`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений НЕ верно:`,
opts: [
["а", "диагонали ромба лежат на биссектрисах его углов;"],
["б", "диаметр окружности равен двум радиусам;"],
["в", "если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники равны;"],
["г", "прямоугольная трапеция имеет два прямых угла?"],
],
sol: `
а) Диагонали ромба лежат на биссектрисах его углов — верно
б) Диаметр равен двум радиусам — верно
в) «Два равных угла ⟹ треугольники равны» — НЕВЕРНО. Равенство двух углов означает лишь подобие (ААА), но не равенство: стороны могут различаться.
г) Прямоугольная трапеция имеет два прямых угла — верно
Ответ: в)
`
},
{
text: `Решите уравнение $2x^2 + x = 0$.
В ответ запишите среднее арифметическое корней уравнения.`,
sol: `$$x(2x+1)=0 \\implies x_1=0,\\quad x_2=-\\dfrac{1}{2}$$
Среднее арифметическое:
$$\\dfrac{x_1+x_2}{2}=\\dfrac{0+\\left(-\\dfrac{1}{2}\\right)}{2}=-\\dfrac{1}{4}$$
Ответ: $-\\dfrac{1}{4}$
`
},
{
text: `$ABCD$ — прямоугольник, $O$ — точка пересечения его диагоналей.
Угол $DBC$ равен $32^{\\circ}$. Найдите угол $AOD$.`,
sol: `
Свойства прямоугольника: 1) Все углы прямоугольника прямые ($90°$).
2) Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам.
Шаг 1. В прямоугольнике $\\angle ABC = 90°$. Точка $O$ лежит внутри угла $ABC$, поэтому:
$$\\angle ABD = \\angle ABC - \\angle DBC = 90° - 32° = 58°$$
Шаг 2. По свойству диагоналей: $OA = OB$ (половинки равных диагоналей).
Значит, треугольник $AOB$ — равнобедренный с основанием $AB$. По свойству равнобедренного треугольника углы при основании равны:
$$\\angle OAB = \\angle OBA = \\angle ABD = 58°$$
Шаг 3. По теореме о сумме углов треугольника (сумма $= 180°$):
$$\\angle AOB = 180° - 58° - 58° = 64°$$
Шаг 4. Точки $A$, $O$, $C$ лежат на одной прямой (диагональ $AC$), поэтому углы $\\angle AOB$ и $\\angle BOC$ — смежные (как и $\\angle AOD$ и $\\angle DOC$). Углы $\\angle AOD$ и $\\angle AOB$ смежные:
$$\\angle AOD = 180° - \\angle AOB = 180° - 64° = 116°$$
`
},
{
text: `При каких натуральных значениях $m$ верно неравенство
$\\dfrac{m+1}{2} - \\dfrac{m-2}{3} > \\dfrac{m+3}{4}$?`,
sol: `Свойство неравенства: при умножении обеих частей на положительное число знак неравенства сохраняется.
Шаг 1. Наименьший общий знаменатель дробей $2,\\,3,\\,4$ равен $12$. Умножаем обе части на $12$:
$$12\\cdot\\dfrac{m+1}{2} - 12\\cdot\\dfrac{m-2}{3} \\gt 12\\cdot\\dfrac{m+3}{4}$$
$$6(m + 1) - 4(m - 2) \\gt 3(m + 3)$$
Шаг 2. Раскрываем скобки:
$$6m + 6 - 4m + 8 \\gt 3m + 9$$
$$2m + 14 \\gt 3m + 9$$
Шаг 3. Переносим $3m$ влево, числа — вправо:
$$2m - 3m \\gt 9 - 14 \\implies -m \\gt -5$$
Шаг 4. Умножаем на $-1$. Важно: при умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$$m \\lt 5$$
Шаг 5. Натуральные числа, меньшие $5$:
$$m \\in \\{1,\\,2,\\,3,\\,4\\}$$
Ответ: $m\\in\\{1,\\;2,\\;3,\\;4\\}$
`
},
{
text: `Найдите значение выражения $10(x - y)$, где $(x;\\; y)$ — решение системы уравнений
$$\\begin{cases} x^2 + 4xy + 4y^2 = -x - 6y, \\\\[4pt] x + 2y = 1. \\end{cases}$$`,
sol: `Формула квадрата суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Шаг 1. Замечаем структуру левой части первого уравнения:
$$x^2 + 4xy + 4y^2 = x^2 + 2\\cdot x\\cdot 2y + (2y)^2 = (x + 2y)^2$$
Шаг 2. Из второго уравнения системы: $x + 2y = 1$. Подставляем в первое:
$$(x + 2y)^2 = -x - 6y$$
$$1^2 = -(x + 6y) \\implies x + 6y = -1$$
Шаг 3. Получили новую систему: $\\{x + 2y = 1;\\; x + 6y = -1\\}$.
