`
},
{
text: `Запись выражения $\\dfrac{5a}{b^4} \\cdot \\dfrac{b}{a}$ в виде дроби имеет вид:`,
opts: [
["а", "$\\dfrac{5}{b^4}$"], ["б", "$\\dfrac{5a^2}{b^5}$"], ["в", "$\\dfrac{5}{b^3}$"],
["г", "$\\dfrac{b^5}{5a^2}$"], ["д", "$\\dfrac{b}{a}$"],
],
sol: `Сокращаем $a$ и $b$: $\\dfrac{5\\cancel{a}}{b^4}\\cdot\\dfrac{\\cancel{b}}{\\cancel{a}}=\\dfrac{5}{b^3}$.
Ответ: в) $\\dfrac{5}{b^3}$
`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений НЕ верно:`,
opts: [
["а", "окружность, описанная около треугольника, проходит через все его вершины;"],
["б", "косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к гипотенузе;"],
["в", "средняя линия трапеции равна полусумме её оснований;"],
["г", "радиус окружности, вписанной в треугольник, находится из формулы $S = pr$?"],
],
sol: `а) Описанная окружность проходит через все вершины — верно. б) «Косинус = противолежащий катет / гипотенуза» — НЕВЕРНО: это синус. Косинус = прилежащий / гипотенуза. в) Средняя линия трапеции = полусумма оснований — верно. г) $S=pr$ — верно.
Ответ: б)
`
},
{
text: `Расстояние между городами на карте $9$ см.
Определите это расстояние на местности, если масштаб карты $1 : 1\\,000\\,000$.`,
sol: `Масштаб $1:1\\,000\\,000$: $9$ см $\\times 1\\,000\\,000 = 9\\,000\\,000$ см $= 90$ км.
Ответ: $90$ км
`
},
{
text: `На подкормку рассады овощей в теплице израсходовали $12$ кг удобрений,
что составило $\\dfrac{1}{6}$ всей массы удобрений, купленных фермером.
Сколько всего килограммов удобрений было куплено?`,
sol: `Правило нахождения числа по его части: чтобы найти всё число, зная его часть $\\dfrac{m}{n}$, нужно эту часть разделить на $\\dfrac{m}{n}$ (или умножить на обратную дробь $\\dfrac{n}{m}$).
Шаг 1. Пусть всего было куплено $x$ кг удобрений. По условию израсходованные $12$ кг составляют $\\dfrac{1}{6}$ от $x$:
$$\\dfrac{1}{6}\\cdot x = 12.$$
Шаг 2. Умножим обе части уравнения на $6$, чтобы выразить $x$:
$$x = 12\\cdot 6 = 72\\text{ кг}.$$
Проверка: $\\dfrac{1}{6}\\cdot 72 = 12$ — совпадает с условием.
Ответ: $72$ кг
`
},
{
text: `Найдите наибольшее целое решение двойного неравенства $-9 \\leq 3x - 6 < 6$.`,
sol: `Метод решения двойного неравенства: выполняем одинаковые действия со всеми тремя частями. При умножении или делении на отрицательное число знаки неравенств меняются; на положительное — сохраняются.
Шаг 1. Прибавим $6$ ко всем трём частям, чтобы избавиться от $-6$ в средней части:
$$-9+6 \\leq 3x-6+6 \\lt 6+6$$
$$-3 \\leq 3x \\lt 12$$
Шаг 2. Разделим все части на $3$ (положительное число, знаки не меняются):
$$-1 \\leq x \\lt 4$$
Шаг 3. Правое неравенство строгое, поэтому $x=4$ не подходит. Наибольшее целое, строго меньшее $4$, — это $3$.
Ответ: $3$
`
},
{
text: `$ABCD$ — прямоугольник с периметром $42$ см, у которого $BD = 15$ см.
Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник $ADC$.`,
sol: `Формула периметра прямоугольника: $P = 2(a+b)$.
Теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике $c^2 = a^2+b^2$. В прямоугольнике диагональ образует с двумя сторонами прямоугольный треугольник.
Формула квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.
Формула радиуса вписанной окружности прямоугольного треугольника: $r = \\dfrac{a+b-c}{2}$, где $a$, $b$ — катеты, $c$ — гипотенуза.
Шаг 1. Обозначим стороны прямоугольника $AB = a$, $AD = b$. Из периметра:
$$2(a+b) = 42 \\;\\implies\\; a+b = 21$$
Шаг 2. Диагональ $BD$ — гипотенуза прямоугольного $\\triangle ABD$ (прямой угол при $A$). По теореме Пифагора:
$$a^2+b^2 = BD^2 = 15^2 = 225$$
Шаг 3. Найдём $ab$ через квадрат суммы:
$$(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 \\;\\implies\\; 21^2 = 225+2ab$$
$$441 = 225+2ab \\;\\implies\\; 2ab = 216 \\;\\implies\\; ab = 108$$
Шаг 4. Стороны $a$ и $b$ — корни уравнения $t^2-21t+108=0$:
$$D = 21^2-4\\cdot 108 = 441-432 = 9, \\quad \\sqrt{D} = 3$$
$$t_{1,2} = \\dfrac{21\\pm 3}{2} = 12\\text{ или } 9$$
Значит $AB=12$ см, $AD=9$ см.
Шаг 5. Треугольник $ADC$ — прямоугольный с прямым углом при $D$ (стороны прямоугольника перпендикулярны). Катеты: $AD=9$, $DC=AB=12$. Гипотенуза $AC$ равна $BD=15$ (диагонали прямоугольника равны).
Шаг 6. Применяем формулу радиуса вписанной окружности прямоугольного треугольника:
$$r = \\dfrac{AD+DC-AC}{2} = \\dfrac{9+12-15}{2} = \\dfrac{6}{2} = 3\\text{ см}$$
Ответ: $r=3$ см
`
},
{
text: `При каких действительных значениях $a$ график функции $y = x^2 - 6x + 3a$
имеет с осью абсцисс единственную общую точку?`,
sol: `Условие единственной общей точки параболы с осью $Ox$: уравнение $y=0$ должно иметь ровно один корень. Для квадратного уравнения $Ax^2+Bx+C=0$ это значит, что дискриминант $D=B^2-4AC$ равен нулю.
Шаг 1. Точки пересечения с осью $Ox$ — это корни уравнения $y=0$:
$$x^2 - 6x + 3a = 0.$$
Шаг 2. Чтобы было ровно одно решение, нужно $D=0$. Вычислим дискриминант ($A=1$, $B=-6$, $C=3a$):
$$D = (-6)^2 - 4\\cdot 1\\cdot 3a = 36 - 12a.$$
Шаг 3. Приравниваем к нулю и решаем:
$$36 - 12a = 0 \\;\\implies\\; 12a = 36 \\;\\implies\\; a = 3.$$
Ответ: $a = 3$
`
},
{
text: `Какое наименьшее число членов прогрессии $31{,}5;\\; 36{,}5;\\; 41{,}5;\\; \\ldots$
нужно взять, чтобы их сумма была больше $84$?`,
sol: `Формула суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \\dfrac{2a_1+(n-1)d}{2}\\cdot n$.
Шаг 1. Из условия $a_1 = 31{,}5$. Разность прогрессии $d = 36{,}5-31{,}5 = 5$.
