Наклонная и её проекция · теорема о 3 перпендикулярах
+
Наклонная и её проекция · теорема о трёх перпендикулярах (ТТП)
-
- В разработке (Волна W6)
- Параграф появится в следующей волне: теорема о трёх перпендикулярах и углы наклонных в кубе/пирамиде.
+
+
+
ОПРЕДЕЛЕНИЕ Угол между наклонной и плоскостью
+
+
Точка $A$ вне плоскости $\alpha$. $AH$ — перпендикуляр ($H \in \alpha$). $AB$ — наклонная ($B \in \alpha, B \neq H$). $HB$ — проекция наклонной. Углом между $AB$ и $\alpha$ называется $\angle ABH$ — угол между наклонной и её проекцией.
+
+
+
+
ТТП Теорема о трёх перпендикулярах
+
+
Если из основания $H$ перпендикуляра $AH$ к плоскости $\alpha$ провести в плоскости $\alpha$ прямую $BC \perp HB$, то и наклонная $AB \perp BC$. Обратное верно: $AB \perp BC \Rightarrow HB \perp BC$.
+
+
+
+
+ 9.1
+
Наклонная и проекция
+
+
Если $A \notin \alpha$, $AH \perp \alpha$ ($H \in \alpha$), а $AB$ — отрезок до $B \in \alpha, B \neq H$, то:
+
+
$AH$ — перпендикуляр из $A$;
+
$AB$ — наклонная;
+
$HB$ — проекция наклонной $AB$.
+
+
+
+
+
+ 9.2
+
Угол между прямой и плоскостью
+
+
Углом между наклонной и плоскостью называется угол между наклонной и её проекцией на эту плоскость: $\varphi = \angle ABH$.
+
Для перпендикулярной прямой угол с плоскостью равен $90°$.
+
Для прямой, лежащей в плоскости (или параллельной ей) — $0°$.
+
+
+
+
+ 9.3
+
Теорема о трёх перпендикулярах
+
+
Прямая теорема: $AH \perp \alpha, BC \subset \alpha, HB \perp BC \Rightarrow AB \perp BC$.
+
Обратная теорема: $AH \perp \alpha, BC \subset \alpha, AB \perp BC \Rightarrow HB \perp BC$.
+
Часто применяется в задачах с пирамидами и призмами.
+
+
+
+
+ 9.4
+
Равные наклонные = равные проекции
+
+
Из одной точки $A$ к плоскости $\alpha$ проведены наклонные $AB_1$ и $AB_2$. Тогда:
- В разработке (Волна W6)
- Параграф появится в следующей волне: двугранный угол, линейный угол, признак $\alpha \perp \beta$.
+
+
+
ДВУГРАННЫЙ УГОЛ Полуплоскости с общим ребром
+
+
Двугранный угол — фигура из двух полуплоскостей с общим ребром $l$. Его величина измеряется линейным углом: из точки $M \in l$ в каждой полуплоскости проводят $MP \perp l$ и $MQ \perp l$. Тогда $\angle PMQ$ — линейный угол двугранного угла.
+
+
+
+
ПРИЗНАК $\alpha \perp \beta$, если $\alpha \supset l \perp \beta$
+
+
Если плоскость $\alpha$ содержит прямую $l$, перпендикулярную плоскости $\beta$, — то $\alpha \perp \beta$. Иначе: достаточно одной перпендикулярной к $\beta$ прямой в $\alpha$, чтобы плоскости были перпендикулярны.
+
+
+
+
+ 10.1
+
Двугранный угол
+
+
Двугранный угол — фигура из двух полуплоскостей с общим ребром $l$ (граней двугранного угла).
+
Двугранный угол может быть острым, прямым, тупым или развёрнутым.
+
+
+
+
+ 10.2
+
Линейный угол
+
+
Возьмём $M \in l$. В каждой полуплоскости проведём луч $\perp l$ из $M$. Угол между этими лучами — линейный угол.
+
Линейный угол не зависит от выбора точки $M$ на ребре.
+
+
+
+
+ 10.3
+
Перпендикулярные плоскости
+
+
Две плоскости называются перпендикулярными, если их двугранный угол прямой ($90°$).
+
Обозначение: $\alpha \perp \beta$.
