`
},
{
text: `Запись числового выражения $3^4 \\cdot 3^3 : 3^2$ в виде степени с основанием $3$
имеет вид:`,
opts: [
["а", "$3^9$"], ["б", "$3^{-1}$"], ["в", "$3^3$"],
["г", "$3^4$"], ["д", "$3^5$"],
],
sol: `Умножение — складываем показатели, деление — вычитаем:
$$3^4\\cdot3^3:3^2 = 3^{4+3-2} = 3^5$$
Ответ: д) $3^5$
`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений НЕ верно:`,
opts: [
["а", "биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке;"],
["б", "$\\sin 150^{\\circ} = -\\dfrac{1}{2}$;"],
["в", "диаметр окружности, описанной около квадрата, равен его диагонали;"],
["г", "медиана треугольника делит сторону, к которой она проведена, пополам?"],
],
sol: `
`
},
{
text: `Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность, $P$ — точка пересечения диагоналей,
$\\angle ACB = 48^{\\circ}$, $\\angle CAD = 54^{\\circ}$. Найдите $\\angle CPD$.`,
sol: `
Теорема о вписанном угле: вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается; равносильно, дуга равна удвоенному вписанному углу.
Теорема об угле между хордами: угол между двумя пересекающимися внутри окружности хордами равен полусумме двух перехваченных дуг.
Шаг 1. Угол $\\angle ACB = 48°$ — вписанный, опирается на дугу $AB$. По теореме о вписанном угле:
$$\\overset{\\frown}{AB} = 2\\cdot\\angle ACB = 2\\cdot 48° = 96°$$
Шаг 2. Угол $\\angle CAD = 54°$ — вписанный, опирается на дугу $CD$:
$$\\overset{\\frown}{CD} = 2\\cdot\\angle CAD = 2\\cdot 54° = 108°$$
Шаг 3. Точка $P$ — пересечение диагоналей $AC$ и $BD$ внутри окружности. Угол $\\angle CPD$ — между хордами $AC$ и $BD$, причём он перехватывает дуги $CD$ и $AB$ (противоположные дуги).
Шаг 4. По теореме об угле между хордами:
$$\\angle CPD = \\dfrac{\\overset{\\frown}{CD}+\\overset{\\frown}{AB}}{2} = \\dfrac{108°+96°}{2} = \\dfrac{204°}{2} = 102°$$
Ответ: $102°$
`
},
{
text: `Упростите выражение $|x - 4| + |x + 4| - 2$, если $x \\in (-4;\\ 0]$.`,
sol: `Определение модуля: $|A| = A$, если $A\\geq 0$, и $|A| = -A$, если $A\\lt 0$.
Идея: для раскрытия модуля нужно определить знак подмодульного выражения на заданном промежутке.
Шаг 1. Определим знак $x-4$ при $x\\in(-4;\\,0]$.
Так как $x\\leq 0$, то $x-4\\leq -4\\lt 0$. По определению модуля:
$$|x-4| = -(x-4) = 4-x$$
Шаг 2. Определим знак $x+4$ на промежутке $(-4;\\,0]$.
Так как $x\\gt -4$ (по условию), то $x+4\\gt 0$. По определению модуля:
$$|x+4| = x+4$$
Шаг 3. Подставляем раскрытые модули в исходное выражение:
$$|x-4| + |x+4| - 2 = (4-x) + (x+4) - 2$$
Шаг 4. Приводим подобные слагаемые:
$$4 - x + x + 4 - 2 = (4+4-2) + (-x+x) = 6$$
Выражение оказалось постоянным на всём данном промежутке.
Ответ: $6$ (константа на всём промежутке)
`
},
{
text: `Найдите все значения переменной, при которых значение выражения
$\\dfrac{x + 2}{x + 3} + \\dfrac{2x}{x^2 - 9}$ равно нулю.`,
sol: `Решение дробно-рациональных уравнений: 1) находим ОДЗ; 2) умножаем обе части на общий знаменатель; 3) решаем полученное уравнение; 4) проверяем корни на принадлежность ОДЗ.
Формула разности квадратов: $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.
Теорема Виета (обратная): $x^2+px+q=(x-x_1)(x-x_2)$, где $x_1+x_2=-p$, $x_1\\cdot x_2=q$.
