diff --git a/frontend/textbooks/algebra_10_ch1.html b/frontend/textbooks/algebra_10_ch1.html index b8ded8a..d52eb01 100644 --- a/frontend/textbooks/algebra_10_ch1.html +++ b/frontend/textbooks/algebra_10_ch1.html @@ -255,6 +255,7 @@ const ACH_LABELS = { p5_done:'Графики sin x и cos x — мастер!', p6_done:'Графики tg x и ctg x — знаешь!', p7_done:'Обратные тригонометрические — освоены!', + p8_done:'Тригонометрические уравнения — решаешь!', ch1_done:'Глава 1 — Тригонометрия пройдена!', }; @@ -285,6 +286,7 @@ function bumpProgress(key, delta){ else if(key==='p5') achievement('p5_done'); else if(key==='p6') achievement('p6_done'); else if(key==='p7') achievement('p7_done'); + else if(key==='p8') achievement('p8_done'); else if(key==='final1') achievement('ch1_done'); } } @@ -361,8 +363,7 @@ function buildParaSelector(){ const BUILT=new Set(); const BUILDERS = { p1:()=>buildP1(), p2:()=>buildP2(), p3:()=>buildP3(), p4:()=>buildP4(), - p5:()=>buildP5(), p6:()=>buildP6(), p7:()=>buildP7(), - p8:()=>buildStub('p8','§8 — Тригонометрические уравнения'), + p5:()=>buildP5(), p6:()=>buildP6(), p7:()=>buildP7(), p8:()=>buildP8(), p9:()=>buildStub('p9','§9 — Формулы приведения'), p10:()=>buildStub('p10','§10 — Синус, косинус, тангенс суммы и разности'), p11:()=>buildStub('p11','§11 — Формулы двойного аргумента'), @@ -445,6 +446,18 @@ const SIDEBARS = { ['Нечётные','$\\arcsin(-a) = -\\arcsin a$, $\\arctg$'], ['Не нечётные','$\\arccos(-a) = \\pi - \\arccos a$'], ]}, + p8:{title:'Шпаргалка §8',rows:[ + ['$\\sin x = a$','$x = (-1)^n\\arcsin a + \\pi n$'], + ['','при $|a| > 1$ — нет корней'], + ['$\\cos x = a$','$x = \\pm\\arccos a + 2\\pi n$'], + ['','при $|a| > 1$ — нет корней'], + ['$\\tg x = a$','$x = \\arctg a + \\pi n$'], + ['$\\ctg x = a$','$x = \\arcctg a + \\pi n$'], + ['$\\sin x = 0$','$x = \\pi n$'], + ['$\\sin x = 1$','$x = \\frac{\\pi}{2} + 2\\pi n$'], + ['$\\cos x = 0$','$x = \\frac{\\pi}{2} + \\pi n$'], + ['$\\cos x = 1$','$x = 2\\pi n$'], + ]}, }; const TIPS=[ @@ -455,6 +468,7 @@ const TIPS=[ {sec:'p5',html:'$\\cos x$ — это $\\sin x$, сдвинутый влево на $\\frac{\\pi}{2}$. Графики выглядят одинаково, но смещены: где у sin ноль — у cos максимум, и наоборот.'}, {sec:'p6',html:'tg x имеет вертикальные асимптоты в $\\frac{\\pi}{2} + \\pi n$ (там, где $\\cos x = 0$). ctg x — в $\\pi n$ (там, где $\\sin x = 0$). Период $\\pi$, а не $2\\pi$ — это короче, чем у sin/cos.'}, {sec:'p7',html:'Главные значения: $\\arcsin$ и $\\arctg$ — от $-\\frac{\\pi}{2}$ до $\\frac{\\pi}{2}$; $\\arccos$ и $\\arcctg$ — от $0$ до $\\pi$. Это всегда!'