`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений НЕ верно:`,
opts: [
["а", "площадь квадрата со стороной $a$ равна $a^2$;"],
["б", "сумма всех углов параллелограмма равна $360^{\\circ}$;"],
["в", "синусом острого угла называется отношение прилежащего катета к гипотенузе;"],
["г", "биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является и медианой?"],
],
sol: `
`
},
{
text: `Для квадратичной функции $y = -x^2 + 4x$ найдите значения аргумента,
при которых значение функции равно $3$.`,
sol: `Чтобы найти аргумент при заданном значении функции, надо приравнять формулу функции к этому значению и решить полученное уравнение относительно $x$.
Теорема Виета (обратная): $x^2+px+q=(x-x_1)(x-x_2)$, где $x_1+x_2=-p$, $x_1\\cdot x_2=q$.
Шаг 1. По условию $y=3$. Приравняем формулу функции к $3$:
$$-x^2+4x = 3$$
Шаг 2. Перенесём всё в одну часть, сменив знаки:
$$x^2-4x+3=0$$
Шаг 3. По теореме Виета ищем корни: $x_1+x_2=4$, $x_1\\cdot x_2=3$. Подходят $1$ и $3$:
$$(x-1)(x-3)=0 \\implies x=1 \\text{ или } x=3$$
Ответ: $x = 1$ и $x = 3$
`
},
{
text: `Треугольник $ABC$ — прямоугольный ($\\angle C = 90^{\\circ}$), $AC = 4$ см,
проекция катета $BC$ на гипотенузу равна $6$ см.
Найдите длину гипотенузы треугольника $ABC$.`,
sol: `Опустим высоту $CH$ из прямого угла $C$ на гипотенузу $AB$.
Свойство высоты в прямоугольном треугольнике:
$$AC^2 = AH \\cdot AB \\quad \\text{и} \\quad BC^2 = BH \\cdot AB$$
Из второго соотношения: $BH = \\dfrac{BC^2}{AB}$ — это и есть проекция $BC$ на гипотенузу $= 6$.
Из первого: $AH = \\dfrac{AC^2}{AB} = \\dfrac{16}{AB}$.
Так как $AH + BH = AB$:
$$\\dfrac{16}{AB} + 6 = AB$$
$$AB^2 - 6\\cdot AB - 16 = 0$$
$$(AB-8)(AB+2)=0 \\implies AB = 8\\text{ см}$$
Ответ: $8$ см
`
},
{
text: `Решите систему уравнений
$$\\begin{cases} x - 4y = 2, \\\\[4pt] xy + 2y = 8. \\end{cases}$$`,
sol: `Метод подстановки для решения системы: из одного уравнения выражаем одну переменную через другую, подставляем в другое и решаем относительно одной переменной.
Теорема Виета (обратная): $y^2+py+q=(y-y_1)(y-y_2)$, где $y_1+y_2=-p$, $y_1\\cdot y_2=q$.
Шаг 1. Из первого уравнения выразим $x$ через $y$:
$$x = 2 + 4y$$
Шаг 2. Подставим $x$ во второе уравнение:
$$(2+4y)y + 2y = 8$$
$$2y + 4y^2 + 2y = 8$$
$$4y^2 + 4y - 8 = 0$$
Шаг 3. Разделим обе части на $4$, чтобы упростить:
$$y^2 + y - 2 = 0$$
Шаг 4. По теореме Виета: $y_1+y_2=-1$, $y_1\\cdot y_2=-2$. Подходят $-2$ и $1$:
$$(y+2)(y-1)=0 \\implies y=-2 \\text{ или } y=1$$
Шаг 5. По формуле $x=2+4y$ находим $x$ для каждого $y$:
`
},
{
text: `Для перевозки $105$ т груза фирма рассматривала модели грузовых автомобилей МАЗ-4371СО.
Чтобы выполнить работы в срок, было решено использовать грузовой автомобиль
грузоподъёмностью на $2$ т больше. В результате для перевозки груза было сделано
на $6$ рейсов меньше, чем планировалось.