+
+
+
+
+ 10.4
+
Признак $\alpha \perp \beta$
+
+
Если плоскость $\alpha$ содержит прямую $l$, перпендикулярную плоскости $\beta$, то $\alpha \perp \beta$.
+
Достаточно одной такой прямой.
+
+
+
+
+ 10.5
+
Свойство
+
+
Если $\alpha \perp \beta$ и из точки $M \in \alpha$ опустить перпендикуляр $MK$ в плоскости $\alpha$ к линии пересечения $\alpha \cap \beta$, то $MK \perp \beta$.
+
Перпендикуляр к ребру двугранного угла в одной из полуплоскостей перпендикулярен другой плоскости.
+
+
+
+
+ 10.6
+
⊥-плоскости в кубе
+
+
В кубе все смежные грани перпендикулярны. Например, $ABCD \perp ABB_1A_1$, потому что ребро $AA_1 \subset ABB_1A_1$ и $AA_1 \perp ABCD$ — выполнен признак.
+
Каждая грань куба перпендикулярна 4 соседним и параллельна 1 противоположной.
+
+
+
+
+
+
+
1
+
Двугранный угол: понимаешь?
+
0 / 5
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
2
+
Признак перпендикулярности плоскостей
+
0 / 5
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
3
+
Перпендикулярность граней куба
+
0 / 5
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
@@ -703,6 +939,119 @@ function buildDistanceDetail(){
document.getElementById('viz8-detail').innerHTML = sc.render();
}
+/* ===== §9 SVGs ===== */
+function buildAngleViz(){
+ if (!window.STEREO3D) return setTimeout(buildAngleViz, 80);
+ var S = window.STEREO3D;
+ var sc = new S.Scene(440, 320, {view:'CABINET', scale:60});
+ sc.addPlane([0,0,0],[0,0,1],{size:2.2, label:'α'});
+ // Точка A над плоскостью
+ var A = [0, 0, 1.4];
+ var H = [0, 0, 0];
+ var B = [1.3, 0.4, 0];
+ sc.addVertex(A, 'A', {dx:10, dy:-6, color:'#dc2626'});
+ sc.addVertex(H, 'H', {dx:-18, dy:14, color:'#7c3aed'});
+ sc.addVertex(B, 'B', {dx:12, dy:10, color:'#1e3a8a'});
+ // AH — перпендикуляр
+ sc.addEdge(A, H, {stroke:'#dc2626', width:2.8});
+ // AB — наклонная
+ sc.addEdge(A, B, {stroke:'#1e3a8a', width:2.6});
+ // HB — проекция
+ sc.addEdge(H, B, {stroke:'#16a34a', width:2.6});
+ // Прямой угол при H
+ sc.addRightAngleMark(H, [0,0,0.3], [0.3, 0.1, 0], {color:'#7c3aed', width:1.5, size:0.18});
+ // Угол φ при B
+ sc.addAngleMark(B, A, H, {r:0.45, color:'#d97706', width:1.6, label:'φ'});
+ document.getElementById('viz9-angle').innerHTML = sc.render();
+}
+
+function buildTTPViz(){
+ if (!window.STEREO3D) return setTimeout(buildTTPViz, 80);
+ var S = window.STEREO3D;
+ var sc = new S.Scene(440, 320, {view:'CABINET', scale:60});
+ sc.addPlane([0,0,0],[0,0,1],{size:2.2, label:'α'});
+ var A = [0, 0, 1.3];
+ var H = [0, 0, 0];
+ var B = [1.2, 0, 0];
+ var C = [1.2, 0.9, 0];
+ sc.addVertex(A, 'A', {dx:10, dy:-6, color:'#dc2626'});
+ sc.addVertex(H, 'H', {dx:-18, dy:14, color:'#7c3aed'});
+ sc.addVertex(B, 'B', {dx:6, dy:14, color:'#1e3a8a'});
+ sc.addVertex(C, 'C', {dx:12, dy:-4, color:'#16a34a'});
+ // AH перпендикуляр
+ sc.addEdge(A, H, {stroke:'#dc2626', width:2.8});
+ // HB проекция
+ sc.addEdge(H, B, {stroke:'#7c3aed', width:2.4});
+ // BC — прямая в α перпендикулярная HB
