diff --git a/frontend/textbooks/geometry_10_r2.html b/frontend/textbooks/geometry_10_r2.html index 5172521..c5e8933 100644 --- a/frontend/textbooks/geometry_10_r2.html +++ b/frontend/textbooks/geometry_10_r2.html @@ -4,67 +4,164 @@ -Геометрия 10 · Параллельность - +Геометрия 10 · Раздел 2 · Параллельность + - + @@ -74,14 +171,15 @@ html.dark .para-status{background:rgba(255,255,255,.06)}
- К курсу геометрии 10 + К курсу

Раздел 2. Параллельность

-
Прямые · Прямая и плоскость · Плоскости · §4–§6 + Финал
+
Прямые · Прямая и плоскость · Плоскости
+ 0 XP
+ +
-
- Раздел 2 -

Параллельность

-

Прямые · Прямая и плоскость · Плоскости. Раздел содержит 3 параграфа и финальный этап с боссами.

-
- -
- -
+ +
+
§ 4
-
-

Расположение прямых в пространстве

-

Пересекающиеся, параллельные, скрещивающиеся прямые. Угол между скрещивающимися.

-
- - Будет добавлено в следующей волне реализации +
+

Расположение прямых в пространстве

+
Пересекающиеся · параллельные · скрещивающиеся · угол между скрещ.
+
+
+ +
+
3 СЛУЧАЯ Как могут располагаться 2 прямые в пространстве
+
+
Пересекающиеся
+
Параллельные
+
Скрещивающиеся
+
+
В плоскости прямые бывают пересекающиеся и параллельные. В пространстве добавляется третий случай — скрещивающиеся: прямые, не лежащие в одной плоскости.
+
+ +
+
КУБ Все 3 типа на одном теле
+
+
В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$: пара $AB$ и $AD$ — пересекающиеся (общая точка $A$); пара $AA_1$ и $BB_1$ — параллельные; пара $AB$ и $CC_1$ — скрещивающиеся (не лежат в одной плоскости).
+
+ +
+
+ 4.1 +
Параллельные прямые в пространстве
+
+

Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

+

Обозначение: $a \parallel b$.

-
-
+
+ 4.2 +
Скрещивающиеся прямые
+
+

Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

+

Признак: если прямая $a \subset \alpha$, а прямая $b$ пересекает $\alpha$ в точке, не лежащей на $a$, — то $a$ и $b$ скрещиваются.

+
+
+ +
+ 4.3 +
Теорема о параллельных
+
+

Через точку $M$, не лежащую на прямой $a$, проходит единственная прямая, параллельная $a$.

+

Транзитивность: если $a \parallel b$ и $b \parallel c$, то $a \parallel c$.

+
+
+ +
+ 4.4 +
Угол между прямыми
+
+

Углом между пересекающимися прямыми — острый или прямой угол между ними.

+

Углом между скрещивающимися прямыми $a$ и $b$ называется угол между двумя пересекающимися прямыми $a' \parallel a$ и $b' \parallel b$ (выбираются в общей точке).

+
+
+ +
+ 4.5 +
Расстояние между скрещ.
+
+

Расстояние между скрещивающимися прямыми — длина их общего перпендикуляра (отрезка, перпендикулярного обеим прямым).

+

Общий перпендикуляр существует и единствен.

+
+
+ +
+ 4.6 +
Признак скрещивающихся
+
+

Если две прямые в пространстве не пересекаются и не параллельны — они скрещивающиеся.

+

Не пересекающиеся прямые могут быть параллельными (в одной плоскости) или скрещивающимися (в разных плоскостях).

+
+
+
+ +
+
+
1
+
Определи тип пары рёбер в кубе
+
0 / 7
+
+
+
+
+
+
+
+ +
+
+
2
+
Угол между рёбрами куба
+
0 / 5
+
+
+
+
+ + +
+
+
+
+ +
+
+
3
+
Верно или неверно
+
0 / 5
+
+
+
+
+
+
+
+ +
+ +
+ +
+ + + +
+
§ 5
-
-

Прямая и плоскость

-

Три случая. Признак параллельности прямой и плоскости.

-
- - Будет добавлено в следующей волне реализации +
+

Прямая и плоскость

+
3 случая · признак параллельности прямой и плоскости
+
+
+ +
+
3 СЛУЧАЯ Взаимное расположение прямой и плоскости
+
+
$a \subset \alpha$
+
$a \cap \alpha = M$
+
$a \parallel \alpha$
+
+
Прямая может: лежать в плоскости, пересекать её в одной точке, или быть параллельной (не иметь с плоскостью общих точек).
+
+ +
+
ПРИЗНАК ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ $a \parallel b \subset \alpha,\ a \not\subset \alpha \Rightarrow a \parallel \alpha$
+
+
Если прямая $a$ параллельна некоторой прямой $b$, лежащей в плоскости $\alpha$, и сама $a$ не лежит в $\alpha$, то $a$ параллельна $\alpha$. Это самый частый способ доказать параллельность прямой и плоскости.
+
+ +
+
+ 5.1 +
Параллельная прямая и плоскость
+
+

Прямая называется параллельной плоскости, если они не имеют общих точек.