}, + {sec:'p8',html:'Перед формулой проверь: $|a| > 1$ для sin и cos — корней НЕТ. Если $a = 0, \\pm 1$ — используй особые случаи, они проще общих формул.'}, ]; function buildSidebar(id){ @@ -1929,6 +1943,240 @@ function buildP7(){ wireReadBtn('p7'); } +/* ============================================================ + § 8 — Тригонометрические уравнения + ============================================================ */ +function buildP8(){ + const box = document.getElementById('p8-body'); + const A = window.ALG10; + let html = ''; + + /* === SVG 1: геометрия решения sin x = a === */ + let svgSin = ''; + if(A){ + const c = A.tri.canvas({id:'p8-sin', W:320, H:320, R:120}); + const a = 0.5; /* sin x = 0.5 */ + const x1 = Math.asin(a); /* π/6 */ + const x2 = Math.PI - x1; /* 5π/6 */ + const yL = c.cy - a * c.R; + let s = c.open + + c.axes() + + c.circle({width:2}) + /* Горизонтальная линия y = a */ + + '' + + 'y = a' + /* Две точки пересечения */ + + c.radius(x1, {color:'#0d9488'}) + + c.point(x1, {color:'#0d9488', label:'P_{x_1}', labelOffset:18, fontSize:11}) + + c.radius(x2, {color:'#7c3aed'}) + + c.point(x2, {color:'#7c3aed', label:'P_{x_2}', labelOffset:18, fontSize:11}) + + 'x_1 = arcsin a, x_2 = π − arcsin a' + + c.close; + svgSin = s; + } + + /* === SVG 2: геометрия cos x = a === */ + let svgCos = ''; + if(A){ + const c = A.tri.canvas({id:'p8-cos', W:320, H:320, R:120}); + const a = 0.5; /* cos x = 0.5 */ + const x1 = Math.acos(a); + const x2 = -x1; + const xL = c.cx + a * c.R; + let s = c.open + + c.axes() + + c.circle({width:2}) + /* Вертикальная линия x = a */ + + '' + + 'x = a' + + c.radius(x1, {color:'#0d9488'}) + + c.point(x1, {color:'#0d9488', label:'P_{x_1}', labelOffset:18, fontSize:11}) + + c.radius(x2, {color:'#7c3aed'}) + + c.point(x2, {color:'#7c3aed', label:'P_{x_2}', labelOffset:18, fontSize:11}) + + 'x_{1,2} = ±arccos a' + + c.close; + svgCos = s; + } + + /* === SVG 3: геометрия tg x = a === */ + let svgTg = ''; + if(A){ + const c = A.tri.canvas({id:'p8-tg', W:340, H:320, R:120}); + const a = 0.6; /* tg x = 0.6 */ + const x1 = Math.atan(a); /* arctg a */ + const x2 = x1 + Math.PI; /* arctg a + π */ + const xAx = c.cx + c.R; + const yA = c.cy - a * c.R; + let s = c.open + + c.axes({xExt:c.R+40}) + + c.circle({width:2}) + + c.tgAxis() + /* Метка точки A_a на оси тангенсов */ + + '' + + 'A_a = (1; a)' + /* Линия от точки A через начало координат */ + + '' + + c.point(x1, {color:'#0d9488', label:'P_{x_1}', labelOffset:14, fontSize:10}) + + c.point(x2, {color:'#7c3aed', label:'P_{x_2}', labelOffset:14, fontSize:10}) + + 'x = arctg a + πn (одна формула!)' + + c.close; + svgTg = s; + } + + html += makeCard('theory', 'Зачем геометрия?', '8.1', ` +