+ sc.addEdge(B, C, {stroke:'#16a34a', width:2.6});
+ // AB наклонная
+ sc.addEdge(A, B, {stroke:'#1e3a8a', width:2.6});
+ // Прямые углы: при H (AH ⊥ HB), при B (HB ⊥ BC), при B (AB ⊥ BC по выводу)
+ sc.addRightAngleMark(H, [0,0,0.3], [0.3, 0, 0], {color:'#7c3aed', width:1.5, size:0.18});
+ sc.addRightAngleMark(B, [0.9, 0, 0], [1.2, 0.3, 0], {color:'#7c3aed', width:1.5, size:0.18});
+ document.getElementById('viz9-ttp').innerHTML = sc.render();
+}
+
+/* ===== §10 SVGs ===== */
+function buildDihedralViz(){
+ if (!window.STEREO3D) return setTimeout(buildDihedralViz, 80);
+ var S = window.STEREO3D;
+ var sc = new S.Scene(440, 320, {view:'CABINET', scale:60});
+ // Полуплоскость 1: горизонтальная (y >= 0)
+ // Полуплоскость 2: наклонена под 60° от первой
+ // Ребро l — ось x
+ // Рисуем как 2 параллелограмма
+ // Полуплоскость 1: точки (-1.4,0,0), (1.4,0,0), (1.4,1.2,0), (-1.4,1.2,0)
+ sc.addFace([[-1.4,0,0],[1.4,0,0],[1.4,1.2,0],[-1.4,1.2,0]], {fill:'#dbeafe', opacity:0.45, stroke:'#1e3a8a', strokeWidth:1.2});
+ // Полуплоскость 2: повёрнута на 60° вокруг x
+ var a = Math.PI / 3;
+ var ca = Math.cos(a), sa = Math.sin(a);
+ var rot60 = function(p){ return [p[0], p[1]*ca, p[1]*sa]; };
+ sc.addFace([
+ rot60([-1.4,0,0]),
+ rot60([1.4,0,0]),
+ rot60([1.4,1.2,0]),
+ rot60([-1.4,1.2,0])
+ ], {fill:'#fef3c7', opacity:0.50, stroke:'#d97706', strokeWidth:1.2});
+ // Ребро l
+ sc.addEdge([-1.5, 0, 0],[1.5, 0, 0], {stroke:'#dc2626', width:3});
+ sc.addLabel('l', [1.5, 0, 0], {dx:12, dy:-4, color:'#dc2626', fontSize:15, anchor:'start'});
+ // Точка M на ребре
+ var M = [0.2, 0, 0];
+ sc.addVertex(M, 'M', {dx:0, dy:14, color:'#0b1d33'});
+ // MP в первой полуплоскости перпендикулярно l (вдоль y)
+ var P = [0.2, 0.9, 0];
+ sc.addEdge(M, P, {stroke:'#1e3a8a', width:2.4});
+ sc.addVertex(P, 'P', {dx:8, dy:-4, color:'#1e3a8a'});
+ // MQ во второй полуплоскости перпендикулярно l (под 60° от MP)
+ var Q = rot60([0.2, 0.9, 0]);
+ sc.addEdge(M, Q, {stroke:'#d97706', width:2.4});
+ sc.addVertex(Q, 'Q', {dx:8, dy:-4, color:'#d97706'});
+ // Угол PMQ
+ sc.addAngleMark(M, P, Q, {r:0.40, color:'#7c3aed', width:1.6, label:'φ'});
+ // Прямые углы при M
+ sc.addRightAngleMark(M, [0.45, 0, 0], [0.2, 0.25, 0], {color:'#16a34a', width:1.4, size:0.16});
+ document.getElementById('viz10-dihedral').innerHTML = sc.render();
+}
+
+function buildPlanePerpSign(){
+ if (!window.STEREO3D) return setTimeout(buildPlanePerpSign, 80);
+ var S = window.STEREO3D;
+ var sc = new S.Scene(440, 320, {view:'CABINET', scale:55});
+ // β — горизонтальная
+ sc.addPlane([0,0,0],[0,0,1],{size:2.2, label:'β'});
+ // α — вертикальная (yz-плоскость, нормаль вдоль x)
+ sc.addPlane([0,0,0.6],[1,0,0],{size:1.5, label:'α', fill:'#fde047', opacity:0.30});
+ // Прямая l в α (вертикальная) перпендикулярна β
+ sc.addEdge([0,0,-0.2],[0,0,1.8], {stroke:'#dc2626', width:3});
+ sc.addLabel('l', [0,0,1.8], {dx:12, dy:-4, color:'#dc2626', fontSize:16, anchor:'start'});
+ // Точка O пересечения l и β
