает уже трение скольжения.

Горизонтальная поверхность

На горизонтальной поверхности вся тяжесть тела давит на неё перпендикулярно → $N = mg$ → $F_\text{тр} = \mu mg$. Сурприз: большой кубик и маленький кубик из того же материала и с той же массой имеют одинаковое трение — площадь не важна! Важны только материалы ($\mu$) и вес ($N$).

Трение качения и сопротивление среды

Колесо катится — в точке контакта нет скольжения, трение мало. Именно поэтому колесо изобрели: перевезти груз на колёсах в 10–100 раз легче, чем волоком. Шарикоподшипник — то же самое: шарики катятся, не скользят → потери минимальны. В жидкости или воздухе сопротивление растёт со скоростью в квадрате: вдвое быстрее — в четыре раза больше тормозит.

Горизонтальный бросок

Два движения одновременно: по горизонтали — равномерно со скоростью $v_0$, по вертикали — свободное падение без начальной скорости. Они не мешают друг другу! Дальность: чем быстрее бросаешь и чем выше стол, тем дальше улетит. Стрела, вылетевшая горизонтально с коня, и монета, упавшая с той же высоты, ударятся о землю одновременно.

Бросок вертикально вверх

Бросил вверх со скоростью 20 м/с: поднимается $t_\text{п} = 20/10 = 2$ с, максимальная высота $H = 20^2/(2 \cdot 10) = 20$ м. Потом падает ещё 2 с — полёт симметричен: подъём = спуск. Скорость при возвращении равна начальной (в вакууме). В верхней точке $v = 0$, но $a = g \ne 0$ — тело не зависает, оно всё время ускоряется вниз.

Ускорение свободного падения

Не зависит от массы, размера или материала — это экспериментальный факт. Перо и молоток падают с одинаковым ускорением в вакууме. На Луне Армстронг это демонстрировал: перо и молоток упали одновременно! Используем $g = 10\,\text{м/с}^2$ для простоты (точнее: 9,8 м/с², разница ~2%).

Дальность и высота

Дальность $L = v_0^2\sin 2\alpha / g$: зависит от $\sin 2\alpha$, который максимален при $2\alpha = 90°$, то есть при $\alpha = 45°$ — золотой угол для максимальной дальности. При $\alpha = 30°$ и $\alpha = 60°$ дальность одинакова ($\sin 60° = \sin 120°$). Высота максимальна при $\alpha = 90°$ (бросок строго вверх).

Полное время полёта

Время полёта — только от вертикального движения: тело улетело вверх (время $v_{y0}/g$) и упало обратно (ещё столько же). Горизонтальная скорость на время никак не влияет: хоть 1 м/с, хоть 100 м/с горизонтально — вертикальный цикл тот же. Поэтому формула: $T = 2v_0\sin\alpha / g$.

Координаты в момент t

В каждый момент $t$: горизонталь нарастает равномерно ($x = v_0\cos\alpha \cdot t$), вертикаль — по параболе ($y = v_0\sin\alpha \cdot t - gt^2/2$). Подставь $x$ вместо $t$ — получишь уравнение параболы: $y = x\tan\alpha - gx^2/(2v_0^2\cos^2\alpha)$. Вершина параболы — точка где $v_y = 0$, то есть $t = v_0\sin\alpha / g$.

Ускорение свободного падения

Сила тяжести = $GMm/R^2 = mg$, значит $g = GM/R^2$ — зависит только от планеты, не от падающего тела. Марс легче Земли и меньше: $g_\text{Марс} = 3{,}7$ м/с². Юпитер огромен: $g_\text{Юп} = 25$ м/с² — тебя «приплющит» в 2,5 раза сильнее. Чем выше над поверхностью (больше $r$) — тем слабее $g$.

Первая космическая скорость

Если пушка на горе выстрелит горизонтально со скоростью 7,9 км/с — ядро начнёт «падать» к Земле, но Земля «убегает» под ней так же быстро. Ядро в вечном падении — орбита! Это минимальная орбитальная скорость: $mg = mv^2/R$ → $v_1 = \sqrt{gR}$. Реальные спутники летят чуть выше — нет атмосферы.

