VARIANTS[66] = {
label: "Вариант 66",
tasks: [
{
text: `Из данных равенств выберите тождество:`,
opts: [
["а", "$y + y + y + y + y = 5 + y$"], ["б", "$y \\cdot y \\cdot y \\cdot y \\cdot y \\cdot y = 6y^6$"], ["в", "$y + y + y = y^2$"],
["г", "$y + y + y + y = y^4$"], ["д", "$y \\cdot y \\cdot y \\cdot y = y^4$"],
],
sol: `Тождество — равенство, верное при любых значениях переменной.
а) $y+y+y+y+y=5+y$ — неверно: слева $5y$, справа $5+y$ (не одно и то же);
б) $y\\cdot y\\cdot y\\cdot y\\cdot y\\cdot y=6y^6$ — неверно: слева $y^6$, не $6y^6$;
в) $y+y+y=y^2$ — неверно: слева $3y$, справа $y^2$ (например, при $y=2$: $6\\neq 4$);
г) $y+y+y+y=y^4$ — неверно: слева $4y$, справа $y^4$;
д) $y\\cdot y\\cdot y\\cdot y=y^4$ — верно ✓ (произведение четырёх одинаковых множителей равно четвёртой степени).
Ответ: д) $y\\cdot y\\cdot y\\cdot y=y^4$
`
},
{
text: `Определите, в какой из данных точек график функции $y = 2x + 5$ пересекает ось ординат:`,
opts: [
["а", "$A(2{,}5;\\;0)$"], ["б", "$B(0;\\;2{,}5)$"], ["в", "$C(5;\\;0)$"],
["г", "$D(-2{,}5;\\;0)$"], ["д", "$E(0;\\;5)$"],
],
sol: `Ось ординат ($Oy$) — это прямая $x=0$. Подставим $x=0$ в уравнение функции:
$$y = 2\\cdot 0 + 5 = 5.$$
Значит, график пересекает ось $Oy$ в точке $(0;\\;5)$.
Ответ: д) $E(0;\\;5)$
`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений НЕ верно:`,
opts: [
["а", "в ромб всегда можно вписать окружность;"],
["б", "для сторон треугольника $ABC$ верно $\\dfrac{AC}{\\sin B} = \\dfrac{BC}{\\sin A}$;"],
["в", "$\\cos 120^{\\circ} = \\dfrac{1}{2}$;"],
["г", "площадь круга находится по формуле $S = \\pi R^2$?"],
],
sol: `
а) В ромб всегда можно вписать окружность (сумма противоположных сторон равна) — верно;
`
},
{
text: `Какая из следующих последовательностей является геометрической прогрессией? Ответ обоснуйте.
а) $25;\\; 35;\\; 45;\\; \\ldots$
б) $0{,}2;\\; 0{,}02;\\; 0{,}002;\\; \\ldots$
в) $\\dfrac{4}{3};\\; 9;\\; \\dfrac{5}{16};\\; \\ldots$
г) $5;\\; -5;\\; -15;\\; \\ldots$`,
sol: `Геометрическая прогрессия — последовательность, в которой каждый член (начиная со второго) получается умножением предыдущего на одно и то же число $q$ (знаменатель прогрессии).
а) $25;\\; 35;\\; 45;\\;\\ldots$ $\\dfrac{35}{25}=1{,}4,\\;\\dfrac{45}{35}\\approx1{,}286$ — отношения разные (АП с $d=10$). Не ГП.
б) $0{,}2;\\; 0{,}02;\\; 0{,}002;\\;\\ldots$ $\\dfrac{0{,}02}{0{,}2}=0{,}1,\\;\\dfrac{0{,}002}{0{,}02}=0{,}1$ — отношение постоянное, $q=0{,}1$. Это ГП ✓
в) $\\dfrac{4}{3};\\; 9;\\; \\dfrac{5}{16};\\;\\ldots$ $\\dfrac{9}{4/3}=\\dfrac{27}{4},\\;\\dfrac{5/16}{9}=\\dfrac{5}{144}$ — отношения разные. Не ГП.
