From 663459a6757ff670c5cefd9d4849b99075d799be Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Maxim Dolgolyov Date: Fri, 29 May 2026 16:08:46 +0300 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?feat(geom10=20W13):=20r3=20(=D0=9F=D0=B5=D1=80?= =?UTF-8?q?=D0=BF=D0=B5=D0=BD=D0=B4=D0=B8=D0=BA=D1=83=D0=BB=D1=8F=D1=80?= =?UTF-8?q?=D0=BD=D0=BE=D1=81=D1=82=D1=8C)=20=D0=BF=D0=B5=D1=80=D0=B5?= =?UTF-8?q?=D0=BF=D0=B8=D1=81=D0=B0=D0=BD=20=D0=B2=20=D1=81=D1=82=D0=B8?= =?UTF-8?q?=D0=BB=D0=B5=20geom11?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit Раздел 3 §7-§10 + Финал в архитектуре geom11_ch1: - 4 параграфа: §7 ⊥-прямая, §8 расстояния, §9 ТТП, §10 ⊥-плоскости - 5 финальных боссов (vs 4 в r1/r2) - 2-кол layout с sticky col-side (XP/cheat sheet) - Hero с rose-фоном (#7f1d1d→#e11d48→#fda4af) - psel-grid тапы для переключения параграфов - KaTeX onload renderMathInElement Контент: - §7 ⊥-прямая: SVG определения + признака + 6 карточек + 3 интерактива + Босс §7 (+70 XP) - §8 Расстояния: 4 типа SVG + детальный SVG + 4 карточки + 3 интерактива (вкл. куб с √2) + Босс §8 (+70 XP) - §9 ТТП: SVG наклонной+проекции + SVG ТТП + 3 карточки + 3 интерактива + Босс §9 (+70 XP) - §10 ⊥-плоскости: SVG двугранного угла + SVG признака + 4 карточки + 3 интерактива + Босс §10 (+75 XP) - Финал: 5 боссов + celebration → ачивка stereo10_r3_master + 130 XP Тема: rose (--pri:#e11d48, --pri2:#be123c) LocalStorage: geometry10_r3_* --- frontend/textbooks/geometry_10_r3.html | 2733 ++++++++++-------------- 1 file changed, 1116 insertions(+), 1617 deletions(-) diff --git a/frontend/textbooks/geometry_10_r3.html b/frontend/textbooks/geometry_10_r3.html index 6038eac..d2ed8d4 100644 --- a/frontend/textbooks/geometry_10_r3.html +++ b/frontend/textbooks/geometry_10_r3.html @@ -1,1712 +1,1211 @@ - + - -Геометрия 10 · Раздел 3 · Перпендикулярность - + + +Геометрия 10 · Раздел 3 · «Перпендикулярность» + - + - + +
-
+
- - - К курсу - -
-
-

Раздел 3. Перпендикулярность

-
Прямая ⊥ плоскость · Расстояния · Углы · Двугранный угол
+

Геометрия 10 · Раздел 3

+
Перпендикулярность · прямая ⊥ плоскость · расстояния · ТТП · двугранный угол
- 0 XP - + К геометрии 10 + +
- - -
- - -
-
-
§ 7
-
-

Перпендикулярность прямой и плоскости

-
Определение · признак · свойства · связь с параллельностью
-
-
- -
-
ОПРЕДЕЛЕНИЕ Прямая, перпендикулярная плоскости
-
-
Прямая $l$ перпендикулярна плоскости $\alpha$, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку пересечения. Обозначение: $l \perp \alpha$.
-
- -
-
ПРИЗНАК $l \perp m,\ l \perp n,\ m \cap n = O \Rightarrow l \perp \alpha$
-
-
Если прямая $l$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $m$ и $n$ в плоскости $\alpha$, то $l \perp \alpha$. Двух пересекающихся достаточно — необязательно проверять все прямые плоскости.
-
- -
-
- 7.1 -
Определение
-
-

Прямая $l$ называется перпендикулярной плоскости $\alpha$, если она перпендикулярна каждой прямой в $\alpha$, проходящей через точку их пересечения.

-

Обозначение: $l \perp \alpha$.

