VARIANTS[72] = { label: "Вариант 72", tasks: [ { text: `Какое из данных чисел является решением неравенства $2x \\geq -3$:`, opts: [ ["а", "$-2$"], ["б", "$-2{,}5$"], ["в", "$-1$"], ["г", "$-1{,}7$"], ["д", "$-3$"], ], sol: `Решаем: $2x \\geq -3 \\Rightarrow x \\geq -1{,}5$. Из вариантов только в) $-1 \\geq -1{,}5$.
Ответ: в) $-1$
` }, { text: `Какое из следующих выражений равно $a^8$:`, opts: [ ["а", "$(a^5)^{-3}$"], ["б", "$(a^2)^6$"], ["в", "$a \\cdot a^7$"], ["г", "$a^{24}/a^3$"], ["д", "$a^{16}/a^2$"], ], sol: `Умножение степеней: $a\\cdot a^7=a^{1+7}=a^8$ — верно ✓. Проверим остальные: а) $a^{-15}$; б) $a^{12}$; г) $a^{21}$; д) $a^{14}$ — не $a^8$.
Ответ: в) $a\\cdot a^7$
` }, { text: `Какое из следующих утверждений НЕ верно:`, opts: [ ["а", "отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны, называется медианой;"], ["б", "у любого параллелограмма все стороны равны;"], ["в", "сторона ромба с периметром $P$ равна $a = \\dfrac{P}{4}$;"], ["г", "в любой треугольник можно вписать окружность?"], ], sol: `
Ответ: б)
` }, { text: `Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые $2m^2(1-3m) - (-m^3 + 5m^2)$.`, sol: `Раскрываем скобки: $$2m^2(1-3m)-(-m^3+5m^2)=2m^2-6m^3+m^3-5m^2$$ Приводим подобные: $$=-3m^2-5m^3$$
Ответ: $-5m^3-3m^2$
` }, { text: `Ордината точки, принадлежащей графику функции $y = -x + 2$, равна числу, противоположному числу $-5$. Найдите абсциссу этой точки.`, sol: `Противоположное число к числу $a$ — это число $-a$ (их сумма равна нулю).
Шаг 1. Число, противоположное $-5$, равно $-(-5) = 5$. Значит, ордината нашей точки $y = 5$.
Шаг 2. Точка принадлежит графику $y = -x + 2$, поэтому её координаты удовлетворяют уравнению. Подставим $y = 5$: $$-x + 2 = 5.$$ Шаг 3. Перенесём $2$ вправо с противоположным знаком: $$-x = 5 - 2 = 3.$$ Шаг 4. Умножим обе части на $-1$: $$x = -3.$$
Ответ: $x=-3$
` }, { text: `При помощи циркуля и линейки постройте прямоугольный треугольник по катету и проекции этого катета на гипотенузу. Запишите алгоритм построения.`, sol: `Дано: катет $a$ и его проекция $m$ на гипотенузу.
Ключевое соотношение: $a^2=m\\cdot c$, откуда $c=a^2/m$.
Алгоритм построения:
  1. Построить гипотенузу $c$: из соотношения $m:a=a:c$ методом третьего пропорционального. На луче отложить $OA=m$ и $OB=a$ (в ту же сторону). Построить полуокружность с диаметром $OB$, провести из $A$ перпендикуляр — он пересечёт полуокружность в точке $Q$, $OQ=\\sqrt{ma}$. Повторить для $a:\\sqrt{ma}=\\sqrt{ma}:c$, получить $c=a^2/m$.
  2. Построить второй катет $b=\\sqrt{c^2-a^2}$ через теорему Пифагора (полуокружность на гипотенузе).
  3. Построить прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$.
Обоснование: $a^2=m\\cdot c$ — катет является средним геометрическим гипотенузы и своей проекции.
Ответ: алгоритм описан выше
` }, { text: `Упростите выражение $\\left(\\dfrac{a}{3ab-b^2} - \\dfrac{5b}{3a^2-ab}\\right) : \\dfrac{5b^2-a^2}{ab^2-3a^2b}$.`, sol: `Вынесение общего множителя за скобки: $ax\\pm ay=a(x\\pm y)$.
Правило вычитания дробей с разными знаменателями: приводим к общему знаменателю.
Правило деления дробей: $\\dfrac{A}{B}:\\dfrac{C}{D}=\\dfrac{A}{B}\\cdot\\dfrac{D}{C}$.
Шаг 1. Разложим знаменатели первой и второй дробей на множители: $$3ab-b^2 = b(3a-b),\\qquad 3a^2-ab = a(3a-b).$$ Шаг 2. Приведём скобку к общему знаменателю $ab(3a-b)$. Первую дробь домножим на $\\dfrac{a}{a}$, вторую — на $\\dfrac{b}{b}$: $$\\dfrac{a}{b(3a-b)}-\\dfrac{5b}{a(3a-b)} = \\dfrac{a\\cdot a - 5b\\cdot b}{ab(3a-b)} = \\dfrac{a^2-5b^2}{ab(3a-b)}.$$ Шаг 3. Преобразуем делитель. Заметим: $5b^2-a^2 = -(a^2-5b^2)$ и $ab^2-3a^2b = ab(b-3a) = -ab(3a-b)$. Знаки минус сокращаются: $$\\dfrac{5b^2-a^2}{ab^2-3a^2b} = \\dfrac{-(a^2-5b^2)}{-ab(3a-b)} = \\dfrac{a^2-5b^2}{ab(3a-b)}.$$ Шаг 4. Делим скобку на делитель — умножаем на обратную дробь. Дроби одинаковы, значит их частное равно $1$: $$\\dfrac{a^2-5b^2}{ab(3a-b)}\\cdot\\dfrac{ab(3a-b)}{a^2-5b^2}=1.$$
Ответ: $1$
` }, { text: `На рисунке изображён график функции $y = -2x^2 + 7x + c$. Определите координаты точек $A$ и $B$.`, figure: ``, sol: `Точки пересечения параболы с осью $Ox$ — это её нули, то есть значения $x$, при которых $y=0$.
