`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений НЕ верно:`,
opts: [
["а", "диагонали любого прямоугольника взаимно перпендикулярны;"],
["б", "высота ромба равна диаметру вписанной в него окружности;"],
["в", "центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника;"],
["г", "угол, равный $89^{\\circ}$, — острый?"],
],
sol: `Проанализируем каждое утверждение:
а) Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам,
но взаимно перпендикулярны они только в частном случае — в квадрате.
В произвольном прямоугольнике это неверно.
б) Верно: высота ромба равна диаметру вписанной окружности (стандартное свойство).
в) Верно: центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров.
г) Верно: угол меньше $90^{\\circ}$ — острый, $89^{\\circ}<90^{\\circ}$.
`
},
{
text: `В прямоугольном треугольнике $ABC$ $\\angle B = 90^{\\circ}$, $BC = 20$ см, высота $BH = 12$ см.
Найдите синус угла $A$.`,
sol: `
В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\\angle B=90^{\\circ}$) $BH$ — высота, проведённая к гипотенузе $AC$.
Запишем площадь двумя способами:
$$S = \\tfrac{1}{2}\\cdot AB\\cdot BC = \\tfrac{1}{2}\\cdot AC\\cdot BH.$$
Отсюда $AB\\cdot 20 = AC\\cdot 12$, то есть $AC = \\dfrac{5\\,AB}{3}$.
По теореме Пифагора $AB^2 + BC^2 = AC^2$:
$$AB^2 + 400 = \\dfrac{25\\,AB^2}{9} \\;\\Longrightarrow\\; \\dfrac{16\\,AB^2}{9} = 400
\\;\\Longrightarrow\\; AB^2 = 225 \\;\\Longrightarrow\\; AB = 15\\text{ см}.$$
Тогда $AC = \\dfrac{5\\cdot 15}{3} = 25$ см.
Синус угла $A$ — отношение противолежащего катета $BC$ к гипотенузе $AC$:
$$\\sin A = \\dfrac{BC}{AC} = \\dfrac{20}{25} = \\dfrac{4}{5} = 0{,}8.$$
Ответ: $\\sin A = \\dfrac{4}{5} = 0{,}8$.
`
},
{
text: `Упростите выражение
$\\dfrac{5x+6}{x^2-4} - \\dfrac{x}{x^2-4} : \\dfrac{x}{x-2} - \\dfrac{x+2}{x-2}$.`,
sol: `Порядок действий: в выражении без скобок сначала выполняется деление и умножение, а затем сложение и вычитание (слева направо). Также применяется формула разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
Шаг 1. Раскладываем $x^2 - 4$ по формуле разности квадратов:
$$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$$
ОДЗ: $x \\neq 2$, $x \\neq -2$, $x \\neq 0$ (так как в выражении есть деление на $\\dfrac{x}{x-2}$).
Шаг 2. По порядку действий сначала выполняем деление $\\dfrac{x}{x^2-4} : \\dfrac{x}{x-2}$. Делим на дробь — умножаем на обратную:
$$\\dfrac{x}{(x-2)(x+2)} \\cdot \\dfrac{x-2}{x} = \\dfrac{x\\cdot(x-2)}{(x-2)(x+2)\\cdot x} = \\dfrac{1}{x+2}$$
Шаг 3. Исходное выражение принимает вид:
$$\\dfrac{5x+6}{(x-2)(x+2)} - \\dfrac{1}{x+2} - \\dfrac{x+2}{x-2}$$
Шаг 4. Приводим к общему знаменателю $(x-2)(x+2)$. Домножаем числители: первой дроби — на $1$, второй — на $(x-2)$, третьей — на $(x+2)$:
$$\\dfrac{(5x+6) - (x-2) - (x+2)^2}{(x-2)(x+2)}$$
Шаг 5. Раскрываем скобки в числителе, применяя формулу квадрата суммы $(x+2)^2 = x^2 + 4x + 4$:
$$5x + 6 - x + 2 - (x^2 + 4x + 4) = (5x - x - 4x) + (6 + 2 - 4) - x^2 = 0 + 4 - x^2 = 4 - x^2$$
Шаг 6. Получаем:
$$\\dfrac{4 - x^2}{x^2 - 4} = \\dfrac{-(x^2 - 4)}{x^2 - 4} = -1$$
Ответ: $-1$ (при $x \\neq \\pm 2$ и $x \\neq 0$).
`
},
{
text: `График функции $f(x) = a(x-m)^2 + n$ изображён на рисунке.
Используя график функции, найдите $a$, $m$ и $n$.
Запишите формулу функции $y = f(x)$ в виде многочлена.`,
figure: ``,
sol: `Функция $f(x)=a(x-m)^2+n$ — парабола с вершиной в точке $(m;\\,n)$;
знак $a$ определяет направление ветвей ($a>0$ — вверх, $a<0$ — вниз),
а $|a|$ — «крутизну».
Шаг 1. Снимаем вершину параболы с графика: вершина находится в точке $(2;\\,2)$, значит $m=2$, $n=2$. Шаг 2. Ветви направлены вверх — значит $a>0$. Берём вторую точку графика, например $(0;\\,6)$ (точка пересечения с осью ординат):
$$a = \\dfrac{y_0 - n}{(x_0 - m)^2} = \\dfrac{6 - 2}{(0 - 2)^2} = \\dfrac{4}{4} = 1.$$
Шаг 3. Раскрываем скобки в форме $f(x)=a(x-m)^2+n$:
$$f(x) = (x-2)^2 + 2 = x^2 - 4x + 4 + 2 = x^2 - 4x + 6.$$
Проверка по контрольным точкам графика:
$f(1)=1-4+6=3$, $f(3)=9-12+6=3$, $f(4)=16-16+6=6$ — совпадает с графиком.
