From e6a1a697bda7886d9cf317003be1fd4b7c3bb404 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Maxim Dolgolyov Date: Fri, 29 May 2026 15:14:50 +0300 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?feat(geom10=20W5):=20=D0=A0=D0=B0=D0=B7=D0=B4?= =?UTF-8?q?=D0=B5=D0=BB=203=20=C2=A77=20+=20=C2=A78=20=E2=80=94=20=D0=9F?= =?UTF-8?q?=D0=B5=D1=80=D0=BF=D0=B5=D0=BD=D0=B4=D0=B8=D0=BA=D1=83=D0=BB?= =?UTF-8?q?=D1=8F=D1=80=D0=BD=D0=BE=D1=81=D1=82=D1=8C=20=D0=B8=20=D1=80?= =?UTF-8?q?=D0=B0=D1=81=D1=81=D1=82=D0=BE=D1=8F=D0=BD=D0=B8=D1=8F?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit §7 Перпендикулярность прямой и плоскости: - SVG определения: плоскость α + вертикальная l + 4 прямые в α с маркерами 90° - SVG признака: l + m + n пересекающиеся в O, прямые углы - 6 теоретических карточек (определение, признак, свойства, параллельность+⊥, существование, куб) - 3 тренажёра: перпендикулярна ли (6), применение признака (5), ⊥ в кубе (5) - Босс §7: 5 этапов, +70 XP §8 Расстояния: - 4 случая side-by-side (точка→плоскость / прямая∥плоскость / парал. плоскости / скрещ. прямые) - Детальный SVG: точка A над плоскостью + перпендикуляр AO + наклонная AB - 6 теоретических карточек - 3 тренажёра: расстояния в кубе (6, с поддержкой √2 / sqrt(2) / корень), какой тип задачи (5), верно/неверно (5) - Босс §8: 5 этапов, +70 XP - normalizeAns: общая утилита для ввода √2, sqrt(2), корень2, 1.41, 1.414 §9, §10, Финал — stub до W6/W7. --- frontend/textbooks/geometry_10_r3.html | 1059 ++++++++++++++++++++++-- 1 file changed, 976 insertions(+), 83 deletions(-) diff --git a/frontend/textbooks/geometry_10_r3.html b/frontend/textbooks/geometry_10_r3.html index 6036e0d..34779ca 100644 --- a/frontend/textbooks/geometry_10_r3.html +++ b/frontend/textbooks/geometry_10_r3.html @@ -4,67 +4,164 @@ -Геометрия 10 · Перпендикулярность - +Геометрия 10 · Раздел 3 · Перпендикулярность + - + @@ -74,14 +171,15 @@ html.dark .para-status{background:rgba(255,255,255,.06)}
- К курсу геометрии 10 + К курсу

Раздел 3. Перпендикулярность

-
Прямая ⊥ плоскость · Расстояния · Углы · Двугранный угол · §7–§10 + Финал
+
Прямая ⊥ плоскость · Расстояния · Углы · Двугранный угол
+ 0 XP
+ +
-
- Раздел 3 -

Перпендикулярность

-

Прямая ⊥ плоскость · Расстояния · Углы · Двугранный угол. Раздел содержит 4 параграфа и финальный этап с боссами.

-
- -
- -
+ +
+
§ 7
-
-

Перпендикулярность прямой и плоскости

-

Определение, признак перпендикулярности.

-
- - Будет добавлено в следующей волне реализации +
+

Перпендикулярность прямой и плоскости

+
Определение · признак · свойства · связь с параллельностью
+
+
+ +
+
ОПРЕДЕЛЕНИЕ Прямая, перпендикулярная плоскости
+
+
Прямая $l$ перпендикулярна плоскости $\alpha$, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку пересечения. Обозначение: $l \perp \alpha$.
+
+ +
+
ПРИЗНАК $l \perp m,\ l \perp n,\ m \cap n = O \Rightarrow l \perp \alpha$
+
+
Если прямая $l$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $m$ и $n$ в плоскости $\alpha$, то $l \perp \alpha$. Двух пересекающихся достаточно — необязательно проверять все прямые плоскости.
+
+ +
+
+ 7.1 +
Определение
+
+

Прямая $l$ называется перпендикулярной плоскости $\alpha$, если она перпендикулярна каждой прямой в $\alpha$, проходящей через точку их пересечения.

+

Обозначение: $l \perp \alpha$.

-
-
+
+ 7.2 +
Признак перпендикулярности
+
+

Если прямая $l$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $m$ и $n$ плоскости $\alpha$, то $l \perp \alpha$.

+

Это основной инструмент для доказательства перпендикулярности.

+
+
+ +
+ 7.3 +
Свойство
+
+

Если $l \perp \alpha$, то $l$ перпендикулярна любой прямой плоскости $\alpha$ (не только проходящей через точку пересечения, но и параллельной ей).

+

$l \perp \alpha,\ a \subset \alpha \Rightarrow l \perp a$.

+
+
+ +
+ 7.4 +
Параллельность и перпендикулярность
+
+

Если $l \perp \alpha$ и $l \parallel l'$, то $l' \perp \alpha$.

+

Если $l_1 \perp \alpha$ и $l_2 \perp \alpha$, то $l_1 \parallel l_2$.

+

Две прямые, перпендикулярные одной плоскости, всегда параллельны между собой.

+
+
+ +
+ 7.5 +
Существование и единственность
+
+

Через любую точку пространства проходит единственная прямая, перпендикулярная данной плоскости.