Точка пересечения параболы с осью $Oy$: при $x=0$ ордината равна свободному члену.
Формула корней квадратного уравнения: $x = \\dfrac{-b\\pm\\sqrt{D}}{2a}$, где $D = b^2-4ac$.
Шаг 1. Определим $c$ по графику. Подставив $x=0$ в формулу функции, получаем $y=c$. По рисунку парабола пересекает ось $Oy$ при $y=15$, значит $c=15$.
Шаг 2. Найдём точки пересечения параболы с осью $Ox$ из уравнения $y=0$: $$-2x^2+7x+15=0.$$ Умножим обе части на $-1$: $$2x^2-7x-15=0.$$ Шаг 3. Найдём дискриминант ($a=2$, $b=-7$, $c=-15$): $$D=(-7)^2-4\\cdot 2\\cdot(-15)=49+120=169,\\quad \\sqrt{D}=13.$$ Шаг 4. Подставим в формулу корней: $$x_1=\\dfrac{7+13}{4}=5,\\qquad x_2=\\dfrac{7-13}{4}=-\\dfrac{6}{4}=-1{,}5.$$ Шаг 5. Точка с меньшей абсциссой обычно обозначается $A$, с большей — $B$. Координаты обеих точек на оси $Ox$, то есть $y=0$: $$A(-1{,}5;\\,0),\\qquad B(5;\\,0).$$
Ответ: $A(-1{,}5;\\;0)$, $B(5;\\;0)$ (по рисунку)
` }, { text: `На подкормку рассады овощей в теплице израсходовали $12$ кг удобрений, что составило $\\dfrac{1}{6}$ массы удобрений, купленных на складе. Сколько всего килограммов удобрений было на складе, если купили $0{,}01$ имевшихся там удобрений?`, sol: `Правило нахождения целого по части: если $a$ составляет $\\dfrac{p}{q}$ часть числа $A$, то $A=a:\\dfrac{p}{q}=a\\cdot\\dfrac{q}{p}$.
Шаг 1. Найдём массу купленных удобрений. Израсходованные $12$ кг — это $\\dfrac{1}{6}$ от купленного, значит купленная масса в $6$ раз больше: $$M_{куп}=12 : \\dfrac{1}{6} = 12\\cdot 6 = 72\\text{ кг}.$$ Шаг 2. Найдём весь запас удобрений на складе. По условию $72$ кг составляют $0{,}01$ имевшейся на складе массы. Обозначим её $M$. Составим уравнение: $$0{,}01\\cdot M = 72.$$ Шаг 3. Разделим обе части на $0{,}01$: $$M=\\dfrac{72}{0{,}01}=7200\\text{ кг}.$$
Ответ: $7200$ кг
` }, { text: `В треугольнике $ABC$ проведена высота $BH$. Биссектриса угла $C$ делит высоту $BH$ в отношении $13:5$, считая от точки $B$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, если $AB = 48$.`, sol: `Свойство биссектрисы треугольника: биссектриса делит противоположную сторону в отношении, равном отношению прилежащих сторон. Если в $\\triangle XYZ$ биссектриса из $Y$ пересекает $XZ$ в точке $L$, то $XL:LZ = XY:YZ$.
Теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике $c^2 = a^2 + b^2$.
Теорема синусов: $\\dfrac{AB}{\\sin C} = 2R$, где $R$ — радиус описанной окружности.
Шаг 1. Пусть биссектриса угла $C$ пересекает высоту $BH$ в точке $D$. По условию $BD:DH = 13:5$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $BCH$ (так как $BH$ — высота, $\\angle BHC = 90^\\circ$). В нём $CD$ — биссектриса угла $C$, значит, по свойству биссектрисы для треугольника $BCH$: $$\\dfrac{BC}{CH} = \\dfrac{BD}{DH} = \\dfrac{13}{5}.$$ Шаг 2. Введём параметр $t$: пусть $BC = 13t$, $CH = 5t$. Из прямоугольного $\\triangle BCH$ по теореме Пифагора найдём $BH$: $$BH = \\sqrt{BC^2 - CH^2} = \\sqrt{(13t)^2 - (5t)^2} = \\sqrt{169t^2 - 25t^2} = \\sqrt{144t^2} = 12t.$$ A B C H D 5t 13t 12t BD=13 DH=5 Шаг 3. В прямоугольном $\\triangle BCH$: $\\sin C$ — это отношение противолежащего катета к гипотенузе: $$\\sin C = \\dfrac{BH}{BC} = \\dfrac{12t}{13t} = \\dfrac{12}{13}.$$ Шаг 4. Применим теорему синусов к $\\triangle ABC$: сторона $AB$ лежит против угла $C$, поэтому $\\dfrac{AB}{\\sin C} = 2R$. Отсюда: $$R = \\dfrac{AB}{2\\sin C} = \\dfrac{48}{2\\cdot\\dfrac{12}{13}} = \\dfrac{48\\cdot 13}{2\\cdot 12} = \\dfrac{48\\cdot 13}{24} = 2\\cdot 13 = 26.$$
Ответ: $R=26$
` }, ] };