VARIANTS[68] = {
label: "Вариант 68",
tasks: [
{
text: `Какое из данных чисел является простым:`,
opts: [
["а", "$39$"], ["б", "$6$"], ["в", "$7$"], ["г", "$1$"], ["д", "$15$"],
],
sol: `
Проверяем каждое число:
$39 = 3 \\times 13$ — составное;
$6 = 2 \\times 3$ — составное;
$7$ — делится только на $1$ и на себя, значит простое;
$1$ — не является ни простым, ни составным по определению;
$15 = 3 \\times 5$ — составное.
Ответ: в) $7$
`
},
{
text: `Абсцисса точки, принадлежащей графику функции $y = 3x - 2$, равна $-1$.
Тогда ордината этой точки равна:`,
opts: [
["а", "$5$"], ["б", "$-5$"], ["в", "$-1$"], ["г", "$\\dfrac{2}{3}$"], ["д", "$\\dfrac{1}{3}$"],
],
sol: `
Подставляем $x = -1$ в формулу функции:
$$y = 3 \\cdot (-1) - 2 = -3 - 2 = -5.$$
Ответ: б) $-5$
`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений НЕ верно:`,
opts: [
["а", "для прямоугольного треугольника $ABC$ с прямым углом $C$ верно $\\cos A = \\dfrac{AC}{AB}$;"],
["б", "диагонали ромба взаимно перпендикулярны;"],
["в", "площадь ромба равна половине произведения диагоналей;"],
["г", "сумма градусных мер всех углов квадрата равна $270^{\\circ}$?"],
],
sol: `
Квадрат — четырёхугольник, сумма внутренних углов которого равна $360^{\\circ}$, а не $270^{\\circ}$.
`
},
{
text: `Найдите сумму натуральных значений переменной из области определения
выражения $\\sqrt{9-3x}$.`,
sol: `Условие существования квадратного корня: $\\sqrt{f(x)}$ определён только тогда, когда подкоренное выражение неотрицательно, то есть $f(x) \\geq 0$.
Шаг 1. Запишем условие для выражения $\\sqrt{9-3x}$:
$$9 - 3x \\geq 0.$$
Шаг 2. Перенесём $-3x$ в правую часть:
$$9 \\geq 3x.$$
Шаг 3. Разделим обе части на $3$ (положительное число — знак не меняется):
$$3 \\geq x, \\quad \\text{то есть} \\quad x \\leq 3.$$
Шаг 4. Натуральные числа из области определения — те, что не превосходят $3$: это $1,\\;2,\\;3$.
Шаг 5. Их сумма: $1 + 2 + 3 = 6$.
Ответ: $6$
`
},
{
text: `Найдите шестой член арифметической прогрессии, если её второй член равен $5$,
а разность прогрессии равна $2$.`,
sol: `Формула $n$-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Связь любых двух членов: $a_n = a_k + (n-k)d$ — от $k$-го члена до $n$-го прибавляем разность $(n-k)$ раз.
Шаг 1. По условию $a_2 = 5$, $d = 2$. От второго члена до шестого нужно прибавить разность $6 - 2 = 4$ раза:
$$a_6 = a_2 + (6 - 2)\\cdot d = a_2 + 4d.$$
Шаг 2. Подставим значения:
$$a_6 = 5 + 4\\cdot 2 = 5 + 8 = 13.$$
Ответ: $13$
`
},
{
text: `В параллелограмм с диагоналями, равными $10$ см и $24$ см, вписана окружность.
Найдите радиус этой окружности.`,
sol: `Свойство описанного четырёхугольника: если в четырёхугольник вписана окружность, то суммы его противоположных сторон равны.
В параллелограмме противоположные стороны и так равны, поэтому условие $AB+CD = BC+AD$ даёт $2AB = 2BC$, то есть все стороны равны. Значит, такой параллелограмм — это ромб.
Свойство диагоналей ромба: диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.