Уравнение $\\sin x = a$ — это «на каких углах ордината точки $P_x$ равна $a$?». Геометрия даёт нам наглядный способ найти все решения.

+

В простейшем случае берём горизонтальную линию $y = a$ и находим точки её пересечения с единичной окружностью. От них уже получаем все остальные корни через периодичность.

`); + + html += makeCard('rule', 'Уравнение sin x = a', '8.2', ` +

Горизонтальная прямая $y = a$ пересекает единичную окружность в двух точках (если $|a| < 1$).

+
${svgSin}
+

Эти точки симметричны относительно оси $y$, поэтому:

+
    +
  • $x_1 = \\arcsin a + 2\\pi n$
    • +
  • $x_2 = \\pi - \\arcsin a + 2\\pi n$
    • +
+

Эти две серии объединяются одной формулой:

+

$x = (-1)^n \\arcsin a + \\pi n, \\quad n \\in \\mathbb{Z}$

+

При $|a| > 1$ — корней нет.

`); + + html += makeCard('rule', 'Уравнение cos x = a', '8.3', ` +

Вертикальная прямая $x = a$ пересекает окружность в двух точках, симметричных относительно оси $x$.

+
${svgCos}
+

Поэтому формула короче:

+

$x = \\pm \\arccos a + 2\\pi n, \\quad n \\in \\mathbb{Z}$

+

При $|a| > 1$ — корней нет.

`); + + html += makeCard('rule', 'Уравнение tg x = a', '8.4', ` +

На оси тангенсов отмечаем точку $A_a = (1;\\,a)$. Прямая через $O$ и $A_a$ пересекает окружность в двух точках, лежащих на одной прямой (симметрично относительно $O$).

+
${svgTg}
+

А период tg равен $\\pi$ — поэтому формула одна:

+

$x = \\arctg a + \\pi n, \\quad n \\in \\mathbb{Z}$

+

Для $\\ctg x = a$ аналогично: $x = \\arcctg a + \\pi n$.

+

Здесь $a$ любое — ограничений нет.

`); + + html += makeCard('algo', 'Особые случаи (запомнить!)', '8.5', ` +

Когда $a = 0, \\pm 1$ — лучше использовать частные формулы вместо общих:

+ + + + + + + + + + +
УравнениеРешение
$\\sin x = 0$$x = \\pi n$
$\\sin x = 1$$x = \\dfrac{\\pi}{2} + 2\\pi n$
$\\sin x = -1$$x = -\\dfrac{\\pi}{2} + 2\\pi n$
$\\cos x = 0$$x = \\dfrac{\\pi}{2} + \\pi n$
$\\cos x = 1$$x = 2\\pi n$
$\\cos x = -1$$x = \\pi + 2\\pi n$
$\\tg x = 0$$x = \\pi n$
$\\ctg x = 0$$x = \\dfrac{\\pi}{2} + \\pi n$
`); + + html += makeCard('algo', 'Метод замены переменной', '8.6', ` +

Если в уравнении встречается одна тригонометрическая функция — обозначь её переменной $t$ и реши получившееся алгебраическое уравнение.

+

Пример. $2\\sin^2 x - 3\\sin x + 1 = 0$.

+

Пусть $t = \\sin x$, тогда $2t^2 - 3t + 1 = 0$. Корни: $t_1 = 1, t_2 = 0{,}5$.

+

Возвращаемся: $\\sin x = 1$ или $\\sin x = 0{,}5$.

+
    +
  • $\\sin x = 1$ ⇒ $x = \\dfrac{\\pi}{2} + 2\\pi n$.
    • +
  • $\\sin x = 0{,}5$ ⇒ $x = (-1)^k \\dfrac{\\pi}{6} + \\pi k$.
    • +
`); + + html += makeCard('algo', 'Метод разложения на множители', '8.7', ` +

Если уравнение приводится к виду $f_1(x) \\cdot f_2(x) = 0$ — оно распадается на два простейших.

+

Пример. $\\sqrt{3}\\sin x = \\cos^2 x \\sin x$.

+

Переносим всё в одну сторону: $\\sin x (\\sqrt{3} - \\cos^2 x) = 0$.

+

Либо $\\sin x = 0$ (тогда $x = \\pi n$), либо $\\cos^2 x = \\sqrt{3} > 1$ — корней нет.

+

Итого: $x = \\pi n$.

`); + + html += makeCard('algo', 'Однородные уравнения', '8.8', ` +

Однородное 1-й степени $a\\sin x + b\\cos x = 0$ — делим на $\\cos x$ (при условии $\\cos x \\ne 0$, что проверяем): $a\\tg x + b = 0$ ⇒ $\\tg x = -\\dfrac{b}{a}$.

+

Однородное 2-й степени $a\\sin^2 x + b\\sin x \\cos x + c\\cos^2 x = 0$ — делим на $\\cos^2 x$: $a\\tg^2 x + b\\tg x + c = 0$. Замена $t = \\tg x$.