Вторая космическая скорость

При скорости $v_2 \approx 11{,}2$ км/с тело навсегда покидает Землю — кинетической энергии хватает, чтобы «выбраться» из гравитационной ямы. Именно с такой скоростью стартуют межпланетные зонды. Быстрее $v_2$ — улетаешь к другим планетам или из Солнечной системы. Медленнее — возвращаешься назад.

Невесомость

Невесомость — не «нет гравитации», а «нет опоры». Стоишь на полу — пол давит снизу, ты его чувствуешь. Если пол исчезнет (лифт в свободном падении) — давить нечему, весы покажут 0. Твоя масса и $g$ никуда не делись, но опоры нет → веса нет → невесомость. Именно так на МКС: станция постоянно «падает» вокруг Земли.

Перегрузка

$Q = P/(mg)$: сколько «своих весов» ты ощущаешь. В покое $Q = 1$ (норма). Лифт разгоняется вверх: $Q > 1$ — ты тяжелее. Ракетный старт: $Q = 3{-}4$ — тело давит на кресло с утроенной силой. Отрицательная перегрузка ($Q < 0$): лифт падает быстрее $g$ — тебя отрывает от пола. Предел выносимости человека: ~9g кратковременно.

Пример: лифт

Вверх: $P = 60(10+2) = 720\,\text{Н}$ (тяжелее)
Вниз: $P = 60(10-2) = 480\,\text{Н}$ (легче)
Без ускорения: $P = 60\cdot10 = 600\,\text{Н}$

Знак момента

Чтобы условие равновесия $\sum M = 0$ работало, моментам нужен знак. Договоримся: «+» — против часовой стрелки (правило буравчика: палец вверх — ладонь против часовой). «−» — по часовой. Один груз на качелях «крутит» в одну сторону (+), второй — в другую (−). Баланс: суммарный момент = 0.

1-е условие равновесия (поступат.)

Книга на столе: сила тяжести вниз + реакция стола вверх = 0 → покой. Люстра на потолке: тяжесть вниз + натяжение троса вверх = 0 → висит. Это условие не допускает ускорения: ни влево-вправо, ни вперёд-назад, ни вверх-вниз. Нарушишь — тело начнёт лететь.

2-е условие равновесия (вращат.)

Даже если все силы уравновешены (1-е условие), тело может вращаться — если их моменты не компенсируют друг друга. Кран: трос тянет вниз слева (момент +), противовес давит вниз справа (момент −). Сумма = 0 → не вращается. Нарушь баланс моментов — кран начнёт заваливаться.

Рычаг 1-го рода

Точка опоры — посередине, силы — по разные стороны. Качели: один толкает вниз слева, другой справа — точка опоры в центре. Ножницы: два лезвия, ось посередине. Лом под камень: камень давит вниз с одной стороны, ты тянешь вниз с другой — оба «вниз», но по разные стороны оси → противоположные моменты.

Неподвижный блок

Ось блока закреплена. Верёвка меняет направление: тянешь вниз — груз идёт вверх. В силе выигрыша нет: сила нужна равная весу груза. Но удобство огромное: легче тянуть вниз (своим весом), чем поднимать вверх с напряжением мышц. Именно поэтому блок на колодце.

Подвижный блок

Ось блока движется вместе с грузом — верёвка идёт сразу с двух сторон. Груз 100 кг = 1000 Н, а тянешь всего 500 Н — вдвое легче! Но верёвку надо вытянуть на 2 метра, чтобы груз поднялся на 1 метр. Работа та же: $500 \cdot 2 = 1000 \cdot 1$. «Золотое правило»: что выиграл в силе — проиграл в расстоянии.

КПД механизма

$A_\text{полез} = mgh$ — работа против силы тяжести.

$A_\text{затрач} = F_2 \cdot l$ — работа приложенной силы.

Всегда: $\eta < 100\%$

«Золотое правило механики»

Ни один механизм не даёт выигрыша в работе. Выигрываешь в силе — проигрываешь в пути.

$F_2 \cdot l = mg \cdot h$ — идеально (без трения)

Силы на наклонной плоскости

Компонента вдоль плоскости: $mg\sin\alpha$ (надо преодолеть, чтобы двигаться).

