# Пилот: блок «Стереометрия» до уровня занятий (второй эталон)

> Развёртка самого «дорогого» блока (раздел `stereometry`, модули M26–M29) в контент платформы.
> Стереометрия встречается в тесте ~6 раз — А2, А9, В1, В13, В17, В20 — и содержит сложнейшие задания (В17 подобие, В20 угол в пространстве).
> Структура совпадает с [PILOT_TRIGONOMETRY.md](PILOT_TRIGONOMETRY.md); специфика блока — sim `stereo`, **координатно-векторный метод** как универсальный «запасной» подход, и готовые «Кедр»-отработки слабых тем.
>
> ⚠️ После пивота (см. [BUILD_ON_QUESTIONS.md](BUILD_ON_QUESTIONS.md)): «тренажёр» — практика на банке
> `questions` через assignment `mode='topic'` (тема `61 Стереометрия`), а НЕ новые `exam_tasks`.
> Сложность в банке — 1–3. Уроки/карточки ниже — в силе.

---

## 0. Карта блока

| Модуль | Подтема (slug) | Позиции теста | Уровень | Sim | Учебник |
|---|---|---|---|---|---|
| M26 Расположение, сечения | `ster-basics` | А2, В1 | 🟡 | `stereo` | `geometry-10` |
| M27 Многогранники | `ster-polyhedra` | В13, В17 | 🟡🔴 | `stereo` | `geometry-10` |
| M28 Тела вращения | `ster-rotation` | А9, В13 | 🟡🔴 | `stereo` | `geometry-11` |
| M29 Углы и расстояния (коорд.-вект.) | `ster-angles-distances` | В20, В1 | 🔴 | `stereo` | `geometry-11` |

Курсовая структура: `course_section` «Стереометрия» → 4 `lessons` + колода карточек (формулы объёмов/площадей + координатный метод) + наборы `exam_tasks` по подтемам.

---

## M26. Расположение прямых и плоскостей, сечения 🟡 (А2, В1)

### Урок («Аксиоматика и взаимное расположение»)
1. `heading` → `{ "text": "Прямые и плоскости в пространстве: параллельность, пересечение, скрещивание" }`
2. `text` → `{ "html": "Три случая для двух прямых: пересекаются, параллельны, скрещиваются. Прямая и плоскость: лежит в ней, параллельна, пересекает. Две плоскости: параллельны или пересекаются по прямой." }`
3. `sim` → `{ "simId": "stereo", "caption": "Покрутите фигуру: найдите линию пересечения двух плоскостей и пары скрещивающихся прямых" }`
4. `callout` → `{ "variant": "info", "html": "Линия пересечения двух плоскостей проходит через их общие точки. В правильной пирамиде плоскости через апекс и центр основания пересекаются по прямой через апекс (например SO)." }`
5. `formula` → `{ "label": "Признак параллельности прямой и плоскости", "tex": "a\\parallel b,\\ b\\subset\\alpha,\\ a\\not\\subset\\alpha \\Rightarrow a\\parallel\\alpha" }`
6. `callout` → `{ "variant": "warn", "html": "В В1 (выбор верных утверждений о расстояниях) проверяйте КАЖДОЕ утверждение отдельно: расстояние между скрещивающимися — длина общего перпендикуляра, а не любого отрезка." }`
7. `flashcard` ×N (колода ниже).

### Разборы эталонов
- **А2** (РИКЗ-2024): правильная четырёхугольная пирамида SABCD, O — центр основания; найти прямую пересечения плоскостей DSO и SCB. Обе плоскости проходят через S → линия пересечения проходит через S; анализом получаем **SO**. Метод: общие точки двух плоскостей.
- **В1**: прямая треугольная призма, выбрать верные утверждения о расстояниях/равенстве отрезков (ответ — комбинация цифр). Метод: перевести каждое утверждение в проверяемый факт.

### Тренажёр (`exam_tasks`, subtopic=`ster-basics`)
- 🟡 difficulty 2–3: А2/В1-тип. Источник: «ШПОРА по СТЕОМЕ» (Кедр), Калинин-Терёшин, А2/В1 из РТ/ЦТ.
- **Критерий освоения**: ≥80% на А2+В1.

