`
},
{
text: `Найдите сумму целых решений неравенства $-7 < -3x + 2 \\leq 5$.`,
sol: `Правило: при делении неравенства на отрицательное число знаки меняются на противоположные. Шаг 1. Выписываем неравенство:
$$-7 \\lt -3x + 2 \\leq 5.$$
Шаг 2. Вычитаем $2$ из всех частей:
$$-9 \\lt -3x \\leq 3.$$
Шаг 3. Делим на $-3$ (знаки меняются):
$$3 \\gt x \\geq -1 \\iff -1 \\leq x \\lt 3.$$
Шаг 4. Целые решения: $-1,\\; 0,\\; 1,\\; 2$. Шаг 5. Сумма: $-1 + 0 + 1 + 2 = 2$.
Ответ: $2$
`
},
{
text: `Дан правильный многоугольник с периметром, равным $140$ см.
Сумма всех его внутренних углов равна $900^{\\circ}$.
Найдите длину стороны этого многоугольника.`,
sol: `Формула суммы внутренних углов выпуклого $n$-угольника:
$$S_{\\text{углов}} = (n - 2) \\cdot 180^{\\circ}.$$
Свойство правильного многоугольника: все стороны равны, значит $P = n \\cdot a$. Шаг 1. Находим число сторон $n$.
По условию сумма углов равна $900^{\\circ}$:
$$(n - 2) \\cdot 180^{\\circ} = 900^{\\circ} \\implies n - 2 = 5 \\implies n = 7.$$
Шаг 2. Находим длину стороны.
Периметр $P = n \\cdot a$, откуда
$$a = \\dfrac{P}{n} = \\dfrac{140}{7} = 20\\text{ см}.$$
Ответ: $20$ см
`
},
{
text: `Найдите среднее арифметическое абсцисс точек пересечения графиков функций,
заданных формулами $y = 4x^2 + x$ и $y = 2 - 4x - 3x^2$.`,
sol: `Теорема Виета: для уравнения $ax^2+bx+c=0$ сумма корней равна $-\\dfrac{b}{a}$. Шаг 1. В точках пересечения ординаты совпадают, поэтому приравниваем правые части:
$$4x^2 + x = 2 - 4x - 3x^2.$$
Шаг 2. Переносим всё в одну сторону и приводим подобные:
$$4x^2 + x - 2 + 4x + 3x^2 = 0 \\implies 7x^2 + 5x - 2 = 0.$$
Шаг 3. По теореме Виета сумма корней:
$$x_1 + x_2 = -\\dfrac{5}{7}.$$
Шаг 4. Среднее арифметическое — это полусумма:
$$\\dfrac{x_1+x_2}{2} = -\\dfrac{5}{14}.$$
Ответ: $-\\dfrac{5}{14}$
`
},
{
text: `Имеется лом стали двух сортов с содержанием никеля $5\\%$ и $20\\%$.
Сколько тонн металла каждого сорта надо взять, чтобы получить $150$ т стали
с содержанием никеля $10\\%$?`,
sol: `Метод составления системы уравнений по двум условиям: масса смеси = сумма масс компонентов; масса чистого вещества — тоже сумма по компонентам. Шаг 1. Вводим переменные. Пусть $x$ т — масса лома с содержанием никеля $5\\%$, $y$ т — масса лома с содержанием $20\\%$. Шаг 2. Составляем первое уравнение (общая масса смеси равна $150$ т):
$$x + y = 150.$$
Шаг 3. Составляем второе уравнение по массе чистого никеля. В первом ломе никеля $0{,}05x$ т, во втором — $0{,}20y$ т. В готовой смеси никеля $10\\%$ от $150$ т, то есть $15$ т:
$$0{,}05x + 0{,}20y = 15.$$
Шаг 4. Решаем систему. Умножим второе уравнение на $20$, чтобы избавиться от десятичных:
$$x + 4y = 300.$$
Вычтем из этого уравнения первое:
$$3y = 150 \\implies y = 50\\text{ т}.$$
Шаг 5. Находим $x$:
$$x = 150 - 50 = 100\\text{ т}.$$
Шаг 6. Проверка: масса никеля $0{,}05\\cdot 100 + 0{,}20\\cdot 50 = 5 + 10 = 15$ т — совпадает с условием.
Ответ: $100$ т ($5\\%$) и $50$ т ($20\\%$).
`
},
{
text: `Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, делит треугольник
на два треугольника, площади которых равны $6$ см² и $54$ см².
Найдите гипотенузу.`,
sol: `
Пусть $CH = h$ — высота из прямого угла $C$ к гипотенузе $AB$, $AH = a$, $HB = b$.
Площади треугольников:
$$S_1 = \\dfrac{1}{2}\\cdot a\\cdot h = 6, \\quad S_2 = \\dfrac{1}{2}\\cdot b\\cdot h = 54.$$
Делим $S_2$ на $S_1$: $\\dfrac{b}{a} = \\dfrac{54}{6} = 9 \\implies b = 9a.$
По свойству высоты прямоугольного треугольника: $h^2 = a\\cdot b = 9a^2 \\implies h = 3a.$
Подставим в $S_1$: $\\dfrac{1}{2}\\cdot a\\cdot 3a = \\dfrac{3a^2}{2} = 6 \\implies a^2 = 4 \\implies a = 2$ см.
Тогда $b = 9\\cdot 2 = 18$ см.
Гипотенуза: $AB = a + b = 2 + 18 = 20$ см.
Ответ: $20$ см.
`
},
{
text: `Упростите выражение
$\\sqrt{x + 6\\sqrt{x-9}} + \\sqrt{x - 6\\sqrt{x-9}}$ при $x > 18$.`,
sol: `Метод выделения полного квадрата и формула $\\sqrt{a^2}=|a|$. Шаг 1. Представляем $x$ удобным образом: $x = (x-9) + 9$. Тогда первое подкоренное выражение раскладывается по формуле квадрата суммы $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$ (здесь $a=\\sqrt{x-9}$, $b=3$):
$$x + 6\\sqrt{x-9} = (x-9) + 2\\cdot\\sqrt{x-9}\\cdot 3 + 9 = \\left(\\sqrt{x-9}+3\\right)^2.$$
Шаг 2. Аналогично для второго подкоренного (квадрат разности):
$$x - 6\\sqrt{x-9} = \\left(\\sqrt{x-9}-3\\right)^2.$$
Шаг 3. Извлекаем корни по правилу $\\sqrt{a^2}=|a|$:
$$\\sqrt{x+6\\sqrt{x-9}} = \\left|\\sqrt{x-9}+3\\right| = \\sqrt{x-9}+3,$$
так как $\\sqrt{x-9}+3 \\gt 0$ (модуль не нужен).
$$\\sqrt{x-6\\sqrt{x-9}} = \\left|\\sqrt{x-9}-3\\right|.$$
Шаг 4. Раскрываем второй модуль. По условию $x \\gt 18$, значит $x-9 \\gt 9$ и $\\sqrt{x-9} \\gt 3$, поэтому $\\sqrt{x-9}-3 \\gt 0$ и
$$\\left|\\sqrt{x-9}-3\\right| = \\sqrt{x-9}-3.$$
Шаг 5. Складываем результаты:
$$\\left(\\sqrt{x-9}+3\\right) + \\left(\\sqrt{x-9}-3\\right) = 2\\sqrt{x-9}.$$
`,
sol: `Парабола $y=x^2-2$: вершина $(0;-2)$, ветви вверх.