diff --git a/frontend/textbooks/geometry_8_ch1.html b/frontend/textbooks/geometry_8_ch1.html index 995fc2c..0fa59fa 100644 --- a/frontend/textbooks/geometry_8_ch1.html +++ b/frontend/textbooks/geometry_8_ch1.html @@ -757,50 +757,76 @@ function buildP1(){

Многоугольник — это замкнутая ломаная без самопересечений. Она делит плоскость на внутреннюю часть (многоугольник) и внешнюю.

Элементы: вершины (точки излома), стороны (звенья ломаной), углы (при каждой вершине).

Названия: 3 стороны — треугольник, 4 — четырёхугольник, 5 — пятиугольник, 6 — шестиугольник, …, n — n-угольник.

-
- - +
+ + + - - - a - b - c - d - e - - диаг. - - - - - - - - A - B - C - D - E - P = a+b+c+d+e + + + a + b + c + d + e + + AC + + + + + + + + A + B + C + D + E + + Вершины, стороны, диагональ AC
`); html += makeCard('rule','Выпуклый многоугольник','1.2',`

Выпуклый многоугольник — многоугольник, у которого каждая сторона (её прямая) не разделяет оставшиеся вершины на две части: все они лежат по одну сторону от этой прямой.

Эквивалентно: все диагонали лежат внутри фигуры.

Невыпуклый (вогнутый) — если хотя бы одна диагональ выходит наружу.

-
-
- - - - Выпуклый -
-
- - - Невыпуклый -
+
+
+ + + + + + + + + + + + + Выпуклый + +
Все диагонали
внутри
+
+
+ + + + + + + + + + + + + + Невыпуклый + +
Есть «вогнутая»
вершина
+
`); html += makeCard('rule','Диагональ. Число диагоналей','1.3',` @@ -812,77 +838,110 @@ function buildP1(){ $n$34567810 Диагоналей0259142035 -
- - - - - - - - - - - - - - - - n=6: D=6(6-3)/2=9 диагоналей +
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + A + B + C + D + E + F + n=6: D = 6·3/2 = 9 диагоналей
`); html += makeCard('rule','Периметр','1.4',`

Периметр многоугольника — сумма длин всех его сторон:

\\[P = a_1 + a_2 + \\cdots + a_n\\]

Для правильного n-угольника со стороной $a$: $P = n \\cdot a$.

-
- - - - 5 - 7 - 4 - 6 +
+ + + + + + a + + b + + c + + d - - - - + + + + - A - B - C - D + A + B + C + D - P = 5+7+4+6 = 22 + P = a + b + c + d
`); html += makeCard('example','Пример','1.5',`

Сколько диагоналей у восьмиугольника?

$n = 8$: $D = \\dfrac{8 \\cdot (8-3)}{2} = \\dfrac{8 \\cdot 5}{2} = \\dfrac{40}{2} = 20$. Ответ: 20 диагоналей.

Периметр четырёхугольника со сторонами 5, 7, 4, 6 равен $5+7+4+6=22$.

-
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - n=8: D=8·5/2=20 диагоналей +
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + n=8: D = 8·5/2 = 20 диагоналей
`); /* --- INTERACTIVE 1: SVG-конструктор многоугольника --- */ @@ -1220,33 +1279,35 @@ function buildP2(){ $n$34567810 Сумма углов$180°$$360°$$540°$$720°$$900°$$1080°$$1440°$ -
- - - - - - - - - - - T1 - T2 - T3 - - - - - - +
+ + + + + + + + + + + + + T1 + T2 + T3 + + + + + + - A₁ - A₂ - A₃ - A₄ - A₅ - n=5: (5-2)·180°=540° + A₁ + A₂ + A₃ + A₄ + A₅ + n=5: 3 треугольника, сумма = 540°
`); html += makeCard('rule','Правильный многоугольник','2.2',` @@ -1264,39 +1325,77 @@ function buildP2(){ Двенадцатиугольник12$150°$ -
-
- - 60° +
+ + +
+ + + + 60°
-
- - 90° + +
+ + + + 90°
-
- - 108° + + +
+ + + + 108°
-
- - 120° + + +
+ + + + 120°
`); html += makeCard('example','Примеры','2.3',`

Один угол девятиугольника. $n=9$: сумма $= (9-2)\\cdot 180°=7\\cdot 180°=1260°$. Один угол правильного 9-угольника: $1260°/9=140°$.

