Десятичные дроби окружают нас каждый день. Цена в чеке: 2,50 руб. Температура тела: 36,6 °C. Показание счётчика воды: 123,47 м³. Даже спортивный результат на 100 метров объявляют с десятыми секунды: 9,58 с — рекорд мира. Без умения читать эти цифры не обойтись нигде.
'); h+=makeCard('theory','Что такое десятичная дробь','1.1', 'Десятичная дробь — это дробь со знаменателем $10$, $100$, $1000$ и т. д. Такие дроби записывают без знаменателя, отделяя целую часть от дробной запятой.
' +'$\\dfrac{7}{10}=0{,}7$ · $\\dfrac{25}{100}=0{,}25$ · $3\\dfrac{4}{100}=3{,}04$
' @@ -122,6 +124,17 @@ function buildP1(){ h+=makeCard('example','Читаем по разрядам','1.3', '$0{,}7$ — семь десятых; $0{,}09$ — девять сотых; $5{,}28$ — пять целых двадцать восемь сотых.
' +'Приписывание нулей справа не меняет дробь: $0{,}5=0{,}50=0{,}500$.
'); + h+=makeCard('example','Разбор по шагам','1.4', + 'Запишем дробь $\\dfrac{305}{1000}$ в десятичном виде.
' + +'Запятую в записи дробей начали использовать в Европе около 400 лет назад. В большинстве стран разделителем служит запятая (Беларусь, Россия, Германия…), а в США и Великобритании — точка: $3.14$ и $3{,}14$ означают одно и то же число!
'); h+='Округление используется повсюду. Кассир округляет сдачу до копеек. Синоптик сообщает: «температура минус 12 °C», хотя прибор показал $-12{,}4$ °C. В спорте прыгун в длину прыгнул $7{,}847$ м — результат записывают как $7{,}84$ м (до сотых). Умение сравнивать дроби нужно, чтобы выбрать более выгодную цену или более тёплый день.
'); h+=makeCard('rule','Как сравнивать десятичные дроби','2.1', '1) Сначала сравнивают целые части: больше та дробь, у которой целая часть больше.
' +'2) Если целые части равны — сравнивают поразрядно слева направо: десятые, потом сотые и т. д.
' @@ -189,6 +204,16 @@ function buildP2(){ h+=makeCard('example','Примеры','2.3', '$0{,}9>0{,}89$, ведь $0{,}90>0{,}89$. $2{,}1<2{,}15$. $7{,}0=7$.
' +'$12{,}96 \\approx 13{,}0$ (до десятых) — при округлении $9$ превратилось в $10$, перенос в целые.
'); + h+=makeCard('example','Разбор по шагам','2.4', + 'Сравним $3{,}07$ и $3{,}7$.
' + +'Округлим $4{,}853$ до десятых: смотрим на сотые — $5$. Так как $5 \\ge 5$, десятые увеличиваем: $4{,}9$.
'); + h+=makeCard('theory','А знаешь ли ты?','2.5', + 'Правило «от 5 и выше — увеличиваем» знали ещё математики Древней Индии. Именно они первыми стали записывать дробные части чисел с помощью позиционной системы. Само слово «цифра» пришло из арабского языка — оттуда, откуда к нам пришла эта система записи чисел.
'); h+='Координатный луч — основа любой шкалы вокруг нас: термометр, линейка, шкала весов, ось времени в редакторе видео. Когда ты видишь, что «стрелка показывает $36{,}6$», ты фактически читаешь координату точки на луче. Географические карты тоже построены на системе координат — из двух таких лучей!
'); h+=makeCard('theory','Координатный луч','3.1', 'Координатный луч — это луч с началом в точке $O$, которой соответствует число $0$, выбранным единичным отрезком и направлением.
' +'Каждой точке луча соответствует координата — число, показывающее, на каком расстоянии (в единичных отрезках) от начала она находится.
'); @@ -252,6 +279,16 @@ function buildP3(){ +'$1{,}3$ лежит между $1$ и $2$, ближе к $1$; $2{,}5$ — ровно посередине между $2$ и $3$.
'); h+=makeCard('example','Пример','3.3', 'Точка с координатой $0{,}4$ — четвёртое деление после нуля. Точка с координатой $1{,}8$ — восьмое деление после единицы.
'); + h+=makeCard('example','Разбор по шагам','3.4', + 'Отметим точку с координатой $1{,}3$ на луче с единичным отрезком $1$ см.
' + +'Систему координат придумал французский математик и философ Рене Декарт в XVII веке — по легенде, он лежал в постели и наблюдал за мухой на потолке: «В каком месте потолка находится муха?» Именно этот вопрос навёл его на идею задавать положение точки двумя числами.
'); h+='Сложение и вычитание десятичных дробей нужно каждый раз, когда ты платишь в магазине или считаешь сдачу. Купил булочку за 0,85 руб. и сок за 1,4 руб. — сколько всего? Ошибка в «запятой под запятой» стоит денег в прямом смысле. Кассовые программы делают это за тебя, но ошибки случаются — и тут на помощь приходит проверка вручную.
'); h+=makeCard('rule','Сложение и вычитание «в столбик»','4.1', '1) Записывают числа так, чтобы запятая стояла под запятой, одинаковые разряды — друг под другом.
' +'2) Уравнивают число знаков после запятой нулями.
' @@ -325,6 +365,18 @@ function buildP4(){ h+=makeCard('example','Примеры','4.2', '$3{,}4 + 12{,}65 = 3{,}40 + 12{,}65 = 16{,}05$.
' +'$7 - 2{,}3 = 7{,}0 - 2{,}3 = 4{,}7$.
'); + h+=makeCard('example','Разбор по шагам','4.3', + 'Вычислим $5{,}6 + 3{,}47$.
' + +'Самая частая ошибка школьников при сложении десятичных дробей — выровнять числа по правому краю, как натуральные. Из-за этого $3{,}4 + 12{,}65$ превращается в неверный «$12{,}99$» вместо правильного $16{,}05$. Запятая под запятой — золотое правило!
'); h+='Перевод единиц — это всегда умножение или деление на степень десяти. $3{,}5$ км = $3{,}5 \\cdot 1000 = 3500$ м. $750$ г = $750 \\div 1000 = 0{,}75$ кг. В магазине, на кухне, в физике — этот приём работает мгновенно в уме, без калькулятора. Запомни: умножать — запятая вправо, делить — влево.
'); h+=makeCard('rule','Сдвиг запятой','5.1', 'Чтобы умножить десятичную дробь на $10$, $100$, $1000$, запятую переносят вправо на $1$, $2$, $3$ знака.
' +'Чтобы разделить на $10$, $100$, $1000$, запятую переносят влево на $1$, $2$, $3$ знака.