-
-
- -
- 7.2 -
Признак перпендикулярности
-
-

Если прямая $l$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $m$ и $n$ плоскости $\alpha$, то $l \perp \alpha$.

-

Это основной инструмент для доказательства перпендикулярности.

-
-
- -
- 7.3 -
Свойство
-
-

Если $l \perp \alpha$, то $l$ перпендикулярна любой прямой плоскости $\alpha$ (не только проходящей через точку пересечения, но и параллельной ей).

-

$l \perp \alpha,\ a \subset \alpha \Rightarrow l \perp a$.

-
-
- -
- 7.4 -
Параллельность и перпендикулярность
-
-

Если $l \perp \alpha$ и $l \parallel l'$, то $l' \perp \alpha$.

-

Если $l_1 \perp \alpha$ и $l_2 \perp \alpha$, то $l_1 \parallel l_2$.

-

Две прямые, перпендикулярные одной плоскости, всегда параллельны между собой.

-
-
- -
- 7.5 -
Существование и единственность
-
-

Через любую точку пространства проходит единственная прямая, перпендикулярная данной плоскости.

-

Через любую точку плоскости — единственная прямая, перпендикулярная этой плоскости.

-
-
- -
- 7.6 -
Куб и перпендикулярность
-
-

В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$: ребро $AA_1$ перпендикулярно нижней грани $ABCD$, потому что $AA_1 \perp AB$ и $AA_1 \perp AD$ (две пересек. прямые в плоскости).

-

Аналогично — каждое боковое ребро перпендикулярно обоим основаниям.

-
-
-
- -
-
-
1
-
Перпендикулярна ли прямая плоскости?
-
0 / 6
-
-
-
-
-
-
-
- -
-
-
2
-
Применение признака
-
0 / 5
-
-
-
-
-
-
-
- -
-
-
3
-
Перпендикулярность в кубе
-
0 / 5
-
-
-
-
-
-
-
- -
- -
- -
-
- - -
-
-
§ 8
-
-

Расстояния в пространстве

-
Точка ↔ плоскость · параллельные плоскости · скрещивающиеся прямые
-
-
- -
-
4 ВИДА РАССТОЯНИЙ Все через перпендикуляр
-
-
Точка → плоскость
-
Прямая ∥ плоскость
-
Парал. плоскости
-
Скрещ. прямые
-
-
Расстояние в стереометрии — всегда длина перпендикуляра. От точки до плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного из точки.
-
- -
-
ТОЧКА И ПЛОСКОСТЬ Расстояние $\rho(A, \alpha) = |AO|$
-
-
Точка $A$ вне плоскости $\alpha$. Опускаем перпендикуляр $AO$ ($O \in \alpha$). Длина $|AO|$ — расстояние от $A$ до $\alpha$. Любая наклонная $AB$ всегда длиннее перпендикуляра.
-
- -
-
- 8.1 -
Расстояние от точки до плоскости
-
-

Длина перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на плоскость $\alpha$.

-

Перпендикуляр короче любой наклонной из той же точки.

-
-
- -
- 8.2 -
От прямой до параллельной плоскости
-
-

Если $a \parallel \alpha$, то расстояние от $a$ до $\alpha$ — это расстояние от любой точки прямой $a$ до $\alpha$ (оно постоянно).

-
-
- -
- 8.3 -
Между параллельными плоскостями
-
-

Длина общего перпендикуляра между $\alpha \parallel \beta$. Равна расстоянию от любой точки одной плоскости до другой.

-
-
- -
- 8.4 -
Между скрещивающимися прямыми
-
-

Длина общего перпендикуляра к двум скрещивающимся прямым.

-

Общий перпендикуляр существует, единствен и перпендикулярен обеим прямым.

-
-
- -
- 8.5 -
Свойство перпендикуляра
-
-

Перпендикуляр из точки на плоскость — это кратчайший отрезок от точки до плоскости.

-

Если из точки опущен перпендикуляр $AO$ и наклонная $AB$, то $|AO| \le |AB|$, причём равенство — только если $B = O$.