С трением: $F_2 = mg\sin\alpha + \mu mg\cos\alpha$

Устойчивое равновесие

При отклонении тело возвращается в исходное положение. Пример: маятник, кресло-качалка.

Неустойчивое равновесие

При малейшем отклонении тело падает. Пример: карандаш на острие, пирамида вверх ногами.

Безразличное равновесие

При отклонении тело остаётся в новом положении. Пример: однородный шар, колесо.

Условие плавания

Тело плавает, когда выталкивающая сила уравновешивает силу тяжести. При этом часть тела может быть над водой.

Доля погружённой части

Лёд ($\rho = 900\,\text{кг/м}^3$) в воде ($\rho = 1000$) погружён на $900/1000 = 90\%$. Над водой торчит лишь 10%.

Тонет или плывёт?

Грузоподъёмность судна

Максимальный груз — когда весь объём корпуса под водой. Ватерлиния не должна превышать борт.

Воздушный шар

Шар поднимается, если подъёмная сила превышает вес оболочки и корзины. Горячий воздух ($\rho \approx 0{,}9\,\text{кг/м}^3$) легче холодного ($\rho = 1{,}29$).

Линия Плимсоля

Обязательная метка загрузки. Показывает максимально допустимую осадку в разных морях (солёная вода тяжелее пресной → корабль сидит выше).

Изменение импульса

Изменение импульса тела равно импульсу силы $\vec{F}\,\Delta t$.

Также: $\dfrac{\Delta\vec{p}}{\Delta t} = \vec{F}$ — 2-й закон Ньютона.

Импульс системы тел

Внутренние силы — взаимодействие тел внутри системы.
Внешние силы — действующие на систему снаружи.

Закон изменения импульса системы

Изменение импульса системы равно импульсу результирующей внешних сил.

Внутренние силы импульс системы не изменяют.

Применимость ЗСИ

ЗСИ применим к незамкнутым системам, если:

• внешние силы малы по сравнению с внутренними;
• проекция внешних сил на направление движения равна нулю.

Абсолютно неупругий удар

После удара тела движутся вместе с одинаковой скоростью $\vec{v}$.

Реактивное движение

Если система покоилась ($p_0 = 0$), после отделения части тело и отделившаяся часть движутся в противоположных направлениях.

Пушка на платформе, ракета, прыжок с лодки.

Знак работы

Работа при подъёме тела

Работа силы тяжести при подъёме тела массой $m$ на высоту $h$ (сила и перемещение сонаправлены).

Работа по деформации пружины

Работа внешней силы при растяжении или сжатии пружины жёсткостью $k$ на $x$.

Мощность через скорость

Из $A = F\Delta r\cos\alpha$ и $P = A/\Delta t$, так как $\Delta r/\Delta t = v$.

Если сила вдоль движения: $P = Fv$

Изменение потенциальной энергии и работа

Изменение потенциальной энергии и работа сил взаимодействия имеют противоположные знаки.

Тело опускается → $A > 0$ → $\Delta E_\text{п} < 0$ (энергия убывает)

Нулевой уровень

Нулевой уровень потенциальной энергии выбирается произвольно.

Изменение $\Delta E_\text{п}$ от выбора нулевого уровня не зависит.

Механическая энергия

Сумма кинетической и потенциальной энергии тела (или системы).

$E_\text{мех} = \dfrac{mv^2}{2} + mgh$

Полная энергия системы

Полная энергия системы тел включает механическую и внутреннюю (тепловую) энергию.

$E = \text{const}$ — закон сохранения энергии

ЗСЭ с трением

Изменение мех. энергии равно работе внешних (диссипативных) сил.

$A_\text{тр} < 0$ → $E_\text{мех}$ уменьшается → энергия уходит в тепло.

Закон сохранения полной энергии

$E_\text{полн} = E_\text{мех} + E_\text{внутр}$

Полная энергия сохраняется всегда, в любой системе.

Практические следствия

Скорость тела, упавшего с высоты $h$ (начальная скорость = 0, без трения).

Из: $mgh = \dfrac{mv^2}{2}$