Раздел 4. Координаты и векторы

Прямоугольная декартова система координат — три попарно перпендикулярные оси с общим началом $O$.

Оси: $Ox$ (абсцисс), $Oy$ (ординат), $Oz$ (аппликат).

Точка $M$ имеет три координаты $(x;\,y;\,z)$ — это её проекции на оси.

$M_x$ — проекция на $Ox$, и т.д. Точка $M$ восстанавливается, если из проекций провести перпендикуляры к осям.

• $Oxy$ — плоскость $z = 0$;
• $Oxz$ — плоскость $y = 0$;
• $Oyz$ — плоскость $x = 0$.

Три координатные плоскости разбивают пространство на 8 октантов.

$|AB| = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2}$.

Расстояние от точки до начала: $|OM| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.

Середина $M$ отрезка $AB$:

$M\left(\dfrac{x_A+x_B}{2};\,\dfrac{y_A+y_B}{2};\,\dfrac{z_A+z_B}{2}\right)$.

• Начало координат: $O(0;\,0;\,0)$.
• Точка на оси $Ox$: $(a;\,0;\,0)$.
• Точка в плоскости $Oxy$: $(x;\,y;\,0)$.

Вектор — направленный отрезок $\vec{AB}$ с началом $A$ и концом $B$.

Длина (модуль): $|\vec{AB}| = |AB|$. Нулевой вектор: $\vec{0}$.

Два вектора равны, если они сонаправлены и имеют равные длины.

Вектор можно «переносить» параллельно — это не меняет его как геометрический объект.

Правило треугольника: $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$.

Правило параллелограмма: сумма — диагональ параллелограмма.

Свойства: коммутативность $\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$, ассоциативность.

$k\,\vec{a}$ — вектор той же ($k > 0$) или противоположной ($k < 0$) направленности, с длиной $|k|\cdot|\vec{a}|$.

Если $\vec{a} = (x;y;z)$, то $k\vec{a} = (kx;\,ky;\,kz)$.

Если $A(x_1;y_1;z_1)$ и $B(x_2;y_2;z_2)$, то $\vec{AB} = (x_2-x_1;\,y_2-y_1;\,z_2-z_1)$.

Длина: $|\vec{AB}| = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$.

Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны, если $\vec{a} = k\,\vec{b}$ для некоторого $k$.

В координатах: $\dfrac{x_a}{x_b} = \dfrac{y_a}{y_b} = \dfrac{z_a}{z_b}$ (где определено).

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\cos\varphi$, где $\varphi$ — угол между векторами.

Результат — число, не вектор.

Если $\vec{a} = (x_1;y_1;z_1)$, $\vec{b} = (x_2;y_2;z_2)$, то:

$\vec{a}\cdot\vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2$.

• $\vec{a}\cdot\vec{a} = |\vec{a}|^2$;
• $\vec{a}\cdot\vec{b} = \vec{b}\cdot\vec{a}$ (коммутативность);
• $(k\vec{a})\cdot\vec{b} = k(\vec{a}\cdot\vec{b})$;
• $(\vec{a}+\vec{b})\cdot\vec{c} = \vec{a}\cdot\vec{c} + \vec{b}\cdot\vec{c}$.

$\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a}\cdot\vec{b} = 0$.

Это удобный критерий: $x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2 = 0$.

$\cos\varphi = \dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}$.

В координатах: $\cos\varphi = \dfrac{x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}\cdot\sqrt{x_2^2+y_2^2+z_2^2}}$.

• $\vec{a}\cdot\vec{b} > 0 \Leftrightarrow \varphi < 90°$ (острый);
• $\vec{a}\cdot\vec{b} = 0 \Leftrightarrow \varphi = 90°$;
• $\vec{a}\cdot\vec{b} < 0 \Leftrightarrow \varphi > 90°$ (тупой).

Плоскость с нормалью $\vec{n}=(A;B;C)$, проходящая через $M_0(x_0;y_0;z_0)$:

$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$.

Общий вид: $Ax + By + Cz + D = 0$.

Если направляющие векторы — $\vec{a}, \vec{b}$, то:

$\cos\varphi = \dfrac{|\vec{a}\cdot\vec{b}|}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}$ (модуль — чтобы $\varphi \in [0;90°]$).

$\sin\varphi = \dfrac{|\vec{a}\cdot\vec{n}|}{|\vec{a}|\cdot|\vec{n}|}$,

где $\vec{a}$ — направляющая прямой, $\vec{n}$ — нормаль плоскости.

$\cos\varphi = \dfrac{|\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}|}{|\vec{n_1}|\cdot|\vec{n_2}|}$.

Используются нормали плоскостей.

$\rho(M, \alpha) = \dfrac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$.

Универсальная формула для любой плоскости в общем виде.

Векторно-координатный метод эффективен, когда:

• в задаче много прямых углов (куб, прямоугольный параллелепипед);
• требуется доказать перпендикулярность;
• сложные углы между скрещ. прямыми, наклонными.