`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений НЕ верно:`,
opts: [
["а", "если четырёхугольник $ABCD$ описан около окружности, то $BC + AD = AB + CD$;"],
["б", "котангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего катета к противолежащему;"],
["в", "вписанный угол равен половине соответствующего центрального угла;"],
["г", "любая биссектриса равнобедренного треугольника является его медианой?"],
],
sol: `
а) Для описанного четырёхугольника: $BC+AD=AB+CD$ — верно (свойство описанного четырёхугольника)
в) Вписанный угол равен половине соответствующего центрального угла — верно
г) «Любая биссектриса равнобедренного треугольника является его медианой» — НЕВЕРНО. Биссектриса из вершинного угла к основанию является медианой, а биссектрисы боковых углов медианами не являются.
Ответ: г)
`
},
{
text: `Решите неравенство $\\dfrac{x}{2} + 4 < 0$ и укажите наибольшее целое решение этого неравенства.`,
sol: `$$\\dfrac{x}{2} \\lt -4 \\implies x \\lt -8$$
Решение: $x\\in(-\\infty;\\,-8)$. Наибольшее целое число, строго меньшее $-8$ — это $\\mathbf{-9}$.
Ответ: $x \\lt -8$; наибольшее целое решение $= -9$
`
},
{
text: `В угол $B$ вписана окружность с центром в точке $O$, которая касается сторон угла
в точках $A$ и $C$. Найдите угол $ABO$, если $\\angle AOC = 118^{\\circ}$.`,
sol: `Свойство касательной к окружности: радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.
Значит, $\\angle OAB = 90°$ и $\\angle OCB = 90°$.
Шаг 1. Найдём угол $B$ из четырёхугольника $ABOC$.
По теореме о сумме углов четырёхугольника: сумма углов любого четырёхугольника равна $360°$.
$$\\angle B + \\angle OAB + \\angle AOC + \\angle OCB = 360°$$
Подставляем известные углы:
$$\\angle B + 90° + 118° + 90° = 360°$$
$$\\angle B = 360° - 298° = 62°$$
Шаг 2. Применим свойство биссектрисы: центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла (так как $OA = OC$ — оба радиуса).
Значит, $BO$ — биссектриса угла $B$, и она делит его пополам:
$$\\angle ABO = \\dfrac{\\angle B}{2} = \\dfrac{62°}{2} = 31°$$
Ответ: $\\angle ABO = 31°$
`
},
{
text: `Путешественники залили в бензобак автомобиля Geely Atlas $58$ л бензина.
В каждый день пути расходовалось $p$ литров бензина.
На сколько дней путешественникам хватит бензина?
Составьте формулу зависимости количества дней $k$ от количества литров бензина,
расходуемого каждый день.`,
sol: `Метод составления уравнения по условию задачи. Шаг 1. Введём обозначение. Пусть $k$ — искомое число дней, на которые хватит бензина.
Шаг 2. По условию за один день расходуется $p$ литров. Значит, за $k$ дней израсходуется $p\\cdot k$ литров.
Шаг 3. Так как в баке всего $58$ л и весь бензин будет израсходован за $k$ дней, составим уравнение:
$$p\\cdot k = 58$$
Шаг 4. Выразим $k$. Разделим обе части на $p$ (это можно сделать, так как $p\\ne 0$):
$$k = \\dfrac{58}{p}$$
Ответ: бензина хватит на $\\dfrac{58}{p}$ дней; формула: $k = \\dfrac{58}{p}$
`
},
{
text: `Решите уравнение $\\dfrac{4x+2}{3} = \\dfrac{1}{3}$.`,
sol: `Свойство пропорции (или равенства дробей с одинаковыми знаменателями): если $\\dfrac{a}{c} = \\dfrac{b}{c}$, то $a = b$.
