diff --git a/frontend/textbooks/algebra_11_ch3.html b/frontend/textbooks/algebra_11_ch3.html index 2e018fa..127d2bc 100644 --- a/frontend/textbooks/algebra_11_ch3.html +++ b/frontend/textbooks/algebra_11_ch3.html @@ -1518,15 +1518,434 @@ function buildP8(){ function buildP9(){ const box = document.getElementById('p9-body'); let html = ''; - html += makeCard('theory', 'В разработке', '9.0', ` -

Содержание параграфа Логарифмические уравнения будет добавлено в Phase 1+.

-

Раздел Phase 0 — skeleton. Здесь появятся теория, примеры и интерактивы.

-

Ключевая формула: $\log_a f = \log_a g$

- `); + + /* === ТЕОРИЯ === */ + + html += makeCard('theory', 'Основной метод: потенциирование', '9.1', ` +

Логарифмическим уравнением называется уравнение, в котором переменная содержится под знаком логарифма (или в его основании).

+

Простейший вид: $\\log_a f(x) = \\log_a g(x)$, где $a > 0$, $a \\ne 1$.

+

Поскольку логарифмическая функция $y = \\log_a x$ монотонна (см. §8) — строго возрастает при $a > 1$ или строго убывает при $0 < a < 1$, — она инъективна. Из равенства логарифмов следует равенство аргументов:

+

+ $\\log_a f(x) = \\log_a g(x) \\;\\Leftrightarrow\\; \\begin{cases} f(x) = g(x) \\\\\\\\ f(x) > 0 \\\\\\\\ g(x) > 0 \\end{cases}$ +

+

Этот переход называется потенциированием. Условия $f(x) > 0$ и $g(x) > 0$ — это ОДЗ (область допустимых значений) уравнения.

+

Алгоритм решения:

+
    +
  1. Привести обе части к одному основанию.
    2. +
  2. Применить свойства логарифмов (см. §7) для упрощения.
    3. +
  3. Записать ОДЗ: для каждого $\\log_a h(x)$ требуем $h(x) > 0$.
    4. +
  4. Потенциировать: $f(x) = g(x)$ — и решить.
    5. +
  5. Проверить корни на принадлежность ОДЗ — отбросить посторонние.
    6. +
+

Пример. $\\log_3 (5 - x) = \\log_3 (x + 1)$.

+

ОДЗ: $5 - x > 0$ и $x + 1 > 0$, то есть $-1 < x < 5$.

+

Потенциируем: $5 - x = x + 1 \\Rightarrow 2x = 4 \\Rightarrow x = 2$. Проверка: $2 \\in (-1; 5)$ — корень подходит.

+

Ответ: $x = 2$.

`); + + html += makeCard('rule', 'Определение логарифма и замена переменной', '9.2', ` +

Метод 1. Через определение логарифма. Уравнение вида $\\log_a f(x) = b$ (число справа) — это просто определение логарифма наоборот:

+

+ $\\log_a f(x) = b \\;\\Leftrightarrow\\; f(x) = a^b$  (при $f(x) > 0$). +

+

Пример. $\\log_3 (2x - 1) = 2 \\Rightarrow 2x - 1 = 3^2 = 9 \\Rightarrow x = 5$. ОДЗ: $2x - 1 > 0 \\Leftrightarrow x > 0{,}5$. $5 > 0{,}5$ — корень подходит.

+
+

Метод 2. Замена переменной. Уравнения вида

+

+ $\\alpha \\log_a^2 x + \\beta \\log_a x + \\gamma = 0$ +

+

— квадратные относительно $t = \\log_a x$. После замены получим $\\alpha t^2 + \\beta t + \\gamma = 0$; найдём $t_1, t_2$, потом обратно $x_i = a^{t_i}$. Все такие $x$ автоматически положительны (это степени положительного числа), поэтому ОДЗ выполняется автоматически.

+

Пример. $\\log_2 x + \\log_x 2 = \\dfrac{5}{2}$.