+ sc.addVertex([0,0,0], 'O', {dx:8, dy:14, color:'#0b1d33'});
+ // Прямой угол при O между l и β
+ sc.addRightAngleMark([0,0,0], [0,0,0.3], [0.3, 0, 0], {color:'#7c3aed', width:1.5, size:0.18});
+ document.getElementById('viz10-sign').innerHTML = sc.render();
+}
+
/* ========== Quiz Engine (shared) ========== */
function runQuizMC(opts){
var state = STATE.interactives[opts.id] || { idx: 0, solved: 0 };
@@ -880,6 +1229,57 @@ var i8TrueItems = [
{ q:'У двух параллельных плоскостей есть бесконечно много общих перпендикуляров одинаковой длины.', opts:['Верно','Неверно'], correct:0, explain:'Каждый перпендикуляр к плоскостям имеет одну и ту же длину — расстояние между ними.' }
];
+var i9ElemItems = [
+ { q:'Из точки $A$ к плоскости $\\alpha$: $AH \\perp \\alpha$, $H \\in \\alpha$. Чем называется $AH$?', opts:['Перпендикуляр','Наклонная','Проекция'], correct:0, explain:'Перпендикуляр.' },
+ { q:'Из точки $A$ к плоскости проведён отрезок $AB$, $B \\in \\alpha, B \\neq H$. Это…', opts:['Перпендикуляр','Наклонная','Проекция'], correct:1, explain:'Наклонная.' },
+ { q:'Отрезок $HB$ ($H$ — основание перпендикуляра, $B$ — конец наклонной) — это…', opts:['Перпендикуляр','Наклонная','Проекция'], correct:2, explain:'Проекция наклонной на плоскость.' },
+ { q:'Угол между прямой и плоскостью — это угол между…', opts:['Прямой и любой прямой плоскости','Прямой и её проекцией','Прямой и перпендикуляром'], correct:1, explain:'Наклонная и её проекция.' },
+ { q:'Чему равен угол между прямой и плоскостью, в которой она лежит?', opts:['$0°$','$45°$','$90°$'], correct:0, explain:'Прямая в плоскости даёт угол $0°$.' },
+ { q:'Чему равен угол между перпендикулярной к плоскости прямой и самой плоскостью?', opts:['$0°$','$45°$','$90°$'], correct:2, explain:'Перпендикулярная — даёт $90°$.' }
+];
+
+var i9CubeItems = [
+ { q:'Угол между ребром $AA_1$ и плоскостью $ABCD$ (нижняя грань)?', answer:'90', explain:'$AA_1 \\perp ABCD$ ⇒ угол $90°$.' },
+ { q:'Угол между ребром $AB$ и плоскостью $ABCD$?', answer:'0', explain:'Ребро лежит в плоскости — угол $0°$.' },
+ { q:'Угол между диагональю $AC$ и плоскостью $ABCD$?', answer:'0', explain:'Диагональ лежит в нижней плоскости.' },
+ { q:'$\\tg$ угла между $AC_1$ и плоскостью $ABCD$? (Куб с ребром 1.)', answer:['1/√2','1/sqrt(2)','√2/2','sqrt(2)/2','0.707'], explain:'$\\tg \\varphi = \\frac{AA_1}{AC} = \\frac{1}{\\sqrt{2}} = \\frac{\\sqrt{2}}{2}$.' },
+ { q:'Угол между диагональю $A_1C$ и плоскостью $A_1B_1C_1D_1$ — в градусах? (через $\\tg \\varphi = \\sqrt{2}$, ответ $\\approx$54.7°, округли до целого)', answer:['55','54','arctg(√2)','arctan(sqrt(2))'], explain:'Проекция $A_1C$ на верхнюю грань = $A_1C_1$ = $\\sqrt{2}$. $\\tg \\varphi = 1/\\sqrt{2}$... подожди. Перпендикуляр $CC_1 = 1$ (от $C$ до верх. грани). Проекция $C_1A_1 = \\sqrt{2}$. $\\tg \\varphi = 1/\\sqrt{2} \\approx 35°$. Округление: 35.' }
+];
+// Заметка: 5-я задача переформулирована — оставим ответ 35 (в градусах).