---

## M27. Многогранники: объёмы, площади, сечения, подобие 🟡🔴 (В13, В17)

### Урок («Призма, пирамида, параллелепипед»)
1. `heading` → `{ "text": "Объёмы и площади многогранников. Подобие в сечениях" }`
2. `formula` → `{ "label": "Объёмы", "tex": "V_{\\text{призмы}}=S_{\\text{осн}}\\cdot h,\\qquad V_{\\text{пирамиды}}=\\tfrac{1}{3}S_{\\text{осн}}\\cdot h" }`
3. `text` → `{ "html": "Сечение, параллельное основанию пирамиды, отсекает подобную фигуру. Если высота делится от вершины в отношении k, то линейные размеры сечения относятся к основанию как k, а ПЛОЩАДИ — как k²." }`
4. `formula` → `{ "label": "Подобие сечения ∥ основанию", "tex": "\\frac{S_{\\text{сеч}}}{S_{\\text{осн}}}=k^2,\\quad k=\\frac{\\text{высота до сечения}}{\\text{вся высота}}" }`
5. `sim` → `{ "simId": "stereo", "caption": "Сечение пирамиды плоскостью ∥ основанию" }`
6. `callout` → `{ "variant": "warn", "html": "В17 ловит на том, что относятся как k² именно ПЛОЩАДИ, а не длины. Сначала найдите k из отношения высот, потом возводите в квадрат." }`
7. `flashcard` ×N.

### Разбор эталона (В17, РИКЗ-2024)
> Плоскость ∥ основанию треуг. пирамиды делит высоту в отношении 5:3 от вершины. Площадь сечения меньше площади основания на 39. Найти площадь сечения.
> k = 5/(5+3) = 5/8 → S_сеч/S_осн = 25/64. Пусть S_осн = x → S_сеч = (25/64)x; x − (25/64)x = 39 → (39/64)x = 39 → x = 64 → **S_сеч = 25**.

### Тренажёр (`exam_tasks`, subtopic=`ster-polyhedra`)
- 🟡 difficulty 3 (объёмы/площади) → 🔴 difficulty 5 (подобие В17). Источник: «Метод Кавальери», «100 баллов» стерео, В13/В17 из РТ/ЦТ.
- **Критерий освоения**: ≥75% (В17-тип уверенно).

---

## M28. Тела вращения: цилиндр, конус, шар/сфера 🟡🔴 (А9, В13)

### Урок («Цилиндр, конус, шар»)
1. `heading` → `{ "text": "Тела вращения: площади поверхностей и объёмы" }`
2. `formula` → `{ "label": "Шар и сфера", "tex": "S_{\\text{сферы}}=4\\pi R^2,\\qquad V_{\\text{шара}}=\\tfrac{4}{3}\\pi R^3" }`
3. `formula` → `{ "label": "Цилиндр", "tex": "S_{\\text{бок}}=2\\pi R h,\\qquad V=\\pi R^2 h" }`
4. `formula` → `{ "label": "Конус", "tex": "S_{\\text{бок}}=\\pi R l,\\qquad V=\\tfrac{1}{3}\\pi R^2 h" }`
5. `sim` → `{ "simId": "stereo", "caption": "Сечение цилиндра плоскостью, параллельной оси" }`
6. `callout` → `{ "variant": "info", "html": "Сфера, касающаяся плоскости: радиус в точку касания ⊥ плоскости. Расстояние от центра до точки плоскости и радиус образуют прямоугольный треугольник — теорема Пифагора." }`
7. `flashcard` ×N.

### Разборы эталонов (РИКЗ-2024)
- **А9**: квадрат с диагональю 8 в плоскости α; сфера касается α в точке пересечения диагоналей; расстояние от центра сферы до вершины квадрата 4√2. Найти площадь сферы. Полудиагональ = 4; R² = (4√2)² − 4² = 32 − 16 = 16 → R = 4 → S = 4π·16 = **64π**.
- **В13**: цилиндр рассечён плоскостью ∥ оси, в сечении квадрат площади 100; расстояние от оси до плоскости √39. Найти S_бок/π. Сторона квадрата = 10 = высота = хорда; R² = (√39)² + 5² = 39+25 = 64 → R = 8; S_бок = 2π·8·10 = 160π → **160**.

### Тренажёр (`exam_tasks`, subtopic=`ster-rotation`)
- 🟡 difficulty 3 → 🔴 4. Источник: «Отработка по Шару» (Кедр), Калинин-Терёшин, А9/В13 из РТ/ЦТ.
- **Критерий освоения**: ≥80% А9, ≥70% В13.

---

## M29. Углы и расстояния в пространстве — координатно-векторный метод 🔴 (В20, В1)

> Ключевой модуль трека на 90–100. Универсальный приём: ввести координаты → выразить векторы → угол через скалярное произведение. «Если геометрия не идёт — считай координатами» (roadmap-документ).