+

По формуле перехода $\\log_x 2 = \\dfrac{1}{\\log_2 x}$. Пусть $t = \\log_2 x$, тогда

+

$t + \\dfrac{1}{t} = \\dfrac{5}{2} \\Rightarrow 2t^2 - 5t + 2 = 0 \\Rightarrow t = 2$ или $t = \\dfrac{1}{2}$.

+

Обратно: $\\log_2 x = 2 \\Rightarrow x = 4$; $\\;\\log_2 x = \\dfrac{1}{2} \\Rightarrow x = \\sqrt{2}$.

+

Ответ: $x_1 = 4,\\; x_2 = \\sqrt{2}$.

`); + + html += makeCard('example', 'Применение свойств логарифма', '9.3', ` +

Часто уравнения содержат сумму или разность логарифмов — их сводят к одному через свойства из §7:

+ +

+ Внимание! После применения свойств ОДЗ может расшириться. Например, $\\log_a u + \\log_a v$ требует $u > 0$ и $v > 0$, а получившийся $\\log_a (uv)$ требует только $uv > 0$ — то есть допустимо и $u < 0, v < 0$ одновременно.
+ Поэтому при проверке корней используйте ОДЗ исходного уравнения, а не упрощённого! +

+

Пример. $\\log_2 (x - 1) + \\log_2 (x + 1) = 3$.

+

ОДЗ исходного: $x - 1 > 0$ и $x + 1 > 0$, то есть $x > 1$.

+

Объединяем логарифмы: $\\log_2 \\bigl((x-1)(x+1)\\bigr) = 3 \\Rightarrow (x-1)(x+1) = 2^3$.

+

$x^2 - 1 = 8 \\Rightarrow x^2 = 9 \\Rightarrow x = \\pm 3$.

+

Проверка по ОДЗ: $x = 3 > 1$ — подходит. $x = -3$ не входит в ОДЗ — посторонний корень.

+

Ответ: $x = 3$.

+

Второй пример. $\\log_5 x + \\log_5 (x - 4) = 1$.

+

ОДЗ: $x > 0$ и $x - 4 > 0 \\Rightarrow x > 4$.

+

$\\log_5 \\bigl(x(x-4)\\bigr) = 1 \\Rightarrow x(x-4) = 5 \\Rightarrow x^2 - 4x - 5 = 0 \\Rightarrow x = 5$ или $x = -1$.

+

Проверка: $x = 5 > 4$ — подходит. $x = -1$ — посторонний.

+

Ответ: $x = 5$.

