`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений НЕ верно:`,
opts: [
["а", "у любого параллелограмма диагонали равны;"],
["б", "сумма внутренних углов треугольника равна $180^{\\circ}$;"],
["в", "если квадрат некоторой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, то этот треугольник — прямоугольный;"],
["г", "вписанный угол окружности, опирающийся на диаметр, равен $90^{\\circ}$?"],
],
sol: `
а) «У любого параллелограмма диагонали равны» — НЕВЕРНО. Диагонали равны только у прямоугольника. В произвольном параллелограмме они, как правило, неравны.
б) Сумма углов треугольника равна $180°$ — верно
в) Обратная теорема Пифагора — верно
г) Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен $90°$ — верно
Ответ: а)
`
},
{
text: `Приведите подобные слагаемые $5xy - 6xy + 9x + xy - 10x$.`,
sol: `Группируем слагаемые с $xy$ и с $x$:
$$(5xy - 6xy + xy) + (9x - 10x) = 0 + (-x) = -x$$
Ответ: $-x$
`
},
{
text: `Найдите периметр ромба, диагонали которого равны $24$ см и $10$ см.`,
sol: `Свойство диагоналей ромба: диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.
Теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике $c^2 = a^2+b^2$.
Формула периметра ромба: $P = 4a$, где $a$ — сторона.
Шаг 1. Диагонали ромба делятся точкой пересечения пополам и перпендикулярны. Половины диагоналей: $\\dfrac{24}{2}=12$ см и $\\dfrac{10}{2}=5$ см.
Шаг 2. Половины диагоналей — катеты прямоугольного треугольника, в котором сторона ромба $a$ — гипотенуза. По теореме Пифагора:
$$a = \\sqrt{12^2 + 5^2} = \\sqrt{144+25} = \\sqrt{169} = 13\\text{ см}$$
Шаг 3. Применяем формулу периметра:
$$P = 4a = 4\\cdot 13 = 52\\text{ см}$$
`
},
{
text: `В соревнованиях по мини-футболу каждая команда сыграла с каждой по одному разу.
Оказалось, что сыграно всего $30$ игр.
Сколько команд участвовало в соревнованиях?`,
sol: `Метод введения переменной: неизвестное количество команд обозначим за $n$ и составим уравнение по подсчёту числа игр.
Шаг 1. Пусть в соревнованиях участвовало $n$ команд. Каждая из них провела ровно по $n-1$ игр (со всеми остальными командами).
Шаг 2. Подсчитаем сумму игр всех команд: $n\\cdot(n-1)$. По условию задачи это число равно $30$:
$$n(n-1) = 30.$$
Шаг 3. Раскроем и получим квадратное уравнение:
$$n^2 - n - 30 = 0.$$
Шаг 4. Решаем через дискриминант:
$$D = (-1)^2 + 4\\cdot 30 = 1+120 = 121 = 11^2;$$
$$n = \\dfrac{1+11}{2} = 6\\;\\;\\text{(отрицательный корень не подходит, так как $n$ — натуральное число)}.$$
Шаг 5. Проверка: $6\\cdot 5 = 30$ — совпадает с условием.
Ответ: $6$ команд
`
},
{
text: `Найдите $\\text{НОД}(158;\\; 237;\\; 790)$ и определите, какому множеству он принадлежит:
а) составных чисел; б) простых чисел.`,
sol: `Правило нахождения НОД: наибольший общий делитель — это произведение общих простых множителей чисел, взятых в наименьших степенях. Простое число: натуральное число, имеющее ровно два делителя — $1$ и само число.
Шаг 1. Разложим каждое число на простые множители:
$$158 = 2\\cdot 79;$$
$$237 = 3\\cdot 79;$$
$$790 = 2\\cdot 5\\cdot 79.$$
Шаг 2. Найдём общие простые множители. В первом числе нет $3$ и $5$, во втором — нет $2$ и $5$. Значит, общим для всех трёх чисел является только множитель $79$:
$$\\text{НОД}(158;\\,237;\\,790) = 79.$$
Шаг 3. Определим вид числа $79$. Перебором делителей: $79$ не делится на $2,\\,3,\\,5,\\,7$, а $\\sqrt{79}\\lt 9$. Значит, $79$ делится только на $1$ и на $79$ — это простое число.
Ответ: НОД $= 79$, принадлежит множеству простых чисел (ответ б)
`
},
{
text: `В арифметической прогрессии сумма четырёх первых членов равна $80$.
Чему равна сумма шести первых членов этой прогрессии,
если её первый член равен разности прогрессии?`,
sol: `Формула $n$-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Шаг 1. По условию $a_1 = d$. Тогда члены прогрессии:
$a_1=d$, $a_2=2d$, $a_3=3d$, $a_4=4d$, $a_5=5d$, $a_6=6d$.
Шаг 2. Сумма четырёх первых членов:
$$S_4 = d+2d+3d+4d = 10d$$
По условию $S_4 = 80$, значит $10d = 80$, откуда $d = 8$.
Шаг 3. Сумма шести первых членов:
$$S_6 = d+2d+3d+4d+5d+6d = 21d = 21\\cdot 8 = 168$$
Ответ: $S_6=168$
`
},
{
text: `Даны треугольник $ABC$ и окружность, которая проходит через вершины $A$ и $B$
и пересекает стороны $AC$ и $BC$ соответственно в точках $N$ и $M$,
где $AN = 13$ см, $BM = 8$ см, $MC = 4$ см.
Найдите площадь треугольника $ABC$, если $\\cos C = \\dfrac{\\sqrt{11}}{6}$.`,
sol: `
Теорема о двух секущих: если из внешней точки проведены две секущие, то произведения «целая секущая на её внешнюю часть» равны: $CM\\cdot CB = CN\\cdot CA$.
Основное тригонометрическое тождество: $\\sin^2 C + \\cos^2 C = 1$.
Формула площади треугольника через две стороны и угол между ними: $S = \\dfrac{1}{2}ab\\sin C$.
Шаг 1. Точка $C$ — внешняя для окружности. Через неё проходят две секущие: $CMB$ и $CNA$, причём $CB = CM+MB = 4+8 = 12$ см. Обозначим $CN = x$, тогда $CA = x+13$ см.
Шаг 2. По теореме о двух секущих:
$$CM\\cdot CB = CN\\cdot CA$$
$$4\\cdot 12 = x(x+13)$$
$$x^2 + 13x - 48 = 0$$
По теореме Виета или через дискриминант: $D = 169 + 192 = 361 = 19^2$, $x = \\dfrac{-13+19}{2} = 3$ (берём положительный корень). Значит $CN = 3$, $CA = 16$ см.
Шаг 3. Находим $\\sin C$ по основному тригонометрическому тождеству:
$$\\sin C = \\sqrt{1-\\cos^2 C} = \\sqrt{1-\\dfrac{11}{36}} = \\sqrt{\\dfrac{25}{36}} = \\dfrac{5}{6}$$
Шаг 4. Площадь треугольника $ABC$ по формуле через две стороны и угол $C$ (это угол между сторонами $CA$ и $CB$):
$$S = \\dfrac{1}{2}\\cdot CA\\cdot CB\\cdot\\sin C = \\dfrac{1}{2}\\cdot 16\\cdot 12\\cdot\\dfrac{5}{6} = 80\\text{ см}^2$$