diff --git a/frontend/textbooks/geometry_10_r1.html b/frontend/textbooks/geometry_10_r1.html index cdb45a0..0b4df36 100644 --- a/frontend/textbooks/geometry_10_r1.html +++ b/frontend/textbooks/geometry_10_r1.html @@ -1,824 +1,995 @@ - + - -Геометрия 10 · Раздел 1 · Введение в стереометрию - + + +Геометрия 10 · Раздел 1 · «Введение в стереометрию» + - + - + +
-
+
- - - К курсу - -
-
-

Раздел 1. Введение в стереометрию

-
Пространственные фигуры · Аксиомы · Сечения
+

Геометрия 10 · Раздел 1

+
Введение в стереометрию · пространственные фигуры, аксиомы, сечения
- 0 XP - + К геометрии 10 + +
- - -
- -
-
-
§ 1
-
-

Пространственные фигуры

-
Многогранники и тела вращения · грани, рёбра, вершины · формула Эйлера
-
-
- -
-
5 ОСНОВНЫХ ТЕЛ Знакомство со стереометрией
-
-
Стереометрия изучает фигуры в трёхмерном пространстве. Слева направо: призма, пирамида, цилиндр, конус, шар. Первые две — многогранники (все грани плоские), три остальные — тела вращения.
-
- -
-
- 1.1 -
Многогранник: грани, рёбра, вершины
-
-

Многогранник — тело, ограниченное конечным числом плоских многоугольников.

-
    -
  • Грань — каждый из этих многоугольников.
    • -
  • Ребро — общая сторона двух соседних граней.
    • -
  • Вершина — общая точка трёх или более рёбер.
    • -
  • Диагональ — отрезок, соединяющий две вершины, не лежащие на одной грани.
    • -
-
-
- -
- 1.2 -
Призма
-
-

Призма — многогранник, у которого две грани (основания) — равные многоугольники в параллельных плоскостях, а остальные грани (боковые) — параллелограммы.

-

Виды: прямая (боковые рёбра ⊥ основанию) или наклонная; правильная — прямая с основанием в виде правильного $n$-угольника.

-

Параллелепипед — частный случай призмы (основание — параллелограмм).

-
-
- -
- 1.3 -
Пирамида
-
-

Пирамида — многогранник с одним основанием-многоугольником и боковыми гранями-треугольниками с общей вершиной пирамиды.

-

Правильная пирамида: основание — правильный $n$-угольник, вершина проектируется в его центр.

-
-
- -
- 1.4 -
Тела вращения
-
-

Цилиндр — вращение прямоугольника вокруг одной из его сторон.

-

Конус — вращение прямоугольного треугольника вокруг катета.

-

Шар — вращение полукруга вокруг диаметра.

-
-
- -
- 1.5 -
Формула Эйлера
-
-

Для любого выпуклого многогранника:

-

$$ В - Р + Г = 2 $$

-

где В — число вершин, Р — рёбер, Г — граней. Куб: $В=8, Р=12, Г=6 \Rightarrow 8-12+6=2$. ✓

-
-
- -
- 1.6 -
Изображение на плоскости
-
-

Пространственные фигуры изображают на плоскости в параллельной проекции (чаще — кабинетной).

-

Видимые рёбра — сплошной линией, невидимые — штриховой.

-

Параллельные отрезки остаются параллельными, но длины и углы искажаются.

-
-
-
- -
-
КУБ Грани · рёбра · вершины · диагональ
-
-
Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Видимые рёбра — сплошные, невидимые — штриховые. Подсвечена пространственная диагональ $AC_1$ и одна боковая грань $ABB_1A_1$.
-
- -
-
ПРИЗМЫ Прямая и наклонная
-
-
Прямая (правильная)
-
Наклонная
-
-
У прямой призмы боковые рёбра перпендикулярны основанию; у наклонной — нет. Правильная — прямая с правильным $n$-угольником в основании.
-
- -
-
-
1
-
Узнай тело по описанию
-
0 / 6
-
-
-
-
-
-
-
- -
-
-
2
-
Сосчитай элементы
-
0 / 6
-
-
-
-
- - -
-
-
-
- -
-
-
3
-
Куб с разных сторон
-
смотри 3D
-
-
-
- - -
-
Покрути куб — видимые рёбра останутся сплошными, невидимые — пунктирными. Это «кабинетная» проекция: $y$-ось уходит вглубь под $30°$ со сжатием $\tfrac{1}{2}$.
-
- -
- -
- -
-
- -
-
-
§ 2
-
-

Прямые и плоскости в пространстве

-
Три аксиомы стереометрии и их следствия · 4 способа задания плоскости
-
-
- -
-
АКСИОМЫ A1–A3 Основа стереометрии
-
-
A1: три точки
-
A2: прямая в плоскости
-
A3: пересечение
-
-
Три аксиомы стереометрии: через 3 точки — единственная плоскость; прямая лежит в плоскости, если 2 её точки в ней; две плоскости пересекаются по прямой.
-
- -
-
- A1 -
Через три точки
-
-

Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость.

-

Если же точки коллинеарны — плоскостей бесконечно много (можно «вращать» вокруг прямой).

-
-
- -
- A2 -
Прямая в плоскости
-
-

Если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости.

-

Обозначение: $a \subset \alpha$ — «прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$».

-
-
- -
- A3 -
Пересечение плоскостей
-
-

Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все их общие точки.

-

Эту прямую называют линией пересечения плоскостей: $\alpha \cap \beta = l$.

