Прямая ⊥ плоскость · Расстояния · Углы · Двугранный угол. Раздел содержит 4 параграфа и финальный этап с боссами.
-
-
-
-
-
+
+
+
§ 7
-
-
Перпендикулярность прямой и плоскости
-
Определение, признак перпендикулярности.
-
-
- Будет добавлено в следующей волне реализации
+
+
Перпендикулярность прямой и плоскости
+
Определение · признак · свойства · связь с параллельностью
+
+
+
+
+
ОПРЕДЕЛЕНИЕ Прямая, перпендикулярная плоскости
+
+
Прямая $l$ перпендикулярна плоскости $\alpha$, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку пересечения. Обозначение: $l \perp \alpha$.
+
+
+
+
ПРИЗНАК $l \perp m,\ l \perp n,\ m \cap n = O \Rightarrow l \perp \alpha$
+
+
Если прямая $l$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $m$ и $n$ в плоскости $\alpha$, то $l \perp \alpha$. Двух пересекающихся достаточно — необязательно проверять все прямые плоскости.
+
+
+
+
+ 7.1
+
Определение
+
+
Прямая $l$ называется перпендикулярной плоскости $\alpha$, если она перпендикулярна каждой прямой в $\alpha$, проходящей через точку их пересечения.
+
Обозначение: $l \perp \alpha$.
-
-
+
+ 7.2
+
Признак перпендикулярности
+
+
Если прямая $l$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $m$ и $n$ плоскости $\alpha$, то $l \perp \alpha$.
+
Это основной инструмент для доказательства перпендикулярности.
+
+
+
+
+ 7.3
+
Свойство
+
+
Если $l \perp \alpha$, то $l$ перпендикулярна любой прямой плоскости $\alpha$ (не только проходящей через точку пересечения, но и параллельной ей).
+
$l \perp \alpha,\ a \subset \alpha \Rightarrow l \perp a$.
+
+
+
+
+ 7.4
+
Параллельность и перпендикулярность
+
+
Если $l \perp \alpha$ и $l \parallel l'$, то $l' \perp \alpha$.
+
Если $l_1 \perp \alpha$ и $l_2 \perp \alpha$, то $l_1 \parallel l_2$.
+
Две прямые, перпендикулярные одной плоскости, всегда параллельны между собой.
+
+
+
+
+ 7.5
+
Существование и единственность
+
+
Через любую точку пространства проходит единственная прямая, перпендикулярная данной плоскости.
+
Через любую точку плоскости — единственная прямая, перпендикулярная этой плоскости.
+
+
+
+
+ 7.6
+
Куб и перпендикулярность
+
+
В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$: ребро $AA_1$ перпендикулярно нижней грани $ABCD$, потому что $AA_1 \perp AB$ и $AA_1 \perp AD$ (две пересек. прямые в плоскости).
От точки до плоскости, между параллельными плоскостями, между скрещивающимися.
-
-
- Будет добавлено в следующей волне реализации
+
+
Расстояния в пространстве
+
Точка ↔ плоскость · параллельные плоскости · скрещивающиеся прямые
+
+
+
+
+
4 ВИДА РАССТОЯНИЙ Все через перпендикуляр
+
+
Точка → плоскость
+
Прямая ∥ плоскость
+
Парал. плоскости
+
Скрещ. прямые
+
+
Расстояние в стереометрии — всегда длина перпендикуляра. От точки до плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного из точки.
+
+
+
+
ТОЧКА И ПЛОСКОСТЬ Расстояние $\rho(A, \alpha) = |AO|$
+
+
Точка $A$ вне плоскости $\alpha$. Опускаем перпендикуляр $AO$ ($O \in \alpha$). Длина $|AO|$ — расстояние от $A$ до $\alpha$. Любая наклонная $AB$ всегда длиннее перпендикуляра.
+
+
+
+
+ 8.1
+
Расстояние от точки до плоскости
+
+
Длина перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на плоскость $\alpha$.
+
Перпендикуляр короче любой наклонной из той же точки.
-
-
+
+ 8.2
+
От прямой до параллельной плоскости
+
+
Если $a \parallel \alpha$, то расстояние от $a$ до $\alpha$ — это расстояние от любой точки прямой $a$ до $\alpha$ (оно постоянно).
+
+
+
+
+ 8.3
+
Между параллельными плоскостями
+
+
Длина общего перпендикуляра между $\alpha \parallel \beta$. Равна расстоянию от любой точки одной плоскости до другой.
+
+
+
+
+ 8.4
+
Между скрещивающимися прямыми
+
+
Длина общего перпендикуляра к двум скрещивающимся прямым.
+
Общий перпендикуляр существует, единствен и перпендикулярен обеим прямым.
+
+
+
+
+ 8.5
+
Свойство перпендикуляра
+
+
Перпендикуляр из точки на плоскость — это кратчайший отрезок от точки до плоскости.
+
Если из точки опущен перпендикуляр $AO$ и наклонная $AB$, то $|AO| \le |AB|$, причём равенство — только если $B = O$.
+
+
+
+
+ 8.6
+
Куб: типовые расстояния
+
+
В кубе с ребром $a$:
+
+
Расстояние от $A$ до плоскости $A_1B_1C_1D_1$ равно $a$ (ребро $AA_1$).
+
Расстояние между рёбрами $AB$ и $C_1D_1$ равно $a\sqrt{2}$ (диагональ грани).
+
Расстояние между $AB$ и $CC_1$ равно $a$ (ребро $BC$).
+
+
+
+
+
+
+
+
1
+
Расстояния в кубе (ребро $a = 1$)
+
0 / 6
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
2
+
Какое расстояние ищется?
+
0 / 5
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
3
+
Верно или неверно
+
0 / 5
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
§ 9
-
-
Угол между прямой и плоскостью
-
Наклонная и её проекция. Теорема о трёх перпендикулярах.
-
-
- Будет добавлено в следующей волне реализации
-
+
+
Угол между прямой и плоскостью
+
Наклонная и её проекция · теорема о 3 перпендикулярах
-
+
+
+ В разработке (Волна W6)
+ Параграф появится в следующей волне: теорема о трёх перпендикулярах и углы наклонных в кубе/пирамиде.
+