`); + + /* === ИНТЕРАКТИВЫ === */ + + /* IV1 — пошаговый решатель с ОДЗ */ + html += `
+
ИНТЕРАКТИВ 1
Пошаговый решатель с ОДЗ
+
Выбери задачу ползунком и нажимай «Следующий шаг ▶», чтобы открывать решение по одному шагу. Особое внимание — записи ОДЗ и проверке корней. Просмотри все 5 задач — получишь XP.
+
+ +
+
+
+
+ + + +
+
`; + + /* IV2 — калькулятор log_a (kx + n) = b */ + html += `
+
ИНТЕРАКТИВ 2
Калькулятор $\\log_a (kx + n) = b$
+
Введи основание $a$ ($a > 0$, $a \\ne 1$) и коэффициенты $k$, $n$, $b$ — калькулятор решит уравнение через определение логарифма и проверит ОДЗ.
+
+ $a$ = + + $k$ = + + $n$ = + + $b$ = + + +
+
+ Примеры: + + + + +
+
+
+
`; + + /* IV3 — посторонний корень или нет? */ + html += `
+
ИНТЕРАКТИВ 3
Посторонний корень или нет?
+
Дано уравнение и найденный корень. Проверь, удовлетворяет ли он ОДЗ исходного уравнения. 6 заданий.
+
Задача 1 / 6Очки: 0 / 6
+
+
+
+
+
`; + + /* IV4 — тренажёр уравнений */ + html += `
+
ИНТЕРАКТИВ 4
Тренажёр уравнений
+
Реши уравнение и введи корень (целое или десятичное число, допуск $\\pm 0{,}05$). Где указано — введи сумму корней. 6 задач.
+
Задача 1 / 6Очки: 0 / 6
+
+
+ ответ = + + + +
+
+
`; + html += secNavFor('p9'); html += readButton('p9'); + box.innerHTML = html; renderMath(box); + + /* === IV1 — пошаговый решатель === */ + (function(){ + const TASKS = [ + { + q: '$\\log_2 (x + 3) = 4$', + steps: [ + 'ОДЗ: $x + 3 > 0 \\Rightarrow x > -3$.', + 'По определению логарифма: $x + 3 = 2^4 = 16$.', + 'Решаем: $x = 16 - 3 = 13$.', + 'Проверка по ОДЗ: $13 > -3$ — корень подходит.', + 'Ответ: $x = 13$.' + ] + }, + { + q: '$\\log_3 (x - 1) = \\log_3 (5 - x)$', + steps: [ + 'ОДЗ: $x - 1 > 0$ и $5 - x > 0 \\Rightarrow 1 < x < 5$.', + 'Потенциируем (основания равны): $x - 1 = 5 - x$.', + 'Решаем: $2x = 6 \\Rightarrow x = 3$.', + 'Проверка: $3 \\in (1; 5)$ — корень подходит.', + 'Ответ: $x = 3$.' + ] + }, + { + q: '$\\log_5 x + \\log_5 (x - 4) = 1$', + steps: [ + 'ОДЗ: $x > 0$ и $x - 4 > 0 \\Rightarrow x > 4$.', + 'Объединяем по свойству суммы: $\\log_5 \\bigl(x(x-4)\\bigr) = 1$.', + 'По определению: $x(x - 4) = 5 \\Rightarrow x^2 - 4x - 5 = 0$.', + 'По теореме Виета: $x_1 = 5$, $x_2 = -1$.', + 'Проверка по ОДЗ: $5 > 4$ — подходит; $-1$ не входит в ОДЗ — посторонний корень.', + 'Ответ: $x = 5$.' + ] + }, + { + q: '$\\log_2^2 x - 3 \\log_2 x + 2 = 0$', + steps: [ + 'ОДЗ: $x > 0$.', + 'Замена $t = \\log_2 x$: $t^2 - 3t + 2 = 0$.', + 'По теореме Виета: $t_1 = 1$, $t_2 = 2$.', + 'Обратно: $\\log_2 x = 1 \\Rightarrow x = 2$; $\\;\\log_2 x = 2 \\Rightarrow x = 4$.', + 'Оба корня положительны — ОДЗ выполняется.', + 'Ответ: $x_1 = 2,\\; x_2 = 4$.' + ] + }, + { + q: '$\\lg^2 x - \\lg x = 6$', + steps: [ + 'ОДЗ: $x > 0$.', + 'Замена $t = \\lg x$: $t^2 - t - 6 = 0$.', + 'По теореме Виета: $t_1 = 3$, $t_2 = -2$.', + 'Обратно: $\\lg x = 3 \\Rightarrow x = 10^3 = 1000$; $\\;\\lg x = -2 \\Rightarrow x = 10^{-2} = 0{,}01$.', + 'Оба корня положительны — ОДЗ выполняется.', + 'Ответ: $x_1 = 1000,\\; x_2 = 0{,}01$.' + ] + } + ]; + const sn = document.getElementById('p9-iv1-sn'); + const