`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений НЕ верно:`,
opts: [
["а", "через точку, лежащую на окружности, можно провести только одну касательную к этой окружности;"],
["б", "площадь прямоугольного треугольника равна произведению катетов;"],
["в", "если два угла одного треугольника равны $20^{\\circ}$ и $80^{\\circ}$, другого — $80^{\\circ}$ и $20^{\\circ}$, то треугольники подобны между собой;"],
["г", "$\\cos 30^{\\circ} = \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$?"],
],
sol: `
а) Единственная касательная через точку на окружности — верно
б) «Площадь прямоугольного треугольника равна произведению катетов» — НЕВЕРНО. Правильная формула: $S = \\dfrac{1}{2}\\cdot a\\cdot b$ (половина произведения катетов). Без множителя $\\tfrac{1}{2}$ формула неверна.
`
},
{
text: `Определите, принадлежит ли точка $A(1;\\;{-1})$ графику функции $y = 4x + 3$.
Ответ обоснуйте.`,
sol: `Подставляем координаты точки $A(1;\\,-1)$ в уравнение $y=4x+3$:
$$y = 4\\cdot1+3 = 7$$
Получили $y=7$, но у точки $A$ координата $y=-1$.
Так как $-1\\neq 7$, точка $A(1;\\,-1)$ не принадлежит графику.
Ответ: нет, не принадлежит
`
},
{
text: `Учащемуся в возрасте $12$ лет требуется не менее $8$–$9$ часов сна.
Выполняется ли это требование, если он спит $\\dfrac{1}{3}$ суток? Ответ обоснуйте.`,
sol: `Правило нахождения части от числа: чтобы найти $\\dfrac{m}{n}$ от числа $A$, нужно умножить $A$ на $\\dfrac{m}{n}$. Длительность суток: $24$ часа.
Шаг 1. Найдём, сколько часов составляет $\\dfrac{1}{3}$ суток:
$$\\dfrac{1}{3}\\cdot 24 = \\dfrac{24}{3} = 8\\text{ ч}.$$
Шаг 2. Сравним полученное время с нижней границей нормы. По условию требуется не менее $8$ часов сна, значит нужно, чтобы фактическое время сна было $\\geq 8$ ч.
Так как $8\\geq 8$, требование выполняется: продолжительность сна равна нижней границе нормы.
Ответ: да, требование выполняется — ровно $8$ часов сна
`
},
{
text: `Сравните значение выражения
$\\dfrac{16}{7} \\cdot \\left(-\\dfrac{7}{8}\\right) - \\dfrac{1}{4} \\cdot \\left(-\\dfrac{5}{8}\\right) + \\dfrac{1}{5} \\cdot \\left(-\\dfrac{2}{5}\\right)$
с числом $-2{,}5$.`,
sol: `Порядок действий: сначала выполняем умножения, затем сложение и вычитание. Правило умножения дробей: $\\dfrac{a}{b}\\cdot\\dfrac{c}{d}=\\dfrac{ac}{bd}$. Знак произведения: минус на плюс даёт минус, минус на минус — плюс.
Шаг 1. Вычислим каждое произведение по отдельности.
