`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений НЕ верно:`,
opts: [
["а", "если все стороны квадрата уменьшить в $2$ раза, то его площадь уменьшится в $2$ раза;"],
["б", "в треугольнике против большего угла лежит большая сторона;"],
["в", "сторона квадрата с диагональю $d$ равна $\\dfrac{d}{\\sqrt{2}}$;"],
["г", "внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним?"],
],
sol: `
а) Стороны $\\div2$ ⟹ площадь $\\div 2^2 = 4$, а не в $2$ — НЕВЕРНО
б) В треугольнике против большего угла лежит большая сторона — верно
`
},
{
text: `Найдите больший корень уравнения $x^4 - 8x^2 - 9 = 0$.`,
sol: `Метод решения биквадратного уравнения: уравнение вида $ax^4 + bx^2 + c = 0$ решается заменой $t = x^2$, где $t \\geq 0$ (квадрат числа неотрицателен).
Шаг 1. Делаем замену $t = x^2$, $t \\geq 0$:
$$t^2 - 8t - 9 = 0$$
Шаг 2. Решаем по теореме Виета (ищем числа с суммой $8$ и произведением $-9$): это $9$ и $-1$.
$$(t - 9)(t + 1) = 0 \\implies t_1 = 9,\\; t_2 = -1$$
Шаг 3. Корень $t_2 = -1$ не подходит, так как $t = x^2 \\geq 0$. Остаётся $t = 9$.
Шаг 4. Возвращаемся к $x$:
$$x^2 = 9 \\implies x = \\pm\\sqrt{9} = \\pm 3$$
Шаг 5. Больший из корней $\\{-3,\\,3\\}$ — это $x = 3$.
Ответ: больший корень $x = 3$
`
},
{
text: `В треугольнике $ABC$ $BC = 10$ см, $CM$ — биссектриса, $AM = MB = 8$ см.
Найдите синус угла $B$.`,
sol: `Свойство: если в треугольнике биссектриса является одновременно медианой, то треугольник — равнобедренный (с боковыми сторонами, выходящими из этой вершины).
Шаг 1. Условие $AM = MB = 8$ см означает, что $M$ — середина $AB$, то есть $CM$ является медианой из вершины $C$. По условию $CM$ — также биссектриса.
По указанному свойству $\\triangle ABC$ равнобедренный с $AC = BC$, причём $BC = 10$ см дано, значит $AC = 10$ см.
$AB = AM + MB = 8 + 8 = 16$ см.
Шаг 2. Применим теорему косинусов: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\\cos\\gamma$, где $\\gamma$ — угол между сторонами $a$ и $b$, $c$ — сторона напротив этого угла.
В $\\triangle ABC$: сторона $AC$ лежит напротив угла $B$, $BC$ и $AB$ — стороны, выходящие из вершины $B$. Поэтому:
$$AC^2 = BC^2 + AB^2 - 2\\cdot BC\\cdot AB\\cdot\\cos B$$
$$10^2 = 10^2 + 16^2 - 2\\cdot 10\\cdot 16\\cdot\\cos B$$
$$100 = 100 + 256 - 320\\cos B$$
$$320\\cos B = 256 \\implies \\cos B = \\dfrac{256}{320} = \\dfrac{4}{5}$$
Шаг 3. Применим основное тригонометрическое тождество: $\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1$.
Угол $B$ — острый (так как $\\cos B \\gt 0$), значит $\\sin B \\gt 0$:
$$\\sin B = \\sqrt{1 - \\cos^2 B} = \\sqrt{1 - \\dfrac{16}{25}} = \\sqrt{\\dfrac{9}{25}} = \\dfrac{3}{5}$$
Ответ: $\\sin B = \\dfrac{3}{5}$
`
},
{
text: `Найдите число целых решений неравенства
$\\dfrac{(x+3)(-x^2+3x+4)}{x+2} \\geq 0$.`,
sol: `Метод интервалов применяется для решения рациональных неравенств: находим корни числителя и знаменателя, отмечаем их на числовой прямой, определяем знак выражения на каждом интервале.
Шаг 1. Разложим квадратный трёхчлен в скобках. По теореме Виета ($x_1 + x_2 = 3$, $x_1 x_2 = -4$): корни $4$ и $-1$.
$$-x^2 + 3x + 4 = -(x^2 - 3x - 4) = -(x - 4)(x + 1)$$
Шаг 2. Подставляем в неравенство:
$$\\dfrac{(x + 3)\\cdot[-(x - 4)(x + 1)]}{x + 2} \\geq 0$$
Умножим обе части на $-1$ (знак неравенства меняется!):
$$\\dfrac{(x + 3)(x - 4)(x + 1)}{x + 2} \\leq 0$$
Шаг 3. Находим корни числителя ($-3,\\,-1,\\,4$) и точку, в которой выражение не определено: $x = -2$ (знаменатель равен нулю).