nL = document.getElementById('p9-iv1-n'); + const qEl = document.getElementById('p9-iv1-q'); + const stepsEl = document.getElementById('p9-iv1-steps'); + const nextBtn = document.getElementById('p9-iv1-next'); + const allBtn = document.getElementById('p9-iv1-all'); + const resetBtn = document.getElementById('p9-iv1-reset'); + const seen = new Set(); + let _done = false; + let cur = 0, shown = 0; + + function render(){ + const t = TASKS[cur]; + nL.textContent = (cur + 1); + qEl.innerHTML = t.q; + stepsEl.innerHTML = t.steps.map((s, i) => { + const visible = i < shown; + const isLast = i === t.steps.length - 1 && visible; + const bg = isLast ? '#dcfce7' : 'var(--card)'; + const brd = isLast ? '2px solid #16a34a' : '1px solid var(--border)'; + return '
Шаг '+(i+1)+':'+s+'
'; + }).join(''); + renderMath(qEl); + renderMath(stepsEl); + if(shown >= t.steps.length){ + seen.add(cur); + if(!_done && seen.size >= 5){ _done = true; addXp(10, 'p9-iv1'); bumpProgress('p9', 15); } + } + } + function load(n){ cur = Math.max(0, Math.min(TASKS.length - 1, n)); shown = 1; render(); } + sn.addEventListener('input', () => load((+sn.value) - 1)); + nextBtn.addEventListener('click', () => { + if(shown < TASKS[cur].steps.length){ shown++; render(); } + }); + allBtn.addEventListener('click', () => { shown = TASKS[cur].steps.length; render(); }); + resetBtn.addEventListener('click', () => { shown = 1; render(); }); + load(0); + })(); + + /* === IV2 — калькулятор log_a (kx + n) = b === */ + (function(){ + const aI = document.getElementById('p9-iv2-a'); + const kI = document.getElementById('p9-iv2-k'); + const nI = document.getElementById('p9-iv2-n'); + const bI = document.getElementById('p9-iv2-b'); + const go = document.getElementById('p9-iv2-go'); + const out = document.getElementById('p9-iv2-out'); + const fb = document.getElementById('p9-iv2-fb'); + const used = new Set(); + let _done = false; + + document.querySelectorAll('#p9-iv2 [data-set]').forEach(btn => { + btn.addEventListener('click', () => { + const v = btn.dataset.set.split(','); + aI.value = v[0]; kI.value = v[1]; nI.value = v[2]; bI.value = v[3]; + calc(); + }); + }); + + function aLabel(a){ + if(a === 10) return '\\lg'; + return '\\log_{' + a + '}'; + } + function fxLabel(k, n){ + let s = ''; + if(k === 1) s = 'x'; + else if(k === -1) s = '-x'; + else s = k + 'x'; + if(n > 0) s += ' + ' + n; + else if(n < 0) s += ' - ' + (-n); + return s; + } + + function calc(){ + const a = parseFloat(aI.value); + const k = parseFloat(kI.value); + const n = parseFloat(nI.value); + const b = parseFloat(bI.value); + if(![a,k,n,b].every(isFinite)){ feedback(fb, false, '✗ Введи все четыре числа.'); return; } + if(a <= 0 || Math.abs(a - 1) < 1e-9){ feedback(fb, false, '✗ Основание $a$ должно быть $> 0$ и $\\ne 1$.'); return; } + if(k === 0){ feedback(fb, false, '✗ При $k = 0$ выражение под логарифмом не зависит от $x$.'); return; } + + const fx = fxLabel(k, n); + const eq = '$' + aLabel(a) + '(' + fx + ') = ' + b + '$'; + let html = '
Уравнение: '+eq+'