Найти n по сумме углов. Сумма $=1440°$: $(n-2)\\cdot 180°=1440° \\Rightarrow n-2=8 \\Rightarrow n=10$. Ответ: десятиугольник.

-
- - - - - 140° - - - A - - n=9: (9-2)·180°/9 = 140° +
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + 140° + + + + A + + + + + + + + + + + n=9: (9-2)·180°/9 = 140°
`); /* --- INTERACTIVE 1: Анимация триангуляции --- */ @@ -1512,28 +1611,38 @@ function buildP3(){

где $\\alpha_i$ — соответствующий внутренний угол.

Теорема. Сумма всех внешних углов выпуклого многоугольника (по одному у каждой вершины) равна $360°$ — при любом $n$.

Объяснение: если обойти многоугольник по периметру, на каждой вершине повернёшься на внешний угол. За полный обход — ровно один полный оборот $= 360°$.

-
- - - - - - - - - - β - α +
+ + + + + + + + + + + + + + α + + + + + β - - - + + + - A - B - C - - β = 180° − α; Σβ = 360° + A + B + C + + B' + + β = 180° − α, сумма β = 360°
`); html += makeCard('rule','Правильный n-угольник','3.2',` @@ -1541,48 +1650,80 @@ function buildP3(){ \\[\\beta = \\dfrac{360^{\\circ}}{n}\\]

Внутренний угол: $\\alpha = 180° - \\dfrac{360°}{n} = \\dfrac{(n-2)\\cdot 180°}{n}$.

Отсюда: зная внешний угол $\\beta$, можно найти $n = \\dfrac{360°}{\\beta}$.

-
- - - - - - - - 60° - - - - - - - +
+ + + + + + + + + + + + + 60° + + + + 120° + + + + + + + + + A + B + C + D + E + F - n=6: β=360°/6=60° + n=6: β=360°/6=60°
`); html += makeCard('example','Примеры','3.3',`

Внешний угол правильного шестиугольника: $\\beta = 360°/6 = 60°$, внутренний $= 180°-60°=120°$.

Внешний угол правильного многоугольника = 24°. Найти n: $n = 360°/24° = 15$. Ответ: 15-угольник.

Сумма внешних углов правильного 100-угольника: всегда $360°$, независимо от $n$!

-
- - Внешние углы складываются в 360° - - - - - - - - - 60° - 60° - 60° - 60° - 60° - 60° - 6 × 60° = 360° +
+ + Внешние углы → 360° + + + + + + + + + + + + + + + + + 60° + + 60° + + 60° + + 60° + + 60° + + 60° + + + + 6 × 60° = 360°
`); /* --- INTERACTIVE 1: SVG внешние углы + анимация "свернуть в точку" --- */ @@ -1840,36 +1981,46 @@ function buildP4(){
  • Углы: противоположные углы равны; смежные углы — дополнение до $180°$
  • Диагонали: $AC$ и $BD$ — пересекаются и делятся точкой пересечения пополам
    • -
    - - - - - - - - O - - - - - - - - - - - - - +
    + + + + + + + + + O + + + + + + + + + + + + + + + a + a + b + b + + + + + - A - B - C - D - - a - b + A + B + C + D + + AB∥DC, AD∥BC, диагонали → O
    `); html += makeCard('rule','Основные свойства','4.2',` @@ -1878,28 +2029,42 @@ function buildP4(){ \\[\\angle A = \\angle C, \\quad \\angle B = \\angle D\\] \\[\\angle A + \\angle B = 180^{\\circ}\\]

    Эти свойства доказываются через равенство треугольников, на которые диагональ делит параллелограмм.