' +'Если цифр не хватает — дописывают нули: $3{,}5\\cdot 100 = 350$, $4\\div 100 = 0{,}04$.
'); h+=makeCard('example','Примеры','5.2', '$2{,}71\\cdot 10 = 27{,}1$ · $0{,}6\\cdot 1000 = 600$ · $58{,}3\\div 100 = 0{,}583$.
'); + h+=makeCard('example','Разбор по шагам','5.3', + 'Вычислим $0{,}047 \\cdot 1000$.
' + +'Именно потому что в нашей системе счёта 10 цифр (0–9), умножение на 10 такое простое — достаточно сдвинуть запятую. Если бы мы считали, как компьютеры, — в двоичной системе (двойками), — тогда так же просто работало бы умножение на $2$, $4$, $8$… Но умножение на $10$ было бы сложным!
'); h+='Умножение десятичных дробей — это цена × количество. Ткань стоит $3{,}5$ руб. за метр, тебе нужно $1{,}2$ м — сколько заплатить? Или: скорость $72{,}5$ км/ч, время $0{,}4$ ч — какое расстояние проедет машина? Все эти задачи решаются одним действием — умножением десятичных дробей.
'); h+=makeCard('rule','Как умножать десятичные дроби','6.1', '1) Умножают числа, не обращая внимания на запятые (как натуральные).
' +'2) В произведении отделяют запятой столько цифр справа, сколько их после запятой у обоих множителей вместе.
'); h+=makeCard('example','Пример','6.2', '$1{,}2\\cdot 0{,}3$: умножаем $12\\cdot 3 = 36$; всего знаков после запятой $1+1=2$, значит $1{,}2\\cdot 0{,}3 = 0{,}36$.
' +'$0{,}25\\cdot 4 = 1$ (знаков $2+0=2$: $100\\to 1{,}00 = 1$).
'); + h+=makeCard('example','Разбор по шагам','6.3', + 'Вычислим $2{,}4 \\cdot 0{,}15$.
' + +'Число $\\pi \\approx 3{,}14159\\ldots$ — бесконечная непериодическая дробь. Архимед вычислял её, умножая и деля вручную. Современные компьютеры рассчитали более 100 триллионов знаков числа $\\pi$ после запятой — и конца им не видно!
'); h+='Деление используется, когда нужно разделить поровну: три друга складываются на подарок и платят $7{,}5$ руб. — сколько с каждого? Или: нитку длиной $3{,}6$ м нарезают на $4$ равных куска — какова длина каждого? Эти задачи решаются за секунды, если знать алгоритм деления уголком.
'); h+=makeCard('rule','Деление десятичной дроби на натуральное число','7.1', 'Делят «уголком», как натуральные числа. Как только заканчивается целая часть делимого, в частном ставят запятую и продолжают деление.
' +'Если делимое меньше делителя, целая часть частного равна $0$. Если деление «не заканчивается» — дописывают нули к делимому.
'); h+=makeCard('example','Примеры','7.2', '$7{,}2 \\div 3 = 2{,}4$ · $1 \\div 4 = 0{,}25$ · $9{,}6 \\div 8 = 1{,}2$
'); + h+=makeCard('example','Разбор по шагам','7.3', + 'Вычислим $5{,}4 \\div 4$.
' + +'Алгоритм деления «уголком» (столбиком) использовали ещё в Средние века. Тогда его называли «галера» — схема записи напоминала паруса корабля. Сейчас мы рисуем уголок, но принцип тот же: делим по частям, не пугаясь больших чисел.
'); h+='Деление на десятичную дробь встречается при расчёте количества: купили $1{,}5$ м ткани по цене $0{,}75$ руб. за метр — сколько метров можно купить на $3$ руб.? Или: одна таблетка весит $0{,}25$ г, пачка весит $3$ г — сколько таблеток в пачке? Ответ: $3 \\div 0{,}25 = 12$.
'); h+=makeCard('rule','Деление на десятичную дробь','8.1', 'Чтобы разделить на десятичную дробь, в делимом и делителе переносят запятую вправо на столько знаков, сколько их после запятой у делителя. Получается деление на натуральное число.
' +'$4{,}5 \\div 0{,}5 = 45 \\div 5 = 9$ · $1{,}2 \\div 0{,}03 = 120 \\div 3 = 40$.
'); h+=makeCard('example','Почему так можно','8.2', 'Деление — это дробь. Умножив делимое и делитель на одно и то же число ($10$, $100$…), значение дроби не меняется: $\\dfrac{4{,}5}{0{,}5}=\\dfrac{45}{5}=9$.
'); + h+=makeCard('example','Разбор по шагам','8.3', + 'Вычислим $3{,}6 \\div 0{,}12$.
' + +'Приём «умножить делимое и делитель на одно число» — это свойство дроби: числитель и знаменатель можно умножить на одно и то же (не ноль), и дробь не изменится. Это позволяет превращать любое деление на десятичную дробь в деление на целое число — удобный математический трюк!
'); h+='Треть пиццы на троих — это $1 \\div 3 = 0{,}3333\\ldots$ — бесконечная дробь! Поэтому на калькуляторе мы видим $0{,}333333$, а не точный ответ. Компьютеры хранят числа с ограниченным числом знаков после запятой, и это порой приводит к маленьким ошибкам. Понимание конечных и бесконечных дробей помогает предсказать, когда возможна погрешность.
'); h+=makeCard('theory','Конечные и бесконечные десятичные дроби','9.1', 'Обыкновенную дробь обращают в десятичную делением числителя на знаменатель. Иногда деление заканчивается — получается конечная дробь ($\\tfrac{3}{4}=0{,}75$).
' +'Иногда цифры начинают повторяться без конца — это бесконечная периодическая дробь. Повторяющуюся группу (период) пишут в скобках: $\\tfrac{1}{3}=0{,}(3)$, $\\tfrac{1}{6}=0{,}1(6)$.
'); h+=makeCard('rule','Когда дробь конечная','9.2', 'Несократимая обыкновенная дробь обращается в конечную десятичную тогда и только тогда, когда в разложении её знаменателя есть только множители 2 и 5.
' +'$\\tfrac{7}{20}$ — конечная ($20=2^2\\cdot5$); $\\tfrac{5}{6}$ — бесконечная ($6=2\\cdot3$).
'); + h+=makeCard('example','Разбор по шагам','9.3', + 'Определим вид дроби $\\dfrac{7}{12}$.
' + +'$0{,}999\\ldots = 0{,}(9) = 1$ — это не ошибка, это математический факт! Докажем: пусть $x = 0{,}(9)$. Тогда $10x = 9{,}(9)$. Вычитаем: $10x - x = 9{,}(9) - 0{,}(9) = 9$, откуда $9x=9$, $x=1$. Бесконечные дроби умеют удивлять!
