`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений НЕ верно:`,
opts: [
["а", "площадь квадрата со стороной $a$ равна $a^2$;"],
["б", "диаметр окружности в два раза больше её радиуса;"],
["в", "треугольник, два угла которого равны $30^{\\circ}$ и $60^{\\circ}$, — прямоугольный;"],
["г", "диагонали любого параллелограмма равны?"],
],
sol: `
Диагонали равны только у прямоугольника (и квадрата), но не у произвольного параллелограмма. Утверждение г) неверно.
Ответ: г)
`
},
{
text: `Сравните значение выражения $\\dfrac{2}{5} \\cdot \\left(2\\dfrac{1}{2}\\right)^2 - 3 : 2$
с числом $\\left(\\dfrac{1}{4}\\right)^0$.`,
sol: `
Ответ: значение выражения равно числу $\\left(\\dfrac{1}{4}\\right)^0$
`
},
{
text: `В соревнованиях по армрестлингу приняли участие $45$ спортсменов.
Сколько мальчиков и сколько девочек участвовали в соревнованиях,
если отношение количества девочек к количеству мальчиков равно $4:5$?`,
sol: `Метод частей: если две величины относятся как $m:n$, всё целое делим на $m+n$ равных частей. Каждая часть равна $\\dfrac{\\text{целое}}{m+n}$.
Шаг 1. Отношение количества девочек к количеству мальчиков $4:5$. Значит, всего получается $4+5 = 9$ частей.
Шаг 2. Найдём, сколько спортсменов в одной части:
$$\\text{одна часть} = \\dfrac{45}{9} = 5\\text{ спортсменов}.$$
Шаг 3. Количество девочек ($4$ части) и мальчиков ($5$ частей):
$$\\text{девочки} = 4\\cdot 5 = 20,\\qquad \\text{мальчики} = 5\\cdot 5 = 25.$$
Проверка. $20 + 25 = 45$ ✓, $20:25 = 4:5$ ✓.
Ответ: 20 девочек и 25 мальчиков
`
},
{
text: `Дан равнобедренный треугольник с основанием $24$ см и боковой стороной $15$ см.
Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.`,
sol: `Свойство равнобедренного треугольника: высота к основанию делит основание пополам.
Теорема Пифагора: $c^2 = a^2 + b^2$.
Формула радиуса вписанной окружности: $r = \\dfrac{S}{p}$, где $p$ — полупериметр.
Шаг 1. Проведём высоту к основанию. Она делит основание ($24$ см) пополам — на отрезки по $12$ см. Получается прямоугольный треугольник с гипотенузой (боковая сторона) $15$ см и катетом $12$ см. По теореме Пифагора найдём высоту:
$$h = \\sqrt{15^2 - 12^2} = \\sqrt{225 - 144} = \\sqrt{81} = 9\\text{ см}.$$
Шаг 2. Найдём площадь треугольника:
$$S = \\dfrac{1}{2}\\cdot 24\\cdot 9 = 108\\text{ см}^{2}.$$
Шаг 3. Найдём полупериметр:
$$p = \\dfrac{24 + 15 + 15}{2} = \\dfrac{54}{2} = 27\\text{ см}.$$
Шаг 4. Применим формулу радиуса:
$$r = \\dfrac{S}{p} = \\dfrac{108}{27} = 4\\text{ см}.$$
Ответ: $r = 4$ см.
`
},
{
text: `Определите, принадлежит ли промежутку убывания функции $y = -x^2 - 4x + 5$
число $\\sqrt{2}$. Ответ обоснуйте.`,
sol: `Функция $y = -x^2 - 4x + 5 = -(x^2 + 4x) + 5 = -(x+2)^2 + 9$ — парабола ветвями вниз с вершиной при $x = -2$.
Парабола ветвями вниз возрастает при $x \\lt -2$ и убывает при $x \\gt -2$.
Промежуток убывания: $(-2;\\,+\\infty)$.
Так как $\\sqrt{2} \\approx 1{,}41 \\gt -2$, то $\\sqrt{2}$ принадлежит промежутку убывания.
Ответ: да, принадлежит (промежуток убывания $(-2;+\\infty)$, и $\\sqrt{2} \\gt -2$).
`
},
{
text: `Решите уравнение
$\\dfrac{2}{x-4} = \\dfrac{x}{x+4} + \\dfrac{16}{x^2-16}$.`,
sol: `Формула разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
Правило решения дробно-рационального уравнения: найти ОДЗ, привести к общему знаменателю, проверить корни.