'; + + // ОДЗ: kx + n > 0 + let odzStr; + if(k > 0){ + const bound = -n / k; + odzStr = '$x > ' + (+bound.toFixed(4)) + '$'; + } else { + const bound = -n / k; + odzStr = '$x < ' + (+bound.toFixed(4)) + '$'; + } + html += '
ОДЗ: $' + fx + ' > 0 \\Rightarrow$ ' + odzStr + '.
'; + + // По определению: kx + n = a^b + const ab = Math.pow(a, b); + html += '
По определению логарифма: $' + fx + ' = ' + a + '^{' + b + '} = ' + (+ab.toFixed(4)) + '$.
'; + + // x = (a^b - n) / k + const xVal = (ab - n) / k; + html += '
Решаем: $x = \\dfrac{' + (+ab.toFixed(4)) + ' - (' + n + ')}{' + k + '} = ' + (+xVal.toFixed(4)) + '$.
'; + + // Проверка ОДЗ + const check = k * xVal + n; + const ok = check > 1e-9; + if(ok){ + html += '
Проверка ОДЗ: $' + fx.replace('x', '(' + (+xVal.toFixed(4)) + ')') + ' = ' + (+check.toFixed(4)) + ' > 0$ — корень подходит.
'; + html += '
$\\Rightarrow x = ' + (+xVal.toFixed(4)) + '$
'; + feedback(fb, true, '✓ Решено.'); + } else { + html += '
Проверка ОДЗ: аргумент логарифма получается $\\le 0$ — посторонний корень.
'; + html += '
Уравнение не имеет решений.
'; + feedback(fb, true, '✓ Решено: корней нет.'); + } + + out.innerHTML = html; + renderMath(out); + used.add(aI.value+','+kI.value+','+nI.value+','+bI.value); + if(!_done && used.size >= 4){ _done = true; addXp(10, 'p9-iv2'); bumpProgress('p9', 15); } + } + go.addEventListener('click', calc); + [aI, kI, nI, bI].forEach(i => i.addEventListener('keydown', e => { if(e.key === 'Enter') calc(); })); + calc(); + })(); + + /* === IV3 — посторонний корень или нет? === */ + (function(){ + const OPTS = ['Подходит', 'Посторонний']; + const Q = [ + { q: '$\\log_2 (x + 1) = 3$, найден $x = 7$', ans: 0, hint: 'ОДЗ: $x + 1 > 0 \\Rightarrow x > -1$. $7 > -1$ — подходит.' }, + { q: '$\\log_2 (x - 5) = 1$, найден $x = 7$', ans: 0, hint: 'ОДЗ: $x - 5 > 0 \\Rightarrow x > 5$. $7 > 5$ — подходит.' }, + { q: '$\\log_3 (x - 1) + \\log_3 (x + 1) = 1$, найден $x = -2$', ans: 1, hint: 'ОДЗ исходного: $x - 1 > 0$ и $x + 1 > 0 \\Rightarrow x > 1$. $-2 < 1$ — посторонний.' }, + { q: '$\\log_2 (4 - x) = 0$, найден $x = 3$', ans: 0, hint: 'ОДЗ: $4 - x > 0 \\Rightarrow x < 4$. $3 < 4$ — подходит (и $4 - 3 = 1 > 0$).' }, + { q: '$\\lg (x^2 - 5) = \\lg (4x)$, найден $x = -1$', ans: 1, hint: 'ОДЗ: $4x > 0 \\Rightarrow x > 0$. $-1 < 0$ — посторонний.' }, + { q: '$\\log_5 (x - 3) = 1$, найден $x = 8$', ans: 0, hint: 'ОДЗ: $x - 3 > 0 \\Rightarrow x > 3$. $8 > 3$ — подходит ($x - 3 = 5 > 0$).' }, + ]; + let i = 0, score = 0; + const qEl = document.getElementById('p9-iv3-q'); + const oEl = document.getElementById('p9-iv3-opts'); + const fb = document.getElementById('p9-iv3-fb'); + const iEl = document.getElementById('p9-iv3-i'); + const sEl = document.getElementById('p9-iv3-s'); + + function show(){ + if(i >= Q.length){ + qEl.innerHTML = 'Готово! Результат: '+score+' / '+Q.length; + oEl.innerHTML = ''; + if(score === Q.length){ addXp(15, 'p9-iv3'); bumpProgress('p9', 25); } + else if(score >= 4){ addXp(8, 'p9-iv3'); bumpProgress('p9', 15); } + return; + } + iEl.textContent = (i + 1); + sEl.textContent = score; + const item = Q[i]; + qEl.innerHTML = item.q; + oEl.innerHTML = OPTS.map((o, k) => '').join(''); + fb.style.display = 'none'; + renderMath(qEl); + oEl.querySelectorAll('button').forEach(b => { + b.addEventListener('click', () => { + const k = +b.dataset.k; + if(k === item.ans){ score++; feedback(fb, true, '✓ Верно! '+item.hint+' Дальше ▶'); } + else feedback(fb, false, '✗ Неверно. Правильно: '+OPTS[item.ans]+'. '+item.hint+' Дальше ▶'); + sEl.textContent = score; + oEl.querySelectorAll('button').forEach(x => x.disabled = true); + i++; + setTimeout(show, 1700); + }); + }); + } + document.getElementById('p9-iv3-restart').addEventListener('click', () => { i = 0; score = 0; show(); }); + show(); + })(); + + /* === IV4 — тренажёр уравнений === */ + (function(){ + const Q = [ + { q: '$\\log_3 x = 2$', ans: 9, hint: '$x = 3^2 = 9$.' }, + { q: '$\\log_2 (x - 1) = 3$', ans: 9, hint: '$x - 1 = 2^3 = 8 \\Rightarrow x = 9$.' }, + { q: '$\\lg (x + 1) = 2$', ans: 99, hint: '$x + 1 = 10^2 = 100 \\Rightarrow x = 99$.' }, + { q: '$\\log_5 (2x + 1) = 1$', ans: 2, hint: '$2x + 1 = 5 \\Rightarrow x = 2$.' }, + { q: '$\\log_2^2 x - 5 \\log_2 x + 6 = 0$ — введи сумму корней', ans: 12, hint: 'Замена $t = \\log_2 x$: $t = 2$ или $t = 3$. Корни $x = 4, x = 8$, сумма $= 12$.' }, + { q: '$\\log_3 x + \\log_3 (x - 2) = 1$ — введи корень', ans: 3, hint: 'ОДЗ $x > 2$. $x(x-2) = 3 \\Rightarrow x^2 - 2x - 3 = 0 \\Rightarrow x = 3$ или $-1$. $-1$ — посторонний.' }, + ]; + let i = 0, score = 0; + function show(){ + const qEl = document.getElementById('p9-iv4-q'); + const iEl = document.getElementById('p9-iv4-i'); + const sEl = document.getElementById('p9-iv4-s'); + const fb = document.getElementById('p9-iv4-fb'); + const ansI = document.getElementById('p9-iv4-ans'); + if(i >= Q.length){ + qEl.innerHTML = 'Готово! Результат: '+score+' / '+Q.length; + if(score === Q.length){ addXp(15, 'p9-iv4'); bumpProgress('p9', 25); } + else if(score >= 4){ addXp(8, 'p9-iv4'); bumpProgress('p9', 15); } + return; + } + iEl.textContent = (i + 1); + sEl.textContent = score; + qEl.innerHTML = Q[i].q; + ansI.value = ''; + renderMath(qEl); + fb.style.display = 'none'; + setTimeout(() => ansI.focus(), 30); + } + function go(){ + if(i >= Q.length) return; + const fb = document.getElementById('p9-iv4-fb'); + const raw = document.getElementById('p9-iv4-ans').value.replace(',', '.'); + const ans = parseFloat(raw); + if(isNaN(ans)){ feedback(fb, false, '✗ Введи число.'); return; } + if(Math.abs(ans - Q[i].ans) < 0.05){ + score++; + feedback(fb, true, '✓ Верно! '+Q[i].hint+' Дальше ▶'); + } else { + feedback(fb, false, '✗ Неверно. Ответ: $'+Q[i].ans+'$. '+Q[i].hint+' Дальше ▶'); + } + document.getElementById('p9-iv4-s').textContent = score; + i++; + setTimeout(show, 1700); + } + document.getElementById('p9-iv4-go').addEventListener('click', go); + document.getElementById('p9-iv4-ans').addEventListener('keydown', e => { if(e.key === 'Enter') go(); }); + document.getElementById('p9-iv4-start').addEventListener('click', () => { i = 0; score = 0; show(); }); + show(); + })(); + wireReadBtn('p9'); }