$$\\dfrac{16}{7}\\cdot\\left(-\\dfrac{7}{8}\\right) = -\\dfrac{16\\cdot 7}{7\\cdot 8} = -\\dfrac{16}{8} = -2;$$
$$\\dfrac{1}{4}\\cdot\\left(-\\dfrac{5}{8}\\right) = -\\dfrac{5}{32}\\;\\;\\text{(минус на плюс — минус)};$$
$$\\dfrac{1}{5}\\cdot\\left(-\\dfrac{2}{5}\\right) = -\\dfrac{2}{25}.$$
Шаг 2. Подставим найденные произведения. По условию второе слагаемое идёт со знаком «минус», поэтому $-\\left(-\\dfrac{5}{32}\\right)=+\\dfrac{5}{32}$:
$$-2 + \\dfrac{5}{32} - \\dfrac{2}{25}.$$
Шаг 3. Приведём дроби $\\dfrac{5}{32}$ и $\\dfrac{2}{25}$ к общему знаменателю $800$ (это наименьшее общее кратное $32$ и $25$):
$$\\dfrac{5}{32}=\\dfrac{125}{800},\\qquad \\dfrac{2}{25}=\\dfrac{64}{800}.$$
$$-2 + \\dfrac{125}{800} - \\dfrac{64}{800} = -2 + \\dfrac{61}{800}.$$
Шаг 4. Запишем $-2$ как $-\\dfrac{1600}{800}$ и сложим:
$$-\\dfrac{1600}{800} + \\dfrac{61}{800} = -\\dfrac{1539}{800}.$$
Шаг 5. Сравним $-\\dfrac{1539}{800}$ и $-2{,}5=-\\dfrac{2000}{800}$. Из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше:
$$|-1539|=1539\\lt 2000=|-2000| \\;\\implies\\; -\\dfrac{1539}{800}\\gt -\\dfrac{2000}{800}.$$
Значит, значение выражения больше, чем $-2{,}5$.
Ответ: выражение $\\gt -2{,}5$
`
},
{
text: `Найдите площадь треугольника со сторонами $9$ см, $12$ см и $15$ см.`,
sol: `Теорема, обратная теореме Пифагора: если для сторон $a$, $b$, $c$ треугольника выполняется $a^2+b^2=c^2$, то треугольник прямоугольный, $c$ — гипотенуза.
Формула площади прямоугольного треугольника: $S = \\dfrac{1}{2}\\cdot a\\cdot b$, где $a$ и $b$ — катеты.
Шаг 1. Проверим, является ли треугольник прямоугольным. Для этого квадрат большей стороны сравниваем с суммой квадратов двух других:
$$9^2+12^2 = 81+144 = 225$$
$$15^2 = 225$$
Поскольку $9^2+12^2=15^2$, треугольник прямоугольный, катеты — $9$ и $12$, гипотенуза — $15$.
Шаг 2. Применяем формулу площади:
$$S = \\dfrac{1}{2}\\cdot 9\\cdot 12 = \\dfrac{108}{2} = 54\\text{ см}^2$$
Ответ: $54$ см²
`
},
{
text: `Найдите частное $a$ и $b$, если
$a = 3^6 \\cdot (5^{-1})^{-2} \\cdot \\dfrac{1}{4^{-2}}$
и $b = 3^8 \\cdot 5^3 \\cdot \\dfrac{1}{4^{-1}}$.`,
sol: `Свойства степеней: $(x^m)^n=x^{mn}$, $\\dfrac{1}{x^{-n}}=x^n$, $\\dfrac{x^m}{x^n}=x^{m-n}$, $x^{-n}=\\dfrac{1}{x^n}$.
Шаг 1. Упростим выражение $a$. По правилу степени степени $(5^{-1})^{-2}=5^{(-1)\\cdot(-2)}=5^2$, а $\\dfrac{1}{4^{-2}}=4^2$:
$$a = 3^6\\cdot 5^2\\cdot 4^2.$$
Шаг 2. Упростим $b$. Аналогично $\\dfrac{1}{4^{-1}}=4^1=4$:
$$b = 3^8\\cdot 5^3\\cdot 4.$$
Шаг 3. Найдём частное. Сгруппируем одинаковые основания и применим правило $\\dfrac{x^m}{x^n}=x^{m-n}$:
$$\\dfrac{a}{b} = \\dfrac{3^6\\cdot 5^2\\cdot 4^2}{3^8\\cdot 5^3\\cdot 4} = 3^{6-8}\\cdot 5^{2-3}\\cdot 4^{2-1} = 3^{-2}\\cdot 5^{-1}\\cdot 4.$$
Шаг 4. Запишем отрицательные степени как дроби:
$$3^{-2}\\cdot 5^{-1}\\cdot 4 = \\dfrac{4}{3^2\\cdot 5} = \\dfrac{4}{9\\cdot 5} = \\dfrac{4}{45}.$$
Ответ: $\\dfrac{a}{b}=\\dfrac{4}{45}$
`
},
{
text: `Бобруйскому заводу тракторных деталей и агрегатов поступил заказ
на изготовление $800$ малогабаритных прицепов для трактора к определённому сроку.