+i9CubeItems[4] = { q:'Угол между диагональю $A_1C$ и плоскостью $A_1B_1C_1D_1$ — в градусах, целое (формула $\\tg\\varphi = 1/\\sqrt{2}$, $\\varphi \\approx ?$).', answer:'35', explain:'$\\tg \\varphi = \\frac{1}{\\sqrt{2}} \\approx 0.707 \\Rightarrow \\varphi \\approx 35°$.' };
+
+var i9TtpItems = [
+ { q:'$AH \\perp \\alpha$, $BC \\subset \\alpha$, $HB \\perp BC$. Вывод по ТТП?', opts:['$AB \\perp BC$','$AB \\parallel BC$','Ничего'], correct:0, explain:'Прямая ТТП: $AB \\perp BC$.' },
+ { q:'$AH \\perp \\alpha$, $BC \\subset \\alpha$, $AB \\perp BC$. Вывод по обратной ТТП?', opts:['$HB \\perp BC$','$HB \\parallel BC$','Ничего'], correct:0, explain:'Обратная ТТП: $HB \\perp BC$.' },
+ { q:'Если $BC \\not\\subset \\alpha$ (т.е. $BC$ не лежит в плоскости), применима ли ТТП?', opts:['Да','Нет'], correct:1, explain:'ТТП требует, чтобы $BC$ лежало в той же плоскости, что и проекция.' },
+ { q:'Если $AH$ — не перпендикуляр, а наклонная, применима ли ТТП?', opts:['Да','Нет'], correct:1, explain:'ТТП требует именно перпендикуляр $AH$.' },
+ { q:'В пирамиде высота $SO \\perp$ основание. Грань $SAB$. Перпендикулярна ли $SAB$ ребру $CD$ в основании? (При условии $OB \\perp CD$)', opts:['Да, по ТТП','Нет','Нужны дополнительные данные'], correct:0, explain:'$SO \\perp$ основание, $CD$ в основании, $OB \\perp CD$ ⇒ по ТТП $SB \\perp CD$.' }
+];
+
+var i10DihedralItems = [
+ { q:'Двугранный угол — это…', opts:['Угол между прямыми','Фигура из 2 полуплоскостей с общим ребром','Угол наклонной','Угол между плоскостями (всегда острый)'], correct:1, explain:'2 полуплоскости с общим ребром.' },
+ { q:'Линейный угол двугранного угла строится…', opts:['Произвольно','Перпендикуляром к ребру из точки $M \\in l$','Через диагональ','Через высоту'], correct:1, explain:'Лучи $\\perp l$ в каждой полуплоскости.' },
+ { q:'Зависит ли линейный угол от выбора точки $M$ на ребре?', opts:['Да','Нет'], correct:1, explain:'Не зависит — все линейные углы двугранного угла равны.' },
+ { q:'Две плоскости называются перпендикулярными, если…', opts:['Параллельны','Их двугранный угол равен $90°$','Они совпадают','Их пересекает прямая'], correct:1, explain:'Линейный угол $= 90°$.' },
+ { q:'Чему равен линейный угол развёрнутого двугранного угла?', opts:['$0°$','$90°$','$180°$','$360°$'], correct:2, explain:'Развёрнутый — это $180°$.' }
+];
+
+var i10SignItems = [
+ { q:'Прямая $l \\subset \\alpha$, $l \\perp \\beta$. Вывод?', opts:['$\\alpha \\parallel \\beta$','$\\alpha \\perp \\beta$','$\\alpha = \\beta$'], correct:1, explain:'Признак $\\alpha \\perp \\beta$.' },
+ { q:'Достаточно ли $\\alpha$ содержать ОДНУ прямую, перпендикулярную $\\beta$, для перпендикулярности плоскостей?', opts:['Да','Нет, нужно две','Нужно три'], correct:0, explain:'Одной прямой достаточно — это и есть признак.' },
+ { q:'Если плоскость $\\alpha$ содержит прямую, параллельную $\\beta$, можем ли мы заключить $\\alpha \\perp \\beta$?', opts:['Да','Нет'], correct:1, explain:'Параллельная прямая — это про параллельность плоскостей, а не перпендикулярность.' },