' + +'В реальных задачах числа бывают «смешанными»: рецепт требует $\\tfrac{1}{4}$ стакана масла, а у тебя весы, которые показывают $0{,}25$. Или задача по физике: скорость дана в виде $\\tfrac{3}{4}$ м/с, а нужно сложить с $0{,}5$ м/с. Умение свободно переходить между видами дробей — это математическая гибкость, которая пригодится и в химии, и в физике, и на кухне.
'); h+=makeCard('rule','Обыкновенные и десятичные вместе','10.1', 'Десятичную дробь переводят в обыкновенную «по разрядам» и сокращают: $0{,}4=\\dfrac{4}{10}=\\dfrac{2}{5}$.
' +'Обыкновенную дробь переводят в десятичную делением (если она конечная). В смешанном выражении удобно привести всё к одному виду.
'); h+=makeCard('example','Пример','10.2', '$0{,}2 + \\dfrac{1}{4} = \\dfrac{1}{5} + \\dfrac{1}{4} = \\dfrac{9}{20} = 0{,}45$, или сразу $0{,}2 + 0{,}25 = 0{,}45$.
'); + h+=makeCard('example','Разбор по шагам','10.3', + 'Вычислим $\\dfrac{3}{4} - 0{,}2$.
' + +'Перевод обыкновенных дробей в десятичные использовали картографы ещё в XVI веке при составлении морских карт. Фламандский математик Симон Стевин в 1585 году написал книгу «Десятина», где показал, как упрощает расчёты запись дробей через запятую. С его лёгкой руки эта запись распространилась по всей Европе.
'); h+='Этот параграф — про то, как математика работает вне учебника. Ты идёшь в магазин, оцениваешь погоду по температуре, проверяешь скорость на спидометре, сравниваешь время в соревнованиях — и везде тебе нужны десятичные дроби. Попробуй решить задачи так, как будто это реальная ситуация.
'); h+=makeCard('theory','Десятичные дроби в жизни','12.1', 'Цены и сдача в магазине, рост и масса, показания счётчиков, спортивные результаты, средние значения — всё это десятичные дроби. Решим практические задачи.
' +'В рублях, метрах, килограммах, секундах — десятичная дробь показывает «часть» единицы: $0{,}5$ кг — это полкилограмма, $1{,}25$ ч — это час с четвертью.
'); + h+=makeCard('example','Разбор по шагам','12.2', + 'Задача: в магазине купили $1{,}5$ кг яблок по $2{,}4$ руб. за кг и $0{,}8$ кг груш по $3{,}5$ руб. за кг. Сколько заплатили всего?
' + +'Индекс массы тела (ИМТ) — показатель здоровья — это тоже десятичная дробь. Его считают по формуле: масса (кг) делить на рост (м) в квадрате. Например: масса $45$ кг, рост $1{,}5$ м: $45 \\div (1{,}5 \\cdot 1{,}5) = 45 \\div 2{,}25 = 20$. Это и есть ИМТ — совершенно нормальный показатель для шестиклассника!
'); h+='Проценты окружают нас повсюду: скидка 30% в магазине, 5% годовых на вкладе, 12% жира в сметане, 90% влажности на улице. Даже рейтинг игрока в онлайн-игре — это процент побед. Тот, кто понимает проценты, не даст себя обмануть на распродаже и сможет выбрать выгодный вклад в банке.
'); h+=makeCard('theory','Что такое процент','1.1', 'Процент — это сотая доля числа. $1\\% = \\dfrac{1}{100} = 0{,}01$. Знак процента — $\\%$.
' +'Всё число — это $100\\%$. Половина — $50\\%$, четверть — $25\\%$, пятая часть — $20\\%$.
'); + h+=makeCard('example','Разбор по шагам','1.01', + 'Задача: переведи $35\\%$ в десятичную дробь и в обыкновенную дробь.
' + +'Слово «процент» происходит от латинского pro centum — «за сотню». В Древнем Риме торговцы брали плату за каждые 100 монет займа. Сегодня символ % используется во всём мире, хотя в некоторых странах пишут «pct» или «p.c.».
'); h+=makeCard('rule','Перевод процентов','1.2', 'Проценты $\\to$ десятичная дробь: делим на $100$ (запятая влево на 2 знака): $35\\% = 0{,}35$.
' +'Десятичная дробь $\\to$ проценты: умножаем на $100$: $0{,}7 = 70\\%$.
' @@ -156,12 +166,27 @@ function buildP1(){ /* ===================== § 2. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ НА ПРОЦЕНТЫ ===================== */ function buildP2(){ var box=document.getElementById('p2-body'); var h=''; + h+=makeCard('oral','Где это в жизни','2.0', + 'Три задачи на проценты — это три реальных вопроса. В магазине: «Сколько рублей составляет скидка 20% от цены 500 руб.?» — тип 1. В банке: «Если 150 руб. — это 30% моих сбережений, сколько у меня всего?» — тип 2. В спорте: «Команда выиграла 18 игр из 24 — какой это процент побед?» — тип 3. Умея решать все три, ты разберёшься в любой жизненной ситуации с процентами.
'); h+=makeCard('rule','Три типа задач на проценты','2.1', '1) Процент от числа. Найти $m\\%$ от $a$: $\\;b = \\dfrac{a}{100}\\cdot m$.
' +'2) Число по его проценту. $b$ — это $m\\%$ от $a$, найти $a$: $\\;a = \\dfrac{b}{m}\\cdot 100$.
' +'3) Процентное отношение. Какой процент $b$ от $a$: $\\;m\\% = \\dfrac{b}{a}\\cdot 100\\%$.
'); - h+=makeCard('example','Примеры','2.2', - '$20\\%$ от $150$: $\\dfrac{150}{100}\\cdot 20 = 30$. $15$ — это $30\\%$ от $\\dfrac{15}{30}\\cdot 100 = 50$. $30$ от $120$: $\\dfrac{30}{120}\\cdot 100 = 25\\%$.
'); + h+=makeCard('example','Разбор по шагам','2.2', + 'Тип 1. Найти $20\\%$ от $150$.
' + +'Тип 2. $15$ — это $30\\%$ от какого числа?
' + +'Тип 3. Какой процент $30$ составляет от $120$?
' + +'В супермаркетах часто пишут «Скидка 50%», но рядом мелким шрифтом — «на второй товар». Это значит, что скидка не 50% от всей суммы, а лишь на половину покупки. Реальная скидка составляет только $25\\%$. Вот почему важно уметь точно считать проценты — чтобы не быть обманутым рекламой!