+

Через любую точку плоскости — единственная прямая, перпендикулярная этой плоскости.

+
+
+ +
+ 7.6 +
Куб и перпендикулярность
+
+

В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$: ребро $AA_1$ перпендикулярно нижней грани $ABCD$, потому что $AA_1 \perp AB$ и $AA_1 \perp AD$ (две пересек. прямые в плоскости).

+

Аналогично — каждое боковое ребро перпендикулярно обоим основаниям.

+
+
+
+ +
+
+
1
+
Перпендикулярна ли прямая плоскости?
+
0 / 6
+
+
+
+
+
+
+
+ +
+
+
2
+
Применение признака
+
0 / 5
+
+
+
+
+
+
+
+ +
+
+
3
+
Перпендикулярность в кубе
+
0 / 5
+
+
+
+
+
+
+
+ +
+ +
+ +
+ + + +
+
§ 8
-
-

Расстояния

-

От точки до плоскости, между параллельными плоскостями, между скрещивающимися.

-
- - Будет добавлено в следующей волне реализации +
+

Расстояния в пространстве

+
Точка ↔ плоскость · параллельные плоскости · скрещивающиеся прямые
+
+
+ +
+
4 ВИДА РАССТОЯНИЙ Все через перпендикуляр
+
+
Точка → плоскость
+
Прямая ∥ плоскость
+
Парал. плоскости
+
Скрещ. прямые
+
+
Расстояние в стереометрии — всегда длина перпендикуляра. От точки до плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного из точки.
+
+ +
+
ТОЧКА И ПЛОСКОСТЬ Расстояние $\rho(A, \alpha) = |AO|$
+
+
Точка $A$ вне плоскости $\alpha$. Опускаем перпендикуляр $AO$ ($O \in \alpha$). Длина $|AO|$ — расстояние от $A$ до $\alpha$. Любая наклонная $AB$ всегда длиннее перпендикуляра.
+
+ +
+
+ 8.1 +
Расстояние от точки до плоскости
+
+

Длина перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на плоскость $\alpha$.

+

Перпендикуляр короче любой наклонной из той же точки.

- -
+
+ 8.2 +
От прямой до параллельной плоскости
+
+

Если $a \parallel \alpha$, то расстояние от $a$ до $\alpha$ — это расстояние от любой точки прямой $a$ до $\alpha$ (оно постоянно).

+
+
+ +
+ 8.3 +
Между параллельными плоскостями
+
+

Длина общего перпендикуляра между $\alpha \parallel \beta$. Равна расстоянию от любой точки одной плоскости до другой.

+
+
+ +
+ 8.4 +
Между скрещивающимися прямыми
+
+

Длина общего перпендикуляра к двум скрещивающимся прямым.

+

Общий перпендикуляр существует, единствен и перпендикулярен обеим прямым.

+
+
+ +
+ 8.5 +
Свойство перпендикуляра
+
+

Перпендикуляр из точки на плоскость — это кратчайший отрезок от точки до плоскости.

+

Если из точки опущен перпендикуляр $AO$ и наклонная $AB$, то $|AO| \le |AB|$, причём равенство — только если $B = O$.

+
+
+ +
+ 8.6 +
Куб: типовые расстояния
+
+

В кубе с ребром $a$:

+
    +
  • Расстояние от $A$ до плоскости $A_1B_1C_1D_1$ равно $a$ (ребро $AA_1$).
    • +
  • Расстояние между рёбрами $AB$ и $C_1D_1$ равно $a\sqrt{2}$ (диагональ грани).
    • +
  • Расстояние между $AB$ и $CC_1$ равно $a$ (ребро $BC$).
    • +
+
+
+
+ +
+
+
1
+
Расстояния в кубе (ребро $a = 1$)
+
0 / 6
+
+
+
+
+ + +
+
+
+
+ +
+
+
2
+
Какое расстояние ищется?
+
0 / 5
+
+
+
+
+
+
+
+ +
+
+
3
+
Верно или неверно
+
0 / 5
+
+
+
+
+
+
+
+ +
+ +
+ +
+
+ + +
+
§ 9
-
-

Угол между прямой и плоскостью

-

Наклонная и её проекция. Теорема о трёх перпендикулярах.

-
- - Будет добавлено в следующей волне реализации -
+
+

Угол между прямой и плоскостью

+
Наклонная и её проекция · теорема о 3 перпендикулярах
- +
+
+ В разработке (Волна W6) + Параграф появится в следующей волне: теорема о трёх перпендикулярах и углы наклонных в кубе/пирамиде. +
+
-
+ +
+
§ 10
-
-

Перпендикулярность плоскостей

-

Двугранный угол. Признак перпендикулярности плоскостей.

-
- - Будет добавлено в следующей волне реализации -
+
+

Перпендикулярность плоскостей

+
Двугранный угол · линейный угол · признак перпендикулярности плоскостей
-
- + +
+ В разработке (Волна W6) + Параграф появится в следующей волне: двугранный угол, линейный угол, признак $\alpha \perp \beta$. +
+ - + +
+
+
★
+
+

Финал раздела 3

+
5 интегральных боссов · ачивка «Перпендикулярность освоена»
+
+
+
+ Откроется в Волне W7 + Финал содержит 5 боссов и спецачивку stereo10_r3_master. +
+
@@ -161,6 +518,7 @@ html.dark .para-status{background:rgba(255,255,255,.06)}