+ { q:'$\\alpha \\perp \\beta$. Опускаем из $M \\in \\alpha$ перпендикуляр в $\\alpha$ к линии пересечения. Этот перпендикуляр…', opts:['$\\parallel \\beta$','$\\perp \\beta$','$\\subset \\beta$'], correct:1, explain:'Перпендикулярен второй плоскости (свойство).' },
+ { q:'Если плоскость $\\alpha$ перпендикулярна плоскости $\\beta$, а $\\beta \\perp \\gamma$, то $\\alpha \\perp \\gamma$?', opts:['Всегда','Не обязательно','Никогда'], correct:1, explain:'Перпендикулярность плоскостей не транзитивна — могут быть и параллельны, и пересекаться под любым углом.' }
+];
+
+var i10CubeItems = [
+ { q:'Куб: плоскости граней $ABCD$ и $ABB_1A_1$ — это…', opts:['Параллельны','Перпендикулярны','Пересекаются под $45°$'], correct:1, explain:'Смежные грани куба перпендикулярны: $AA_1 \\subset ABB_1A_1$ и $AA_1 \\perp ABCD$ — признак.' },
+ { q:'Куб: плоскости $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ — это…', opts:['Параллельны','Перпендикулярны','Совпадают'], correct:0, explain:'Противоположные грани — параллельны.' },
+ { q:'Сколько граней куба перпендикулярно одной заданной грани?', opts:['2','3','4','6'], correct:2, explain:'4 смежные грани перпендикулярны; 1 параллельна.' },
+ { q:'Куб: плоскости $ABB_1A_1$ и $BCC_1B_1$ (две соседние боковые) — это…', opts:['Параллельны','Перпендикулярны','Пересекаются под $60°$'], correct:1, explain:'Соседние боковые грани куба перпендикулярны (общее ребро $BB_1$, линейный угол — между $BA$ и $BC$, равен $90°$).' },
+ { q:'Куб: диагональная плоскость $ACC_1A_1$ и нижняя грань $ABCD$ — это…', opts:['Параллельны','Перпендикулярны','Под $45°$'], correct:1, explain:'$AA_1 \\subset ACC_1A_1$ и $AA_1 \\perp ABCD$ ⇒ $ACC_1A_1 \\perp ABCD$.' }
+];
+
/* ========== Bosses ========== */
var BOSS_DEFS = {
7: {
@@ -903,6 +1303,29 @@ var BOSS_DEFS = {
{ q:'Куб с ребром $2$. Расстояние между параллельными гранями?', type:'input', a:'2', explain:'Расстояние = ребро = 2.' },
{ q:'Расстояние между скрещ. прямыми — это длина чего?', type:'mc', opts:['Любого отрезка','Общего перпендикуляра','Касательной','Биссектрисы'], correct:1, explain:'Общего перпендикуляра.' }
]
+ },
+ 9: {
+ title:'§9 — Угол и ТТП',
+ xp:70,
+ stages:[
+ { q:'Из точки $A$ к плоскости проведены $AH$ (перпендикуляр), $AB$ (наклонная). Что такое $HB$?', type:'mc', opts:['Перпендикуляр','Наклонная','Проекция'], correct:2, explain:'Проекция наклонной.' },
+ { q:'Угол между наклонной и плоскостью — это угол между…', type:'mc', opts:['Наклонной и перпендикуляром','Наклонной и проекцией','Наклонной и любой прямой'], correct:1, explain:'Наклонная и её проекция.' },
+ { q:'ТТП: $AH \\perp \\alpha, BC \\subset \\alpha, HB \\perp BC$. Вывод про $AB$ и $BC$?', type:'mc', opts:['$AB \\perp BC$','$AB \\parallel BC$','Ничего'], correct:0, explain:'$AB \\perp BC$ — прямая ТТП.' },
+ { q:'Угол между диагональю куба $AC_1$ и плоскостью $ABCD$ ($\\tg \\varphi = 1/\\sqrt{2}$, $\\varphi \\approx ?°$, округли до целого)', type:'input', a:'35', explain:'$\\varphi \\approx 35{,}26°$.' },
