Раздел 2. Параллельность

Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Обозначение: $a \parallel b$.

Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

Признак: если прямая $a \subset \alpha$, а прямая $b$ пересекает $\alpha$ в точке, не лежащей на $a$, — то $a$ и $b$ скрещиваются.

Через точку $M$, не лежащую на прямой $a$, проходит единственная прямая, параллельная $a$.

Транзитивность: если $a \parallel b$ и $b \parallel c$, то $a \parallel c$.

Углом между пересекающимися прямыми — острый или прямой угол между ними.

Углом между скрещивающимися прямыми $a$ и $b$ называется угол между двумя пересекающимися прямыми $a' \parallel a$ и $b' \parallel b$ (выбираются в общей точке).

Расстояние между скрещивающимися прямыми — длина их общего перпендикуляра (отрезка, перпендикулярного обеим прямым).

Общий перпендикуляр существует и единствен.

Если две прямые в пространстве не пересекаются и не параллельны — они скрещивающиеся.

Не пересекающиеся прямые могут быть параллельными (в одной плоскости) или скрещивающимися (в разных плоскостях).

Прямая называется параллельной плоскости, если они не имеют общих точек.

Обозначение: $a \parallel \alpha$.

Если прямая $a$ параллельна некоторой прямой $b \subset \alpha$ и не лежит в $\alpha$, то $a \parallel \alpha$.

Это удобный способ установить параллельность — найти в плоскости прямую, параллельную $a$.

Если $a \parallel \alpha$ и плоскость $\beta$, содержащая $a$, пересекает $\alpha$ по прямой $c$, то $a \parallel c$.

То есть линии пересечения параллельной плоскости с проходящей через прямую плоскостью — параллельны самой прямой.

Если $a \parallel \alpha$ и $b \parallel a$, то $b \parallel \alpha$ или $b \subset \alpha$.

Параллельность прямой плоскости — устойчивое свойство при параллельных переносах.

Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Обозначение: $\alpha \parallel \beta$.

Если плоскость $\alpha$ содержит 2 пересекающиеся прямые $a$ и $b$, каждая из которых параллельна $\beta$ — то $\alpha \parallel \beta$.

Одной параллельной прямой недостаточно: нужно именно две пересекающиеся.

• Через точку вне плоскости — единственная плоскость, параллельная данной.
• Если $\alpha \parallel \beta$ и $\gamma$ пересекает $\alpha$ по $a$, то $\gamma$ пересекает $\beta$ по прямой $b \parallel a$.
• Параллельные плоскости отсекают на параллельных прямых равные отрезки.

Если $\alpha \parallel \gamma$ и $\beta \parallel \gamma$, то $\alpha \parallel \beta$.

В кубе: верхняя и нижняя грани параллельны; левая и правая параллельны; передняя и задняя параллельны.