-
-
- -
- 8.6 -
Куб: типовые расстояния
-
-

В кубе с ребром $a$:

-
    -
  • Расстояние от $A$ до плоскости $A_1B_1C_1D_1$ равно $a$ (ребро $AA_1$).
    • -
  • Расстояние между рёбрами $AB$ и $C_1D_1$ равно $a\sqrt{2}$ (диагональ грани).
    • -
  • Расстояние между $AB$ и $CC_1$ равно $a$ (ребро $BC$).
    • -
-
-
-
- -
-
-
1
-
Расстояния в кубе (ребро $a = 1$)
-
0 / 6
-
-
-
-
- - -
-
-
-
- -
-
-
2
-
Какое расстояние ищется?
-
0 / 5
-
-
-
-
-
-
-
- -
-
-
3
-
Верно или неверно
-
0 / 5
-
-
-
-
-
-
-
- -
- -
- -
-
- - -
-
-
§ 9
-
-

Угол между прямой и плоскостью

-
Наклонная и её проекция · теорема о трёх перпендикулярах (ТТП)
-
-
- -
-
ОПРЕДЕЛЕНИЕ Угол между наклонной и плоскостью
-
-
Точка $A$ вне плоскости $\alpha$. $AH$ — перпендикуляр ($H \in \alpha$). $AB$ — наклонная ($B \in \alpha, B \neq H$). $HB$ — проекция наклонной. Углом между $AB$ и $\alpha$ называется $\angle ABH$ — угол между наклонной и её проекцией.
-
- -
-
ТТП Теорема о трёх перпендикулярах
-
-
Если из основания $H$ перпендикуляра $AH$ к плоскости $\alpha$ провести в плоскости $\alpha$ прямую $BC \perp HB$, то и наклонная $AB \perp BC$. Обратное верно: $AB \perp BC \Rightarrow HB \perp BC$.
-
- -
-
- 9.1 -
Наклонная и проекция
-
-

Если $A \notin \alpha$, $AH \perp \alpha$ ($H \in \alpha$), а $AB$ — отрезок до $B \in \alpha, B \neq H$, то:

-
    -
  • $AH$ — перпендикуляр из $A$;
    • -
  • $AB$ — наклонная;
    • -
  • $HB$ — проекция наклонной $AB$.
    • -
-
-
- -
- 9.2 -
Угол между прямой и плоскостью
-
-

Углом между наклонной и плоскостью называется угол между наклонной и её проекцией на эту плоскость: $\varphi = \angle ABH$.

-

Для перпендикулярной прямой угол с плоскостью равен $90°$.

-

Для прямой, лежащей в плоскости (или параллельной ей) — $0°$.

-
-
- -
- 9.3 -
Теорема о трёх перпендикулярах
-
-

Прямая теорема: $AH \perp \alpha, BC \subset \alpha, HB \perp BC \Rightarrow AB \perp BC$.

-

Обратная теорема: $AH \perp \alpha, BC \subset \alpha, AB \perp BC \Rightarrow HB \perp BC$.

-

Часто применяется в задачах с пирамидами и призмами.

-
-
- -
- 9.4 -
Равные наклонные = равные проекции
-
-

Из одной точки $A$ к плоскости $\alpha$ проведены наклонные $AB_1$ и $AB_2$. Тогда:

-
    -
  • $|AB_1| = |AB_2| \Leftrightarrow |HB_1| = |HB_2|$;
    • -
  • бóльшая наклонная даёт бóльшую проекцию.
    • -
-
-
- -
- 9.5 -
Формула угла
-
-

Если $|AH| = h$ — перпендикуляр, $|HB| = p$ — проекция, $|AB| = \ell$ — наклонная, то:

-

$\tg \varphi = \dfrac{h}{p}, \quad \sin \varphi = \dfrac{h}{\ell}, \quad \cos \varphi = \dfrac{p}{\ell}$.

-
-
- -
- 9.6 -
ТТП в кубе
-
-

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Диагональ $AC_1$ — наклонная к плоскости $ABCD$. Её проекция — диагональ $AC$ нижней грани.

-

$\tg \varphi = \dfrac{AA_1}{AC} = \dfrac{a}{a\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$, откуда $\varphi \approx 35{,}26°$.