Вычтем первое уравнение из второго (метод вычитания исключает $x$):
$$(x + 6y) - (x + 2y) = -1 - 1 \\implies 4y = -2 \\implies y = -\\dfrac{1}{2}$$
Шаг 4. Подставляем $y = -\\dfrac{1}{2}$ в $x + 2y = 1$:
$$x + 2\\cdot\\left(-\\dfrac{1}{2}\\right) = 1 \\implies x - 1 = 1 \\implies x = 2$$
Шаг 5. Вычисляем искомое выражение:
$$10(x - y) = 10\\cdot\\left(2 - \\left(-\\dfrac{1}{2}\\right)\\right) = 10\\cdot\\dfrac{5}{2} = 25$$
Ответ: $25$
`
},
{
text: `При открытии торгов в среду акции компании подешевели на некоторое количество процентов,
а в четверг — подорожали на то же количество процентов.
В результате они стали стоить на $9\\%$ дешевле, чем при открытии торгов в среду.
На сколько процентов подорожали акции в четверг?`,
sol: `Метод процентных коэффициентов: уменьшение на $p\\%$ соответствует умножению на $\\left(1 - \\dfrac{p}{100}\\right)$, увеличение на $p\\%$ — на $\\left(1 + \\dfrac{p}{100}\\right)$. Также используется формула разности квадратов: $(1-a)(1+a) = 1 - a^2$.
Шаг 1. Пусть $P$ — цена при открытии торгов в среду, а $p$ — искомый процент.
Шаг 2. В среду цена снизилась на $p\\%$, значит к концу среды:
$$P_1 = P\\cdot\\left(1 - \\dfrac{p}{100}\\right)$$
Шаг 3. В четверг цена выросла на $p\\%$ от $P_1$, значит к концу четверга:
$$P_2 = P_1\\cdot\\left(1 + \\dfrac{p}{100}\\right) = P\\cdot\\left(1 - \\dfrac{p}{100}\\right)\\left(1 + \\dfrac{p}{100}\\right)$$
По формуле разности квадратов:
$$P_2 = P\\cdot\\left(1 - \\dfrac{p^2}{10000}\\right)$$
Шаг 4. По условию итоговая цена на $9\\%$ ниже начальной, то есть $P_2 = 0{,}91\\cdot P$:
$$1 - \\dfrac{p^2}{10000} = 0{,}91$$
Шаг 5. Решаем:
$$\\dfrac{p^2}{10000} = 0{,}09 \\implies p^2 = 900 \\implies p = 30$$
(берём положительный корень).
Ответ: подорожали на $30\\%$
`
},
{
text: `$ABCD$ — вписанная трапеция. Центр $O$ описанной окружности лежит на большем основании $AD$,
$BH$ — высота трапеции. Найдите площадь трапеции, если $BD = 20$ см, $AH = 9$ см.`,
sol: `Теорема Фалеса (о вписанном угле, опирающемся на диаметр): вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой ($90°$).
Свойство высоты прямоугольного треугольника: высота, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе, удовлетворяет соотношениям:
$h^2 = m\\cdot n$ (где $m$, $n$ — проекции катетов на гипотенузу), а также $a^2 = m\\cdot c$, $b^2 = n\\cdot c$, где $a$, $b$ — катеты, $c$ — гипотенуза.
Шаг 1. Так как центр $O$ описанной окружности лежит на хорде $AD$, то $AD$ проходит через центр, то есть $AD$ — диаметр.
По теореме Фалеса вписанный угол $\\angle ABD = 90°$ (опирается на диаметр $AD$).
Шаг 2. Находим $AD$. В прямоугольном $\\triangle ABD$ (прямой угол при $B$) $BH$ — высота, опущенная на гипотенузу $AD$.
По свойству высоты: $BD^2 = HD\\cdot AD$, где $HD$ — проекция катета $BD$ на гипотенузу.
$$20^2 = HD\\cdot AD \\implies 400 = HD\\cdot AD$$
Также $HD = AD - AH = AD - 9$. Подставляем:
$$400 = (AD - 9)\\cdot AD \\implies AD^2 - 9AD - 400 = 0$$
Шаг 3. Решаем по формуле дискриминанта:
$$D = 81 + 1600 = 1681 = 41^2 \\implies AD = \\dfrac{9 + 41}{2} = 25\\text{ см}$$
(второй корень отрицательный, не подходит).
Шаг 4. Находим $HD$, $BH$ и второе основание трапеции.
$$HD = 25 - 9 = 16\\text{ см}$$
По свойству высоты $BH^2 = AH\\cdot HD = 9\\cdot 16 = 144$, значит $BH = 12$ см.
Трапеция $ABCD$ равнобедренная (как вписанная). По симметрии расстояние от $C$ до $AD$ тоже даёт «выступ» $9$ см справа. Тогда:
$$BC = AD - 2\\cdot AH = 25 - 2\\cdot 9 = 7\\text{ см}$$
Шаг 5. По формуле площади трапеции:
$$S = \\dfrac{AD + BC}{2}\\cdot BH = \\dfrac{25 + 7}{2}\\cdot 12 = 16\\cdot 12 = 192\\text{ см}^2$$