`); + + /* === ИНТЕРАКТИВ 1: Простейшие === */ + html += '
' + +'
ИНТЕРАКТИВ 1
Простейшие тригонометрические
' + +'
Для серий с πn — введи один корень в $[0;\\,2\\pi)$. Если корней несколько в этом промежутке — введи наименьший положительный.
' + +trainerHTML('p8-iv1', 10, 'корень в [0;2π)') + +'
'; + + /* === ИНТЕРАКТИВ 2: Сколько корней в промежутке === */ + html += '
' + +'
ИНТЕРАКТИВ 2
Сколько корней в промежутке?
' + +'
Найди серии корней, потом отсчитай, сколько из них попало в указанный промежуток.
' + +trainerHTML('p8-iv2', 6, 'число') + +'
'; + + /* === ИНТЕРАКТИВ 3: Замена/разложение === */ + html += '
' + +'
ИНТЕРАКТИВ 3
Замена переменной
' + +'
Сделай замену $t = \\sin x$ или $\\cos x$ и реши квадратное.
' + +trainerHTML('p8-iv3', 5, 'число корней в [0;2π)') + +'
'; + + /* === БОСС §8 — 6 этапов === */ + html += '

Босс §8 — Тригонометрические уравнения

'; + html += makeBoss('p8', { + color:'#dc2626', + title:'Босс §8 — Тригонометрические уравнения', + steps:[ + { q:'Уравнение $\\sin x = 2$ имеет корни? «да» или «нет»', verify:(v)=>String(v).trim().toLowerCase().startsWith('н'), hint:'$|2| > 1$, корней нет.' }, + { q:'Сколько корней у $\\sin x = 0{,}5$ на промежутке $[0;\\,2\\pi]$?', verify:(v)=>+v===2, hint:'$x_1 = \\pi/6$ и $x_2 = 5\\pi/6$ — обе в промежутке.' }, + { q:'Реши $\\cos x = -1$. Введи корень в $[0;\\,2\\pi]$ как pi (если ответ $\\pi$).', verify:(v)=>{const s=String(v).replace(/\\s/g,'').toLowerCase(); return s==='pi'||s==='π';}, hint:'$\\cos\\pi = -1$.' }, + { q:'Реши $2\\cos^2 x + 3\\cos x + 1 = 0$. Сколько корней в $[0;\\,2\\pi)$?', verify:(v)=>+v===3, hint:'$t = \\cos x$: $2t^2+3t+1=0$, $t = -1$ или $t = -1/2$. cos=−1: x=π. cos=−1/2: x=2π/3, 4π/3. Итого 3.' }, + { q:'Решает ли значение $x = \\dfrac{\\pi}{2}$ уравнение $\\sin x \\cos x = 0$? «да» или «нет»', verify:(v)=>String(v).trim().toLowerCase().startsWith('д'), hint:'$\\cos(\\pi/2) = 0$, произведение = 0 ✓.' }, + { q:'Реши $\\tg x = 1$. Введи наименьший положительный корень как pi/n.', verify:(v)=>{const s=String(v).replace(/\\s/g,'').toLowerCase(); return s==='pi/4'||s==='π/4';}, hint:'$\\arctg 1 = \\pi/4$, серия $x = \\pi/4 + \\pi n$.' }, + ] + }); + + html += secNav('p7', 'p9') + readButton('p8'); + box.innerHTML = html; renderMath(box); + + /* IV1: простейшие */ + makeTrainer({ + idPrefix:'p8-iv1', + parser:(v)=>v, + questions:[ + { q:'$\\sin x = 0$. Наименьший корень в $[0;\\,2\\pi)$?', a:(v)=>+v===0, show:'$0$' }, + { q:'$\\sin x = 1$. Корень в $[0;\\,2\\pi)$? (введи pi/n)', a:(v)=>{const s=String(v).replace(/\\s/g,'').toLowerCase(); return s==='pi/2'||s==='π/2';}, show:'$\\pi/2$' }, + { q:'$\\cos x = 1$. Наименьший корень в $[0;\\,2\\pi)$?', a:(v)=>+v===0, show:'$0$' }, + { q:'$\\cos x = -1$. Корень в $[0;\\,2\\pi)$?', a:(v)=>{const