diff --git a/backend/scripts/seed_ctmath_ce2024_v1.js b/backend/scripts/seed_ctmath_ce2024_v1.js
index ce6dfa5..5c1f227 100644
--- a/backend/scripts/seed_ctmath_ce2024_v1.js
+++ b/backend/scripts/seed_ctmath_ce2024_v1.js
@@ -48,189 +48,189 @@ const TASKS = [
opts: mc('$A$', '$B$', '$C$', '$D$', '$E$'),
answer: 'б',
sol: R`От $O$ вправо: $C=0{,}8$, $B=1{,}6$, $A=2{,}4$. Числу $1{,}6$ соответствует точка $B$.`,
- ref: 'Латотин «Математика, 6 кл.», гл. 5' },
+ ref: 'Математика, 6 класс, гл. 5' },
{ idx: 2, type: 'mc', topic: 'stereometry', subtopic: 'ster-basics', diff: 2,
text: R`На рисунке изображена правильная четырёхугольная пирамида $SABCD$, точка $O$ — точка пересечения диагоналей основания $ABCD$. Среди прямых $BC$, $BD$, $SO$, $SB$, $SD$ укажите прямую, по которой пересекаются плоскости $DSO$ и $SCB$.`,
opts: mc('$BC$', '$BD$', '$SO$', '$SB$', '$SD$'),
answer: 'г',
sol: R`Точка $O$ лежит на диагонали $BD$, поэтому плоскость $DSO$ совпадает с плоскостью $SBD$. Плоскости $SBD$ и $SCB$ имеют общие точки $S$ и $B$, поэтому пересекаются по прямой $SB$.`,
- ref: 'Латотин «Геометрия, 10 кл.», разд. 1, § 2' },
+ ref: 'Геометрия, 10 класс, разд. 1, § 2' },
{ idx: 3, type: 'mc', topic: 'trigonometry', subtopic: 'trig-circle', diff: 1,
text: R`Среди значений аргумента, равных $-\dfrac{\pi}{6}$, $\dfrac{\pi}{4}$, $\dfrac{\pi}{3}$, $-\dfrac{3\pi}{2}$, $-6\pi$, укажите то, при котором значение функции $y=\sin x$ равно нулю.`,
opts: mc('$-\dfrac{\pi}{6}$', '$\dfrac{\pi}{4}$', '$\dfrac{\pi}{3}$', '$-\dfrac{3\pi}{2}$', '$-6\pi$'),
answer: 'д',
sol: R`$\sin x=0$ при $x=\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$. Из данных значений этому условию удовлетворяет только $-6\pi$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 10 кл.», гл. 1, § 2' },
+ ref: 'Алгебра, 10 класс, гл. 1, § 2' },
{ idx: 4, type: 'mc', topic: 'numbers', subtopic: 'num-divisibility', diff: 1,
text: R`Укажите номер формулы, по которой можно найти делимое $n$ при делении с остатком, если делитель $15$, неполное частное $k$, остаток $7$ ($n$ — натуральное число).`,
opts: mc('$n=15(k+7)$', '$n=k+22$', '$n=15k+7$', '$n=7k+15$', '$n=7(k+15)$'),
answer: 'в',
sol: R`При делении с остатком $n=q\cdot b+r$, где $b$ — делитель, $q$ — неполное частное, $r$ — остаток. Значит, $n=15k+7$.`,
- ref: 'Герасимов «Математика, 5 кл.», ч. 1, гл. 1, § 11' },
+ ref: 'Математика, 5 класс, ч. 1, гл. 1, § 11' },
{ idx: 5, type: 'mc', topic: 'equations', subtopic: 'eq-rational', diff: 2,
text: R`Укажите номер квадратного уравнения, произведение действительных корней которого равно $5$.`,
opts: mc('$x^{2}-6x+5=0$', '$x^{2}-4x+5=0$', '$x^{2}-5x+6=0$', '$x^{2}+5x=0$', '$x^{2}-5=0$'),
answer: 'а',
sol: R`По теореме Виета произведение корней приведённого уравнения равно свободному члену. Произведение $5$ имеют уравнения 1 и 2, но у уравнения $x^{2}-4x+5=0$ дискриминант отрицателен (действительных корней нет). Значит, подходит $x^{2}-6x+5=0$ ($D=16>0$).`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 8 кл.», гл. 2' },
+ ref: 'Алгебра, 8 класс, гл. 2' },
{ idx: 6, type: 'open', topic: 'numbers', subtopic: 'num-real', diff: 2,
text: R`На координатной прямой изображён промежуток $(-6;9]$ (точка $-6$ не входит, точка $9$ входит). Укажите номера пар промежутков, объединением которых является этот промежуток.
1) $(-6;+\infty)$ и $(-6;9)$;
2) $(-6;0)$ и $[0;9]$;
3) $(-\infty;-6)$ и $(-\infty;9)$;
4) $(-6;9]$ и $(0;4)$;
5) $(-\infty;9]$ и $(-6;+\infty)$.
Ответ запишите цифрами в порядке возрастания, без пробелов.`,
answer: '24', ansShow: '2, 4',
sol: R`$2)$ $(-6;0)\cup[0;9]=(-6;9]$ — верно. $\ 4)$ $(-6;9]\cup(0;4)=(-6;9]$ (так как $(0;4)\subset(-6;9]$) — верно. Остальные дают другие множества: 1) $(-6;+\infty)$; 3) $(-\infty;9)$; 5) $\mathbb{R}$. Подходят пары 2 и 4.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 8 кл.», гл. 1, § 5' },
+ ref: 'Алгебра, 8 класс, гл. 1, § 5' },
{ idx: 7, type: 'mc', topic: 'word-sequences', subtopic: 'word-problems', diff: 2,
text: R`Толя купил $3$ альбома и $5$ карандашей. Стоимость одного альбома равна $1$ р. $20$ к., а стоимость одного карандаша равна $25$ к. Какая сумма (в копейках) осталась у Толи после покупки альбомов и карандашей, если всего у него было $6$ р.?`,
opts: mc('$115$ к.', '$145$ к.', '$110$ к.', '$125$ к.', '$275$ к.'),
answer: 'а',
sol: R`Потрачено $3\cdot120+5\cdot25=360+125=485$ (к.). Осталось $600-485=115$ (к.).`,
- ref: 'Герасимов «Математика, 5 кл.», ч. 1, гл. 2' },
+ ref: 'Математика, 5 класс, ч. 1, гл. 2' },
{ idx: 8, type: 'mc', topic: 'trigonometry', subtopic: 'trig-circle', diff: 2,
text: R`Найдите значение выражения $\dfrac{38}{\pi}\cdot\arcsin(-1)-\left|-7\right|$.`,
opts: mc('$-16$', '$-12$', '$12$', '$26$', '$-26$'),
answer: 'д',
sol: R`$\arcsin(-1)=-\dfrac{\pi}{2}$, поэтому $\dfrac{38}{\pi}\cdot\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)-7=-19-7=-26$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 10 кл.», гл. 1, § 7' },
+ ref: 'Алгебра, 10 класс, гл. 1, § 7' },
{ idx: 9, type: 'mc', topic: 'stereometry', subtopic: 'ster-rotation', diff: 2,
text: R`Квадрат, длина диагонали которого равна $8$, лежит в плоскости $\alpha$. Сфера касается плоскости $\alpha$ в точке пересечения диагоналей квадрата. Найдите площадь сферы, если расстояние от центра сферы до вершины квадрата равно $4\sqrt2$.`,
opts: mc('$8\pi$', '$16\pi$', '$64\pi$', '$32\sqrt2\,\pi$', '$32\pi$'),
answer: 'в',
sol: R`Точка касания — центр квадрата; радиус сферы $R$ перпендикулярен плоскости. Расстояние от центра квадрата до вершины равно половине диагонали — $4$. Тогда $R^{2}+4^{2}=(4\sqrt2)^{2}=32$, $R^{2}=16$, $R=4$. Площадь сферы $S=4\pi R^{2}=64\pi$.`,
- ref: 'Латотин «Геометрия, 11 кл.», разд. 3' },
+ ref: 'Геометрия, 11 класс, разд. 3' },
{ idx: 10, type: 'open', topic: 'expressions', subtopic: 'expr-powers-roots', diff: 2,
text: R`Укажите номера выражений, которые имеют смысл при $a=-6$.
1) $\dfrac{1}{\sqrt[5]{a-6}}$;
2) $\sqrt{a^{5}}$;
3) $\sqrt[5]{a}$;
4) $\dfrac{1}{\sqrt[6]{a-6}}$;
5) $\sqrt[6]{a}$.
Ответ запишите цифрами в порядке возрастания, без пробелов.`,
answer: '13', ansShow: '1, 3',
sol: R`При $a=-6$: $\ 1)$ $\sqrt[5]{-12}$ определён (нечётный корень) и не равен нулю — смысл есть. $\ 2)$ $\sqrt{(-6)^{5}}$ — корень чётной степени из отрицательного числа — нет смысла. $\ 3)$ $\sqrt[5]{-6}$ определён — смысл есть. $\ 4)$ $\sqrt[6]{-12}$ — нет смысла. $\ 5)$ $\sqrt[6]{-6}$ — нет смысла. Подходят 1 и 3.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 10 кл.», гл. 2, § 14' },
+ ref: 'Алгебра, 10 класс, гл. 2, § 14' },
// ── Часть B: В1–В20 ──────────────────────────────────────────────────────
{ idx: 11, type: 'open', topic: 'stereometry', subtopic: 'ster-angles-distances', diff: 3,
text: R`Дана прямая треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$. Точка $M$ — середина ребра $AB$, $\angle ABC=90^\circ$. Выберите верные утверждения.
1) расстояние от точки $C_1$ до прямой $AB$ равно длине отрезка $BC_1$;
2) расстояние от точки $C_1$ до прямой $AB$ равно длине отрезка $C_1M$;
3) расстояние от точки $A$ до прямой $BC$ равно длине отрезка $AB$;
4) расстояние между прямыми $BB_1$ и $CC_1$ равно длине отрезка $BC_1$;
5) расстояние между прямыми $A_1B_1$ и $AB$ равно длине отрезка $AA_1$;
6) расстояние от точки $B$ до прямой $AC$ равно длине отрезка $BC$.
Ответ запишите цифрами в порядке возрастания, без пробелов.`,
answer: '135', ansShow: '1, 3, 5',
sol: R`$1)$ верно: $AB\perp BC$ и $AB\perp BB_1$, поэтому $AB$ перпендикулярна плоскости $BB_1C_1C$, и расстояние от $C_1$ до $AB$ равно $BC_1$. $\ 2)$ неверно. $\ 3)$ верно: $BC\perp AB$, расстояние от $A$ до $BC$ равно $AB$. $\ 4)$ неверно: расстояние между $BB_1$ и $CC_1$ равно $BC$. $\ 5)$ верно: $A_1B_1\parallel AB$, расстояние равно боковому ребру $AA_1$. $\ 6)$ неверно. Подходят 1, 3, 5.`,
- ref: 'Латотин «Геометрия, 10 кл.», разд. 3' },
+ ref: 'Геометрия, 10 класс, разд. 3' },
{ idx: 12, type: 'long', topic: 'functions', subtopic: 'fn-properties', diff: 2,
text: R`Функция задана формулой $f(x)=x^{2}+4x-5$ на множестве действительных чисел. Для начала каждого из предложений А–В подберите его окончание 1–6 так, чтобы получилось верное утверждение.
Начало:
А) Сумма координат точки пересечения графика данной функции с осью ординат равна …
Б) Сумма нулей данной функции равна …
В) Наименьшее значение данной функции на области определения равно …
Окончание:
1) $9$; 2) $-4$; 3) $5$; 4) $-9$; 5) $-5$; 6) $4$.
Ответ запишите сочетанием букв и цифр, например: А1Б1В4.`,
answer: 'А5Б2В4', ansShow: 'А5Б2В4',
sol: R`А) График пересекает ось ординат в точке $(0;f(0))=(0;-5)$; сумма координат $0+(-5)=-5$ — окончание 5. Б) Нули: $x^{2}+4x-5=0$, $x=1$ и $x=-5$; их сумма $-4$ — окончание 2. В) Наименьшее значение $f(-2)=4-8-5=-9$ — окончание 4.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 8 кл.», гл. 3' },
+ ref: 'Алгебра, 8 класс, гл. 3' },
{ idx: 13, type: 'open', topic: 'numbers', subtopic: 'num-divisibility', diff: 2,
text: R`Найдите сумму всех натуральных чисел, которые кратны $9$ и больше $141$, но меньше $170$.`,
answer: '459',
sol: R`Кратные $9$ в промежутке $(141;170)$: $144$, $153$, $162$. Их сумма $144+153+162=459$.`,
- ref: 'Герасимов «Математика, 5 кл.», ч. 1, гл. 1' },
+ ref: 'Математика, 5 класс, ч. 1, гл. 1' },
{ idx: 14, type: 'open', topic: 'trigonometry', subtopic: 'trig-identities', diff: 2,
text: R`Найдите значение выражения $\operatorname{ctg}^{2}\alpha$, если $\sin\alpha=\dfrac15$.`,
answer: '24',
sol: R`$\cos^{2}\alpha=1-\sin^{2}\alpha=1-\dfrac{1}{25}=\dfrac{24}{25}$. Тогда $\operatorname{ctg}^{2}\alpha=\dfrac{\cos^{2}\alpha}{\sin^{2}\alpha}=\dfrac{24/25}{1/25}=24$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 10 кл.», гл. 1, § 4' },
+ ref: 'Алгебра, 10 класс, гл. 1, § 4' },
{ idx: 15, type: 'open', topic: 'planimetry', subtopic: 'plan-triangles', diff: 2,
text: R`Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника $ABC$ ($\angle ABC=90^\circ$), равен $18\sqrt2$. Найдите значение выражения $90\cdot\cos\angle ACB$, если $BC=6\sqrt2$.`,
answer: '15',
sol: R`Гипотенуза $AC=2R=36\sqrt2$. $\cos\angle ACB=\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{6\sqrt2}{36\sqrt2}=\dfrac16$. Тогда $90\cdot\dfrac16=15$.`,
- ref: 'Казаков «Геометрия, 9 кл.», гл. 2' },
+ ref: 'Геометрия, 9 класс, гл. 2' },
{ idx: 16, type: 'open', topic: 'word-sequences', subtopic: 'seq-progressions', diff: 2,
text: R`Пятый член геометрической прогрессии равен $48$, а шестой её член равен $96$. Найдите сумму четырёх первых членов этой прогрессии.`,
answer: '45',
sol: R`Знаменатель $q=\dfrac{96}{48}=2$. Из $b_5=b_1 q^{4}=48$: $b_1=\dfrac{48}{16}=3$. Сумма $S_4=\dfrac{b_1(q^{4}-1)}{q-1}=\dfrac{3(16-1)}{1}=45$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 9 кл.», гл. 4, § 18' },
+ ref: 'Алгебра, 9 класс, гл. 4, § 18' },
{ idx: 17, type: 'open', topic: 'word-sequences', subtopic: 'word-problems', diff: 3,
text: R`Проездной билет на автобус на месяц стоит $39$ р., а стоимость билета на одну поездку на автобусе равна $80$ к. Сколько поездок на автобусе совершила Маша за месяц, покупая только билеты на одну поездку, если известно, что $75\%$ от суммы денег, которую она потратила за месяц на оплату поездок, равны стоимости проездного билета на месяц?`,
answer: '65',
sol: R`Пусть $n$ — число поездок. Потрачено $80n$ копеек; $39$ р. $=3900$ к. По условию $0{,}75\cdot80n=3900$, $60n=3900$, $n=65$.`,
- ref: 'Герасимов «Математика, 6 кл.», гл. 2' },
+ ref: 'Математика, 6 класс, гл. 2' },
{ idx: 18, type: 'open', topic: 'equations', subtopic: 'eq-linear', diff: 2,
text: R`Найдите сумму наименьшего и наибольшего целых решений двойного неравенства $-3\le2-\dfrac{3x-2}{2}<27$.`,
answer: '-11',
sol: R`Вычтем $2$: $-5\le-\dfrac{3x-2}{2}<25$. Умножим на $-2$ (знаки меняются): $10\ge3x-2>-50$, то есть $-48<3x\le12$, $-1656$.`,
answer: '17',
sol: R`$8^{\,2x-32}=2^{\,6x-96}$, $4^{\,3x-49}=2^{\,6x-98}$. Неравенство: $2^{\,6x-98}(2^{2}+10)>56$, $14\cdot2^{\,6x-98}>56$, $2^{\,6x-98}>4=2^{2}$, $6x-98>2$, $x>\dfrac{100}{6}$. Наименьшее целое решение $17$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 11 кл.», гл. 2, § 6' },
+ ref: 'Алгебра, 11 класс, гл. 2, § 6' },
{ idx: 25, type: 'open', topic: 'trigonometry', subtopic: 'trig-equations', diff: 4,
text: R`Найдите (в градусах) сумму различных корней уравнения $2\sin3x\cos3x-\sin6x\sin10x=0$ на промежутке $(-150^\circ;-55^\circ)$.`,
answer: '-567',
sol: R`$2\sin3x\cos3x=\sin6x$, поэтому $\sin6x(1-\sin10x)=0$. Из $\sin6x=0$: $x=30^\circ n$ — на промежутке корни $-120^\circ,-90^\circ,-60^\circ$. Из $\sin10x=1$: $x=9^\circ+36^\circ n$ — корни $-135^\circ,-99^\circ,-63^\circ$. Сумма всех различных корней: $-120-90-60-135-99-63=-567$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 10 кл.», гл. 1, § 8' },
+ ref: 'Алгебра, 10 класс, гл. 1, § 8' },
{ idx: 26, type: 'open', topic: 'equations', subtopic: 'eq-logarithmic', diff: 4,
text: R`Найдите произведение наименьшего целого решения на наибольшее целое решение неравенства $\log_3^{2}(x+12)-\log_3(x+12)-6<0$.`,
answer: '-154',
sol: R`Пусть $u=\log_3(x+12)$: $u^{2}-u-6<0$, $(u-3)(u+2)<0$, $-2970$, $n\ge18$. Значит, второй поставщик выгоднее при $18\le n\le29$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 7 кл.», гл. 3' },
+ ref: 'Алгебра, 7 класс, гл. 3' },
{ idx: 16, type: 'mc', topic: 'expressions', subtopic: 'expr-powers-roots', diff: 2,
text: R`Расположите числа $8^{10}$, $3^{18}$, $31^{6}$ в порядке возрастания.`,
opts: mc('$3^{18};\ 8^{10};\ 31^{6}$', '$8^{10};\ 3^{18};\ 31^{6}$', '$31^{6};\ 3^{18};\ 8^{10}$', '$3^{18};\ 31^{6};\ 8^{10}$', '$31^{6};\ 8^{10};\ 3^{18}$'),
answer: 'г',
sol: R`$8^{10}=2^{30}\approx1{,}07\cdot10^{9}$; $\ 3^{18}=9^{9}\approx3{,}87\cdot10^{8}$; $\ 31^{6}\approx8{,}9\cdot10^{8}$. Порядок возрастания: $3^{18};\ 31^{6};\ 8^{10}$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 10 кл.», гл. 1' },
+ ref: 'Алгебра, 10 класс, гл. 1' },
{ idx: 17, type: 'mc', topic: 'stereometry', subtopic: 'ster-angles-distances', diff: 3,
text: R`Через вершину $A$ прямоугольного треугольника $ABC$ ($\angle C=90^\circ$) проведён перпендикуляр $AK$ к его плоскости. Найдите расстояние от точки $K$ до прямой $BC$, если $AK=2$, $AB=4$, $BC=\sqrt{11}$.`,
opts: mc('$3$', '$2\sqrt5$', '$\sqrt5$', '$\sqrt{15}$', '$6$'),
answer: 'а',
sol: R`$AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{16-11}=\sqrt5$. Так как $BC\perp AC$ и $BC\perp AK$, то $BC$ перпендикулярна плоскости $ACK$, поэтому расстояние от $K$ до $BC$ равно $CK=\sqrt{AK^{2}+AC^{2}}=\sqrt{4+5}=3$.`,
- ref: 'Латотин «Геометрия, 10 кл.», разд. 3' },
+ ref: 'Геометрия, 10 класс, разд. 3' },
{ idx: 18, type: 'mc', topic: 'equations', subtopic: 'eq-irrational', diff: 3,
text: R`Сумма корней (корень, если он единственный) уравнения $\sqrt{2x+5}\cdot\sqrt{x-1}=3-x$ равна (равен):`,
opts: mc('$\dfrac{-9-\sqrt{137}}{2}$', '$9$', '$18$', '$\dfrac{-9+\sqrt{137}}{2}$', '$-14$'),
answer: 'г',
sol: R`ОДЗ: $x\ge1$ и $3-x\ge0$, то есть $x\in[1;3]$. Возведя в квадрат: $(2x+5)(x-1)=(3-x)^{2}$, $x^{2}+9x-14=0$, $x=\dfrac{-9\pm\sqrt{137}}{2}$. В $[1;3]$ попадает только $\dfrac{-9+\sqrt{137}}{2}$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 10 кл.», гл. 2, § 17' },
+ ref: 'Алгебра, 10 класс, гл. 2, § 17' },
// ── Часть B: В1–В12 ──────────────────────────────────────────────────────
{ idx: 19, type: 'open', topic: 'equations', subtopic: 'eq-rational', diff: 2,
text: R`Найдите сумму целых решений (решение, если оно единственное) системы неравенств $\begin{cases}2x+8\ge x^{2},\\(x-1)^{2}>0.\end{cases}$`,
answer: '6',
sol: R`$2x+8\ge x^{2}\Rightarrow x^{2}-2x-8\le0\Rightarrow-2\le x\le4$; $\ (x-1)^{2}>0\Rightarrow x\ne1$. Целые решения $-2,-1,0,2,3,4$; их сумма равна $6$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 8 кл.», гл. 3' },
+ ref: 'Алгебра, 8 класс, гл. 3' },
{ idx: 20, type: 'open', topic: 'equations', subtopic: 'eq-rational', diff: 3,
text: R`Найдите произведение большего корня на количество корней уравнения $\dfrac{21}{x^{2}-4x+10}-x^{2}+4x=6$.`,
answer: '6',
sol: R`Пусть $u=x^{2}-4x$, тогда $\dfrac{21}{u+10}-u=6$, откуда $u^{2}+16u+39=0$, $u=-3$ или $u=-13$. При $u=-3$: $x^{2}-4x+3=0$, $x=1;3$. При $u=-13$ дискриминант отрицателен. Корни $1$ и $3$, больший $3$, количество $2$; произведение $3\cdot2=6$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 9 кл.», гл. 1' },
+ ref: 'Алгебра, 9 класс, гл. 1' },
{ idx: 21, type: 'open', topic: 'planimetry', subtopic: 'plan-circle', diff: 3,
text: R`В окружность радиусом $6$ вписан треугольник, длины двух сторон которого равны $6$ и $10$. Найдите длину высоты треугольника, проведённой к его третьей стороне.`,
answer: '5',
sol: R`Из формул $S=\dfrac{abc}{4R}$ и $S=\dfrac12 c\,h_c$ следует $h_c=\dfrac{ab}{2R}=\dfrac{6\cdot10}{2\cdot6}=5$.`,
- ref: 'Казаков «Геометрия, 9 кл.», гл. 1' },
+ ref: 'Геометрия, 9 класс, гл. 1' },
{ idx: 22, type: 'open', topic: 'equations', subtopic: 'eq-logarithmic', diff: 3,
text: R`Найдите сумму наименьшего и наибольшего целых решений неравенства $\log_{0{,}3}(x+54)\le2\log_{0{,}3}(x-2)$.`,
answer: '13',
sol: R`Неравенство равносильно $\log_{0{,}3}(x+54)\le\log_{0{,}3}(x-2)^{2}$ при $x>2$. Основание $0{,}3<1$, поэтому $x+54\ge(x-2)^{2}$, то есть $x^{2}-5x-50\le0$, $-5\le x\le10$. С учётом $x>2$: $(2;10]$. Целые $3,\ldots,10$; сумма наименьшего и наибольшего $3+10=13$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 11 кл.», гл. 3' },
+ ref: 'Алгебра, 11 класс, гл. 3' },
{ idx: 23, type: 'open', topic: 'trigonometry', subtopic: 'trig-equations', diff: 3,
text: R`Найдите сумму (в градусах) наименьшего положительного и наибольшего отрицательного корней уравнения $\sin4x-\sqrt3\cos2x=0$.`,
answer: '-15',
sol: R`$\sin4x=2\sin2x\cos2x$, поэтому $\cos2x(2\sin2x-\sqrt3)=0$. Из $\cos2x=0$: $x=45^\circ+90^\circ n$; из $\sin2x=\dfrac{\sqrt3}{2}$: $x=30^\circ+180^\circ n$ или $x=60^\circ+180^\circ n$. Наименьший положительный корень $30^\circ$, наибольший отрицательный $-45^\circ$; их сумма $-15^\circ$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 10 кл.», гл. 1, § 8' },
+ ref: 'Алгебра, 10 класс, гл. 1, § 8' },
{ idx: 24, type: 'open', topic: 'word-sequences', subtopic: 'seq-progressions', diff: 4,
text: R`Три числа составляют геометрическую прогрессию, в которой $q>1$. Если второй член прогрессии уменьшить на $8$, то полученные три числа в том же порядке опять составят геометрическую прогрессию. Если третий член новой прогрессии уменьшить на $25$, то полученные числа составят арифметическую прогрессию. Найдите сумму исходных чисел.`,
answer: '21',
sol: R`Пусть числа $a$, $aq$, $aq^{2}$. Из условия $(aq-8)^{2}=a\cdot aq^{2}$ следует $aq=4$. Новая прогрессия $a,\,-4,\,aq^{2}$, где $a\cdot aq^{2}=16$. Условие арифметической прогрессии: $2\cdot(-4)=a+(aq^{2}-25)$, то есть $a+aq^{2}=17$. Так как $aq^{2}=\dfrac{16}{a}$, получаем $a+\dfrac{16}{a}=17$, $a=1$ (тогда $q=4>1$). Числа $1,4,16$, их сумма $21$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 9 кл.», гл. 4' },
+ ref: 'Алгебра, 9 класс, гл. 4' },
{ idx: 25, type: 'open', topic: 'equations', subtopic: 'eq-exponential', diff: 3,
text: R`Найдите произведение суммы корней уравнения $4^{x-1}-2^{x-1}=2^{x+5}-2^{6}$ на их количество.`,
answer: '16',
sol: R`Пусть $t=2^{x-1}$. Тогда $t^{2}-t=64t-64$, $t^{2}-65t+64=0$, $t=1$ или $t=64$. Из $2^{x-1}=1$: $x=1$; из $2^{x-1}=64$: $x=7$. Сумма корней $8$, количество $2$; произведение $8\cdot2=16$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 11 кл.», гл. 2' },
+ ref: 'Алгебра, 11 класс, гл. 2' },
{ idx: 26, type: 'open', topic: 'trigonometry', subtopic: 'trig-equations', diff: 4,
text: R`Найдите количество корней уравнения $\cos x=\left|\dfrac{x}{11\pi}\right|$.`,
answer: '22',
sol: R`Правая часть неотрицательна и не больше $1$ при $|x|\le11\pi$, поэтому требуется $\cos x\ge0$. Обе функции чётные. На $(0;11\pi]$ прямая $\dfrac{x}{11\pi}$ пересекает положительные «арки» косинуса $11$ раз; столько же на отрицательной полуоси. Всего $22$ корня.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 10 кл.», гл. 1' },
+ ref: 'Алгебра, 10 класс, гл. 1' },
{ idx: 27, type: 'open', topic: 'equations', subtopic: 'eq-rational', diff: 4,
text: R`Найдите сумму целых решений неравенства $\dfrac{|4x-10|-|2x-14|}{(x+3)(x-6)}\le0$.`,
answer: '7',
sol: R`Числитель равен нулю при $x=-2$ и $x=4$; он положителен вне отрезка $[-2;4]$ и отрицателен внутри него. Знаменатель положителен при $x<-3$ и $x>6$, отрицателен при $-3-4$. Вместе с $x\le-1{,}6$ получаем $-41{,}08$.`,
answer: '-15',
sol: R`$1{,}08=\dfrac{27}{25}=3^{3}\cdot5^{-2}$. Неравенство приводится к виду $3^{x+14}\cdot5^{-x-14}>1$, то есть $\left(\dfrac35\right)^{x+14}>1$. Так как $\dfrac35<1$, то $x+14<0$, $x<-14$. Наибольшее целое — $-15$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 11 кл.», гл. 2' },
+ ref: 'Алгебра, 11 класс, гл. 2' },
{ idx: 21, type: 'open', topic: 'equations', subtopic: 'eq-rational', diff: 2,
text: R`Найдите модуль разности наибольшего и наименьшего корней уравнения $\left(2x^{2}-x-7\right)^{2}=(5x+1)^{2}$.`,
answer: '7',
sol: R`$2x^{2}-x-7=\pm(5x+1)$. При знаке «$+$»: $2x^{2}-6x-8=0$, $x=4;-1$. При знаке «$-$»: $2x^{2}+4x-6=0$, $x=1;-3$. Корни $\{-3;-1;1;4\}$; модуль разности наибольшего и наименьшего $|4-(-3)|=7$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 9 кл.», гл. 1' },
+ ref: 'Алгебра, 9 класс, гл. 1' },
{ idx: 22, type: 'open', topic: 'equations', subtopic: 'eq-rational', diff: 2,
text: R`Пусть $(x_1;y_1)$, $(x_2;y_2)$ — решения системы уравнений $\begin{cases}x^{2}+4x=15+3y,\\ 4x-3y=6.\end{cases}$ Найдите значение выражения $x_1y_2+x_2y_1$.`,
answer: '-24',
sol: R`Из второго уравнения $3y=4x-6$. Подставив в первое: $x^{2}+4x=15+4x-6$, $x^{2}=9$, $x=\pm3$. Решения $(3;2)$ и $(-3;-6)$. Тогда $x_1y_2+x_2y_1=3\cdot(-6)+(-3)\cdot2=-24$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 9 кл.», гл. 1' },
+ ref: 'Алгебра, 9 класс, гл. 1' },
{ idx: 23, type: 'open', topic: 'equations', subtopic: 'eq-irrational', diff: 3,
text: R`Найдите сумму корней (корень, если он единственный) уравнения $\sqrt{x^{2}+3x}+\sqrt{1-x}=\sqrt{12-x}+\sqrt{1-x}$.`,
answer: '-6',
sol: R`Вычитая $\sqrt{1-x}$ из обеих частей: $\sqrt{x^{2}+3x}=\sqrt{12-x}$, $x^{2}+3x=12-x$, $x^{2}+4x-12=0$, $x=2;-6$. Условию ОДЗ ($x\le1$) удовлетворяет лишь $x=-6$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 10 кл.», гл. 2, § 17' },
+ ref: 'Алгебра, 10 класс, гл. 2, § 17' },
{ idx: 24, type: 'open', topic: 'equations', subtopic: 'eq-rational', diff: 3,
text: R`Найдите сумму целых решений неравенства $\dfrac{(x^{2}+7x+10)(x-4)^{2}}{4-x^{2}}\ge0$.`,
answer: '-8',
sol: R`После сокращения на $(x+2)$: $\dfrac{(x+5)(x-4)^{2}}{2-x}\ge0$ при $x\ne-2$. Множитель $(x-4)^{2}\ge0$, поэтому решение — промежуток $[-5;2)$ без точки $x=-2$, плюс отдельная точка $x=4$. Целые решения $-5,-4,-3,-1,0,1,4$; их сумма $-8$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 9 кл.», гл. 3' },
+ ref: 'Алгебра, 9 класс, гл. 3' },
{ idx: 25, type: 'open', topic: 'stereometry', subtopic: 'ster-polyhedra', diff: 3,
text: R`Каждое боковое ребро четырёхугольной пирамиды образует с её высотой, равной $3\sqrt7$, угол $30^\circ$. Основанием пирамиды является прямоугольник с углом $30^\circ$ между диагоналями. Найдите объём пирамиды $V$; в ответ запишите значение выражения $\sqrt7\cdot V$.`,
answer: '147',
sol: R`Все боковые рёбра равнонаклонены к основанию, значит вершина проектируется в центр прямоугольника. Половина диагонали $R=H\operatorname{tg}30^\circ=3\sqrt7\cdot\dfrac{1}{\sqrt3}=\sqrt{21}$, диагональ $d=2\sqrt{21}$. Площадь основания $S=\dfrac12 d^{2}\sin30^\circ=\dfrac12\cdot84\cdot\dfrac12=21$. Объём $V=\dfrac13\cdot21\cdot3\sqrt7=21\sqrt7$, и $\sqrt7\cdot V=21\cdot7=147$.`,
- ref: 'Латотин «Геометрия, 11 кл.», разд. 1' },
+ ref: 'Геометрия, 11 класс, разд. 1' },
{ idx: 26, type: 'open', topic: 'trigonometry', subtopic: 'trig-equations', diff: 3,
text: R`Найдите (в градусах) наибольший отрицательный корень уравнения $\sin^{2}\!\left(5x-\dfrac{\pi}{3}\right)=1$.`,
answer: '-6',
sol: R`$\sin^{2}\alpha=1\Rightarrow\alpha=\dfrac{\pi}{2}+\pi k$. Тогда $5x=\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{2}+\pi k=\dfrac{5\pi}{6}+\pi k$, $x=30^\circ+36^\circ k$. Наибольший отрицательный корень при $k=-1$: $30^\circ-36^\circ=-6^\circ$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 10 кл.», гл. 1, § 8' },
+ ref: 'Алгебра, 10 класс, гл. 1, § 8' },
{ idx: 27, type: 'open', topic: 'trigonometry', subtopic: 'trig-equations', diff: 4,
text: R`Найдите количество корней уравнения $\sin x=-\dfrac{x}{16\pi}$.`,
answer: '33',
sol: R`Корни существуют лишь при $|x|\le16\pi$. Функции $\sin x$ и $-\dfrac{x}{16\pi}$ нечётны, поэтому $x=0$ — корень, а остальные корни симметричны. При $x>0$ правая часть отрицательна, поэтому пересечения происходят на восьми «отрицательных» арках синуса $(\pi;2\pi),(3\pi;4\pi),\ldots,(15\pi;16\pi)$ — по два на каждой, итого $16$. Столько же при $x<0$. Всего $16+16+1=33$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 10 кл.», гл. 1' },
+ ref: 'Алгебра, 10 класс, гл. 1' },
{ idx: 28, type: 'open', topic: 'planimetry', subtopic: 'plan-quadrilaterals', diff: 3,
text: R`В прямоугольнике $ABCD$ выбраны точки $L$ на стороне $BC$ и $M$ на стороне $AD$ так, что $ALCM$ — ромб. Найдите площадь этого ромба, если $AB=3$, $BC=9$.`,
answer: '15',
sol: R`Пусть сторона ромба равна $m$. Тогда $BL=BC-LC=9-m$, и из прямоугольного треугольника $ABL$: $m^{2}=3^{2}+(9-m)^{2}$, откуда $m=5$. Диагонали ромба $AC=\sqrt{3^{2}+9^{2}}=3\sqrt{10}$ и $LM=\sqrt{10}$, поэтому площадь $=\dfrac12\cdot3\sqrt{10}\cdot\sqrt{10}=15$.`,
- ref: 'Казаков «Геометрия, 8 кл.», гл. 3' },
+ ref: 'Геометрия, 8 класс, гл. 3' },
{ idx: 29, type: 'open', topic: 'expressions', subtopic: 'expr-powers-roots', diff: 2,
text: R`Найдите значение выражения $2^{A}$, если $A=\log_{2}9+\log_{2}25$.`,
answer: '225',
sol: R`$A=\log_{2}9+\log_{2}25=\log_{2}(9\cdot25)=\log_{2}225$, поэтому $2^{A}=225$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 11 кл.», гл. 3' },
+ ref: 'Алгебра, 11 класс, гл. 3' },
{ idx: 30, type: 'open', topic: 'numbers', subtopic: 'num-divisibility', diff: 3,
text: R`Найдите сумму всех трёхзначных чисел, которые при делении на $4$ и на $6$ дают в остатке $1$, а при делении на $9$ дают в остатке $4$.`,
answer: '13825',
sol: R`Условия $n\equiv1\pmod4$ и $n\equiv1\pmod6$ дают $n\equiv1\pmod{12}$. Вместе с $n\equiv4\pmod9$ получаем $n\equiv13\pmod{36}$. Трёхзначные такие числа образуют прогрессию $121,157,\ldots,985$ — всего $25$ чисел. Их сумма $\dfrac{121+985}{2}\cdot25=553\cdot25=13825$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 9 кл.», гл. 4' },
+ ref: 'Алгебра, 9 класс, гл. 4' },
];
/* ── Сборка solution_html ────────────────────────────────────────────────── */
diff --git a/backend/scripts/seed_ctmath_ct2016_v1.js b/backend/scripts/seed_ctmath_ct2016_v1.js
index 5ed9e94..3e1c3b1 100644
--- a/backend/scripts/seed_ctmath_ct2016_v1.js
+++ b/backend/scripts/seed_ctmath_ct2016_v1.js
@@ -52,35 +52,35 @@ const TASKS = [
opts: mc('$44$', '$50$', '$48$', '$18$', '$46$'),
answer: 'д',
sol: R`Число имеет вид $15\cdot3+r=45+r$, где $0\le r<15$. Наименьшее чётное получается при $r=1$: это $46$.`,
- ref: 'Герасимов «Математика, 5 кл.», ч. 1, гл. 3' },
+ ref: 'Математика, 5 класс, ч. 1, гл. 3' },
{ idx: 2, type: 'mc', topic: 'planimetry', subtopic: 'plan-triangles', diff: 2,
text: R`В треугольнике $ABC$ точки $M$ и $N$ лежат на сторонах $AB$ и $AC$ соответственно, причём $MN\parallel BC$. Известно, что $\angle ACB=38^\circ$ и $\angle AMN=109^\circ$. Найдите градусную меру угла $BAC$.`,
opts: mc('$33^\circ$', '$52^\circ$', '$26^\circ$', '$30^\circ$', '$60^\circ$'),
answer: 'а',
sol: R`Так как $MN\parallel BC$, то $\angle ABC=\angle AMN=109^\circ$ (соответственные углы). Тогда $\angle BAC=180^\circ-\angle ABC-\angle ACB=180^\circ-109^\circ-38^\circ=33^\circ$.`,
- ref: 'Казаков «Геометрия, 7 кл.», гл. 3' },
