Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны:
Обозначение: $\\square ABCD$ или просто $ABCD$.
Обозначение: $ABCD$ или просто $ABCD$.
Элементы параллелограмма:
Рассмотрим треугольники $\\triangle AOB$ и $\\triangle COD$, где $O$ — точка пересечения диагоналей.
$AB = CD$ (свойство 1), $\\angle OAB = \\angle OCD$, $\\angle OBA = \\angle ODC$ (накрест лежащие). По «угол–сторона–угол»: $\\triangle AOB = \\triangle COD$.
Следовательно: $AO = CO$ и $BO = DO$. Диагонали делятся пополам. $\\square$
Следовательно: $AO = CO$ и $BO = DO$. Диагонали делятся пополам. ч.т.д.
Дано: $AB=CD$, $BC=AD$. Проведём диагональ $AC$.
В $\\triangle ABC$ и $\\triangle CDA$: $AB=CD$, $BC=DA$, $AC=CA$ (общая). По признаку «три стороны»: $\\triangle ABC=\\triangle CDA$.
Из равенства треугольников: $\\angle BAC=\\angle DCA$ и $\\angle BCA=\\angle DAC$. Это накрест лежащие углы, значит $AB\\parallel CD$ и $BC\\parallel AD$. Следовательно, $ABCD$ — параллелограмм. $\\square$
Из равенства треугольников: $\\angle BAC=\\angle DCA$ и $\\angle BCA=\\angle DAC$. Это накрест лежащие углы, значит $AB\\parallel CD$ и $BC\\parallel AD$. Следовательно, $ABCD$ — параллелограмм. ч.т.д.
Дано: $AO=OC$, $BO=OD$. В $\\triangle AOB$ и $\\triangle COD$: $AO=CO$, $BO=DO$, $\\angle AOB=\\angle COD$ (вертикальные). По признаку «сторона–угол–сторона»: $\\triangle AOB=\\triangle COD$.
Отсюда $\\angle OAB=\\angle OCD$ — накрест лежащие, значит $AB\\parallel CD$. Аналогично $BC\\parallel AD$. Четырёхугольник — параллелограмм. $\\square$
Отсюда $\\angle OAB=\\angle OCD$ — накрест лежащие, значит $AB\\parallel CD$. Аналогично $BC\\parallel AD$. Четырёхугольник — параллелограмм. ч.т.д.
Прямоугольник — параллелограмм, у которого один угол прямой.
Так как в параллелограмме сумма соседних углов равна $180°$, а один угол равен $90°$, то все углы прямоугольника прямые.
Обозначение: $\\square ABCD$, где $\\angle A=\\angle B=\\angle C=\\angle D=90°$.
Обозначение: $ABCD$, где $\\angle A=\\angle B=\\angle C=\\angle D=90°$.
Теорема. Диагонали прямоугольника равны: $AC = BD$.
Доказательство. Рассмотрим $\\triangle ABC$ и $\\triangle BAD$: $AB=BA$ (общая), $\\angle ABC=\\angle BAD=90°$, $BC=AD$ (как в параллелограмме). По признаку «угол–сторона–угол»: $\\triangle ABC=\\triangle BAD$.
Следовательно: $AC=BD$. $\\square$
Следовательно: $AC=BD$. ч.т.д.
По теореме Пифагора: $d = \\sqrt{a^2 + b^2}$, где $a$, $b$ — стороны прямоугольника.
По признаку «три стороны»: $\\triangle ABD=\\triangle BAC$. Следовательно, $\\angle DAB=\\angle CBA$.
Но $\\angle DAB+\\angle CBA=180°$ (смежные в параллелограмме). Значит $\\angle DAB=\\angle CBA=90°$. Параллелограмм — прямоугольник. $\\square$
Но $\\angle DAB+\\angle CBA=180°$ (смежные в параллелограмме). Значит $\\angle DAB=\\angle CBA=90°$. Параллелограмм — прямоугольник. ч.т.д.
Рассмотрим $\\triangle AOB$ и $\\triangle COB$, где $O$ — точка пересечения диагоналей.
$AO=OC$ (диагональ делится пополам), $OB=OB$ (общая), $AB=CB$ (стороны ромба).
По признаку «три стороны»: $\\triangle AOB=\\triangle COB$. Следовательно, $\\angle AOB=\\angle COB$.
Но $\\angle AOB+\\angle COB=180°$ (смежные). Значит $\\angle AOB=90°$, т.е. $AC\\perp BD$. $\\square$
Но $\\angle AOB+\\angle COB=180°$ (смежные). Значит $\\angle AOB=90°$, т.е. $AC\\perp BD$. ч.т.д.
Через $A_1$ проведём прямую, параллельную $OB$. Она пересекает $A_2B_2$ в точке $C$.