Шаг 2. Запишем формулу суммы:
$$S_n = \\dfrac{2\\cdot 31{,}5 + (n-1)\\cdot 5}{2}\\cdot n = \\dfrac{63+5n-5}{2}\\cdot n = \\dfrac{n(58+5n)}{2}$$
Шаг 3. Условие $S_n \\gt 84$:
$$\\dfrac{n(58+5n)}{2} \\gt 84$$
$$5n^2+58n - 168 \\gt 0$$
Шаг 4. Решаем уравнение $5n^2+58n-168=0$:
$$D = 58^2+4\\cdot 5\\cdot 168 = 3364+3360 = 6724 = 82^2$$
$$n = \\dfrac{-58+82}{10} = \\dfrac{24}{10} = 2{,}4$$
Неравенство выполняется при $n \\gt 2{,}4$ (так как коэффициент при $n^2$ положителен).
Шаг 5. Наименьшее натуральное $n$, удовлетворяющее $n\\gt 2{,}4$, — это $n=3$.
Проверка: $S_3 = 31{,}5+36{,}5+41{,}5 = 109{,}5 \\gt 84$ ✓.
Ответ: $3$
`
},
{
text: `Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, $AB = CD$,
диагональ $AC$ перпендикулярна стороне $CD$, угол $BAC$ равен углу $DAC$.
Найдите площадь трапеции, если площадь треугольника $ADC$ равна $12$ см².`,
sol: `
Свойство равнобедренной трапеции: в равнобедренной трапеции углы при основании равны.
Сумма углов при боковой стороне трапеции: равна $180°$, так как основания параллельны.
Свойство прямоугольного треугольника $30°$-$60°$-$90°$: катет, лежащий против угла $30°$, равен половине гипотенузы.
Шаг 1. Обозначим $\\angle DAC = \\angle BAC = \\alpha$. Тогда $\\angle DAB = 2\\alpha$.
Шаг 2. В прямоугольном $\\triangle ACD$ ($\\angle ACD = 90°$ по условию):
$$\\angle ADC = 90°-\\alpha$$
Шаг 3. Поскольку $ABCD$ — равнобедренная трапеция ($AB=CD$), углы при большем основании равны: $\\angle DAB = \\angle ADC$, то есть $2\\alpha = 90°-\\alpha$. Отсюда $\\alpha=30°$, значит $\\angle DAC=30°$, $\\angle ADC=60°$.
Шаг 4. В $\\triangle ACD$ обозначим $CD=a$. По свойству прямоугольного треугольника $30°$-$60°$-$90°$ катет $CD$ напротив $30°$ равен половине гипотенузы $AD$, поэтому $AD=2a$. Тогда $AC=a\\sqrt{3}$ (по теореме Пифагора или свойству).
Шаг 5. Найдём углы $\\triangle ABC$. Так как $AD\\|BC$, имеем $\\angle DAB+\\angle ABC=180°$, поэтому $\\angle ABC=180°-60°=120°$. Из суммы углов $\\triangle ABC$: $\\angle BCA = 180°-30°-120°=30°$. Поскольку $\\angle BAC=\\angle BCA=30°$, треугольник $ABC$ равнобедренный: $AB=BC=a$.
Шаг 6. Площадь треугольника $ABC$ (через две стороны и угол между ними):
$$S_{ABC} = \\dfrac{1}{2}\\cdot AB\\cdot BC\\cdot\\sin\\angle ABC = \\dfrac{1}{2}\\cdot a\\cdot a\\cdot\\sin 120° = \\dfrac{a^2\\sqrt{3}}{4}$$
А площадь $\\triangle ACD$ (прямоугольный, катеты $a$ и $a\\sqrt{3}$):
$$S_{ACD} = \\dfrac{1}{2}\\cdot a\\cdot a\\sqrt{3} = \\dfrac{a^2\\sqrt{3}}{2}$$
Видно, что $S_{ABC} = \\dfrac{1}{2}\\cdot S_{ACD}$.
Шаг 7. По условию $S_{ACD}=12$ см², значит:
$$S_{ABC} = \\dfrac{1}{2}\\cdot 12 = 6\\text{ см}^2$$
Шаг 8. Площадь всей трапеции:
$$S_{ABCD} = S_{ACD} + S_{ABC} = 12 + 6 = 18\\text{ см}^2$$