From d387018ee558b4628293ea164ab27bf9b9cdabf2 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Maxim Dolgolyov Date: Fri, 29 May 2026 16:16:02 +0300 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?feat(geom10=20W14):=20r4=20(=D0=9A=D0=BE=D0=BE?= =?UTF-8?q?=D1=80=D0=B4=D0=B8=D0=BD=D0=B0=D1=82=D1=8B=20=D0=B8=20=D0=B2?= =?UTF-8?q?=D0=B5=D0=BA=D1=82=D0=BE=D1=80=D1=8B)=20=D0=BF=D0=B5=D1=80?= =?UTF-8?q?=D0=B5=D0=BF=D0=B8=D1=81=D0=B0=D0=BD=20=D0=B2=20=D1=81=D1=82?= =?UTF-8?q?=D0=B8=D0=BB=D0=B5=20geom11=20=E2=80=94=20=D1=84=D0=B8=D0=BD?= =?UTF-8?q?=D0=B0=D0=BB=20=D0=BA=D1=83=D1=80=D1=81=D0=B0?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit Раздел 4 §11-§14 + Финал курса + МЕГА-АЧИВКА stereo10_master: - §11 Координаты: 3 карточки + SVG ПДСК + SVG расстояния + 3 интерактива + Босс §11 (+70 XP) - §12 Векторы: 3 карточки + SVG сложения + SVG базиса + 3 интерактива + Босс §12 (+70 XP) - §13 Скаляр. произв.: 3 карточки + SVG + 3 интерактива + Босс §13 (+70 XP) - §14 Применение: алгоритм + SVG куба в коорд. + 3 интерактива + Босс §14 (+80 XP) - Финал: 4 интегр. босса + celebration → ачивка stereo10_r4_master + 120 XP ★ ГЛАВНАЯ МЕХАНИКА: если у пользователя есть все 4 ачивки разделов (stereo10_r1_master + r2 + r3 + r4) — автоматически выдаётся МЕГА-АЧИВКА stereo10_master + 200 XP супер-бонус. Если каких-то ачивок нет — celebration показывает список недостающих разделов. Архитектура geom11_ch1: - 2-кол layout с sticky col-side (XP/cheat sheet) - Hero с amber-фоном (#78350f→#d97706→#fcd34d) - psel-grid тапы для переключения параграфов - formula-plate для красивых формул - KaTeX onload renderMathInElement Тема: amber (--pri:#d97706, --pri2:#b45309) LocalStorage: geometry10_r4_*, geometry10_achievements (общий) ИТОГ: Геометрия 10 (5 файлов: hub + r1-r4) переписана в едином стиле geom11. 4 раздела, 14 параграфов, ~50 интерактивов, ~30 боссов, 5 ачивок. --- frontend/textbooks/geometry_10_r4.html | 2607 ++++++++++-------------- 1 file changed, 1065 insertions(+), 1542 deletions(-) diff --git a/frontend/textbooks/geometry_10_r4.html b/frontend/textbooks/geometry_10_r4.html index a1ad0ac..22a2d49 100644 --- a/frontend/textbooks/geometry_10_r4.html +++ b/frontend/textbooks/geometry_10_r4.html @@ -1,1646 +1,1169 @@ - + - -Геометрия 10 · Раздел 4 · Координаты и векторы - + + +Геометрия 10 · Раздел 4 · «Координаты и векторы» + - + - + +
-
+
- - - К курсу - -
-
-

Раздел 4. Координаты и векторы

-
ПДСК в пространстве · Векторы · Скалярное произведение · Применение
+

Геометрия 10 · Раздел 4

+
Координаты и векторы · ПДСК в пространстве · векторы · скалярное произведение · применение
- 0 XP - + К геометрии 10 + +
- - -
- - -
-
-
§ 11
-
-