г) $5;\\; -5;\\; -15;\\;\\ldots$ $\\dfrac{-5}{5}=-1,\\;\\dfrac{-15}{-5}=3$ — отношения разные (АП с $d=-10$). Не ГП.
Ответ: б) $0{,}2;\\; 0{,}02;\\; 0{,}002;\\;\\ldots$ — ГП со знаменателем $q=0{,}1$.
`
},
{
text: `Упростите выражение $\\dfrac{m^2}{m-1} \\cdot \\dfrac{m^2-2m+1}{2m^3}$.`,
sol: `Формула квадрата разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.
Правило умножения дробей: $\\dfrac{a}{b}\\cdot\\dfrac{c}{d}=\\dfrac{ac}{bd}$.
Шаг 1. Найдём ОДЗ. Знаменатели не равны нулю: $m-1\\neq 0$ и $2m^3\\neq 0$, значит $m\\neq 1$ и $m\\neq 0$.
Шаг 2. Разложим числитель второй дроби по формуле квадрата разности: $m^2-2m+1 = m^2 - 2\\cdot m\\cdot 1 + 1^2 = (m-1)^2$:
$$\\dfrac{m^2}{m-1}\\cdot\\dfrac{(m-1)^2}{2m^3}.$$
Шаг 3. Перемножим дроби и сократим общие множители $(m-1)$ и $m^2$:
$$\\dfrac{m^2(m-1)^2}{(m-1)\\cdot 2m^3} = \\dfrac{m-1}{2m}.$$
Ответ: $\\dfrac{m-1}{2m}$.
`
},
{
text: `Около окружности с радиусом $3$ см описана равнобедренная трапеция,
площадь которой равна $24$ см². Найдите длину боковой стороны этой трапеции.`,
sol: `Свойство 1. Высота трапеции, описанной около окружности, равна диаметру вписанной окружности:
$$h = 2r = 2\\cdot 3 = 6\\text{ см}.$$
Свойство 2. Для равнобедренной трапеции, описанной около окружности, суммы противоположных сторон равны:
$$a+b = 2c.$$
Из формулы площади трапеции $S=\\dfrac{a+b}{2}\\cdot h$:
$$24 = \\dfrac{a+b}{2}\\cdot 6 \\implies a+b = 8\\text{ см}.$$
Тогда $2c = a+b = 8\\implies c = 4$ см.
Ответ: $c = 4$ см.
`
},
{
text: `Сравните корень уравнения $\\dfrac{4}{3}\\left(\\dfrac{1}{2}x - 1\\right) = 4$
с числом $\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^{-3}$.`,
sol: `Свойство степени с отрицательным показателем: $\\left(\\dfrac{a}{b}\\right)^{-n} = \\left(\\dfrac{b}{a}\\right)^{n}$.
Шаг 1. Решим уравнение. Сначала избавимся от множителя $\\dfrac{4}{3}$ перед скобкой — разделим обе части на $\\dfrac{4}{3}$, то есть умножим на $\\dfrac{3}{4}$:
$$\\dfrac{1}{2}x - 1 = 4\\cdot\\dfrac{3}{4} = 3.$$
Шаг 2. Переносим $-1$ в правую часть:
$$\\dfrac{1}{2}x = 3 + 1 = 4.$$
Шаг 3. Умножим обе части на $2$:
$$x = 4\\cdot 2 = 8.$$
Шаг 4. Вычислим число для сравнения по свойству степени:
$$\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^{-3} = 2^{3} = 8.$$
Шаг 5. Сравниваем: $x = 8$ и $8$. Значит, корень уравнения равен числу $\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^{-3}$.
Ответ: корень уравнения равен числу $\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^{-3}$ (оба равны $8$).