s=String(v).replace(/\\s/g,'').toLowerCase(); return s==='pi'||s==='π';}, show:'$\\pi$' }, + { q:'$\\sin x = 0{,}5$. Наименьший корень в $[0;\\,2\\pi)$? (pi/n)', a:(v)=>{const s=String(v).replace(/\\s/g,'').toLowerCase(); return s==='pi/6'||s==='π/6';}, show:'$\\pi/6$' }, + { q:'$\\cos x = 0{,}5$. Наименьший корень в $[0;\\,2\\pi)$? (pi/n)', a:(v)=>{const s=String(v).replace(/\\s/g,'').toLowerCase(); return s==='pi/3'||s==='π/3';}, show:'$\\pi/3$' }, + { q:'$\\sin x = -1$. Корень в $[0;\\,2\\pi)$? (введи 3pi/2)', a:(v)=>{const s=String(v).replace(/\\s/g,'').toLowerCase(); return s==='3pi/2'||s==='3π/2';}, show:'$3\\pi/2$' }, + { q:'$\\tg x = 0$. Наименьший корень в $[0;\\,2\\pi)$?', a:(v)=>+v===0, show:'$0$' }, + { q:'$\\tg x = \\sqrt{3}$. Наименьший корень в $[0;\\,2\\pi)$? (pi/n)', a:(v)=>{const s=String(v).replace(/\\s/g,'').toLowerCase(); return s==='pi/3'||s==='π/3';}, show:'$\\pi/3$' }, + { q:'$\\sin x = 3$. Сколько корней? (число)', a:(v)=>+v===0, show:'$0$ (нет, $|3|>1$)' }, + ], + onComplete:(s,n)=>{ if(s===n){addXp(22,'p8-iv1');bumpProgress('p8',32);} else if(s>=6){addXp(11,'p8-iv1');bumpProgress('p8',16);} } + }); + + /* IV2: сколько корней */ + makeTrainer({ + idPrefix:'p8-iv2', + questions:[ + { q:'Сколько корней у $\\sin x = 0$ на $[0;\\,2\\pi]$?', a:3, show:'3 ($0, \\pi, 2\\pi$)' }, + { q:'Сколько корней у $\\sin x = 0{,}5$ на $[0;\\,2\\pi]$?', a:2, show:'2 ($\\pi/6$ и $5\\pi/6$)' }, + { q:'Сколько корней у $\\cos x = 0$ на $[0;\\,2\\pi]$?', a:2, show:'2 ($\\pi/2$ и $3\\pi/2$)' }, + { q:'Сколько корней у $\\cos x = 1$ на $[0;\\,2\\pi]$?', a:2, show:'2 ($0$ и $2\\pi$)' }, + { q:'Сколько корней у $\\tg x = 1$ на $[0;\\,\\pi]$?', a:1, show:'1 ($\\pi/4$)' }, + { q:'Сколько корней у $\\sin x = \\dfrac{\\sqrt{2}}{2}$ на $[0;\\,4\\pi]$?', a:4, show:'4 (на каждом периоде по 2)' }, + ], + onComplete:(s,n)=>{ if(s===n){addXp(18,'p8-iv2');bumpProgress('p8',26);} else if(s>=4){addXp(9,'p8-iv2');bumpProgress('p8',12);} } + }); + + /* IV3: замена */ + makeTrainer({ + idPrefix:'p8-iv3', + questions:[ + { q:'$2\\sin^2 x - \\sin x = 0$. Сколько корней в $[0;\\,2\\pi)$?', a:4, show:'4 ($\\sin x(2\\sin x - 1) = 0$: sin x = 0 ⇒ 0, π; sin x = 1/2 ⇒ π/6, 5π/6)' }, + { q:'$\\cos^2 x = 1$. Сколько корней в $[0;\\,2\\pi)$?', a:2, show:'2 (cos x = ±1 ⇒ x = 0, π)' }, + { q:'$2\\sin^2 x - 3\\sin x + 1 = 0$. Сколько корней в $[0;\\,2\\pi)$?', a:3, show:'3 (sin = 1: π/2; sin = 1/2: π/6, 5π/6)' }, + { q:'$\\sin^2 x + \\sin x = 0$. Сколько корней в $[0;\\,2\\pi)$?', a:3, show:'3 (sin x = 0: 0, π; sin x = -1: 3π/2)' }, + { q:'$\\tg^2 x - 1 = 0$. Сколько корней в $[0;\\,2\\pi)$?', a:4, show:'4 (tg = ±1, серии π/4 + πn/2)' }, + ], + onComplete:(s,n)=>{ if(s===n){addXp(18,'p8-iv3');bumpProgress('p8',26);} else if(s>=2){addXp(9,'p8-iv3');bumpProgress('p8',12);} } + }); + + wireReadBtn('p8'); +} +