    -
    - - - - - α - - α - - β - - β - - - - - - A - B - C - D - α+β=180° +
    + + + + + + + + α + + + + + α + + + + + β + + + + + β + + + + + + + A + B + C + D + + ∠A=∠C=α, ∠B=∠D=β, α+β=180°
    `); html += makeCard('example','Примеры','4.3',` @@ -1907,25 +2072,49 @@ function buildP4(){

    Трапеция — НЕ параллелограмм (только одна пара параллельных сторон).

    Задача: в параллелограмме $AB = 8$, $BC = 5$. Найти периметр. Решение: $P = 2(8+5) = 26$.

    Задача: $\\angle A = 65°$. Найти остальные углы. $\\angle C = 65°$, $\\angle B = \\angle D = 115°$.

    -
    -
    - - 8 - 5 - 8 - 5 - P=26 +
    + +
    + + + 8 + + 5 + + 8 + + 5 + + + + + A + B + C + D -
    AB=8, BC=5
    -
    - - - 65° - - 65° - ∠A=∠C=65° +
    P = 2(8+5) = 26
    + +
    + + + + + + 65° + + + + + 65° + + + A + B + C + D -
    ∠B=∠D=115°
    +
    ∠A=∠C=65°,
    ∠B=∠D=115°
    `); /* --- INTERACTIVE 1: SVG-конструктор параллелограмма --- */ @@ -2220,30 +2409,48 @@ function buildP5(){
  • Свойство 3: диагонали точкой пересечения $O$ делятся пополам: $AO = OC$, $BO = OD$
  • Свойство 4: сумма соседних углов равна $180°$: $\\angle A + \\angle B = 180°$
    • -
    - - - - - - - - O - - - - - - - - - - - A - B - C - D - AO=OC, BO=OD +
    + + + + + + + + O + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + A + B + C + D + + AB=CD, BC=AD, AO=OC, BO=OD
    `); html += makeCard('rule','Доказательство свойств 1 и 2','5.2',` @@ -2252,58 +2459,76 @@ function buildP5(){

    $BC \\parallel AD$ $\\Rightarrow$ $\\angle BCA = \\angle DAC$ (накрест лежащие).

    $AC$ — общая сторона. По признаку «угол–сторона–угол»: $\\triangle ABC = \\triangle CDA$.

    Из равенства треугольников: $AB=CD$, $BC=DA$, $\\angle B=\\angle D$. А $\\angle A=\\angle C$ — аналогично через диагональ $BD$.

    -
    - - - - - - - - - △ABC - △CDA - - - - - - A - B - C - D - △ABC = △CDA (у-с-у) +
    + + + + + + + + + + + + △ABC + + △CDA + + + + + + + A + B + C + D + + △ABC = △CDA (угол–сторона–угол)
    `); html += makeCard('rule','Доказательство свойства 3','5.3',`

    Рассмотрим треугольники $\\triangle AOB$ и $\\triangle COD$, где $O$ — точка пересечения диагоналей.

    $AB = CD$ (свойство 1), $\\angle OAB = \\angle OCD$, $\\angle OBA = \\angle ODC$ (накрест лежащие). По «угол–сторона–угол»: $\\triangle AOB = \\triangle COD$.

    Следовательно: $AO = CO$ и $BO = DO$. Диагонали делятся пополам. ч.т.д.

    -
    - - - - - - - +
    + + + + + + + + + + + - - O - - - - - - - - - - A - B - C - D - △AOB = △COD + + O + + + + + + + + + + + + + + + + + A + B + C + D + + △AOB = △COD → AO=OC, BO=OD
    `); /* --- INTERACTIVE 1: SVG-параллелограмм с живыми метриками --- */ @@ -2596,28 +2821,54 @@ function buildP6(){
  • Признак 3. Диагонали точкой пересечения делятся пополам: $AO=OC$ и $BO=OD$.
    • -
    - - - - Признак 1 + + +
    + + + + + + + + + + + + + + + Признак 1
    -
    - - - - - - - - Признак 2 + +
    + + + + + + + + + + + + Признак 2
    -
    - - - - - Признак 3 + +
    + + + + + + + + + + + + Признак 3
    `); @@ -2625,49 +2876,79 @@ function buildP6(){

    Дано: $AB=CD$, $BC=AD$. Проведём диагональ $AC$.

