diff --git a/frontend/textbooks/geometry_10_r4.html b/frontend/textbooks/geometry_10_r4.html index 47984fa..2019d9b 100644 --- a/frontend/textbooks/geometry_10_r4.html +++ b/frontend/textbooks/geometry_10_r4.html @@ -4,67 +4,167 @@ -Геометрия 10 · Координаты и векторы - +Геометрия 10 · Раздел 4 · Координаты и векторы + - + @@ -74,14 +174,15 @@ html.dark .para-status{background:rgba(255,255,255,.06)}
- К курсу геометрии 10 + К курсу

Раздел 4. Координаты и векторы

-
ПДСК в пространстве · Векторы · Скалярное произведение · §11–§14 + Финал
+
ПДСК в пространстве · Векторы · Скалярное произведение · Применение
+ 0 XP
+ +
-
- Раздел 4 -

Координаты и векторы

-

ПДСК в пространстве · Векторы · Скалярное произведение. Раздел содержит 4 параграфа и финальный этап с боссами.

-
- -
- -
+ +
+
§ 11
-
-

Координаты в пространстве

-

ПДСК. Точка (x; y; z). Расстояние между точками.

-
- - Будет добавлено в следующей волне реализации +
+

Координаты в пространстве

+
ПДСК · точка $M(x;\,y;\,z)$ · расстояние между точками
+
+
+ +
+
ПДСК Прямоугольная система координат в пространстве
+
+
Три взаимно перпендикулярные оси $Ox$, $Oy$, $Oz$ с общим началом $O$. Точка $M$ задаётся тремя координатами $(x;\,y;\,z)$ — это проекции на оси. Здесь показана точка $M(2;\,3;\,4)$ с пунктирными проекциями.
+
+ +
+
РАССТОЯНИЕ Формула $|AB|$ в пространстве
+
+
+ Если $A(x_1;\,y_1;\,z_1)$ и $B(x_2;\,y_2;\,z_2)$, то
+ $|AB| = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$ +
+
Формула — обобщение теоремы Пифагора. $|AB|$ — диагональ прямоугольного параллелепипеда с измерениями $|\Delta x|$, $|\Delta y|$, $|\Delta z|$.
+
+ +
+
+ 11.1 +
ПДСК
+
+

Прямоугольная декартова система координат — три попарно перпендикулярные оси с общим началом $O$.

+

Оси: $Ox$ (абсцисс), $Oy$ (ординат), $Oz$ (аппликат).

-
-
+
+ 11.2 +
Координаты точки
+
+

Точка $M$ имеет три координаты $(x;\,y;\,z)$ — это её проекции на оси.

+

$M_x$ — проекция на $Ox$, и т.д. Точка $M$ восстанавливается, если из проекций провести перпендикуляры к осям.

+
+
+ +
+ 11.3 +
Координатные плоскости
+
+
    +
  • $Oxy$ — плоскость $z = 0$;
    • +
  • $Oxz$ — плоскость $y = 0$;
    • +
  • $Oyz$ — плоскость $x = 0$.
    • +
+

Три координатные плоскости разбивают пространство на 8 октантов.

+
+
+ +
+ 11.4 +
Расстояние между точками
+
+

$|AB| = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2}$.

+

Расстояние от точки до начала: $|OM| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.

+
+
+ +
+ 11.5 +
Координаты середины отрезка
+
+

Середина $M$ отрезка $AB$:

+

$M\left(\dfrac{x_A+x_B}{2};\,\dfrac{y_A+y_B}{2};\,\dfrac{z_A+z_B}{2}\right)$.

+
+
+ +
+ 11.6 +
Координаты особых точек
+
+
    +
  • Начало координат: $O(0;\,0;\,0)$.
    • +
  • Точка на оси $Ox$: $(a;\,0;\,0)$.
    • +
  • Точка в плоскости $Oxy$: $(x;\,y;\,0)$.
    • +
+
+
+
+ +
+
+
1
+
Где находится точка?
+
0 / 6
+
+
+
+
+
+
+
+ +
+
+
2
+
Расстояние между точками
+
0 / 5
+
+
+
+
+ + +
+
+
+
+ +
+
+
3
+
Середина отрезка
+
0 / 5
+
+
+
+
+ + +
+
+
+
+ +
+ +
+ +
+ + + +
+
§ 12
-
-

Вектор. Действия над векторами

-

Сложение, умножение на число, базис i, j, k. Разложение вектора.