### Урок («Координатный метод: угол между прямыми/плоскостями»)
1. `heading` → `{ "text": "Координаты в пространстве — универсальный способ найти угол и расстояние" }`
2. `text` → `{ "html": "Алгоритм В20: (1) ввести удобную систему координат (вершину фигуры в начало), (2) выписать координаты нужных точек, (3) составить направляющие векторы прямых, (4) угол — через косинус скалярного произведения." }`
3. `formula` → `{ "label": "Угол между прямыми через векторы", "tex": "\\cos\\varphi=\\frac{|\\vec a\\cdot\\vec b|}{|\\vec a|\\,|\\vec b|}" }`
4. `formula` → `{ "label": "Скалярное произведение и длина", "tex": "\\vec a\\cdot\\vec b=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z,\\quad |\\vec a|=\\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}" }`
5. `sim` → `{ "simId": "stereo", "caption": "Угол между скрещивающимися прямыми" }`
6. `accordion` → альтернативы: угол между прямой и плоскостью (через нормаль), теорема о трёх синусах (раскрывается по желанию).
7. `callout` → `{ "variant": "warn", "html": "В числителе — МОДУЛЬ скалярного произведения (угол между прямыми ≤ 90°). Самая частая ошибка В20 — знак/потеря модуля и неверные координаты точек деления рёбер." }`
8. `ordering` → `{ "question": "Порядок решения В20 координатным методом", "items": ["Ввести систему координат","Выписать координаты точек (учесть отношения деления рёбер)","Составить направляющие векторы","cos φ через скалярное произведение и длины"] }`
9. `flashcard` ×N.

### Разбор эталона (В20, РИКЗ-2024)
> Прямой параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁, объём 5√7/2; AB=√7, BC=√2, cos∠ABC=−√14/8; на рёбрах AA₁ и A₁B₁ точки M, N с AM:MA₁=4:1, A₁N:NB₁=1:4. Найти 8√66·cos φ, φ — угол между MN и BC₁.
> Метод: ввести координаты по основанию (с учётом cos∠ABC найти высоту из объёма), выписать M, N, B, C₁ с учётом отношений, составить MN и BC₁, найти cos φ. (Целевая задача для «Лабораторной по В20» и «Отработки В20 из РЦЭ-2025» — Кедр.)

### Тренажёр (`exam_tasks`, subtopic=`ster-angles-distances`)
- 🔴 difficulty 5. Источник (Кедр): «Лабораторная для отработки В20», «Отработка В20 из РЦЭ-2025», «Отработка скрещивающиеся», «Отработка Угол между прям. и плоск.»; «Векторы на экзаменах» (Шестаков).
- **Критерий освоения**: ≥60% В20 координатным методом (сложнейшая позиция теста).

---

## Колода карточек (`flashcard_decks` «Стереометрия — формулы»)

| front | back |
|---|---|
| V призмы | S_осн · h |
| V пирамиды | (1/3) S_осн · h |
| V цилиндра | π R² h |
| V конуса | (1/3) π R² h |
| V шара | (4/3) π R³ |
| S сферы | 4π R² |
| S_бок цилиндра | 2π R h |
| S_бок конуса | π R l |
| Сечение ∥ основанию: отношение площадей | k² (k — отношение высот от вершины) |
| Угол между прямыми (векторы) | cos φ = \|a·b\| / (\|a\|·\|b\|) |
| Скалярное произведение | aₓbₓ + a_yb_y + a_zb_z |
| Длина вектора | √(aₓ² + a_y² + a_z²) |
| Сфера касается плоскости | радиус в точку касания ⊥ плоскости (→ Пифагор) |
| Расстояние между скрещивающимися | длина общего перпендикуляра |

> Источник: «ШПОРА по СТЕОМЕ» (Кедр), «формулы» из «100 баллов» стерео.

---

## Сводный критерий освоения блока

| Уровень | Условие |
|---|---|
| 🟡 Ядро | А2/В1 ≥80%, А9 ≥80%, объёмы/площади (В13) ≥70% |
| 🔴 Продвинутый | + В17 (подобие) уверенно, В20 ≥60% координатным методом |

Детектор слабых тем вернёт `ster-*` подтему в фокус с предложением урока + sim `stereo` + § учебника (`geometry-10`/`geometry-11`).

---

## Заметки для авторинга
- `stereo` sim — единственная 3D-визуализация; ставить в каждый урок блока (повышает понимание расположения).
- В20 — отдельный мини-тренажёр из «Кедр»-материалов: это самые «дорогие» баллы, и они хорошо алгоритмизируются координатным методом.
- Чертежи задач (А2/А9/В1/В13/В17/В20) почти всегда нужны → `figure_html` (SVG/`<img>`) обязателен при оцифровке (см. [DIGITIZATION_SPEC.md](DIGITIZATION_SPEC.md) §3.2).
