VARIANTS[17] = { label: "Вариант 17", tasks: [ { text: `Определите рисунок, на котором изображён график функции $y = \\sqrt{x} - 1$:`, figure: ``, sol: `Функция $y=\\sqrt{x}-1$: На рисунке ищем кривую, которая начинается НИЖЕ оси $Ox$ при $x=0$.
Ответ: д)
` }, { text: `Из данных чисел выберите те, которые НЕ входят в область определения выражения $\\dfrac{2}{\\sqrt{2x-4}}$:`, opts: [ ["а", "$\\dfrac{1}{2}$"], ["б", "$2{,}5$"], ["в", "$2$"], ["г", "$3$"], ["д", "$4$"], ], sol: `Знаменатель не равен нулю и подкоренное выражение положительно: $2x-4>0 \\Rightarrow x>2$.
ОДЗ: $x>2$. Проверяем:
Ответ: а) и в)
` }, { text: `Какое из следующих утверждений НЕ верно:`, opts: [ ["а", "у правильного $n$-угольника все стороны равны между собой;"], ["б", "по теореме косинусов для треугольника со сторонами $a$, $b$, $c$ верно, что $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\\cos\\alpha$;"], ["в", "площадь ромба равна половине произведения диагоналей;"], ["г", "площадь круга с радиусом $r$ равна $2\\pi r$?"], ], sol: ` $S_{\\text{круга}} = \\pi r^2$, а $2\\pi r$ — это длина окружности.
Ответ: г)
` }, { text: `Найдите значение выражения $x \\cdot y$, где $(x;\\, y)$ — решение системы уравнений $$\\begin{cases} x + y = 5, \\\\[4pt] 2x - y = 4. \\end{cases}$$`, sol: `Сложим оба уравнения: $3x=9 \\Rightarrow x=3$.
Из первого: $y=5-3=2$. $$x\\cdot y = 3\\cdot 2 = 6$$
Ответ: $6$
` }, { text: `Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность, центр $O$ окружности лежит на стороне $AD$. Найдите угол $CAD$, если угол $ABC$ равен $118^{\\circ}$.`, sol: `Ключевой факт: $O$ лежит на $AD$ $\\Rightarrow$ $AD$ — диаметр окружности. O 90° 28° 62° A D B C 118° Шаг 1. $AD$ — диаметр $\\Rightarrow$ $\\angle ACD = 90°$ (вписанный угол, опирающийся на диаметр).
Шаг 2. $ABCD$ — вписанный четырёхугольник, противоположные углы в сумме дают $180°$: $$\\angle ADC = 180° - \\angle ABC = 180° - 118° = 62°$$ Шаг 3. В треугольнике $ACD$: $\\angle ACD=90°$, $\\angle ADC=62°$: $$\\angle CAD = 180° - 90° - 62° = 28°$$
Ответ: $\\angle CAD = 28°$
` }, { text: `Найдите количество целых решений неравенства $x^2 + 5x < 14$.`, sol: `Метод интервалов для квадратного неравенства: приводим к виду $ax^2+bx+c\\lt 0$, раскладываем на множители и определяем знаки.
Шаг 1. Переносим всё в одну часть: $x^2+5x-14\\lt 0$.
Шаг 2. Раскладываем левую часть на множители. Ищем два числа, произведение которых равно $-14$, а сумма $5$. Это $7$ и $-2$, значит $x^2+5x-14=(x+7)(x-2)$.
Шаг 3. Решаем неравенство $(x+7)(x-2)\\lt 0$. Произведение двух множителей отрицательно, когда они разных знаков, поэтому $-7\\lt x\\lt 2$. −7 −5 −3 −1 1 2 Шаг 4. Выписываем целые числа из интервала $(-7;\\;2)$ — концы не входят, поскольку неравенство строгое: $-6,\\,-5,\\,-4,\\,-3,\\,-2,\\,-1,\\,0,\\,1$ — всего 8 чисел.
Ответ: $8$
` }, { text: `Найдите $55\\%$ от значения выражения $\\dfrac{71^2 - 23^2 + 94 \\cdot 42}{62^2 - 32^2}$.`, sol: `Формула разности квадратов: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$. Правило процентов: $p\\%$ от числа $N$ равно $\\dfrac{p}{100}\\cdot N$.
