`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений НЕ верно:`,
opts: [
["а", "вертикальные углы равны между собой;"],
["б", "если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный;"],
["в", "противоположные стороны параллелограмма равны;"],
["г", "диагонали любого ромба равны между собой?"],
],
sol: `
а) Вертикальные углы равны — верно
б) Два равных угла ⟹ равнобедренный — верно
в) Противоположные стороны параллелограмма равны — верно
г) Диагонали любого ромба равны — НЕВЕРНО
В ромбе диагонали взаимно перпендикулярны и делятся пополам, но равны по длине лишь у квадрата — частного случая ромба.
Ответ: г)
`
},
{
text: `Определите наименьшее целое решение совокупности неравенств
$$\\left[\\begin{array}{l} x^2 - 3x \\leq 0, \\\\[4pt] x > -2{,}5. \\end{array}\\right.$$`,
sol: `Совокупность «$[\\,$» означает объединение: решение удовлетворяет хотя бы одному из неравенств.
Неравенство 1: $x^2-3x\\leq 0\\Rightarrow x(x-3)\\leq 0\\Rightarrow 0\\leq x\\leq 3$
Неравенство 2: $x>-2{,}5$
Объединение: $(0\\leq x\\leq 3)\\cup(x>-2{,}5) = x>-2{,}5$
Наименьшее целое число, большее $-2{,}5$: это $-2$.
Ответ: $-2$
`
},
{
text: `Сократите дробь $\\dfrac{x^2 - 12x + 35}{x^2 - 10x + 25}$
и найдите значение полученной дроби при $x = 3$.`,
sol: `Теорема Виета (обратная): если $x_1+x_2=-b/a$ и $x_1\\cdot x_2=c/a$, то $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$.
Формула квадрата суммы: $(x\\pm a)^2 = x^2\\pm 2ax+a^2$.
Шаг 1. Разложим числитель на множители. Ищем такие $x_1$ и $x_2$, что $x_1+x_2=12$ и $x_1\\cdot x_2=35$.
Подходят $x_1=5$ и $x_2=7$, поэтому:
$$x^2-12x+35 = (x-5)(x-7)$$
Шаг 2. Разложим знаменатель. Замечаем, что это полный квадрат:
$$x^2-10x+25 = x^2-2\\cdot 5\\cdot x+5^2 = (x-5)^2$$
Шаг 3. Сокращаем общий множитель $(x-5)$ (так как $x\\neq 5$, иначе знаменатель обращается в нуль):
$$\\dfrac{(x-5)(x-7)}{(x-5)^2} = \\dfrac{x-7}{x-5}$$
Шаг 4. Подставляем $x=3$ в полученную дробь:
$$\\dfrac{3-7}{3-5} = \\dfrac{-4}{-2} = 2$$
Ответ: $2$
`
},
{
text: `Диагонали параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$, $BC = 10$ см.
Высота, проведённая из вершины $C$ к стороне $AD$, равна $6$ см.
Найдите площадь треугольника $AOB$.`,
sol: `Свойства параллелограмма: противоположные стороны равны; диагонали точкой пересечения делятся пополам и разбивают параллелограмм на 4 равновеликих треугольника.
Формула площади параллелограмма: $S = a\\cdot h$, где $a$ — сторона, $h$ — высота к ней.
Шаг 1. Так как $BC$ и $AD$ — противоположные стороны параллелограмма, то $AD = BC = 10$ см.
Шаг 2. Высота из $C$ к $AD$ равна $6$ см, поскольку $BC\\parallel AD$, значит высота от стороны $BC$ к $AD$ — это расстояние между параллельными прямыми.
Шаг 3. Находим площадь всего параллелограмма:
$$S_{ABCD} = AD\\cdot h = 10\\cdot 6 = 60\\text{ см}^2$$
Шаг 4. Точка $O$ — пересечение диагоналей. Диагонали разбивают параллелограмм на четыре треугольника, у которых равные площади (каждая равна $S/4$):
Шаг 5. Поэтому:
$$S_{AOB} = \\dfrac{S_{ABCD}}{4} = \\dfrac{60}{4} = 15\\text{ см}^2$$
Ответ: $15$ см²
`
},
{
text: `Отчисления в бюджет по фиксированной ставке с доходов физических лиц
в Беларуси составляют $13\\%$ от заработной платы. После удержания налога
на доходы сотрудник предприятия получил $1305$ р.
Сколько рублей составляет заработная плата сотрудника без вычета налога?`,
sol: `Метод уравнения для задачи на проценты: неизвестную величину обозначаем переменной, выражаем её через известные данные и составляем уравнение.
Свойство: если из величины удерживают $p\\%$, то остаётся $(100-p)\\%$.
Шаг 1. Обозначим за $x$ заработную плату до удержания налога — это и есть то, что мы ищем.
