VARIANTS[3] = { label: "Вариант 3", tasks: [ { text: `Определите, какое из следующих равенств верно:`, opts: [ ["а", "$a^2 \\cdot a^8 = a^{10}$"], ["б", "$a^2 \\cdot a^8 = 10a$"], ["в", "$a^2 \\cdot a^8 = a^{16}$"], ["г", "$a^2 \\cdot a^8 = a^6$"], ["д", "$a^2 \\cdot a^8 = a^{64}$"], ], sol: `При умножении степеней с одним основанием показатели складываются: $$a^2 \\cdot a^8 = a^{2+8} = a^{10}$$
Ответ: а) $a^{10}$
` }, { text: `Значение выражения $17\\dfrac{11}{23} - 5\\dfrac{14}{23}$ равно:`, opts: [ ["а", "$12\\dfrac{3}{23}$"], ["б", "$11\\dfrac{20}{23}$"], ["в", "$12\\dfrac{20}{23}$"], ["г", "$11\\dfrac{19}{23}$"], ["д", "$13\\dfrac{1}{23}$"], ], sol: `$$17\\tfrac{11}{23} - 5\\tfrac{14}{23} = (17-5) + \\left(\\tfrac{11}{23}-\\tfrac{14}{23}\\right) = 12 - \\tfrac{3}{23} = 11\\tfrac{23}{23} - \\tfrac{3}{23} = 11\\tfrac{20}{23}$$
Ответ: б) $11\\dfrac{20}{23}$
` }, { text: `Какое из следующих утверждений НЕ верно:`, opts: [ ["а", "на плоскости через точку можно провести только одну прямую, перпендикулярную данной;"], ["б", "в равнобедренном треугольнике углы при основании равны;"], ["в", "у прямоугольника диагонали равны между собой;"], ["г", "сумма всех углов квадрата равна $180^{\\circ}$?"], ], sol: ` Квадрат — четырёхугольник, сумма его углов $= 4\\times 90^\\circ = 360^\\circ \\neq 180^\\circ$.
Ответ: г)
` }, { text: `Определите количество целых решений системы неравенств $$\\begin{cases} x \\leq 7, \\\\[4pt] 3 - x < 0. \\end{cases}$$`, sol: `Из второго неравенства: $3-x < 0 \\Rightarrow x > 3$.
Система: $3 < x \\leq 7$
Целые числа: $4,\\ 5,\\ 6,\\ 7$ — ровно 4 числа.
Ответ: 4
` }, { text: `В окружность с радиусом $10$ см вписан треугольник, одна из сторон которого является диаметром, а другая — равна $16$ см. Найдите площадь этого треугольника.`, sol: `Теорема Фалеса (о вписанном угле): вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой ($90°$).
Теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике $c^2 = a^2 + b^2$, где $c$ — гипотенуза.
Формула площади прямоугольного треугольника: $S = \\dfrac{1}{2}\\cdot a\\cdot b$ (полупроизведение катетов).

Шаг 1. Одна сторона треугольника — диаметр окружности, значит: $$d = 2R = 2\\cdot 10 = 20\\text{ см}$$ Шаг 2. По теореме Фалеса вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен $90°$. Значит, треугольник прямоугольный, а его гипотенуза $= 20$ см. A B C 20 см 16 см Шаг 3. По условию один катет равен $16$ см. По теореме Пифагора находим второй катет: $$b = \\sqrt{20^2-16^2} = \\sqrt{400-256} = \\sqrt{144} = 12\\text{ см}$$ Шаг 4. Площадь прямоугольного треугольника — полупроизведение катетов: $$S = \\tfrac{1}{2}\\cdot 16\\cdot 12 = 96\\text{ см}^2$$
Ответ: $96$ см²
` }, { text: `Найдите значение выражения $\\dfrac{a - 7}{a - 2\\sqrt{7a} + 7}$ при $a = 28$.`, sol: `Формула разности квадратов: $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.
Формула квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$.
Идея: при работе с радикалами полезно представить $a$ как $(\\sqrt{a})^2$, чтобы увидеть структуру формул сокращённого умножения.