Шаг 1. Запишем уравнение:
$$\\dfrac{x+2}{x+3} + \\dfrac{2x}{x^2-9} = 0$$
Шаг 2. Разложим знаменатель $x^2-9$ по формуле разности квадратов: $x^2-9=(x-3)(x+3)$. Это общий знаменатель.
ОДЗ: $x\\neq 3$ и $x\\neq -3$.
Шаг 3. Умножим обе части уравнения на $(x-3)(x+3)$:
$$(x+2)(x-3) + 2x = 0$$
Шаг 4. Раскрываем скобки:
$$x^2 + 2x - 3x - 6 + 2x = 0$$
$$x^2 + x - 6 = 0$$
Шаг 5. По теореме Виета: $x_1+x_2=-1$, $x_1\\cdot x_2=-6$. Подходят $-3$ и $2$:
$$(x+3)(x-2) = 0 \\implies x = -3 \\text{ или } x = 2$$
Шаг 6. Проверяем ОДЗ: $x=-3$ не входит (отбрасываем). Остаётся $x=2$.
Проверка $x=2$:
$$\\dfrac{2+2}{2+3} + \\dfrac{2\\cdot 2}{4-9} = \\dfrac{4}{5} + \\dfrac{4}{-5} = \\dfrac{4}{5} - \\dfrac{4}{5} = 0 \\checkmark$$
Ответ: $x=2$
`
},
{
text: `Если двузначное число разделить на сумму его цифр, в частном получим $6$,
а в остатке — $5$. Если число, записанное теми же цифрами в обратном порядке,
разделить на произведение цифр, то в частном получим $2$, а в остатке — $5$.
Найдите это число.`,
sol: `Запись двузначного числа: $10a+b$, где $a$ — цифра десятков ($1\\leq a\\leq 9$), $b$ — цифра единиц ($0\\leq b\\leq 9$). Число с теми же цифрами в обратном порядке: $10b+a$.
Теорема о делении с остатком: если $N$ при делении на $d$ даёт частное $q$ и остаток $r$, то $N = d\\cdot q + r$, $0\\leq r\\lt d$.
Шаг 1. Обозначим за $10a+b$ исходное число.
Шаг 2.Первое условие: деление на сумму цифр $a+b$ даёт частное $6$ и остаток $5$:
$$10a + b = 6(a+b) + 5$$
$$10a + b = 6a + 6b + 5$$
$$4a - 5b = 5 \\quad (*)$$
Шаг 3. Найдём пары цифр $(a;b)$, удовлетворяющие $(*)$. Преобразуем:
$$4a = 5b + 5 = 5(b+1)$$
Левая часть делится на $5$, поэтому $a$ кратно $5$, то есть $a=5$ (другой кратный $5$ — это $0$, что невозможно для двузначного числа).
При $a=5$: $20 = 5(b+1) \\Rightarrow b+1 = 4 \\Rightarrow b = 3$.
Получаем число $\\boldsymbol{53}$.
Шаг 4.Второе условие (проверка): число в обратном порядке $= 10b+a = 35$. Произведение цифр $= 5\\cdot 3 = 15$. По условию частное $2$, остаток $5$:
$$2\\cdot 15 + 5 = 30 + 5 = 35 \\checkmark$$
И остаток $5\\lt 15$ — корректно.
Проверка условия 1: сумма цифр $= 8$; $53:8 = 6$ (ост. $5$), так как $6\\cdot 8+5 = 48+5=53$ ✓.
Ответ: $53$
`
},
{
text: `Найдите разность наибольшего и наименьшего целых решений двойного неравенства
$x + 6 \\leq x^2 < 24 - 5x$.`,
sol: `Двойное неравенство $A\\leq B\\lt C$ равносильно системе $\\{A\\leq B,\\; B\\lt C\\}$. Решаем каждую часть и берём пересечение.
Метод интервалов для квадратного неравенства: раскладываем трёхчлен на множители.
Теорема Виета (обратная): $x^2+px+q=(x-x_1)(x-x_2)$, где $x_1+x_2=-p$, $x_1\\cdot x_2=q$.
Шаг 1. Решаем первую часть: $x+6 \\leq x^2$, то есть $x^2 \\geq x+6$.