Найдите грузоподъёмность машины, на которой перевезли груз.`,
sol: `Пусть первоначальная грузоподъёмность $= p$ т. Число плановых рейсов $= \\dfrac{105}{p}$.
Новая грузоподъёмность $= p+2$ т. Число фактических рейсов $= \\dfrac{105}{p+2}$.
Условие — на $6$ рейсов меньше:
$$\\frac{105}{p} - \\frac{105}{p+2} = 6$$
$$105\\cdot\\frac{(p+2)-p}{p(p+2)} = 6 \\implies \\frac{210}{p(p+2)}=6$$
$$p(p+2) = 35 \\implies p^2+2p-35=0 \\implies (p+7)(p-5)=0$$
$p=5$ (т.к. $p>0$). Грузоподъёмность использованной машины: $p+2 = 7$ т.
Ответ: $7$ т
`
},
{
text: `Определите количество целых решений неравенства
$$\\dfrac{(-x^2 - x + 6)\\,x^2}{x^2 - x - 2} \\geq 0.$$`,
sol: `Шаг 1 — разложим на множители.
$$-x^2-x+6 = -(x^2+x-6) = -(x+3)(x-2)$$
$$x^2-x-2 = (x-2)(x+1)$$
Выражение: $\\dfrac{-x^2(x+3)(x-2)}{(x-2)(x+1)}$. ОДЗ: $x\\neq 2$, $x\\neq -1$.
Шаг 2 — сократим $(x-2)$ при $x\\neq 2$:
$$\\frac{-x^2(x+3)}{x+1} \\geq 0 \\iff \\frac{x^2(x+3)}{x+1} \\leq 0$$
Шаг 3 — знаковый анализ.
$x^2 \\geq 0$ всегда. При $x=0$: выражение $=0$ ✓. При $x\\neq 0$: $x^2>0$, нужно $\\dfrac{x+3}{x+1}\\leq 0$.
Критические точки: $x=-3$ (числитель $=0$), $x=-1$ (знаменатель $=0$, исключён).
$\\dfrac{x+3}{x+1}\\leq 0$ выполняется при $-3\\leq x < -1$.
Решение: $-3\\leq x < -1$ или $x=0$.
Целые числа: $x=-3,\\,-2,\\,0$ — итого 3.
Ответ: $3$
`
},
{
text: `В прямоугольную трапецию с основаниями $4$ и $8$ вписана окружность.
Найдите площадь трапеции.`,
sol: `Пусть $a=8$ (большее основание), $b=4$ (меньшее), $h$ — высота, $r$ — радиус окружности.
Шаг 1. Высота трапеции равна диаметру вписанной окружности:
$$h = 2r$$
(окружность касается обоих оснований снизу и сверху, поэтому её диаметр = расстояние между ними).
Шаг 2. Найдём наклонную боковую сторону $AD$.
Из свойства вписанной окружности в трапецию: сумма оснований = сумма боковых сторон:
$$AB + CD = BC + AD$$
$$8 + 4 = h + AD$$
$$AD = 12 - h = 12 - 2r$$
Шаг 3. Применим теорему Пифагора к наклонной стороне $AD$.
В прямоугольной трапеции $AD$ — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами $h$ и $(a-b)$:
$$AD^2 = h^2 + (a-b)^2$$
Подставим $AD = 12-2r$ и $h=2r$, $a-b=8-4=4$:
$$(12-2r)^2 = (2r)^2 + 4^2$$
$$144 - 48r + 4r^2 = 4r^2 + 16$$
$$144 - 48r = 16$$
$$48r = 128$$
$$r = \\frac{128}{48} = \\frac{8}{3}\\text{ см}$$
Шаг 4. Высота трапеции:
$$h = 2r = 2\\cdot\\frac{8}{3} = \\frac{16}{3}\\text{ см}$$
Шаг 5. Площадь трапеции:
$$S = \\frac{a+b}{2}\\cdot h = \\frac{8+4}{2}\\cdot\\frac{16}{3} = \\frac{12}{2}\\cdot\\frac{16}{3} = 6\\cdot\\frac{16}{3} = \\frac{96}{3} = 32\\text{ см}^2$$