'); h+='Пропорция — это равенство двух отношений. Кулинарный рецепт рассчитан на 4 порции, а нужно 6? Все ингредиенты надо увеличить в одном и том же отношении — это пропорция. Фотограф масштабирует снимок, сохраняя пропорции сторон. Архитектор строит модель здания в масштабе, используя пропорцию. Пропорция — это инструмент «справедливого пересчёта».
'); h+=makeCard('theory','Отношение и пропорция','3.1', 'Отношение двух чисел — их частное: $a:b=\\dfrac{a}{b}$. Пропорция — равенство двух отношений: $a:b = c:d$ (читается «$a$ относится к $b$, как $c$ к $d$»).
' +'$a$ и $d$ — крайние члены, $b$ и $c$ — средние.
'); h+=makeCard('rule','Основное свойство пропорции','3.2', 'Произведение крайних членов равно произведению средних: $\\;a\\cdot d = b\\cdot c$ («крест-накрест»).
' +'Отсюда находят неизвестный член: из $a:b=c:x$ получаем $x = \\dfrac{b\\cdot c}{a}$.
'); + h+=makeCard('example','Разбор по шагам','3.01', + 'Задача: решить пропорцию $3 : 4 = 15 : x$.
' + +'Древнегреческий математик Пифагор считал пропорцию основой красоты и гармонии. «Золотое сечение» $1 : 1{,}618$ — особая пропорция, которую можно найти в пропорциях тела человека, раковинах моллюсков и архитектуре Парфенона. Художники и архитекторы тысячи лет используют её для создания красивых произведений.
'); h+='Представь, что едешь на велосипеде с постоянной скоростью: чем дольше едешь, тем больший путь проедешь — это прямая зависимость. Но если тот же путь надо проехать быстрее, скорость надо увеличить, а время уменьшится — это обратная зависимость. Ещё пример: чем больше друзей делят одну пиццу, тем меньше достаётся каждому. Распознав вид зависимости, можно правильно составить пропорцию и решить задачу.
'); h+=makeCard('theory','Прямая пропорциональность','4.1', 'Величины прямо пропорциональны, если при увеличении одной в несколько раз другая увеличивается во столько же раз. Их отношение постоянно: $\\dfrac{y}{x}=k$.
' +'Пример: при постоянной цене стоимость покупки прямо пропорциональна количеству товара.
'); h+=makeCard('theory','Обратная пропорциональность','4.2', 'Величины обратно пропорциональны, если при увеличении одной в несколько раз другая во столько же раз уменьшается. Их произведение постоянно: $x\\cdot y=k$.
' +'Пример: при постоянном пути время обратно пропорционально скорости.
'); + h+=makeCard('example','Разбор по шагам','4.01', + 'Прямая: 3 кг помидоров стоят 18 руб. Сколько стоят 5 кг?
' + +'Обратная: 4 рабочих делают ремонт за 6 дней. За сколько сделают 3 рабочих?
' + +'Закон Ома в физике — это тоже пропорциональность. Сила тока прямо пропорциональна напряжению ($I = U/R$, при постоянном $R$) и обратно пропорциональна сопротивлению ($I = U/R$, при постоянном $U$). Изучая математику сегодня, ты уже готовишься к физике!
'); h+='Пропорция — универсальный инструмент для пересчёта. Рецепт рассчитан на 6 человек, а пришло 10 — сколько муки нужно? Строитель знает, что на 12 м² нужно 3 мешка штукатурки, и считает, сколько нужно на 20 м². Врач пересчитывает дозу лекарства по весу пациента. Пропорция работает везде, где есть «пересчёт в том же соотношении».
'); h+=makeCard('rule','Как решать задачи пропорцией','5.1', '1) Обозначают неизвестное буквой $x$. 2) Записывают условие в две строки. 3) Если зависимость прямая — стрелки в одну сторону, составляют пропорцию напрямую; если обратная — одно из отношений переворачивают. 4) Решают «крест-накрест».
'); - h+=makeCard('example','Пример','5.2', - 'За $3$ кг яблок заплатили $12$ руб. Сколько за $5$ кг? (прямая) $\\;3:12 = 5:x$, $x=\\dfrac{12\\cdot5}{3}=20$ руб.
'); + h+=makeCard('example','Разбор по шагам','5.2', + 'Прямая пропорция: За $3$ кг яблок заплатили $12$ руб. Сколько за $5$ кг?
' + +'Обратная пропорция: $4$ трубы наполнят бак за $9$ мин. За сколько — $6$ труб?
' + +'Пропорциональный пересчёт используется в кулинарии всего мира. Французские шеф-повара называют это «scaling recipe» — масштабирование рецепта. Профессиональные повара делают это автоматически, но в основе — обычная пропорция из учебника математики 6 класса.
'); h+='Масштаб — везде, где большое изображают маленьким (или наоборот). Карта страны, план квартиры, схема метро, чертёж детали — всё это масштабные изображения. Даже Google Maps использует масштаб: приближая карту, ты уменьшаешь знаменатель (1:1000 вместо 1:1 000 000). Космические снимки со спутника имеют масштаб 1:50 000 000 и больше!
'); h+=makeCard('theory','Что такое масштаб','6.1', 'Масштаб — отношение длины отрезка на чертеже (карте) к длине соответствующего отрезка в реальности. Запись $1:N$ означает: $1$ см на карте соответствует $N$ см на местности.
' +'Карта: реальное расстояние $=$ расстояние на карте $\\times N$. Чертёж детали может быть и крупнее ($N<1$).
'); - h+=makeCard('example','Пример','6.2', - 'Масштаб $1:1000$. На карте $3$ см. Реально $3\\cdot 1000 = 3000$ см $= 30$ м.
'); + h+=makeCard('example','Разбор по шагам','6.2', + 'Задача: масштаб $1:1000$. На карте $3$ см. Найди реальное расстояние.
' + +'Обратная задача: масштаб $1:500$, реальное расстояние $25$ м. Найди длину на карте.
' + +'Самая точная карта мира — не на бумаге, а в голове у миграционных птиц. Дрозд, летящий из Беларуси в Африку, преодолевает тысячи километров без единой карты. Учёные до сих пор выясняют, как именно птицы ориентируются — но уже ясно, что они инстинктивно «знают масштаб» и расстояния.
'); h+='Круговые диаграммы используют журналисты, учёные, компании и государства. Диаграмма расходов бюджета страны, диаграмма состава воздуха (азот — $78\\%$, кислород — $21\\%$, прочее — $1\\%$), диаграмма времени твоего дня — всё это круговые диаграммы. Они мгновенно показывают, какая доля чего-либо наибольшая. Без понимания диаграмм сегодня не обойтись ни в школе, ни в жизни.