Переносим всё влево:
$$x^2 - x - 6 \\geq 0$$
По теореме Виета: $x_1+x_2=1$, $x_1\\cdot x_2=-6$. Подходят $3$ и $-2$:
$$(x-3)(x+2) \\geq 0$$
Произведение неотрицательно вне корней: $x\\leq -2$ или $x\\geq 3$.
Шаг 2. Решаем вторую часть: $x^2 \\lt 24-5x$.
Переносим всё влево:
$$x^2 + 5x - 24 \\lt 0$$
По теореме Виета: $x_1+x_2=-5$, $x_1\\cdot x_2=-24$. Подходят $-8$ и $3$:
$$(x+8)(x-3) \\lt 0$$
Произведение отрицательно между корнями: $-8\\lt x\\lt 3$.
Шаг 3. Берём пересечение:
$$(x\\leq -2 \\text{ или } x\\geq 3) \\cap (-8\\lt x\\lt 3) = -8 \\lt x \\leq -2$$
Шаг 4. Целые числа из $(-8;\\,-2]$: $-7,\\,-6,\\,-5,\\,-4,\\,-3,\\,-2$.
Наибольшее $= -2$, наименьшее $= -7$.
Шаг 5. Разность:
$$-2 - (-7) = 5$$
Ответ: $5$
`
},
{
text: `Точка $M$ — середина стороны $BC$ параллелограмма $ABCD$ с площадью $240$ см².
Отрезок $AM$ пересекает диагональ $BD$ в точке $F$.
Найдите площадь четырёхугольника $FMCD$.`,
figure: ``,
sol: `Метод координат: вводим координаты вершин параллелограмма, чтобы свести задачу к вычислениям. Площадь от выбора координат не зависит — отношение площадей сохраняется.
Формула Гаусса (площадь многоугольника по координатам): для четырёхугольника с вершинами $(x_i;y_i)$:
$$2S = \\left|\\sum_i x_i(y_{i+1}-y_{i-1})\\right|$$
Шаг 1 — выбираем координаты. Поместим вершины параллелограмма так: $A=(0;0)$, $B=(1;0)$, $C=(1;1)$, $D=(0;1)$ (получится квадрат единичной площади, но отношения площадей такие же, как в любом параллелограмме).
$M$ — середина $BC$, поэтому $M=\\bigl(1;\\tfrac{1}{2}\\bigr)$.
Шаг 2 — находим точку F. Прямая $AM$: точки вида $(t;\\tfrac{t}{2})$, где $t\\in[0;1]$.
Прямая $BD$: точки вида $(1-s;s)$, где $s\\in[0;1]$.
В точке $F$ обе прямые пересекаются:
$$t = 1-s,\\quad \\tfrac{t}{2} = s$$
Подставляем $s = \\tfrac{t}{2}$ в первое: $t = 1-\\tfrac{t}{2} \\Rightarrow \\tfrac{3t}{2}=1 \\Rightarrow t=\\tfrac{2}{3}$, $s=\\tfrac{1}{3}$.
Получаем $F=\\bigl(\\tfrac{2}{3};\\tfrac{1}{3}\\bigr)$.
Шаг 3 — площадь FMCD по формуле Гаусса. Вершины (в порядке обхода): $F\\bigl(\\tfrac{2}{3};\\tfrac{1}{3}\\bigr)$, $M\\bigl(1;\\tfrac{1}{2}\\bigr)$, $C(1;1)$, $D(0;1)$.
Применяем формулу:
$$2S = \\left|\\tfrac{2}{3}\\bigl(\\tfrac{1}{2}-1\\bigr)+1\\bigl(1-\\tfrac{1}{3}\\bigr)+1\\bigl(1-\\tfrac{1}{2}\\bigr)+0\\bigl(\\tfrac{1}{2}-1\\bigr)\\right|$$
$$= \\left|-\\tfrac{1}{3}+\\tfrac{2}{3}+\\tfrac{1}{2}\\right| = \\tfrac{5}{6}$$
Значит $S = \\tfrac{5}{12}$ от площади выбранного «единичного» параллелограмма.
Шаг 4 — итог. Реальная площадь параллелограмма $= 240$ см², поэтому:
$$S_{FMCD} = \\tfrac{5}{12}\\cdot 240 = 100\\text{ см}^2$$