Раздел 3. Перпендикулярность

Прямая $l$ называется перпендикулярной плоскости $\alpha$, если она перпендикулярна каждой прямой в $\alpha$, проходящей через точку их пересечения.

Обозначение: $l \perp \alpha$.

Если прямая $l$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $m$ и $n$ плоскости $\alpha$, то $l \perp \alpha$.

Это основной инструмент для доказательства перпендикулярности.

Если $l \perp \alpha$, то $l$ перпендикулярна любой прямой плоскости $\alpha$ (не только проходящей через точку пересечения, но и параллельной ей).

$l \perp \alpha,\ a \subset \alpha \Rightarrow l \perp a$.

Если $l \perp \alpha$ и $l \parallel l'$, то $l' \perp \alpha$.

Если $l_1 \perp \alpha$ и $l_2 \perp \alpha$, то $l_1 \parallel l_2$.

Две прямые, перпендикулярные одной плоскости, всегда параллельны между собой.

Через любую точку пространства проходит единственная прямая, перпендикулярная данной плоскости.

Через любую точку плоскости — единственная прямая, перпендикулярная этой плоскости.

В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$: ребро $AA_1$ перпендикулярно нижней грани $ABCD$, потому что $AA_1 \perp AB$ и $AA_1 \perp AD$ (две пересек. прямые в плоскости).

Аналогично — каждое боковое ребро перпендикулярно обоим основаниям.

Длина перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на плоскость $\alpha$.

Перпендикуляр короче любой наклонной из той же точки.

Если $a \parallel \alpha$, то расстояние от $a$ до $\alpha$ — это расстояние от любой точки прямой $a$ до $\alpha$ (оно постоянно).

Длина общего перпендикуляра между $\alpha \parallel \beta$. Равна расстоянию от любой точки одной плоскости до другой.

Длина общего перпендикуляра к двум скрещивающимся прямым.

Общий перпендикуляр существует, единствен и перпендикулярен обеим прямым.

Перпендикуляр из точки на плоскость — это кратчайший отрезок от точки до плоскости.

Если из точки опущен перпендикуляр $AO$ и наклонная $AB$, то $|AO| \le |AB|$, причём равенство — только если $B = O$.

В кубе с ребром $a$:

• Расстояние от $A$ до плоскости $A_1B_1C_1D_1$ равно $a$ (ребро $AA_1$).
• Расстояние между рёбрами $AB$ и $C_1D_1$ равно $a\sqrt{2}$ (диагональ грани).
• Расстояние между $AB$ и $CC_1$ равно $a$ (ребро $BC$).

Если $A \notin \alpha$, $AH \perp \alpha$ ($H \in \alpha$), а $AB$ — отрезок до $B \in \alpha, B \neq H$, то:

• $AH$ — перпендикуляр из $A$;
• $AB$ — наклонная;
• $HB$ — проекция наклонной $AB$.

Углом между наклонной и плоскостью называется угол между наклонной и её проекцией на эту плоскость: $\varphi = \angle ABH$.

Для перпендикулярной прямой угол с плоскостью равен $90°$.

Для прямой, лежащей в плоскости (или параллельной ей) — $0°$.

Прямая теорема: $AH \perp \alpha, BC \subset \alpha, HB \perp BC \Rightarrow AB \perp BC$.

Обратная теорема: $AH \perp \alpha, BC \subset \alpha, AB \perp BC \Rightarrow HB \perp BC$.

Часто применяется в задачах с пирамидами и призмами.

Из одной точки $A$ к плоскости $\alpha$ проведены наклонные $AB_1$ и $AB_2$. Тогда:

• $|AB_1| = |AB_2| \Leftrightarrow |HB_1| = |HB_2|$;
• бóльшая наклонная даёт бóльшую проекцию.

Если $|AH| = h$ — перпендикуляр, $|HB| = p$ — проекция, $|AB| = \ell$ — наклонная, то:

$\tg \varphi = \dfrac{h}{p}, \quad \sin \varphi = \dfrac{h}{\ell}, \quad \cos \varphi = \dfrac{p}{\ell}$.

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Диагональ $AC_1$ — наклонная к плоскости $ABCD$. Её проекция — диагональ $AC$ нижней грани.

$\tg \varphi = \dfrac{AA_1}{AC} = \dfrac{a}{a\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$, откуда $\varphi \approx 35{,}26°$.

Двугранный угол — фигура из двух полуплоскостей с общим ребром $l$ (граней двугранного угла).

Двугранный угол может быть острым, прямым, тупым или развёрнутым.

Возьмём $M \in l$. В каждой полуплоскости проведём луч $\perp l$ из $M$. Угол между этими лучами — линейный угол.

Линейный угол не зависит от выбора точки $M$ на ребре.

Две плоскости называются перпендикулярными, если их двугранный угол прямой ($90°$).

Обозначение: $\alpha \perp \beta$.

Если плоскость $\alpha$ содержит прямую $l$, перпендикулярную плоскости $\beta$, то $\alpha \perp \beta$.

Достаточно одной такой прямой.

Если $\alpha \perp \beta$ и из точки $M \in \alpha$ опустить перпендикуляр $MK$ в плоскости $\alpha$ к линии пересечения $\alpha \cap \beta$, то $MK \perp \beta$.

Перпендикуляр к ребру двугранного угла в одной из полуплоскостей перпендикулярен другой плоскости.

В кубе все смежные грани перпендикулярны. Например, $ABCD \perp ABB_1A_1$, потому что ребро $AA_1 \subset ABB_1A_1$ и $AA_1 \perp ABCD$ — выполнен признак.

Каждая грань куба перпендикулярна 4 соседним и параллельна 1 противоположной.