'); h+=makeCard('theory','Круговая диаграмма','7.1', 'Круговая диаграмма наглядно показывает, как целое делится на части. Весь круг — это $100\\%$, или $360°$.
' +'Сектор в $p\\%$ занимает угол $p\\%\\cdot 360° = 3{,}6\\cdot p$ градусов. Например, $25\\%$ — это $90°$ (четверть круга).
'); + h+=makeCard('example','Разбор по шагам','7.01', + 'Задача: в классе $30$ учеников. Отличников $6$, хорошистов $15$, остальные — троечники. Построй круговую диаграмму.
' + +'Круговую диаграмму придумала британская медсестра Флоренс Найтингейл в $1858$ году — не математик, а медик! Она использовала диаграмму, чтобы доказать военным чиновникам, что большинство солдат гибнет не от ран, а от болезней в грязных госпиталях. Её диаграмма спасла тысячи жизней — пример того, как математика меняет мир.
'); h+='Весь раздел «Проценты и пропорции» — это язык реального мира. Читая этикетку на продукте, анализируя результаты выборов, планируя ремонт или путешествие, оценивая выгоду банковского предложения — везде используются проценты и пропорции. Этот параграф — практика: решаем задачи из настоящей жизни.
'); h+=makeCard('theory','Проценты вокруг нас','9.1', 'Скидки и распродажи, наценки, банковские вклады под проценты, состав продуктов, статистика и опросы — везде встречаются проценты и пропорции.
'); + h+=makeCard('example','Разбор по шагам','9.01', + 'Задача: в магазине на куртку скидка $25\\%$, цена до скидки $800$ руб. Найди цену со скидкой.
' + +'Самые большие «скидки» — до $90\\%$ — часто оказываются обманом. Продавец сначала искусственно завышает цену, а потом объявляет «грандиозную распродажу». Закон требует, чтобы скидка считалась от реальной цены, которая действовала раньше. Знание математики помогает не попасться на такие уловки.
'); h+='Множества — это буквально всё вокруг нас. Список покупок в магазине — множество товаров. Состав футбольной команды — множество игроков. Коллекция марок, набор инструментов, список друзей — везде одна и та же идея: несколько разных объектов, собранных вместе. В программировании массивы и коллекции данных — прямые родственники математических множеств.
'); h+=makeCard('theory','Множество и его элементы','1.1', 'Множество — это набор различных объектов, объединённых общим признаком. Объекты множества — его элементы. Множества обозначают большими буквами, элементы перечисляют в фигурных скобках: $A=\\{2;4;6;8\\}$.
' +'Запись $3\\in A$ читается «$3$ принадлежит $A$», $5\\notin A$ — «$5$ не принадлежит $A$».
'); - h+=makeCard('rule','Пустое множество','1.2', + h+=makeCard('example','Разбор по шагам','1.2', + 'Дано: $A=\\{1;3;5;7;9\\}$. Принадлежит ли $5$ множеству $A$? А $4$?
' + +'Пустое множество $\\varnothing$ не содержит ни одного элемента (например, множество натуральных решений уравнения $x+1=0$).
' +'Множества равны, если состоят из одних и тех же элементов; порядок и повторы не важны: $\\{1;2;3\\}=\\{3;1;2\\}$.
'); + h+=makeCard('theory','А знаешь ли ты?','1.4', + 'Теорию множеств создал немецкий математик Георг Кантор в конце XIX века. Поначалу его идеи казались настолько странными, что коллеги не принимали их всерьёз. Сегодня теория множеств — фундамент всей современной математики: на ней строятся числа, функции и вся высшая математика.
'); h+='Когда составляют расписание уроков, можно написать список предметов — это перечисление. А можно написать правило: «предметы, которые идут в понедельник» — это задание свойством. В базах данных программисты постоянно используют оба способа: хранят конкретные списки и создают запросы-условия. Правильно выбрать способ задания множества — значит сэкономить время и избежать ошибок.
'); h+=makeCard('theory','Два способа задания','2.1', 'Перечислением — выписывают все элементы: $A=\\{2;4;6;8\\}$.
' +'Характеристическим свойством — указывают признак: $A=\\{x \\mid x$ — чётное, $0 Задано свойство: $B=\\{x\\mid x$ — делитель числа $12\\}$. Запишем $B$ перечислением. Запись $\\{x\\mid\\ldots\\}$ придумали, чтобы задавать бесконечные множества. Например, множество всех чётных чисел $\\{x\\mid x$ кратно $2\\}$ нельзя задать перечислением — элементов бесконечно много. А свойством — одна строчка! Представь: $A$ — ученики, которые занимаются футболом, $B$ — те, кто ходит на плавание. Пересечение $A\\cap B$ — те, кто занимается обоими видами спорта. Объединение $A\\cup B$ — все, кто занимается хотя бы одним. Такие операции каждый день используют составители расписаний, маркетологи («покупатели, которые брали и A, и B») и врачи, анализируя симптомы. Пересечение $A\\cap B$ — множество элементов, принадлежащих обоим множествам сразу. Объединение $A\\cup B$ — множество элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств. $A=\\{1;2;3;4\\}$, $B=\\{3;4;5;6\\}$: $A\\cap B=\\{3;4\\}$, $A\\cup B=\\{1;2;3;4;5;6\\}$. Найти $A\\cap B$ и $A\\cup B$, если $A=\\{2;4;6;8\\}$, $B=\\{4;6;10;12\\}$. Символы $\\cap$ (пересечение) и $\\cup$ (объединение) ввёл итальянский математик Джузеппе Пеано в 1888 году. Символ $\\cup$ напоминает букву U — от слова union (союз, объединение по-английски). Сегодня эти символы используют во всём мире в математике, логике и программировании. Круги Эйлера — не просто красивые картинки. Врачи рисуют их, чтобы понять, у скольких пациентов сочетаются два симптома. Маркетологи — чтобы узнать, кто смотрит и кино, и сериалы. Задача «в классе 30 учеников, 18 занимаются музыкой, 14 — танцами, 5 — и тем и тем; сколько не занимаются ничем?» — классический круг Эйлера. Один рисунок заменяет три уравнения. Множества удобно изображать кругами (круги Эйлера). Пересекающиеся круги показывают общую часть. Если в $A$ — $a$ элементов, в $B$ — $b$, а в пересечении — $c$, то в объединении: $|A\\cup B| = a + b - c$ (общие посчитаны дважды — вычитаем один раз). В классе 30 учеников. Математику любят 18, физику — 14, оба предмета — 6. Сколько не любят ни то, ни другое? Круги