Работая точно по графику, рабочие выполнили $25\\%$ заказа,
а затем стали собирать на $10$ прицепов больше и выполнили заказ за $2$ дня
до назначенного срока. За сколько дней рабочие выполнили заказ?`,
sol: `Пусть плановая выработка $= x$ прицепов в день.
По плану: весь заказ занял бы $\\dfrac{800}{x}$ дней.
Фактически:
$25\\%$ от $800 = 200$ прицепов — сделали за $\\dfrac{200}{x}$ дней по плану
Оставшиеся $600$ — делали с темпом $(x+10)$ за $\\dfrac{600}{x+10}$ дней
Закончили на $2$ дня раньше:
$$\\dfrac{800}{x} - \\left(\\dfrac{200}{x}+\\dfrac{600}{x+10}\\right) = 2$$
$$\\dfrac{600}{x} - \\dfrac{600}{x+10} = 2$$
Умножаем на $x(x+10)$:
$$600(x+10)-600x = 2x(x+10)$$
$$6000 = 2x^2+20x$$
$$x^2+10x-3000=0$$
$$D = 100+12000 = 12100 = 110^2$$
$$x = \\dfrac{-10+110}{2} = 50$$
Плановый срок: $\\dfrac{800}{50}=16$ дней. Фактически: $16-2=14$ дней.
Проверка: $\\dfrac{200}{50}+\\dfrac{600}{60} = 4+10 = 14$ дней ✓
Ответ: $14$ дней
`
},
{
text: `В окружности проведены две взаимно перпендикулярные хорды $AB$ и $CD$,
которые пересекаются в точке $K$, $AK = 2$, $KB = 6$, $DK = 3$.
Найдите площадь круга, ограниченного этой окружностью.`,
sol: `Шаг 1. Находим $CK$ — теорема о пересекающихся хордах. При пересечении хорд произведения отрезков равны: $AK\\cdot KB = CK\\cdot KD$:
$$2\\cdot6 = CK\\cdot3 \\implies CK = 4$$
Длины хорд: $AB = 2+6 = 8$ см, $CD = 4+3 = 7$ см.
Шаг 2. Серединные перпендикуляры проходят через центр. Обозначим $M$ — середина $AB$, $N$ — середина $CD$. По свойству хорд:
$$OM \\perp AB \\quad \\text{и} \\quad ON \\perp CD$$
Шаг 3. Строим прямоугольник $ONKM$. Так как $AB \\perp CD$:
$OM\\perp AB$ и $AB\\perp CD$ ⟹ $OM\\parallel CD$
$ON\\perp CD$ и $AB\\perp CD$ ⟹ $ON\\parallel AB$
Четырёхугольник $ONKM$ — прямоугольник. Его стороны:
$$KM = AM - AK = 4 - 2 = 2$$
Точка $N$ — середина $CD$, $CN=\\dfrac{7}{2}=3{,}5$. Так как $CK=4>3{,}5$, то $N$ лежит между $C$ и $K$:
$$KN = CK - CN = 4 - 3{,}5 = 0{,}5 = \\dfrac{1}{2}$$
Противоположные стороны прямоугольника равны:
$$ON = KM = 2, \\qquad OM = KN = \\dfrac{1}{2}$$
Шаг 4. Находим радиус по теореме Пифагора. В прямоугольном треугольнике $OMA$ (прямой угол у $M$, $OA = R$):
$$R^2 = OM^2 + AM^2 = \\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^2 + 4^2 = \\dfrac{1}{4} + 16 = \\dfrac{65}{4}$$
Шаг 5. Площадь круга.
$$S = \\pi R^2 = \\dfrac{65\\pi}{4}\\text{ см}^2$$