Шаг 4. Расставляем точки на числовой прямой и определяем знаки методом интервалов. Получаем:
$$x \\in [-3;\\,-2)\\cup[-1;\\,4]$$
(в точке $x = -2$ знаменатель обнуляется, поэтому она исключается; остальные корни числителя включаются, так как неравенство нестрогое).
Шаг 5. Считаем целые числа в найденных интервалах:
— Из $[-3;\\,-2)$: только $-3$ (1 число).
— Из $[-1;\\,4]$: $-1, 0, 1, 2, 3, 4$ (6 чисел).
Всего: $1 + 6 = 7$.
Ответ: $7$ целых решений
`
},
{
text: `График линейной функции проходит через точки $A(-2;\\; 1)$ и $B(-1;\\; -3)$.
Запишите формулу, задающую эту функцию.
Найдите, при каких значениях переменной функция принимает неотрицательные значения.`,
sol: `Линейная функция: график $y = kx + b$ — прямая; коэффициенты $k$ и $b$ находятся подстановкой координат двух точек графика.
Шаг 1. Найдём угловой коэффициент по формуле $k = \\dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$:
$$k = \\dfrac{-3 - 1}{-1 - (-2)} = \\dfrac{-4}{1} = -4$$
Шаг 2. Найдём $b$, подставив точку $A(-2;\\,1)$ в уравнение $y = kx + b$:
$$1 = -4\\cdot(-2) + b \\implies 1 = 8 + b \\implies b = -7$$
Значит, $f(x) = -4x - 7$.
Шаг 3. Проверка по второй точке $B(-1;\\,-3)$:
$$f(-1) = -4\\cdot(-1) - 7 = 4 - 7 = -3 \\quad \\checkmark$$
Шаг 4. «Функция принимает неотрицательные значения» означает $f(x) \\geq 0$. Решаем неравенство:
$$-4x - 7 \\geq 0 \\implies -4x \\geq 7$$
Делим обе части на $-4$ (отрицательное число — знак неравенства меняется):
$$x \\leq -\\dfrac{7}{4}$$
Ответ: $f(x)=-4x-7$; функция неотрицательна при $x\\leq-\\dfrac{7}{4}$
`
},
{
text: `Найдите площадь треугольника, если две его стороны равны $5$ см и $12$ см,
а медиана, проведённая к третьей стороне, равна $6{,}5$ см.`,
sol: `Шаг 1. Строим параллелограмм. Пусть $M$ — середина третьей стороны $AB$, а $CM=6{,}5$ — медиана. Отметим точку $D$ так, чтобы $M$ стала серединой отрезка $CD$ ($MD=CM=6{,}5$, $CD=13$).
Тогда $ACBD$ — параллелограмм, диагонали $AB$ и $CD$ делятся точкой $M$ пополам.
Шаг 2. Стороны параллелограмма. $AC=BD=5$, $BC=AD=12$, диагональ $CD=2\\cdot6{,}5=13$.
Шаг 3. Треугольник $ACD$ — прямоугольный. Стороны $AC=5$, $AD=12$, $CD=13$:
$$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2 \\checkmark$$
По обратной теореме Пифагора: $\\angle A = 90°$.
$$S_{\\triangle ACD} = \\dfrac{1}{2}\\cdot AC\\cdot AD = \\dfrac{1}{2}\\cdot5\\cdot12 = 30\\text{ см}^2$$
Шаг 4. Площадь исходного треугольника. Диагональ $CD$ делит параллелограмм на два равных треугольника:
$$S_{\\triangle ABC} = S_{\\triangle ACD} = 30\\text{ см}^2$$
Ответ: $30$ см²
`
},
{
text: `Из двух домов, расстояние между которыми $280$ м, вышли и одновременно пошли
в одном направлении в школу мальчик и девочка. Девочка идёт впереди мальчика.
Скорость девочки $70$ м/мин, скорость мальчика $5{,}4$ км/ч.
Догонит ли мальчик девочку до прихода в школу, если путь девочки занимает $6$ мин?
Ответ обоснуйте.`,
sol: `Переводим скорость мальчика:
$$5{,}4\\text{ км/ч} = \\dfrac{5400\\text{ м}}{60\\text{ мин}} = 90\\text{ м/мин}$$
Расстояние до школы (от девочки): $70\\times6=420$ м. Мальчик стартует на $280$ м позади, значит ему до школы $420+280=700$ м.
Скорость сближения: мальчик быстрее на $90-70=20$ м/мин. Начальный разрыв $=280$ м.
Время до нагона:
$$t = \\dfrac{280}{20} = 14\\text{ мин}$$
Но девочка добирается до школы за $6$ мин, а мальчику нужно $14>6$ мин, чтобы её нагнать.
Проверим по позициям (отсчёт от старта девочки):
Момент
Девочка
Мальчик
$t=0$
$0$ м
$-280$ м
$t=6$ мин
$420$ м (школа) ✓
$-280+540=260$ м
В момент, когда девочка прибыла в школу ($420$ м), мальчик находится на расстоянии $420-260=160$ м позади.
Ответ: нет, мальчик не догонит — время нагона $14$ мин, а путь девочки $6$ мин