-
-
-
- -
-
-
1
-
Перпендикуляр, наклонная или проекция?
-
0 / 6
-
-
-
-
-
-
-
- -
-
-
2
-
Углы наклонных в кубе (ребро $a = 1$)
-
0 / 5
-
-
-
-
- - -
-
-
-
- -
-
-
3
-
Применима ли ТТП?
-
0 / 5
-
-
-
-
-
-
-
- -
- -
- -
-
- - -
-
-
§ 10
-
-

Перпендикулярность плоскостей

-
Двугранный угол · линейный угол · признак $\alpha \perp \beta$
-
-
- -
-
ДВУГРАННЫЙ УГОЛ Полуплоскости с общим ребром
-
-
Двугранный угол — фигура из двух полуплоскостей с общим ребром $l$. Его величина измеряется линейным углом: из точки $M \in l$ в каждой полуплоскости проводят $MP \perp l$ и $MQ \perp l$. Тогда $\angle PMQ$ — линейный угол двугранного угла.
-
- -
-
ПРИЗНАК $\alpha \perp \beta$, если $\alpha \supset l \perp \beta$
-
-
Если плоскость $\alpha$ содержит прямую $l$, перпендикулярную плоскости $\beta$, — то $\alpha \perp \beta$. Иначе: достаточно одной перпендикулярной к $\beta$ прямой в $\alpha$, чтобы плоскости были перпендикулярны.
-
- -
-
- 10.1 -
Двугранный угол
-
-

Двугранный угол — фигура из двух полуплоскостей с общим ребром $l$ (граней двугранного угла).

-

Двугранный угол может быть острым, прямым, тупым или развёрнутым.

-
-
- -
- 10.2 -
Линейный угол
-
-

Возьмём $M \in l$. В каждой полуплоскости проведём луч $\perp l$ из $M$. Угол между этими лучами — линейный угол.

-

Линейный угол не зависит от выбора точки $M$ на ребре.

-
-
- -
- 10.3 -
Перпендикулярные плоскости
-
-

Две плоскости называются перпендикулярными, если их двугранный угол прямой ($90°$).

-

Обозначение: $\alpha \perp \beta$.

-
-
- -
- 10.4 -
Признак $\alpha \perp \beta$
-
-

Если плоскость $\alpha$ содержит прямую $l$, перпендикулярную плоскости $\beta$, то $\alpha \perp \beta$.

-

Достаточно одной такой прямой.

-
-
- -
- 10.5 -
Свойство
-
-

Если $\alpha \perp \beta$ и из точки $M \in \alpha$ опустить перпендикуляр $MK$ в плоскости $\alpha$ к линии пересечения $\alpha \cap \beta$, то $MK \perp \beta$.

-

Перпендикуляр к ребру двугранного угла в одной из полуплоскостей перпендикулярен другой плоскости.

-
-
- -
- 10.6 -
⊥-плоскости в кубе
-
-

В кубе все смежные грани перпендикулярны. Например, $ABCD \perp ABB_1A_1$, потому что ребро $AA_1 \subset ABB_1A_1$ и $AA_1 \perp ABCD$ — выполнен признак.

-

Каждая грань куба перпендикулярна 4 соседним и параллельна 1 противоположной.

-
-
-
- -
-
-
1
-
Двугранный угол: понимаешь?
-
0 / 5
-
-
-
-
-
-
-
- -
-
-
2
-
Признак перпендикулярности плоскостей
-
0 / 5
-
-
-
-
-
-
-
- -
-
-
3
-
Перпендикулярность граней куба
-
0 / 5
-
-
-
-
-
-
-
- -
- -
- -
-
- -
-
-
★
-
-

Финал раздела 3

-
5 интегральных боссов · ачивка «Перпендикулярность освоена»
-
-
- -
-
ФИНАЛЬНОЕ ИСПЫТАНИЕ Победи 5 боссов подряд
-
Каждый босс — на одну тему: прямая⊥плоскость, расстояния, угол наклонной + ТТП, ⊥-плоскости, сборная задача. После победы над всеми — ачивка stereo10_r3_master и +130 XP бонусом.
-
- -
-
-
-
-
- - -
- + +
- + +
Достижение!