`
},
{
text: `Найдите сумму целых значений аргумента, для которых график функции
$y = \\dfrac{2x-1}{x^2+x-12}$ расположен выше прямой $y = \\dfrac{1}{2}$.`,
sol: `Условие: $\\dfrac{2x-1}{x^2+x-12} \\gt \\dfrac{1}{2}.$ Перенесём всё в одну часть:
$$\\dfrac{2x-1}{x^2+x-12} - \\dfrac{1}{2} \\gt 0 \\iff \\dfrac{2(2x-1)-(x^2+x-12)}{2(x^2+x-12)} \\gt 0 \\iff \\dfrac{-x^2+3x+10}{2(x^2+x-12)} \\gt 0.$$
Умножим числитель и знаменатель на $-1$ (знак меняется):
$$\\dfrac{x^2-3x-10}{2(x^2+x-12)} \\lt 0.$$
Разложим: $x^2-3x-10=(x-5)(x+2)$, $\\;x^2+x-12=(x+4)(x-3)$:
$$\\dfrac{(x-5)(x+2)}{2(x+4)(x-3)} \\lt 0.$$
Критические точки: $-4,\\;-2,\\;3,\\;5$ (точки $-4$ и $3$ исключены из ОДЗ).
Метод интервалов:
интервал
$x\\lt-4$
$(-4;-2)$
$(-2;3)$
$(3;5)$
$x\\gt 5$
знак дроби
$+$
$-$
$+$
$-$
$+$
Решение: $x\\in(-4;\\;-2)\\cup(3;\\;5)$.
Целые значения: в $(-4;-2)$ — это $-3$; в $(3;5)$ — это $4$.
Сумма: $-3+4=1$.
Ответ: $1$.
`
},
{
text: `Дана окружность, длина которой равна $20\\pi$.
Найдите площадь сектора круга, ограниченного этой окружностью,
если угол этого сектора равен $72^{\\circ}$.`,
sol: `Формула длины окружности: $C = 2\\pi R$.
Формула площади сектора с центральным углом $\\alpha^{\\circ}$: $S_{\\text{сект}} = \\dfrac{\\alpha}{360^{\\circ}}\\cdot \\pi R^{2}$.
Шаг 1. Найдём радиус. По условию длина окружности равна $20\\pi$, значит:
$$2\\pi R = 20\\pi \\implies R = 10\\text{ см}.$$
Шаг 2. Подставим в формулу площади сектора $\\alpha = 72^{\\circ}$ и $R = 10$:
$$S_{\\text{сект}} = \\dfrac{72}{360}\\cdot \\pi\\cdot 10^{2} = \\dfrac{1}{5}\\cdot 100\\pi = 20\\pi.$$
Ответ: $20\\pi$ (кв. ед.).
`
},
{
text: `На соревнованиях авиамоделистов первая модель пролетела на $10\\%$,
или на $480$ м, меньше второй. Скорость первой модели на $20\\%$,
или на $1$ м/с, больше скорости второй модели.
Сколько минут находилась в воздухе каждая модель?`,
sol: `Связь процентов и десятичной дроби: $10\\%=0{,}1$, $20\\%=0{,}2$.
Формула пути: $S=v\\cdot t$, откуда $t=\\dfrac{S}{v}$.
Шаг 1. Найдём путь второй модели. По условию $10\\%$ от $S_{2}$ — это и есть $480$ м (разница между путями моделей). Составим уравнение:
$$0{,}1\\cdot S_{2} = 480 \\implies S_{2} = \\dfrac{480}{0{,}1} = 4800\\text{ м}.$$
Первая модель пролетела на $480$ м меньше:
$$S_{1} = S_{2} - 480 = 4800 - 480 = 4320\\text{ м}.$$
Шаг 2. Найдём скорость второй модели. Аналогично, $20\\%$ от $v_{2}$ равны $1$ м/с:
$$0{,}2\\cdot v_{2} = 1 \\implies v_{2} = \\dfrac{1}{0{,}2} = 5\\text{ м/с}.$$
Скорость первой модели больше на $1$ м/с:
$$v_{1} = v_{2} + 1 = 6\\text{ м/с}.$$
Шаг 3. Найдём время полёта каждой модели и переведём в минуты ($60$ с $= 1$ мин):
$$t_{1} = \\dfrac{S_{1}}{v_{1}} = \\dfrac{4320}{6} = 720\\text{ с} = 12\\text{ мин};$$
$$t_{2} = \\dfrac{S_{2}}{v_{2}} = \\dfrac{4800}{5} = 960\\text{ с} = 16\\text{ мин}.$$
Ответ: 1-я модель — $12$ мин, 2-я модель — $16$ мин.