Шаг 1. Знаменатели в обеих частях одинаковые ($=3$), поэтому числители равны:
$$4x + 2 = 1$$
Шаг 2. Переносим $2$ в правую часть (с противоположным знаком):
$$4x = 1 - 2 = -1$$
Шаг 3. Делим обе части на $4$:
$$x = -\\dfrac{1}{4}$$
Проверка: $\\dfrac{4\\cdot\\left(-\\dfrac{1}{4}\\right)+2}{3} = \\dfrac{-1+2}{3} = \\dfrac{1}{3}$ ✓
Ответ: $x = -\\dfrac{1}{4}$
`
},
{
text: `Из Жодино в Радошковичи, расстояние между которыми равно $60$ км, выехал мотоциклист.
Одновременно с ним по тому же маршруту из Радошковичей в Жодино выехал велосипедист,
скорость которого в $5$ раз меньше скорости мотоциклиста.
Сколько километров осталось преодолеть мотоциклисту до Радошковичей
после встречи с велосипедистом?`,
sol: `Метод введения переменной и составления уравнения движения навстречу. При движении навстречу скорости участников складываются: $v_{\\text{сбл}} = v_1 + v_2$.
Шаг 1. Пусть скорость мотоциклиста равна $v$ км/ч. По условию скорость велосипедиста в $5$ раз меньше, значит, она равна $\\dfrac{v}{5}$ км/ч.
Шаг 2. Так как они движутся навстречу друг другу, скорость сближения равна сумме скоростей:
$$v_{\\text{сбл}} = v + \\dfrac{v}{5} = \\dfrac{6v}{5}\\text{ км/ч}$$
Шаг 3. Пусть $t$ — время от старта до встречи. За это время участники вместе преодолели всё расстояние $60$ км:
$$\\dfrac{6v}{5}\\cdot t = 60 \\implies v\\cdot t = 50$$
Значит, путь $v\\cdot t$, проделанный мотоциклистом до встречи, равен $50$ км.
Шаг 4. Так как мотоциклист ехал из Жодино, ему осталось:
$$60 - 50 = 10\\text{ км}$$
Ответ: $10$ км
`
},
{
text: `Основания трапеции равны $5$ см и $15$ см, боковые стороны — $6$ см и $8$ см.
Найдите площадь трапеции.`,
sol: `Формула площади трапеции: $S = \\dfrac{a+b}{2}\\cdot h$, где $a$, $b$ — основания, $h$ — высота.
Чтобы найти высоту, опустим из вершин $B$ и $C$ верхнего основания перпендикуляры $BH$ и $CK$ на нижнее основание.
Шаг 1. Так как $BH\\parallel CK$ и оба перпендикулярны $AD$, четырёхугольник $BCKH$ — прямоугольник. Значит, $HK = BC = 5$ см.
Тогда сумма «выступов» по краям:
$$AH + KD = AD - HK = 15 - 5 = 10\\text{ см}$$
Шаг 2. По теореме Пифагора ($c^2 = a^2 + b^2$) в прямоугольных треугольниках $ABH$ и $DCK$:
$$AH^2 + h^2 = AB^2 = 6^2 = 36$$
$$KD^2 + h^2 = CD^2 = 8^2 = 64$$
Шаг 3. Вычтем первое равенство из второго:
$$KD^2 - AH^2 = 64 - 36 = 28$$
По формуле разности квадратов:
$$(KD+AH)(KD-AH) = 28$$
Поскольку $KD + AH = 10$:
$$10\\cdot(KD - AH) = 28 \\implies KD - AH = 2{,}8$$
Шаг 4. Из системы $\\{AH + KD = 10;\\; KD - AH = 2{,}8\\}$ получаем: $AH = 3{,}6$, $KD = 6{,}4$.
Шаг 5. Находим высоту $h$ по теореме Пифагора:
$$h^2 = 36 - 3{,}6^2 = 36 - 12{,}96 = 23{,}04 \\implies h = 4{,}8\\text{ см}$$
Шаг 6. Подставляем в формулу площади:
$$S = \\dfrac{5+15}{2}\\cdot 4{,}8 = 10\\cdot 4{,}8 = 48\\text{ см}^2$$