Финальный раздел курса. ПДСК, векторы и скалярное произведение — мощный аппарат для решения стереометрических задач: расстояний, углов, перпендикулярности.
Прямоугольная декартова система координат — три попарно перпендикулярные оси с общим началом $O$.
Оси: $Ox$ (абсцисс), $Oy$ (ординат), $Oz$ (аппликат).
Точка $M$ имеет три координаты $(x;\,y;\,z)$ — это её проекции на оси.
$M_x$ — проекция на $Ox$, и т.д. Точка $M$ восстанавливается, если из проекций провести перпендикуляры к осям.
Три координатные плоскости разбивают пространство на 8 октантов.
$|AB| = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2}$.
Расстояние от точки до начала: $|OM| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.
Середина $M$ отрезка $AB$:
$M\left(\dfrac{x_A+x_B}{2};\,\dfrac{y_A+y_B}{2};\,\dfrac{z_A+z_B}{2}\right)$.
Вектор — направленный отрезок $\vec{AB}$ с началом $A$ и концом $B$.
Длина (модуль): $|\vec{AB}| = |AB|$. Нулевой вектор: $\vec{0}$.
Два вектора равны, если они сонаправлены и имеют равные длины.
Вектор можно «переносить» параллельно — это не меняет его как геометрический объект.
Правило треугольника: $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$.
Правило параллелограмма: сумма — диагональ параллелограмма.
Свойства: коммутативность $\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$, ассоциативность.
$k\,\vec{a}$ — вектор той же ($k > 0$) или противоположной ($k < 0$) направленности, с длиной $|k|\cdot|\vec{a}|$.
Если $\vec{a} = (x;y;z)$, то $k\vec{a} = (kx;\,ky;\,kz)$.
Если $A(x_1;y_1;z_1)$ и $B(x_2;y_2;z_2)$, то $\vec{AB} = (x_2-x_1;\,y_2-y_1;\,z_2-z_1)$.
Длина: $|\vec{AB}| = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$.
Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны, если $\vec{a} = k\,\vec{b}$ для некоторого $k$.
В координатах: $\dfrac{x_a}{x_b} = \dfrac{y_a}{y_b} = \dfrac{z_a}{z_b}$ (где определено).
$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\cos\varphi$, где $\varphi$ — угол между векторами.
Результат — число, не вектор.
Если $\vec{a} = (x_1;y_1;z_1)$, $\vec{b} = (x_2;y_2;z_2)$, то:
$\vec{a}\cdot\vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2$.
$\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a}\cdot\vec{b} = 0$.
Это удобный критерий: $x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2 = 0$.
$\cos\varphi = \dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}$.
В координатах: $\cos\varphi = \dfrac{x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}\cdot\sqrt{x_2^2+y_2^2+z_2^2}}$.
Плоскость с нормалью $\vec{n}=(A;B;C)$, проходящая через $M_0(x_0;y_0;z_0)$:
$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$.
Общий вид: $Ax + By + Cz + D = 0$.
Если направляющие векторы — $\vec{a}, \vec{b}$, то:
$\cos\varphi = \dfrac{|\vec{a}\cdot\vec{b}|}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}$ (модуль — чтобы $\varphi \in [0;90°]$).
$\sin\varphi = \dfrac{|\vec{a}\cdot\vec{n}|}{|\vec{a}|\cdot|\vec{n}|}$,
где $\vec{a}$ — направляющая прямой, $\vec{n}$ — нормаль плоскости.
$\cos\varphi = \dfrac{|\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}|}{|\vec{n_1}|\cdot|\vec{n_2}|}$.
Используются нормали плоскостей.
$\rho(M, \alpha) = \dfrac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$.
Универсальная формула для любой плоскости в общем виде.
Векторно-координатный метод эффективен, когда:
stereo10_r4_master
stereo10_r1_master
stereo10_r2_master
stereo10_r3_master
stereo10_master