`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений НЕ верно:`,
opts: [
["а", "площадь прямоугольника равна произведению его соседних сторон;"],
["б", "диагонали любого ромба равны между собой;"],
["в", "диаметры одной окружности равны между собой;"],
["г", "если три угла одного треугольника равны трём углам другого треугольника, то треугольники подобны?"],
],
sol: `Проверим утверждения:
а) верно — формула площади прямоугольника;
б) НЕ верно — диагонали ромба в общем случае не равны;
они равны только в частном случае — квадрате;
в) верно — все диаметры окружности равны $2R$;
г) верно — признак подобия треугольников по трём углам.
Ответ: б).
`
},
{
text: `Найдите частное от деления наименьшего общего кратного на наибольший общий делитель
чисел $112$ и $80$.`,
sol: `Разложим числа на простые множители:
$112 = 2^4 \\cdot 7,\\quad 80 = 2^4 \\cdot 5.$ НОД$(112,\\,80) = 2^4 = 16.$ НОК$(112,\\,80) = 2^4 \\cdot 5 \\cdot 7 = 560.$
$\\dfrac{\\text{НОК}}{\\text{НОД}} = \\dfrac{560}{16} = 35.$
Ответ: $35$.
`
},
{
text: `Сократите дробь $\\dfrac{b + 2\\sqrt{b} + 1}{\\sqrt{b} + b}$.`,
sol: `Формула квадрата суммы: $(a + c)^2 = a^2 + 2ac + c^2$. Шаг 1. Преобразуем числитель.
Заметим, что $b = (\\sqrt{b})^2$ и $1 = 1^2$. Тогда $b + 2\\sqrt{b} + 1$ — это полный квадрат:
$$b + 2\\sqrt{b} + 1 = (\\sqrt{b} + 1)^2.$$
Шаг 2. Преобразуем знаменатель.
Вынесем общий множитель $\\sqrt{b}$:
$$\\sqrt{b} + b = \\sqrt{b} + \\sqrt{b} \\cdot \\sqrt{b} = \\sqrt{b}(1 + \\sqrt{b}).$$
Шаг 3. Сокращаем дробь.
В числителе и знаменателе есть общий множитель $(\\sqrt{b} + 1)$:
$$\\dfrac{(\\sqrt{b} + 1)^2}{\\sqrt{b}(\\sqrt{b} + 1)} = \\dfrac{\\sqrt{b} + 1}{\\sqrt{b}}.$$
Ответ: $\\dfrac{\\sqrt{b}+1}{\\sqrt{b}}$ (или $1 + \\dfrac{1}{\\sqrt{b}}$).
`
},
{
text: `Высота $DH$ ромба $ABCD$ делит сторону $BC$ на отрезки $BH = 8$ см и $HC = 12$ см.
Найдите площадь ромба.`,
sol: ` Свойство ромба: все стороны равны. Теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике $c^2 = a^2 + b^2$, где $c$ — гипотенуза. Формула площади ромба через высоту: $S = a \\cdot h$, где $a$ — сторона, $h$ — высота. Шаг 1. Находим сторону ромба.
Точка $H$ лежит на стороне $BC$, поэтому
$$BC = BH + HC = 8 + 12 = 20\\text{ см}.$$
Так как все стороны ромба равны, $DC = BC = 20$ см. Шаг 2. Находим высоту $DH$ по теореме Пифагора.
$DH$ — высота, значит $\\triangle DHC$ прямоугольный с прямым углом в $H$. Здесь $DC = 20$ — гипотенуза, $HC = 12$ — катет:
$$DH = \\sqrt{DC^2 - HC^2} = \\sqrt{400 - 144} = \\sqrt{256} = 16\\text{ см}.$$
Шаг 3. Находим площадь.
$$S = BC \\cdot DH = 20 \\cdot 16 = 320\\text{ см}^2.$$
Ответ: $320$ см$^2$.
`
},
{
text: `Найдите наименьшее целое значение аргумента, принадлежащее области определения функции
$y = \\dfrac{\\sqrt{x+8}}{x^2 - 2x - 80}$.`,
sol: `Правила нахождения ОДЗ:
выражение под корнем должно быть $\\geq 0$;
знаменатель не должен равняться нулю.
Шаг 1. Условие подкоренного выражения.
Под корнем стоит $x + 8$, значит
$$x + 8 \\geq 0 \\implies x \\geq -8.$$
Шаг 2. Условие знаменателя.
Знаменатель $x^2 - 2x - 80$ не должен быть равен нулю. Разложим его на множители (находим корни, например по теореме Виета: $-10 \\cdot 8 = -80$, $-10 + 8 \\neq 2$; попробуем $10$ и $-8$: $10 \\cdot (-8) = -80$, $10 + (-8) = 2$ — подходит):
$$x^2 - 2x - 80 = (x - 10)(x + 8) \\neq 0 \\implies x \\neq 10\\text{ и }x \\neq -8.$$
Шаг 3. Объединяем условия.