Эйлера придумал швейцарский математик Леонард Эйлер в XVIII веке — один из самых плодовитых математиков в истории. Он опубликовал более 800 работ и продолжал трудиться, даже ослепнув на оба глаза. Его именем названы и формула $e^{i\\pi}+1=0$, и данный метод наглядного изображения множеств. Когда говорят «расстояние», всегда имеют в виду положительное число — неважно, вправо ты пошёл или влево. Именно это и есть модуль: расстояние от точки до нуля. Спортсмены говорят «разница в счёте 3 очка» — это тоже модуль разности. Модуль числа $|a|$ — это расстояние от точки $a$ до нуля; он всегда $\\ge 0$: $|{-7}|=7$, $|5|=5$, $|0|=0$. Противоположные числа отличаются только знаком ($5$ и $-5$); их сумма равна нулю, а модули равны. Найти $|{-9}|$ и число, противоположное $-9$. Натуральные $\\mathbb{N}=\\{1;2;3;\\ldots\\}$ — для счёта. Целые $\\mathbb{Z}$ — натуральные, им противоположные и ноль. Рациональные $\\mathbb{Q}$ — все числа, представимые дробью $\\frac{m}{n}$ (включая десятичные и отрицательные). Слово «рациональный» происходит от латинского ratio — «отношение, дробь». Число называется рациональным, потому что его можно представить как отношение (дробь) двух целых чисел. Числа вроде $\\sqrt{2}$ или $\\pi$ этого сделать нельзя — они иррациональные. Когда синоптики говорят «сегодня теплее, чем вчера», они сравнивают числа — в том числе отрицательные. −3°C теплее, чем −8°C, хотя оба со знаком минус. Такое же сравнение используют в финансах: долг −200 рублей лучше, чем долг −500 рублей. Из двух чисел больше то, которое правее на координатной прямой. Любое положительное $>$ любого отрицательного; $0$ больше любого отрицательного. Из двух отрицательных больше то, у которого меньше модуль (ближе к нулю): $-2 > -5$. Сравни числа $-3$ и $-7$. В программировании и в физике часто используют понятие «знаковая переменная»: число может быть и положительным, и отрицательным. Датчики температуры, гироскопы в телефоне, альтиметры — все они работают с числами, которые надо уметь сравнивать со знаком. Температура за окном −5°C. К вечеру потеплело на 3°C. Сколько стало? Это сложение рациональных: $-5 + 3 = -2$. Точно так же считают изменение уровня воды в реке, баланс на банковском счёте и набранные/потерянные очки в игре. Одинаковые знаки: складываем модули, ставим общий знак: $-3+(-4)=-7$. Разные знаки: из большего модуля вычитаем меньший, ставим знак числа с бо́льшим модулем: $-7+4=-3$, $7+(-4)=3$. Сумма противоположных равна нулю: $6+(-6)=0$. Вычисли $-8 + 5$. Сложение на координатной прямой — это буквальное «движение». Положительное слагаемое — шаг вправо, отрицательное — шаг влево. Именно поэтому термометр, линейка и шкала лифта устроены как координатные прямые! Разность температур, изменение счёта в игре, разница высот — всё это вычитание, в том числе с отрицательными числами. «На сколько −3°C больше, чем −10°C?» — это $-3 - (-10) = 7$: на 7 градусов теплее. Чтобы из числа вычесть другое, нужно к нему прибавить противоположное: $a - b = a + (-b)$. $5 - 8 = 5 + (-8) = -3$; $-4 - 3 = -4 + (-3) = -7$; $2 - (-6) = 2 + 6 = 8$. Вычисли $-4 - (-7)$. Правило «минус на минус даёт плюс» при вычитании вытекает из одного простого принципа: вычесть отрицательное — значит вернуть то, что было отнято. Если у тебя забрали долг в 7 рублей (то есть убрали $-7$), ты стал богаче на 7! Когда кассир суммирует покупки, он добавляет их в любом порядке — результат одинаков. Это переместительный закон. Бухгалтер, считая баланс, группирует доходы и расходы удобными блоками — это сочетательный. Оба закона экономят время каждый день. Переместительный: $a+b=b+a$ (слагаемые можно менять местами). Сочетательный: $(a+b)+c=a+(b+c)$ (слагаемые можно группировать). Их используют для удобства: сначала складывают противоположные или «круглые» числа: $-7+15+7 = (-7+7)+15 = 15$. Вычисли удобным способом: $23 + (-18) + (-23)$. Переместительный закон кажется очевидным, но он выполняется не всегда! Например, при умножении матриц в высшей математике $A \cdot B \ne B \cdot A$ — это называется некоммутативностью. В обычной арифметике нам везёт: сложение и умножение чисел коммутативны. Если температура падает на 3°C каждый час в течение 4 часов, то изменение составит $(-3) \cdot 4 = -12$°C. Умножение с отрицательными числами используют везде: в физике (скорость и направление), в экономике (убыток за несколько месяцев), в программировании (отражение на экране). Перемножают модули, а знак определяют по правилу: «Минус на минус даёт плюс». $-3\\cdot(-4)=12$, $-3\\cdot 4=-12$. Умножение на $0$ даёт $0$. Вычисли $(-6) \\cdot (-5)$. Почему «минус на минус даёт плюс»? Вот интуитивное объяснение: «враг моего врага — мой друг». Если долг ($-$) это плохо, то убрать долг ($-$) — это хорошо ($+$). Формально это следует из дистрибутивности, но образно запомнить проще! Если команда потеряла 12 очков за 4 тура поровну, то в каждом туре: $-12 \div 4 = -3$ очка. Деление с отрицательными числами встречается везде, где нужно равномерно распределить убыток, снижение температуры или расход топлива. Делят модули, а знак — по тому же правилу, что и при умножении: одинаковые знаки дают $+$, разные — $-$. $-12\\div(-3)=4$, $-12\\div 3=-4$, $12\\div(-4)=-3$. На ноль делить нельзя. Вычисли $(-35) \\div 7$. Деление на ноль — единственная «запрещённая» операция в математике. Если бы оно было определено, возникли бы противоречия: например, можно было бы «доказать», что $1 = 2$. Именно поэтому в программах, где встречается деление, обязательно проверяют, не равен ли делитель нулю. В реальных задачах действия всегда смешаны: температуру сначала умножают (на несколько дней), потом прибавляют или вычитают. Финансовые расчёты, физические формулы, программные алгоритмы — всё требует правильного порядка действий со знаками. Сначала действия в скобках, затем умножение и деление, потом сложение и вычитание. Внимательно