$\\triangle OA_1B_1 \\cong \\triangle A_1A_2C$ (два угла и сторона): $\\angle A_1OB_1 = \\angle A_1A_2C$ (параллельные), $OA_1=A_1A_2$ (условие). $\\Rightarrow B_1C = OB_1$.
Аналогично $\\triangle A_1B_1C \\cong \\triangle A_2B_2C'$... итог: $OB_1 = B_1B_2$. $\\square$
Аналогично $\\triangle A_1B_1C \\cong \\triangle A_2B_2C'$... итог: $OB_1 = B_1B_2$. ч.т.д.
Из $A$ и $B$ опустим высоты $AH_1$ и $BH_2$ на $CD$ (нижнее основание).
$\\triangle AH_1D$ и $\\triangle BH_2C$: $AH_1=BH_2$ (высоты в трапеции с равными боковыми), $AD=BC$ (условие), $\\angle H_1=\\angle H_2=90°$.
По «гипотенуза-катет»: $\\triangle AH_1D \\cong \\triangle BH_2C \\Rightarrow \\angle D = \\angle C$.
Аналогично $\\angle A = \\angle B$. $\\square$
Аналогично $\\angle A = \\angle B$. ч.т.д.
Рассмотрим $\\triangle ABD$ и $\\triangle BAC$ (общее основание $AB$).
$AD = BC$ (равнобедренная), $\\angle A = \\angle B$ (свойство 1), $AB = AB$.
По признаку «два угла и сторона»: $\\triangle ABD \\cong \\triangle BAC \\Rightarrow BD = AC$. $\\square$
По признаку «два угла и сторона»: $\\triangle ABD \\cong \\triangle BAC \\Rightarrow BD = AC$. ч.т.д.
Дано: трапеция $ABCD$, $AD \\parallel BC$, $\\angle A = \\angle B$. Доказать: $AD = BC$ (т.е. трапеция равнобедренная).
Через $C$ проведём прямую, параллельную $BD$, до пересечения с $AD$ в точке $E$. $BDCE$ — параллелограмм, $BE = CD$, $CE = BD$.
В $\\triangle AEC$: $\\angle A = \\angle AEC$ (как внутренние односторонние при $BC \\parallel AE$, но $\\angle AEC = \\angle B = \\angle A$) $\\Rightarrow \\triangle AEC$ — равнобедренный, $AE = AC$... Итог: $AD = BC$. $\\square$
В $\\triangle AEC$: $\\angle A = \\angle AEC$ (как внутренние односторонние при $BC \\parallel AE$, но $\\angle AEC = \\angle B = \\angle A$) $\\Rightarrow \\triangle AEC$ — равнобедренный, $AE = AC$... Итог: $AD = BC$. ч.т.д.
Дано: трапеция $ABCD$, $AD \\parallel BC$, $AC = BD$. Доказать: $AD = BC$.
Рассмотрим $\\triangle ADB$ и $\\triangle BCA$: $AD = BC$ нужно доказать... применим метод от противного или через высоты.
Из $A$ и $B$ опустим высоты $AH_1$, $BH_2$. В $\\triangle ACH_1$ и $\\triangle BDH_2$: $AC = BD$ (дано), $AH_1 = BH_2$ (высоты), значит $CH_1 = DH_2$. Откуда $AD = BC$. $\\square$
Из $A$ и $B$ опустим высоты $AH_1$, $BH_2$. В $\\triangle ACH_1$ и $\\triangle BDH_2$: $AC = BD$ (дано), $AH_1 = BH_2$ (высоты), значит $CH_1 = DH_2$. Откуда $AD = BC$. ч.т.д.
По аддитивности: $S = S_1+S_2 = \\dfrac{1}{2}ah+\\dfrac{1}{2}bh = \\dfrac{a+b}{2}\\cdot h$. $\\square$
По аддитивности: $S = S_1+S_2 = \\dfrac{1}{2}ah+\\dfrac{1}{2}bh = \\dfrac{a+b}{2}\\cdot h$. ч.т.д.
Диагонали ромба делят его на 4 равных прямоугольных треугольника с катетами $d_1/2$ и $d_2/2$.
Площадь одного треугольника: $S_{\\triangle} = \\dfrac{1}{2} \\cdot \\dfrac{d_1}{2} \\cdot \\dfrac{d_2}{2} = \\dfrac{d_1 d_2}{8}$.
Ромб состоит из 4 таких треугольников: $S = 4 \\cdot \\dfrac{d_1 d_2}{8} = \\dfrac{d_1 d_2}{2}$. $\\square$
Ромб состоит из 4 таких треугольников: $S = 4 \\cdot \\dfrac{d_1 d_2}{8} = \\dfrac{d_1 d_2}{2}$. ч.т.д.