Шаг 1. Преобразуем числитель. По формуле разности квадратов: $$71^2-23^2 = (71-23)(71+23) = 48\\cdot 94.$$ Значит, в числителе $48\\cdot 94 + 94\\cdot 42$. Так как множитель $94$ общий, выносим его за скобки: $$48\\cdot 94 + 94\\cdot 42 = 94\\cdot(48+42) = 94\\cdot 90 = 8460.$$ Шаг 2. Преобразуем знаменатель по той же формуле: $$62^2-32^2 = (62-32)(62+32) = 30\\cdot 94 = 2820.$$ Шаг 3. Делим числитель на знаменатель. Замечаем, что общий множитель $94$ сокращается: $$\\dfrac{94\\cdot 90}{30\\cdot 94} = \\dfrac{90}{30} = 3.$$ Шаг 4. Находим $55\\%$ от полученного числа. По правилу процентов: $$55\\%\\text{ от }3 = \\dfrac{55}{100}\\cdot 3 = 0{,}55\\cdot 3 = 1{,}65.$$
Ответ: $1{,}65$
` }, { text: `Найдите значение выражения $a + x_0$, где $a$ — положительное число, при котором левая часть уравнения $4x^2 - ax + 25 = 0$ является квадратом разности, а $x_0$ — корень уравнения.`, sol: `Формула квадрата разности: $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.
Шаг 1. Чтобы $4x^2 - ax + 25$ был квадратом разности, надо представить его в виде $(A-B)^2$. Так как $4x^2=(2x)^2$ и $25=5^2$, берём $A=2x$ и $B=5$ (положительное, так как по условию $a\\gt 0$, а средний член имеет знак минус).
Шаг 2. Сравниваем средние члены: $-ax$ и $-2AB = -2\\cdot 2x\\cdot 5 = -20x$. Значит $a=20$.
Шаг 3. Подставляем $a=20$ и решаем уравнение: $$4x^2-20x+25 = (2x-5)^2 = 0 \\;\\implies\\; 2x-5=0 \\;\\implies\\; x_0 = \\dfrac{5}{2}$$ Шаг 4. Находим искомое выражение: $$a+x_0 = 20+\\dfrac{5}{2} = 22{,}5$$
Ответ: $22{,}5$
` }, { text: `В равнобедренной трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ проведена высота $BK$. Найдите площадь трапеции, если $BK = 6$ см, диагональ $AC = 10$ см.`, sol: `В равнобедренной трапеции $AD\\parallel BC$, высота $BK\\perp AD$. A D C B K BK=6 AC=10 Введём координаты: $A=(0,0)$, основание $AD$ по оси $Ox$, высота $h=BK=6$.
Тогда $B=(p,\\ 6)$ и $C=(p+b,\\ 6)$, где $p=\\dfrac{AD-BC}{2}$ — горизонтальное смещение.

Диагональ $AC$ идёт от $A(0,0)$ до $C(p+b,\; 6)$: $$AC^2 = (p+b)^2 + 6^2$$ Заметим, что $p+b = \\dfrac{AD-BC}{2}+BC = \\dfrac{AD+BC}{2} = \\text{средняя линия}$.
Из условия $AC=10$: $$\\text{средняя линия} = \\sqrt{AC^2 - h^2} = \\sqrt{100-36} = \\sqrt{64} = 8$$ $$S = \\text{средняя линия}\\times h = 8\\times 6 = 48\\text{ см}^2$$
Ответ: $48$ см²
` }, { text: `В аквапарке «Лебяжий», который расположен в городе Минске, один из бассейнов до максимальной метки можно заполнять через две трубы, причём через первую — на $5$ часов дольше, чем через вторую. Заполнение бассейна через обе трубы одновременно продолжается не менее $6$ часов. За какое наименьшее количество часов можно заполнить бассейн через первую трубу?`, sol: `Пусть первая труба заполняет за $t_1$ часов, вторая — за $t_2=t_1-5$ часов.
Совместная скорость заполнения: $\\dfrac{1}{t_1}+\\dfrac{1}{t_1-5}$ (бассейнов в час).
Условие «не менее 6 часов» вместе означает скорость $\\leq \\dfrac{1}{6}$: $$\\frac{1}{t_1}+\\frac{1}{t_1-5} \\leq \\frac{1}{6}$$ $$\\frac{2t_1-5}{t_1(t_1-5)} \\leq \\frac{1}{6}$$ $$6(2t_1-5) \\leq t_1(t_1-5)$$ $$12t_1-30 \\leq t_1^2-5t_1$$ $$t_1^2-17t_1+30 \\geq 0$$ $$(t_1-15)(t_1-2) \\geq 0$$ $$t_1 \\leq 2 \\quad\\text{или}\\quad t_1 \\geq 15$$ Так как $t_2=t_1-5>0$, необходимо $t_1>5$. Поэтому $t_1\\geq 15$.
Проверка $t_1=15$: $t_2=10$, вместе: $\\frac{1}{15}+\\frac{1}{10}=\\frac{1}{6}$ (ровно 6 ч) ✓
Ответ: не менее $15$ часов
` }, ] };