следи за знаками. $-3 + 4\\cdot(-2) = -3 + (-8) = -11$. Вычисли $(-5 + 2) \\cdot 3$. Приоритет операций (скобки, потом умножение/деление, потом сложение/вычитание) — международное соглашение. В разных странах его запоминают по аббревиатурам: в Беларуси и России говорят просто «порядок действий», в англоязычных странах используют BODMAS или PEMDAS. Правило одно — запись разная. Отрицательные числа — это не абстракция: они буквально повсюду. Зимой без них не обойтись (температура), в банке (баланс счёта), в навигации (высота и глубина), в спорте (разница очков), в лифте (подвальные этажи). Математика помогает описать реальный мир во всей его сложности. Температура ниже нуля, долги и доходы, высота над уровнем моря и глубина, координаты в играх и на карте — всюду нужны отрицательные числа. Задача: утром было $-7$°C, днём потеплело на $12$°C. Какая температура стала? Самая низкая температура, когда-либо зафиксированная на Земле, — $-89{,}2$°C на станции «Восток» в Антарктиде (1983 год). Самая высокая — $+56{,}7$°C в Долине Смерти (США). Разница: $56{,}7 - (-89{,}2) = 145{,}9$°C. Вот зачем нужны отрицательные числа! Каждый раз, когда ты открываешь карту в телефоне или играешь в стратегию на компьютере, работает именно эта идея: у каждого места есть пара чисел — «сколько вправо» и «сколько вверх». Координаты используют GPS-навигаторы, пилоты самолётов, геологи, разработчики видеоигр и даже хирурги при операциях с точным позиционированием робота. Две перпендикулярные координатные прямые с общим началом $O$ образуют прямоугольную (декартову) систему координат. Горизонтальная ось — ось абсцисс $Ox$, вертикальная — ось ординат $Oy$. Положение точки задаёт пара чисел $(x;\\,y)$: первое — абсцисса (по $Ox$), второе — ордината (по $Oy$). Например, $A(3;\\,4)$. Как отметить точку $A(3;\\,4)$ на координатной плоскости? Оси делят плоскость на четыре четверти (нумеруют против часовой стрелки от правой верхней): Систему координат изобрёл французский математик и философ Рене Декарт в XVII веке. По легенде, идея пришла к нему, когда он лежал в постели и наблюдал за мухой на потолке: он понял, что положение мухи можно точно описать двумя числами — расстоянием до двух стен. Так родилась «декартова» система, которую сегодня используют в любом учебнике математики и любой компьютерной программе. Каждый день ты видишь графики: прогноз погоды (температура по часам), курс доллара (цена по дням), пульс на спортивных часах (удары по минутам). Врачи читают кардиограмму — это тоже график. Умея читать любой график, ты понимаешь реальный процесс без длинных таблиц чисел. График наглядно показывает, как одна величина зависит от другой: температура от времени, путь от времени, уровень воды от времени. Чтобы прочитать значение, находят точку на горизонтальной оси, поднимаются до линии графика и смотрят значение на вертикальной оси. Если в $2$ ч температура была $4°$, то точка графика с абсциссой $2$ имеет ординату $4$. Как прочитать температуру в 3 ч по графику? Первые графики температур и давления начали строить метеорологи в XVIII веке. Уже тогда учёные поняли: одна кривая на графике заменяет целую страницу цифр и сразу показывает тренд — растёт, падает или стоит на месте. Сегодня биржевые трейдеры принимают решения за секунды именно благодаря умению мгновенно «читать» линию на графике. Прямая пропорциональность — это скорость и путь: проедешь вдвое больше часов — путь вдвое больше ($s = v \\cdot t$, где $v$ — коэффициент). Обратная — работа и время: чем больше рабочих, тем меньше часов ($t = A / n$). Курс обмена валюты, рецепты (больше порций — больше ингредиентов), топливо в баке — всё это пропорциональные зависимости. Если $y = kx$ (где $k\\ne 0$ — коэффициент), то $y$ прямо пропорционален $x$. График — прямая, проходящая через начало координат. Чем больше $k$, тем «круче» прямая. При $k>0$ прямая идёт вверх, при $k<0$ — вниз. Если $y = \\dfrac{k}{x}$ (где $k\\ne 0$), то $y$ обратно пропорционален $x$. График — гипербола (две ветви), он не проходит через начало координат. Задача: прямая $y = kx$ проходит через точку $(2;\\,6)$. Найди $k$. Аналогично для $y = \\frac{k}{x}$: если точка $(4;\\,3)$, то $k = 4 \\cdot 3 = 12$. Гипербола — одна из конических сечений: если разрезать конус плоскостью под определённым углом, срез будет гиперболой. Та же форма встречается в траекториях некоторых комет, в форме некоторых антенн и в архитектуре башен-градирен на электростанциях. Прямая пропорциональность же лежит в основе закона Ома ($I = U/R$ при фиксированном $U$) и закона Гука. Координатная плоскость и графики сопровождают тебя везде: карта города — это координатная сетка; расписание поездов и автобусов — это график пути от времени; ценники в магазине описываются прямой пропорциональностью. Пилоты, капитаны кораблей, программисты, дизайнеры и врачи ежедневно работают с системами координат и графиками. Координаты — это «адрес» на карте, в игре, на экране. Графики показывают курс валют, погоду, расписание движения, рост и вес. Уметь читать график — полезный жизненный навык. Машина едет со скоростью $60$ км/ч. Составим и прочитаем график пути. В видеоиграх каждый пиксель на экране задаётся парой координат $(x, y)$, где $(0, 0)$ — обычно левый верхний угол. Создатели игр описывают движение персонажа формулами прямой пропорциональности: $x = x_0 + v_x \\cdot t$, $y = y_0 + v_y \\cdot t$. Это точно такая же математика, которую вы изучаете сейчас — только работающая со скоростью десятков кадров в секунду. Геометрические тела окружают нас повсюду. Кубик сахара — куб, консервная банка — цилиндр, египетская пирамида — пирамида, вафельный рожок мороженого — конус, шатровая крыша — призма. Когда упаковщик разворачивает коробку из-под сока в плоский лист — он работает с развёрткой. Понимание развёрток нужно дизайнерам, инженерам и даже кулинарам, которые лепят конусы из