-
- - Будет добавлено в следующей волне реализации +
+

Векторы. Действия над векторами

+
Определения · сложение · умножение на число · базис $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$
+
+
+ +
+
СЛОЖЕНИЕ Правило треугольника и параллелограмма
+
+
Сумма $\vec{a} + \vec{b}$: совмещаем начало $\vec{b}$ с концом $\vec{a}$; результирующий вектор — от начала $\vec{a}$ к концу $\vec{b}$. Эквивалентно: $\vec{a}+\vec{b}$ — диагональ параллелограмма, построенного на $\vec{a}$ и $\vec{b}$.
+
+ +
+
БАЗИС Единичные векторы $\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$
+
+
+ Любой вектор: $\vec{a} = x\,\vec{i} + y\,\vec{j} + z\,\vec{k}$  ⇔  $\vec{a} = (x;\,y;\,z)$ +
+
Три единичных вектора $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ вдоль осей $Ox, Oy, Oz$ образуют базис. Любой вектор однозначно раскладывается по базису — его координаты совпадают с коэффициентами.
+
+ +
+
+ 12.1 +
Вектор
+
+

Вектор — направленный отрезок $\vec{AB}$ с началом $A$ и концом $B$.

+

Длина (модуль): $|\vec{AB}| = |AB|$. Нулевой вектор: $\vec{0}$.

- -
+
+ 12.2 +
Равные векторы
+
+

Два вектора равны, если они сонаправлены и имеют равные длины.

+

Вектор можно «переносить» параллельно — это не меняет его как геометрический объект.

+
+
+ +
+ 12.3 +
Сложение
+
+

Правило треугольника: $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$.

+

Правило параллелограмма: сумма — диагональ параллелограмма.

+

Свойства: коммутативность $\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$, ассоциативность.

+
+
+ +
+ 12.4 +
Умножение на число
+
+

$k\,\vec{a}$ — вектор той же ($k > 0$) или противоположной ($k < 0$) направленности, с длиной $|k|\cdot|\vec{a}|$.

+

Если $\vec{a} = (x;y;z)$, то $k\vec{a} = (kx;\,ky;\,kz)$.

+
+
+ +
+ 12.5 +
Координаты вектора
+
+

Если $A(x_1;y_1;z_1)$ и $B(x_2;y_2;z_2)$, то $\vec{AB} = (x_2-x_1;\,y_2-y_1;\,z_2-z_1)$.

+

Длина: $|\vec{AB}| = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$.

+
+
+ +
+ 12.6 +
Коллинеарность
+
+

Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны, если $\vec{a} = k\,\vec{b}$ для некоторого $k$.

+

В координатах: $\dfrac{x_a}{x_b} = \dfrac{y_a}{y_b} = \dfrac{z_a}{z_b}$ (где определено).

+
+
+
+ +
+
+
1
+
Сложение и умножение векторов
+
0 / 5
+
+
+
+
+ + +
+
+
+
+ +
+
+
2
+
Координаты $\vec{AB}$
+
0 / 5
+
+
+
+
+ + +
+
+
+
+ +
+
+
3
+
Коллинеарны ли векторы?
+
0 / 5
+
+
+
+
+
+
+
+ +
+ +
+ +
+
+ + +
+
§ 13
-
-

Скалярное произведение

-

a · b = |a||b|cos α = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂. Условие перпендикулярности.

-
- - Будет добавлено в следующей волне реализации +
+

Скалярное произведение векторов

+
Геометрический смысл · координатная формула · угол между векторами
+
+
+ +
+
СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ Геометрический смысл
+
+
+ Геометрически: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\cos\varphi$
+ В координатах: $\vec{a}\cdot\vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2$ +
+
Скалярное произведение двух векторов — число (скаляр), равное произведению длин векторов на косинус угла между ними.
+
+ +
+
+ 13.1 +
Определение
+
+

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\cos\varphi$, где $\varphi$ — угол между векторами.

+

Результат — число, не вектор.

- -
+
+ 13.2 +
Координатная формула
+
+

Если $\vec{a} = (x_1;y_1;z_1)$, $\vec{b} = (x_2;y_2;z_2)$, то:

+

$\vec{a}\cdot\vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2$.

+
+
+ +
+ 13.3 +
Свойства
+
+
    +
  • $\vec{a}\cdot\vec{a} = |\vec{a}|^2$;
    • +
  • $\vec{a}\cdot\vec{b} = \vec{b}\cdot\vec{a}$ (коммутативность);
    • +
  • $(k\vec{a})\cdot\vec{b} = k(\vec{a}\cdot\vec{b})$;
    • +
  • $(\vec{a}+\vec{b})\cdot\vec{c} = \vec{a}\cdot\vec{c} + \vec{b}\cdot\vec{c}$.
    • +
+
+
+ +
+ 13.4 +
Перпендикулярность
+
+

$\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a}\cdot\vec{b} = 0$.

+

Это удобный критерий: $x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2 = 0$.

+
+
+ +
+ 13.5 +
Угол между векторами
+
+

$\cos\varphi = \dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}$.