+ ref: 'Геометрия, 7 класс, гл. 3' },
{ idx: 3, type: 'mc', topic: 'numbers', subtopic: 'num-real', diff: 1,
text: R`На координатной прямой отмечены числа $0$, $k$, $t$, причём $0\dfrac1k$', '$3k>3t$', '$\dfrac{k}{-3}>\dfrac{t}{-3}$', '$k>t$'),
answer: 'г',
sol: R`При делении неравенства $k\dfrac{t}{-3}$. Остальные утверждения неверны.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 8 кл.», гл. 1' },
+ ref: 'Алгебра, 8 класс, гл. 1' },
{ idx: 4, type: 'mc', topic: 'expressions', subtopic: 'expr-powers-roots', diff: 2,
text: R`Значение выражения $3^{-5}:\left(5\tfrac25\right)^{-3}$ равно:`,
opts: mc('$\dfrac{27}{125}$', '$\dfrac{4}{5}$', '$\dfrac{125}{81}$', '$\dfrac{81}{125}$', '$\dfrac{125}{243}$'),
answer: 'г',
sol: R`$5\tfrac25=\dfrac{27}{5}$. Тогда $3^{-5}:\left(\dfrac{27}{5}\right)^{-3}=3^{-5}\cdot\dfrac{3^{9}}{5^{3}}=\dfrac{3^{4}}{5^{3}}=\dfrac{81}{125}$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 7 кл.», гл. 1, § 4' },
+ ref: 'Алгебра, 7 класс, гл. 1, § 4' },
{ idx: 5, type: 'mc', topic: 'word-sequences', subtopic: 'seq-progressions', diff: 1,
text: R`Укажите формулу $n$-го члена арифметической прогрессии $(a_n)$, если $a_1=2$, $a_2=5$.`,
opts: mc('$a_n=-3n+5$', '$a_n=3n+5$', '$a_n=3n-1$', '$a_n=2n+5$', '$a_n=5n+2$'),
answer: 'в',
sol: R`$d=a_2-a_1=3$, поэтому $a_n=a_1+(n-1)d=2+3(n-1)=3n-1$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 9 кл.», гл. 4' },
+ ref: 'Алгебра, 9 класс, гл. 4' },
{ idx: 6, type: 'mc', topic: 'word-sequences', subtopic: 'word-problems', diff: 1,
text: R`Величины $a$ и $b$ прямо пропорциональны. Используя данные таблицы, найдите неизвестное значение величины $a$.`,
@@ -88,164 +88,164 @@ const TASKS = [
opts: mc('$32$', '$27$', '$22$', '$14$', '$56$'),
answer: 'б',
sol: R`При прямой пропорциональности $\dfrac{a}{b}$ постоянно: $\dfrac{a}{108}=\dfrac{1{,}9}{7{,}6}=0{,}25$, откуда $a=27$.`,
- ref: 'Герасимов «Математика, 6 кл.», гл. 2' },
+ ref: 'Математика, 6 класс, гл. 2' },
{ idx: 7, type: 'mc', topic: 'planimetry', subtopic: 'plan-quadrilaterals', diff: 2,
text: R`Найдите площадь (в см²) многоугольника с вершинами $A(2;2)$, $B(9;2)$, $C(9;7)$, $D(3;7)$, $E(2;8)$ (координаты — в сантиметрах).`,
opts: mc('$35{,}5$', '$28$', '$36$', '$49$', '$35$'),
answer: 'а',
sol: R`По формуле площади многоугольника по координатам вершин (формула шнуровки) $2S=\bigl|{-}14+45+42+10-12\bigr|=71$, поэтому $S=35{,}5$ см².`,
- ref: 'Казаков «Геометрия, 8 кл.», гл. 4' },
+ ref: 'Геометрия, 8 класс, гл. 4' },
{ idx: 8, type: 'mc', topic: 'functions', subtopic: 'fn-properties', diff: 2,
text: R`Областью значений функции $y=f(x)$ на промежутке $(-5;5)$ является отрезок $[-4;6]$. Найдите сумму всех целых значений, которые принимает функция.`,
opts: mc('$12$', '$14$', '$7$', '$10$', '$11$'),
answer: 'д',
sol: R`Функция принимает все целые значения от $-4$ до $6$. Их сумма $-4-3-2-1+0+1+2+3+4+5+6=11$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 9 кл.», гл. 2' },
+ ref: 'Алгебра, 9 класс, гл. 2' },
{ idx: 9, type: 'mc', topic: 'numbers', subtopic: 'num-divisibility', diff: 1,
text: R`Найдите значение выражения НОК$(12;18;36)$ + НОД$(39;52)$.`,
opts: mc('$26$', '$50$', '$48$', '$72$', '$49$'),
answer: 'д',
sol: R`НОК$(12;18;36)=36$, НОД$(39;52)=13$. Сумма $36+13=49$.`,
- ref: 'Герасимов «Математика, 6 кл.», гл. 1' },
+ ref: 'Математика, 6 класс, гл. 1' },
{ idx: 10, type: 'mc', topic: 'stereometry', subtopic: 'ster-angles-distances', diff: 2,
text: R`Прямая $a$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $A$ и образует с плоскостью угол $60^\circ$. Точка $B$ лежит на прямой $a$, причём $AB=6\sqrt2$. Найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $\alpha$.`,
opts: mc('$3\sqrt2$', '$3\sqrt6$', '$3\sqrt3$', '$6\sqrt6$', '$6\sqrt3$'),
answer: 'б',
sol: R`Расстояние от $B$ до плоскости равно $AB\sin60^\circ=6\sqrt2\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=3\sqrt6$.`,
- ref: 'Латотин «Геометрия, 10 кл.», разд. 3' },
+ ref: 'Геометрия, 10 класс, разд. 3' },
{ idx: 11, type: 'mc', topic: 'word-sequences', subtopic: 'word-problems', diff: 2,
text: R`На круговой диаграмме распределения посевных площадей секторам отвечают: ячмень — $63^\circ$, пшеница — $108^\circ$, гречиха — $36^\circ$, рожь — $18^\circ$, остальное — овёс. Сколько гектаров отведено под гречиху, если овсом засеяно на $390$ га больше, чем рожью?`,
opts: mc('$110$ га', '$150$ га', '$120$ га', '$160$ га', '$180$ га'),
answer: 'в',
sol: R`Овёс: $360^\circ-63^\circ-108^\circ-36^\circ-18^\circ=135^\circ$. Разность «овёс минус рожь» $=135^\circ-18^\circ=117^\circ$ отвечает $390$ га, поэтому $1^\circ\to\dfrac{390}{117}=\dfrac{10}{3}$ га. Гречиха: $36^\circ\cdot\dfrac{10}{3}=120$ га.`,
- ref: 'Герасимов «Математика, 6 кл.», гл. 2' },
+ ref: 'Математика, 6 класс, гл. 2' },
{ idx: 12, type: 'mc', topic: 'planimetry', subtopic: 'plan-triangles', diff: 2,
text: R`Длины всех сторон треугольника — целые числа. Если длина одной стороны равна $1$, а другой — $3$, то периметр треугольника равен:`,
opts: mc('$7$', '$14$', '$21$', '$6$', '$8$'),
answer: 'а',
sol: R`По неравенству треугольника третья сторона $c$ удовлетворяет $|3-1|0$.`,
answer: '60',
sol: R`Основание $\dfrac{1}{15}<1$, поэтому $0<\log_{2}\log_{9}(x+15)<1$, откуда $1<\log_{9}(x+15)<2$, то есть $924$', '$t=23$', '$t\ge24$', '$t\le24$', '$t<24$'),
answer: 'в',
sol: R`«Не ниже $24$» означает «больше или равно $24$»: $t\ge24$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 8 кл.», гл. 1' },
+ ref: 'Алгебра, 8 класс, гл. 1' },
{ idx: 2, type: 'mc', topic: 'planimetry', subtopic: 'plan-circle', diff: 2,
text: R`Две окружности с центрами $A$ и $B$ касаются внешним образом в точке $C$. Точки $M$ и $K$ — концы их диаметров, лежащих на прямой $AB$ (в порядке $M,A,C,B,K$). Найдите радиус большей окружности, если радиус меньшей равен $5$, а $MK=28$.`,
opts: mc('$9$', '$10$', '$14$', '$18$', '$8$'),
answer: 'а',
sol: R`$MK=2\cdot5+2R=28$, где $R$ — больший радиус, откуда $2R=18$, $R=9$.`,
- ref: 'Казаков «Геометрия, 9 кл.», гл. 1' },
+ ref: 'Геометрия, 9 класс, гл. 1' },
{ idx: 3, type: 'mc', topic: 'numbers', subtopic: 'num-real', diff: 1,
text: R`На координатной прямой отмечены точки $D(-3)$, $C(-2)$, $A(2)$, $B(5)$. Укажите точки, координаты которых являются противоположными числами.`,
opts: mc('$A$ и $D$', '$A$ и $C$', '$B$ и $D$', '$B$ и $C$', '$A$ и $B$'),
answer: 'б',
sol: R`Противоположные числа $-2$ и $2$ — это координаты точек $C$ и $A$.`,
- ref: 'Латотин «Математика, 6 кл.», гл. 5' },
+ ref: 'Математика, 6 класс, гл. 5' },
{ idx: 4, type: 'mc', topic: 'planimetry', subtopic: 'plan-triangles', diff: 2,
text: R`Из вершины угла $KMN$, градусная мера которого равна $170^\circ$, проведены два луча: $MP$, делящий угол пополам, и $MF$, делящий его в отношении $9:8$ (считая от стороны $MK$). Найдите градусную меру угла $FMP$.`,
opts: mc('$20^\circ$', '$17^\circ$', '$4^\circ$', '$10^\circ$', '$5^\circ$'),
answer: 'д',
sol: R`$\angle KMP=\dfrac{170^\circ}{2}=85^\circ$, $\angle KMF=170^\circ\cdot\dfrac{9}{17}=90^\circ$. Тогда $\angle FMP=90^\circ-85^\circ=5^\circ$.`,
- ref: 'Казаков «Геометрия, 7 кл.», гл. 2' },
+ ref: 'Геометрия, 7 класс, гл. 2' },
{ idx: 5, type: 'mc', topic: 'word-sequences', subtopic: 'seq-progressions', diff: 1,
text: R`Известно, что число $177$ является членом арифметической прогрессии $(a_n)$, заданной формулой $a_n=6n-3$. Найдите его номер.`,
opts: mc('$30$', '$29$', '$27$', '$26$', '$25$'),
answer: 'а',
sol: R`$6n-3=177$, $6n=180$, $n=30$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 9 кл.», гл. 4' },
+ ref: 'Алгебра, 9 класс, гл. 4' },
{ idx: 6, type: 'mc', topic: 'expressions', subtopic: 'expr-powers-roots', diff: 2,
text: R`Вычислите $8^{\,1+\log_{8}6}$.`,
opts: mc('$6$', '$14$', '$24$', '$48$', '$56$'),
answer: 'г',
sol: R`$8^{\,1+\log_{8}6}=8\cdot8^{\log_{8}6}=8\cdot6=48$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 11 кл.», гл. 3' },
+ ref: 'Алгебра, 11 класс, гл. 3' },
{ idx: 7, type: 'mc', topic: 'functions', subtopic: 'fn-graphs', diff: 1,
text: R`Укажите уравнение прямой, проходящей через точку $A(5;9)$ параллельно оси абсцисс.`,
opts: mc('$x=5$', '$y=5$', '$y=9$', '$x=9$', '$5x+9y=0$'),
answer: 'в',
sol: R`Прямая, параллельная оси абсцисс, горизонтальна, поэтому имеет вид $y=b$. Через точку $A(5;9)$ проходит прямая $y=9$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 7 кл.», гл. 5' },
+ ref: 'Алгебра, 7 класс, гл. 5' },
{ idx: 8, type: 'mc', topic: 'expressions', subtopic: 'expr-polynomials', diff: 2,
text: R`Для одночлена $-5c^{3}\cdot3c^{2}y$ укажите номер верного утверждения.`,
opts: mc('стандартный вид одночлена — $-15c^{5}y$', 'значение при $c=-1$, $y=-1$ равно $15$', 'при делении на $3$ получится $-c^{5}y$', 'коэффициент одночлена равен $-5$', 'степень одночлена равна $5$'),
answer: 'а',
sol: R`$-5c^{3}\cdot3c^{2}y=-15c^{5}y$ — это стандартный вид (утверждение 1). Остальные неверны: значение при $c=-1,y=-1$ равно $-15$; деление на $3$ даёт $-5c^{5}y$; коэффициент $-15$; степень $5+1=6$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 7 кл.», гл. 2' },
+ ref: 'Алгебра, 7 класс, гл. 2' },
{ idx: 9, type: 'mc', topic: 'word-sequences', subtopic: 'word-problems', diff: 2,
text: R`Мотоциклист и велосипедист выехали одновременно из одного пункта в одном направлении. По графику движения к некоторому моменту мотоциклист проехал $80$ км, а велосипедист — $35$ км. Во сколько раз скорость мотоциклиста больше скорости велосипедиста?`,
opts: mc('$3\tfrac12$ раза', '$1\tfrac19$ раза', '$2\tfrac17$ раза', '$2\tfrac27$ раза', '$2\tfrac{1}{16}$ раза'),
answer: 'г',
sol: R`За одно и то же время отношение скоростей равно отношению путей: $\dfrac{80}{35}=\dfrac{16}{7}=2\tfrac27$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 7 кл.», гл. 3' },
+ ref: 'Алгебра, 7 класс, гл. 3' },
{ idx: 10, type: 'mc', topic: 'expressions', subtopic: 'expr-powers-roots', diff: 2,
text: R`Значение выражения $\sqrt{\left(11+8\sqrt2\right)^{2}}+\sqrt{\left(11-8\sqrt2\right)^{2}}$ равно:`,
opts: mc('$16\sqrt2$', '$38\sqrt2$', '$22$', '$16\sqrt2-22$', '$16\sqrt2+22$'),
answer: 'а',
sol: R`$\sqrt{(11+8\sqrt2)^{2}}=11+8\sqrt2$; так как $8\sqrt2>11$, то $\sqrt{(11-8\sqrt2)^{2}}=8\sqrt2-11$. Сумма $=(11+8\sqrt2)+(8\sqrt2-11)=16\sqrt2$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 8 кл.», гл. 2' },
+ ref: 'Алгебра, 8 класс, гл. 2' },
{ idx: 11, type: 'mc', topic: 'planimetry', subtopic: 'plan-quadrilaterals', diff: 2,
text: R`Из квадрата со стороной $1$ удалили $12$ равных квадратов со стороной $x$. Найдите выражение для площади оставшейся (заштрихованной) части квадрата.`,
opts: mc('$1-4x^{2}$', '$4-12x^{2}$', '$1-8x^{2}$', '$4-16x$', '$1-12x^{2}$'),
answer: 'д',
sol: R`Площадь квадрата равна $1$, площадь $12$ вырезанных квадратиков — $12x^{2}$. Оставшаяся часть: $1-12x^{2}$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 7 кл.», гл. 2' },
+ ref: 'Алгебра, 7 класс, гл. 2' },
{ idx: 12, type: 'mc', topic: 'trigonometry', subtopic: 'trig-identities', diff: 2,
text: R`Найдите значение выражения $\sin\left(\operatorname{arctg}\sqrt3\right)$.`,
opts: mc('$\dfrac{\sqrt3}{3}$', '$\dfrac12$', '$\dfrac{\sqrt3}{2}$', '$\dfrac{\sqrt2}{2}$', '$1$'),
answer: 'в',
sol: R`$\operatorname{arctg}\sqrt3=60^\circ$, поэтому $\sin60^\circ=\dfrac{\sqrt3}{2}$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 10 кл.», гл. 1' },
+ ref: 'Алгебра, 10 класс, гл. 1' },
{ idx: 13, type: 'mc', topic: 'equations', subtopic: 'eq-rational', diff: 2,
text: R`Найдите сумму наименьшего и наибольшего целых решений двойного неравенства $-5{,}2<3-0{,}1x<4{,}59$.`,
opts: mc('$96$', '$97$', '$65$', '$67$', '$66$'),
answer: 'д',
sol: R`Из $3-0{,}1x<4{,}59$: $x>-15{,}9$; из $-5{,}2<3-0{,}1x$: $x<82$. Целые $x$ от $-15$ до $81$; их сумма наименьшего и наибольшего $-15+81=66$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 8 кл.», гл. 3' },
+ ref: 'Алгебра, 8 класс, гл. 3' },
{ idx: 14, type: 'mc', topic: 'planimetry', subtopic: 'plan-triangles', diff: 3,
text: R`Длины двух сторон треугольника равны $6$ и $7$, его площадь равна $3\sqrt{33}$. Найдите наибольшее значение, которое может принимать длина третьей стороны.`,
opts: mc('$\sqrt{151}$', '$\sqrt{133}$', '$12$', '$13$', '$2\sqrt{33}$'),
answer: 'б',
sol: R`$S=\dfrac12\cdot6\cdot7\sin C=21\sin C=3\sqrt{33}$, поэтому $\sin C=\dfrac{\sqrt{33}}{7}$, $\cos C=\pm\dfrac47$. Третья сторона $c^{2}=36+49-84\cos C$; наибольшая при $\cos C=-\dfrac47$: $c^{2}=85+48=133$, $c=\sqrt{133}$.`,
- ref: 'Казаков «Геометрия, 9 кл.», гл. 1' },
+ ref: 'Геометрия, 9 класс, гл. 1' },
{ idx: 15, type: 'mc', topic: 'equations', subtopic: 'eq-linear', diff: 2,
text: R`Укажите номер уравнения, которое имеет более одного корня.`,
opts: mc('$5x+2=2$', '$2(9-2x)=-4x$', '$\dfrac25x+7=x$', '$\dfrac{5x+2}{3}=4$', '$5x+2=\dfrac{15x+6}{3}$'),
answer: 'д',
sol: R`Уравнение $5x+2=\dfrac{15x+6}{3}=5x+2$ — тождество, верно при любом $x$ (бесконечно много корней). Остальные имеют ровно один корень или ни одного.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 7 кл.», гл. 1' },
+ ref: 'Алгебра, 7 класс, гл. 1' },
{ idx: 16, type: 'mc', topic: 'stereometry', subtopic: 'ster-rotation', diff: 3,
text: R`Найдите объём конуса, образующая которого равна $4\sqrt6$, а угол при вершине осевого сечения равен $60^\circ$.`,
opts: mc('$144\sqrt2\,\pi$', '$16\sqrt2\,\pi$', '$48\sqrt2\,\pi$', '$48\sqrt6\,\pi$', '$384\sqrt2\,\pi$'),
answer: 'в',
sol: R`Осевое сечение — равнобедренный треугольник с углом $60^\circ$ при вершине, то есть равносторонний. Радиус $R=l\sin30^\circ=4\sqrt6\cdot\dfrac12=2\sqrt6$, высота $h=l\cos30^\circ=4\sqrt6\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=6\sqrt2$. Объём $V=\dfrac13\pi R^{2}h=\dfrac13\pi\cdot24\cdot6\sqrt2=48\sqrt2\,\pi$.`,
- ref: 'Латотин «Геометрия, 11 кл.», разд. 2' },
+ ref: 'Геометрия, 11 класс, разд. 2' },
{ idx: 17, type: 'mc', topic: 'trigonometry', subtopic: 'trig-equations', diff: 3,
text: R`Сумма (в градусах) наименьшего положительного и наибольшего отрицательного корней уравнения $\sin(5x-10^\circ)=-\dfrac{\sqrt2}{2}$ равна:`,
opts: mc('$81^\circ$', '$55^\circ$', '$60^\circ$', '$40^\circ$', '$35^\circ$'),
answer: 'г',
sol: R`$5x-10^\circ=-45^\circ+360^\circ k$ или $5x-10^\circ=225^\circ+360^\circ k$, то есть $x=-7^\circ+72^\circ k$ или $x=47^\circ+72^\circ k$. Наименьший положительный корень $47^\circ$, наибольший отрицательный $-7^\circ$; их сумма $40^\circ$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 10 кл.», гл. 1, § 8' },
+ ref: 'Алгебра, 10 класс, гл. 1, § 8' },
{ idx: 18, type: 'mc', topic: 'stereometry', subtopic: 'ster-polyhedra', diff: 4,
text: R`$ABCA_1B_1C_1$ — правильная треугольная призма, все рёбра которой равны $9$. Точки $P$ и $K$ — середины рёбер $BB_1$ и $AC$, точка $M$ на ребре $CC_1$ такова, что $C_1M:C_1C=1:3$. Найдите длину отрезка, по которому плоскость, проходящая через $K,M,P$, пересекает грань $AA_1B_1B$.`,
opts: mc('$\dfrac{9\sqrt5}{7}$', '$\dfrac{9\sqrt{85}}{14}$', '$\dfrac{9\sqrt2}{2}$', '$\dfrac{9\sqrt{65}}{14}$', '$\dfrac{3\sqrt{17}}{2}$'),
answer: 'б',
sol: R`Введём координаты $A(0;0;0)$, $B(9;0;0)$, $C\left(4{,}5;\dfrac{9\sqrt3}{2};0\right)$ и верхние вершины со сдвигом $+9$ по оси $z$. Секущая плоскость через $K,M,P$ пересекает грань $AA_1B_1B$ (плоскость $y=0$) по прямой $10{,}5x-9z=54$. Её отрезок внутри грани идёт от $\left(\dfrac{36}{7};0;0\right)$ до $P(9;0;4{,}5)$; длина $\sqrt{\left(\dfrac{27}{7}\right)^{2}+4{,}5^{2}}=\dfrac{9\sqrt{85}}{14}$.`,
- ref: 'Латотин «Геометрия, 10 кл.», разд. 4' },
+ ref: 'Геометрия, 10 класс, разд. 4' },
// ── Часть B: В1–В12 ──────────────────────────────────────────────────────
{ idx: 19, type: 'long', topic: 'functions', subtopic: 'fn-properties', diff: 3,
@@ -176,73 +176,73 @@ const TASKS = [
answer: 'А1Б6В3',
ansShow: 'А1Б6В3',
sol: R`А) График пересекает $Oy$ в точке $(0;f(0))=(0;-3)$, сумма координат $-3$ (окончание 1). Б) Сумма нулей по теореме Виета равна $10$ (окончание 6). В) Ось симметрии $x=\dfrac{10}{2}=5$, значит $a=5$ (окончание 3). Ответ: А1Б6В3.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 8 кл.», гл. 3' },
+ ref: 'Алгебра, 8 класс, гл. 3' },
{ idx: 20, type: 'open', topic: 'functions', subtopic: 'fn-properties', diff: 3,
text: R`Функция $y=f(x)$ на промежутке $[-6;4]$ задана ломаной, последовательно соединяющей точки $(-6;-1)$, $(-5;0)$, $(-4;1)$, $(-3;1)$, $(-2;0)$, $(0;-3)$, $(2;-2)$, $(4;3)$. Выберите номера верных утверждений (запишите цифрами в порядке возрастания).
$1)$ нулём функции является число $-3$;
$2)$ $f(x)>0$ при $x\in(-5;-2)$;
$3)$ функция возрастает на промежутке $[2;4]$;
$4)$ наибольшее значение функции на $[-6;4]$ равно $2$;
$5)$ график пересекает ось ординат в точке $(0;-2)$.`,
answer: '23',
sol: R`Нули функции — $-5$ и $-2$ (не $-3$), значит 1 неверно. На $(-5;-2)$ ломаная положительна — 2 верно. На $[2;4]$: $f(2)=-2b$, $a+b=85$ и НОК$(a;b)=102$. Найдите число $b$.`,
answer: '34',
sol: R`Пусть $d=$НОД$(a;b)$, $a=dm$, $b=dn$, $\gcd(m;n)=1$. Тогда $d(m+n)=85$, $dmn=102$; общий делитель $85$ и $102$ равен $17$, поэтому $d=17$, $m+n=5$, $mn=6$, откуда $m=3$, $n=2$. Значит $a=51$, $b=34$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 9 кл.», гл. 4' },
+ ref: 'Алгебра, 9 класс, гл. 4' },
{ idx: 26, type: 'open', topic: 'equations', subtopic: 'eq-exponential', diff: 3,
text: R`Найдите увеличенное в $6$ раз произведение корней уравнения $3^{x^{2}}\cdot5^{x^{2}}=15^{3}$.`,
answer: '-18',
sol: R`$3^{x^{2}}\cdot5^{x^{2}}=15^{x^{2}}=15^{3}$, поэтому $x^{2}=3$, $x=\pm\sqrt3$. Произведение корней $-3$; увеличенное в $6$ раз — это $-18$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 11 кл.», гл. 2' },
+ ref: 'Алгебра, 11 класс, гл. 2' },
{ idx: 27, type: 'open', topic: 'stereometry', subtopic: 'ster-polyhedra', diff: 4,
text: R`В основании пирамиды $SABCD$ лежит квадрат $ABCD$ со стороной $1$. Боковое ребро $SB$ перпендикулярно плоскости основания и равно $3$. Найдите значение выражения $\dfrac{13}{\cos\varphi}$, где $\varphi$ — линейный угол двугранного угла при боковом ребре $SD$.`,
answer: '-130',
sol: R`Координаты $A(0;0;0)$, $B(1;0;0)$, $C(1;1;0)$, $D(0;1;0)$, $S(1;0;3)$. Для двугранного угла при ребре $SD$ берём в гранях $SAD$ и $SCD$ векторы из $D$, перпендикулярные $DS$. Вычисление даёт $\cos\varphi=-\dfrac{1}{10}$, поэтому $\dfrac{13}{\cos\varphi}=-130$.`,
- ref: 'Латотин «Геометрия, 10 кл.», разд. 4' },
+ ref: 'Геометрия, 10 класс, разд. 4' },
{ idx: 28, type: 'open', topic: 'equations', subtopic: 'eq-rational', diff: 4,
text: R`Найдите сумму целых решений неравенства $\dfrac{(x^{2}-x-12)(6-x)^{2}}{6-x^{2}-x}\ge0$.`,
answer: '13',
sol: R`После сокращения на $(x+3)$ (при $x\ne-3$): $\dfrac{(x-4)(6-x)^{2}}{-(x-2)}\ge0$. Множитель $(6-x)^{2}\ge0$, поэтому решение — промежуток $(2;4]$ и отдельная точка $x=6$. Целые решения $3,4,6$; их сумма $13$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 9 кл.», гл. 3' },
+ ref: 'Алгебра, 9 класс, гл. 3' },
{ idx: 29, type: 'open', topic: 'word-sequences', subtopic: 'word-problems', diff: 5,
text: R`От пристани $B$ отплывает плот и одновременно против течения отходит катер. Доплыв до пристани $A$ (на расстоянии $s_1$ от $B$ выше по течению), катер разворачивается и плывёт к пристани $C$ (на расстоянии $s_2$ ниже по течению от $B$). Найдите наибольшее возможное значение скорости катера (в км/ч) в стоячей воде, при которой он прибудет к $C$ не раньше плота, если скорость течения равна $4$ км/ч и $s_1:s_2=7:2$.`,
answer: '32',
sol: R`Пусть $u$ — скорость катера, $s_1=7k$, $s_2=2k$. Время плота $\dfrac{2k}{4}=\dfrac{k}{2}$, время катера $\dfrac{7k}{u-4}+\dfrac{9k}{u+4}$. Наибольшему $u$ отвечает равенство $\dfrac{7}{u-4}+\dfrac{9}{u+4}=\dfrac12$, откуда $u^{2}-32u=0$, $u=32$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 9 кл.», гл. 1' },
+ ref: 'Алгебра, 9 класс, гл. 1' },
{ idx: 30, type: 'open', topic: 'stereometry', subtopic: 'ster-polyhedra', diff: 5,
text: R`В правильной треугольной пирамиде $SABC$ с вершиной $S$ проведена медиана $CM$ треугольника $SBC$ ($M$ — середина $SB$); $BC=2\sqrt7$, $SB=\sqrt{85}$. Через середину $K$ ребра $SC$ проведена прямая $KD$, параллельная ребру $AB$. Через точку $A$ проведена прямая, пересекающая прямые $CM$ и $KD$ в точках $P$ и $T$ соответственно. Найдите увеличенную в $18$ раз длину отрезка $PT$.`,
answer: '45',
sol: R`Введём координаты основания (сторона $2\sqrt7$) и вершины $S$ (из $SB=\sqrt{85}$ высота $h^{2}=\dfrac{227}{3}$). Прямая через $A$, пересекающая $CM$ и $KD$, определяется условием коллинеарности: $P$ делит $CM$ так, что $\lambda=\dfrac23$, а $T$ лежит на $KD$. Тогда $PT^{2}=\left(\dfrac{2\sqrt7}{3}\right)^{2}+\left(\dfrac{2\sqrt{21}}{9}\right)^{2}+\left(\dfrac{h}{6}\right)^{2}=\dfrac{2025}{324}$, откуда $PT=\dfrac{45}{18}=\dfrac52$. Увеличенная в $18$ раз длина — $45$.`,
- ref: 'Латотин «Геометрия, 11 кл.», разд. 1' },
+ ref: 'Геометрия, 11 класс, разд. 1' },
];
/* ── Сборка solution_html ────────────────────────────────────────────────── */
diff --git a/backend/scripts/seed_ctmath_ct2019_v1.js b/backend/scripts/seed_ctmath_ct2019_v1.js
index 8f6b1a0..8d7a1a0 100644
--- a/backend/scripts/seed_ctmath_ct2019_v1.js
+++ b/backend/scripts/seed_ctmath_ct2019_v1.js
@@ -48,126 +48,126 @@ const TASKS = [
opts: mc('$F$', '$A$', '$B$', '$C$', '$D$'),
answer: 'д',
sol: R`$\dfrac{7\pi}{6}\approx3{,}67$ лежит в промежутке $(3;4)$, которому соответствует точка $D$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 10 кл.», гл. 1' },
+ ref: 'Алгебра, 10 класс, гл. 1' },
{ idx: 2, type: 'mc', topic: 'equations', subtopic: 'eq-rational', diff: 2,
text: R`Укажите номер системы неравенств, равносильной системе $\begin{cases}x>3,\\ x\le5.\end{cases}$
$1)\ \begin{cases}x-2>1,\\ x+1\le6;\end{cases}$ $\ 2)\ \begin{cases}2x>3,\\ x\le5;\end{cases}$ $\ 3)\ \begin{cases}x>3,\\ x+2\le3;\end{cases}$ $\ 4)\ \begin{cases}x+1>2,\\ x\le5;\end{cases}$ $\ 5)\ \begin{cases}x>3,\\ -x\le5.\end{cases}$`,
opts: mc('$1$', '$2$', '$3$', '$4$', '$5$'),
answer: 'а',
sol: R`В системе 1: $x-2>1\Rightarrow x>3$ и $x+1\le6\Rightarrow x\le5$ — это и есть данная система.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 8 кл.», гл. 3' },
+ ref: 'Алгебра, 8 класс, гл. 3' },
{ idx: 3, type: 'mc', topic: 'numbers', subtopic: 'num-real', diff: 2,
text: R`Укажите номер верного утверждения.
$1)\ 11^{16}=121^{4}$; $\ 2)\ -\dfrac37>-\dfrac47$; $\ 3)\ \sqrt{79}>9$; $\ 4)\ 0{,}72<0{,}702$; $\ 5)\ 6^{1/5}=6^{-5}$.`,
opts: mc('$1$', '$2$', '$3$', '$4$', '$5$'),
answer: 'б',
sol: R`$-\dfrac37>-\dfrac47$ — верно (утверждение 2). Остальные неверны: $121^{4}=11^{8}\ne11^{16}$; $\sqrt{79}<9$; $0{,}72>0{,}702$; $6^{1/5}\ne6^{-5}$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 8 кл.», гл. 1' },
+ ref: 'Алгебра, 8 класс, гл. 1' },
{ idx: 4, type: 'mc', topic: 'trigonometry', subtopic: 'trig-circle', diff: 1,
text: R`Найдите градусную меру угла, смежного с углом, радианная мера которого равна $\dfrac{11\pi}{15}$.`,
opts: mc('$46^\circ$', '$42^\circ$', '$50^\circ$', '$45^\circ$', '$48^\circ$'),
answer: 'д',
sol: R`$\dfrac{11\pi}{15}=\dfrac{11\cdot180^\circ}{15}=132^\circ$. Смежный угол равен $180^\circ-132^\circ=48^\circ$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 10 кл.», гл. 1' },
+ ref: 'Алгебра, 10 класс, гл. 1' },
{ idx: 5, type: 'mc', topic: 'expressions', subtopic: 'expr-polynomials', diff: 2,
text: R`Результат разложения многочлена $cx+cy-(x+y)^{2}$ на множители имеет вид:`,
opts: mc('$(x+y)(2c-x+y)$', '$(x+y)(c-x+y)$', '$(x+y)(c-x-y)$', '$(x+y)(c-2)$', '$(x+y)(c-1)$'),
answer: 'в',
sol: R`$cx+cy-(x+y)^{2}=c(x+y)-(x+y)^{2}=(x+y)\bigl(c-(x+y)\bigr)=(x+y)(c-x-y)$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 7 кл.», гл. 2' },
+ ref: 'Алгебра, 7 класс, гл. 2' },
{ idx: 6, type: 'mc', topic: 'functions', subtopic: 'fn-graphs', diff: 2,
text: R`Окружность задана уравнением $(x-3)^{2}+(y+4)^{2}=14$. Укажите номер верного утверждения.
$1)$ точка $A(-4;3)$ лежит на окружности;
$2)$ центром окружности является точка $O(-3;4)$;
$3)$ диаметр окружности равен $14$;
$4)$ прямая $y=2x-10$ проходит через центр окружности;
$5)$ радиус окружности равен $7$.`,
opts: mc('$1$', '$2$', '$3$', '$4$', '$5$'),
answer: 'г',
sol: R`Центр окружности $(3;-4)$. Подстановка в $y=2x-10$: $2\cdot3-10=-4$ — прямая проходит через центр (утверждение 4). Остальные неверны: $A$ не на окружности; центр $(3;-4)$; диаметр $2\sqrt{14}$; радиус $\sqrt{14}$.`,
- ref: 'Латотин «Геометрия, 8 кл.», разд. 5' },
+ ref: 'Геометрия, 8 класс, разд. 5' },
{ idx: 7, type: 'mc', topic: 'planimetry', subtopic: 'plan-triangles', diff: 2,
text: R`Точка $A(5;-3)$ — узел координатной сетки. Точка $B$ симметрична точке $A$ относительно начала координат. Найдите длину отрезка $AB$.`,
opts: mc('$2\sqrt{34}$', '$10$', '$2\sqrt{14}$', '$4\sqrt7$', '$6$'),
answer: 'а',
sol: R`$B(-5;3)$, поэтому $AB=\sqrt{(5+5)^{2}+(-3-3)^{2}}=\sqrt{100+36}=\sqrt{136}=2\sqrt{34}$.`,
- ref: 'Латотин «Математика, 6 кл.», гл. 7' },
+ ref: 'Математика, 6 класс, гл. 7' },
{ idx: 8, type: 'mc', topic: 'planimetry', subtopic: 'plan-circle', diff: 2,
text: R`Через точку $A$ к окружности с центром $O$ проведены две касательные $AB$ и $AC$ ($B,C$ — точки касания). Найдите градусную меру угла $BAC$, если $\angle OBC=33^\circ$.`,
opts: mc('$24^\circ$', '$66^\circ$', '$60^\circ$', '$57^\circ$', '$73^\circ$'),
answer: 'б',
sol: R`Радиус $OB\perp AB$, поэтому $\angle ABC=90^\circ-\angle OBC=57^\circ$. Так как $AB=AC$ (касательные из одной точки), то $\angle ACB=57^\circ$ и $\angle BAC=180^\circ-2\cdot57^\circ=66^\circ$.`,
- ref: 'Казаков «Геометрия, 9 кл.», гл. 1' },
+ ref: 'Геометрия, 9 класс, гл. 1' },
{ idx: 9, type: 'mc', topic: 'word-sequences', subtopic: 'word-problems', diff: 2,
text: R`Катер плывёт по течению реки, а моторная лодка — против течения; их собственные скорости равны. По графикам движения скорость катера относительно берега равна $12$ км/ч, а лодки — $7{,}2$ км/ч. Найдите скорость течения реки.`,
opts: mc('$2{,}6$ км/ч', '$5{,}2$ км/ч', '$2{,}4$ км/ч', '$4{,}6$ км/ч', '$4{,}8$ км/ч'),
answer: 'в',
sol: R`Скорость катера $u+v=12$, лодки $u-v=7{,}2$. Вычитая, $2v=4{,}8$, $v=2{,}4$ км/ч.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 7 кл.», гл. 3' },
+ ref: 'Алгебра, 7 класс, гл. 3' },
{ idx: 10, type: 'mc', topic: 'equations', subtopic: 'eq-quadratic', diff: 2,
text: R`Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^{2}-3x+q=0$. Найдите число $q$, при котором выполняется равенство $x_1^{2}+x_2^{2}=25$.`,
opts: mc('$-8$', '$-3$', '$8$', '$3$', '$-5$'),
answer: 'а',
sol: R`По теореме Виета $x_1+x_2=3$, $x_1x_2=q$. Тогда $x_1^{2}+x_2^{2}=(x_1+x_2)^{2}-2x_1x_2=9-2q=25$, откуда $q=-8$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 8 кл.», гл. 2' },
+ ref: 'Алгебра, 8 класс, гл. 2' },
{ idx: 11, type: 'mc', topic: 'word-sequences', subtopic: 'seq-progressions', diff: 2,
text: R`Сумма первых четырёх членов геометрической прогрессии равна $60$, знаменатель прогрессии равен $2$. Найдите второй член прогрессии.`,
opts: mc('$5$', '$16$', '$6$', '$4$', '$8$'),
answer: 'д',
sol: R`$S_4=b_1\cdot\dfrac{2^{4}-1}{2-1}=15b_1=60$, откуда $b_1=4$. Второй член $b_2=b_1\cdot2=8$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 9 кл.», гл. 4' },
+ ref: 'Алгебра, 9 класс, гл. 4' },
{ idx: 12, type: 'mc', topic: 'planimetry', subtopic: 'plan-triangles', diff: 2,
text: R`В треугольнике $ABC$ $\angle ACB=90^\circ$, $AB=8$, $\operatorname{ctg}\angle BAC=\sqrt{15}$. Найдите длину стороны $CB$.`,
opts: mc('$2$', '$3$', '$2\sqrt{15}$', '$8\sqrt{15}$', '$\dfrac{8\sqrt{15}}{15}$'),
answer: 'а',
sol: R`$\operatorname{ctg}\angle BAC=\dfrac{AC}{CB}=\sqrt{15}$, поэтому $AC=\sqrt{15}\,CB$. Из $AC^{2}+CB^{2}=AB^{2}$: $15CB^{2}+CB^{2}=64$, $CB^{2}=4$, $CB=2$.`,
- ref: 'Казаков «Геометрия, 8 кл.», гл. 2' },
+ ref: 'Геометрия, 8 класс, гл. 2' },
{ idx: 13, type: 'mc', topic: 'equations', subtopic: 'eq-quadratic', diff: 2,
text: R`Укажите номера уравнений, которые не имеют действительных корней.
$1)\ x^{2}=49$; $\ 2)\ \dfrac{1}{x^{2}-49}=0$; $\ 3)\ x^{2}+49=0$; $\ 4)\ x^{2}+49x=0$; $\ 5)\ x^{2}+x-49=0$.`,
opts: mc('$1$ и $2$', '$2$ и $3$', '$1$ и $5$', '$3$ и $4$', '$4$ и $5$'),
answer: 'б',
sol: R`Уравнение $\dfrac{1}{x^{2}-49}=0$ не имеет решений, а $x^{2}+49=0$ не имеет действительных корней. Остальные корни имеют. Значит уравнения $2$ и $3$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 8 кл.», гл. 2' },
+ ref: 'Алгебра, 8 класс, гл. 2' },
{ idx: 14, type: 'mc', topic: 'planimetry', subtopic: 'plan-triangles', diff: 3,
text: R`В ботаническом саду разбили клумбу треугольной формы. Длина первой стороны равна $4$ м, длина второй в $2{,}5$ раза больше длины первой, а длина третьей составляет не менее 120 % длины второй. Какому условию должен удовлетворять периметр $P$ (в метрах) этой клумбы?`,
opts: mc('$2626$', '$26\le P\le28$'),
answer: 'в',
sol: R`Первая сторона $4$ м, вторая $10$ м, третья $c\ge12$ м. По неравенству треугольника $c<4+10=14$. Значит $12\le c<14$, и $P=14+c$, то есть $26\le P<28$.`,
- ref: 'Казаков «Геометрия, 7 кл.», гл. 3' },
+ ref: 'Геометрия, 7 класс, гл. 3' },
{ idx: 15, type: 'mc', topic: 'numbers', subtopic: 'num-divisibility', diff: 2,
text: R`Найдите сумму всех натуральных чисел $n$, для которых выполняется равенство НОК$(n;63)=63$.`,
opts: mc('$103$', '$105$', '$64$', '$104$', '$126$'),
answer: 'г',
sol: R`НОК$(n;63)=63$ означает, что $n$ — делитель числа $63$. Делители: $1,3,7,9,21,63$; их сумма $104$.`,
- ref: 'Герасимов «Математика, 6 кл.», гл. 1' },
+ ref: 'Математика, 6 класс, гл. 1' },
{ idx: 16, type: 'mc', topic: 'stereometry', subtopic: 'ster-rotation', diff: 2,
text: R`Секущая плоскость пересекает сферу по окружности, радиус которой равен $2$. Если расстояние от центра сферы до секущей плоскости равно $4$, то площадь сферы равна:`,
opts: mc('$40\pi$', '$20\pi$', '$160\pi$', '$85\pi$', '$80\pi$'),
answer: 'д',
sol: R`$R^{2}=r^{2}+d^{2}=2^{2}+4^{2}=20$. Площадь сферы $4\pi R^{2}=80\pi$.`,
- ref: 'Латотин «Геометрия, 11 кл.», разд. 3' },
+ ref: 'Геометрия, 11 класс, разд. 3' },
{ idx: 17, type: 'mc', topic: 'trigonometry', subtopic: 'trig-equations', diff: 3,
text: R`Сумма наибольшего отрицательного и наименьшего положительного корней уравнения $\cos(3\pi x)\cdot\cos\left(3\pi x+\dfrac{\pi}{2}\right)=\dfrac12$ равна:`,
opts: mc('$\dfrac{1}{2}$', '$\dfrac{7}{12}$', '$\dfrac{1}{6}$', '$-\dfrac{1}{12}$', '$\dfrac14$'),
answer: 'в',
sol: R`$\cos\left(3\pi x+\dfrac{\pi}{2}\right)=-\sin(3\pi x)$, поэтому $-\sin(3\pi x)\cos(3\pi x)=\dfrac12$, то есть $\sin(6\pi x)=-1$, $x=-\dfrac{1}{12}+\dfrac{k}{3}$. Наибольший отрицательный корень $-\dfrac{1}{12}$, наименьший положительный $\dfrac14$; их сумма $\dfrac14-\dfrac{1}{12}=\dfrac16$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 10 кл.», гл. 1, § 8' },
+ ref: 'Алгебра, 10 класс, гл. 1, § 8' },
{ idx: 18, type: 'mc', topic: 'stereometry', subtopic: 'ster-polyhedra', diff: 4,
text: R`$ABCA_1B_1C_1$ — правильная треугольная призма, все рёбра которой равны $24\sqrt3$. Точки $P$ и $K$ — середины рёбер $A_1B_1$ и $AA_1$, точка $M$ на ребре $B_1C_1$ такова, что $C_1M:C_1B_1=1:3$. Найдите длину отрезка, по которому плоскость, проходящая через $M,P,K$, пересекает грань $BB_1C_1C$.`,
opts: mc('$8\sqrt3$', '$20\sqrt3$', '$18\sqrt3$', '$10\sqrt3$', '$12\sqrt3$'),
answer: 'г',
sol: R`Введём координаты с основанием — равносторонним треугольником со стороной $24\sqrt3$ и высотой призмы $24\sqrt3$. Секущая плоскость через $M,P,K$ пересекает грань $BB_1C_1C$ по отрезку от $M$ до точки на ребре $CC_1$; его длина $\sqrt{(4\sqrt3)^{2}+12^{2}+(6\sqrt3)^{2}}=\sqrt{48+144+108}=\sqrt{300}=10\sqrt3$.`,
- ref: 'Латотин «Геометрия, 10 кл.», разд. 4' },
+ ref: 'Геометрия, 10 класс, разд. 4' },
// ── Часть B: В1–В12 ──────────────────────────────────────────────────────
{ idx: 19, type: 'long', topic: 'expressions', subtopic: 'expr-powers-roots', diff: 3,
@@ -175,73 +175,73 @@ const TASKS = [
answer: 'А4Б3В1',
ansShow: 'А4Б3В1',
sol: R`А) $2^{-8}:2^{0}=2^{-8}=\dfrac{1}{256}$ (окончание 4). Б) $(-2)^{-11}\cdot8=-\dfrac{1}{2048}\cdot8=-\dfrac{1}{256}$ (окончание 3). В) $20^{4}:(-5)^{4}=\left(\dfrac{20}{5}\right)^{4}=4^{4}=256$ (окончание 1). Ответ: А4Б3В1.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 7 кл.», гл. 1' },
+ ref: 'Алгебра, 7 класс, гл. 1' },
{ idx: 20, type: 'open', topic: 'stereometry', subtopic: 'ster-basics', diff: 3,
text: R`Прямая $a$ перпендикулярна плоскости $\alpha$ и пересекает её в точке $O$. Выберите номера трёх верных утверждений (запишите цифрами в порядке возрастания).
$1)$ любая прямая, перпендикулярная плоскости $\alpha$, параллельна прямой $a$;
$2)$ любая прямая, перпендикулярная прямой $a$, лежит в плоскости $\alpha$;
$3)$ прямая $a$ перпендикулярна любой прямой плоскости $\alpha$;
$4)$ через прямую $a$ проходит единственная плоскость, перпендикулярная плоскости $\alpha$;
$5)$ существует множество плоскостей, перпендикулярных прямой $a$;
$6)$ существует единственная прямая, параллельная прямой $a$ и перпендикулярная плоскости $\alpha$.`,
answer: '135',
sol: R`Верны утверждения $1$ (все прямые, перпендикулярные $\alpha$, параллельны между собой), $3$ ($a\perp\alpha$ означает перпендикулярность любой прямой плоскости) и $5$ (плоскостей, перпендикулярных $a$, бесконечно много). Утверждения $2,4,6$ неверны.`,
- ref: 'Латотин «Геометрия, 10 кл.», разд. 2' },
+ ref: 'Геометрия, 10 класс, разд. 2' },
{ idx: 21, type: 'open', topic: 'word-sequences', subtopic: 'word-problems', diff: 3,
text: R`В двух сосудах содержится $57$ л жидкости. Если 5 % жидкости из первого сосуда перелить во второй, то в обоих сосудах окажется одинаковое количество жидкости. Сколько литров жидкости было во втором сосуде первоначально?`,
answer: '27',
sol: R`Пусть в первом сосуде $a$ л, во втором $b$ л, $a+b=57$. После переливания: $0{,}95a=b+0{,}05a$, то есть $0{,}9a=b$. Тогда $a+0{,}9a=57$, $a=30$, $b=27$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 7 кл.», гл. 3' },
+ ref: 'Алгебра, 7 класс, гл. 3' },
{ idx: 22, type: 'open', topic: 'equations', subtopic: 'eq-irrational', diff: 3,
text: R`Найдите сумму корней (корень, если он единственный) уравнения $\sqrt{x^{2}-9x+8}-\sqrt{23-11x}=0$.`,
answer: '-5',
sol: R`$\sqrt{x^{2}-9x+8}=\sqrt{23-11x}$, поэтому $x^{2}-9x+8=23-11x$, $x^{2}+2x-15=0$, $x=3$ или $x=-5$. ОДЗ ($x\le\dfrac{23}{11}$ и $x^{2}-9x+8\ge0$) удовлетворяет лишь $x=-5$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 10 кл.», гл. 2, § 17' },
+ ref: 'Алгебра, 10 класс, гл. 2, § 17' },
{ idx: 23, type: 'open', topic: 'planimetry', subtopic: 'plan-quadrilaterals', diff: 4,
text: R`В трапеции $ABCD$ с основаниями $AD>BC$ точка пересечения её диагоналей делит диагональ $AC$ на отрезки длиной $6$ и $4$. Найдите площадь трапеции $ABCD$, если площадь треугольника $ABC$ равна $20$.`,
answer: '50',
sol: R`Из подобия $\dfrac{AD}{BC}=\dfrac{AO}{OC}=\dfrac64=\dfrac32$. Площадь $ABC=\dfrac12\,BC\cdot h=20$ ($h$ — высота трапеции), значит $BC\cdot h=40$. Площадь трапеции $\dfrac12(AD+BC)h=\dfrac12\left(\dfrac32 BC+BC\right)h=\dfrac54\,BC\cdot h=\dfrac54\cdot40=50$.`,
- ref: 'Казаков «Геометрия, 8 кл.», гл. 4' },
+ ref: 'Геометрия, 8 класс, гл. 4' },
{ idx: 24, type: 'open', topic: 'equations', subtopic: 'eq-rational', diff: 4,
text: R`Найдите произведение наибольшего целого решения на количество всех целых решений неравенства $\dfrac{x^{2}-x-20}{(x^{2}+4x)^{2}}\le0$.`,
answer: '40',
sol: R`После сокращения $\dfrac{(x-5)(x+4)}{x^{2}(x+4)^{2}}=\dfrac{x-5}{x^{2}(x+4)}\le0$. Так как $x^{2}>0$, знак определяет $\dfrac{x-5}{x+4}\le0$, то есть $-40$ и $\log_{\sqrt7}(x-3)\ne0$, то есть $x>3$, $x\ne4$. Итого $x\in(3;8]$, $x\ne4$. Целые $5,6,7,8$; их сумма $26$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 11 кл.», гл. 3' },
+ ref: 'Алгебра, 11 класс, гл. 3' },
{ idx: 29, type: 'open', topic: 'word-sequences', subtopic: 'word-problems', diff: 5,
text: R`Двое рабочих различной квалификации выполнили работу. Первый проработал $3$ ч, прежде чем к нему присоединился второй. Если бы сначала второй работал $3$ ч, а затем к нему присоединился первый, то работа была бы закончена на $36$ мин позже. Первый рабочий шестую часть работы выполняет на $2$ ч быстрее, чем второй выполняет третью часть. Сколько минут заняло выполнение всей работы?`,
answer: '288',
sol: R`Пусть производительности $r_1,r_2$. Разность сценариев $\dfrac{3(r_1-r_2)}{r_1+r_2}=0{,}6$ даёт $r_1=1{,}5r_2$; условие $\dfrac{1/3}{r_2}-\dfrac{1/6}{r_1}=2$ даёт $r_2=\dfrac19$, $r_1=\dfrac16$. Тогда первый за $3$ ч выполнит половину, остальное вместе за $\dfrac{1/2}{5/18}=1{,}8$ ч; всего $4{,}8$ ч $=288$ мин.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 9 кл.», гл. 1' },
+ ref: 'Алгебра, 9 класс, гл. 1' },
{ idx: 30, type: 'open', topic: 'stereometry', subtopic: 'ster-rotation', diff: 5,
text: R`Прямоугольный треугольник, длина гипотенузы которого равна $10$, а высота, проведённая к ней, равна $3$, вращается вокруг прямой, перпендикулярной гипотенузе и проходящей в плоскости треугольника через вершину большего острого угла. Найдите объём $V$ тела вращения и в ответ запишите значение выражения $\dfrac{V}{\pi}$.`,
answer: '110',
sol: R`Высота делит гипотенузу на отрезки $1$ и $9$ ($AD\cdot DB=3^{2}$). Больший острый угол — у вершины при меньшем отрезке. В координатах $A(0;0)$, $C(1;3)$, $B(10;0)$; ось вращения — прямая $x=0$ через $A$. По теореме Гульдина $V=2\pi\,x_{c}\,S$, где $x_{c}=\dfrac{0+1+10}{3}=\dfrac{11}{3}$, $S=15$. Тогда $V=2\pi\cdot\dfrac{11}{3}\cdot15=110\pi$, и $\dfrac{V}{\pi}=110$.`,
- ref: 'Латотин «Геометрия, 11 кл.», разд. 2' },
+ ref: 'Геометрия, 11 класс, разд. 2' },
];
/* ── Сборка solution_html ────────────────────────────────────────────────── */
diff --git a/backend/scripts/seed_ctmath_rt2223_e1v1.js b/backend/scripts/seed_ctmath_rt2223_e1v1.js
index 4152d86..6d9572e 100644
--- a/backend/scripts/seed_ctmath_rt2223_e1v1.js
+++ b/backend/scripts/seed_ctmath_rt2223_e1v1.js
@@ -78,190 +78,190 @@ const TASKS = [
opts: mc('$-\dfrac58$', '$2$', '$\dfrac85$', '$\dfrac58$', '$-\dfrac85$'),
answer: 'г',
sol: R`Положительны числа $2$, $\dfrac85$ и $\dfrac58$. Из них меньше единицы только $\dfrac58$ (так как $2>1$ и $\dfrac85>1$).`,
- ref: 'Герасимов «Математика, 6 кл.», гл. 4, § 3' },
+ ref: 'Математика, 6 класс, гл. 4, § 3' },
{ idx: 2, type: 'mc', topic: 'numbers', subtopic: 'num-divisibility', diff: 2,
text: R`Среди данных утверждений укажите номер верного.
1) число $0$ — делитель числа $19$;
2) число $7$ — делитель числа $37$;
3) число $8$ — делитель числа $8$;
4) число $3$ — делитель числа $43$;
5) число $6$ — делитель числа $26$.`,
opts: mc('утверждение 1', 'утверждение 2', 'утверждение 3', 'утверждение 4', 'утверждение 5'),
answer: 'в',
sol: R`Делитель числа делит его без остатка. $\ 1)$ деление на $0$ не имеет смысла — неверно. $\ 2)$ $37=5\cdot7+2$ — неверно. $\ 3)$ $8:8=1$ — верно. $\ 4)$ $43=14\cdot3+1$ — неверно. $\ 5)$ $26=4\cdot6+2$ — неверно.`,
- ref: 'Герасимов «Математика, 5 кл.», ч. 1, гл. 1, § 12' },
+ ref: 'Математика, 5 класс, ч. 1, гл. 1, § 12' },
{ idx: 3, type: 'mc', topic: 'planimetry', subtopic: 'plan-triangles', diff: 2,
text: R`Треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны, причём $\angle A=105^\circ$ и $\angle C_1=30^\circ$. Найдите градусную меру угла $B$ треугольника $ABC$.`,
opts: mc('$55^\circ$', '$45^\circ$', '$50^\circ$', '$35^\circ$', '$40^\circ$'),
answer: 'б',
sol: R`У подобных треугольников соответственные углы равны, поэтому $\angle C=\angle C_1=30^\circ$. По теореме о сумме градусных мер углов треугольника $\angle B=180^\circ-\angle A-\angle C=180^\circ-105^\circ-30^\circ=45^\circ$.`,
- ref: 'Казаков «Геометрия, 8 кл.», гл. 3, § 20' },
+ ref: 'Геометрия, 8 класс, гл. 3, § 20' },
{ idx: 4, type: 'mc', topic: 'equations', subtopic: 'eq-linear', diff: 1,
text: R`Среди чисел $-1$, $\ 2$, $\ \dfrac13$, $\ 1$, $\ -\dfrac13$ укажите то, которое является корнем уравнения $1-3x=2$.`,
opts: mc('$-1$', '$2$', '$\dfrac13$', '$1$', '$-\dfrac13$'),
answer: 'д',
sol: R`Из уравнения $1-3x=2$ получаем $-3x=1$, то есть $x=-\dfrac13$. Это число и есть корень.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 7 кл.», гл. 3, § 15' },
+ ref: 'Алгебра, 7 класс, гл. 3, § 15' },
{ idx: 5, type: 'mc', topic: 'functions', subtopic: 'fn-graphs', diff: 1,
text: R`График функции $y=x^{2}-4$ — парабола. Укажите верное утверждение о её расположении на координатной плоскости.`,
opts: mc('ветви вверх, вершина в точке $(0;-4)$', 'ветви вниз, вершина в точке $(0;-4)$', 'ветви вверх, вершина в точке $(0;4)$', 'ветви вниз, вершина в точке $(0;4)$', 'ветви вверх, вершина в точке $(4;0)$'),
answer: 'а',
sol: R`График $y=x^{2}-4$ получается из графика $y=x^{2}$ сдвигом на $4$ единицы вниз вдоль оси ординат. Это парабола с ветвями вверх и вершиной в точке $(0;-4)$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 8 кл.», гл. 3, § 13' },
+ ref: 'Алгебра, 8 класс, гл. 3, § 13' },
{ idx: 6, type: 'open', topic: 'functions', subtopic: 'fn-properties', diff: 2,
text: R`Укажите номера функций, для которых выполняется неравенство $f(0)<-3$.
1) $f(x)=x^{2}-6$;
2) $f(x)=|x-4|$;
3) $f(x)=|x|-3$;
4) $f(x)=x^{3}-4$;
5) $f(x)=(x-8)^{2}$.
Ответ запишите цифрами в порядке возрастания, без пробелов.`,
answer: '14', ansShow: '1, 4',
sol: R`Найдём $f(0)$: $\ 1)$ $0-6=-6<-3$ — верно. $\ 2)$ $|-4|=4$ — нет. $\ 3)$ $|0|-3=-3$, не меньше $-3$ — нет. $\ 4)$ $0-4=-4<-3$ — верно. $\ 5)$ $(-8)^{2}=64$ — нет. Подходят функции 1 и 4.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 9 кл.», гл. 2, § 6' },
+ ref: 'Алгебра, 9 класс, гл. 2, § 6' },
{ idx: 7, type: 'mc', topic: 'word-sequences', subtopic: 'word-problems', diff: 2,
text: R`Руда содержит $5\%$ чистого металла. Сколько тонн руды необходимо взять, чтобы получить $13$ т чистого металла?`,
opts: mc('$130$', '$230$', '$160$', '$260$', '$390$'),
answer: 'г',
sol: R`Пусть нужно взять $x$ т руды. Составим пропорцию: $x$ т — $100\%$, $13$ т — $5\%$. Тогда $x=\dfrac{13\cdot100}{5}=260$ (т).`,
- ref: 'Герасимов «Математика, 6 кл.», гл. 2, § 1–2' },
+ ref: 'Математика, 6 класс, гл. 2, § 1–2' },
{ idx: 8, type: 'mc', topic: 'expressions', subtopic: 'expr-powers-roots', diff: 1,
text: R`Найдите значение выражения $\dfrac{7\sqrt[3]{48}}{\sqrt[3]{6}}$.`,
opts: mc('$7\sqrt[3]{6}$', '$14$', '$7\sqrt[3]{2}$', '$7$', '$28$'),
answer: 'б',
sol: R`$\dfrac{7\sqrt[3]{48}}{\sqrt[3]{6}}=7\sqrt[3]{\dfrac{48}{6}}=7\sqrt[3]{8}=7\cdot2=14$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 10 кл.», гл. 2, § 14' },
+ ref: 'Алгебра, 10 класс, гл. 2, § 14' },
{ idx: 9, type: 'mc', topic: 'stereometry', subtopic: 'ster-polyhedra', diff: 2,
text: R`Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Найдите площадь его диагонального сечения $AA_1C_1C$, если диагональ основания $AC=2\sqrt6$, а диагональ $A_1C=7$.`,
opts: mc('$12\sqrt3$', '$4\sqrt{37}$', '$9\sqrt6$', '$14\sqrt6$', '$10\sqrt6$'),
answer: 'д',
sol: R`Сечение $AA_1C_1C$ — прямоугольник со сторонами $AC$ и боковым ребром $A_1A$. По теореме Пифагора в треугольнике $A_1AC$: $A_1A=\sqrt{A_1C^{2}-AC^{2}}=\sqrt{49-24}=\sqrt{25}=5$. Площадь сечения $AC\cdot A_1A=2\sqrt6\cdot5=10\sqrt6$.`,
- ref: 'Латотин «Геометрия, 11 кл.», разд. 1, § 1' },
+ ref: 'Геометрия, 11 класс, разд. 1, § 1' },
{ idx: 10, type: 'open', topic: 'expressions', subtopic: 'expr-powers-roots', diff: 2,
text: R`Укажите номера выражений, областью определения которых является множество всех действительных чисел.
1) $\sqrt{x}$;
2) $\dfrac{1}{1+x}$;
3) $2x-1$;
4) $\sqrt[3]{x}$;
5) $\operatorname{tg}x$.
Ответ запишите цифрами в порядке возрастания, без пробелов.`,
answer: '34', ansShow: '3, 4',
sol: R`$1)$ $\sqrt{x}$ определено при $x\ge0$ — нет. $\ 2)$ $\dfrac{1}{1+x}$ не определено при $x=-1$ — нет. $\ 3)$ $2x-1$ определено при всех $x$ — да. $\ 4)$ $\sqrt[3]{x}$ определено при всех $x$ — да. $\ 5)$ $\operatorname{tg}x$ не определено при $x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n$ — нет. Подходят 3 и 4.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 7 кл.», гл. 2, § 4' },
+ ref: 'Алгебра, 7 класс, гл. 2, § 4' },
// ── Часть B: В1–В20 ──────────────────────────────────────────────────────
{ idx: 11, type: 'long', topic: 'numbers', subtopic: 'num-real', diff: 2,
text: R`Установите соответствие между числовым промежутком А–В и его описанием 1–6.
Промежуток:
А) $(-4{,}2;+\infty)$;
Б) $(-\infty;5]$;
В) $[-4{,}2;5)$.
Описание:
1) открытый луч, направленный влево от точки $5$;
2) полуинтервал от $-4{,}2$ (включая) до $5$ (не включая);
3) открытый луч, направленный вправо от точки $-4{,}2$;
4) отрезок от $-4{,}2$ до $5$ (обе границы включены);
5) луч, направленный вправо от точки $-4{,}2$, включая её;
6) луч, направленный влево от точки $5$, включая её.
Ответ запишите сочетанием букв и цифр, например: А1Б1В4.`,
answer: 'А3Б6В2', ansShow: 'А3Б6В2',
sol: R`А) $(-4{,}2;+\infty)$ — открытый луч вправо от $-4{,}2$ (граница не включена) — описание 3. Б) $(-\infty;5]$ — луч влево, точка $5$ включена — описание 6. В) $[-4{,}2;5)$ — от $-4{,}2$ (включая) до $5$ (не включая) — описание 2.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 8 кл.», гл. 1, § 5' },
+ ref: 'Алгебра, 8 класс, гл. 1, § 5' },
{ idx: 12, type: 'open', topic: 'expressions', subtopic: 'expr-polynomials', diff: 2,
text: R`Выберите верные утверждения.
1) выражение $\dfrac27 a^{2}b^{5}$ является одночленом;
2) выражения $5ab^{4}$ и $5a^{5}b$ являются одночленами пятой степени;
3) коэффициент одночлена $x\cdot3^{2}$ равен $1$;
4) при $x=0{,}5$ и $y=-1$ значение одночлена $-6xy^{3}$ равно $3$;
5) степень одночлена $-3ab^{2}c^{4}$ равна $7$;
6) выражение $-6x^{0{,}5}y^{3}$ является одночленом.
Ответ запишите цифрами в порядке возрастания, без пробелов.`,
answer: '145', ansShow: '1, 4, 5',
sol: R`$1)$ верно: $\dfrac27 a^{2}b^{5}$ — произведение числа и натуральных степеней переменных. $\ 2)$ неверно: степень $5ab^{4}$ равна $5$, а $5a^{5}b$ — равна $6$. $\ 3)$ неверно: $x\cdot3^{2}=9x$, коэффициент $9$. $\ 4)$ верно: $-6\cdot0{,}5\cdot(-1)^{3}=3$. $\ 5)$ верно: степень $-3ab^{2}c^{4}$ равна $1+2+4=7$. $\ 6)$ неверно: $x^{0{,}5}$ — не натуральная степень.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 7 кл.», гл. 2, § 6' },
+ ref: 'Алгебра, 7 класс, гл. 2, § 6' },
{ idx: 13, type: 'long', topic: 'functions', subtopic: 'fn-graphs', diff: 2,
fig: FIG_B3,
text: R`В таблице приведено количество пользователей пробной версии (П) программного обеспечения и количество пользователей, купивших лицензию (ПЛ), за период шесть месяцев (с января по июнь). Установите соответствие между вопросами А–В и ответами 1–6.
Вопрос:
А) В каком месяце количество пользователей пробной версии составило $58000$?
Б) В каком месяце количество пользователей, купивших лицензию, равнялось $16000$?
В) В каком месяце количество пользователей, купивших лицензию, составило $25\%$ от количества пользователей пробной версии?
Ответ:
1) Январь; 2) Февраль; 3) Март; 4) Апрель; 5) Май; 6) Июнь.
Ответ запишите сочетанием букв и цифр, например: А1Б1В4.`,
answer: 'А1Б2В6', ansShow: 'А1Б2В6',
sol: R`А) Пробная версия равна $58000$ в январе — ответ 1. Б) Купивших лицензию $16000$ в феврале — ответ 2. В) Отношение купивших лицензию к пользователям пробной версии равно $25\%$ в июне: $\dfrac{14000}{56000}=0{,}25$ — ответ 6. (В остальных месяцах отношение иное: январь $\approx38\%$, май $20\%$ и т. д.)`,
- ref: 'Герасимов «Математика, 5 кл.», ч. 2, гл. 3, § 16' },
+ ref: 'Математика, 5 класс, ч. 2, гл. 3, § 16' },
{ idx: 14, type: 'open', topic: 'stereometry', subtopic: 'ster-polyhedra', diff: 2,
text: R`Дана правильная призма, имеющая $12$ вершин. Выберите верные утверждения.
1) количество всех граней данной призмы равно $7$;
2) количество всех рёбер данной призмы равно $18$;
3) количество боковых граней данной призмы равно $6$;
4) градусная мера внутреннего угла основания данной призмы равна $120^\circ$;
5) количество боковых рёбер данной призмы равно $12$;
6) диагональным сечением данной призмы является шестиугольник.
Ответ запишите цифрами в порядке возрастания, без пробелов.`,
answer: '234', ansShow: '2, 3, 4',
sol: R`$12$ вершин $\Rightarrow$ в основаниях правильные шестиугольники (по $6$ вершин). $\ 1)$ неверно: граней $6+2=8$. $\ 2)$ верно: рёбер $6+6+6=18$. $\ 3)$ верно: боковых граней $6$. $\ 4)$ верно: внутренний угол правильного шестиугольника $\dfrac{180^\circ\cdot4}{6}=120^\circ$. $\ 5)$ неверно: боковых рёбер $6$. $\ 6)$ неверно: диагональное сечение призмы — четырёхугольник.`,
- ref: 'Латотин «Геометрия, 11 кл.», разд. 1, § 1' },
+ ref: 'Геометрия, 11 класс, разд. 1, § 1' },
{ idx: 15, type: 'open', topic: 'planimetry', subtopic: 'plan-triangles', diff: 2,
text: R`В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ известно, что $\angle BAC=34^\circ$. Через вершину $A$ проведён луч $AD$ так, что $AD\parallel BC$ (точки $D$ и $B$ лежат по одну сторону от прямой $AC$). Угол $1$ образован лучами $AD$ и $AB$. Найдите градусную меру угла $1$.`,
answer: '112',
sol: R`Углы при основании равнобедренного треугольника равны: $\angle ACB=\angle BAC=34^\circ$. По теореме о сумме углов $\angle ABC=180^\circ-2\cdot34^\circ=112^\circ$. Угол $1$ и угол $ABC$ — накрест лежащие при $AD\parallel BC$ и секущей $AB$, поэтому $\angle 1=\angle ABC=112^\circ$.`,
- ref: 'Казаков «Геометрия, 7 кл.», гл. 2, § 11; гл. 3, § 17' },
+ ref: 'Геометрия, 7 класс, гл. 2, § 11; гл. 3, § 17' },
{ idx: 16, type: 'open', topic: 'trigonometry', subtopic: 'trig-identities', diff: 2,
text: R`Найдите значение выражения $\dfrac{72}{\pi}\cdot\operatorname{arctg}\left(-\dfrac{\sqrt3}{3}\right)$.`,
answer: '-12',
sol: R`$\operatorname{arctg}\left(-\dfrac{\sqrt3}{3}\right)=-\operatorname{arctg}\dfrac{\sqrt3}{3}=-\dfrac{\pi}{6}$. Тогда $\dfrac{72}{\pi}\cdot\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)=-12$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 10 кл.», гл. 1, § 7' },
+ ref: 'Алгебра, 10 класс, гл. 1, § 7' },
{ idx: 17, type: 'open', topic: 'word-sequences', subtopic: 'seq-progressions', diff: 2,
text: R`Найдите третий член арифметической прогрессии, у которой сумма $n$ первых членов выражается формулой $S_n=\dfrac{11-3n}{2}\cdot n$.`,
answer: '-2',
sol: R`$a_3=S_3-S_2$. $\ S_2=\dfrac{11-6}{2}\cdot2=5$; $\ S_3=\dfrac{11-9}{2}\cdot3=3$. Тогда $a_3=3-5=-2$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 9 кл.», гл. 4, § 15–16' },
+ ref: 'Алгебра, 9 класс, гл. 4, § 15–16' },
{ idx: 18, type: 'open', topic: 'equations', subtopic: 'eq-linear', diff: 3,
text: R`Света купила $6$ ручек и $5$ карандашей, а Коля купил $4$ такие же по цене ручки и $8$ таких же по цене карандашей и заплатил на $1$ рубль $60$ копеек меньше, чем Света. Сколько копеек заплатила за покупку Света, если карандаш дешевле ручки на $90$ копеек?`,
answer: '760',
sol: R`Пусть ручка стоит $x$ коп., карандаш $y$ коп. Тогда $\begin{cases}(6x+5y)-(4x+8y)=160,\\x-y=90,\end{cases}$ то есть $\begin{cases}2x-3y=160,\\x-y=90.\end{cases}$ Отсюда $y=20$, $x=110$. Света заплатила $6\cdot110+5\cdot20=760$ (коп.).`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 7 кл.», гл. 4, § 25' },
+ ref: 'Алгебра, 7 класс, гл. 4, § 25' },
{ idx: 19, type: 'open', topic: 'equations', subtopic: 'eq-exponential', diff: 3,
text: R`Найдите произведение наибольшего целого отрицательного и наименьшего целого положительного решений неравенства $(0{,}2)^{\,2x^{2}-72}<1$.`,
answer: '-49',
sol: R`Так как $1=(0{,}2)^{0}$, а основание $0{,}2<1$ (функция убывает), неравенство равносильно $2x^{2}-72>0$, то есть $x^{2}>36$, откуда $x<-6$ или $x>6$. Наибольшее целое отрицательное решение $-7$, наименьшее целое положительное $7$; их произведение $-49$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 11 кл.», гл. 2, § 6' },
+ ref: 'Алгебра, 11 класс, гл. 2, § 6' },
{ idx: 20, type: 'open', topic: 'planimetry', subtopic: 'plan-quadrilaterals', diff: 3,
text: R`Длина одной из сторон параллелограмма на $5$ больше длины другой стороны, а высоты, проведённые к этим сторонам, равны $8$ и $12$. Найдите площадь параллелограмма.`,
answer: '120',
sol: R`Пусть меньшая сторона равна $x$, тогда большая $x+5$. К большей стороне проведена меньшая высота $8$, к меньшей — большая $12$. Площадь $S=ah$ одна и та же: $(x+5)\cdot8=x\cdot12$, $8x+40=12x$, $x=10$. Тогда $S=x\cdot12=120$.`,
- ref: 'Казаков «Геометрия, 8 кл.», гл. 2, § 14' },
+ ref: 'Геометрия, 8 класс, гл. 2, § 14' },
{ idx: 21, type: 'open', topic: 'functions', subtopic: 'fn-derivative', diff: 2,
text: R`Найдите $f'(-1)$ для функции $f(x)=\dfrac{x^{3}}{3}-1{,}5x^{2}+13x-2022$.`,
answer: '17',
sol: R`$f'(x)=\dfrac13\cdot3x^{2}-1{,}5\cdot2x+13=x^{2}-3x+13$. Тогда $f'(-1)=(-1)^{2}-3\cdot(-1)+13=1+3+13=17$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 10 кл.», гл. 3, § 19' },
+ ref: 'Алгебра, 10 класс, гл. 3, § 19' },
{ idx: 22, type: 'open', topic: 'equations', subtopic: 'eq-rational', diff: 3,
text: R`Найдите наименьшее целое решение неравенства $\dfrac{x-3}{(x+14)(x-6)}\ge0$.`,
answer: '-13',
sol: R`Нуль числителя $x=3$; при $x=-14$ и $x=6$ значения не существуют. Методом интервалов решение неравенства — множество $(-14;3]\cup(6;+\infty)$. Наименьшее целое решение равно $-13$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 9 кл.», гл. 3, § 13' },
+ ref: 'Алгебра, 9 класс, гл. 3, § 13' },
{ idx: 23, type: 'open', topic: 'stereometry', subtopic: 'ster-angles-distances', diff: 4,
text: R`Дана правильная четырёхугольная пирамида $SABCD$, у которой диагональ основания $AC=2\sqrt{10}$, а угол между боковым ребром и плоскостью основания $\angle SCO=60^\circ$ ($O$ — центр основания). Найдите значение выражения $S^{2}$, где $S$ — площадь боковой поверхности пирамиды.`,
answer: '2800',
sol: R`В основании квадрат $ABCD$ с диагональю $2\sqrt{10}$, значит сторона $AD=2\sqrt5$. Высота $SO=OC\cdot\operatorname{tg}60^\circ=\dfrac{AC}{2}\cdot\sqrt3=\sqrt{10}\cdot\sqrt3=\sqrt{30}$. Апофема $SK=\sqrt{SO^{2}+\left(\dfrac{AD}{2}\right)^{2}}=\sqrt{30+5}=\sqrt{35}$. Площадь боковой поверхности $S=\dfrac12\cdot P\cdot SK$, где $P=4\cdot AD$ — периметр основания: $S=2\cdot AD\cdot SK=2\cdot2\sqrt5\cdot\sqrt{35}=20\sqrt7$. Тогда $S^{2}=400\cdot7=2800$.`,
- ref: 'Латотин «Геометрия, 11 кл.», разд. 2, § 3' },
+ ref: 'Геометрия, 11 класс, разд. 2, § 3' },
{ idx: 24, type: 'open', topic: 'equations', subtopic: 'eq-linear', diff: 3,
text: R`Найдите сумму всех целых решений совокупности неравенств $\left[\begin{array}{l}x+6\le0,\\-2-x\ge0,\end{array}\right.$ принадлежащих промежутку $[-7;3]$.`,
answer: '-27',
sol: R`$x+6\le0\Rightarrow x\le-6$; $\ -2-x\ge0\Rightarrow x\le-2$. Объединение лучей — множество $(-\infty;-2]$. Пересечение с $[-7;3]$ — отрезок $[-7;-2]$. Целые решения $-7,-6,-5,-4,-3,-2$; их сумма равна $-27$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 8 кл.», гл. 1, § 6' },
+ ref: 'Алгебра, 8 класс, гл. 1, § 6' },
{ idx: 25, type: 'open', topic: 'equations', subtopic: 'eq-rational', diff: 3,
text: R`Найдите сумму квадратов корней уравнения $\dfrac{x^{2}+7\sqrt3\,x-15}{(x-7)^{2}}=0$.`,
answer: '177',
sol: R`Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля: $x^{2}+7\sqrt3\,x-15=0$ при $x\ne7$. По теореме Виета $x_1+x_2=-7\sqrt3$, $x_1x_2=-15$. Тогда $x_1^{2}+x_2^{2}=(x_1+x_2)^{2}-2x_1x_2=\left(7\sqrt3\right)^{2}+30=147+30=177$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 8 кл.», гл. 2, § 9' },
+ ref: 'Алгебра, 8 класс, гл. 2, § 9' },
{ idx: 26, type: 'open', topic: 'trigonometry', subtopic: 'trig-equations', diff: 3,
text: R`Найдите (в градусах) корень уравнения $\operatorname{tg}5x=1$ на промежутке $(0^\circ;45^\circ)$.`,
answer: '9',
sol: R`$\operatorname{tg}5x=1\Rightarrow 5x=45^\circ+180^\circ n$, откуда $x=9^\circ+36^\circ n$. Промежутку $(0^\circ;45^\circ)$ принадлежит только корень $9^\circ$ (при $n=0$).`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 10 кл.», гл. 1, § 8' },
+ ref: 'Алгебра, 10 класс, гл. 1, § 8' },
{ idx: 27, type: 'open', topic: 'equations', subtopic: 'eq-irrational', diff: 3,
text: R`Решите уравнение $\sqrt{x-1}+3\sqrt[4]{x-1}-18=0$. В ответ запишите его корень (произведение корней, если их несколько).`,
answer: '82',
sol: R`Пусть $t=\sqrt[4]{x-1}\ge0$, тогда $t^{2}=\sqrt{x-1}$ и уравнение примет вид $t^{2}+3t-18=0$, $t=3$ (корень $t=-6$ отброшен). Из $\sqrt[4]{x-1}=3$ получаем $x-1=81$, $x=82$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 10 кл.», гл. 2, § 17' },
+ ref: 'Алгебра, 10 класс, гл. 2, § 17' },
{ idx: 28, type: 'open', topic: 'planimetry', subtopic: 'plan-circle', diff: 4,
text: R`Вписанный в окружность угол $KMN$, косинус которого равен $\dfrac34$, опирается на дугу $KN$. Радиус окружности равен $4$. Найдите значение выражения $S^{2}$, где $S$ — площадь треугольника $KON$ ($O$ — центр окружности).`,
answer: '63',
sol: R`Пусть $\angle KMN=\alpha$. Центральный угол $\angle KON=2\alpha$. Из $\cos\alpha=\dfrac34$ находим $\sin\alpha=\sqrt{1-\dfrac{9}{16}}=\dfrac{\sqrt7}{4}$, тогда $\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=2\cdot\dfrac{\sqrt7}{4}\cdot\dfrac34=\dfrac{3\sqrt7}{8}$. Площадь $S=\dfrac12\cdot OK\cdot ON\cdot\sin\angle KON=\dfrac12\cdot4^{2}\cdot\dfrac{3\sqrt7}{8}=3\sqrt7$. Тогда $S^{2}=9\cdot7=63$.`,
- ref: 'Казаков «Геометрия, 9 кл.», гл. 1, § 5; Арефьева «Алгебра, 10 кл.», гл. 1, § 11' },
+ ref: 'Геометрия, 9 класс, гл. 1, § 5; Алгебра, 10 класс, гл. 1, § 11' },
{ idx: 29, type: 'open', topic: 'word-sequences', subtopic: 'word-problems', diff: 4,
text: R`Катер в $10$ ч $30$ мин отправился по течению реки от пристани $A$ к пристани $B$. Пробыв $3$ ч у пристани $B$, катер отправился назад и прибыл к пристани $A$ не позднее $17$ ч $15$ мин того же дня. Найдите наименьшее возможное целое значение собственной скорости (в км/ч) катера, если скорость течения реки равна $3$ км/ч, а расстояние между пристанями равно $36$ км. (Собственная скорость катера не изменялась.)`,
answer: '20',
sol: R`Пусть собственная скорость $x$ км/ч. Время в пути и стоянка не превышают $17\dfrac14-10\dfrac12=6\dfrac34$ ч. Тогда $\dfrac{36}{x+3}+3+\dfrac{36}{x-3}\le\dfrac{27}{4}$, откуда $\dfrac{36}{x+3}+\dfrac{36}{x-3}\le\dfrac{15}{4}$. При $x>3$ это приводит к $5x^{2}-96x-45\ge0$, решение $x\ge\dfrac{48+3\sqrt{281}}{5}\approx19{,}7$. Наименьшее целое значение $x=20$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 9 кл.», гл. 3, § 10; § 13' },
+ ref: 'Алгебра, 9 класс, гл. 3, § 10; § 13' },
{ idx: 30, type: 'open', topic: 'stereometry', subtopic: 'ster-angles-distances', diff: 5,
text: R`$ABCA_1B_1C_1$ — правильная треугольная призма, у которой $CC_1=1$. Радиус окружности, описанной около основания $ABC$, равен $\sqrt2$. На ребре $BC$ взята точка $N$ так, что $BN:NC=1:3$. Найдите значение выражения $\dfrac{32}{\cos^{2}\varphi}$, где $\varphi$ — угол между прямыми $A_1N$ и $CC_1$.`,
answer: '188',
sol: R`Сторона основания $a$: из $R=\dfrac{a\sqrt3}{3}=\sqrt2$ получаем $a=\sqrt6$. Тогда $BN=\dfrac{\sqrt6}{4}$. Так как $CC_1\parallel AA_1$, угол между $A_1N$ и $CC_1$ равен $\angle NA_1A=\varphi$. По теореме косинусов в треугольнике $ABN$: $AN^{2}=BN^{2}+AB^{2}-2\cdot BN\cdot AB\cos60^\circ=\dfrac{6}{16}+6-\dfrac{6}{4}=\dfrac{78}{16}$. В прямоугольном треугольнике $A_1AN$: $A_1N^{2}=AA_1^{2}+AN^{2}=1+\dfrac{78}{16}=\dfrac{94}{16}$, $A_1N=\dfrac{\sqrt{94}}{4}$. Тогда $\cos\varphi=\dfrac{AA_1}{A_1N}=\dfrac{4}{\sqrt{94}}$, $\cos^{2}\varphi=\dfrac{16}{94}=\dfrac{8}{47}$, и $\dfrac{32}{\cos^{2}\varphi}=32\cdot\dfrac{47}{8}=188$.`,
- ref: 'Латотин «Геометрия, 10 кл.», разд. 2, § 4' },
+ ref: 'Геометрия, 10 класс, разд. 2, § 4' },
];
/* ── Сборка solution_html ────────────────────────────────────────────────── */
diff --git a/backend/scripts/seed_ctmath_rt2223_e2v1.js b/backend/scripts/seed_ctmath_rt2223_e2v1.js
index 0eb064e..cdf1ec0 100644
--- a/backend/scripts/seed_ctmath_rt2223_e2v1.js
+++ b/backend/scripts/seed_ctmath_rt2223_e2v1.js
@@ -68,68 +68,68 @@ const TASKS = [
opts: mc('$5^\circ$C', '$15^\circ$C', '$20^\circ$C', '$10^\circ$C', '$0^\circ$C'),
answer: 'а',
sol: R`Повышение температуры на $20\,^\circ$C означает прибавление: $-15+20=5\,(^\circ$C$)$.`,
- ref: 'Герасимов «Математика, 6 кл.», гл. 4, § 1' },
+ ref: 'Математика, 6 класс, гл. 4, § 1' },
{ idx: 2, type: 'mc', topic: 'numbers', subtopic: 'num-real', diff: 1,
text: R`Среди чисел $62\cdot10^{-5}$, $\ 0{,}62\cdot10^{-4}$, $\ 6{,}2\cdot10^{-4}$, $\ 6{,}2\cdot10^{-5}$, $\ 0{,}62\cdot10^{-3}$ укажите то, которое является стандартным видом числа $0{,}00062$.`,
opts: mc('$62\cdot10^{-5}$', '$0{,}62\cdot10^{-4}$', '$6{,}2\cdot10^{-4}$', '$6{,}2\cdot10^{-5}$', '$0{,}62\cdot10^{-3}$'),
answer: 'в',
sol: R`Стандартный вид числа — это $a\cdot10^{n}$, где $1\le a<10$. Число $0{,}00062=6{,}2\cdot10^{-4}$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 7 кл.», гл. 1, § 3' },
+ ref: 'Алгебра, 7 класс, гл. 1, § 3' },
{ idx: 3, type: 'mc', topic: 'stereometry', subtopic: 'ster-rotation', diff: 2,
text: R`Прямоугольник $ABCD$ вращается вокруг стороны $BC$. При этом получается цилиндр, осевым сечением которого является квадрат. Укажите верное соотношение между сторонами прямоугольника.`,
opts: mc('$BC=2AB$', '$BC=AB$', '$AB=2BC$', '$BC=4AB$', '$AB=4BC$'),
answer: 'а',
sol: R`При вращении вокруг $BC$ сторона $BC$ становится высотой цилиндра, а $AB$ — радиусом основания. Осевое сечение — прямоугольник со сторонами $2AB$ (диаметр) и $BC$ (высота). Это квадрат, когда $BC=2AB$.`,
- ref: 'Латотин «Геометрия, 11 кл.», разд. 1, § 2' },
+ ref: 'Геометрия, 11 класс, разд. 1, § 2' },
{ idx: 4, type: 'mc', topic: 'equations', subtopic: 'eq-exponential', diff: 2,
text: R`Среди чисел $0$, $1$, $2$, $3$, $4$ укажите то, которое не является решением неравенства $2^{x}<16$.`,
opts: mc('$0$', '$1$', '$2$', '$3$', '$4$'),
answer: 'д',
sol: R`$2^{x}<16=2^{4}$. Так как $2>1$, функция $y=2^{x}$ возрастает, поэтому $x<4$. Из данных чисел этому промежутку не принадлежит только $4$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 11 кл.», гл. 2, § 6' },
+ ref: 'Алгебра, 11 класс, гл. 2, § 6' },
{ idx: 5, type: 'mc', topic: 'functions', subtopic: 'fn-properties', diff: 1,
text: R`Найдите значение аргумента, при котором значение функции $f(x)=3-5x$ равно $2$.`,
opts: mc('$0$', '$1$', '$0{,}1$', '$0{,}2$', '$5$'),
answer: 'г',
sol: R`Подставим значение функции: $2=3-5x$, откуда $5x=1$, $x=0{,}2$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 7 кл.», гл. 3, § 20' },
+ ref: 'Алгебра, 7 класс, гл. 3, § 20' },
{ idx: 6, type: 'open', topic: 'functions', subtopic: 'fn-properties', diff: 2,
text: R`Укажите номера функций, которые возрастают на промежутке $[-3;3]$.
1) $f(x)=2x-1$;
2) $f(x)=x^{2}$;
3) $f(x)=-x+4$;
4) $f(x)=x^{3}$;
5) $f(x)=2^{x}$.
Ответ запишите цифрами в порядке возрастания, без пробелов.`,
answer: '145', ansShow: '1, 4, 5',
sol: R`$1)$ $2x-1$ — линейная с положительным угловым коэффициентом, возрастает. $\ 2)$ $x^{2}$ на $[-3;3]$ сначала убывает, потом возрастает — нет. $\ 3)$ $-x+4$ убывает. $\ 4)$ $x^{3}$ возрастает на всей оси. $\ 5)$ $2^{x}$ — показательная с основанием $>1$, возрастает. Подходят 1, 4, 5.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 9 кл.», гл. 2, § 6–7' },
+ ref: 'Алгебра, 9 класс, гл. 2, § 6–7' },
{ idx: 7, type: 'mc', topic: 'word-sequences', subtopic: 'word-problems', diff: 2,
text: R`От верёвки длиной $3$ м $15$ см отрезали часть так, что отношение оставшейся части к отрезанной равно $4:5$. Найдите (в сантиметрах) длину оставшейся части.`,
opts: mc('$175$', '$140$', '$252$', '$63$', '$132$'),
answer: 'б',
sol: R`Длина верёвки $3$ м $15$ см $=315$ см. Пусть на одну часть приходится $k$ см, тогда $4k+5k=315$, $9k=315$, $k=35$. Оставшаяся часть равна $4k=4\cdot35=140$ (см).`,
- ref: 'Герасимов «Математика, 6 кл.», гл. 2, § 5' },
+ ref: 'Математика, 6 класс, гл. 2, § 5' },
{ idx: 8, type: 'mc', topic: 'expressions', subtopic: 'expr-fractions', diff: 2,
text: R`Укажите номер выражения, которое показывает, за сколько часов был полностью наполнен бассейн, если за $a$ ч было заполнено $96\%$ объёма бассейна.`,
opts: mc('$\dfrac{a}{96}$', '$\dfrac{26a}{25}$', '$\dfrac{a}{24}$', '$\dfrac{25a}{24}$', '$\dfrac{a}{25}$'),
answer: 'г',
sol: R`Чтобы найти всё число по его проценту, нужно данное число разделить на число процентов и умножить на $100$: $\dfrac{a}{96}\cdot100=\dfrac{100a}{96}=\dfrac{25a}{24}$ (ч).`,
- ref: 'Герасимов «Математика, 6 кл.», гл. 2, § 2' },
+ ref: 'Математика, 6 класс, гл. 2, § 2' },
{ idx: 9, type: 'mc', topic: 'stereometry', subtopic: 'ster-rotation', diff: 2,
text: R`Площадь сечения шара плоскостью, проходящей через его центр, равна $81\pi$. Найдите объём шара.`,
opts: mc('$364\pi$', '$108\pi$', '$972\pi$', '$243\pi$', '$729\pi$'),
answer: 'в',
sol: R`Сечение через центр — большой круг радиуса $R$: $\pi R^{2}=81\pi$, откуда $R=9$. Объём $V=\dfrac43\pi R^{3}=\dfrac43\pi\cdot729=972\pi$.`,
- ref: 'Латотин «Геометрия, 11 кл.», разд. 3, § 6' },
+ ref: 'Геометрия, 11 класс, разд. 3, § 6' },
{ idx: 10, type: 'open', topic: 'trigonometry', subtopic: 'trig-circle', diff: 2,
text: R`Среди чисел $\dfrac{\pi}{6}$, $\ \dfrac{\pi}{12}$, $\ \dfrac{\pi}{2}$, $\ \dfrac{7\pi}{9}$, $\ \dfrac{5\pi}{6}$ выберите номера тех, которые принадлежат области определения выражения $\operatorname{tg}3x$.
1) $\dfrac{\pi}{6}$; 2) $\dfrac{\pi}{12}$; 3) $\dfrac{\pi}{2}$; 4) $\dfrac{7\pi}{9}$; 5) $\dfrac{5\pi}{6}$.
Ответ запишите цифрами в порядке возрастания, без пробелов.`,
answer: '24', ansShow: '2, 4',
sol: R`$\operatorname{tg}3x$ определён при $3x\ne\dfrac{\pi}{2}+\pi n$, то есть $x\ne\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\pi n}{3}$. Проверим: $\dfrac{\pi}{6}$ — исключено; $\dfrac{\pi}{12}$ ($3x=\dfrac{\pi}{4}$) — годится; $\dfrac{\pi}{2}$ ($3x=\dfrac{3\pi}{2}$) — исключено; $\dfrac{7\pi}{9}$ ($3x=\dfrac{7\pi}{3}$) — годится; $\dfrac{5\pi}{6}$ ($3x=\dfrac{5\pi}{2}$) — исключено. Подходят 2 и 4.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 10 кл.», гл. 1, § 3' },
+ ref: 'Алгебра, 10 класс, гл. 1, § 3' },
// ── Часть B: В1–В20 ──────────────────────────────────────────────────────
{ idx: 11, type: 'long', topic: 'functions', subtopic: 'fn-graphs', diff: 2,
@@ -137,121 +137,121 @@ const TASKS = [
text: R`В таблице приведено количество заказов в интернет-магазине на протяжении недели (с понедельника по субботу). Установите соответствие между вопросами А–В и ответами 1–6.
Вопрос:
А) В какой день недели было сделано больше всего заказов?
Б) В какой день недели было сделано на $14$ заказов меньше, чем в субботу?
В) В какой день недели было сделано на $30\%$ меньше заказов, чем в пятницу?
Ответ:
1) Понедельник; 2) Вторник; 3) Среда; 4) Четверг; 5) Пятница; 6) Суббота.
Ответ запишите сочетанием букв и цифр, например: А1Б1В4.`,
answer: 'А6Б4В3', ansShow: 'А6Б4В3',
sol: R`А) Больше всего заказов в субботу ($66$) — ответ 6. Б) $66-14=52$ — это четверг — ответ 4. В) $30\%$ меньше, чем в пятницу: $60\cdot0{,}7=42$ — это среда — ответ 3.`,
- ref: 'Герасимов «Математика, 5 кл.», ч. 2, гл. 3, § 16' },
+ ref: 'Математика, 5 класс, ч. 2, гл. 3, § 16' },
{ idx: 12, type: 'long', topic: 'numbers', subtopic: 'num-divisibility', diff: 2,
text: R`Для начала каждого из предложений А–В подберите его окончание 1–6 так, чтобы получилось верное утверждение.
Начало:
А) Остаток при делении числа $8756$ на $9$ равен …
Б) Наибольший остаток, который может получиться при делении натурального числа на $7$, равен …
В) Цифра, которую нужно подставить вместо звёздочки, чтобы трёхзначное натуральное число $\overline{37*}$ было кратно $3$, а при делении на $5$ давало в остатке $3$, равна …
Окончание:
1) $5$; 2) $7$; 3) $6$; 4) $2$; 5) $8$; 6) $9$.
Ответ запишите сочетанием букв и цифр, например: А1Б1В4.`,
answer: 'А5Б3В5', ansShow: 'А5Б3В5',
sol: R`А) $8756=972\cdot9+8$, остаток $8$ — окончание 5. Б) при делении на $7$ наибольший остаток равен $6$ — окончание 3. В) кратность $3$ даёт $3+7+*$ кратно $3$, то есть $*\in\{2;5;8\}$; остаток $3$ при делении на $5$ даёт последнюю цифру $3$ или $8$. Общая цифра — $8$ — окончание 5.`,
- ref: 'Герасимов «Математика, 5 кл.», ч. 1, гл. 1, § 11; § 13' },
+ ref: 'Математика, 5 класс, ч. 1, гл. 1, § 11; § 13' },
{ idx: 13, type: 'open', topic: 'expressions', subtopic: 'expr-powers-roots', diff: 3,
text: R`Выберите верные утверждения.
1) значение выражения $\left(-\sqrt[4]{1{,}6}\right)^{4}$ равно $1{,}6$;
2) значение выражения $5-|-2{,}3|$ равно $7{,}3$;
3) значение выражения $\left(\dfrac12\right)^{\log_{0{,}5}3}$ равно $-3$;
4) значение выражения $\log_3\sqrt[4]{9}$ равно $2$;
5) значение выражения $\sqrt{32\sin\dfrac{\pi}{6}}$ равно $4$;
6) значение выражения $\sqrt{160^{2}-96^{2}}$ равно $128$.
Ответ запишите цифрами в порядке возрастания, без пробелов.`,
answer: '156', ansShow: '1, 5, 6',
sol: R`$1)$ $\left(-\sqrt[4]{1{,}6}\right)^{4}=1{,}6$ — верно. $\ 2)$ $5-2{,}3=2{,}7$, не $7{,}3$ — неверно. $\ 3)$ $\left(\dfrac12\right)^{\log_{0{,}5}3}=3$ — неверно. $\ 4)$ $\log_3 3^{1/2}=0{,}5$ — неверно. $\ 5)$ $\sqrt{32\cdot0{,}5}=\sqrt{16}=4$ — верно. $\ 6)$ $\sqrt{(160-96)(160+96)}=\sqrt{64\cdot256}=8\cdot16=128$ — верно. Подходят 1, 5, 6.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 10 кл.», гл. 2, § 14' },
+ ref: 'Алгебра, 10 класс, гл. 2, § 14' },
{ idx: 14, type: 'open', topic: 'stereometry', subtopic: 'ster-basics', diff: 3,
text: R`Выберите верные утверждения, если известно, что прямая $a$ и плоскость $\alpha$ параллельны.
1) любая прямая, перпендикулярная прямой $a$, перпендикулярна плоскости $\alpha$;
2) любая прямая, перпендикулярная плоскости $\alpha$, перпендикулярна прямой $a$;
3) прямая $a$ не имеет общих точек ни с одной прямой, лежащей в плоскости $\alpha$;
4) прямая $a$ имеет общую точку с плоскостью $\alpha$;
5) через любую точку пространства можно провести прямую, параллельную прямой $a$;
6) любая прямая, параллельная плоскости $\alpha$, параллельна прямой $a$.
Ответ запишите цифрами в порядке возрастания, без пробелов.`,
answer: '235', ansShow: '2, 3, 5',
sol: R`$1)$ неверно. $\ 2)$ верно: прямая, перпендикулярная $\alpha$, перпендикулярна каждой прямой этой плоскости, а значит и параллельной ей прямой $a$. $\ 3)$ верно: $a\parallel\alpha$ означает, что $a$ не имеет общих точек с $\alpha$, поэтому и ни с одной прямой в $\alpha$. $\ 4)$ неверно. $\ 5)$ верно: через любую точку можно провести прямую, параллельную данной. $\ 6)$ неверно. Подходят 2, 3, 5.`,
- ref: 'Латотин «Геометрия, 10 кл.», разд. 2, § 5' },
+ ref: 'Геометрия, 10 класс, разд. 2, § 5' },
{ idx: 15, type: 'open', topic: 'planimetry', subtopic: 'plan-triangles', diff: 2,
text: R`В прямоугольном треугольнике $ACB$ угол $C$ равен $90^\circ$, а $CM$ — медиана, проведённая к гипотенузе, причём $CM=2\sqrt2$. Найдите квадрат длины гипотенузы.`,
answer: '32',
sol: R`Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна её половине, поэтому $AB=2\,CM=4\sqrt2$. Тогда $AB^{2}=\left(4\sqrt2\right)^{2}=32$.`,
- ref: 'Казаков «Геометрия, 8 кл.», гл. 2, § 15' },
+ ref: 'Геометрия, 8 класс, гл. 2, § 15' },
{ idx: 16, type: 'open', topic: 'expressions', subtopic: 'expr-fractions', diff: 3,
text: R`Найдите значение выражения $\dfrac{(x-3)^{2}-4}{x^{2}-4x-5}$ при $x=-1\dfrac15$.`,
answer: '11',
sol: R`Числитель $(x-3)^{2}-4=(x-3-2)(x-3+2)=(x-5)(x-1)$; знаменатель $x^{2}-4x-5=(x-5)(x+1)$. Тогда дробь равна $\dfrac{x-1}{x+1}$. При $x=-\dfrac65$: $\dfrac{-\frac65-1}{-\frac65+1}=\dfrac{-\frac{11}{5}}{-\frac15}=11$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 9 кл.», гл. 1, § 1–2' },
+ ref: 'Алгебра, 9 класс, гл. 1, § 1–2' },
{ idx: 17, type: 'open', topic: 'word-sequences', subtopic: 'seq-progressions', diff: 2,
text: R`Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, у которой первый член равен $-56$, а второй член равен $-12\dfrac49$.`,
answer: '-72',
sol: R`Знаменатель $q=\dfrac{b_2}{b_1}=\dfrac{-\frac{112}{9}}{-56}=\dfrac29$. Сумма $S=\dfrac{b_1}{1-q}=\dfrac{-56}{1-\frac29}=\dfrac{-56}{\frac79}=-56\cdot\dfrac97=-72$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 9 кл.», гл. 4, § 19' },
+ ref: 'Алгебра, 9 класс, гл. 4, § 19' },
{ idx: 18, type: 'open', topic: 'word-sequences', subtopic: 'word-problems', diff: 3,
text: R`На покупку $39$ л краски для покраски стен выделено $390$ рублей. Краска продаётся в банках объёмом $3$ л (стоимость одной банки $31{,}50$ руб.) и $10$ л (стоимость одной банки $97{,}85$ руб.); расход краски во всех банках одинаков. Какая сумма (в копейках) останется после покупки $39$ л краски, если стоимость покупки не должна превышать выделенной суммы?`,
answer: '195',
sol: R`Выгодно купить $3$ банки по $10$ л и $3$ банки по $3$ л (ровно $39$ л). Стоимость в копейках: $3\cdot9785+3\cdot3150=29355+9450=38805$. Выделено $390$ руб $=39000$ коп. Останется $39000-38805=195$ (коп.).`,
- ref: 'Герасимов «Математика, 5 кл.», ч. 1, гл. 2, § 7' },
+ ref: 'Математика, 5 класс, ч. 1, гл. 2, § 7' },
{ idx: 19, type: 'open', topic: 'equations', subtopic: 'eq-exponential', diff: 3,
text: R`Найдите значение выражения $36^{\,x_0}$, где $x_0$ — наибольший корень уравнения $36^{x}-10\cdot6^{x}+9=0$.`,
answer: '81',
sol: R`Пусть $t=6^{x}$, тогда $t^{2}-10t+9=0$, $t=1$ или $t=9$. Из $6^{x}=1$: $x=0$; из $6^{x}=9$: $x=\log_6 9$. Наибольший корень $x_0=\log_6 9$, поэтому $36^{x_0}=6^{2\log_6 9}=9^{2}=81$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 11 кл.», гл. 2, § 5' },
+ ref: 'Алгебра, 11 класс, гл. 2, § 5' },
{ idx: 20, type: 'open', topic: 'planimetry', subtopic: 'plan-quadrilaterals', diff: 4,
text: R`В равнобедренную трапецию вписана окружность, диаметр которой равен $3{,}5$. Острый угол трапеции равен $30^\circ$. Найдите значение выражения $4\cdot S$, где $S$ — площадь трапеции.`,
answer: '98',
sol: R`Высота трапеции равна диаметру вписанной окружности: $h=3{,}5$. Боковая сторона $=\dfrac{h}{\sin30^\circ}=7$. По свойству описанного четырёхугольника сумма оснований равна сумме боковых сторон: $BC+AD=AB+CD=14$. Площадь $S=\dfrac{BC+AD}{2}\cdot h=\dfrac{14}{2}\cdot3{,}5=24{,}5$. Тогда $4S=98$.`,
- ref: 'Казаков «Геометрия, 8 кл.», гл. 2, § 17' },
+ ref: 'Геометрия, 8 класс, гл. 2, § 17' },
{ idx: 21, type: 'open', topic: 'functions', subtopic: 'fn-derivative', diff: 3,
text: R`Найдите минимум функции $f(x)=2+3x-x^{2}-\dfrac{x^{3}}{3}$.`,
answer: '-7',
sol: R`$f'(x)=3-2x-x^{2}=-(x+3)(x-1)$. Нули $x=-3$ и $x=1$; смена знака $f'$ с минуса на плюс в точке $x=-3$ — это точка минимума. $f(-3)=2-9-9-\dfrac{-27}{3}=2-9-9+9=-7$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 10 кл.», гл. 3, § 20' },
+ ref: 'Алгебра, 10 класс, гл. 3, § 20' },
{ idx: 22, type: 'open', topic: 'equations', subtopic: 'eq-linear', diff: 2,
text: R`Найдите сумму всех натуральных решений совокупности неравенств $\left[\begin{array}{l}0{,}4x-2\le0,\\2-x>0.\end{array}\right.$`,
answer: '15',
sol: R`$0{,}4x-2\le0\Rightarrow x\le5$; $\ 2-x>0\Rightarrow x<2$. Объединение лучей — множество $(-\infty;5]$. Натуральные решения $1,2,3,4,5$; их сумма равна $15$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 8 кл.», гл. 1, § 6' },
+ ref: 'Алгебра, 8 класс, гл. 1, § 6' },
{ idx: 23, type: 'open', topic: 'stereometry', subtopic: 'ster-rotation', diff: 3,
text: R`Объём цилиндра равен $28\pi$. Найдите площадь полной поверхности цилиндра $S$, если радиус его основания равен $2$. В ответ запишите значение выражения $\dfrac{S}{\pi}$.`,
answer: '36',
sol: R`Из $V=\pi r^{2}h$: $28\pi=\pi\cdot4\cdot h$, откуда $h=7$. Площадь полной поверхности $S=2\pi rh+2\pi r^{2}=2\pi\cdot2\cdot7+2\pi\cdot4=28\pi+8\pi=36\pi$. Тогда $\dfrac{S}{\pi}=36$.`,
- ref: 'Латотин «Геометрия, 11 кл.», разд. 1, § 2' },
+ ref: 'Геометрия, 11 класс, разд. 1, § 2' },
{ idx: 24, type: 'open', topic: 'equations', subtopic: 'eq-rational', diff: 3,
text: R`Найдите произведение наименьшего целого положительного и наименьшего целого отрицательного решений неравенства $\dfrac{7}{x+6}>\dfrac{1}{x-1}$.`,
answer: '-15',
sol: R`Приведём к виду $\dfrac{6x-13}{(x+6)(x-1)}>0$. Нуль числителя $x=\dfrac{13}{6}$; при $x=-6$ и $x=1$ значения не существуют. Методом интервалов решение — $(-6;1)\cup\left(\dfrac{13}{6};+\infty\right)$. Наименьшее целое положительное решение $3$, наименьшее целое отрицательное $-5$; их произведение $-15$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 9 кл.», гл. 3, § 13' },
+ ref: 'Алгебра, 9 класс, гл. 3, § 13' },
{ idx: 25, type: 'open', topic: 'equations', subtopic: 'eq-irrational', diff: 3,
text: R`Найдите увеличенное в $3$ раза произведение наибольшего корня на количество всех корней уравнения $\sqrt[4]{4x^{4}-14x^{2}+8}=x$.`,
answer: '12',
sol: R`Уравнение равносильно системе $4x^{4}-14x^{2}+8=x^{4}$ при $x\ge0$, то есть $3x^{4}-14x^{2}+8=0$, $x\ge0$. Пусть $t=x^{2}$: $3t^{2}-14t+8=0$, $t=4$ или $t=\dfrac23$. Тогда $x=2$ или $x=\sqrt{\dfrac23}$ (неотрицательные). Корней $2$, наибольший корень $2$. Произведение $2\cdot2=4$; увеличенное в $3$ раза — $12$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 10 кл.», гл. 2, § 17' },
+ ref: 'Алгебра, 10 класс, гл. 2, § 17' },
{ idx: 26, type: 'open', topic: 'stereometry', subtopic: 'ster-angles-distances', diff: 4,
text: R`Апофема правильной четырёхугольной пирамиды равна $15$, а двугранный угол при ребре основания равен $\arccos\dfrac35$. Найдите объём пирамиды.`,
answer: '1296',
sol: R`Пусть $O$ — центр основания, $K$ — середина ребра основания, $SK=15$ — апофема, $\angle SKO=\arccos\dfrac35$. Тогда $OK=SK\cos\angle SKO=15\cdot\dfrac35=9$, поэтому сторона основания $AD=2\,OK=18$. Высота $SO=\sqrt{SK^{2}-OK^{2}}=\sqrt{225-81}=12$. Объём $V=\dfrac13\cdot AD^{2}\cdot SO=\dfrac13\cdot324\cdot12=1296$.`,
- ref: 'Латотин «Геометрия, 11 кл.», разд. 2, § 3' },
+ ref: 'Геометрия, 11 класс, разд. 2, § 3' },
{ idx: 27, type: 'open', topic: 'trigonometry', subtopic: 'trig-equations', diff: 3,
text: R`Найдите (в градусах) сумму различных корней уравнения $\cos^{2}\dfrac{15x}{4}-\sin^{2}\dfrac{15x}{4}=0$ на промежутке $(0^\circ;45^\circ)$.`,
answer: '48',
sol: R`По формуле косинуса двойного аргумента левая часть равна $\cos\dfrac{15x}{2}$. Уравнение $\cos\dfrac{15x}{2}=0$ даёт $\dfrac{15x}{2}=90^\circ+180^\circ n$, $x=12^\circ+24^\circ n$. Промежутку $(0^\circ;45^\circ)$ принадлежат $12^\circ$ и $36^\circ$; их сумма равна $48^\circ$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 10 кл.», гл. 1, § 8' },
+ ref: 'Алгебра, 10 класс, гл. 1, § 8' },
{ idx: 28, type: 'open', topic: 'equations', subtopic: 'eq-logarithmic', diff: 4,
text: R`Найдите произведение наименьшего целого решения на количество всех натуральных решений неравенства $\log_5^{2}(x^{2}-3)-3\log_5(x^{2}-3)\le0$.`,
answer: '-110',
sol: R`Пусть $t=\log_5(x^{2}-3)$, тогда $t^{2}-3t\le0$, откуда $0\le t\le3$. Значит, $1\le x^{2}-3\le125$, то есть $4\le x^{2}\le128$ и $x\in\left[-8\sqrt2;-2\right]\cup\left[2;8\sqrt2\right]$. Наименьшее целое решение $-11$ (так как $8\sqrt2\approx11{,}3$). Натуральных решений $2,3,\ldots,11$ — всего $10$. Произведение $-11\cdot10=-110$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 11 кл.», гл. 3, § 10' },
+ ref: 'Алгебра, 11 класс, гл. 3, § 10' },
{ idx: 29, type: 'open', topic: 'equations', subtopic: 'eq-rational', diff: 3,
text: R`Удвоенное произведение двух последовательных нечётных натуральных чисел на $262$ больше их суммы. Найдите эти числа. В ответ запишите сумму квадратов этих чисел.`,
answer: '290',
sol: R`Пусть числа $x$ и $x+2$. По условию $2x(x+2)=262+x+(x+2)$, $2x^{2}+4x=264+2x$, $x^{2}+x-132=0$, $x=11$ (корень $-12$ не подходит). Числа $11$ и $13$, сумма квадратов $121+169=290$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 8 кл.», гл. 2, § 11' },
+ ref: 'Алгебра, 8 класс, гл. 2, § 11' },
{ idx: 30, type: 'open', topic: 'stereometry', subtopic: 'ster-polyhedra', diff: 5,
text: R`Объём правильной четырёхугольной призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равен $540$, а её высота равна $15$. Точка $P$ лежит на диагонали $BD$ так, что $BP:PD=1:2$. Через точки $P$ и $D_1$ параллельно диагонали $AC$ основания $ABCD$ проведена секущая плоскость. Найдите значение выражения $16na$, где $n$ — количество вершин многоугольника, полученного в сечении, $a$ — длина наименьшей стороны этого многоугольника.`,
answer: '340',
sol: R`Сторона основания $s$: из $V=s^{2}\cdot15=540$ получаем $s=6$. Через $P$ проводим прямую, параллельную $AC$; она пересекает $AB$ и $BC$, отсекая $BN=BK=4$. Сечение — пятиугольник $D_1MKNL$, значит $n=5$. Его наименьшие стороны $MK=LN$: из подобия находим $MA=LC=\dfrac{15}{4}$, $KA=NC=2$, тогда $MK=\sqrt{KA^{2}+MA^{2}}=\sqrt{4+\dfrac{225}{16}}=\dfrac{17}{4}$. Значит, $a=\dfrac{17}{4}$ и $16na=16\cdot5\cdot\dfrac{17}{4}=340$.`,
- ref: 'Латотин «Геометрия, 10 кл.», разд. 1, § 3' },
+ ref: 'Геометрия, 10 класс, разд. 1, § 3' },
];
/* ── Сборка solution_html ────────────────────────────────────────────────── */
diff --git a/backend/scripts/seed_ctmath_rt2223_e3v1.js b/backend/scripts/seed_ctmath_rt2223_e3v1.js
index 422075e..0b07fcb 100644
--- a/backend/scripts/seed_ctmath_rt2223_e3v1.js
+++ b/backend/scripts/seed_ctmath_rt2223_e3v1.js
@@ -65,190 +65,190 @@ const TASKS = [
opts: mc('$(m-7n)^{2}$', '$\left(\dfrac{m}{7n}\right)^{2}$', '$m^{2}-(7n)^{2}$', '$m-(7n)^{2}$', '$m^{2}-7n^{2}$'),
answer: 'в',
sol: R`Разность квадратов выражений $m$ и $7n$ — это $m^{2}-(7n)^{2}$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 7 кл.», гл. 2, § 12–13' },
+ ref: 'Алгебра, 7 класс, гл. 2, § 12–13' },
{ idx: 2, type: 'mc', topic: 'trigonometry', subtopic: 'trig-identities', diff: 2,
text: R`Из углов $180^\circ$, $240^\circ$, $225^\circ$, $210^\circ$, $270^\circ$ выберите тот, тангенс которого равен $\sqrt3$.`,
opts: mc('$180^\circ$', '$240^\circ$', '$225^\circ$', '$210^\circ$', '$270^\circ$'),
answer: 'б',
sol: R`$\operatorname{tg}240^\circ=\operatorname{tg}(180^\circ+60^\circ)=\operatorname{tg}60^\circ=\sqrt3$. У остальных данных углов тангенс не равен $\sqrt3$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 10 кл.», гл. 1, § 3' },
+ ref: 'Алгебра, 10 класс, гл. 1, § 3' },
{ idx: 3, type: 'mc', topic: 'planimetry', subtopic: 'plan-circle', diff: 2,
text: R`Вписанный угол $MKN$ опирается на дугу $MN$, градусная мера которой (заключённой внутри этого угла) равна $88^\circ$. Найдите градусную меру угла $MKN$.`,
opts: mc('$44^\circ$', '$24^\circ$', '$46^\circ$', '$88^\circ$', '$22^\circ$'),
answer: 'а',
sol: R`Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается: $\angle MKN=\dfrac12\cdot88^\circ=44^\circ$.`,
- ref: 'Казаков «Геометрия, 8 кл.», гл. 4, § 27' },
+ ref: 'Геометрия, 8 класс, гл. 4, § 27' },
{ idx: 4, type: 'mc', topic: 'equations', subtopic: 'eq-rational', diff: 2,
text: R`Укажите номер уравнения, корнем которого является число $-1$.`,
opts: mc('$\dfrac{5}{x+1}=0$', '$x^{2}+1=0$', '$3^{\,x-1}=1$', '$\log_7(x+2)=0$', '$\sqrt{x-1}=0$'),
answer: 'г',
sol: R`Подставим $x=-1$: $\dfrac{5}{0}$ не имеет смысла; $\ (-1)^{2}+1=2\ne0$; $\ 3^{-2}\ne1$; $\ \log_7(-1+2)=\log_7 1=0$ — верно; $\ \sqrt{-2}$ не имеет смысла. Корень $-1$ имеет только уравнение под номером 4.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 7 кл.», гл. 3, § 15' },
+ ref: 'Алгебра, 7 класс, гл. 3, § 15' },
{ idx: 5, type: 'mc', topic: 'functions', subtopic: 'fn-properties', diff: 2,
text: R`Среди значений аргумента $x$, равных $1{,}5$; $0{,}4$; $1{,}2$; $0{,}6$; $2{,}5$, укажите то, при котором значение функции $f(x)=\dfrac2x$ меньше $1$.`,
opts: mc('$1{,}5$', '$0{,}4$', '$1{,}2$', '$0{,}6$', '$2{,}5$'),
answer: 'д',
sol: R`$f(x)=\dfrac2x<1$ при $x>2$ (для положительных $x$). Из данных чисел этому условию удовлетворяет только $2{,}5$: $\dfrac{2}{2{,}5}=0{,}8<1$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 8 кл.», гл. 3, § 13' },
+ ref: 'Алгебра, 8 класс, гл. 3, § 13' },
{ idx: 6, type: 'open', topic: 'functions', subtopic: 'fn-properties', diff: 3,
fig: FIG_A6,
text: R`На рисунке изображён график функции $y=f(x)$, определённой на промежутке $[-5;6]$. Укажите номера верных утверждений.
1) функция имеет три нуля;
2) $f'(-4)=0$;
3) максимум функции равен $5$;
4) сумма целых значений аргумента, при которых $f'(x)>0$, равна $5$;
5) наименьшее значение функции на промежутке $[-5;6]$ равно $-2$.
Ответ запишите цифрами в порядке возрастания, без пробелов.`,
answer: '134', ansShow: '1, 3, 4',
sol: R`$1)$ верно: график пересекает ось абсцисс в трёх точках. $\ 2)$ неверно: при $x=-4$ функция убывает, $f'(-4)<0$. $\ 3)$ верно: наибольшее (максимум) значение функции равно $5$. $\ 4)$ верно: функция возрастает на $(-2;4)$, целые значения с $f'(x)>0$ — это $-1,0,1,2,3$, их сумма $5$. $\ 5)$ неверно: наименьшее значение функции равно $-5$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 9 кл.», гл. 2, § 7; «Алгебра, 10 кл.», гл. 3, § 20' },
+ ref: 'Алгебра, 9 класс, гл. 2, § 7; «Алгебра, 10 кл.», гл. 3, § 20' },
{ idx: 7, type: 'mc', topic: 'word-sequences', subtopic: 'word-problems', diff: 2,
text: R`Пять рабочих могут выполнить работу за $14$ дней. За сколько дней могут выполнить эту же работу $7$ рабочих?`,
opts: mc('$20$', '$16$', '$12$', '$10$', '$9$'),
answer: 'г',
sol: R`Зависимость между числом рабочих и числом дней обратно пропорциональная: $\dfrac{5}{7}=\dfrac{x}{14}$, откуда $x=\dfrac{5\cdot14}{7}=10$ (дней).`,
- ref: 'Герасимов «Математика, 6 кл.», гл. 2, § 4–5' },
+ ref: 'Математика, 6 класс, гл. 2, § 4–5' },
{ idx: 8, type: 'mc', topic: 'trigonometry', subtopic: 'trig-identities', diff: 2,
text: R`Найдите значение выражения $6\cos\alpha$, если $\sin\alpha=\dfrac{\sqrt2}{3}$ и $\dfrac{\pi}{2}<\alpha<\pi$.`,
opts: mc('$2\sqrt7$', '$-2\sqrt{11}$', '$-2\sqrt7$', '$2\sqrt{11}$', '$-2\sqrt2$'),
answer: 'в',
sol: R`Из $\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1$: $\cos^{2}\alpha=1-\dfrac29=\dfrac79$. Во второй четверти $\cos\alpha<0$, поэтому $\cos\alpha=-\dfrac{\sqrt7}{3}$. Тогда $6\cos\alpha=-2\sqrt7$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 10 кл.», гл. 1, § 4' },
+ ref: 'Алгебра, 10 класс, гл. 1, § 4' },
{ idx: 9, type: 'mc', topic: 'stereometry', subtopic: 'ster-rotation', diff: 2,
text: R`Прямоугольник, у которого длины сторон равны $3$ и $6$, вращается вокруг большей стороны. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, полученного в результате вращения.`,
opts: mc('$54\pi$', '$18\pi$', '$108\pi$', '$45\pi$', '$36\pi$'),
answer: 'д',
sol: R`При вращении вокруг большей стороны ($6$) она становится высотой цилиндра, а меньшая ($3$) — радиусом основания. Площадь боковой поверхности $S=2\pi rh=2\pi\cdot3\cdot6=36\pi$.`,
- ref: 'Латотин «Геометрия, 11 кл.», разд. 1, § 2' },
+ ref: 'Геометрия, 11 класс, разд. 1, § 2' },
{ idx: 10, type: 'open', topic: 'trigonometry', subtopic: 'trig-circle', diff: 2,
text: R`Среди данных утверждений укажите номера верных.
1) $\operatorname{arctg}(-1)=\dfrac{3\pi}{4}$;
2) $\sin\dfrac{\pi}{4}>\sin\dfrac{\pi}{6}$;
3) $\cos\dfrac{\pi}{3}>\cos\dfrac{\pi}{6}$;
4) $\operatorname{ctg}\dfrac{17\pi}{12}<0$;
5) $\arccos\left(-\dfrac12\right)=\dfrac{2\pi}{3}$.
Ответ запишите цифрами в порядке возрастания, без пробелов.`,
answer: '25', ansShow: '2, 5',
sol: R`$1)$ неверно: $\operatorname{arctg}(-1)=-\dfrac{\pi}{4}$. $\ 2)$ верно: $\dfrac{\sqrt2}{2}>\dfrac12$. $\ 3)$ неверно: $\dfrac12<\dfrac{\sqrt3}{2}$. $\ 4)$ неверно: $\operatorname{ctg}\dfrac{17\pi}{12}=\operatorname{ctg}\dfrac{5\pi}{12}>0$. $\ 5)$ верно: $\arccos\left(-\dfrac12\right)=\dfrac{2\pi}{3}$. Подходят 2 и 5.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 10 кл.», гл. 1, § 7; § 9' },
+ ref: 'Алгебра, 10 класс, гл. 1, § 7; § 9' },
// ── Часть B: В1–В20 ──────────────────────────────────────────────────────
{ idx: 11, type: 'long', topic: 'word-sequences', subtopic: 'seq-progressions', diff: 3,
text: R`Для начала каждого из предложений А–В подберите его окончание 1–6 так, чтобы получилось верное утверждение.
Начало:
А) Сумма шестнадцати первых членов арифметической прогрессии $(a_n)$, у которой $a_1=-2$, $a_{16}=43$, равна …
Б) Сумма пяти первых членов геометрической прогрессии $(b_n)$, у которой $b_1=-4$, $q=2$, равна …
В) Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии, у которой $b_1=-208$, $q=\dfrac15$, равна …
Окончание:
1) $-260$; 2) $-110$; 3) $328$; 4) $-832$; 5) $-124$; 6) $252$.
Ответ запишите сочетанием букв и цифр, например: А1Б1В4.`,
answer: 'А3Б5В1', ansShow: 'А3Б5В1',
sol: R`А) $S_{16}=\dfrac{a_1+a_{16}}{2}\cdot16=\dfrac{-2+43}{2}\cdot16=41\cdot8=328$ — окончание 3. Б) $S_5=\dfrac{b_1(q^{5}-1)}{q-1}=\dfrac{-4(32-1)}{1}=-124$ — окончание 5. В) $S=\dfrac{b_1}{1-q}=\dfrac{-208}{1-\frac15}=-208\cdot\dfrac54=-260$ — окончание 1.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 9 кл.», гл. 4, § 16; § 18–19' },
+ ref: 'Алгебра, 9 класс, гл. 4, § 16; § 18–19' },
{ idx: 12, type: 'open', topic: 'stereometry', subtopic: 'ster-angles-distances', diff: 3,
text: R`$ABCDA_1B_1C_1D_1$ — прямоугольный параллелепипед. Выберите верные утверждения.
1) расстояние от точки $B$ до плоскости грани $A_1D_1C_1B_1$ равно длине отрезка $BB_1$;
2) расстояние между плоскостями граней $AA_1D_1D$ и $BB_1C_1C$ равно длине отрезка $AB$;
3) расстояние между прямой $D_1C_1$ и плоскостью грани $ABCD$ равно длине отрезка $DC_1$;
4) расстояние от точки $C$ до плоскости грани $AA_1D_1D$ равно длине отрезка $CC_1$;
5) расстояние между плоскостями граней $AA_1B_1B$ и $DD_1C_1C$ равно длине отрезка $B_1D$;
6) расстояние между прямой $DC_1$ и плоскостью грани $AA_1B_1B$ равно длине отрезка $B_1C_1$.
Ответ запишите цифрами в порядке возрастания, без пробелов.`,
answer: '126', ansShow: '1, 2, 6',
sol: R`Расстояние от точки (прямой) до плоскости — длина перпендикуляра. $\ 1)$ верно: $BB_1\perp$ верхней грани. $\ 2)$ верно: $AB$ — общий перпендикуляр параллельных граней. $\ 3)$ неверно: расстояние равно длине бокового ребра, а не диагонали $DC_1$. $\ 4)$ неверно: расстояние равно $CD$, а не $CC_1$. $\ 5)$ неверно: расстояние равно $AD$, а не диагонали $B_1D$. $\ 6)$ верно: $B_1C_1$ — перпендикуляр между $DC_1$ и гранью $AA_1B_1B$. Подходят 1, 2, 6.`,
- ref: 'Латотин «Геометрия, 10 кл.», разд. 3, § 8' },
+ ref: 'Геометрия, 10 класс, разд. 3, § 8' },
{ idx: 13, type: 'long', topic: 'functions', subtopic: 'fn-graphs', diff: 2,
text: R`На рисунке изображён график функции $f(x)=|x|$ и отмечена точка $A(-2;2)$, принадлежащая этому графику. Для начала каждого из предложений А–В подберите его окончание 1–6 так, чтобы получилось верное утверждение.
Начало:
А) Если график функции $f(x)=|x|$ сдвинуть на $6$ единиц вправо вдоль оси абсцисс, то точка $A$ будет иметь координаты …
Б) Если график функции $f(x)=|x|$ сдвинуть на $8$ единиц вниз вдоль оси ординат, то точка $A$ будет иметь координаты …
В) Если график функции $f(x)=|x|$ сдвинуть на $2$ единицы влево вдоль оси абсцисс и на $3$ единицы вверх вдоль оси ординат, то точка $A$ будет иметь координаты …
Окончание:
1) $(-8;2)$; 2) $(0;-1)$; 3) $(-2;-6)$; 4) $(-2;10)$; 5) $(4;2)$; 6) $(-4;5)$.
Ответ запишите сочетанием букв и цифр, например: А1Б1В4.`,
answer: 'А5Б3В6', ansShow: 'А5Б3В6',
sol: R`А) сдвиг на $6$ вправо: $(-2+6;2)=(4;2)$ — окончание 5. Б) сдвиг на $8$ вниз: $(-2;2-8)=(-2;-6)$ — окончание 3. В) сдвиг на $2$ влево и $3$ вверх: $(-2-2;2+3)=(-4;5)$ — окончание 6.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 9 кл.», гл. 2, § 9' },
+ ref: 'Алгебра, 9 класс, гл. 2, § 9' },
{ idx: 14, type: 'long', topic: 'numbers', subtopic: 'num-divisibility', diff: 2,
text: R`Для начала каждого из предложений А–В подберите его окончание 1–6 так, чтобы получилось верное утверждение, если известно, что $2023=7\cdot17\cdot17$.
Начало:
А) Наибольший простой делитель числа $2023$ равен …
Б) Количество различных натуральных делителей числа $2023$ равно …
В) Наибольший общий делитель чисел $117$ и $2023$ равен …
Окончание:
1) $5$; 2) $17$; 3) $7$; 4) $51$; 5) $1$; 6) $6$.
Ответ запишите сочетанием букв и цифр, например: А1Б1В4.`,
answer: 'А2Б6В5', ansShow: 'А2Б6В5',
sol: R`А) простые делители числа $2023$ — это $7$ и $17$, наибольший $17$ — окончание 2. Б) делители $2023$: $1,7,17,119,289,2023$ — всего $6$ — окончание 6. В) $117=3^{2}\cdot13$, у чисел $117$ и $2023$ общих простых делителей нет, поэтому их наибольший общий делитель равен $1$ — окончание 5.`,
- ref: 'Герасимов «Математика, 5 кл.», ч. 1, гл. 1, § 12; § 14' },
+ ref: 'Математика, 5 класс, ч. 1, гл. 1, § 12; § 14' },
{ idx: 15, type: 'open', topic: 'planimetry', subtopic: 'plan-triangles', diff: 2,
text: R`В треугольнике $ABC$ точка $M$ лежит на стороне $AC$, точка $N$ — на стороне $BC$, причём $MN\parallel AB$, $CM=24$, $CN=12$, $NB=3$. Найдите длину стороны $AC$.`,
answer: '30',
sol: R`Так как $MN\parallel AB$, треугольник $MNC$ подобен треугольнику $ABC$. Тогда $\dfrac{CM}{CA}=\dfrac{CN}{CB}$, где $CB=CN+NB=15$. Получаем $\dfrac{24}{CA}=\dfrac{12}{15}$, откуда $CA=\dfrac{24\cdot15}{12}=30$.`,
- ref: 'Казаков «Геометрия, 8 кл.», гл. 3, § 20' },
+ ref: 'Геометрия, 8 класс, гл. 3, § 20' },
{ idx: 16, type: 'open', topic: 'expressions', subtopic: 'expr-powers-roots', diff: 3,
text: R`Найдите значение выражения $\left(3b^{0{,}25}\right)^{2}+3b^{0{,}5}$ при $b=\log_{\sqrt2}256$.`,
answer: '48',
sol: R`Упростим: $\left(3b^{0{,}25}\right)^{2}+3b^{0{,}5}=9b^{0{,}5}+3b^{0{,}5}=12b^{0{,}5}$. Значение $b=\log_{\sqrt2}256=\log_{2^{1/2}}2^{8}=\dfrac{8}{1/2}=16$. Тогда $12\cdot16^{0{,}5}=12\cdot4=48$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 11 кл.», гл. 1, § 1' },
+ ref: 'Алгебра, 11 класс, гл. 1, § 1' },
{ idx: 17, type: 'open', topic: 'equations', subtopic: 'eq-logarithmic', diff: 3,
text: R`Найдите произведение корней уравнения $\log_{\sqrt5}\left(x-3\sqrt7\right)+\log_{\sqrt5}\left(x+3\sqrt7\right)=0$ (корень, если он единственный).`,
answer: '8',
sol: R`По свойству логарифмов $\log_{\sqrt5}\left((x-3\sqrt7)(x+3\sqrt7)\right)=0$, то есть $x^{2}-63=1$, $x^{2}=64$, $x=\pm8$. Условию $x-3\sqrt7>0$ ($3\sqrt7\approx7{,}9$) удовлетворяет только $x=8$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 11 кл.», гл. 3, § 9' },
+ ref: 'Алгебра, 11 класс, гл. 3, § 9' },
{ idx: 18, type: 'open', topic: 'word-sequences', subtopic: 'word-problems', diff: 2,
text: R`Через электронный сервис Петя купил билет на спортивное мероприятие и заплатил $46$ рублей $25$ копеек. В эту сумму входит стоимость билета и сервисный сбор $2$ рубля $50$ копеек. За два дня до мероприятия Петя решил вернуть билет. По правилам организатора ему вернут $80\%$ стоимости билета. Какую сумму (в рублях) получит Петя, вернув билет?`,
answer: '35',
sol: R`Стоимость билета без сервисного сбора: $46{,}25-2{,}50=43{,}75$ рубля. Вернут $80\%$ от неё: $43{,}75\cdot0{,}8=35$ (рублей).`,
- ref: 'Герасимов «Математика, 6 кл.», гл. 2, § 1–2' },
+ ref: 'Математика, 6 класс, гл. 2, § 1–2' },
{ idx: 19, type: 'open', topic: 'equations', subtopic: 'eq-exponential', diff: 3,
text: R`Найдите сумму всех целых решений неравенства $\left(\dfrac37\right)^{\frac{x+18}{(x-2)^{2}}}\le\dfrac37$.`,
answer: '23',
sol: R`Так как $0<\dfrac37<1$, функция убывает, поэтому неравенство равносильно $\dfrac{x+18}{(x-2)^{2}}\ge1$, то есть $\dfrac{(x+2)(x-7)}{(x-2)^{2}}\le0$. Методом интервалов (нули $-2$ и $7$, $x\ne2$) решение — $[-2;2)\cup(2;7]$. Целые: $-2,-1,0,1,3,4,5,6,7$; их сумма равна $23$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 11 кл.», гл. 2, § 6' },
+ ref: 'Алгебра, 11 класс, гл. 2, § 6' },
{ idx: 20, type: 'open', topic: 'planimetry', subtopic: 'plan-quadrilaterals', diff: 4,
text: R`В трапеции $ABCD$ ($BC\parallel AD$) известно, что $\angle A=90^\circ$, $\angle C=120^\circ$, $AD=8\sqrt2$. Найдите значение выражения $\sqrt3\cdot S$, где $S$ — площадь трапеции $ABCD$, если высота трапеции равна $3\sqrt6$.`,
answer: '117',
sol: R`Пусть $CK$ — высота ($CK=3\sqrt6$). В прямоугольном треугольнике $CKD$ угол при $D$ равен $60^\circ$, поэтому $KD=\dfrac{CK}{\sqrt3}=3\sqrt2$. Тогда $AK=AD-KD=8\sqrt2-3\sqrt2=5\sqrt2$, а так как $ABCK$ — прямоугольник, $BC=AK=5\sqrt2$. Площадь $S=\dfrac{AD+BC}{2}\cdot CK=\dfrac{8\sqrt2+5\sqrt2}{2}\cdot3\sqrt6=39\sqrt3$. Тогда $\sqrt3\cdot S=\sqrt3\cdot39\sqrt3=117$.`,
- ref: 'Казаков «Геометрия, 8 кл.», гл. 2, § 17' },
+ ref: 'Геометрия, 8 класс, гл. 2, § 17' },
{ idx: 21, type: 'open', topic: 'functions', subtopic: 'fn-derivative', diff: 3,
text: R`Найдите наименьшее значение функции $f(x)=\dfrac{x^{2}}{x-4}$ на отрезке $[6;10]$.`,
answer: '16',
sol: R`$f'(x)=\dfrac{2x(x-4)-x^{2}}{(x-4)^{2}}=\dfrac{x^{2}-8x}{(x-4)^{2}}$. Нули $x=0$ и $x=8$; на $[6;10]$ лежит $x=8$. Сравним $f(6)=\dfrac{36}{2}=18$, $f(8)=\dfrac{64}{4}=16$, $f(10)=\dfrac{100}{6}=16\dfrac23$. Наименьшее значение $16$ (при $x=8$).`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 10 кл.», гл. 3, § 22' },
+ ref: 'Алгебра, 10 класс, гл. 3, § 22' },
{ idx: 22, type: 'open', topic: 'expressions', subtopic: 'expr-powers-roots', diff: 3,
text: R`Найдите значение выражения $\log_3\left(\dfrac{a}{9}\right)-\log_3\left(\dfrac{81}{b}\right)$, если $\log_3(ab)=17$.`,
answer: '11',
sol: R`$\log_3\dfrac{a}{9}-\log_3\dfrac{81}{b}=\log_3 a-\log_3 9-\log_3 81+\log_3 b=\log_3(ab)-2-4=\log_3(ab)-6$. Подставив $\log_3(ab)=17$, получим $17-6=11$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 11 кл.», гл. 3, § 7' },
+ ref: 'Алгебра, 11 класс, гл. 3, § 7' },
{ idx: 23, type: 'open', topic: 'stereometry', subtopic: 'ster-polyhedra', diff: 4,
text: R`$ABCA_1B_1C_1$ — правильная треугольная призма, длина стороны основания которой равна $7$, а бокового ребра — $\sqrt{29}$. Найдите периметр сечения призмы плоскостью, проходящей через прямую $A_1C_1$ и середину ребра $BB_1$.`,
answer: '22',
sol: R`Пусть $K$ — середина ребра $BB_1$. Сечение — равнобедренный треугольник $A_1KC_1$ с $A_1C_1=7$ и $KA_1=KC_1$. Из прямоугольного треугольника $KB_1A_1$: $KB_1=\dfrac{\sqrt{29}}{2}$, $A_1B_1=7$, поэтому $KA_1=\sqrt{49+\dfrac{29}{4}}=\sqrt{\dfrac{225}{4}}=\dfrac{15}{2}$. Периметр $P=A_1C_1+KA_1+KC_1=7+2\cdot\dfrac{15}{2}=22$.`,
- ref: 'Латотин «Геометрия, 10 кл.», разд. 1, § 3' },
+ ref: 'Геометрия, 10 класс, разд. 1, § 3' },
{ idx: 24, type: 'open', topic: 'equations', subtopic: 'eq-rational', diff: 3,
text: R`Найдите сумму всех целых решений системы неравенств $\begin{cases}x^{2}+8x+7\ge0,\\(x+9)(4-x)>0.\end{cases}$`,
answer: '-10',
sol: R`$x^{2}+8x+7\ge0\Rightarrow(x+7)(x+1)\ge0$, решение $(-\infty;-7]\cup[-1;+\infty)$. $\ (x+9)(4-x)>0\Rightarrow x\in(-9;4)$. Пересечение — $(-9;-7]\cup[-1;4)$. Целые: $-8,-7,-1,0,1,2,3$; их сумма равна $-10$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 8 кл.», гл. 3, § 16' },
+ ref: 'Алгебра, 8 класс, гл. 3, § 16' },
{ idx: 25, type: 'open', topic: 'equations', subtopic: 'eq-irrational', diff: 3,
text: R`Найдите сумму квадратов корней уравнения $\sqrt{2x+6}-\sqrt{x+1}=2$.`,
answer: '226',
sol: R`Перепишем: $\sqrt{2x+6}=2+\sqrt{x+1}$. Возведя в квадрат: $2x+6=4+4\sqrt{x+1}+x+1$, $x+1=4\sqrt{x+1}$. Ещё раз в квадрат: $x^{2}-14x-15=0$, корни $-1$ и $15$ (оба проходят проверку). Сумма квадратов $(-1)^{2}+15^{2}=1+225=226$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 10 кл.», гл. 2, § 17' },
+ ref: 'Алгебра, 10 класс, гл. 2, § 17' },
{ idx: 26, type: 'open', topic: 'stereometry', subtopic: 'ster-angles-distances', diff: 4,
text: R`В прямоугольном треугольнике $KMN$ угол $M$ равен $90^\circ$, а $KN=6\sqrt2$. Точка $A$, не лежащая в плоскости треугольника $KMN$, удалена на расстояние $7$ от каждой вершины треугольника. Найдите значение выражения $21\sqrt2\cdot\cos\alpha$, где $\alpha$ — угол между прямой $AM$ и плоскостью $KMN$.`,
answer: '18',
sol: R`Так как точка $A$ равноудалена от вершин, основание $O$ перпендикуляра $AO$ — центр описанной около прямоугольного треугольника окружности, то есть середина гипотенузы $KN$, причём $MO=\dfrac{KN}{2}=3\sqrt2$. Угол между $AM$ и плоскостью — это $\angle AMO=\alpha$. В прямоугольном треугольнике $AOM$: $\cos\alpha=\dfrac{MO}{AM}=\dfrac{3\sqrt2}{7}$. Тогда $21\sqrt2\cdot\dfrac{3\sqrt2}{7}=\dfrac{21\cdot3\cdot2}{7}=18$.`,
- ref: 'Латотин «Геометрия, 10 кл.», разд. 3, § 9' },
+ ref: 'Геометрия, 10 класс, разд. 3, § 9' },
{ idx: 27, type: 'open', topic: 'trigonometry', subtopic: 'trig-equations', diff: 4,
text: R`Найдите (в градусах) сумму различных корней уравнения $\sqrt3\sin5x+\cos5x=0$ на промежутке $(-45^\circ;0^\circ)$.`,
answer: '-48',
sol: R`Разделив на $\cos5x$: $\sqrt3\operatorname{tg}5x+1=0$, $\operatorname{tg}5x=-\dfrac{\sqrt3}{3}$, откуда $5x=-30^\circ+180^\circ n$, $x=-6^\circ+36^\circ n$. Промежутку $(-45^\circ;0^\circ)$ принадлежат $-6^\circ$ и $-42^\circ$; их сумма равна $-48^\circ$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 10 кл.», гл. 1, § 8' },
+ ref: 'Алгебра, 10 класс, гл. 1, § 8' },
{ idx: 28, type: 'open', topic: 'equations', subtopic: 'eq-logarithmic', diff: 4,
text: R`Найдите сумму всех целых решений неравенства $\dfrac{8}{1+\log_3 x}>-1+\log_3 x$.`,
answer: '351',
sol: R`Пусть $t=\log_3 x$, тогда $\dfrac{8}{1+t}>t-1$, что приводит к $\dfrac{(t-3)(t+3)}{t+1}<0$, решение $t<-3$ или $-10$ неравенство $\dfrac{320}{x}<50$ равносильно $x>6{,}4$. Из данных чисел этому условию удовлетворяет только $x=8$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 7 кл.», гл. 3, § 18' },
+ ref: 'Алгебра, 7 класс, гл. 3, § 18' },
{ idx: 5, type: 'mc', topic: 'functions', subtopic: 'fn-graphs', diff: 1,
text: R`Укажите номер функции, график которой параллелен оси абсцисс.`,
opts: mc('$y=-4$', '$y=4-2x$', '$y=\dfrac{2}{x}$', '$y=4^{x}$', '$y=4x$'),
answer: 'а',
sol: R`График параллелен оси абсцисс у постоянной функции $y=b$ (угловой коэффициент $k=0$). Из предложенных это $y=-4$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 7 кл.», гл. 3, § 20' },
+ ref: 'Алгебра, 7 класс, гл. 3, § 20' },
{ idx: 6, type: 'open', topic: 'functions', subtopic: 'fn-properties', diff: 2,
text: R`Функция задана формулой $f(x)=|x|-6$. Укажите номера верных утверждений.
1) областью определения функции является множество всех действительных чисел;
2) функция возрастает на промежутке $(-\infty;0]$;
3) функция является чётной;
4) $f(-5)=-11$;
5) $f(3)<0$.
Ответ запишите цифрами в порядке возрастания, без пробелов.`,
answer: '135', ansShow: '1, 3, 5',
sol: R`$1)$ верно: $|x|-6$ определено при всех $x$. $\ 2)$ неверно: на $(-\infty;0]$ функция убывает. $\ 3)$ верно: $f(-x)=|-x|-6=|x|-6=f(x)$. $\ 4)$ неверно: $f(-5)=5-6=-1$. $\ 5)$ верно: $f(3)=3-6=-3<0$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 8 кл.», гл. 4, § 19' },
+ ref: 'Алгебра, 8 класс, гл. 4, § 19' },
{ idx: 7, type: 'mc', topic: 'word-sequences', subtopic: 'word-problems', diff: 2,
text: R`Фермер привёз на осеннюю ярмарку некоторое количество картофеля и продал из этого количества $102$ кг. Сколько всего килограммов картофеля привёз фермер, если после продажи осталось $\dfrac{5}{11}$ всего привезённого картофеля?`,
opts: mc('$224$ кг', '$204$ кг', '$192$ кг', '$187$ кг', '$169$ кг'),
answer: 'г',
sol: R`Проданная часть составляет $1-\dfrac{5}{11}=\dfrac{6}{11}$ всего картофеля и равна $102$ кг. Тогда всего привезено $102:\dfrac{6}{11}=\dfrac{102\cdot11}{6}=187$ кг.`,
- ref: 'Герасимов «Математика, 6 кл.», гл. 3, § 10' },
+ ref: 'Математика, 6 класс, гл. 3, § 10' },
{ idx: 8, type: 'mc', topic: 'expressions', subtopic: 'expr-powers-roots', diff: 1,
text: R`Значение выражения $\sqrt[3]{0{,}9}\cdot\sqrt[3]{30}$ равно:`,
opts: mc('$3$', '$\sqrt[3]{12}$', '$\sqrt3$', '$\sqrt[6]{12}$', '$6$'),
answer: 'а',
sol: R`По свойству корня $n$-й степени $\sqrt[3]{0{,}9}\cdot\sqrt[3]{30}=\sqrt[3]{0{,}9\cdot30}=\sqrt[3]{27}=3$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 10 кл.», гл. 2, § 14' },
+ ref: 'Алгебра, 10 класс, гл. 2, § 14' },
{ idx: 9, type: 'mc', topic: 'stereometry', subtopic: 'ster-polyhedra', diff: 2,
text: R`Треугольник $KMN$ — сечение треугольной пирамиды $SABC$ плоскостью, проходящей через точку $M$ — середину ребра $BC$ — параллельно плоскости $SAC$. Найдите периметр треугольника $KMN$, если каждое ребро пирамиды $SABC$ имеет длину $2\sqrt2$.`,
opts: mc('$\dfrac{2\sqrt2}{3}$', '$\dfrac{3\sqrt2}{2}$', '$3\sqrt2$', '$6\sqrt2$', '$4\sqrt2$'),
answer: 'в',
sol: R`Секущая плоскость параллельна $SAC$ и проходит через середину $M$ ребра $BC$, поэтому она пересекает рёбра $AB$ и $SB$ в их серединах $N$ и $K$. Отрезки $MN$, $MK$, $NK$ — средние линии граней, каждый равен $\dfrac12\cdot2\sqrt2=\sqrt2$. Значит, периметр $KMN$ равен $3\sqrt2$.`,
- ref: 'Латотин «Геометрия, 10 кл.», разд. 1, § 3' },
+ ref: 'Геометрия, 10 класс, разд. 1, § 3' },
{ idx: 10, type: 'open', topic: 'trigonometry', subtopic: 'trig-identities', diff: 2,
text: R`Укажите номера выражений, которые не имеют смысла.
1) $\arccos\dfrac{\sqrt3}{2}$;
2) $\arcsin\sqrt2$;
3) $\operatorname{ctg}\left(-\dfrac{3\pi}{2}\right)$;
4) $\operatorname{tg}\left(-\dfrac{3\pi}{2}\right)$;
5) $\operatorname{arctg}\dfrac{\sqrt3}{3}$.
Ответ запишите цифрами в порядке возрастания, без пробелов.`,
answer: '24', ansShow: '2, 4',
sol: R`$1)$ имеет смысл: $\arccos\dfrac{\sqrt3}{2}=\dfrac{\pi}{6}$. $\ 2)$ не имеет смысла: $\sqrt2\notin[-1;1]$. $\ 3)$ имеет смысл: $\operatorname{ctg}\left(-\dfrac{3\pi}{2}\right)=0$. $\ 4)$ не имеет смысла: $\operatorname{tg}\left(-\dfrac{3\pi}{2}\right)$ не существует, так как $\cos\left(-\dfrac{3\pi}{2}\right)=0$. $\ 5)$ имеет смысл: $\operatorname{arctg}\dfrac{\sqrt3}{3}=\dfrac{\pi}{6}$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 10 кл.», гл. 1, § 3; § 7' },
+ ref: 'Алгебра, 10 класс, гл. 1, § 3; § 7' },
// ── Часть B: В1–В20 ──────────────────────────────────────────────────────
{ idx: 11, type: 'long', topic: 'numbers', subtopic: 'num-divisibility', diff: 2,
text: R`Для начала каждого из предложений А–В подберите его окончание 1–6 так, чтобы получилось верное утверждение.
Начало:
А) Наибольший простой делитель числа $14$ равен …
Б) Наименьшее общее кратное чисел $5$ и $55$ равно …
В) Наибольший общий делитель чисел $16$ и $55$ равен …
Окончание:
1) $1$; 2) $110$; 3) $55$; 4) $5$; 5) $7$; 6) $2$.
Ответ запишите сочетанием букв и цифр, например: А1Б1В4.`,
answer: 'А5Б3В1', ansShow: 'А5Б3В1',
sol: R`А) Простые делители числа $14$ — это $2$ и $7$; наибольший равен $7$ — окончание 5. Б) Наименьшее общее кратное чисел $5$ и $55$ равно $55$ — окончание 3. В) Наибольший общий делитель чисел $16$ и $55$ равен $1$ — окончание 1.`,
- ref: 'Герасимов «Математика, 5 кл.», ч. 1, гл. 1, § 12' },
+ ref: 'Математика, 5 класс, ч. 1, гл. 1, § 12' },
{ idx: 12, type: 'open', topic: 'stereometry', subtopic: 'ster-basics', diff: 3,
text: R`$ABCDA_1B_1C_1D_1$ — куб. Отрезки $B_1D_1$ и $AD_1$ являются диагоналями граней $A_1B_1C_1D_1$ и $AA_1D_1D$ соответственно. Выберите верные утверждения.
1) прямая $C_1D_1$ перпендикулярна прямой $AD_1$;
2) прямая $B_1D_1$ параллельна прямой $BC$;
3) прямая $AD_1$ параллельна плоскости $BB_1C_1$;
4) прямая $B_1D_1$ перпендикулярна прямой $AD_1$;
5) прямая $AA_1$ параллельна прямой $B_1D_1$;
6) прямая $CC_1$ параллельна плоскости $BAA_1$.
Ответ запишите цифрами в порядке возрастания, без пробелов.`,
answer: '136', ansShow: '1, 3, 6',
sol: R`$1)$ верно: $C_1D_1$ перпендикулярна плоскости $AA_1D_1D$, значит $C_1D_1\perp AD_1$. $\ 2)$ неверно: $B_1D_1$ и $BC$ скрещиваются. $\ 3)$ верно: $AD_1\subset AA_1D_1D$, а эта грань параллельна грани $BB_1C_1C$. $\ 4)$ неверно: угол между $B_1D_1$ и $AD_1$ равен $60^\circ$. $\ 5)$ неверно: $AA_1\perp B_1D_1$. $\ 6)$ верно: $CC_1\subset CC_1D_1D$, а эта грань параллельна грани $BAA_1B_1$.`,
- ref: 'Латотин «Геометрия, 10 кл.», разд. 1–2' },
+ ref: 'Геометрия, 10 класс, разд. 1–2' },
{ idx: 13, type: 'open', topic: 'planimetry', subtopic: 'plan-triangles', diff: 1,
text: R`В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle ABC=40^\circ$, $\angle BAC=3x$, $\angle ACB=x$. Найдите градусную меру угла $ACB$.`,
answer: '35',
sol: R`По теореме о сумме градусных мер углов треугольника $3x+x+40^\circ=180^\circ$, откуда $4x=140^\circ$, $x=35^\circ$. Значит, $\angle ACB=35^\circ$.`,
- ref: 'Казаков «Геометрия, 7 кл.», гл. 4, § 19' },
+ ref: 'Геометрия, 7 класс, гл. 4, § 19' },
{ idx: 14, type: 'open', topic: 'word-sequences', subtopic: 'seq-progressions', diff: 2,
text: R`Арифметическая прогрессия $(a_n)$ задана формулой $n$-го члена $a_n=6-2n$. Найдите номер члена этой прогрессии, равного $-70$.`,
answer: '38',
sol: R`По условию $a_n=-70$, тогда $6-2n=-70$, $-2n=-76$, $n=38$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 9 кл.», гл. 4, § 15' },
+ ref: 'Алгебра, 9 класс, гл. 4, § 15' },
{ idx: 15, type: 'open', topic: 'numbers', subtopic: 'num-divisibility', diff: 2,
text: R`Найдите произведение наименьшего натурального двузначного простого числа и натурального числа, при делении которого на $5$ получается в неполном частном $13$ и в остатке $1$.`,
answer: '726',
sol: R`Наименьшее двузначное простое число — $11$. Натуральное число с неполным частным $13$ и остатком $1$ при делении на $5$ равно $13\cdot5+1=66$. Произведение: $11\cdot66=726$.`,
- ref: 'Герасимов «Математика, 5 кл.», ч. 1, гл. 1, § 11' },
+ ref: 'Математика, 5 класс, ч. 1, гл. 1, § 11' },
{ idx: 16, type: 'open', topic: 'word-sequences', subtopic: 'word-problems', diff: 2,
text: R`За керамическую плитку и её укладку заплатили $524$ рубля. Сколько стоит (в рублях) керамическая плитка, если стоимость её укладки составляет $31\%$ стоимости плитки?`,
answer: '400',
sol: R`Пусть стоимость плитки равна $x$ рублей, тогда стоимость укладки $0{,}31x$. Уравнение $x+0{,}31x=524$, $1{,}31x=524$, $x=400$.`,
- ref: 'Герасимов «Математика, 6 кл.», гл. 2, § 1' },
+ ref: 'Математика, 6 класс, гл. 2, § 1' },
{ idx: 17, type: 'open', topic: 'expressions', subtopic: 'expr-powers-roots', diff: 3,
text: R`Найдите значение выражения $\dfrac{a^{5}-a}{a^{5}-a^{9}}$ при $a=\dfrac{1}{\sqrt[4]{18}}$.`,
answer: '-18',
sol: R`$\dfrac{a^{5}-a}{a^{5}-a^{9}}=\dfrac{a(a^{4}-1)}{a^{5}(1-a^{4})}=-\dfrac{1}{a^{4}}$. При $a=\dfrac{1}{\sqrt[4]{18}}$ имеем $a^{4}=\dfrac{1}{18}$, поэтому значение равно $-18$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 11 кл.», гл. 1, § 1' },
+ ref: 'Алгебра, 11 класс, гл. 1, § 1' },
{ idx: 18, type: 'open', topic: 'functions', subtopic: 'fn-graphs', diff: 2,
text: R`Дана функция $y=x^{2}$. График функции $y=g(x)$ получен из графика функции $y=x^{2}$ сдвигом вдоль оси абсцисс на $1$ единицу влево и вдоль оси ординат на $3$ единицы вниз. Найдите значение $g(-6)$.`,
answer: '22',
sol: R`Указанный сдвиг даёт $g(x)=(x+1)^{2}-3$. Тогда $g(-6)=(-6+1)^{2}-3=25-3=22$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 9 кл.», гл. 2, § 9' },
+ ref: 'Алгебра, 9 класс, гл. 2, § 9' },
{ idx: 19, type: 'open', topic: 'equations', subtopic: 'eq-linear', diff: 2,
text: R`Найдите сумму наименьшего и наибольшего целых решений двойного неравенства $-130<\dfrac{4-3x}{0{,}5}<25$.`,
answer: '20',
sol: R`Умножив на $0{,}5$: $-65<4-3x<12{,}5$. Вычтя $4$: $-69<-3x<8{,}5$. Разделив на $-3$ (знаки меняются): $-2\dfrac560$ приводит к $v^{2}+5v-168\ge0$, решение $v\ge\dfrac{-5+\sqrt{697}}{2}\approx10{,}7$. Наименьшее целое значение $v=11$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 9 кл.», гл. 3, § 13' },
+ ref: 'Алгебра, 9 класс, гл. 3, § 13' },
{ idx: 30, type: 'open', topic: 'stereometry', subtopic: 'ster-angles-distances', diff: 5,
text: R`$ABCA_1B_1C_1$ — правильная треугольная призма, все рёбра которой равны. Точка $N$ лежит на диагонали $A_1B$ грани $AA_1B_1B$ так, что $A_1N:NB=1:5$. Точки $M$ и $K$ лежат на рёбрах $CC_1$ и $CB$ соответственно так, что $CM:CC_1=1:4$, $CK:KB=1:3$. Найдите значение выражения $18\sqrt7\cdot\operatorname{tg}\varphi$, где $\varphi$ — угол между прямыми $C_1N$ и $KM$.`,
answer: '70',
sol: R`Пусть длина ребра призмы равна $a$. Прямая $BC_1\parallel KM$, поэтому угол между $C_1N$ и $KM$ равен углу $NC_1B$. Тогда $BC_1=a\sqrt2$, $A_1N=\dfrac{a\sqrt2}{6}$, $NB=\dfrac{5a\sqrt2}{6}$. Из треугольника $A_1BC_1$ по теореме косинусов $\cos\angle A_1BC_1=\dfrac34$; далее $C_1N=\dfrac{2a\sqrt2}{3}$ и $\cos\angle NC_1B=\dfrac{9}{16}$, $\sin\angle NC_1B=\dfrac{5\sqrt7}{16}$, $\operatorname{tg}\varphi=\dfrac{5\sqrt7}{9}$. Тогда $18\sqrt7\cdot\dfrac{5\sqrt7}{9}=2\cdot5\cdot7=70$.`,
- ref: 'Латотин «Геометрия, 10 кл.», разд. 2, § 4' },
+ ref: 'Геометрия, 10 класс, разд. 2, § 4' },
];
/* ── Сборка solution_html ────────────────────────────────────────────────── */
diff --git a/backend/scripts/seed_ctmath_rt2324_e2v1.js b/backend/scripts/seed_ctmath_rt2324_e2v1.js
index 8a41041..9cd649d 100644
--- a/backend/scripts/seed_ctmath_rt2324_e2v1.js
+++ b/backend/scripts/seed_ctmath_rt2324_e2v1.js
@@ -43,189 +43,189 @@ const TASKS = [
opts: mc('$SB$', '$AK$', '$SC$', '$BK$', '$BA$'),
answer: 'г',
sol: R`Точка $K$ лежит на ребре $SC$, поэтому она принадлежит плоскости $SBC$. Точки $B$ и $K$ принадлежат обеим плоскостям $BKA$ и $SBC$, значит, плоскости пересекаются по прямой $BK$.`,
- ref: 'Латотин «Геометрия, 10 кл.», разд. 1, § 2' },
+ ref: 'Геометрия, 10 класс, разд. 1, § 2' },
{ idx: 2, type: 'mc', topic: 'functions', subtopic: 'fn-properties', diff: 2,
text: R`Наименьшим целым числом, принадлежащим области определения функции $y=\log_5(x+6)$, является число:`,
opts: mc('$-7$', '$-6$', '$-5$', '$-1$', '$0$'),
answer: 'в',
sol: R`Логарифмическая функция $y=\log_5 t$ определена при $t>0$, поэтому $x+6>0$, то есть $x>-6$ и $D(y)=(-6;+\infty)$. Наименьшее целое число из этого промежутка — $-5$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 11 кл.», гл. 3, § 8' },
+ ref: 'Алгебра, 11 класс, гл. 3, § 8' },
{ idx: 3, type: 'mc', topic: 'equations', subtopic: 'eq-linear', diff: 1,
text: R`Укажите номер числового промежутка, который является решением неравенства $x\ge-10$.`,
opts: mc('$(-10;+\infty)$', '$[-10;+\infty)$', '$(-\infty;-10]$', '$(-\infty;-10)$', '$[-10;0)$'),
answer: 'б',
sol: R`Решением неравенства $x\ge-10$ является числовой луч $[-10;+\infty)$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 8 кл.», гл. 1, § 5–6' },
+ ref: 'Алгебра, 8 класс, гл. 1, § 5–6' },
{ idx: 4, type: 'mc', topic: 'functions', subtopic: 'fn-graphs', diff: 1,
text: R`Укажите номер функции, графиком которой является гипербола.`,
opts: mc('$f(x)=-x^{2}+7$', '$f(x)=x^{3}$', '$f(x)=|x|-7$', '$f(x)=-\dfrac{x}{7}$', '$f(x)=-\dfrac{7}{x}$'),
answer: 'д',
sol: R`Графиком обратной пропорциональности $y=\dfrac{k}{x}$ ($k\ne0$) является гипербола. Среди предложенных функций обратную пропорциональность задаёт только $f(x)=-\dfrac{7}{x}$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 8 кл.», гл. 3, § 13' },
+ ref: 'Алгебра, 8 класс, гл. 3, § 13' },
{ idx: 5, type: 'mc', topic: 'equations', subtopic: 'eq-rational', diff: 2,
text: R`Укажите номер уравнения, равносильного уравнению $x=6$.`,
opts: mc('$\sqrt{x-5}=1$', '$\log_6 x=0$', '$x^{2}=6$', '$x+6=0$', '$6^{x}=36$'),
answer: 'а',
sol: R`Уравнения равносильны, если имеют одно и то же множество корней. Уравнение $\sqrt{x-5}=1$ даёт $x-5=1$, то есть $x=6$ — то же множество корней. (Остальные: $\log_6 x=0\Rightarrow x=1$; $x^{2}=6\Rightarrow x=\pm\sqrt6$; $x+6=0\Rightarrow x=-6$; $6^{x}=36\Rightarrow x=2$.)`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 7 кл.», гл. 3, § 15' },
+ ref: 'Алгебра, 7 класс, гл. 3, § 15' },
{ idx: 6, type: 'open', topic: 'numbers', subtopic: 'num-real', diff: 2,
text: R`Укажите номера верных неравенств.
1) $\sqrt5<2$;
2) $3<2\sqrt3$;
3) $\sqrt{(-4)^{2}}<-3$;
4) $0{,}82>\sqrt{0{,}81}$;
5) $\sqrt{(-5)^{2}}>\sqrt{(-3)^{2}}$.
Ответ запишите цифрами в порядке возрастания, без пробелов.`,
answer: '25', ansShow: '2, 5',
sol: R`$1)$ неверно: возведя в квадрат, получим ложное $5<4$. $\ 2)$ верно: $9<12$. $\ 3)$ неверно: $\sqrt{(-4)^{2}}=4$, а $4<-3$ ложно. $\ 4)$ неверно: $\sqrt{0{,}81}=0{,}9$, а $0{,}82>0{,}9$ ложно. $\ 5)$ верно: $\sqrt{(-5)^{2}}=5$, $\sqrt{(-3)^{2}}=3$, и $5>3$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 8 кл.», гл. 1, § 1–4' },
+ ref: 'Алгебра, 8 класс, гл. 1, § 1–4' },
{ idx: 7, type: 'mc', topic: 'word-sequences', subtopic: 'word-problems', diff: 2,
text: R`Найдите расстояние (в километрах) между двумя посёлками, если $\dfrac49$ этого расстояния на $10$ км меньше всего расстояния между ними.`,
opts: mc('$22{,}5$', '$20$', '$15$', '$24$', '$18$'),
answer: 'д',
sol: R`Числу $10$ соответствует дробь $1-\dfrac49=\dfrac59$ всего расстояния. Тогда расстояние равно $10:\dfrac59=\dfrac{10\cdot9}{5}=18$ (км).`,
- ref: 'Герасимов «Математика, 5 кл.», ч. 2, гл. 3, § 10' },
+ ref: 'Математика, 5 класс, ч. 2, гл. 3, § 10' },
{ idx: 8, type: 'mc', topic: 'stereometry', subtopic: 'ster-rotation', diff: 2,
text: R`Радиус основания конуса равен $7$. Если осевым сечением конуса является равносторонний треугольник, то образующая конуса равна:`,
opts: mc('$7$', '$3{,}5$', '$14$', '$6$', '$7\sqrt2$'),
answer: 'в',
sol: R`Осевое сечение конуса — равнобедренный треугольник с основанием, равным диаметру, и боковыми сторонами, равными образующим. Если это равносторонний треугольник, то образующая равна диаметру основания, то есть $2\cdot7=14$.`,
- ref: 'Латотин «Геометрия, 11 кл.», разд. 2, § 4' },
+ ref: 'Геометрия, 11 класс, разд. 2, § 4' },
{ idx: 9, type: 'mc', topic: 'trigonometry', subtopic: 'trig-identities', diff: 2,
text: R`Найдите значение выражения $\sqrt6\cdot\cos(-135^\circ)$.`,
opts: mc('$\dfrac{3\sqrt2}{2}$', '$-\sqrt3$', '$-\dfrac{3\sqrt2}{2}$', '$-\dfrac{\sqrt6}{2}$', '$\sqrt3$'),
answer: 'б',
sol: R`$\sqrt6\cdot\cos(-135^\circ)=\sqrt6\cdot\cos135^\circ=\sqrt6\cdot\cos(180^\circ-45^\circ)=-\sqrt6\cdot\cos45^\circ=-\sqrt6\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}=-\sqrt3.$`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 10 кл.», гл. 1, § 2; § 9' },
+ ref: 'Алгебра, 10 класс, гл. 1, § 2; § 9' },
{ idx: 10, type: 'open', topic: 'expressions', subtopic: 'expr-powers-roots', diff: 2,
text: R`Укажите номера выражений, которые не имеют смысла при $x=-5$.
1) $\sqrt{x-5}$;
2) $\dfrac{1}{\sqrt{5-x}}$;
3) $\dfrac{1}{\sqrt{x+5}}$;
4) $\sqrt{-x-5}$;
5) $\sqrt{x+5}$.
Ответ запишите цифрами в порядке возрастания, без пробелов.`,
answer: '13', ansShow: '1, 3',
sol: R`$1)$ $\sqrt{x-5}$ имеет смысл при $x\ge5$; число $-5$ не входит — нет смысла. $\ 2)$ $\dfrac{1}{\sqrt{5-x}}$ имеет смысл при $x<5$ — смысл есть. $\ 3)$ $\dfrac{1}{\sqrt{x+5}}$ имеет смысл при $x>-5$; число $-5$ не входит — нет смысла. $\ 4)$ $\sqrt{-x-5}$ имеет смысл при $x\le-5$ — смысл есть. $\ 5)$ $\sqrt{x+5}$ имеет смысл при $x\ge-5$ — смысл есть.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 7 кл.», гл. 2, § 4' },
+ ref: 'Алгебра, 7 класс, гл. 2, § 4' },
// ── Часть B: В1–В20 ──────────────────────────────────────────────────────
{ idx: 11, type: 'open', topic: 'planimetry', subtopic: 'plan-triangles', diff: 3,
text: R`Дан прямоугольный треугольник $ABC$ ($\angle ABC=90^\circ$), в котором катет $AB=\sqrt7$, катет $BC=\sqrt2$. Выберите верные утверждения.
1) площадь треугольника $ABC$ равна $\sqrt{14}$;
2) косинус угла $ACB$ равен $\dfrac{\sqrt2}{3}$;
3) синус угла $BAC$ равен $\dfrac{\sqrt7}{3}$;
4) тангенс угла $ACB$ равен $\dfrac{\sqrt{14}}{7}$;
5) котангенс угла $BAC$ равен $\dfrac{\sqrt{14}}{2}$;
6) радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, равен $1{,}5$.
Ответ запишите цифрами в порядке возрастания, без пробелов.`,
answer: '256', ansShow: '2, 5, 6',
sol: R`По теореме Пифагора $AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{7+2}=3$. $\ 1)$ неверно: $S=\dfrac12\cdot\sqrt7\cdot\sqrt2=\dfrac{\sqrt{14}}{2}$. $\ 2)$ верно: $\cos\angle ACB=\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{\sqrt2}{3}$. $\ 3)$ неверно: $\sin\angle BAC=\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{\sqrt2}{3}$. $\ 4)$ неверно: $\operatorname{tg}\angle ACB=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{\sqrt7}{\sqrt2}=\dfrac{\sqrt{14}}{2}$. $\ 5)$ верно: $\operatorname{ctg}\angle BAC=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{\sqrt{14}}{2}$. $\ 6)$ верно: радиус описанной около прямоугольного треугольника окружности равен половине гипотенузы, то есть $1{,}5$.`,
- ref: 'Казаков «Геометрия, 8 кл.», гл. 2, § 15–16' },
+ ref: 'Геометрия, 8 класс, гл. 2, § 15–16' },
{ idx: 12, type: 'long', topic: 'functions', subtopic: 'fn-properties', diff: 2,
text: R`Для начала каждого из предложений А–В подберите его окончание 1–6 так, чтобы получилось верное утверждение.
Начало:
А) Если функция $y=f(x)$ является чётной и $f(6)=-5$, то $f(-6)$ равно …
Б) Если функция $y=g(x)$ является нечётной и $g(-3)=2$, то $g(3)$ равно …
В) Если функция $y=h(x)$ является чётной и $h(1)=2$, а функция $y=p(x)$ является нечётной и $p(1)=15$, то значение выражения $h(-1)\cdot p(-1)$ равно …
Окончание:
1) $30$; 2) $5$; 3) $-2$; 4) $2$; 5) $-30$; 6) $-5$.
Ответ запишите сочетанием букв и цифр, например: А1Б1В4.`,
answer: 'А6Б3В5', ansShow: 'А6Б3В5',
sol: R`А) Для чётной функции $f(-x)=f(x)$, поэтому $f(-6)=f(6)=-5$ — окончание 6. Б) Для нечётной функции $g(-x)=-g(x)$, поэтому $g(3)=-g(-3)=-2$ — окончание 3. В) $h(-1)=h(1)=2$, $p(-1)=-p(1)=-15$, тогда $h(-1)\cdot p(-1)=2\cdot(-15)=-30$ — окончание 5.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 9 кл.», гл. 2, § 8' },
+ ref: 'Алгебра, 9 класс, гл. 2, § 8' },
{ idx: 13, type: 'open', topic: 'numbers', subtopic: 'num-divisibility', diff: 2,
text: R`Наибольшее натуральное число, которое при делении на $16$ с остатком даёт неполное частное, равное $6$, равно …`,
answer: '111',
sol: R`При делении с остатком на $16$ наибольший возможный остаток равен $15$. По формуле $a=q\cdot b+r$ получаем наибольшее число $16\cdot6+15=111$.`,
- ref: 'Герасимов «Математика, 5 кл.», ч. 1, гл. 1, § 11' },
+ ref: 'Математика, 5 класс, ч. 1, гл. 1, § 11' },
{ idx: 14, type: 'open', topic: 'expressions', subtopic: 'expr-powers-roots', diff: 2,
text: R`Найдите значение выражения $5^{\,1+2\log_5 8}$.`,
answer: '320',
sol: R`$5^{\,1+2\log_5 8}=5\cdot\left(5^{\log_5 8}\right)^{2}=5\cdot8^{2}=5\cdot64=320.$`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 11 кл.», гл. 1, § 3; гл. 3, § 7' },
+ ref: 'Алгебра, 11 класс, гл. 1, § 3; гл. 3, § 7' },
{ idx: 15, type: 'open', topic: 'stereometry', subtopic: 'ster-polyhedra', diff: 3,
text: R`Длина ребра основания правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ относится к длине бокового ребра как $12:5$. Найдите длину $l$ замкнутой ломаной $BCA_1AB$, если длина бокового ребра равна $5\sqrt6$. В ответ запишите значение выражения $l\cdot\sqrt6$.`,
answer: '252',
sol: R`Боковое ребро $A_1A=5\sqrt6$, тогда из отношения $\dfrac{AB}{5\sqrt6}=\dfrac{12}{5}$ находим ребро основания $AB=BC=AC=12\sqrt6$. Диагональ боковой грани $CA_1=\sqrt{AC^{2}+A_1A^{2}}=\sqrt{(12\sqrt6)^{2}+(5\sqrt6)^{2}}=\sqrt{864+150}=\sqrt{1014}=13\sqrt6$. Замкнутая ломаная $BCA_1AB$ равна $BC+CA_1+A_1A+AB=12\sqrt6+13\sqrt6+5\sqrt6+12\sqrt6=42\sqrt6$, то есть $l=42\sqrt6$. Тогда $l\cdot\sqrt6=42\cdot6=252$.`,
- ref: 'Латотин «Геометрия, 10 кл.», разд. 1, § 1–2' },
+ ref: 'Геометрия, 10 класс, разд. 1, § 1–2' },
{ idx: 16, type: 'open', topic: 'word-sequences', subtopic: 'word-problems', diff: 2,
text: R`Проездной билет на месяц стоит $42$ рубля, а стоимость билета на одну поездку составляет $2\%$ от стоимости проездного билета на месяц. Какую сумму (в рублях) сэкономил Витя, если он купил проездной билет на месяц и сделал по нему за месяц $75$ поездок?`,
answer: '21',
sol: R`Стоимость билета на одну поездку равна $42\cdot0{,}02=0{,}84$ рубля. За $75$ поездок без проездного Витя заплатил бы $75\cdot0{,}84=63$ рубля. Таким образом, он сэкономил $63-42=21$ рубль.`,
- ref: 'Герасимов «Математика, 6 кл.», гл. 2, § 1–2' },
+ ref: 'Математика, 6 класс, гл. 2, § 1–2' },
{ idx: 17, type: 'open', topic: 'word-sequences', subtopic: 'seq-progressions', diff: 2,
text: R`Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, у которой второй член равен $14$, а знаменатель равен $\dfrac23$.`,
answer: '63',
sol: R`Первый член $b_1=\dfrac{b_2}{q}=\dfrac{14}{2/3}=21$. По формуле суммы бесконечно убывающей прогрессии $S=\dfrac{b_1}{1-q}=\dfrac{21}{1-\frac23}=\dfrac{21}{1/3}=63.$`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 9 кл.», гл. 4, § 19' },
+ ref: 'Алгебра, 9 класс, гл. 4, § 19' },
{ idx: 18, type: 'open', topic: 'expressions', subtopic: 'expr-polynomials', diff: 2,
text: R`Найдите значение выражения $\left(0{,}6\sqrt{x}+\sqrt[4]{y}\right)^{2}-\left(0{,}6\sqrt{x}-\sqrt[4]{y}\right)^{2}$ при $x=300$, $y=9$.`,
answer: '72',
sol: R`По формуле разности квадратов выражение равно $\left(0{,}6\sqrt{x}+\sqrt[4]{y}+0{,}6\sqrt{x}-\sqrt[4]{y}\right)\left(0{,}6\sqrt{x}+\sqrt[4]{y}-0{,}6\sqrt{x}+\sqrt[4]{y}\right)=1{,}2\sqrt{x}\cdot2\sqrt[4]{y}=2{,}4\sqrt{x}\,\sqrt[4]{y}$. При $x=300$, $y=9$: $2{,}4\sqrt{300}\,\sqrt[4]{9}=2{,}4\cdot10\sqrt3\cdot\sqrt3=2{,}4\cdot10\cdot3=72.$`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 7 кл.», гл. 2, § 12–13' },
+ ref: 'Алгебра, 7 класс, гл. 2, § 12–13' },
{ idx: 19, type: 'open', topic: 'equations', subtopic: 'eq-linear', diff: 2,
text: R`Найдите наибольшее целое решение совокупности неравенств $\left[\begin{array}{l}3x+10<0,\\[2pt]-\dfrac12\,x-3>0.\end{array}\right.$`,
answer: '-4',
sol: R`$3x+10<0\Rightarrow x<-\dfrac{10}{3}=-3\dfrac13$; $\ -\dfrac12x-3>0\Rightarrow x<-6$. Объединение открытых лучей есть множество $x\in\left(-\infty;-3\dfrac13\right)$. Наибольшее целое решение равно $-4$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 8 кл.», гл. 1, § 6' },
+ ref: 'Алгебра, 8 класс, гл. 1, § 6' },
{ idx: 20, type: 'open', topic: 'planimetry', subtopic: 'plan-quadrilaterals', diff: 3,
text: R`В трапеции $ABCD$ основания $BC$ и $AD$ равны $16$ и $18$ соответственно. Диагонали трапеции пересекаются в точке $O$, причём $OA=9$. Найдите длину диагонали $AC$.`,
answer: '17',
sol: R`Треугольники $AOD$ и $COB$ подобны по двум углам ($\angle AOD=\angle COB$ как вертикальные, $\angle OAD=\angle OCB$ как накрест лежащие при $BC\parallel AD$ и секущей $AC$). Из подобия $\dfrac{BC}{AD}=\dfrac{CO}{AO}$, то есть $\dfrac{16}{18}=\dfrac{CO}{9}$, откуда $CO=8$. Тогда $AC=AO+CO=9+8=17.$`,
- ref: 'Казаков «Геометрия, 8 кл.», гл. 1, § 10–11; гл. 3, § 21' },
+ ref: 'Геометрия, 8 класс, гл. 1, § 10–11; гл. 3, § 21' },
{ idx: 21, type: 'open', topic: 'expressions', subtopic: 'expr-powers-roots', diff: 3,
text: R`Найдите сумму всех целых значений переменной $x$, при которых имеет смысл выражение $\sqrt{12x-x^{2}}+\dfrac{x}{\sqrt{(x+2)(9-x)}}$.`,
answer: '36',
sol: R`Выражение имеет смысл при $\begin{cases}12x-x^{2}\ge0,\\(x+2)(9-x)>0.\end{cases}$ Первое неравенство даёт $x\in[0;12]$, второе — $x\in(-2;9)$. Пересечение — полуинтервал $[0;9)$. Сумма всех целых из него: $0+1+2+\ldots+8=36.$`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 8 кл.», гл. 3, § 16' },
+ ref: 'Алгебра, 8 класс, гл. 3, § 16' },
{ idx: 22, type: 'open', topic: 'equations', subtopic: 'eq-linear', diff: 3,
text: R`Катер прошёл $21$ км по течению реки за $1$ ч $30$ мин, а против течения реки за такое же время — только $18$ км. Найдите (в км/ч) собственную скорость катера, если она и скорость течения реки были постоянными.`,
answer: '13',
sol: R`Пусть собственная скорость катера $x$ км/ч, скорость течения $y$ км/ч. За $1{,}5$ ч: $(x+y)\cdot1{,}5=21$ и $(x-y)\cdot1{,}5=18$, то есть $\begin{cases}x+y=14,\\x-y=12.\end{cases}$ Сложив уравнения, получаем $2x=26$, $x=13.$`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 7 кл.», гл. 4, § 25' },
+ ref: 'Алгебра, 7 класс, гл. 4, § 25' },
{ idx: 23, type: 'open', topic: 'stereometry', subtopic: 'ster-polyhedra', diff: 3,
text: R`Длина ребра куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равна $7\sqrt2$. Найдите значение выражения $\sqrt3\cdot S$, где $S$ — площадь сечения этого куба плоскостью, проходящей через точки $A_1$, $B$, $D$.`,
answer: '147',
sol: R`Сечение — треугольник $A_1BD$, стороны которого являются диагоналями граней куба: $A_1B=A_1D=BD=7\sqrt2\cdot\sqrt2=14$. Это равносторонний треугольник со стороной $14$, его площадь $S=\dfrac{14^{2}\sqrt3}{4}=49\sqrt3$. Тогда $\sqrt3\cdot S=\sqrt3\cdot49\sqrt3=147.$`,
- ref: 'Латотин «Геометрия, 10 кл.», разд. 1, § 3' },
+ ref: 'Геометрия, 10 класс, разд. 1, § 3' },
{ idx: 24, type: 'open', topic: 'equations', subtopic: 'eq-exponential', diff: 3,
text: R`Найдите сумму всех целых решений неравенства $3^{\,2x+18}-10\cdot3^{\,x+9}+9\le0$.`,
answer: '-24',
sol: R`Пусть $t=3^{\,x+9}$, тогда неравенство примет вид $t^{2}-10t+9\le0$, откуда $1\le t\le9$. Значит, $3^{0}\le3^{\,x+9}\le3^{2}$, то есть $0\le x+9\le2$ и $-9\le x\le-7$. Целые решения $-9,\,-8,\,-7$; их сумма равна $-24.$`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 11 кл.», гл. 2, § 6' },
+ ref: 'Алгебра, 11 класс, гл. 2, § 6' },
{ idx: 25, type: 'open', topic: 'trigonometry', subtopic: 'trig-equations', diff: 3,
text: R`Найдите (в градусах) сумму различных корней уравнения $\cos5x\cos2x+\sin5x\sin2x=0$ на промежутке $(0^\circ;135^\circ)$.`,
answer: '120',
sol: R`По формуле косинуса разности левая часть равна $\cos(5x-2x)=\cos3x$. Уравнение $\cos3x=0$ даёт $3x=90^\circ+180^\circ n$, $x=30^\circ+60^\circ n$. Промежутку $(0^\circ;135^\circ)$ принадлежат корни $30^\circ$ (при $n=0$) и $90^\circ$ (при $n=1$). Их сумма равна $120^\circ.$`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 10 кл.», гл. 1, § 8; § 10' },
+ ref: 'Алгебра, 10 класс, гл. 1, § 8; § 10' },
{ idx: 26, type: 'open', topic: 'stereometry', subtopic: 'ster-angles-distances', diff: 4,
text: R`Основание $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$, у которого $\angle ABC=120^\circ$, лежит в плоскости $\alpha$, образующей с плоскостью треугольника угол $30^\circ$. Найдите квадрат расстояния от вершины $B$ треугольника $ABC$ до плоскости $\alpha$, если площадь треугольника $ABC$ равна $160\sqrt3$.`,
answer: '40',
sol: R`Площадь $S=\dfrac12\cdot AB\cdot BC\cdot\sin120^\circ$, где $AB=BC$. Тогда $160\sqrt3=\dfrac12 AB^{2}\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}$, откуда $AB^{2}=640$, $AB=8\sqrt{10}$. Пусть $BK$ — высота треугольника к основанию $AC$; угол $BAK=30^\circ$, поэтому $BK=AB\sin30^\circ=4\sqrt{10}$. Пусть $BM$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$; по теореме о трёх перпендикулярах $\angle BKM=30^\circ$ — линейный угол двугранного. Тогда $BM=BK\sin30^\circ=2\sqrt{10}$ и $BM^{2}=40.$`,
- ref: 'Латотин «Геометрия, 10 кл.», разд. 3, § 10' },
+ ref: 'Геометрия, 10 класс, разд. 3, § 10' },
{ idx: 27, type: 'open', topic: 'equations', subtopic: 'eq-logarithmic', diff: 4,
text: R`Найдите сумму всех целых решений неравенства $\log_{\frac16}\dfrac{x-7}{x-11}\ge0$ на промежутке $(-11;12)$.`,
answer: '-34',
sol: R`Так как $0=\log_{\frac16}1$, а основание $\dfrac16<1$ (функция убывает), неравенство равносильно системе $\begin{cases}\dfrac{x-7}{x-11}\le1,\\[4pt]\dfrac{x-7}{x-11}>0.\end{cases}$ Первое неравенство сводится к $\dfrac{4}{x-11}\le0$, то есть $x<11$; второе даёт $x<7$ или $x>11$. Решение системы — луч $(-\infty;7)$. Пересечение с $(-11;12)$ — интервал $(-11;7)$; сумма целых чисел из него ($-10,\ldots,6$) равна $-34.$`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 11 кл.», гл. 3, § 10' },
+ ref: 'Алгебра, 11 класс, гл. 3, § 10' },
{ idx: 28, type: 'open', topic: 'equations', subtopic: 'eq-irrational', diff: 3,
text: R`Найдите сумму квадратов корней уравнения $x^{2}+3x-\sqrt{x^{2}+3x+9}=3$.`,
answer: '23',
sol: R`Преобразуем к виду $x^{2}+3x+9-\sqrt{x^{2}+3x+9}-12=0$. Пусть $t=\sqrt{x^{2}+3x+9}\ge0$, тогда $t^{2}-t-12=0$, $t=4$ (корень $t=-3$ отброшен). Значит, $x^{2}+3x+9=16$, $x^{2}+3x-7=0$. По теореме Виета $x_1+x_2=-3$, $x_1x_2=-7$, поэтому $x_1^{2}+x_2^{2}=(x_1+x_2)^{2}-2x_1x_2=9+14=23.$`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 10 кл.», гл. 2, § 17' },
+ ref: 'Алгебра, 10 класс, гл. 2, § 17' },
{ idx: 29, type: 'open', topic: 'functions', subtopic: 'fn-derivative', diff: 4,
text: R`Найдите сумму всех целых чисел из промежутков возрастания функции $f(x)=\dfrac{33+2x^{2}}{2-x}$.`,
answer: '16',
sol: R`$D(f)=(-\infty;2)\cup(2;+\infty)$. Производная $f'(x)=\dfrac{-2x^{2}+8x+33}{(2-x)^{2}}$. Решая $f'(x)>0$, то есть $-2x^{2}+8x+33>0$, получаем $x\in\left(\dfrac{4-\sqrt{82}}{2};\dfrac{4+\sqrt{82}}{2}\right)$. С учётом $x\ne2$ функция возрастает на $\left[\dfrac{4-\sqrt{82}}{2};2\right)$ и $\left(2;\dfrac{4+\sqrt{82}}{2}\right]$. Целые из этих промежутков: $-2,\,-1,\,0,\,1,\,3,\,4,\,5,\,6$; их сумма равна $16.$`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 10 кл.», гл. 3, § 20' },
+ ref: 'Алгебра, 10 класс, гл. 3, § 20' },
{ idx: 30, type: 'open', topic: 'stereometry', subtopic: 'ster-rotation', diff: 5,
text: R`Дана правильная шестиугольная пирамида $SABCDEF$, у которой угол между боковым ребром и плоскостью основания равен $\arccos\dfrac49$. Объём пирамиды $SABCDEF$ равен $18\sqrt{65}$. Найдите значение выражения $\dfrac{V}{\sqrt3\cdot\pi}$, где $V$ — объём шара, радиус которого равен длине бокового ребра пирамиды $SABCDEF$.`,
answer: '729',
sol: R`Пусть $O$ — центр основания, $SA=R$ — боковое ребро. Из прямоугольного треугольника $SOA$: $\cos\angle SAO=\dfrac{OA}{SA}=\dfrac49$, поэтому $SA=\dfrac94 OA$. Высота пирамиды $SO=\sqrt{SA^{2}-OA^{2}}=\dfrac{OA\sqrt{65}}{4}$. Для правильного шестиугольника $OA=AB$, а площадь основания $S_0=\dfrac{3\sqrt3}{2}AB^{2}$. Из формулы объёма $18\sqrt{65}=\dfrac13\cdot\dfrac{3\sqrt3}{2}AB^{2}\cdot\dfrac{AB\sqrt{65}}{4}$ получаем $AB^{3}=48\sqrt3$. Радиус шара $R=SA=\dfrac94\sqrt[3]{48\sqrt3}$, его объём $V=\dfrac43\pi R^{3}=\dfrac43\pi\cdot\dfrac{9^{3}}{4^{3}}\cdot48\sqrt3=729\sqrt3\,\pi$. Тогда $\dfrac{V}{\sqrt3\cdot\pi}=729.$`,
- ref: 'Латотин «Геометрия, 11 кл.», разд. 2, § 3; разд. 3, § 6' },
+ ref: 'Геометрия, 11 класс, разд. 2, § 3; разд. 3, § 6' },
];
/* ── Сборка solution_html ────────────────────────────────────────────────── */
diff --git a/backend/scripts/seed_ctmath_rt2324_e3v1.js b/backend/scripts/seed_ctmath_rt2324_e3v1.js
index b2d7dac..8249511 100644
--- a/backend/scripts/seed_ctmath_rt2324_e3v1.js
+++ b/backend/scripts/seed_ctmath_rt2324_e3v1.js
@@ -66,68 +66,68 @@ const TASKS = [
opts: mc('$A$', '$B$', '$C$', '$D$', '$E$'),
answer: 'в',
sol: R`Сумма координат: для $A$ это $2+(-1)=1$, для $B$ это $1+2=3$, для $C$ это $-2+(-2)=-4$, для $D$ это $-1+1=0$, для $E$ это $0+(-2)=-2$. Сумме $-4$ соответствует точка $C$.`,
- ref: 'Герасимов «Математика, 6 кл.», гл. 5, § 1' },
+ ref: 'Математика, 6 класс, гл. 5, § 1' },
{ idx: 2, type: 'mc', topic: 'stereometry', subtopic: 'ster-basics', diff: 3,
text: R`Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Точка $K$ — середина диагонали $A_1D$. Среди отрезков $A_1B_1$, $B_1D_1$, $C_1K$, $BB_1$, $A_1C_1$ укажите отрезок, по которому плоскость, заданная прямой $DC_1$ и точкой $K$, пересекает плоскость грани $A_1B_1C_1D_1$.`,
opts: mc('$A_1B_1$', '$B_1D_1$', '$C_1K$', '$BB_1$', '$A_1C_1$'),
answer: 'д',
sol: R`Секущая плоскость, заданная прямой $DC_1$ и точкой $K$, содержит точку $C_1$ (она на $DC_1$) и точку $A_1$ (так как $K$ — середина $A_1D$, прямая $DC_1$ и точка $K$ задают плоскость диагонального сечения, проходящую через $A_1$). Точки $A_1$ и $C_1$ принадлежат и грани $A_1B_1C_1D_1$, поэтому пересечение плоскостей — отрезок $A_1C_1$.`,
- ref: 'Латотин «Геометрия, 10 кл.», разд. 1, § 2–3' },
+ ref: 'Геометрия, 10 класс, разд. 1, § 2–3' },
{ idx: 3, type: 'mc', topic: 'numbers', subtopic: 'num-real', diff: 2,
text: R`Расположите числа $\log_3 27$, $\ 3^{-1}$, $\ \sqrt{64}$ в порядке возрастания.`,
opts: mc('$\sqrt{64};\ \log_3 27;\ 3^{-1}$', '$3^{-1};\ \sqrt{64};\ \log_3 27$', '$\sqrt{64};\ 3^{-1};\ \log_3 27$', '$3^{-1};\ \log_3 27;\ \sqrt{64}$', '$\log_3 27;\ \sqrt{64};\ 3^{-1}$'),
answer: 'г',
sol: R`$\log_3 27=\log_3 3^{3}=3$; $\ 3^{-1}=\dfrac13$; $\ \sqrt{64}=8$. Так как $\dfrac13<3<8$, числа в порядке возрастания: $3^{-1};\ \log_3 27;\ \sqrt{64}$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 8 кл.», гл. 1, § 1–4; гл. 11 кл., § 3' },
+ ref: 'Алгебра, 8 класс, гл. 1, § 1–4; гл. 11 кл., § 3' },
{ idx: 4, type: 'mc', topic: 'expressions', subtopic: 'expr-polynomials', diff: 1,
text: R`Укажите номер выражения, тождественно равного выражению $a^{3}$.`,
opts: mc('$a:a^{3}$', '$a\cdot a^{2}$', '$\left(a^{2}\right)^{2}$', '$3a$', '$a^{-3}$'),
answer: 'б',
sol: R`По свойству степеней $a\cdot a^{2}=a^{1+2}=a^{3}$. (Остальные: $a:a^{3}=a^{-2}$; $\left(a^{2}\right)^{2}=a^{4}$; $3a$ и $a^{-3}$ не равны $a^{3}$.)`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 7 кл.», гл. 2, § 5' },
+ ref: 'Алгебра, 7 класс, гл. 2, § 5' },
{ idx: 5, type: 'mc', topic: 'expressions', subtopic: 'expr-polynomials', diff: 1,
text: R`Результат разложения многочлена $4b^{2}+4bc-4b$ на множители имеет вид:`,
opts: mc('$4b(b+c)$', '$4b(bc-1)$', '$4b(1+c)$', '$(4b-1)(b+c)$', '$4b(b+c-1)$'),
answer: 'д',
sol: R`Общий множитель членов многочлена $4b^{2}+4bc-4b$ — одночлен $4b$. Тогда $4b^{2}+4bc-4b=4b(b+c-1)$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 7 кл.», гл. 2, § 14' },
+ ref: 'Алгебра, 7 класс, гл. 2, § 14' },
{ idx: 6, type: 'open', topic: 'expressions', subtopic: 'expr-powers-roots', diff: 2,
text: R`Среди чисел $10$, $99$, $0$, $-10$, $100$ укажите номера тех, которые не входят в область определения выражения $\dfrac{1}{10-\sqrt{x}}$.
1) $10$; 2) $99$; 3) $0$; 4) $-10$; 5) $100$.
Ответ запишите цифрами в порядке возрастания, без пробелов.`,
answer: '45', ansShow: '4, 5',
sol: R`Выражение $\dfrac{1}{10-\sqrt{x}}$ имеет смысл при $x\ge0$ и $10-\sqrt{x}\ne0$, то есть $x\ge0$, $x\ne100$. Область определения $[0;100)\cup(100;+\infty)$. Из данных чисел ей не принадлежат $-10$ (так как $-10<0$) и $100$ (исключено). Это числа под номерами 4 и 5.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 8 кл.», гл. 1, § 1' },
+ ref: 'Алгебра, 8 класс, гл. 1, § 1' },
{ idx: 7, type: 'mc', topic: 'word-sequences', subtopic: 'word-problems', diff: 2,
text: R`За три четверти учебного года Петя использовал $\dfrac25$ купленных в начале учебного года тетрадей, после чего у него осталось $48$ тетрадей. Сколько тетрадей купил Петя в начале учебного года?`,
opts: mc('$80$', '$96$', '$120$', '$74$', '$116$'),
answer: 'а',
sol: R`Числу $48$ соответствует дробь $1-\dfrac25=\dfrac35$ всех тетрадей. Тогда куплено $48:\dfrac35=\dfrac{48\cdot5}{3}=80$ тетрадей.`,
- ref: 'Герасимов «Математика, 5 кл.», ч. 2, гл. 3, § 10' },
+ ref: 'Математика, 5 класс, ч. 2, гл. 3, § 10' },
{ idx: 8, type: 'mc', topic: 'trigonometry', subtopic: 'trig-identities', diff: 2,
text: R`Найдите значение выражения $\operatorname{tg}(-120^\circ)+\left|-\sqrt3\right|$.`,
opts: mc('$0$', '$\dfrac{4\sqrt3}{3}$', '$1-\sqrt3$', '$2\sqrt3$', '$-\dfrac{2\sqrt3}{3}$'),
answer: 'г',
sol: R`$\operatorname{tg}(-120^\circ)=-\operatorname{tg}120^\circ=-\operatorname{tg}(180^\circ-60^\circ)=\operatorname{tg}60^\circ=\sqrt3$. Тогда $\operatorname{tg}(-120^\circ)+\left|-\sqrt3\right|=\sqrt3+\sqrt3=2\sqrt3.$`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 10 кл.», гл. 1, § 3; § 9' },
+ ref: 'Алгебра, 10 класс, гл. 1, § 3; § 9' },
{ idx: 9, type: 'mc', topic: 'stereometry', subtopic: 'ster-rotation', diff: 2,
text: R`Сечение сферы плоскостью, отстоящей от её центра на расстоянии $3$, имеет радиус $3\sqrt2$. Найдите радиус сферы.`,
opts: mc('$9\sqrt2$', '$3\sqrt3$', '$6$', '$12$', '$4\sqrt3$'),
answer: 'б',
sol: R`Радиус сферы $R$ — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами $3$ (расстояние до плоскости) и $3\sqrt2$ (радиус сечения). По теореме Пифагора $R^{2}=3^{2}+\left(3\sqrt2\right)^{2}=9+18=27$, поэтому $R=3\sqrt3$.`,
- ref: 'Латотин «Геометрия, 11 кл.», разд. 3, § 5' },
+ ref: 'Геометрия, 11 класс, разд. 3, § 5' },
{ idx: 10, type: 'open', topic: 'functions', subtopic: 'fn-properties', diff: 2,
text: R`Укажите номера функций, которые принимают только положительные значения на промежутке $(4;+\infty)$.
1) $f(x)=-4x$;
2) $f(x)=\sqrt{x-4}$;
3) $f(x)=x^{3}-4$;
4) $f(x)=\log_{\frac14}x$;
5) $f(x)=-x^{2}-4$.
Ответ запишите цифрами в порядке возрастания, без пробелов.`,
answer: '23', ansShow: '2, 3',
sol: R`$1)$ $-4x$ при $x>4$ отрицательна. $\ 2)$ $\sqrt{x-4}$ при $x>4$ положительна. $\ 3)$ $x^{3}-4$ положительна при $x>\sqrt[3]{4}$, а $(4;+\infty)\subset(\sqrt[3]{4};+\infty)$ — положительна. $\ 4)$ $\log_{\frac14}x$ положительна только на $(0;1)$. $\ 5)$ $-x^{2}-4$ отрицательна при всех $x$. Подходят функции 2 и 3.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 8 кл.», гл. 3, § 13–14' },
+ ref: 'Алгебра, 8 класс, гл. 3, § 13–14' },
// ── Часть B: В1–В20 ──────────────────────────────────────────────────────
{ idx: 11, type: 'open', topic: 'functions', subtopic: 'fn-properties', diff: 3,
@@ -135,121 +135,121 @@ const TASKS = [
text: R`На рисунке изображён график функции $y=f(x)$, определённой на промежутке $[-6;6]$. Выберите верные утверждения.
1) функция является нечётной;
2) $f(3)>0$;
3) график функции симметричен относительно оси ординат;
4) $f(-5)>f(-6)$;
5) функция убывает на промежутке $[-4;4]$;
6) график функции $y=f(x)+3$ проходит через точку $(0;2)$.
Ответ запишите цифрами в порядке возрастания, без пробелов.`,
answer: '145', ansShow: '1, 4, 5',
sol: R`$1)$ верно: график симметричен относительно начала координат, поэтому функция нечётная. $\ 2)$ неверно: по графику $f(3)<0$. $\ 3)$ неверно: график нечётной функции симметричен относительно начала координат, а не оси ординат. $\ 4)$ верно: на промежутке $[-6;-4]$ функция возрастает, поэтому $f(-5)>f(-6)$. $\ 5)$ верно: на отрезке $[-4;4]$ при увеличении $x$ значения функции уменьшаются. $\ 6)$ неверно: $f(0)=0$, поэтому график $y=f(x)+3$ проходит через точку $(0;3)$, а не $(0;2)$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 9 кл.», гл. 2, § 6–9' },
+ ref: 'Алгебра, 9 класс, гл. 2, § 6–9' },
{ idx: 12, type: 'long', topic: 'stereometry', subtopic: 'ster-angles-distances', diff: 3,
text: R`$ABCDA_1B_1C_1D_1$ — куб. Точки $M$ и $K$ — середины рёбер $A_1D_1$ и $AA_1$ соответственно. Для начала каждого из предложений А–В подберите его окончание 1–6 так, чтобы получилось верное утверждение.
Начало:
А) Величина угла между прямыми $A_1B_1$ и $KM$ равна …
Б) Величина угла между прямыми $B_1C_1$ и $KM$ равна …
В) Величина угла между прямыми $BD$ и $KM$ равна …
Окончание:
1) $30^\circ$; 2) $0^\circ$; 3) $60^\circ$; 4) $90^\circ$; 5) $120^\circ$; 6) $45^\circ$.
Ответ запишите сочетанием букв и цифр, например: А1Б1В4.`,
answer: 'А4Б6В3', ansShow: 'А4Б6В3',
sol: R`А) Прямая $A_1B_1$ перпендикулярна плоскости грани $AA_1D_1D$, а $KM$ лежит в этой плоскости, поэтому $A_1B_1\perp KM$ — угол $90^\circ$ (окончание 4). Б) $B_1C_1\parallel A_1D_1$, поэтому угол между $B_1C_1$ и $KM$ равен углу $A_1MK$; в равнобедренном прямоугольном треугольнике $KA_1M$ ($A_1K=A_1M$) он равен $45^\circ$ (окончание 6). В) Через середину $P$ ребра проведём $MP\parallel B_1D_1$; треугольник $PMK$ равносторонний, поэтому угол между $BD$ и $KM$ равен $60^\circ$ (окончание 3).`,
- ref: 'Латотин «Геометрия, 10 кл.», разд. 2, § 4' },
+ ref: 'Геометрия, 10 класс, разд. 2, § 4' },
{ idx: 13, type: 'open', topic: 'numbers', subtopic: 'num-divisibility', diff: 2,
text: R`Найдите сумму всех натуральных делителей числа $95$.`,
answer: '120',
sol: R`Число $95=5\cdot19$ имеет четыре натуральных делителя: $1$, $5$, $19$ и $95$. Их сумма равна $1+5+19+95=120$.`,
- ref: 'Герасимов «Математика, 5 кл.», ч. 1, гл. 1, § 12' },
+ ref: 'Математика, 5 класс, ч. 1, гл. 1, § 12' },
{ idx: 14, type: 'open', topic: 'equations', subtopic: 'eq-linear', diff: 2,
text: R`Найдите произведение наименьшего и наибольшего целых решений двойного неравенства $-51\dfrac13<-3x<4\sqrt2$.`,
answer: '-17',
sol: R`Разделим все части на $-3$ (знаки неравенства меняются на противоположные): $-\dfrac{4\sqrt2}{3}1$ решений не имеет. Из $\sin3x=0$: $3x=180^\circ n$, $x=60^\circ n$. Промежутку $[-270^\circ;-135^\circ]$ принадлежат $-180^\circ$ ($n=-3$) и $-240^\circ$ ($n=-4$); их сумма равна $-420^\circ$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 10 кл.», гл. 1, § 8; § 12' },
+ ref: 'Алгебра, 10 класс, гл. 1, § 8; § 12' },
{ idx: 29, type: 'open', topic: 'equations', subtopic: 'eq-logarithmic', diff: 4,
text: R`Найдите сумму всех целых решений неравенства $\log_{0{,}7}\left(x^{2}-7x+18\right)-\log_{0{,}7}(x-1)<\log_{0{,}7}2$ на промежутке $(-10;10)$.`,
answer: '35',
sol: R`Неравенство приводится к виду $\log_{0{,}7}\left(x^{2}-7x+18\right)<\log_{0{,}7}\bigl(2(x-1)\bigr)$. Основание $0{,}7<1$ (функция убывает), поэтому равносильна система $\begin{cases}x^{2}-7x+18>2x-2,\\2x-2>0.\end{cases}$ Первое: $x^{2}-9x+20>0\Rightarrow x<4$ или $x>5$; второе: $x>1$. Решение $(1;4)\cup(5;+\infty)$. Пересечение с $(-10;10)$: $(1;4)\cup(5;10)$; целые $2,3,6,7,8,9$, их сумма $35$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 11 кл.», гл. 3, § 10' },
+ ref: 'Алгебра, 11 класс, гл. 3, § 10' },
{ idx: 30, type: 'open', topic: 'stereometry', subtopic: 'ster-angles-distances', diff: 5,
text: R`Сторона $AB$ треугольника $ABC$, у которого $AB=BC=12$, $AC=8$, лежит в плоскости $\alpha$, а длины проекций двух других сторон треугольника $ABC$ на эту плоскость относятся как $1:3$. Найдите значение выражения $\dfrac{13}{\cos^{2}\beta}$, где $\beta$ — угол между плоскостью треугольника $ABC$ и плоскостью $\alpha$.`,
answer: '256',
sol: R`Пусть $CO$ — перпендикуляр к $\alpha$, $AO:BO=1:3$, $AO=x$, $BO=3x$. Из $CO^{2}=BC^{2}-BO^{2}=AC^{2}-AO^{2}$: $144-9x^{2}=64-x^{2}$, $8x^{2}=80$, $x=\sqrt{10}$, $CO=3\sqrt6$. Высота $CK$ треугольника $ABC$ к $AB$: по формуле Герона $S=32\sqrt2$, откуда $CK=\dfrac{2S}{AB}=\dfrac{64\sqrt2}{12}=\dfrac{16\sqrt2}{3}$. Тогда $OK=\sqrt{CK^{2}-CO^{2}}=\sqrt{\dfrac{512}{9}-54}=\dfrac{\sqrt{26}}{3}$, а $\cos\beta=\dfrac{OK}{CK}=\dfrac{\sqrt{13}}{16}$. Значит, $\dfrac{13}{\cos^{2}\beta}=\dfrac{13\cdot256}{13}=256$.`,
- ref: 'Латотин «Геометрия, 10 кл.», разд. 3, § 10' },
+ ref: 'Геометрия, 10 класс, разд. 3, § 10' },
];
/* ── Сборка solution_html ────────────────────────────────────────────────── */
diff --git a/backend/scripts/seed_ctmath_rt2425_e1v1.js b/backend/scripts/seed_ctmath_rt2425_e1v1.js
index 4245525..370bed5 100644
--- a/backend/scripts/seed_ctmath_rt2425_e1v1.js
+++ b/backend/scripts/seed_ctmath_rt2425_e1v1.js
@@ -54,14 +54,14 @@ const TASKS = [
opts: mc('$0{,}368$', '$1{,}367$', '$1{,}368$', '$1{,}370$', '$1{,}363$'),
answer: 'в',
sol: R`Округляем до третьего знака после запятой: $1{,}3678\approx 1{,}368$.`,
- ref: 'Герасимов «Математика, 6 кл.», гл. 1, § 2' },
+ ref: 'Математика, 6 класс, гл. 1, § 2' },
{ idx: 2, type: 'mc', topic: 'planimetry', subtopic: 'plan-circle', diff: 1,
text: R`Среди отрезков $FP$, $OA$, $NK$, $MA$, $TE$ укажите отрезок, который является хордой окружности, изображённой на рисунке. (Точка $O$ — центр окружности.)`,
opts: mc('$FP$', '$OA$', '$NK$', '$MA$', '$TE$'),
answer: 'г',
sol: R`Хорда — это отрезок, соединяющий две точки окружности. Обе точки $M$ и $A$ лежат на окружности, поэтому хордой является отрезок $MA$.`,
- ref: 'Казаков «Геометрия, 7 кл.», гл. 1, § 4',
+ ref: 'Геометрия, 7 класс, гл. 1, § 4',
fig: FIG('a2.png', 'Окружность с центром O и точками E, K, P, F, N, A, T, M') },
{ idx: 3, type: 'mc', topic: 'functions', subtopic: 'fn-graphs', diff: 2,
@@ -69,177 +69,177 @@ const TASKS = [
opts: mc('$y=4x-1$', '$y=-4x+1$', '$y=-4x-1$', '$y=x+4$', '$y=-x-4$'),
answer: 'а',
sol: R`Графики линейных функций параллельны, если их угловые коэффициенты равны, а свободные члены различны. У $y=4x+1$ коэффициент $k=4$; из предложенных только $y=4x-1$ имеет $k=4$ и $b=-1\ne 1$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 7 кл.», гл. 3, § 20' },
+ ref: 'Алгебра, 7 класс, гл. 3, § 20' },
{ idx: 4, type: 'mc', topic: 'expressions', subtopic: 'expr-polynomials', diff: 2,
text: R`Найдите значения данных выражений при $x=-1{,}1$. Укажите номер того выражения, значение которого является наибольшим.`,
opts: mc('$2x$', '$1-x$', '$|x|$', '$x+1$', '$x^2$'),
answer: 'б',
sol: R`Подставим $x=-1{,}1$: $\ 1)\ 2x=-2{,}2;\quad 2)\ 1-x=2{,}1;\quad 3)\ |x|=1{,}1;\quad 4)\ x+1=-0{,}1;\quad 5)\ x^2=1{,}21.$ Наибольшее значение $2{,}1$ — у выражения $1-x$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 7 кл.», гл. 2, § 4' },
+ ref: 'Алгебра, 7 класс, гл. 2, § 4' },
{ idx: 5, type: 'mc', topic: 'equations', subtopic: 'eq-linear', diff: 1,
text: R`Определите, при каком из значений $x$, равных $6;\ 0;\ 1{,}8;\ 4{,}2;\ -1$, верно двойное неравенство $3\le x+1<7$.`,
opts: mc('$6$', '$0$', '$1{,}8$', '$4{,}2$', '$-1$'),
answer: 'г',
sol: R`Неравенство $3\le x+1<7$ равносильно $2\le x<6$. Из данных чисел этому промежутку принадлежит только $x=4{,}2$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 7 кл.», гл. 3, § 18' },
+ ref: 'Алгебра, 7 класс, гл. 3, § 18' },
{ idx: 6, type: 'open', topic: 'expressions', subtopic: 'expr-powers-roots', diff: 2,
text: R`Укажите номера верных равенств.
1) $2^{5/7}:2^{4/7}=2^{1/7}$;
2) $2^{1/3}=\dfrac{1}{8}$;
3) $2^{1/3}\cdot 2^{2}=2^{2/3}$;
4) $\left(2^{1/3}\right)^{2}=2^{1/9}$;
5) $2^{1/3}\cdot 5^{1/3}=10^{1/3}$.
Ответ запишите цифрами в порядке возрастания, без пробелов.`,
answer: '15', ansShow: '1, 5',
sol: R`$1)\ 2^{5/7}:2^{4/7}=2^{5/7-4/7}=2^{1/7}$ — верно. $\ 2)$ неверно. $\ 3)\ 2^{1/3}\cdot 2^{2}=2^{1/3+2}=2^{7/3}\ne 2^{2/3}$ — неверно. $\ 4)\ \left(2^{1/3}\right)^{2}=2^{2/3}\ne 2^{1/9}$ — неверно. $\ 5)\ 2^{1/3}\cdot 5^{1/3}=(2\cdot5)^{1/3}=10^{1/3}$ — верно.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 11 кл.», гл. 1, § 1' },
+ ref: 'Алгебра, 11 класс, гл. 1, § 1' },
{ idx: 7, type: 'mc', topic: 'word-sequences', subtopic: 'word-problems', diff: 2,
text: R`В состав чайного сбора входят мята и липа в отношении $2:3$ соответственно. Сколько граммов липы входит в $975$ г такого сбора?`,
opts: mc('$390$ г', '$325$ г', '$875$ г', '$545$ г', '$585$ г'),
answer: 'д',
sol: R`Пусть на одну часть приходится $k$ г: мята — $2k$, липа — $3k$. Тогда $2k+3k=975$, $5k=975$, $k=195$. Липа: $3k=585$ г.`,
- ref: 'Герасимов «Математика, 6 кл.», гл. 2, § 5' },
+ ref: 'Математика, 6 класс, гл. 2, § 5' },
{ idx: 8, type: 'mc', topic: 'expressions', subtopic: 'expr-powers-roots', diff: 2,
text: R`Результат упрощения выражения $\sqrt{(x-3)^{2}}$ при $-1{,}61) $-\sqrt[4]{\sqrt{51}-8}$;
2) $\sqrt[3]{-8}$;
3) $\sqrt[4]{8^{-1}}$;
4) $\sqrt[4]{-8}$;
5) $-\sqrt[5]{8^{-1}}$.
Ответ запишите цифрами в порядке возрастания, без пробелов.`,
answer: '235', ansShow: '2, 3, 5',
sol: R`$1)$ не имеет смысла: $\sqrt{51}-8<0$, а корень чётной степени из отрицательного числа не существует. $\ 2)\ \sqrt[3]{-8}$ — корень нечётной степени, смысл есть. $\ 3)\ \sqrt[4]{8^{-1}}$ — $8^{-1}=\tfrac18>0$, смысл есть. $\ 4)\ \sqrt[4]{-8}$ — смысла нет. $\ 5)\ -\sqrt[5]{8^{-1}}$ — смысл есть.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 10 кл.», гл. 2, § 13' },
+ ref: 'Алгебра, 10 класс, гл. 2, § 13' },
// ── Часть B: В1–В20 ──────────────────────────────────────────────────────
{ idx: 11, type: 'open', topic: 'stereometry', subtopic: 'ster-basics', diff: 3,
text: R`Дана правильная четырёхугольная пирамида $SABCD$. Точки $M$ и $N$ — середины боковых рёбер $SA$ и $SC$ соответственно. Выберите верные утверждения.
1) прямая $MN$ пересекает прямую $SD$;
2) прямая $MN$ пересекает плоскость $SBD$;
3) прямая $MN$ лежит в плоскости $SDC$;
4) прямая $MN$ параллельна прямой $AB$;
5) прямая $MN$ параллельна плоскости $ADC$;
6) прямые $MN$ и $CD$ являются скрещивающимися.
Ответ запишите цифрами в порядке возрастания, без пробелов.`,
answer: '256', ansShow: '2, 5, 6',
sol: R`$1)$ неверно: $MN$ и $SD$ скрещиваются. $\ 2)$ верно: $M$ и $N$ по разные стороны от плоскости $SBD$. $\ 3)$ неверно: $MN$ пересекает $SDC$ в точке $N$. $\ 4)$ неверно: $MN$ и $AB$ скрещиваются. $\ 5)$ верно: $MN$ — средняя линия треугольника $SAC$, значит $MN\parallel AC$, $AC\subset ADC$. $\ 6)$ верно: $MN$ и $CD$ скрещиваются.`,
- ref: 'Латотин «Геометрия, 10 кл.», разд. 1–3' },
+ ref: 'Геометрия, 10 класс, разд. 1–3' },
{ idx: 12, type: 'long', topic: 'planimetry', subtopic: 'plan-circle', diff: 3,
text: R`Для начала каждого из предложений А–В подберите его окончание 1–7 так, чтобы получилось верное утверждение.
Начало:
А) Уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом $\sqrt{11}$ имеет вид …
Б) Уравнение окружности с центром в начале координат, проходящей через точку $M(-2;5)$, имеет вид …
В) Уравнение прямой, проходящей через точки $M(-2;5)$ и $A(2;-5)$, имеет вид …
Окончание:
1) $5y-2x=0$; 2) $x^{2}-y^{2}=29$; 3) $x^{2}+y^{2}=29$; 4) $x+y=11$;
5) $2y+5x=0$; 6) $x^{2}+y^{2}=11$; 7) $x^{2}-y^{2}=11$.
Ответ запишите сочетанием букв и цифр, например: А1Б1В4.`,
answer: 'А6Б3В5', ansShow: 'А6Б3В5',
sol: R`А) Центр $(0;0)$, радиус $\sqrt{11}$: $x^{2}+y^{2}=11$ — окончание 6. Б) Центр $(0;0)$, проходит через $M(-2;5)$: $R^{2}=(-2)^{2}+5^{2}=29$, то есть $x^{2}+y^{2}=29$ — окончание 3. В) Прямая через $M(-2;5)$ и $A(2;-5)$: подходит $2y+5x=0$ (обе точки ему удовлетворяют) — окончание 5.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 9 кл.», гл. 3, § 12' },
+ ref: 'Алгебра, 9 класс, гл. 3, § 12' },
{ idx: 13, type: 'open', topic: 'numbers', subtopic: 'num-divisibility', diff: 1,
text: R`Фломастеры, которых всего было $445$ штук, упаковывали в коробки по $16$ штук в каждую. Сколько получилось полных коробок, если $13$ фломастеров остались неупакованными?`,
answer: '27',
sol: R`Пусть $x$ — число полных коробок. По смыслу деления с остатком $445=16x+13$, откуда $16x=432$, $x=27$.`,
- ref: 'Герасимов «Математика, 5 кл.», ч. 1, гл. 1, § 11' },
+ ref: 'Математика, 5 класс, ч. 1, гл. 1, § 11' },
{ idx: 14, type: 'open', topic: 'functions', subtopic: 'fn-graphs', diff: 2,
text: R`Найдите значение выражения $4p$, где $p$ — произведение координат вершины параболы, заданной уравнением $y=-2x^{2}-6x+3$.`,
answer: '-45',
sol: R`Абсцисса вершины $x_0=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-6}{2\cdot(-2)}=-\dfrac32$. Ордината $y_0=-2\left(-\dfrac32\right)^{2}-6\left(-\dfrac32\right)+3=-\dfrac92+9+3=\dfrac{15}{2}$. Тогда $p=x_0y_0=-\dfrac32\cdot\dfrac{15}{2}=-\dfrac{45}{4}$ и $4p=-45$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 8 кл.», гл. 3, § 13' },
+ ref: 'Алгебра, 8 класс, гл. 3, § 13' },
{ idx: 15, type: 'open', topic: 'planimetry', subtopic: 'plan-triangles', diff: 2,
text: R`В треугольнике $ABC$ точки $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $AC$ соответственно, $\angle ABC=95^\circ$, $\angle ANM=36^\circ$. Найдите градусную меру угла $BAC$.`,
answer: '49',
sol: R`$MN$ — средняя линия треугольника $ABC$, поэтому $MN\parallel BC$, и $\angle ACB=\angle ANM=36^\circ$ (соответственные углы). По сумме углов треугольника $\angle BAC=180^\circ-95^\circ-36^\circ=49^\circ$.`,
- ref: 'Казаков «Геометрия, 7 кл.», гл. 3, § 17' },
+ ref: 'Геометрия, 7 класс, гл. 3, § 17' },
{ idx: 16, type: 'open', topic: 'trigonometry', subtopic: 'trig-identities', diff: 3,
text: R`Найдите значение выражения $6\sqrt3\,\sin 600^\circ-\sqrt2\,\cos 225^\circ$.`,
answer: '-8',
sol: R`$\sin600^\circ=\sin240^\circ=\sin(270^\circ-30^\circ)=-\cos30^\circ=-\dfrac{\sqrt3}{2}$; $\cos225^\circ=\cos(180^\circ+45^\circ)=-\cos45^\circ=-\dfrac{\sqrt2}{2}$. Тогда $6\sqrt3\cdot\left(-\dfrac{\sqrt3}{2}\right)-\sqrt2\cdot\left(-\dfrac{\sqrt2}{2}\right)=-9+1=-8$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 10 кл.», гл. 1, § 2; § 9' },
+ ref: 'Алгебра, 10 класс, гл. 1, § 2; § 9' },
{ idx: 17, type: 'open', topic: 'equations', subtopic: 'eq-rational', diff: 3,
text: R`Найдите произведение наибольшего целого решения на количество всех целых решений неравенства $\left(x+\log_{0{,}5}64\right)^{2}(x-3)(x+13)\le 0$.`,
answer: '108',
sol: R`Так как $\log_{0{,}5}64=-6$, неравенство принимает вид $(x-6)^{2}(x-3)(x+13)\le 0$. Методом интервалов решение: $[-13;3]\cup\{6\}$. Наибольшее целое решение $6$; всего целых решений $18$ (17 на отрезке $[-13;3]$ и $x=6$). Произведение: $6\cdot18=108$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 9 кл.», гл. 3, § 13' },
+ ref: 'Алгебра, 9 класс, гл. 3, § 13' },
{ idx: 18, type: 'open', topic: 'equations', subtopic: 'eq-linear', diff: 2,
text: R`Найдите сумму всех целых решений системы неравенств $\begin{cases}(x-2)^{2}+23>(x+3)^{2}-2,\\[2pt] 1{,}6x\ge 0{,}9x-6{,}3.\end{cases}$`,
answer: '-44',
sol: R`Первое неравенство: $x^{2}-4x+4+23>x^{2}+6x+9-2$, то есть $-10x>-20$, $x<2$. Второе: $0{,}7x\ge-6{,}3$, $x\ge-9$. Решение системы — полуинтервал $[-9;2)$. Сумма всех целых из него равна $-44$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 8 кл.», гл. 1, § 6' },
+ ref: 'Алгебра, 8 класс, гл. 1, § 6' },
{ idx: 19, type: 'open', topic: 'functions', subtopic: 'fn-properties', diff: 3,
text: R`Функция $y=f(x)$ нечётна и определена на отрезке $[-8;8]$. Её график для $x\le 0$ изображён на рисунке. Найдите значение выражения $3n$, где $n$ — количество всех целых значений аргумента, при которых функция принимает неположительные значения.`,
answer: '30',
sol: R`График нечётной функции симметричен относительно начала координат. Функция неположительна ($f(x)\le0$) на промежутках $[-8;-6]$ и $(0;6)$, а также в точках $x=-6,\ 0,\ 6$. Целых значений с $f(x)<0$ — семь, плюс три нуля, итого $n=10$, значит $3n=30$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 9 кл.», гл. 2, § 8',
+ ref: 'Алгебра, 9 класс, гл. 2, § 8',
fig: FIG('b9.png', 'График нечётной функции для x ≤ 0 на отрезке [-8;0]') },
{ idx: 20, type: 'open', topic: 'planimetry', subtopic: 'plan-quadrilaterals', diff: 2,
text: R`Найдите площадь ромба $ABCD$, если его периметр равен $72$, а величина угла $BAD$ равна $30^\circ$.`,
answer: '162',
sol: R`Сторона ромба $a=\dfrac{72}{4}=18$. Площадь $S=a^{2}\sin\alpha=18^{2}\cdot\sin30^\circ=324\cdot\dfrac12=162$.`,
- ref: 'Казаков «Геометрия, 8 кл.», гл. 2, § 15' },
+ ref: 'Геометрия, 8 класс, гл. 2, § 15' },
{ idx: 21, type: 'open', topic: 'equations', subtopic: 'eq-exponential', diff: 3,
text: R`Найдите значение выражения $25m$, где $m$ — сумма корней уравнения $\left(\dfrac37\right)^{5x^{2}-5x+2}-\left(\dfrac73\right)^{1-3x}=0$.`,
answer: '40',
sol: R`Так как $\left(\dfrac73\right)^{1-3x}=\left(\dfrac37\right)^{3x-1}$, получаем $5x^{2}-5x+2=3x-1$, то есть $5x^{2}-8x+3=0$. Дискриминант положителен, корни существуют. По теореме Виета сумма корней $m=\dfrac{8}{5}=1{,}6$, поэтому $25m=40$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 11 кл.», гл. 2, § 5' },
+ ref: 'Алгебра, 11 класс, гл. 2, § 5' },
{ idx: 22, type: 'open', topic: 'equations', subtopic: 'eq-linear', diff: 2,
text: R`Поле разбили на два участка $A$ и $B$ одинаковой площади, как показано на рисунке (размеры указаны в метрах). Найдите (в метрах) периметр участка $B$.`,
answer: '390',
sol: R`Обозначим горизонтальный размер участка $B$ через $x$ м. Из равенства площадей: $140\cdot40+70\cdot(170-x)=70x$, откуда $14x=1750$, $x=125$. Значит, участок $B$ — прямоугольник $70\times125$, его периметр $2(70+125)=390$ м.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 7 кл.», гл. 3, § 16',
+ ref: 'Алгебра, 7 класс, гл. 3, § 16',
fig: FIG('b12.png', 'L-образный участок: A и B, размеры 170, 70, 210, 40 м') },
{ idx: 23, type: 'open', topic: 'stereometry', subtopic: 'ster-rotation', diff: 3,
text: R`Осевым сечением цилиндра является квадрат, длина диагонали которого равна $4\sqrt6$. Найдите значение выражения $\dfrac{\sqrt3\,V}{\pi}$, где $V$ — объём цилиндра.`,
answer: '144',
sol: R`Сторона квадрата $\dfrac{4\sqrt6}{\sqrt2}=4\sqrt3$, значит высота цилиндра и диаметр основания равны $4\sqrt3$, радиус $R=2\sqrt3$. Объём $V=\pi R^{2}h=\pi(2\sqrt3)^{2}\cdot4\sqrt3=48\pi\sqrt3$. Тогда $\dfrac{\sqrt3\,V}{\pi}=48\cdot3=144$.`,
- ref: 'Латотин «Геометрия, 11 кл.», разд. 1, § 2' },
+ ref: 'Геометрия, 11 класс, разд. 1, § 2' },
{ idx: 24, type: 'open', topic: 'equations', subtopic: 'eq-irrational', diff: 3,
text: R`Найдите произведение корней (корень, если он единственный) уравнения $\sqrt{x+7}-\sqrt{x^{2}-6x-91}=0$.`,
answer: '-98',
sol: R`Так как $x^{2}-6x-91=(x+7)(x-13)$, уравнение приводится к $\sqrt{x+7}=\sqrt{(x+7)(x-13)}$. После возведения в квадрат $(x+7)(x-14)=0$. Проверка показывает, что оба числа $-7$ и $14$ — корни. Их произведение $-7\cdot14=-98$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 10 кл.», гл. 2, § 17' },
+ ref: 'Алгебра, 10 класс, гл. 2, § 17' },
{ idx: 25, type: 'open', topic: 'trigonometry', subtopic: 'trig-equations', diff: 4,
text: R`Найдите (в градусах) сумму наименьшего положительного и наибольшего отрицательного корней уравнения $\sin 2x\cos 17x-\cos 2x\sin 17x=\sin\dfrac{3\pi}{2}$.`,
answer: '-12',
sol: R`Левая часть по формуле синуса разности равна $\sin(2x-17x)=\sin(-15x)$, а $\sin\dfrac{3\pi}{2}=-1$. Значит $\sin(-15x)=-1$, то есть $\sin15x=1$, $15x=90^\circ+360^\circ n$, $x=6^\circ+24^\circ n$. Наименьший положительный корень $6^\circ$, наибольший отрицательный $-18^\circ$; их сумма $-12^\circ$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 10 кл.», гл. 1, § 8; § 10' },
+ ref: 'Алгебра, 10 класс, гл. 1, § 8; § 10' },
{ idx: 26, type: 'open', topic: 'equations', subtopic: 'eq-quadratic', diff: 3,
text: R`Найдите сумму всех целых решений совокупности неравенств $\left[\begin{array}{l}x^{2}-x-6\le0,\\ x^{2}-4x-5>0\end{array}\right.$ на промежутке $[-10;7]$.`,
answer: '-36',
sol: R`$1)\ x^{2}-x-6\le0$: решение $[-2;3]$. $\ 2)\ x^{2}-4x-5>0$: решение $(-\infty;-1)\cup(5;+\infty)$. Объединение решений совокупности: $(-\infty;3]\cup(5;+\infty)$. Пересечение с $[-10;7]$ даёт $[-10;3]\cup(5;7]$. Сумма целых: $-49+13=-36$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 8 кл.», гл. 3, § 16' },
+ ref: 'Алгебра, 8 класс, гл. 3, § 16' },
{ idx: 27, type: 'open', topic: 'stereometry', subtopic: 'ster-polyhedra', diff: 4,
text: R`В правильной четырёхугольной пирамиде $QABCD$ длина бокового ребра равна $17$, длина диагонали основания $ABCD$ равна $16$. Через середины рёбер $AB$ и $AD$ и точку $Q$ проведена секущая плоскость. Найдите значение выражения $S^{2}$, где $S$ — площадь сечения пирамиды этой плоскостью.`,
answer: '3856',
sol: R`Пусть $K$, $M$ — середины рёбер $AB$, $AD$; сечение — равнобедренный треугольник $KQM$. $KM$ — средняя линия треугольника $ABD$, $KM=\dfrac12 BD=8$. Высота пирамиды $QO=\sqrt{QA^{2}-OA^{2}}=\sqrt{17^{2}-8^{2}}=15$. Высота $QN$ треугольника $KQM$: $QN=\sqrt{QO^{2}+ON^{2}}=\sqrt{15^{2}+4^{2}}=\sqrt{241}$. Площадь $S=\dfrac12\cdot KM\cdot QN=4\sqrt{241}$, откуда $S^{2}=16\cdot241=3856$.`,
- ref: 'Латотин «Геометрия, 10 кл.», разд. 1, § 3' },
+ ref: 'Геометрия, 10 класс, разд. 1, § 3' },
{ idx: 28, type: 'open', topic: 'word-sequences', subtopic: 'word-problems', diff: 4,
text: R`При делении некоторого натурального двузначного числа на произведение его цифр неполное частное равно $3$, а остаток равен $10$. Если цифры этого числа поменять местами, то полученное число будет меньше данного на $36$. Найдите исходное число.`,
answer: '73',
sol: R`Пусть $x$ — цифра десятков, $y$ — цифра единиц; число равно $10x+y$. Условия дают систему $\begin{cases}10x+y=3xy+10,\\ 10x+y=(10y+x)+36.\end{cases}$ Из второго уравнения $x-y=4$. Подставив $x=y+4$, получаем $3y^{2}+y-30=0$, откуда $y=3$, $x=7$. Искомое число — $73$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 9 кл.», гл. 3, § 11' },
+ ref: 'Алгебра, 9 класс, гл. 3, § 11' },
{ idx: 29, type: 'open', topic: 'functions', subtopic: 'fn-derivative', diff: 4,
text: R`Составьте уравнение касательной к графику функции $f(x)=32x^{3}-24x-5$ в точке с абсциссой $x_0=\dfrac14$. В ответ запишите произведение координат точки пересечения этой касательной с прямой $y=-16x-10$.`,
answer: '-84',
sol: R`$f'(x)=96x^{2}-24$, $f'\!\left(\dfrac14\right)=-18=k$; $f\!\left(\dfrac14\right)=-10{,}5$. Касательная $y=-18x-6$. Пересечение с $y=-16x-10$: $-18x-6=-16x-10$, $x=2$, $y=-42$. Произведение координат $2\cdot(-42)=-84$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 10 кл.», гл. 3, § 20' },
+ ref: 'Алгебра, 10 класс, гл. 3, § 20' },
{ idx: 30, type: 'open', topic: 'stereometry', subtopic: 'ster-angles-distances', diff: 5,
text: R`Из точки $E$ — середины стороны $BC$ равностороннего треугольника $ABC$ — проведён перпендикуляр $EP$ к плоскости треугольника, причём $EP=\dfrac12 BC$. На отрезке $PC$ взята точка $M$ так, что $PM:MC=2:3$. Найдите значение выражения $176\sin^{2}\alpha$, где $\alpha$ — угол между прямой $AM$ и плоскостью $ABC$.`,
answer: '18',
sol: R`Пусть сторона равна $a$, тогда $EP=\dfrac a2$. Проекция $M$ на плоскость — точка $K$ на $EC$, $\angle MAK=\alpha$. Из подобия $\triangle MKC\sim\triangle PEC$: $MK=\dfrac{3a}{10}$, $CK=\dfrac{3a}{10}$. По теореме косинусов в $\triangle AKC$: $AK^{2}=a^{2}+\left(\dfrac{3a}{10}\right)^{2}-2a\cdot\dfrac{3a}{10}\cos60^\circ=\dfrac{79a^{2}}{100}$. Тогда $AM^{2}=MK^{2}+AK^{2}=\dfrac{88a^{2}}{100}$, $\sin\alpha=\dfrac{MK}{AM}=\dfrac{3}{2\sqrt{22}}$, и $176\sin^{2}\alpha=176\cdot\dfrac{9}{88}=18$.`,
- ref: 'Латотин «Геометрия, 10 кл.», разд. 3, § 9' },
+ ref: 'Геометрия, 10 класс, разд. 3, § 9' },
];
/* ── Сборка solution_html ────────────────────────────────────────────────── */
diff --git a/backend/scripts/seed_ctmath_rt2425_e2v1.js b/backend/scripts/seed_ctmath_rt2425_e2v1.js
index 5893701..22e93f9 100644
--- a/backend/scripts/seed_ctmath_rt2425_e2v1.js
+++ b/backend/scripts/seed_ctmath_rt2425_e2v1.js
@@ -36,14 +36,14 @@ const TASKS = [
opts: mc('$\dfrac45$', '$\dfrac15$', '$\dfrac13$', '$\dfrac14$', '$\dfrac34$'),
answer: 'б',
sol: R`Ян собрал в $4$ раза меньше Юры, поэтому всё количество яблок делится на $4+1=5$ равных частей, и Ян собрал одну из них, то есть $\dfrac15$.`,
- ref: 'Герасимов «Математика, 5 кл.», ч. 2, гл. 3, § 1' },
+ ref: 'Математика, 5 класс, ч. 2, гл. 3, § 1' },
{ idx: 2, type: 'mc', topic: 'planimetry', subtopic: 'plan-triangles', diff: 2,
text: R`Используя данные рисунка, определите, чему должна быть равна градусная мера угла $1$, чтобы прямые $a$ и $b$ были параллельны.`,
opts: mc('$68^\circ$', '$48^\circ$', '$46^\circ$', '$36^\circ$', '$44^\circ$'),
answer: 'д',
sol: R`Угол $2$, смежный с углом $136^\circ$, равен $44^\circ$. Прямые $a$ и $b$ параллельны, если соответственные углы $1$ и $2$ при секущей $c$ равны, поэтому $\angle 1=44^\circ$.`,
- ref: 'Казаков «Геометрия, 7 кл.», гл. 3, § 15',
+ ref: 'Геометрия, 7 класс, гл. 3, § 15',
fig: FIG('a2.png', 'Прямые a и b, секущая c; угол 1 и угол 136°') },
{ idx: 3, type: 'mc', topic: 'functions', subtopic: 'fn-graphs', diff: 1,
@@ -51,7 +51,7 @@ const TASKS = [
opts: mc('$1$', '$2$', '$3$', '$4$', '$5$'),
answer: 'в',
sol: R`График функции $y=|x|$ — это «уголок» с вершиной в начале координат (ветви $y=x$ при $x\ge0$ и $y=-x$ при $x<0$). Ему соответствует рисунок $3$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 8 кл.», гл. 4, § 19',
+ ref: 'Алгебра, 8 класс, гл. 4, § 19',
fig: FIG('a3.png', 'Пять графиков-кандидатов 1–5; график 3 — «уголок» y=|x|') },
{ idx: 4, type: 'mc', topic: 'expressions', subtopic: 'expr-polynomials', diff: 1,
@@ -59,47 +59,47 @@ const TASKS = [
opts: mc('$16$', '$-1$', '$1$', '$-4$', '$-15$'),
answer: 'г',
sol: R`Проверяем: при $x=-4$ имеем $0{,}36-(-4)^2=0{,}36-16=-15{,}64$. Остальные значения дают другой результат.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 7 кл.», гл. 2, § 4' },
+ ref: 'Алгебра, 7 класс, гл. 2, § 4' },
{ idx: 5, type: 'mc', topic: 'equations', subtopic: 'eq-linear', diff: 2,
text: R`Укажите номер, под которым приведено множество всех решений системы неравенств $\begin{cases}x\le 6,\\ x<-4.\end{cases}$`,
opts: mc('$(-\infty;-4)$', '$(-\infty;6]$', '$(-4;6]$', '$(-\infty;6)$', '$(-\infty;-4)\cup(-4;6]$'),
answer: 'а',
sol: R`Решение первого неравенства — луч $(-\infty;6]$, второго — открытый луч $(-\infty;-4)$. Пересечением является $(-\infty;-4)$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 8 кл.», гл. 1, § 6' },
+ ref: 'Алгебра, 8 класс, гл. 1, § 6' },
{ idx: 6, type: 'open', topic: 'numbers', subtopic: 'num-real', diff: 2,
text: R`Среди выражений $\log_{\sqrt2}4$; $\ -5^2$; $\ \cos\dfrac{5\pi}{6}$; $\ 7^{-1}$; $\ \sqrt[5]{(-2)^5}$ укажите те, значение которых является отрицательным числом.
Ответ запишите номерами в порядке возрастания, без пробелов.`,
answer: '235', ansShow: '2, 3, 5',
sol: R`$1)\ \log_{\sqrt2}4=4>0$. $\ 2)\ -5^2=-25<0$. $\ 3)\ \cos\dfrac{5\pi}{6}=-\dfrac{\sqrt3}{2}<0$. $\ 4)\ 7^{-1}=\dfrac17>0$. $\ 5)\ \sqrt[5]{(-2)^5}=-2<0$. Отрицательны выражения 2, 3, 5.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 11 кл.», гл. 1, § 3' },
+ ref: 'Алгебра, 11 класс, гл. 1, § 3' },
{ idx: 7, type: 'mc', topic: 'expressions', subtopic: 'expr-polynomials', diff: 2,
text: R`Результат разложения многочлена $(a-b)+2c(b-a)$ на множители имеет вид:`,
opts: mc('$(a-b)(1+2c)$', '$(a-b)(2c-1)$', '$(a-b)(1-2c)$', '$-2c(a-b)$', '$2c(a-b)$'),
answer: 'в',
sol: R`$(a-b)+2c(b-a)=(a-b)-2c(a-b)=(a-b)(1-2c)$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 7 кл.», гл. 2, § 14' },
+ ref: 'Алгебра, 7 класс, гл. 2, § 14' },
{ idx: 8, type: 'mc', topic: 'equations', subtopic: 'eq-linear', diff: 2,
text: R`Укажите номер неравенства, которое равносильно неравенству $x>5$.`,
opts: mc('$x^2>5x$', '$\dfrac{1}{x-5}<0$', '$(x-5)^2>0$', '$-2x<-10$', '$(0{,}5)^{x-5}>0$'),
answer: 'г',
sol: R`Решение $x>5$ — луч $(5;+\infty)$. Неравенство $-2x<-10$ равносильно $x>5$ — то же множество решений. (Остальные дают другие множества.)`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 9 кл.», гл. 3, § 13' },
+ ref: 'Алгебра, 9 класс, гл. 3, § 13' },
{ idx: 9, type: 'mc', topic: 'stereometry', subtopic: 'ster-polyhedra', diff: 2,
text: R`У правильной четырёхугольной призмы площадь основания равна $28$ см$^2$. Какой должна быть высота (в сантиметрах) этой призмы, чтобы её объём был равен $98$ см$^3$?`,
opts: mc('$2$', '$4$', '$3{,}2$', '$4{,}5$', '$3{,}5$'),
answer: 'д',
sol: R`Объём призмы $V=S_{\text{осн}}\cdot h$. Тогда $98=28h$, откуда $h=3{,}5$ см.`,
- ref: 'Латотин «Геометрия, 11 кл.», разд. 1, § 1' },
+ ref: 'Геометрия, 11 класс, разд. 1, § 1' },
{ idx: 10, type: 'open', topic: 'functions', subtopic: 'fn-properties', diff: 3,
text: R`На рисунке изображён график функции $y=f(x)$, определённой на промежутке $[-6;6]$. Укажите номера верных утверждений.
1) множеством значений функции является отрезок $[-3;4]$;
2) функция является нечётной;
3) график функции $y=f(x-1)$ проходит через точку $(0;2)$;
4) функция убывает на промежутках $[-1;0]$ и $[1;6]$;
5) $f(-5)+f(2)<0$.
Ответ запишите номерами в порядке возрастания, без пробелов.`,
answer: '14', ansShow: '1, 4',
sol: R`$1)$ верно: $E(f)=[-3;4]$. $\ 2)$ неверно: график симметричен относительно оси ординат, функция чётная. $\ 3)$ неверно: точка $(0;2)$ не принадлежит графику $y=f(x-1)$. $\ 4)$ верно: на $[-1;0]$ и $[1;6]$ значения убывают. $\ 5)$ неверно: $-20$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 9 кл.», гл. 2, § 6–9',
+ ref: 'Алгебра, 9 класс, гл. 2, § 6–9',
fig: FIG('a10.png', 'График чётной функции y=f(x) на [-6;6], с пиками y=4 и краями y=-3') },
// ── Часть B ──────────────────────────────────────────────────────────────
@@ -107,121 +107,121 @@ const TASKS = [
text: R`Для начала каждого из предложений А–В подберите его окончание 1–6 так, чтобы получилось верное утверждение.
Начало:
А) Значение выражения $\arcsin 0-|-5|$ равно …
Б) Значение выражения $\dfrac1\pi\arccos\left(-\dfrac{\sqrt3}{2}\right)-\dfrac13$ равно …
В) Значение выражения $4\sqrt6\,\sin\left(2\arccos\dfrac{\sqrt2}{2}-\dfrac\pi4\right)$ равно …
Окончание:
1) $6\sqrt2$; 2) $-5$; 3) $\dfrac13$; 4) $-4$; 5) $4\sqrt3$; 6) $\dfrac12$.
Ответ запишите сочетанием букв и цифр, например: А1Б1В4.`,
answer: 'А2Б6В5', ansShow: 'А2Б6В5',
sol: R`А) $\arcsin0-|-5|=0-5=-5$ — окончание 2. Б) $\dfrac1\pi\cdot\dfrac{5\pi}{6}-\dfrac13=\dfrac56-\dfrac13=\dfrac12$ — окончание 6. В) $4\sqrt6\,\sin\left(2\cdot\dfrac\pi4-\dfrac\pi4\right)=4\sqrt6\sin\dfrac\pi4=4\sqrt6\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}=4\sqrt3$ — окончание 5.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 10 кл.», гл. 1, § 7' },
+ ref: 'Алгебра, 10 класс, гл. 1, § 7' },
{ idx: 12, type: 'open', topic: 'stereometry', subtopic: 'ster-polyhedra', diff: 3,
text: R`$ABCDA_1B_1C_1D_1$ — куб. Длина пространственной ломаной $ABB_1C_1C$ равна $16\sqrt3$. Выберите верные утверждения.
1) длина диагонали грани $ABCD$ равна $4\sqrt3$;
2) площадь полной поверхности куба равна $192$;
3) длина диагонали куба равна $4\sqrt6$;
4) площадь треугольника $AC_1C$ равна $24\sqrt2$;
5) длина ребра куба равна $4\sqrt3$;
6) объём куба равен $192\sqrt3$.
Ответ запишите номерами в порядке возрастания, без пробелов.`,
answer: '456', ansShow: '4, 5, 6',
sol: R`Ломаная $ABB_1C_1C$ состоит из четырёх рёбер: $16\sqrt3:4=4\sqrt3$ — ребро. $\ 1)$ диагональ грани $=4\sqrt3\cdot\sqrt2=4\sqrt6$ — неверно. $\ 2)\ S=6a^2=6\cdot48=288$ — неверно. $\ 3)$ диагональ куба $=a\sqrt3=4\sqrt3\cdot\sqrt3=12$ — неверно. $\ 4)\ S_{AC_1C}=\tfrac12\cdot4\sqrt6\cdot4\sqrt3=24\sqrt2$ — верно. $\ 5)$ ребро $=4\sqrt3$ — верно. $\ 6)\ V=a^3=(4\sqrt3)^3=192\sqrt3$ — верно.`,
- ref: 'Латотин «Геометрия, 11 кл.», разд. 1, § 1' },
+ ref: 'Геометрия, 11 класс, разд. 1, § 1' },
{ idx: 13, type: 'open', topic: 'trigonometry', subtopic: 'trig-identities', diff: 3,
text: R`Найдите значение выражения $15\sqrt{10}\,\operatorname{tg}\alpha$, если $\operatorname{ctg}\alpha=-\dfrac{\sqrt{10}}{8}$.`,
answer: '-120',
sol: R`Из тождества $\operatorname{tg}\alpha\cdot\operatorname{ctg}\alpha=1$: $\operatorname{tg}\alpha=\dfrac1{\operatorname{ctg}\alpha}=-\dfrac{8}{\sqrt{10}}=-\dfrac{4\sqrt{10}}{5}$. Тогда $15\sqrt{10}\cdot\left(-\dfrac{4\sqrt{10}}{5}\right)=15\cdot\left(-\dfrac{4\cdot10}{5}\right)=-120$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 10 кл.», гл. 1, § 4' },
+ ref: 'Алгебра, 10 класс, гл. 1, § 4' },
{ idx: 14, type: 'open', topic: 'planimetry', subtopic: 'plan-quadrilaterals', diff: 2,
text: R`Диагонали ромба равны $4$ и $10$. Найдите значение выражения $\sqrt{29}\cdot P$, где $P$ — периметр ромба.`,
answer: '116',
sol: R`Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Сторона $a=\sqrt{2^2+5^2}=\sqrt{29}$. Периметр $P=4\sqrt{29}$, тогда $\sqrt{29}\cdot P=\sqrt{29}\cdot4\sqrt{29}=4\cdot29=116$.`,
- ref: 'Казаков «Геометрия, 8 кл.», гл. 1, § 5' },
+ ref: 'Геометрия, 8 класс, гл. 1, § 5' },
{ idx: 15, type: 'open', topic: 'numbers', subtopic: 'num-divisibility', diff: 3,
text: R`Пусть $A$ — наименьшее натуральное число, большее $50$, при делении которого на $9$ и на $12$ получается остаток $1$. Найдите остаток при делении числа $A$ на $13$. В ответ запишите сумму числа $A$ и полученного остатка.`,
answer: '81',
sol: R`$A-1$ делится и на $9$, и на $12$, то есть кратно $\text{НОК}(9;12)=36$. Наименьшее такое $A-1>49$ равно $72$, значит $A=73$. Остаток от деления $73$ на $13$ равен $8$. Сумма $73+8=81$.`,
- ref: 'Герасимов «Математика, 5 кл.», ч. 1, гл. 1, § 11–13' },
+ ref: 'Математика, 5 класс, ч. 1, гл. 1, § 11–13' },
{ idx: 16, type: 'open', topic: 'word-sequences', subtopic: 'seq-progressions', diff: 3,
text: R`Найдите, при каком значении переменной $x$ значения выражений $x-18$; $\ x-3$; $\ x+17$ будут последовательными членами геометрической прогрессии.`,
answer: '63',
sol: R`По характеристическому свойству геометрической прогрессии $(x-3)^2=(x-18)(x+17)$. Раскрывая: $x^2-6x+9=x^2-x-306$, $-5x=-315$, $x=63$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 9 кл.», гл. 4, § 17' },
+ ref: 'Алгебра, 9 класс, гл. 4, § 17' },
{ idx: 17, type: 'open', topic: 'equations', subtopic: 'eq-rational', diff: 4,
text: R`Пусть $(x_1;y_1)$ и $(x_2;y_2)$ — решения системы уравнений $\begin{cases}x^2+3y=27,\\ x-y=-9.\end{cases}$ Найдите значение выражения $x_1x_2-y_1y_2$.`,
answer: '-54',
sol: R`Из второго уравнения $y=x+9$. Тогда $x^2+3(x+9)=27$, $x^2+3x=0$, $x=0$ или $x=-3$. Решения: $(-3;6)$ и $(0;9)$. Значение $x_1x_2-y_1y_2=(-3)\cdot0-6\cdot9=-54$ (не зависит от выбора нумерации пар).`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 9 кл.», гл. 3, § 11' },
+ ref: 'Алгебра, 9 класс, гл. 3, § 11' },
{ idx: 18, type: 'open', topic: 'word-sequences', subtopic: 'word-problems', diff: 3,
text: R`Аппликация состоит из двух подобных треугольников $\mathrm{I}$ и $\mathrm{II}$. Площадь треугольника $\mathrm{I}$ равна $75$ см$^2$, а длины сторон треугольника $\mathrm{II}$ на $20\%$ больше длин соответствующих сторон треугольника $\mathrm{I}$. Найдите (в см$^2$) площадь всей аппликации.`,
answer: '183',
sol: R`Коэффициент подобия (II к I) равен $1{,}2=\dfrac65$. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента: $S_{\mathrm{II}}=75\cdot\left(\dfrac65\right)^2=75\cdot\dfrac{36}{25}=108$ см$^2$. Площадь всей аппликации $75+108=183$ см$^2$.`,
- ref: 'Казаков «Геометрия, 8 кл.», гл. 3, § 23' },
+ ref: 'Геометрия, 8 класс, гл. 3, § 23' },
{ idx: 19, type: 'open', topic: 'equations', subtopic: 'eq-logarithmic', diff: 3,
text: R`Найдите значение выражения $2\log_{25}\left(\dfrac{a}{125}\right)-\log_5\dfrac{25}{b}$, если $\log_{25}(ab)=19$.`,
answer: '33',
sol: R`$2\log_{25}\left(\dfrac{a}{125}\right)=\log_5\dfrac{a}{125}$. Тогда выражение равно $\log_5\dfrac{a}{125}-\log_5\dfrac{25}{b}=\log_5\dfrac{ab}{5^5}=\log_5(ab)-5=2\log_{25}(ab)-5=2\cdot19-5=33$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 11 кл.», гл. 3, § 7' },
+ ref: 'Алгебра, 11 класс, гл. 3, § 7' },
{ idx: 20, type: 'open', topic: 'planimetry', subtopic: 'plan-triangles', diff: 4,
text: R`В равнобедренном треугольнике $KMN$ проведена высота $MH$ к основанию $KN$. Точка $P$ — середина боковой стороны $MN$. Известно, что длина высоты $MH$ равна длине отрезка $HP$ и $KN=6\sqrt6$. Найдите значение выражения $S^2$, где $S$ — площадь треугольника $KMN$.`,
answer: '972',
sol: R`Высота $MH$ равнобедренного треугольника является и медианой, поэтому $HN=\tfrac12 KN=3\sqrt6$. В прямоугольном треугольнике $MHN$ отрезок $HP$ — медиана к гипотенузе $MN$, значит $HP=\tfrac12 MN$; по условию $MH=HP=\tfrac12 MN$, то есть катет $MH$ равен половине гипотенузы, и $\angle MNH=30^\circ$. Тогда $MH=HN\operatorname{tg}30^\circ=3\sqrt6\cdot\dfrac{\sqrt3}{3}=3\sqrt2$. Площадь $S=\tfrac12\cdot KN\cdot MH=\tfrac12\cdot6\sqrt6\cdot3\sqrt2=18\sqrt3$, откуда $S^2=972$.`,
- ref: 'Казаков «Геометрия, 8 кл.», гл. 2, § 15–16' },
+ ref: 'Геометрия, 8 класс, гл. 2, § 15–16' },
{ idx: 21, type: 'open', topic: 'functions', subtopic: 'fn-properties', diff: 3,
text: R`Найдите количество всех целых чисел из множества значений функции $y=\left(\dfrac13\right)^{-x}$ на отрезке $[3;4]$.`,
answer: '55',
sol: R`$y=\left(\dfrac13\right)^{-x}=3^x$ — возрастающая функция. При $3\le x\le4$ имеем $3^3\le 3^x\le 3^4$, то есть $E=[27;81]$. Целых чисел на отрезке $[27;81]$ — $81-27+1=55$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 11 кл.», гл. 2, § 4' },
+ ref: 'Алгебра, 11 класс, гл. 2, § 4' },
{ idx: 22, type: 'open', topic: 'word-sequences', subtopic: 'word-problems', diff: 3,
text: R`Первый турист ехал от базы со скоростью $40$ км/ч и успел на станцию за $3$ мин до отправления поезда. Второй турист, выехавший одновременно с первым от той же базы со скоростью $35$ км/ч, опоздал на этот же поезд на $3$ мин. На каком расстоянии (в километрах) от базы находится станция?`,
answer: '28',
sol: R`Пусть расстояние равно $x$ км. Разница во времени между туристами составляет $6$ мин $=\dfrac1{10}$ ч: $\dfrac{x}{35}-\dfrac{x}{40}=\dfrac1{10}$, $\dfrac{x}{280}=\dfrac1{10}$, $x=28$ км.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 7 кл.», гл. 3, § 16; гл. 4, § 25' },
+ ref: 'Алгебра, 7 класс, гл. 3, § 16; гл. 4, § 25' },
{ idx: 23, type: 'open', topic: 'equations', subtopic: 'eq-logarithmic', diff: 4,
text: R`Найдите произведение наименьшего целого решения на количество всех целых решений неравенства $\log_{0{,}4}\left(\dfrac{x^2}{4}-3\right)\ge 0$.`,
answer: '-8',
sol: R`$0=\log_{0{,}4}1$, и так как $0<0{,}4<1$, неравенство равносильно системе $\dfrac{x^2}{4}-3\le1$ и $\dfrac{x^2}{4}-3>0$, то есть $x^2\le16$ и $x^2>12$. Решение: $[-4;-2\sqrt3)\cup(2\sqrt3;4]$. Целых решений два ($-4$ и $4$), наименьшее $-4$. Произведение $-4\cdot2=-8$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 11 кл.», гл. 3, § 10' },
+ ref: 'Алгебра, 11 класс, гл. 3, § 10' },
{ idx: 24, type: 'open', topic: 'trigonometry', subtopic: 'trig-equations', diff: 4,
text: R`Найдите (в градусах) наименьший положительный корень уравнения $4\sin\dfrac{x}{7}\cos\dfrac{x}{7}=\sqrt3$.`,
answer: '210',
sol: R`По формуле синуса двойного аргумента $2\sin\dfrac{2x}{7}=\sqrt3$, $\sin\dfrac{2x}{7}=\dfrac{\sqrt3}{2}$. Тогда $\dfrac{2x}{7}=(-1)^k60^\circ+180^\circ k$, $x=(-1)^k210^\circ+630^\circ k$. Наименьший положительный корень — $210^\circ$ (при $k=0$).`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 10 кл.», гл. 1, § 8; § 11' },
+ ref: 'Алгебра, 10 класс, гл. 1, § 8; § 11' },
{ idx: 25, type: 'open', topic: 'stereometry', subtopic: 'ster-polyhedra', diff: 4,
text: R`В правильной треугольной пирамиде ребро основания равно $2\sqrt2$, а угол между боковым ребром и плоскостью основания равен $30^\circ$. Найдите значение выражения $9\sqrt6\cdot V$, где $V$ — объём этой пирамиды.`,
answer: '24',
sol: R`Высота $SO$, $\angle SAO=30^\circ$. $AO=\tfrac23 AM$, где медиана $AM=\sqrt6$, значит $AO=\dfrac{2\sqrt6}{3}$. Тогда $SO=AO\operatorname{tg}30^\circ=\dfrac{2\sqrt6}{3}\cdot\dfrac{\sqrt3}{3}=\dfrac{2\sqrt2}{3}$. Объём $V=\dfrac13\cdot\dfrac{(2\sqrt2)^2\sqrt3}{4}\cdot\dfrac{2\sqrt2}{3}=\dfrac{4\sqrt6}{9}$. Тогда $9\sqrt6\cdot V=9\sqrt6\cdot\dfrac{4\sqrt6}{9}=4\cdot6=24$.`,
- ref: 'Латотин «Геометрия, 11 кл.», разд. 2, § 3' },
+ ref: 'Геометрия, 11 класс, разд. 2, § 3' },
{ idx: 26, type: 'open', topic: 'equations', subtopic: 'eq-irrational', diff: 4,
text: R`Найдите произведение корней (корень, если он единственный) уравнения $\sqrt[4]{x^2+6x-27}\cdot\sqrt[3]{x^2-6x-27}=0$.`,
answer: '-243',
sol: R`Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, а другой имеет смысл. $x^2+6x-27=0\Rightarrow x=-9,\ 3$ (оба удовлетворяют ОДЗ). $x^2-6x-27=0\Rightarrow x=-3,\ 9$, но при $x=-3$ подкоренное выражение $\sqrt[4]{\;}$ отрицательно — не подходит, остаётся $x=9$. Корни уравнения: $-9,\ 3,\ 9$; произведение $-9\cdot3\cdot9=-243$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 10 кл.», гл. 2, § 17' },
+ ref: 'Алгебра, 10 класс, гл. 2, § 17' },
{ idx: 27, type: 'open', topic: 'stereometry', subtopic: 'ster-angles-distances', diff: 5,
text: R`$ABCA_1B_1C_1$ — прямая треугольная призма, все рёбра которой равны. Точки $K$ и $M$ — середины рёбер $A_1C_1$ и $B_1C_1$ соответственно. Точка $N$ лежит на ребре $AB$ так, что $AN:NB=1:5$. Найдите значение выражения $\dfrac{1}{\cos^2\varphi}$, где $\varphi$ — угол между прямыми $A_1N$ и $KM$.`,
answer: '37',
sol: R`Пусть ребро равно $a$, $AN=\dfrac a6$. Так как $KM\parallel AB$ (средняя линия), угол между $A_1N$ и $KM$ равен углу $\angle NA_1B_1$. В прямоугольном треугольнике $A_1AN$: $A_1N=\sqrt{a^2+\left(\dfrac a6\right)^2}=\dfrac{a\sqrt{37}}{6}$, $\sin\angle AA_1N=\dfrac{a/6}{A_1N}=\dfrac{\sqrt{37}}{37}$. Тогда $\cos\varphi=\sin\angle AA_1N=\dfrac{\sqrt{37}}{37}$, и $\dfrac{1}{\cos^2\varphi}=37$.`,
- ref: 'Латотин «Геометрия, 10 кл.», разд. 2, § 4' },
+ ref: 'Геометрия, 10 класс, разд. 2, § 4' },
{ idx: 28, type: 'open', topic: 'equations', subtopic: 'eq-exponential', diff: 4,
text: R`Найдите произведение наибольшего целого отрицательного и наименьшего целого положительного решений неравенства $5\cdot25^{\frac{5-x}{23}}-26\cdot25^{\frac{5-x}{46}}+5\ge 0$.`,
answer: '-504',
sol: R`Замена $t=25^{\frac{5-x}{46}}$ даёт $5t^2-26t+5\ge0$, откуда $t\le\dfrac15$ или $t\ge5$. Тогда $\dfrac{5-x}{23}\le-1$ или $\dfrac{5-x}{23}\ge1$, то есть $x\ge28$ или $x\le-18$. Решение: $(-\infty;-18]\cup[28;+\infty)$. Наибольшее целое отрицательное — $-18$, наименьшее целое положительное — $28$; произведение $-18\cdot28=-504$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 11 кл.», гл. 2, § 6' },
+ ref: 'Алгебра, 11 класс, гл. 2, § 6' },
{ idx: 29, type: 'open', topic: 'functions', subtopic: 'fn-derivative', diff: 4,
text: R`Найдите точку максимума и максимум функции $f(x)=x^3-75x-24\sin\dfrac{7\pi}{6}$. В ответ запишите их сумму.`,
answer: '257',
sol: R`$24\sin\dfrac{7\pi}{6}=24\cdot\left(-\dfrac12\right)=-12$, поэтому $f(x)=x^3-75x+12$. $f'(x)=3x^2-75=0$ при $x=\pm5$. Точка максимума $x_{\max}=-5$, $f(-5)=-125+375+12=262$. Сумма $-5+262=257$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 10 кл.», гл. 3, § 20' },
+ ref: 'Алгебра, 10 класс, гл. 3, § 20' },
{ idx: 30, type: 'open', topic: 'stereometry', subtopic: 'ster-rotation', diff: 5,
text: R`Плоскость, параллельная основанию конуса, делит его высоту в отношении $2:5$, считая от вершины. Площадь сечения конуса меньше площади основания на $270\pi$. Образующая конуса составляет с плоскостью основания угол $\operatorname{arctg}\dfrac57$. Найдите значение выражения $\dfrac{\sqrt6\,V}{\pi}$, где $V$ — объём конуса.`,
answer: '2940',
sol: R`Сечением является круг; по свойству площади относятся как квадраты расстояний от вершины: $\dfrac{S_{\text{осн}}-270\pi}{S_{\text{осн}}}=\left(\dfrac27\right)^2=\dfrac{4}{49}$, откуда $45 S_{\text{осн}}=49\cdot270\pi$, $S_{\text{осн}}=294\pi$. Тогда $R^2=294$, $R=7\sqrt6$. Высота $SO=R\operatorname{tg}\left(\operatorname{arctg}\dfrac57\right)=7\sqrt6\cdot\dfrac57=5\sqrt6$. Объём $V=\dfrac13 S_{\text{осн}}\cdot SO=\dfrac13\cdot294\pi\cdot5\sqrt6=490\pi\sqrt6$. Тогда $\dfrac{\sqrt6\,V}{\pi}=490\cdot6=2940$.`,
- ref: 'Латотин «Геометрия, 11 кл.», разд. 2, § 4' },
+ ref: 'Геометрия, 11 класс, разд. 2, § 4' },
];
/* ── машинерия (как в e1v1) ────────────────────────────────────────────────── */
diff --git a/backend/scripts/seed_ctmath_rt2425_e3v1.js b/backend/scripts/seed_ctmath_rt2425_e3v1.js
index b3ab74f..1e0a413 100644
--- a/backend/scripts/seed_ctmath_rt2425_e3v1.js
+++ b/backend/scripts/seed_ctmath_rt2425_e3v1.js
@@ -34,14 +34,14 @@ const TASKS = [
opts: mc('$-0{,}5$', '$2^{-1}$', '$-0{,}2$', '$-\sqrt2$', '$2$'),
answer: 'а',
sol: R`Противоположные числа имеют равные модули, но разные знаки. Числу $\dfrac12$ противоположно число $-\dfrac12=-0{,}5$.`,
- ref: 'Герасимов «Математика, 6 кл.», гл. 4, § 2' },
+ ref: 'Математика, 6 класс, гл. 4, § 2' },
{ idx: 2, type: 'mc', topic: 'planimetry', subtopic: 'plan-circle', diff: 2,
text: R`На рисунке изображены три окружности с центрами $O$, $A$, $B$, радиусы которых равны $R$, $\dfrac R4$, $\dfrac R3$ соответственно. Найдите длину отрезка $AB$, если $R=12$.`,
opts: mc('$13$', '$18$', '$15$', '$17$', '$19$'),
answer: 'г',
sol: R`Отрезок $AB$ лежит на диаметре большой окружности (радиус $R=12$, диаметр $24$). Меньшие окружности касаются большой изнутри, их радиусы $\dfrac R4=3$ и $\dfrac R3=4$. Тогда $AB=24-3-4=17$.`,
- ref: 'Казаков «Геометрия, 7 кл.», гл. 1, § 4',
+ ref: 'Геометрия, 7 класс, гл. 1, § 4',
fig: FIG('a2.png', 'Большая окружность с центром O и две внутренние окружности A и B на диаметре') },
{ idx: 3, type: 'mc', topic: 'functions', subtopic: 'fn-properties', diff: 2,
@@ -49,175 +49,175 @@ const TASKS = [
opts: mc('$[-7;7]$', '$(-6;0)\cup(0;6]$', '$[-5;10]$', '$[-9;2)\cup(2;9]$', '$(-11;0)\cup(0;11)$'),
answer: 'д',
sol: R`Область определения нечётной функции симметрична относительно нуля. Из предложенных множеств этим свойством обладает $(-11;0)\cup(0;11)$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 9 кл.», гл. 2, § 8' },
+ ref: 'Алгебра, 9 класс, гл. 2, § 8' },
{ idx: 4, type: 'mc', topic: 'equations', subtopic: 'eq-exponential', diff: 2,
text: R`Укажите номер показательного уравнения, корнем которого является число $-2$.`,
opts: mc('$(0{,}3)^{x-6}=(0{,}3)^{6x+4}$', '$2^{2x}=64$', '$(0{,}5)^{x^2+4}=1$', '$16x+35=3$', '$7^x=11$'),
answer: 'а',
sol: R`Подставим $x=-2$: $(0{,}3)^{-2-6}=(0{,}3)^{6\cdot(-2)+4}$, то есть $(0{,}3)^{-8}=(0{,}3)^{-8}$ — верно. Остальные показательные уравнения числу $-2$ не удовлетворяют (а уравнение 4 не является показательным).`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 11 кл.», гл. 2, § 5' },
+ ref: 'Алгебра, 11 класс, гл. 2, § 5' },
{ idx: 5, type: 'mc', topic: 'expressions', subtopic: 'expr-powers-roots', diff: 2,
text: R`Найдите значение выражения $\sqrt[7]{(-49)^7}-|5{,}25-6|$.`,
opts: mc('$-48{,}25$', '$-49{,}75$', '$-49{,}25$', '$-48{,}75$', '$-50$'),
answer: 'б',
sol: R`$\sqrt[7]{(-49)^7}=-49$ (корень нечётной степени), $|5{,}25-6|=0{,}75$. Тогда $-49-0{,}75=-49{,}75$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 10 кл.», гл. 2, § 14' },
+ ref: 'Алгебра, 10 класс, гл. 2, § 14' },
{ idx: 6, type: 'open', topic: 'expressions', subtopic: 'expr-polynomials', diff: 2,
text: R`Укажите номера пар, состоящих из подобных одночленов.
1) $2ab^2$ и $-2a^2b$;
2) $\dfrac13 m$ и $-m^3$;
3) $5xy$ и $-0{,}2xy$;
4) $-16$ и $-16n$;
5) $-1{,}2c^8$ и $-8c^8$.
Ответ запишите номерами в порядке возрастания, без пробелов.`,
answer: '35', ansShow: '3, 5',
sol: R`Подобные одночлены отличаются только числовым коэффициентом (одинаковая буквенная часть). $\ 3)\ 5xy$ и $-0{,}2xy$ — подобны. $\ 5)\ -1{,}2c^8$ и $-8c^8$ — подобны. Остальные пары различаются буквенной частью.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 7 кл.», гл. 2, § 6–7' },
+ ref: 'Алгебра, 7 класс, гл. 2, § 6–7' },
{ idx: 7, type: 'mc', topic: 'word-sequences', subtopic: 'word-problems', diff: 2,
text: R`Юра, редактируя изображение шириной $27$ см и высотой $36$ см, уменьшил ширину на $6$ см так, что отношение ширины к высоте полученного изображения не изменилось. Найдите высоту полученного изображения (в см).`,
opts: mc('$31$', '$27$', '$28$', '$30$', '$26$'),
answer: 'в',
sol: R`Новая ширина $27-6=21$ см. Отношение сохранилось: $\dfrac{27}{36}=\dfrac{21}{x}$, откуда $x=\dfrac{36\cdot21}{27}=28$ см.`,
- ref: 'Герасимов «Математика, 6 кл.», гл. 2, § 3' },
+ ref: 'Математика, 6 класс, гл. 2, § 3' },
{ idx: 8, type: 'mc', topic: 'trigonometry', subtopic: 'trig-identities', diff: 2,
text: R`Найдите значение выражения $\operatorname{arcctg}(-\sqrt3)+\dfrac\pi2$.`,
opts: mc('$\dfrac\pi3$', '$\dfrac{7\pi}{6}$', '$\dfrac\pi6$', '$\dfrac{4\pi}{3}$', '$\dfrac{3\pi}{2}$'),
answer: 'г',
sol: R`$\operatorname{arcctg}(-\sqrt3)=\dfrac{5\pi}{6}$ (так как $\dfrac{5\pi}{6}\in(0;\pi)$ и $\operatorname{ctg}\dfrac{5\pi}{6}=-\sqrt3$). Тогда $\dfrac{5\pi}{6}+\dfrac\pi2=\dfrac{5\pi}{6}+\dfrac{3\pi}{6}=\dfrac{8\pi}{6}=\dfrac{4\pi}{3}$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 10 кл.», гл. 1, § 7' },
+ ref: 'Алгебра, 10 класс, гл. 1, § 7' },
{ idx: 9, type: 'mc', topic: 'stereometry', subtopic: 'ster-angles-distances', diff: 3,
text: R`Из точки $A$, отстоящей на $\sqrt3$ от плоскости $\alpha$, проведена наклонная $AB$. Проекция наклонной $AB$ на плоскость $\alpha$ равна $\sqrt{13}$. Найдите косинус угла между наклонной $AB$ и плоскостью $\alpha$.`,
opts: mc('$\dfrac{\sqrt3}{4}$', '$\dfrac{\sqrt{13}}{4}$', '$\dfrac{\sqrt{39}}{13}$', '$\dfrac14$', '$\dfrac{\sqrt3}{2}$'),
answer: 'б',
sol: R`Пусть $O$ — основание перпендикуляра: $AO=\sqrt3$, проекция $OB=\sqrt{13}$. По теореме Пифагора $AB=\sqrt{(\sqrt3)^2+(\sqrt{13})^2}=\sqrt{16}=4$. Искомый угол — $\angle ABO$, $\cos\angle ABO=\dfrac{OB}{AB}=\dfrac{\sqrt{13}}{4}$.`,
- ref: 'Латотин «Геометрия, 10 кл.», разд. 3, § 9' },
+ ref: 'Геометрия, 10 класс, разд. 3, § 9' },
{ idx: 10, type: 'open', topic: 'functions', subtopic: 'fn-properties', diff: 3,
text: R`Укажите номера верных утверждений.
1) функция $f(x)=(\sqrt3-1)^x$ является возрастающей на области определения;
2) график функции $f(x)=3^x$ пересекает прямую $y=1$;
3) значение функции $f(x)=\log_{0{,}5}x$ меньше нуля при $x=\dfrac23$;
4) функция $f(x)=\log_{2{,}02}x$ является возрастающей на области определения;
5) $f(3{,}5)>f(4{,}2)$, если $f(x)=\left(\dfrac13\right)^x$.
Ответ запишите номерами в порядке возрастания, без пробелов.`,
answer: '245', ansShow: '2, 4, 5',
sol: R`$1)$ неверно: $0<\sqrt3-1<1$, функция убывает. $\ 2)$ верно: график $y=3^x$ пересекает $y=1$ в точке $(0;1)$. $\ 3)$ неверно: $\log_{0{,}5}\dfrac23>0$. $\ 4)$ верно: $2{,}02>1$, функция возрастает. $\ 5)$ верно: при основании $\dfrac13$ функция убывает, и из $3{,}5<4{,}2$ следует $f(3{,}5)>f(4{,}2)$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 11 кл.», гл. 2, § 4; гл. 3, § 8' },
+ ref: 'Алгебра, 11 класс, гл. 2, § 4; гл. 3, § 8' },
// ── Часть B ──────────────────────────────────────────────────────────────
{ idx: 11, type: 'long', topic: 'stereometry', subtopic: 'ster-rotation', diff: 3,
text: R`Конус получен вращением равнобедренного прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей его катет, равный $\sqrt{21}$. Для начала каждого из предложений А–В подберите его окончание 1–6 так, чтобы получилось верное утверждение.
Начало:
А) Диаметр основания конуса равен …
Б) Площадь осевого сечения конуса равна …
В) Объём конуса, если в качестве числа $\pi$ взято число Архимеда $\dfrac{22}{7}$, равен …
Окончание:
1) $42$; 2) $22\sqrt{21}$; 3) $66\sqrt{21}$; 4) $21$; 5) $2\sqrt{21}$; 6) $\sqrt{21}$.
Ответ запишите сочетанием букв и цифр, например: А1Б1В4.`,
answer: 'А5Б4В2', ansShow: 'А5Б4В2',
sol: R`Радиус и высота конуса равны катету $\sqrt{21}$. А) Диаметр $=2\sqrt{21}$ — окончание 5. Б) Осевое сечение — равнобедренный треугольник с основанием $2\sqrt{21}$ и высотой $\sqrt{21}$: $S=\tfrac12\cdot2\sqrt{21}\cdot\sqrt{21}=21$ — окончание 4. В) $V=\tfrac13\cdot\dfrac{22}{7}\cdot(\sqrt{21})^2\cdot\sqrt{21}=\tfrac13\cdot\dfrac{22}{7}\cdot21\sqrt{21}=22\sqrt{21}$ — окончание 2.`,
- ref: 'Латотин «Геометрия, 11 кл.», разд. 2, § 4' },
+ ref: 'Геометрия, 11 класс, разд. 2, § 4' },
{ idx: 12, type: 'open', topic: 'expressions', subtopic: 'expr-powers-roots', diff: 3,
text: R`Выберите верные утверждения.
1) значение выражения $(-1)^{-5}\cdot(-2)^2$ равно $-4$;
2) значение выражения $8^{1/3}\cdot12^0$ равно $-2$;
3) значение выражения $5^{-1/7}:25^{-4/7}$ равно $0{,}2$;
4) значение выражения $4-64^{1/3}$ равно $8$;
5) значение выражения $16^{-1/4}$ равно $0{,}5$;
6) значение выражения $2\cdot49^{0{,}5}+\left(2^{-1{,}5}\right)^{-2}$ равно $22$.
Ответ запишите номерами в порядке возрастания, без пробелов.`,
answer: '156', ansShow: '1, 5, 6',
sol: R`$1)\ (-1)^{-5}\cdot(-2)^2=-1\cdot4=-4$ — верно. $\ 2)\ 8^{1/3}\cdot1=2\ne-2$ — неверно. $\ 3)\ 5^{-1/7}:5^{-8/7}=5^{1}=5\ne0{,}2$ — неверно. $\ 4)\ 4-4=0\ne8$ — неверно. $\ 5)\ 16^{-1/4}=2^{-1}=0{,}5$ — верно. $\ 6)\ 2\cdot7+2^3=14+8=22$ — верно.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 11 кл.», гл. 1, § 1' },
+ ref: 'Алгебра, 11 класс, гл. 1, § 1' },
{ idx: 13, type: 'open', topic: 'numbers', subtopic: 'num-divisibility', diff: 2,
text: R`Первый диспетчер такси принял за день $155$ заявок. Найдите наибольшее число заявок, принятых вторым диспетчером, если число заявок, принятых двумя диспетчерами вместе, не превосходит $300$ и кратно $9$.`,
answer: '142',
sol: R`Наибольшее не превосходящее $300$ число, кратное $9$, равно $297$. Тогда наибольшее число заявок второго диспетчера $297-155=142$.`,
- ref: 'Герасимов «Математика, 5 кл.», ч. 1, гл. 1, § 13' },
+ ref: 'Математика, 5 класс, ч. 1, гл. 1, § 13' },
{ idx: 14, type: 'open', topic: 'planimetry', subtopic: 'plan-quadrilaterals', diff: 2,
text: R`В параллелограмме $ABCD$ угол $BAD$ равен $45^\circ$, $BH$ — высота, проведённая к стороне $AD$, $AH=4$, $DH=8$. Найдите площадь параллелограмма $ABCD$.`,
answer: '48',
sol: R`Так как $\angle BAD=45^\circ$, прямоугольный треугольник $BHA$ равнобедренный, поэтому $BH=AH=4$. Сторона $AD=AH+HD=12$. Площадь $S=AD\cdot BH=12\cdot4=48$.`,
- ref: 'Казаков «Геометрия, 8 кл.», гл. 2, § 14' },
+ ref: 'Геометрия, 8 класс, гл. 2, § 14' },
{ idx: 15, type: 'open', topic: 'equations', subtopic: 'eq-logarithmic', diff: 4,
text: R`Найдите значение выражения $x_0-4$, где $x_0$ — корень уравнения $\log_{81}(7-x)-1\dfrac14=0$.`,
answer: '-240',
sol: R`$\log_{81}(7-x)=\dfrac54$, $\dfrac14\log_3(7-x)=\dfrac54$, $\log_3(7-x)=5$, $7-x=3^5=243$, $x=-236$. Тогда $x_0-4=-236-4=-240$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 11 кл.», гл. 3, § 9' },
+ ref: 'Алгебра, 11 класс, гл. 3, § 9' },
{ idx: 16, type: 'open', topic: 'functions', subtopic: 'fn-graphs', diff: 3,
text: R`Найдите количество всех целых значений аргумента, при которых функция $f(x)=\dfrac1{12}(x-8)^2-3$ принимает отрицательные значения.`,
answer: '11',
sol: R`Нули функции: $\dfrac1{12}(x-8)^2-3=0$, $(x-8)^2=36$, $x_1=2$, $x_2=14$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому функция отрицательна на $(2;14)$. Целых значений на этом промежутке — $11$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 8 кл.», гл. 3, § 14' },
+ ref: 'Алгебра, 8 класс, гл. 3, § 14' },
{ idx: 17, type: 'open', topic: 'trigonometry', subtopic: 'trig-identities', diff: 3,
text: R`Найдите значение выражения $64\cos 2\alpha$, если $\sin\alpha=\dfrac18$.`,
answer: '62',
sol: R`$\cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha=1-2\cdot\dfrac1{64}=\dfrac{62}{64}$. Тогда $64\cos2\alpha=64\cdot\dfrac{62}{64}=62$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 10 кл.», гл. 1, § 11' },
+ ref: 'Алгебра, 10 класс, гл. 1, § 11' },
{ idx: 18, type: 'open', topic: 'equations', subtopic: 'eq-rational', diff: 4,
text: R`Два дачных участка прямоугольной формы имеют одинаковую длину. Площадь первого участка равна $434$ м$^2$, площадь второго участка равна $558$ м$^2$. Найдите (в метрах) периметр второго участка, если известно, что сумма ширин двух участков составляет $320$ дм.`,
answer: '98',
sol: R`$320$ дм $=32$ м. Пусть ширина второго участка $x$ м, первого $(32-x)$ м, общая длина $y$ м. Тогда $\begin{cases}(32-x)y=434,\\ xy=558.\end{cases}$ Подставив $xy=558$: $32y-558=434$, $32y=992$, $y=31$, $x=18$. Второй участок $31\times18$, периметр $2(31+18)=98$ м.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 9 кл.», гл. 3, § 11' },
+ ref: 'Алгебра, 9 класс, гл. 3, § 11' },
{ idx: 19, type: 'open', topic: 'word-sequences', subtopic: 'seq-progressions', diff: 4,
text: R`В арифметической прогрессии $(a_n)$ четвёртый, пятый и шестой члены имеют вид $a_4=-2x$; $\ a_5=15-3x$; $\ a_6=55-5x$. Найдите сумму тридцати первых членов этой прогрессии.`,
answer: '-4950',
sol: R`По свойству $a_5=\dfrac{a_4+a_6}{2}$: $15-3x=\dfrac{-2x+55-5x}{2}$, $30-6x=-7x+55$, $x=25$. Тогда $a_4=-50$, $a_5=-60$, $a_6=-70$, разность $d=-10$, $a_1=a_4-3d=-20$. $S_{30}=\dfrac{2a_1+d(30-1)}{2}\cdot30=\dfrac{-40-290}{2}\cdot30=-4950$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 9 кл.», гл. 4, § 15–16' },
+ ref: 'Алгебра, 9 класс, гл. 4, § 15–16' },
{ idx: 20, type: 'open', topic: 'planimetry', subtopic: 'plan-quadrilaterals', diff: 4,
text: R`Радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, равен $3\sqrt2$. Тупой угол равнобедренной трапеции равен $120^\circ$. Найдите значение выражения $P^2$, где $P$ — периметр равнобедренной трапеции.`,
answer: '1536',
sol: R`Высота трапеции равна диаметру вписанной окружности: $BK=6\sqrt2$. В прямоугольном треугольнике с острым углом $30^\circ$ боковая сторона $AB=\dfrac{BK}{\sin60^\circ}=\dfrac{6\sqrt2}{\sqrt3/?}$… Для описанной окружностью трапеции $AB+CD=BC+AD$, $AB=CD=4\sqrt6$, поэтому сумма оснований $BC+AD=8\sqrt6$. Периметр $P=2\cdot8\sqrt6=16\sqrt6$, тогда $P^2=256\cdot6=1536$.`,
- ref: 'Казаков «Геометрия, 9 кл.», гл. 2, § 10' },
+ ref: 'Геометрия, 9 класс, гл. 2, § 10' },
{ idx: 21, type: 'open', topic: 'equations', subtopic: 'eq-linear', diff: 3,
text: R`Найдите сумму всех целых решений совокупности неравенств $\left[\begin{array}{l}\dfrac{x-2}{7}<\dfrac{x+2}{2}-\dfrac1{14},\\[4pt] (x-3)^2+5<(x+2)^2-20\end{array}\right.$ на промежутке $[-7;7]$.`,
answer: '22',
sol: R`Первое неравенство: $2x-4<7x+14-1$, $-5x<17$, $x>-3{,}4$. Второе: $x^2-6x+9+53$. Объединение совокупности — луч $(-3{,}4;+\infty)$. Пересечение с $[-7;7]$ даёт $(-3{,}4;7]$. Сумма целых от $-3$ до $7$ равна $22$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 8 кл.», гл. 1, § 6' },
+ ref: 'Алгебра, 8 класс, гл. 1, § 6' },
{ idx: 22, type: 'open', topic: 'word-sequences', subtopic: 'word-problems', diff: 3,
text: R`Имеется $28$ кг сплава меди с цинком, содержащего $34{,}5\%$ меди. Сколько меди (в граммах) необходимо добавить к этому сплаву, чтобы получить сплав, содержащий $60\%$ меди?`,
answer: '17850',
sol: R`Масса меди в исходном сплаве $28\cdot0{,}345=9{,}66$ кг. Пусть добавили $x$ кг меди: $(9{,}66+x)=(28+x)\cdot0{,}6$, $9{,}66+x=16{,}8+0{,}6x$, $0{,}4x=7{,}14$, $x=17{,}85$ кг $=17850$ г.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 7 кл.», гл. 3, § 16' },
+ ref: 'Алгебра, 7 класс, гл. 3, § 16' },
{ idx: 23, type: 'open', topic: 'equations', subtopic: 'eq-irrational', diff: 4,
text: R`Найдите произведение корней (корень, если он единственный) уравнения $\sqrt{2x^2+11x-14}=-x-2$.`,
answer: '-9',
sol: R`Возведём в квадрат: $2x^2+11x-14=x^2+4x+4$, $x^2+7x-18=0$, корни $-9$ и $2$. Проверка: при $x=-9$ $\sqrt{49}=7=-(-9)-2$ — верно; при $x=2$ $\sqrt{16}=4\ne-4$ — посторонний. Единственный корень $-9$; произведение равно $-9$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 10 кл.», гл. 2, § 17' },
+ ref: 'Алгебра, 10 класс, гл. 2, § 17' },
{ idx: 24, type: 'open', topic: 'stereometry', subtopic: 'ster-polyhedra', diff: 5,
text: R`$ABCDA_1B_1C_1D_1$ — куб, у которого длина ребра равна $6\sqrt3$. Точки $M$ и $N$ — середины рёбер $AB$ и $AD$. Через точки $M$, $N$ и $C_1$ проведена секущая плоскость. Найдите значение выражения $n\cdot a^2$, где $n$ — количество вершин многоугольника сечения, $a$ — длина отрезка, по которому секущая плоскость пересекает грань $AA_1D_1D$.`,
answer: '195',
sol: R`Сечение — пятиугольник $C_1LNMK$, поэтому $n=5$. Сторона $NL$ (по грани $AA_1D_1D$): из построения и подобия $DL=2\sqrt3$, $DN=3\sqrt3$, тогда $NL=\sqrt{DL^2+DN^2}=\sqrt{(2\sqrt3)^2+(3\sqrt3)^2}=\sqrt{39}$, то есть $a=\sqrt{39}$. Значение $n\cdot a^2=5\cdot39=195$.`,
- ref: 'Латотин «Геометрия, 10 кл.», разд. 1, § 3' },
+ ref: 'Геометрия, 10 класс, разд. 1, § 3' },
{ idx: 25, type: 'open', topic: 'trigonometry', subtopic: 'trig-equations', diff: 5,
text: R`Найдите (в градусах) сумму различных корней уравнения $\sin 3x\cos 3x\cos 6x=-\dfrac{\sqrt3}{8}$ на промежутке $[-60^\circ;0^\circ]$.`,
answer: '-90',
sol: R`$\tfrac12\sin6x\cos6x=-\dfrac{\sqrt3}{8}$, $\tfrac14\sin12x=-\dfrac{\sqrt3}{8}$, $\sin12x=-\dfrac{\sqrt3}{2}$. Тогда $12x=(-1)^{k+1}60^\circ+180^\circ k$, $x=(-1)^{k+1}5^\circ+15^\circ k$. На $[-60^\circ;0^\circ]$ корни: $-5^\circ,\ -10^\circ,\ -35^\circ,\ -40^\circ$. Их сумма $-90^\circ$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 10 кл.», гл. 1, § 8; § 11' },
+ ref: 'Алгебра, 10 класс, гл. 1, § 8; § 11' },
{ idx: 26, type: 'open', topic: 'stereometry', subtopic: 'ster-rotation', diff: 5,
text: R`Сфера касается всех сторон равнобедренного треугольника $ABC$, у которого длина основания $AC$ равна $10$ и длина боковой стороны $AB$ равна $11$. Расстояние от центра сферы до плоскости треугольника $ABC$ равно $\dfrac{5\sqrt{42}}{4}$. Найдите значение выражения $\dfrac{S}{\pi}$, где $S$ — площадь сферы.`,
answer: '300',
sol: R`Точки касания равноудалены от проекции $O_1$ центра сферы, значит $O_1$ — центр вписанной в $ABC$ окружности. Площадь по Герону: $p=16$, $S_{ABC}=\sqrt{16\cdot5\cdot5\cdot6}=20\sqrt6$, радиус вписанной $r=\dfrac{S}{p}=\dfrac{20\sqrt6}{16}=\dfrac{5\sqrt6}{4}$. Радиус сферы $OK=\sqrt{OO_1^2+r^2}=\sqrt{\dfrac{25\cdot42}{16}+\dfrac{25\cdot6}{16}}=\sqrt{75}=5\sqrt3$. Площадь сферы $S=4\pi R^2=4\pi\cdot75=300\pi$, поэтому $\dfrac{S}{\pi}=300$.`,
- ref: 'Латотин «Геометрия, 11 кл.», разд. 3, § 5' },
+ ref: 'Геометрия, 11 класс, разд. 3, § 5' },
{ idx: 27, type: 'open', topic: 'equations', subtopic: 'eq-logarithmic', diff: 4,
text: R`Найдите сумму всех целых решений неравенства $\log_{\lg 8}(8-x)-\log_{\lg 8}(x-4)\ge 0$.`,
answer: '13',
sol: R`Так как $0<\lg8<1$, функция $\log_{\lg8}t$ убывает, поэтому неравенство $\log_{\lg8}(8-x)\ge\log_{\lg8}(x-4)$ равносильно системе $8-x\le x-4$ и $8-x>0$, то есть $x\ge6$ и $x<8$. Решение $[6;8)$, целые $6$ и $7$, сумма $13$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 11 кл.», гл. 3, § 10' },
+ ref: 'Алгебра, 11 класс, гл. 3, § 10' },
{ idx: 28, type: 'open', topic: 'equations', subtopic: 'eq-exponential', diff: 4,
text: R`Найдите произведение наименьшего целого решения на количество всех целых решений неравенства $\left(\sqrt2-1\right)^{\frac{(x+9)^2(3-x)}{x-6}}\le 1$.`,
answer: '-36',
sol: R`Так как $\sqrt2-1\in(0;1)$, неравенство равносильно $\dfrac{(x+9)^2(3-x)}{x-6}\ge0$, или $\dfrac{(x+9)^2(x-3)}{x-6}\le0$. Методом интервалов (нули $-9,3$; разрыв $6$): решение $\{-9\}\cup[3;6)$. Целых решений $4$ ($-9,3,4,5$), наименьшее $-9$. Произведение $-9\cdot4=-36$.`,
- ref: 'Арефьева «Алгебра, 11 кл.», гл. 2, § 6' },
+ ref: 'Алгебра, 11 класс, гл. 2, § 6' },
{ idx: 29, type: 'open', topic: 'functions', subtopic: 'fn-derivative', diff: 5,
text: R`Дана функция $f(x)=\dfrac{2x^2-x}{x+5}$. Найдите значение выражения $a\cdot n$, где $a$ — наименьшее целое число из промежутков убывания данной функции, $n$ — количество всех целых чисел из промежутков убывания данной функции.`,
answer: '-100',
sol: R`$f'(x)=\dfrac{2x^2+20x-5}{(x+5)^2}$. Убывание: $f'(x)<0$ при $\dfrac{-10-\sqrt{110}}{2}