вафельных коржей. Окружающие предметы имеют форму геометрических тел: коробка — это прямоугольный параллелепипед (частный случай — куб), палатка — призма, египетские сооружения — пирамида, банка — цилиндр, рожок мороженого — конус. У многогранников есть грани (плоские стороны), рёбра (линии стыка граней) и вершины (точки стыка рёбер). Формула Эйлера $F - E + V = 2$ (грани минус рёбра плюс вершины равно 2) выполняется для любого выпуклого многогранника — куба, призмы, пирамиды и даже футбольного мяча (из 20 шестиугольников и 12 пятиугольников). Леонард Эйлер доказал это ещё в 1752 году. Развёртка — это фигура на плоскости, из которой можно склеить тело. У куба развёртка состоит из 6 квадратов, у цилиндра — из прямоугольника и двух кругов. Колёса, монеты, блины, циферблаты, пицца, батуты, тарелки — всё это круги или окружности. Инженеры рассчитывают, сколько краски нужно на круглую разметку стадиона, используя формулу $S = \\pi r^2$. Велосипедисты знают, что чем больше колесо, тем дальше оно катится за один оборот — ведь длина окружности $C = 2\\pi r$ растёт вместе с радиусом. Окружность — замкнутая линия, все точки которой одинаково удалены от центра. Круг — часть плоскости, ограниченная окружностью. Радиус $r$ — расстояние от центра до окружности; диаметр $d=2r$. Длина окружности: $C = 2\\pi r = \\pi d$. Площадь круга: $S = \\pi r^2$. Число $\\pi \\approx 3{,}14$ — отношение длины окружности к диаметру (одинаково для любой окружности). Число $\\pi$ известно человечеству более 4000 лет. Вавилоняне использовали значение $3{,}125$, а египтяне — $(4/3)^2 \\approx 1{,}78$... нет, они считали $\\pi \\approx 3{,}16$. Сейчас $\\pi$ вычислено до более 100 триллионов знаков после запятой — и всё равно конца не видно, потому что $\\pi$ иррационально. Треугольники — самая жёсткая геометрическая фигура: именно поэтому треугольные фермы держат мосты и крыши. Дорожный знак «Уступи дорогу» — равносторонний треугольник. Египетские пирамиды в разрезе дают равнобедренный треугольник. А строители, чтобы убедиться, что угол ровно прямой, проверяют соотношение сторон 3:4:5 — это прямоугольный треугольник. Разносторонний — все стороны разные. Равнобедренный — две стороны равны. Равносторонний — все три стороны равны (равные стороны отмечают одинаковыми штрихами). Остроугольный — все углы острые ($<90°$). Прямоугольный — есть прямой угол ($=90°$). Тупоугольный — есть тупой угол ($>90°$). Остроугольный — все углы острые ($<90°$). Прямоугольный — есть прямой угол ($=90°$). Тупоугольный — есть тупой угол ($>90°$). Треугольник со сторонами $3$, $4$, $5$ называют «египетским» — строители Древнего Египта натягивали верёвку с 12 узлами (3+4+5) в виде треугольника, чтобы получить идеальный прямой угол для кладки стен пирамид. Этим приёмом пользуются строители до сих пор! Центральная симметрия — это поворот на $180°$ вокруг точки. Именно поэтому игральная карта «туз» выглядит одинаково при повороте вверх ногами: центр карты является центром симметрии. Точно так же симметричны относительно центра дорожный знак «Движение в обоих направлениях» и многие кристаллы в природе. Точки $A$ и $A\'$ симметричны относительно точки $O$, если $O$ — середина отрезка $AA\'$. Точка $O$ — центр симметрии. Координаты образа: если $A(x;\\,y)$ и центр $O(a;\\,b)$, то $A\'(2a-x;\\;2b-y)$. Относительно начала координат: $A(x;y)\\to A\'(-x;-y)$. Центральная симметрия — это то же самое, что поворот на $180°$. Именно поэтому многие буквы при повороте переходят сами в себя: буква «N», цифра «8», буква «S». А вот буква «R» симметрией центра не обладает — она превратится в зеркальную копию. Осевая симметрия — это «зеркало». Бабочки, листья деревьев, буква «А», лицо человека — все они (почти) симметричны относительно вертикальной оси. Архитекторы используют осевую симметрию при проектировании дворцов и соборов — симметричные фасады смотрятся строго и красиво. В компьютерной графике отражение объекта — это тоже осевая симметрия. Точки $A$ и $A\'$ симметричны относительно прямой (оси), если эта прямая — серединный перпендикуляр отрезка $AA\'$: она проходит через середину $AA\'$ под прямым углом. Относительно оси $Oy$: $A(x;\\,y)\\to A\'(-x;\\,y)$. Относительно оси $Ox$: $A(x;\\,y)\\to A\'(x;\\,-y)$. Знаменитый Тадж-Махал в Индии построен с идеальной осевой симметрией. Главная ось проходит через центральный купол. Даже отражение в водоёме перед мавзолеем задумано архитектором — так симметрия удваивается! Многие природные снежинки тоже симметричны, но уже шестикратно — относительно шести осей.
');
+ h+=makeCard('theory','А знаешь ли ты?','2.3',
+ '
');
+ h+=makeCard('theory','А знаешь ли ты?','3.3',
+ '
');
+ h+=makeCard('theory','А знаешь ли ты?','4.3',
+ '
');
+ h+=makeCard('theory','Множества чисел: N ⊂ Z ⊂ Q','2.3',
'
');
+ h+=makeCard('theory','А знаешь ли ты?','3.3',
+ '
');
+ h+=makeCard('theory','А знаешь ли ты?','4.3',
+ '
');
+ h+=makeCard('theory','А знаешь ли ты?','5.3',
+ '
');
+ h+=makeCard('theory','А знаешь ли ты?','6.3',
+ '
'
+'$\\times$ $+$ $-$ $+$ $+$ $-$ $-$ $-$ $+$
');
+ h+=makeCard('theory','А знаешь ли ты?','7.3',
+ '
');
+ h+=makeCard('theory','А знаешь ли ты?','8.3',
+ '
');
+ h+=makeCard('theory','А знаешь ли ты?','9.3',
+ '
');
+ h+=makeCard('theory','А знаешь ли ты?','11.3',
+ '
');
+ h+=makeCard('rule','Четверти','1.3',
'
');
+ h+=makeCard('theory','А знаешь ли ты?','1.4',
+ 'Четверть I II III IV знак $x$ + − − + знак $y$ + + − −
');
+ h+=makeCard('theory','А знаешь ли ты?','2.3',
+ '
'
+ +'
');
+ h+=makeCard('theory','А знаешь ли ты?','5.3',
+ ''
+ +'
');
+ h+=makeCard('theory','А знаешь ли ты?','1.2t',
+ ''
+ +'
');
+ h+=makeCard('theory','А знаешь ли ты?','2.2t',
+ ''
+ +'
');
+ h+=makeCard('theory','А знаешь ли ты?','3.2t',
+ ''
+ +'
');
+ h+=makeCard('theory','А знаешь ли ты?','4.2t',
+ ''
+ +'
');
+ h+=makeCard('theory','А знаешь ли ты?','5.2t',
+ '