Координаты в пространстве

-
ПДСК · точка $M(x;\,y;\,z)$ · расстояние между точками
-
-
- -
-
ПДСК Прямоугольная система координат в пространстве
-
-
Три взаимно перпендикулярные оси $Ox$, $Oy$, $Oz$ с общим началом $O$. Точка $M$ задаётся тремя координатами $(x;\,y;\,z)$ — это проекции на оси. Здесь показана точка $M(2;\,3;\,4)$ с пунктирными проекциями.
-
- -
-
РАССТОЯНИЕ Формула $|AB|$ в пространстве
-
-
- Если $A(x_1;\,y_1;\,z_1)$ и $B(x_2;\,y_2;\,z_2)$, то
- $|AB| = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$ -
-
Формула — обобщение теоремы Пифагора. $|AB|$ — диагональ прямоугольного параллелепипеда с измерениями $|\Delta x|$, $|\Delta y|$, $|\Delta z|$.
-
- -
-
- 11.1 -
ПДСК
-
-

Прямоугольная декартова система координат — три попарно перпендикулярные оси с общим началом $O$.

-

Оси: $Ox$ (абсцисс), $Oy$ (ординат), $Oz$ (аппликат).

-
-
- -
- 11.2 -
Координаты точки
-
-

Точка $M$ имеет три координаты $(x;\,y;\,z)$ — это её проекции на оси.

-

$M_x$ — проекция на $Ox$, и т.д. Точка $M$ восстанавливается, если из проекций провести перпендикуляры к осям.

-
-
- -
- 11.3 -
Координатные плоскости
-
-
    -
  • $Oxy$ — плоскость $z = 0$;
    • -
  • $Oxz$ — плоскость $y = 0$;
    • -
  • $Oyz$ — плоскость $x = 0$.
    • -
-

Три координатные плоскости разбивают пространство на 8 октантов.

-
-
- -
- 11.4 -
Расстояние между точками
-
-

$|AB| = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2}$.

-

Расстояние от точки до начала: $|OM| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.

-
-
- -
- 11.5 -
Координаты середины отрезка
-
-

Середина $M$ отрезка $AB$:

-

$M\left(\dfrac{x_A+x_B}{2};\,\dfrac{y_A+y_B}{2};\,\dfrac{z_A+z_B}{2}\right)$.

-
-
- -
- 11.6 -
Координаты особых точек
-
-
    -
  • Начало координат: $O(0;\,0;\,0)$.
    • -
  • Точка на оси $Ox$: $(a;\,0;\,0)$.
    • -
  • Точка в плоскости $Oxy$: $(x;\,y;\,0)$.
    • -
-
-
-
- -
-
-
1
-
Где находится точка?
-
0 / 6
-
-
-
-
-
-
-
- -
-
-
2
-
Расстояние между точками
-
0 / 5
-
-
-
-
- - -
-
-
-
- -
-
-
3
-
Середина отрезка
-
0 / 5
-
-
-
-
- - -
-
-
-
- -
- -
- -
-
- - -
-
-
§ 12
-
-

Векторы. Действия над векторами

-
Определения · сложение · умножение на число · базис $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$
-
-
- -
-
СЛОЖЕНИЕ Правило треугольника и параллелограмма
-
-
Сумма $\vec{a} + \vec{b}$: совмещаем начало $\vec{b}$ с концом $\vec{a}$; результирующий вектор — от начала $\vec{a}$ к концу $\vec{b}$. Эквивалентно: $\vec{a}+\vec{b}$ — диагональ параллелограмма, построенного на $\vec{a}$ и $\vec{b}$.
-
- -
-
БАЗИС Единичные векторы $\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$
-
-
- Любой вектор: $\vec{a} = x\,\vec{i} + y\,\vec{j} + z\,\vec{k}$  ⇔  $\vec{a} = (x;\,y;\,z)$ -
-
Три единичных вектора $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ вдоль осей $Ox, Oy, Oz$ образуют базис. Любой вектор однозначно раскладывается по базису — его координаты совпадают с коэффициентами.
-
- -
-
- 12.1 -
Вектор
-
-

Вектор — направленный отрезок $\vec{AB}$ с началом $A$ и концом $B$.

-

Длина (модуль): $|\vec{AB}| = |AB|$. Нулевой вектор: $\vec{0}$.

-
-
- -
- 12.2 -
Равные векторы
-
-

Два вектора равны, если они сонаправлены и имеют равные длины.