+

Обозначение: $a \parallel \alpha$.

- -
+
+ 5.2 +
Признак параллельности
+
+

Если прямая $a$ параллельна некоторой прямой $b \subset \alpha$ и не лежит в $\alpha$, то $a \parallel \alpha$.

+

Это удобный способ установить параллельность — найти в плоскости прямую, параллельную $a$.

+
+
+ +
+ 5.3 +
Свойство параллельной
+
+

Если $a \parallel \alpha$ и плоскость $\beta$, содержащая $a$, пересекает $\alpha$ по прямой $c$, то $a \parallel c$.

+

То есть линии пересечения параллельной плоскости с проходящей через прямую плоскостью — параллельны самой прямой.

+
+
+ +
+ 5.4 +
Транзитивность
+
+

Если $a \parallel \alpha$ и $b \parallel a$, то $b \parallel \alpha$ или $b \subset \alpha$.

+

Параллельность прямой плоскости — устойчивое свойство при параллельных переносах.

+
+
+
+ +
+
+
1
+
Какой случай взаимного расположения?
+
0 / 6
+
+
+
+
+
+
+
+ +
+
+
2
+
Применение признака параллельности
+
0 / 5
+
+
+
+
+
+
+
+ +
+
+
3
+
Параллельность в кубе
+
0 / 5
+
+
+
+
+
+
+
+ +
+ +
+ +
+
+ + +
+
§ 6
-
-

Две плоскости

-

Пересекаются или параллельны. Признак параллельности плоскостей.

-
- - Будет добавлено в следующей волне реализации +
+

Две плоскости

+
Пересекаются или параллельны · признак параллельности плоскостей
+
+
+ +
+
2 СЛУЧАЯ Как могут располагаться 2 плоскости
+
+
Пересекаются по прямой
+
Параллельны
+
+
Две плоскости либо пересекаются по прямой, либо параллельны (не имеют общих точек). Третьего не дано.
+
+ +
+
ПРИЗНАК ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ Через 2 пересекающиеся прямые
+
+
Если плоскость $\alpha$ содержит две пересекающиеся прямые $a, b$, каждая из которых параллельна плоскости $\beta$, — то $\alpha \parallel \beta$.
+
+ +
+
+ 6.1 +
Параллельные плоскости
+
+

Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек.

+

Обозначение: $\alpha \parallel \beta$.

- -
- +
+ 6.2 +
Признак параллельности плоскостей
+
+

Если плоскость $\alpha$ содержит 2 пересекающиеся прямые $a$ и $b$, каждая из которых параллельна $\beta$ — то $\alpha \parallel \beta$.

+

Одной параллельной прямой недостаточно: нужно именно две пересекающиеся.

+
+
+ +
+ 6.3 +
Свойства параллельных плоскостей
+
+
    +
  • Через точку вне плоскости — единственная плоскость, параллельная данной.
    • +
  • Если $\alpha \parallel \beta$ и $\gamma$ пересекает $\alpha$ по $a$, то $\gamma$ пересекает $\beta$ по прямой $b \parallel a$.
    • +
  • Параллельные плоскости отсекают на параллельных прямых равные отрезки.
    • +
+
+
+ +
+ 6.4 +
Транзитивность
+
+

Если $\alpha \parallel \gamma$ и $\beta \parallel \gamma$, то $\alpha \parallel \beta$.

+

В кубе: верхняя и нижняя грани параллельны; левая и правая параллельны; передняя и задняя параллельны.

+
+
+
+ +
+
+
1
+
Параллельны или пересекаются?
+
0 / 5
+
+
+
+
+
+
+
+ +
+
+
2
+
Достаточно ли условий для параллельности?
+
0 / 5
+
+
+
+
+
+
+
+ +
+
+
3
+
Свойства параллельных плоскостей
+
0 / 5
+
+
+
+
+
+
+
+ +
+ +
+ +
+
+ + +
+
+
★
+
+

Финал раздела 2

+
4 интегральных босса · ачивка «Параллельность освоена»
+
+
+
+ Откроется в Волне W4 + Финал содержит 4 босса (прямые в пространстве, прямая и плоскость, две плоскости, сборная задача) и спецачивку stereo10_r2_master. + До этого момента — побеждай боссов §4, §5, §6, чтобы заработать XP. +
+
@@ -149,6 +585,7 @@ html.dark .para-status{background:rgba(255,255,255,.06)}