Теорема Виета: для приведённого уравнения $x^2 + px + q = 0$ сумма корней равна $-p$, произведение равно $q$.
Шаг 1. ОДЗ. Знаменатели обнуляются при $x = 4$, $x = -4$. Значит, $x \\neq 4$ и $x \\neq -4$.
Шаг 2. По формуле разности квадратов $x^2 - 16 = (x-4)(x+4)$ — это общий знаменатель. Умножим обе части уравнения на $(x-4)(x+4)$. Левая часть даёт $2(x+4)$, правая — $x(x-4) + 16$:
$$2(x+4) = x(x-4) + 16.$$
Шаг 3. Раскроем скобки:
$$2x + 8 = x^2 - 4x + 16.$$
Шаг 4. Перенесём всё в одну часть:
$$x^2 - 4x - 2x + 16 - 8 = 0 \\implies x^2 - 6x + 8 = 0.$$
Шаг 5. Решим по теореме Виета: ищем два числа с суммой $6$ и произведением $8$ — это $2$ и $4$. Значит, $(x-2)(x-4) = 0$, откуда $x = 2$ или $x = 4$.
Шаг 6. Проверяем по ОДЗ: $x = 4$ не входит — это посторонний корень. Остаётся $x = 2$.
Ответ: $x = 2$.
`
},
{
text: `Найдите область определения выражений
$\\sqrt{\\dfrac{(x+1)(x-3)}{x(x-3)}}$ и $\\sqrt{\\dfrac{x+1}{x}}$.
Запишите пересечение полученных множеств.`,
sol: `Условия существования выражения:
под чётным корнем — неотрицательное выражение: $\\sqrt{A}$ существует при $A \\geq 0$;
знаменатель дроби не равен нулю.
Шаг 1. Область определения первого выражения $\\sqrt{\\dfrac{(x+1)(x-3)}{x(x-3)}}$.
Сначала запишем требование $x(x-3) \\neq 0$: $x \\neq 0$, $x \\neq 3$.
При $x \\neq 3$ множитель $(x-3)$ сокращается, и дробь становится $\\dfrac{x+1}{x}$. Условие подкоренного выражения:
$$\\dfrac{x+1}{x} \\geq 0.$$
Метод интервалов. Нули числителя: $x = -1$. Нуль знаменателя: $x = 0$ (точка выколота). Дробь $\\geq 0$ при $x \\leq -1$ или $x \\gt 0$. С учётом $x \\neq 3$:
$$D_{1} = (-\\infty;\\,-1\\,] \\cup (0;\\,3) \\cup (3;\\,+\\infty).$$
Шаг 2. Область определения второго выражения $\\sqrt{\\dfrac{x+1}{x}}$.
Те же условия, но без выкалывания точки $3$:
$$D_{2} = (-\\infty;\\,-1\\,] \\cup (0;\\,+\\infty).$$
Шаг 3. Пересечение. Так как $D_{1}$ получается из $D_{2}$ выкалыванием точки $x = 3$, то $D_{1} \\subset D_{2}$ и:
$$D_{1} \\cap D_{2} = D_{1} = (-\\infty;\\,-1\\,] \\cup (0;\\,3) \\cup (3;\\,+\\infty).$$
`
},
{
text: `Две окружности касаются внешним образом в точке $A$.
К ним проведена общая внешняя касательная $BC$, где $C$ и $B$ — точки касания.
Найдите площадь треугольника $ABC$, если $AB = 12$ см, $AC = 9$ см.`,
sol: `Ключевое свойство: угол, вписанный в окружность и опирающийся на диаметр, равен 90°.
Точка $A$ — точка касания двух окружностей, $BC$ — общая касательная. По теореме об угле между касательной и хордой, $\\angle BAC = 90°$.
Значит, треугольник $ABC$ — прямоугольный с прямым углом при $A$.
По теореме Пифагора: $BC = \\sqrt{AB^2 + AC^2} = \\sqrt{144 + 81} = \\sqrt{225} = 15$ см.
Площадь: $S = \\dfrac{1}{2} \\cdot AB \\cdot AC = \\dfrac{1}{2} \\cdot 12 \\cdot 9 = 54$ см².
`,
opts: [
["а", "$(1;\\;2)$"], ["б", "$(4;\\;2)$"], ["в", "$(2;\\;2)$"],
["г", "$(2;\\;4)$"], ["д", "$(4;\\;0)$"],
],
sol: `