-
-
- -
- 2.4 -
Следствия из аксиом
-
-
    -
  • Через прямую и точку вне её — единственная плоскость.
    • -
  • Через две пересекающиеся прямые — единственная плоскость.
    • -
  • Через две параллельные прямые — единственная плоскость.
    • -
-
-
- -
- 2.5 -
4 способа задать плоскость
-
-
    -
  • 3 точки, не лежащие на одной прямой;
    • -
  • прямая и точка вне её;
    • -
  • две пересекающиеся прямые;
    • -
  • две параллельные прямые.
    • -
-

Все эти способы — переформулировки аксиомы A1.

-
-
- -
- 2.6 -
Обозначения
-
-
    -
  • $A \in \alpha$ — точка $A$ принадлежит плоскости $\alpha$;
    • -
  • $a \subset \alpha$ — прямая $a$ лежит в $\alpha$;
    • -
  • $\alpha \cap \beta = c$ — плоскости пересекаются по прямой $c$;
    • -
  • $a \parallel b$ — прямые параллельны.
    • -
-
-
-
- -
-
СЛЕДСТВИЯ 3 способа однозначно задать плоскость
-
-
Прямая + точка
-
Пересекающиеся прямые
-
Параллельные прямые
-
-
- -
-
-
1
-
Какая аксиома или следствие?
-
0 / 6
-
-
-
-
-
-
-
- -
-
-
2
-
Можно ли задать плоскость?
-
0 / 5
-
-
-
-
-
-
-
- -
-
-
3
-
Сколько плоскостей?
-
0 / 5
-
-
-
-
-
-
-
- -
- -
- -
-
- -
-
-
§ 3
-
-

Построения сечений

-
Метод следов · сечения куба, призмы, пирамиды
-
-
- -
-
МЕТОД 3 ТОЧЕК Сечение куба плоскостью через $M$, $N$, $P$ — правильный шестиугольник
-
-
- - Шаг 1 / 4 -
-
На рёбрах $AB$, $BC$, $CC_1$ куба отмечены середины $M$, $N$, $P$. Нажми «Шаг построения», чтобы увидеть, как через них проводится плоскость и какая фигура получится.
-
- -
-
ТИПЫ СЕЧЕНИЙ КУБА От треугольника до шестиугольника
-
-
Треугольник
-
Прямоугольник
-
Шестиугольник (max)
-
-
Куб «теряет» одну грань при пересечении плоскостью — поэтому сечение имеет от 3 до 6 сторон. Тетраэдр (4 грани) — максимум 4-угольник. Призма с $n$-угольным основанием — максимум $(n+2)$-угольник.
-
- -
-
МЕТОД СЛЕДОВ Как строится сечение, выходящее за пределы видимых граней
-
-
Пусть в кубе отмечены $M$, $N$ на верхних рёбрах и $K$ на боковом ребре. Тогда: 1) находим след плоскости сечения на основании (продолжая $MN$ и проводя прямую через $K$ параллельно ребру); 2) от следа достраиваем сечение, пересекая остальные рёбра.
-
- -
-
- 3.1 -
Сечение многогранника
-
-

Сечение многогранника плоскостью $\sigma$ — это многоугольник, образованный пересечением плоскости со всеми гранями многогранника.

-

Его стороны — отрезки пересечения $\sigma$ с гранями; его вершины — точки, где $\sigma$ пересекает рёбра.

-
-
- -
- 3.2 -
Метод следов
-
-

Следом называется линия пересечения плоскости сечения с одной из граней (обычно с плоскостью основания).

-

Зная след в плоскости основания и одну точку выше, можно построить пересечения с остальными гранями, продолжая прямые и применяя аксиому A2.

-
-
- -
- 3.3 -
Параллельные сечения
-
-

Если плоскость сечения параллельна основанию пирамиды, сечение — многоугольник, подобный основанию (с коэффициентом подобия, зависящим от высоты).

-

В призме параллельное основанию сечение даёт многоугольник, равный основанию.

-
-
- -
- 3.4 -
Максимальное число сторон
-
-

Плоскость может пересечь каждую грань не более чем по одному отрезку. Поэтому число сторон сечения не превосходит число граней многогранника.

-
    -
  • Куб (6 граней) → max 6 сторон (правильный шестиугольник через 6 средин рёбер).
    • -
  • Тетраэдр (4 грани) → max 4 стороны.
    • -
  • $n$-угольная призма ($n{+}2$ граней) → max $n{+}2$ сторон.
    • -
-
-
-
- -
-
-
1
-
Какой многоугольник получится в сечении?
-
0 / 6
-
-
-
-
-
-
-
- -
-
-
2
-
Максимальное число сторон сечения
-
0 / 5
-
-
-
-
- - -
-
-
-
- -
-
-
3
-
Метод следов: верно или нет?
-
0 / 5
-
-
-
-
-
-
-
- -
- -
- -
-
- -
-
-
★
-
-

Финал раздела 1

-
4 интегральных босса · ачивка «Введение в стереометрию пройдено»
-
-
- -
-
ФИНАЛЬНОЕ ИСПЫТАНИЕ Победи 4 боссов подряд
-
Каждый босс — на одну тему: элементы тел, аксиомы, сечения, сборная задача. После победы над всеми 4 — получишь ачивку и +100 XP бонусом. Состояние сохраняется автоматически.
-
- -
-
-
-
- - -
- + +
- + +
Достижение!