Шаг 2. По условию налог составляет $13\\%$ от $x$. Значит, на руки сотрудник получает оставшиеся $100\\%-13\\%=87\\%$ от $x$:
$$0{,}87\\cdot x = 1305$$
Шаг 3. Решаем уравнение — делим обе части на $0{,}87$:
$$x = \\dfrac{1305}{0{,}87} = \\dfrac{1305\\cdot 100}{87} = \\dfrac{130500}{87}$$
Шаг 4. Выполняем деление: $130500:87 = 1500$.
$$x = 1500\\text{ р.}$$
Проверка: $13\\%$ от $1500$ — это $0{,}13\\cdot 1500=195$ р.; на руки $1500-195=1305$ р. ✓
Ответ: $1500$ р.
`
},
{
text: `Найдите значение выражения $x_1 \\cdot x_2 + y_1 \\cdot y_2$,
где $(x_1;\\, y_1)$, $(x_2;\\, y_2)$ — решения системы уравнений
$$\\begin{cases} x^2 - y = 21, \\\\[4pt] x + y = 9. \\end{cases}$$`,
sol: `Метод подстановки для системы уравнений: выражаем одну переменную через другую и подставляем.
Теорема Виета (обратная): для $x^2+px+q=0$ корни $x_1,x_2$ удовлетворяют $x_1+x_2=-p$, $x_1\\cdot x_2=q$.
Шаг 1. Из второго уравнения системы выразим $y$ через $x$:
$$y = 9 - x$$
Шаг 2. Подставим это выражение в первое уравнение:
$$x^2 - (9-x) = 21$$
$$x^2 + x - 30 = 0$$
Шаг 3. Решаем квадратное уравнение. По теореме Виета: $x_1+x_2=-1$, $x_1\\cdot x_2=-30$. Подходят $-6$ и $5$:
$$(x+6)(x-5)=0 \\implies x_1=-6,\\; x_2=5$$
Шаг 4. Для каждого корня находим соответствующий $y$ по формуле $y=9-x$:
`
},
{
text: `Функция $y = f(x)$ нечётная и для $x > 0$ задаётся формулой
$f(x) = -x^2 - \\dfrac{1}{x}$.
Найдите значение выражения $f(-2) - f\\!\\left(-\\dfrac{1}{2}\\right)$.`,
sol: `Свойство нечётной функции: $f(-x)=-f(x)$ для всех $x$ из области определения.
Идея решения: формула $f(x)=-x^2-\\dfrac{1}{x}$ дана только при $x\\gt 0$. Чтобы найти значения функции в отрицательных точках, используем свойство нечётности: $f(-a)=-f(a)$.
Шаг 1. Вычисляем $f(2)$ по данной формуле (так как $2\\gt 0$):
$$f(2) = -2^2 - \\dfrac{1}{2} = -4 - \\dfrac{1}{2} = -\\dfrac{9}{2}$$
Шаг 2. Так как функция нечётная, то $f(-2) = -f(2)$:
$$f(-2) = -\\left(-\\dfrac{9}{2}\\right) = \\dfrac{9}{2}$$
Шаг 3. Вычисляем $f\\!\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)$ по той же формуле (так как $\\dfrac{1}{2}\\gt 0$):
$$f\\!\\left(\\dfrac{1}{2}\\right) = -\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^2 - \\dfrac{1}{1/2} = -\\dfrac{1}{4} - 2 = -\\dfrac{9}{4}$$
Шаг 4. По свойству нечётности:
$$f\\!\\left(-\\dfrac{1}{2}\\right) = -f\\!\\left(\\dfrac{1}{2}\\right) = -\\left(-\\dfrac{9}{4}\\right) = \\dfrac{9}{4}$$
Шаг 5. Находим требуемую разность:
$$f(-2) - f\\!\\left(-\\dfrac{1}{2}\\right) = \\dfrac{9}{2} - \\dfrac{9}{4} = \\dfrac{18}{4} - \\dfrac{9}{4} = \\dfrac{9}{4}$$
Ответ: $\\dfrac{9}{4}$
`
},
{
text: `В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности
делит гипотенузу на отрезки длиной $5$ см и $3$ см.
Найдите площадь треугольника.`,
sol: `Обозначения. Пусть прямой угол в точке $C$, катеты $CA=b$, $CB=a$, гипотенуза $AB=c$. Вписанная окружность имеет радиус $r$ и касается гипотенузы в точке $P$: $AP=5$, $PB=3$.
Шаг 1. Свойство касательных. Из каждой вершины отрезки до двух точек касания равны. Поэтому:
Из $A$: касательная к гипотенузе $AP=5$, касательная к катету $CA$ тоже $=5$.
Из $B$: касательная к гипотенузе $BP=3$, касательная к катету $CB$ тоже $=3$.