+ { q:'Чему равен угол между прямой $a \\subset \\alpha$ и плоскостью $\\alpha$?', type:'input', a:'0', explain:'$0°$ — прямая лежит в плоскости.' }
+ ]
+ },
+ 10: {
+ title:'§10 — Перпендикулярность плоскостей',
+ xp:75,
+ stages:[
+ { q:'Двугранный угол — это…', type:'mc', opts:['Угол между плоскостями','2 полуплоскости с общим ребром','Угол между прямыми','Угол наклонной'], correct:1, explain:'2 полуплоскости + ребро.' },
+ { q:'Линейный угол двугранного угла строится…', type:'mc', opts:['Произвольно','Перпендикулярами к ребру в каждой полуплоскости','Через высоту','Через диагональ'], correct:1, explain:'Перпендикуляры к ребру.' },
+ { q:'Плоскость $\\alpha \\supset l \\perp \\beta$. Вывод?', type:'mc', opts:['$\\alpha \\parallel \\beta$','$\\alpha \\perp \\beta$','$\\alpha = \\beta$'], correct:1, explain:'Признак: $\\alpha \\perp \\beta$.' },
+ { q:'Сколько граней куба перпендикулярно одной заданной грани?', type:'input', a:'4', explain:'4 смежные.' },
+ { q:'Куб: плоскости $ABB_1A_1$ и $CDD_1C_1$ — это…', type:'mc', opts:['Параллельны','Перпендикулярны','Совпадают'], correct:0, explain:'Это противоположные боковые грани — параллельны.' },
+ { q:'Линейный угол развёрнутого двугранного угла равен … градусов', type:'input', a:'180', explain:'$180°$ — развёрнутый угол.' }
+ ]
}
};
@@ -1028,6 +1451,10 @@ function start(){
buildPerpSign();
buildDistanceCases();
buildDistanceDetail();
+ buildAngleViz();
+ buildTTPViz();
+ buildDihedralViz();
+ buildPlanePerpSign();
runQuizMC({ id:'i7-perp', items:i7PerpItems, xpPerAll:14, title:'перпендикулярность' });
runQuizMC({ id:'i7-sign', items:i7SignItems, xpPerAll:12, title:'признак' });
@@ -1037,12 +1464,24 @@ function start(){
runQuizMC({ id:'i8-type', items:i8TypeItems, xpPerAll:12, title:'тип расстояния' });
runQuizMC({ id:'i8-true', items:i8TrueItems, xpPerAll:10, title:'верно/неверно' });
+ runQuizMC({ id:'i9-elem', items:i9ElemItems, xpPerAll:12, title:'элементы наклонной' });
+ runQuizInput({ id:'i9-cube', items:i9CubeItems, xpPerAll:16, title:'углы в кубе' });
+ runQuizMC({ id:'i9-ttp', items:i9TtpItems, xpPerAll:12, title:'ТТП' });
+
+ runQuizMC({ id:'i10-dihedral', items:i10DihedralItems, xpPerAll:12, title:'двугранный угол' });
+ runQuizMC({ id:'i10-sign', items:i10SignItems, xpPerAll:12, title:'признак ⊥ плоскостей' });
+ runQuizMC({ id:'i10-cube', items:i10CubeItems, xpPerAll:12, title:'⊥ грани куба' });
+
renderBoss(7);
renderBoss(8);
+ renderBoss(9);
+ renderBoss(10);
document.getElementById('mark-7').addEventListener('click', function(){ markRead(7); });
document.getElementById('mark-8').addEventListener('click', function(){ markRead(8); });
- refreshMarkBtn(7); refreshMarkBtn(8);
+ document.getElementById('mark-9').addEventListener('click', function(){ markRead(9); });
+ document.getElementById('mark-10').addEventListener('click', function(){ markRead(10); });
+ refreshMarkBtn(7); refreshMarkBtn(8); refreshMarkBtn(9); refreshMarkBtn(10);
refreshTabs();
var tabs = document.querySelectorAll('.sec-tab[data-tab]');