diff --git a/frontend/textbooks/geometry_8_ch4.html b/frontend/textbooks/geometry_8_ch4.html index 674558d..67cd2b9 100644 --- a/frontend/textbooks/geometry_8_ch4.html +++ b/frontend/textbooks/geometry_8_ch4.html @@ -2517,12 +2517,14 @@ function buildP6(){ O₂ T внешнее касание: d=R₁+R₂ + - - O₁ - O₂ - T + + O₁ + O₂ + T внутреннее: d=|R₁−R₂| `); @@ -3553,7 +3555,7 @@ function buildP9(){ html+=makeCard('rule','Теорема о вписанном угле','9.1',`

Теорема. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

- $$\angle ABC = \dfrac{1}{2}\,\angle AOC = \dfrac{1}{2}\,\smile AC$$ + $$\\angle ABC = \\dfrac{1}{2}\\,\\angle AOC = \\dfrac{1}{2}\\,\\smile AC$$

Здесь $O$ — центр, $A$, $C$ — точки на окружности, $B$ — другая точка на окружности.

@@ -3577,9 +3579,9 @@ function buildP9(){
`); html+=makeCard('theory','Доказательство (три случая)','9.2',` -

Доказательство рассматривает три случая расположения центра $O$ относительно вписанного угла $\angle ABC$:

+

Доказательство рассматривает три случая расположения центра $O$ относительно вписанного угла $\\angle ABC$:

    -
  1. Центр лежит на стороне угла ($O$ — на $AB$): треугольник $OBC$ — равнобедренный, внешний угол при $B$ даёт $\angle AOC = 2\angle ABC$.
    2. +
  2. Центр лежит на стороне угла ($O$ — на $AB$): треугольник $OBC$ — равнобедренный, внешний угол при $B$ даёт $\\angle AOC = 2\\angle ABC$.
  3. Центр внутри угла: проводим диаметр через $B$, применяем случай 1 дважды и складываем.
  4. Центр вне угла: аналогично — вычитаем.
@@ -3603,10 +3605,10 @@ function buildP9(){ `); html+=makeCard('example','Применение теоремы','9.3',` -

Задача. Центральный угол $\angle AOC = 110°$. Найди вписанный угол $\angle ABC$, опирающийся на ту же дугу.

-

Решение. По теореме: $\angle ABC = \dfrac{1}{2} \cdot 110° = 55°$.

-

Задача 2. Вписанный угол $\angle ABC = 38°$. Найди центральный угол.

-

Решение. $\angle AOC = 2 \cdot 38° = 76°$.

`); +

Задача. Центральный угол $\\angle AOC = 110°$. Найди вписанный угол $\\angle ABC$, опирающийся на ту же дугу.

+

Решение. По теореме: $\\angle ABC = \\dfrac{1}{2} \\cdot 110° = 55°$.

+

Задача 2. Вписанный угол $\\angle ABC = 38°$. Найди центральный угол.

+

Решение. $\\angle AOC = 2 \\cdot 38° = 76°$.

`); /* ИНТЕРАКТИВ 1 — слайдер с обоими углами */ html+=`
@@ -3922,7 +3924,7 @@ function buildP10(){ html+=makeCard('rule','Следствие: вписанные углы на одной дуге','10.1',`

Следствие из теоремы §9. Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой.

- $$\angle AB_1C = \angle AB_2C = \angle AB_3C = \dfrac{1}{2}\,\smile AC$$ + $$\\angle AB_1C = \\angle AB_2C = \\angle AB_3C = \\dfrac{1}{2}\\,\\smile AC$$

Почему? Каждый вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на дугу $AC$. Центральный угол для данной дуги один и тот же — поэтому все вписанные углы равны.

@@ -4326,18 +4328,18 @@ function buildP11(){
`); html+=makeCard('theory','Доказательство','11.2',` -

Пусть $AB$ — диаметр, $C$ — точка на окружности ($C \neq A, B$).

+

Пусть $AB$ — диаметр, $C$ — точка на окружности ($C \\neq A, B$).

    -
  1. Полуокружность $AC$ (меньшая): $\smile AB = 180°$ (диаметр).
    2. -
  2. По теореме §9: $\angle ACB = \dfrac{1}{2} \cdot 180° = 90°$.
    3. +
  3. Полуокружность $AC$ (меньшая): $\\smile AB = 180°$ (диаметр).
    4. +
  4. По теореме §9: $\\angle ACB = \\dfrac{1}{2} \\cdot 180° = 90°$.

ч.т.д.

Следствие: в прямоугольном треугольнике $ACB$ с прямым углом при $C$ гипотенуза $AB$ является диаметром описанной окружности.

`); html+=makeCard('example','Применение','11.3',`

Задача. Диаметр $AB = 10$, $AC = 6$. Найди $BC$.

-

Решение. $\angle ACB = 90°$ (вписанный угол на диаметре). По теореме Пифагора:

- $$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$$ +

Решение. $\\angle ACB = 90°$ (вписанный угол на диаметре). По теореме Пифагора:

+ $$BC = \\sqrt{AB^2 - AC^2} = \\sqrt{100 - 36} = \\sqrt{64} = 8$$