Ответ: $a=1$, $m=2$, $n=2$; $f(x)=x^2-4x+6$.
`
},
{
text: `Найдите сумму целых решений системы неравенств
$$\\begin{cases} 9 - 4x < 0, \\\\[4pt] x^2 - 5x \\leq -4. \\end{cases}$$`,
sol: `1) Первое неравенство:
$$9 - 4x < 0 \\;\\Longrightarrow\\; 4x > 9 \\;\\Longrightarrow\\; x > 2{,}25.$$
2) Второе неравенство:
$$x^2 - 5x + 4 \\leq 0.$$
Корни квадратного трёхчлена: $x_{1,2} = \\dfrac{5\\pm\\sqrt{25-16}}{2} = \\dfrac{5\\pm 3}{2}$,
то есть $x_1=1$, $x_2=4$. Так как ветви параболы $y=x^2-5x+4$ направлены вверх,
неравенство $\\leq 0$ выполняется между корнями: $1 \\leq x \\leq 4$. 3) Пересечение: $x>2{,}25$ и $1\\leq x\\leq 4$ дают $2{,}25 < x \\leq 4$. 4) Целые решения: $x=3$ и $x=4$.
Сумма: $3+4=7$.
Ответ: $7$.
`
},
{
text: `Для перевозки партии щебня массой $1008$ т фирма использует самосвал МАЗ-5551.
По плану норма перевозки ежедневно должна увеличиваться на одно и то же число тонн.
Известно, что за первый день было перевезено $40$ т щебня.
Определите, сколько тонн щебня было перевезено за девятый день,
если вся работа была выполнена за $12$ дней.`,
sol: `Метод арифметической прогрессии. По условию норма ежедневно увеличивается на одно и то же число тонн, значит дневные объёмы образуют арифметическую прогрессию.
Формулы арифметической прогрессии: — $n$-й член: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $d$ — разность прогрессии.
— Сумма первых $n$ членов: $S_n = \\dfrac{2a_1 + (n-1)d}{2}\\cdot n$.
Шаг 1. По условию $a_1 = 40$ т (за первый день), $n = 12$ дней, $S_{12} = 1008$ т (вся партия). Разность $d$ — неизвестна.
Шаг 2. Подставим в формулу суммы:
$$S_{12} = \\dfrac{2\\cdot 40 + 11d}{2}\\cdot 12 = 6\\cdot(80 + 11d)$$
По условию $S_{12} = 1008$:
$$6(80 + 11d) = 1008 \\implies 80 + 11d = 168 \\implies 11d = 88 \\implies d = 8$$
Шаг 3. Находим объём за девятый день по формуле $a_n = a_1 + (n-1)d$:
$$a_9 = 40 + (9 - 1)\\cdot 8 = 40 + 64 = 104\\text{ т}$$
Ответ: $104$ т.
`
},
{
text: `$ABCD$ — прямоугольник, точки $M$ и $K$ лежат на сторонах $AB$ и $CD$ соответственно,
$MK \\| AD$. Диагональ $BD$ пересекает отрезок $MK$ в точке $P$.
$S_{BMP} = 4$ см², $S_{PKD} = 9$ см². Найдите площадь прямоугольника $ABCD$.`,
sol: `
Идея. $MK\\perp AB$ (т.к. $MK\\parallel AD$ и $AD\\perp AB$). Значит $\\triangle BMP$ — прямоугольный (∠M=90°), $\\triangle DKP$ — прямоугольный (∠K=90°).
Шаг 1. Подобие. $\\triangle BMP \\sim \\triangle BAD$ (по двум углам: ∠B общий, $MP\\parallel AD$). Аналогично $\\triangle DKP\\sim\\triangle DCB$.
Введём $BM=p$, $AM=q$. Так как $K$ под $M$: $DK=AM=q$. Высота прямоугольника $h=AD$.
Из подобия:
$$MP = \\dfrac{BM}{BA}\\cdot AD = \\dfrac{p\\,h}{p+q}, \\quad PK = \\dfrac{DK}{DC}\\cdot CB = \\dfrac{q\\,h}{p+q}$$
Шаг 2. Площади.
$$S_{BMP} = \\dfrac{1}{2}\\cdot p\\cdot\\dfrac{ph}{p+q} = \\dfrac{p^2 h}{2(p+q)} = 4$$
$$S_{DKP} = \\dfrac{1}{2}\\cdot q\\cdot\\dfrac{qh}{p+q} = \\dfrac{q^2 h}{2(p+q)} = 9$$
Шаг 3. Делим: $\\dfrac{p^2}{q^2}=\\dfrac{4}{9}$ → $\\dfrac{p}{q}=\\dfrac{2}{3}$. Пусть $p=2t$, $q=3t$.
Из первого уравнения:
$$\\dfrac{4t^2 h}{2\\cdot5t} = \\dfrac{2th}{5}=4 \\implies th=10$$
Шаг 4. Площадь прямоугольника.
$$S_{ABCD} = (p+q)\\cdot h = 5t\\cdot h = 5\\cdot10 = 50\\text{ см}^2$$
Универсальная формула: $S_{ABCD} = 2\\bigl(\\sqrt{S_{BMP}}+\\sqrt{S_{DKP}}\\bigr)^{2} = 2(2+3)^2 = 50$.
`,
sol: `Функция $f(x)=a(x-m)^2+n$ — парабола с вершиной в точке $(m;\\,n)$;
знак $a$ определяет направление ветвей ($a>0$ — вверх, $a<0$ — вниз),
а $|a|$ — «крутизну».