Шаг 1. Найдём сторону ромба. Половины диагоналей $\\dfrac{d_1}{2} = 5$ см и $\\dfrac{d_2}{2} = 12$ см являются катетами прямоугольного треугольника, гипотенуза которого — сторона ромба. По теореме Пифагора:
$$a = \\sqrt{5^2 + 12^2} = \\sqrt{25 + 144} = \\sqrt{169} = 13\\text{ см}.$$
Шаг 2. Найдём площадь ромба. Формула площади ромба через диагонали: $S = \\dfrac{d_1 \\cdot d_2}{2}$:
$$S = \\dfrac{10 \\cdot 24}{2} = 120\\text{ см}^{2}.$$
Шаг 3. Найдём радиус вписанной окружности. Формула: $r = \\dfrac{S}{p}$, где $p$ — полупериметр.
Так как у ромба все четыре стороны равны $a$, полупериметр: $p = \\dfrac{4a}{2} = 2a = 26$ см.
$$r = \\dfrac{S}{p} = \\dfrac{120}{26} = \\dfrac{60}{13}\\text{ см} \\approx 4{,}6\\text{ см}.$$
Ответ: $r = \\dfrac{60}{13}$ см
`
},
{
text: `Найдите значение выражения
$-8 : \\left(-1\\dfrac{1}{7}\\right) + \\dfrac{1}{2} \\cdot \\left(-1\\dfrac{1}{5}\\right) + 6 \\cdot \\left(-\\dfrac{1}{3}\\right) - 8 : \\dfrac{4}{5}$.
В ответ запишите число, обратное ему.`,
sol: `Перевод смешанного числа в неправильную дробь: $a\\dfrac{b}{c}=\\dfrac{a\\cdot c+b}{c}$.
Правило деления дробей: $\\dfrac{a}{b}:\\dfrac{c}{d}=\\dfrac{a}{b}\\cdot\\dfrac{d}{c}$.
Обратное число к дроби $\\dfrac{p}{q}$ равно $\\dfrac{q}{p}$.
Шаг 1. Переведём смешанные числа в неправильные дроби:
$$1\\dfrac{1}{7} = \\dfrac{8}{7},\\qquad 1\\dfrac{1}{5} = \\dfrac{6}{5}.$$
Шаг 2. Вычислим первое деление, заменив его умножением на обратную дробь:
$$-8 : \\left(-\\dfrac{8}{7}\\right) = -8\\cdot\\left(-\\dfrac{7}{8}\\right) = 7.$$
Шаг 3. Вычислим первое произведение:
$$\\dfrac{1}{2}\\cdot\\left(-\\dfrac{6}{5}\\right) = -\\dfrac{6}{10} = -\\dfrac{3}{5}.$$
Шаг 4. Вычислим оставшиеся произведение и частное:
$$6\\cdot\\left(-\\dfrac{1}{3}\\right) = -2,\\qquad 8 : \\dfrac{4}{5} = 8\\cdot\\dfrac{5}{4} = 10.$$
Шаг 5. Соберём всё вместе и приведём к общему знаменателю $5$:
$$7 - \\dfrac{3}{5} - 2 - 10 = -5 - \\dfrac{3}{5} = -\\dfrac{25}{5} - \\dfrac{3}{5} = -\\dfrac{28}{5}.$$
Шаг 6. Запишем обратное число: для $-\\dfrac{28}{5}$ обратное равно $-\\dfrac{5}{28}$.
Ответ: $-\\dfrac{5}{28}$
`
},
{
text: `Первую половину пути в $120$ км велосипедист преодолел со скоростью на $20\\%$ меньше планируемой,
а вторую половину пути — со скоростью на $20\\%$ больше, чем планировал.
Как изменится время его движения по сравнению с планируемым?`,
sol: `
Пусть плановая скорость равна $v$. Половина пути — $60$ км.
Фактическое время увеличится на $\\dfrac{25}{24} - 1 = \\dfrac{1}{24}$ часть от планируемого (примерно на $4{,}2\\%$).
Ответ: время увеличится (на $\\dfrac{1}{24}$ часть от планируемого, примерно на $4{,}2\\%$)
`
},
{
text: `В треугольник $ABC$ вписан квадрат, две вершины которого лежат на стороне $AC$,
две другие — на сторонах $AB$ и $BC$.
Найдите площадь квадрата, если $AC = 60$ см, высота треугольника $BH = 30$ см.`,
sol: `
Пусть сторона квадрата равна $a$. Квадрат расположен основанием на $AC$.
На высоте $a$ от $AC$ ширина треугольника (по подобию) равна: