Раздел 1. Введение в стереометрию

Многогранник — тело, ограниченное конечным числом плоских многоугольников.

• Грань — каждый из этих многоугольников.
• Ребро — общая сторона двух соседних граней.
• Вершина — общая точка трёх или более рёбер.
• Диагональ — отрезок, соединяющий две вершины, не лежащие на одной грани.

Призма — многогранник, у которого две грани (основания) — равные многоугольники в параллельных плоскостях, а остальные грани (боковые) — параллелограммы.

Виды: прямая (боковые рёбра ⊥ основанию) или наклонная; правильная — прямая с основанием в виде правильного $n$-угольника.

Параллелепипед — частный случай призмы (основание — параллелограмм).

Пирамида — многогранник с одним основанием-многоугольником и боковыми гранями-треугольниками с общей вершиной пирамиды.

Правильная пирамида: основание — правильный $n$-угольник, вершина проектируется в его центр.

Цилиндр — вращение прямоугольника вокруг одной из его сторон.

Конус — вращение прямоугольного треугольника вокруг катета.

Шар — вращение полукруга вокруг диаметра.

Для любого выпуклого многогранника:

$$ В - Р + Г = 2 $$

где В — число вершин, Р — рёбер, Г — граней. Куб: $В=8, Р=12, Г=6 \Rightarrow 8-12+6=2$. ✓

Пространственные фигуры изображают на плоскости в параллельной проекции (чаще — кабинетной).

Видимые рёбра — сплошной линией, невидимые — штриховой.

Параллельные отрезки остаются параллельными, но длины и углы искажаются.

Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость.

Если же точки коллинеарны — плоскостей бесконечно много (можно «вращать» вокруг прямой).

Если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости.

Обозначение: $a \subset \alpha$ — «прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$».

Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все их общие точки.

Эту прямую называют линией пересечения плоскостей: $\alpha \cap \beta = l$.

• Через прямую и точку вне её — единственная плоскость.
• Через две пересекающиеся прямые — единственная плоскость.
• Через две параллельные прямые — единственная плоскость.

• 3 точки, не лежащие на одной прямой;
• прямая и точка вне её;
• две пересекающиеся прямые;
• две параллельные прямые.

Все эти способы — переформулировки аксиомы A1.

• $A \in \alpha$ — точка $A$ принадлежит плоскости $\alpha$;
• $a \subset \alpha$ — прямая $a$ лежит в $\alpha$;
• $\alpha \cap \beta = c$ — плоскости пересекаются по прямой $c$;
• $a \parallel b$ — прямые параллельны.

Сечение многогранника плоскостью $\sigma$ — это многоугольник, образованный пересечением плоскости со всеми гранями многогранника.

Его стороны — отрезки пересечения $\sigma$ с гранями; его вершины — точки, где $\sigma$ пересекает рёбра.

Следом называется линия пересечения плоскости сечения с одной из граней (обычно с плоскостью основания).

Зная след в плоскости основания и одну точку выше, можно построить пересечения с остальными гранями, продолжая прямые и применяя аксиому A2.

Если плоскость сечения параллельна основанию пирамиды, сечение — многоугольник, подобный основанию (с коэффициентом подобия, зависящим от высоты).

В призме параллельное основанию сечение даёт многоугольник, равный основанию.

Плоскость может пересечь каждую грань не более чем по одному отрезку. Поэтому число сторон сечения не превосходит число граней многогранника.

• Куб (6 граней) → max 6 сторон (правильный шестиугольник через 6 средин рёбер).
• Тетраэдр (4 грани) → max 4 стороны.
• $n$-угольная призма ($n{+}2$ граней) → max $n{+}2$ сторон.