    В $\\triangle ABC$ и $\\triangle CDA$: $AB=CD$, $BC=DA$, $AC=CA$ (общая). По признаку «три стороны»: $\\triangle ABC=\\triangle CDA$.

    Из равенства треугольников: $\\angle BAC=\\angle DCA$ и $\\angle BCA=\\angle DAC$. Это накрест лежащие углы, значит $AB\\parallel CD$ и $BC\\parallel AD$. Следовательно, $ABCD$ — параллелограмм. ч.т.д.

    -
    - - - - - - - - - - A - B - C - D - △ABC = △CDA (с-с-с) +
    + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + A + B + C + D + △ABC = △CDA (с-с-с)
    `); html += makeCard('rule','Доказательство признака 3','6.3',`

    Дано: $AO=OC$, $BO=OD$. В $\\triangle AOB$ и $\\triangle COD$: $AO=CO$, $BO=DO$, $\\angle AOB=\\angle COD$ (вертикальные). По признаку «сторона–угол–сторона»: $\\triangle AOB=\\triangle COD$.

    Отсюда $\\angle OAB=\\angle OCD$ — накрест лежащие, значит $AB\\parallel CD$. Аналогично $BC\\parallel AD$. Четырёхугольник — параллелограмм. ч.т.д.

    -
    - - - - - - O - - - - - - - - - - - - A - B - C - D - △AOB = △COD (с-у-с) +
    + + + + + + + + + + + + + + O + + + + + + + + + + + + + + + + + A + B + C + D + △AOB = △COD (с-у-с)
    `); /* --- INTERACTIVE 1: Три SVG-демонстрации признаков --- */ @@ -2868,31 +3149,34 @@ function buildP7(){

    Прямоугольник — параллелограмм, у которого один угол прямой.

    Так как в параллелограмме сумма соседних углов равна $180°$, а один угол равен $90°$, то все углы прямоугольника прямые.

    Обозначение: $ABCD$, где $\\angle A=\\angle B=\\angle C=\\angle D=90°$.

    -
    - - - - - - - - - 90° - 90° - 90° - 90° - - - - - - A - B - C - D - - a - b +
    + + + + + + + + + + + + + + + + + + + A + B + C + D + + a + b + + ∠A=∠B=∠C=∠D=90°
    `); html += makeCard('rule','Свойство диагоналей прямоугольника','7.2',` @@ -2900,37 +3184,110 @@ function buildP7(){

    Доказательство. Рассмотрим $\\triangle ABC$ и $\\triangle BAD$: $AB=BA$ (общая), $\\angle ABC=\\angle BAD=90°$, $BC=AD$ (как в параллелограмме). По признаку «угол–сторона–угол»: $\\triangle ABC=\\triangle BAD$.

    Следовательно: $AC=BD$. ч.т.д.

    По теореме Пифагора: $d = \\sqrt{a^2 + b^2}$, где $a$, $b$ — стороны прямоугольника.

    -
    - - - - - - - - - - - - - - - - - AC - BD - - - - - - A - B - C - D - AC = BD = √(a²+b²) +
    + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + AC + BD + + + + + + + A + B + C + D + + AC = BD = √(a²+b²)
    `); + html += makeCard('example','Примеры','7.3',` +

    Найти диагональ прямоугольника по формуле $d=\\sqrt{a^2+b^2}$.

    +
    + +
    + + + + + + + + + + + + + + + + + A + B + C + D + + a = 6 + b=8 + + d=10 + +
    $d=\\sqrt{6^2+8^2}=\\sqrt{100}=10$
    +
    + +
    + + + + + + + + + + + + + + + + + A + B + C + D + + a = 5 + b=12 + + d=13 + +
    $d=\\sqrt{5^2+12^2}=\\sqrt{169}=13$
    +
    +
    `); + /* --- INTERACTIVE 1: SVG-прямоугольник с draggable B --- */ html += `
    ИНТЕРАКТИВ 1
    Живой прямоугольник — равенство диагоналей