3 случая взаимного расположения прямых (включая скрещивающиеся!), признаки параллельности прямой и плоскости, признак параллельности плоскостей.
Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
Обозначение: $a \parallel b$.
Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.
Признак: если прямая $a \subset \alpha$, а прямая $b$ пересекает $\alpha$ в точке, не лежащей на $a$, — то $a$ и $b$ скрещиваются.
Через точку $M$, не лежащую на прямой $a$, проходит единственная прямая, параллельная $a$.
Транзитивность: если $a \parallel b$ и $b \parallel c$, то $a \parallel c$.
Углом между пересекающимися прямыми — острый или прямой угол между ними.
Углом между скрещивающимися прямыми $a$ и $b$ называется угол между двумя пересекающимися прямыми $a' \parallel a$ и $b' \parallel b$ (выбираются в общей точке).
Расстояние между скрещивающимися прямыми — длина их общего перпендикуляра (отрезка, перпендикулярного обеим прямым).
Общий перпендикуляр существует и единствен.
Если две прямые в пространстве не пересекаются и не параллельны — они скрещивающиеся.
Не пересекающиеся прямые могут быть параллельными (в одной плоскости) или скрещивающимися (в разных плоскостях).
Прямая называется параллельной плоскости, если они не имеют общих точек.
Обозначение: $a \parallel \alpha$.
Если прямая $a$ параллельна некоторой прямой $b \subset \alpha$ и не лежит в $\alpha$, то $a \parallel \alpha$.
Это удобный способ установить параллельность — найти в плоскости прямую, параллельную $a$.
Если $a \parallel \alpha$ и плоскость $\beta$, содержащая $a$, пересекает $\alpha$ по прямой $c$, то $a \parallel c$.
То есть линии пересечения параллельной плоскости с проходящей через прямую плоскостью — параллельны самой прямой.
Если $a \parallel \alpha$ и $b \parallel a$, то $b \parallel \alpha$ или $b \subset \alpha$.
Параллельность прямой плоскости — устойчивое свойство при параллельных переносах.
Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек.
Обозначение: $\alpha \parallel \beta$.
Если плоскость $\alpha$ содержит 2 пересекающиеся прямые $a$ и $b$, каждая из которых параллельна $\beta$ — то $\alpha \parallel \beta$.
Одной параллельной прямой недостаточно: нужно именно две пересекающиеся.
Если $\alpha \parallel \gamma$ и $\beta \parallel \gamma$, то $\alpha \parallel \beta$.
В кубе: верхняя и нижняя грани параллельны; левая и правая параллельны; передняя и задняя параллельны.
stereo10_r2_master