-

Вектор можно «переносить» параллельно — это не меняет его как геометрический объект.

-
-
- -
- 12.3 -
Сложение
-
-

Правило треугольника: $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$.

-

Правило параллелограмма: сумма — диагональ параллелограмма.

-

Свойства: коммутативность $\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$, ассоциативность.

-
-
- -
- 12.4 -
Умножение на число
-
-

$k\,\vec{a}$ — вектор той же ($k > 0$) или противоположной ($k < 0$) направленности, с длиной $|k|\cdot|\vec{a}|$.

-

Если $\vec{a} = (x;y;z)$, то $k\vec{a} = (kx;\,ky;\,kz)$.

-
-
- -
- 12.5 -
Координаты вектора
-
-

Если $A(x_1;y_1;z_1)$ и $B(x_2;y_2;z_2)$, то $\vec{AB} = (x_2-x_1;\,y_2-y_1;\,z_2-z_1)$.

-

Длина: $|\vec{AB}| = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$.

-
-
- -
- 12.6 -
Коллинеарность
-
-

Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны, если $\vec{a} = k\,\vec{b}$ для некоторого $k$.

-

В координатах: $\dfrac{x_a}{x_b} = \dfrac{y_a}{y_b} = \dfrac{z_a}{z_b}$ (где определено).

-
-
-
- -
-
-
1
-
Сложение и умножение векторов
-
0 / 5
-
-
-
-
- - -
-
-
-
- -
-
-
2
-
Координаты $\vec{AB}$
-
0 / 5
-
-
-
-
- - -
-
-
-
- -
-
-
3
-
Коллинеарны ли векторы?
-
0 / 5
-
-
-
-
-
-
-
- -
- -
- -
-
- - -
-
-
§ 13
-
-

Скалярное произведение векторов

-
Геометрический смысл · координатная формула · угол между векторами
-
-
- -
-
СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ Геометрический смысл
-
-
- Геометрически: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\cos\varphi$
- В координатах: $\vec{a}\cdot\vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2$ -
-
Скалярное произведение двух векторов — число (скаляр), равное произведению длин векторов на косинус угла между ними.
-
- -
-
- 13.1 -
Определение
-
-

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\cos\varphi$, где $\varphi$ — угол между векторами.

-

Результат — число, не вектор.

-
-
- -
- 13.2 -
Координатная формула
-
-

Если $\vec{a} = (x_1;y_1;z_1)$, $\vec{b} = (x_2;y_2;z_2)$, то:

-

$\vec{a}\cdot\vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2$.

-
-
- -
- 13.3 -
Свойства
-
-
    -
  • $\vec{a}\cdot\vec{a} = |\vec{a}|^2$;
    • -
  • $\vec{a}\cdot\vec{b} = \vec{b}\cdot\vec{a}$ (коммутативность);
    • -
  • $(k\vec{a})\cdot\vec{b} = k(\vec{a}\cdot\vec{b})$;
    • -
  • $(\vec{a}+\vec{b})\cdot\vec{c} = \vec{a}\cdot\vec{c} + \vec{b}\cdot\vec{c}$.
    • -
-
-
- -
- 13.4 -
Перпендикулярность
-
-

$\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a}\cdot\vec{b} = 0$.

-

Это удобный критерий: $x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2 = 0$.

-
-
- -
- 13.5 -
Угол между векторами
-
-

$\cos\varphi = \dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}$.

-

В координатах: $\cos\varphi = \dfrac{x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}\cdot\sqrt{x_2^2+y_2^2+z_2^2}}$.