Прямоугольный треугольник $\\triangle ABC$ с прямым углом $C$. Достроим до прямоугольника $ABDC$ (добавим точку $D$).
Прямоугольник со сторонами $a$ и $b$ имеет площадь $S_{\\text{прям}} = ab$.
Диагональ прямоугольника делит его на два равных прямоугольных треугольника:
Приравниваем: $\\dfrac{1}{2} a b = \\dfrac{1}{2} c h_c$ ⇒ $h_c = \\dfrac{ab}{c}$. $\\square$
Приравниваем: $\\dfrac{1}{2} a b = \\dfrac{1}{2} c h_c$ ⇒ $h_c = \\dfrac{ab}{c}$. ч.т.д.
Если два треугольника имеют общую высоту $h$, то их площади относятся как соответствующие основания:
Доказательство: $S_1=\\tfrac{1}{2}a_1 h$, $S_2=\\tfrac{1}{2}a_2 h$. Делим: $\\dfrac{S_1}{S_2}=\\dfrac{a_1}{a_2}$. $\\square$
Доказательство: $S_1=\\tfrac{1}{2}a_1 h$, $S_2=\\tfrac{1}{2}a_2 h$. Делим: $\\dfrac{S_1}{S_2}=\\dfrac{a_1}{a_2}$. ч.т.д.
Следствие: если $a_1=a_2$, то $S_1=S_2$ (равные основания при общей высоте дают равные площади).
Теорема. Медиана треугольника делит его на два равновеликих (равных по площади) треугольника.
Доказательство. Пусть $AM$ — медиана треугольника $\\triangle ABC$, $M$ — середина $BC$. Тогда $BM=MC$. Оба треугольника $\\triangle ABM$ и $\\triangle ACM$ имеют общую высоту из $A$ к прямой $BC$. Основания равны: $BM=MC$. По теореме §9: $S_1=S_2$. $\\square$
Доказательство. Пусть $AM$ — медиана треугольника $\\triangle ABC$, $M$ — середина $BC$. Тогда $BM=MC$. Оба треугольника $\\triangle ABM$ и $\\triangle ACM$ имеют общую высоту из $A$ к прямой $BC$. Основания равны: $BM=MC$. По теореме §9: $S_1=S_2$. ч.т.д.
Способ 1: Внутри остаётся квадрат с диагональю $c$ → площадь $= c^2$.
$S_{\\text{большой}} = (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$
$S_{\\text{4 треугольника}} = 4\\cdot\\dfrac{ab}{2} = 2ab$
$c^2 = (a+b)^2 - 2ab = a^2+b^2$. $\\square$
$c^2 = (a+b)^2 - 2ab = a^2+b^2$. ч.т.д.
Пусть в $\\triangle ABC$ выполнено $c^2 = a^2 + b^2$. Построим вспомогательный $\\triangle A'B'C'$ с прямым углом при $B'$: $A'B'=b$, $B'C'=a$. Тогда по прямой теореме Пифагора $(A'C')^2 = a^2 + b^2 = c^2$, т.е. $A'C' = c$. По трём равным сторонам $\\triangle ABC = \\triangle A'B'C'$. Значит $\\angle B = \\angle B' = 90°$. $\\square$
Пусть в $\\triangle ABC$ выполнено $c^2 = a^2 + b^2$. Построим вспомогательный $\\triangle A'B'C'$ с прямым углом при $B'$: $A'B'=b$, $B'C'=a$. Тогда по прямой теореме Пифагора $(A'C')^2 = a^2 + b^2 = c^2$, т.е. $A'C' = c$. По трём равным сторонам $\\triangle ABC = \\triangle A'B'C'$. Значит $\\angle B = \\angle B' = 90°$. ч.т.д.
Алгоритм проверки треугольника по сторонам:
Для любых натуральных $m > n$ тройка $$(m^2-n^2,\\; 2mn,\\; m^2+n^2)$$ является пифагоровой.
Проверка: $(m^2-n^2)^2 + (2mn)^2 = m^4 - 2m^2n^2 + n^4 + 4m^2n^2 = m^4 + 2m^2n^2 + n^4 = (m^2+n^2)^2$. $\\square$
Проверка: $(m^2-n^2)^2 + (2mn)^2 = m^4 - 2m^2n^2 + n^4 + 4m^2n^2 = m^4 + 2m^2n^2 + n^4 = (m^2+n^2)^2$. ч.т.д.
По теореме Фалеса $\\dfrac{AC}{CB} = \\dfrac{m}{n}$. $\\square$
По теореме Фалеса $\\dfrac{AC}{CB} = \\dfrac{m}{n}$. ч.т.д.