$x \\geq -8$ и одновременно $x \\neq -8$, $x \\neq 10$. Значит $x \\gt -8,\\; x \\neq 10$. Шаг 4. Наименьшее целое.
Наименьшее целое число, большее $-8$, — это $-7$.
Ответ: $-7$.
`
},
{
text: `Семья Ивановых ежемесячно вносит плату за коммунальные услуги, телефон и электричество.
Если бы коммунальные услуги подорожали на $50\\%$, общая сумма платежа увеличилась бы на $25\\%$.
Если бы электричество подорожало на $50\\%$, общая сумма платежа увеличилась бы на $20\\%$.
Какой процент от общей суммы платежа приходится на телефон?`,
sol: `Метод введения переменных и составления уравнений по условию задачи. Шаг 1. Вводим переменные: пусть $У$ — плата за коммунальные услуги, $Т$ — за телефон, $Э$ — за электричество. Тогда общая сумма платежа
$$S = У + Т + Э.$$
Шаг 2. Используем первое условие. Если коммунальные услуги подорожают на $50\\%$, то прибавка к их стоимости составит $0{,}5\\,У$. По условию эта же прибавка равна $25\\%$ от общей суммы, то есть $0{,}25\\,S$. Значит:
$$0{,}5\\,У = 0{,}25\\,S \\implies У = 0{,}5\\,S,$$
то есть на услуги приходится $50\\%$ общей суммы. Шаг 3. Используем второе условие. Подорожание электричества на $50\\%$ — это прибавка $0{,}5\\,Э$, и она равна $20\\%$ общей суммы:
$$0{,}5\\,Э = 0{,}2\\,S \\implies Э = 0{,}4\\,S,$$
то есть на электричество приходится $40\\%$ суммы. Шаг 4. Находим долю телефона. Так как $S = У + Т + Э$, то
$$Т = S - У - Э = S - 0{,}5\\,S - 0{,}4\\,S = 0{,}1\\,S = 10\\%\\,S.$$
Ответ: $10\\%$.
`
},
{
text: `Определите количество целых решений неравенства
$\\dfrac{3x^2 + 10x + 3}{(3-x)^2(4-x^2)} > 0$.`,
sol: `Числитель: $3x^2 + 10x + 3 = (3x+1)(x+3),$
корни $x = -3,\\; x = -\\tfrac{1}{3}.$ Знаменатель: $(3-x)^2(4-x^2) = (3-x)^2(2-x)(2+x).$
Множитель $(3-x)^2 \\ge 0,$ обращается в $0$ при $x = 3$ (исключается из ОДЗ);
на знак не влияет. Корни знаменателя: $x = -2,\\; x = 2,\\; x = 3.$ Метод интервалов (критические точки $-3,\\,-2,\\,-\\tfrac{1}{3},\\,2,\\,3$):
Интервал
Знак
$x<-3$
$-$
$(-3;-2)$
$+$
$(-2;-\\tfrac{1}{3})$
$-$
$(-\\tfrac{1}{3};\\,2)$
$+$
$(2;\\,3)$
$-$
$x>3$
$-$
Решение: $x \\in (-3;\\,-2) \\cup \\left(-\\tfrac{1}{3};\\,2\\right).$ Целые в этих интервалах: в $(-3;-2)$ — нет; в $(-\\tfrac{1}{3};\\,2)$ — это $0$ и $1.$
Всего $2$ целых решения.
Ответ: $2$.
`
},
{
text: `Найдите площадь прямоугольной трапеции с основаниями $4$ см и $12$ см,
если известно, что в трапецию можно вписать окружность.`,
sol: `
Свойство описанного четырёхугольника (с вписанной окружностью):
суммы противоположных сторон равны.
Значит, сумма оснований равна сумме боковых сторон:
$4 + 12 = a + b \\implies a + b = 16,$
где $a$ — боковая сторона, перпендикулярная основаниям (равна высоте $h$),
а $b$ — наклонная боковая.
Опустив высоту из вершины меньшего основания, получим прямоугольный треугольник
с катетами $h$ и $12 - 4 = 8$ и гипотенузой $b$:
$b = \\sqrt{h^2 + 8^2} = \\sqrt{h^2 + 64}.$
Подставим $a = h$:
$h + \\sqrt{h^2 + 64} = 16 \\implies \\sqrt{h^2 + 64} = 16 - h$
$\\implies h^2 + 64 = 256 - 32h + h^2 \\implies 32h = 192 \\implies h = 6$ см. Площадь трапеции:
$S = \\dfrac{4 + 12}{2} \\cdot 6 = 8 \\cdot 6 = 48$ см$^2.$