-
-
- -
- 13.6 -
Знак скалярного произведения
-
-
    -
  • $\vec{a}\cdot\vec{b} > 0 \Leftrightarrow \varphi < 90°$ (острый);
    • -
  • $\vec{a}\cdot\vec{b} = 0 \Leftrightarrow \varphi = 90°$;
    • -
  • $\vec{a}\cdot\vec{b} < 0 \Leftrightarrow \varphi > 90°$ (тупой).
    • -
-
-
-
- -
-
-
1
-
Вычисли $\vec{a}\cdot\vec{b}$
-
0 / 5
-
-
-
-
- - -
-
-
-
- -
-
-
2
-
Перпендикулярны ли векторы?
-
0 / 5
-
-
-
-
-
-
-
- -
-
-
3
-
Найди $\cos$ угла между $\vec{a}$ и $\vec{b}$
-
0 / 4
-
-
-
-
- - -
-
-
-
- -
- -
- -
-
- - -
-
-
§ 14
-
-

Применение векторно-координатного метода

-
Решение задач стереометрии через координаты и векторы
-
-
- -
-
КУБ В КООРДИНАТАХ $A(0;0;0)$ … $C_1(1;1;1)$
-
-
Размещаем куб с ребром 1 в координатах: $A(0;0;0)$, $B(1;0;0)$, $C(1;1;0)$, $D(0;1;0)$, $A_1(0;0;1)$, $B_1(1;0;1)$, $C_1(1;1;1)$, $D_1(0;1;1)$. Через координаты легко вычислять любые расстояния и углы.
-
- -
- Алгоритм решения:
- 1) ввести ПДСК так, чтобы основные точки имели простые координаты;
- 2) выписать координаты нужных точек;
- 3) вычислить векторы и применить формулы $|\vec{AB}|$, $\vec{a}\cdot\vec{b}$, $\cos\varphi$. -
- -
-
- 14.1 -
Уравнение плоскости
-
-

Плоскость с нормалью $\vec{n}=(A;B;C)$, проходящая через $M_0(x_0;y_0;z_0)$:

-

$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$.

-

Общий вид: $Ax + By + Cz + D = 0$.

-
-
- -
- 14.2 -
Угол между прямыми
-
-

Если направляющие векторы — $\vec{a}, \vec{b}$, то:

-

$\cos\varphi = \dfrac{|\vec{a}\cdot\vec{b}|}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}$ (модуль — чтобы $\varphi \in [0;90°]$).

-
-
- -
- 14.3 -
Угол между прямой и плоскостью
-
-

$\sin\varphi = \dfrac{|\vec{a}\cdot\vec{n}|}{|\vec{a}|\cdot|\vec{n}|}$,

-

где $\vec{a}$ — направляющая прямой, $\vec{n}$ — нормаль плоскости.

-
-
- -
- 14.4 -
Угол между плоскостями
-
-

$\cos\varphi = \dfrac{|\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}|}{|\vec{n_1}|\cdot|\vec{n_2}|}$.

-

Используются нормали плоскостей.

-
-
- -
- 14.5 -
Расстояние от точки до плоскости
-
-

$\rho(M, \alpha) = \dfrac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$.

-

Универсальная формула для любой плоскости в общем виде.

-
-
- -
- 14.6 -
Когда применять
-
-

Векторно-координатный метод эффективен, когда:

-
    -
  • в задаче много прямых углов (куб, прямоугольный параллелепипед);
    • -
  • требуется доказать перпендикулярность;
    • -
  • сложные углы между скрещ. прямыми, наклонными.
    • -
-
-
-
- -
-
-
1
-
Куб: координаты и расстояния
-
0 / 5
-
-
-
-
- - -
-
-
-
- -
-
-
2
-
Угол через скалярное произведение
-
0 / 4
-
-
-
-
- - -
-
-
-
- -
-
-
3
-
Выбор метода
-
0 / 5
-
-
-
-
-
-
-
- -
- -
- -
-
- -
-
-
★
-
-

Финал раздела 4

-
4 интегральных босса · ачивка «Геометрия 10 пройдена!»
-
-
- -
-
ФИНАЛЬНОЕ ИСПЫТАНИЕ Победи 4 боссов подряд
-
Каждый босс — на одну тему: координаты и расстояния, векторы, скалярное произведение, сборная задача. После победы — ачивка stereo10_r4_master и +120 XP. Если у тебя уже есть все три ачивки stereo10_r1_master, stereo10_r2_master, stereo10_r3_master — получишь главную ачивку курса stereo10_master «Геометрия 10 пройдена!» + 200 XP мега-бонус.
-
- -
-
-
-
- - -
- + +
- + +
Достижение!