+

В координатах: $\cos\varphi = \dfrac{x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}\cdot\sqrt{x_2^2+y_2^2+z_2^2}}$.

+
+
+ +
+ 13.6 +
Знак скалярного произведения
+
+
    +
  • $\vec{a}\cdot\vec{b} > 0 \Leftrightarrow \varphi < 90°$ (острый);
    • +
  • $\vec{a}\cdot\vec{b} = 0 \Leftrightarrow \varphi = 90°$;
    • +
  • $\vec{a}\cdot\vec{b} < 0 \Leftrightarrow \varphi > 90°$ (тупой).
    • +
+
+
+
+ +
+
+
1
+
Вычисли $\vec{a}\cdot\vec{b}$
+
0 / 5
+
+
+
+
+ + +
+
+
+
+ +
+
+
2
+
Перпендикулярны ли векторы?
+
0 / 5
+
+
+
+
+
+
+
+ +
+
+
3
+
Найди $\cos$ угла между $\vec{a}$ и $\vec{b}$
+
0 / 4
+
+
+
+
+ + +
+
+
+
+ +
+ +
+ +
+
+ + +
+
§ 14
-
-

Применение координат и векторов

-

Уравнения, углы, расстояния. Векторно-координатный метод.

-
- - Будет добавлено в следующей волне реализации +
+

Применение векторно-координатного метода

+
Решение задач стереометрии через координаты и векторы
+
+
+ +
+
КУБ В КООРДИНАТАХ $A(0;0;0)$ … $C_1(1;1;1)$
+
+
Размещаем куб с ребром 1 в координатах: $A(0;0;0)$, $B(1;0;0)$, $C(1;1;0)$, $D(0;1;0)$, $A_1(0;0;1)$, $B_1(1;0;1)$, $C_1(1;1;1)$, $D_1(0;1;1)$. Через координаты легко вычислять любые расстояния и углы.
+
+ +
+ Алгоритм решения:
+ 1) ввести ПДСК так, чтобы основные точки имели простые координаты;
+ 2) выписать координаты нужных точек;
+ 3) вычислить векторы и применить формулы $|\vec{AB}|$, $\vec{a}\cdot\vec{b}$, $\cos\varphi$. +
+ +
+
+ 14.1 +
Уравнение плоскости
+
+

Плоскость с нормалью $\vec{n}=(A;B;C)$, проходящая через $M_0(x_0;y_0;z_0)$:

+

$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$.

+

Общий вид: $Ax + By + Cz + D = 0$.

- -
- +
+ 14.2 +
Угол между прямыми
+
+

Если направляющие векторы — $\vec{a}, \vec{b}$, то:

+

$\cos\varphi = \dfrac{|\vec{a}\cdot\vec{b}|}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}$ (модуль — чтобы $\varphi \in [0;90°]$).

+
+
+ +
+ 14.3 +
Угол между прямой и плоскостью
+
+

$\sin\varphi = \dfrac{|\vec{a}\cdot\vec{n}|}{|\vec{a}|\cdot|\vec{n}|}$,

+

где $\vec{a}$ — направляющая прямой, $\vec{n}$ — нормаль плоскости.

+
+
+ +
+ 14.4 +
Угол между плоскостями
+
+

$\cos\varphi = \dfrac{|\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}|}{|\vec{n_1}|\cdot|\vec{n_2}|}$.

+

Используются нормали плоскостей.

+
+
+ +
+ 14.5 +
Расстояние от точки до плоскости
+
+

$\rho(M, \alpha) = \dfrac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$.

+

Универсальная формула для любой плоскости в общем виде.

+
+
+ +
+ 14.6 +
Когда применять
+
+

Векторно-координатный метод эффективен, когда:

+
    +
  • в задаче много прямых углов (куб, прямоугольный параллелепипед);
    • +
  • требуется доказать перпендикулярность;
    • +
  • сложные углы между скрещ. прямыми, наклонными.
    • +
+
+
+
+ +
+
+
1
+
Куб: координаты и расстояния
+
0 / 5
+
+
+
+
+ + +
+
+
+
+ +
+
+
2
+
Угол через скалярное произведение
+
0 / 4
+
+
+
+
+ + +
+
+
+
+ +
+
+
3
+
Выбор метода
+
0 / 5
+
+
+
+
+
+
+
+ +
+ +
+ +
+
+ + +
+
+
★
+
+

Финал раздела 4

+
4 интегральных босса · ачивка «Геометрия 10 пройдена!» — главная награда курса
+
+
+
+ Откроется в Волне W9 + Финальное испытание: 4 босса (координаты/расстояния, векторы, скалярное произведение, сборная) + спецачивка stereo10_master + 120 XP бонус. +
+
@@ -161,6 +784,7 @@ html.dark .para-status{background:rgba(255,255,255,.06)}