Шаг 1. Разложим знаменатель. Представим $a = (\\sqrt{a})^2$ и $7=(\\sqrt{7})^2$. Тогда: $$a - 2\\sqrt{7a} + 7 = (\\sqrt{a})^2 - 2\\sqrt{a}\\cdot\\sqrt{7} + (\\sqrt{7})^2 = (\\sqrt{a}-\\sqrt{7})^2$$ (это квадрат разности).
Шаг 2. Разложим числитель по формуле разности квадратов: $$a - 7 = (\\sqrt{a})^2 - (\\sqrt{7})^2 = (\\sqrt{a}-\\sqrt{7})(\\sqrt{a}+\\sqrt{7})$$ Шаг 3. Сокращаем общий множитель $(\\sqrt{a}-\\sqrt{7})$: $$\\dfrac{(\\sqrt{a}-\\sqrt{7})(\\sqrt{a}+\\sqrt{7})}{(\\sqrt{a}-\\sqrt{7})^2} = \\dfrac{\\sqrt{a}+\\sqrt{7}}{\\sqrt{a}-\\sqrt{7}}$$ Шаг 4. Подставляем $a=28$. Заметим, что $\\sqrt{28} = \\sqrt{4\\cdot 7} = 2\\sqrt{7}$: $$\\dfrac{\\sqrt{28}+\\sqrt{7}}{\\sqrt{28}-\\sqrt{7}} = \\dfrac{2\\sqrt{7}+\\sqrt{7}}{2\\sqrt{7}-\\sqrt{7}} = \\dfrac{3\\sqrt{7}}{\\sqrt{7}} = 3$$
Ответ: $3$
` }, { text: `Функция задана формулой $f(x) = \\dfrac{5}{x}$. Расположите в порядке возрастания $f(-3{,}5)$, $f(-10{,}3)$, $f(-\\sqrt{5})$. Ответ обоснуйте.`, sol: `Свойство гиперболы $y=\\dfrac{k}{x}$ при $k\\gt 0$: функция убывает на каждом из промежутков $(-\\infty;0)$ и $(0;+\\infty)$.
Правило сравнения значений убывающей функции: чем больше аргумент, тем меньше значение функции (на промежутке убывания).

Шаг 1. Определим характер функции. У функции $f(x)=\\dfrac{5}{x}$ коэффициент $k=5\\gt 0$, поэтому на промежутке $(-\\infty;0)$ функция убывает.
Шаг 2. Все три аргумента отрицательны, значит, лежат на промежутке убывания. Сравним их между собой.
Оценим $\\sqrt{5}$: так как $2^2=4\\lt 5\\lt 9=3^2$, имеем $2\\lt\\sqrt{5}\\lt 3$, точнее $\\sqrt{5}\\approx 2{,}24$, поэтому $-\\sqrt{5}\\approx -2{,}24$.
Расставим аргументы по возрастанию (от меньшего к большему на числовой прямой): $$-10{,}3 \\lt -3{,}5 \\lt -\\sqrt{5}$$ Шаг 3. Так как функция $f$ убывает, при увеличении аргумента значение $f$ уменьшается. Значит, неравенства между значениями функции имеют противоположный смысл: $$f(-10{,}3) \\gt f(-3{,}5) \\gt f(-\\sqrt{5})$$ Шаг 4. Перепишем «по возрастанию» (от меньшего к большему): $$f(-\\sqrt{5}) \\lt f(-3{,}5) \\lt f(-10{,}3)$$ Проверка вычислением: $f(-\\sqrt{5})=-\\dfrac{5}{\\sqrt{5}}=-\\sqrt{5}\\approx -2{,}24$; $f(-3{,}5)\\approx -1{,}43$; $f(-10{,}3)\\approx -0{,}49$. Действительно, $-2{,}24\\lt -1{,}43\\lt -0{,}49$ ✓.
Ответ (по возрастанию): $f(-\\sqrt{5}) \\lt f(-3{,}5) \\lt f(-10{,}3)$
` }, { text: `Найдите сумму всех двузначных натуральных чисел, которые при делении на $13$ дают в остатке $7$.`, sol: `Теорема о делении с остатком: если число $n$ при делении на $d$ даёт остаток $r$, то $n = d\\cdot k + r$, где $k$ — натуральное число или ноль.
Формула суммы арифметической прогрессии: $S_n = \\dfrac{(a_1+a_n)\\cdot n}{2}$.

Шаг 1. Запишем общий вид искомых чисел. По условию число делится на $13$ с остатком $7$, поэтому имеет вид: $$n = 13k + 7,\\quad k = 0, 1, 2, \\ldots$$ Шаг 2. Найдём, какие значения $k$ дают двузначные числа. Должно выполняться: $10\\leq 13k+7\\leq 99$.
Левое неравенство: $13k\\geq 3 \\Rightarrow k\\geq 1$ (так как $k$ — целое).
Правое неравенство: $13k\\leq 92 \\Rightarrow k\\leq 7$ (так как $13\\cdot 7=91\\leq 92$, а $13\\cdot 8=104\\gt 92$).
Итак, $k = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ — всего $7$ значений.
Шаг 3. Выпишем все двузначные числа, удовлетворяющие условию: $$20,\\ 33,\\ 46,\\ 59,\\ 72,\\ 85,\\ 98$$ Это арифметическая прогрессия с первым членом $a_1=20$, разностью $d=13$ и числом членов $n=7$. Последний член $a_7=98$.
Шаг 4. По формуле суммы арифметической прогрессии: $$S = \\dfrac{(a_1+a_n)\\cdot n}{2} = \\dfrac{(20+98)\\cdot 7}{2} = \\dfrac{118\\cdot 7}{2} = 59\\cdot 7 = 413$$
Ответ: $413$
` }, { text: `Внутри угла $A$, равного $60^{\\circ}$, взята точка $M$. Расстояния от точки $M$ до сторон угла равны $4$ см и $8$ см. Найдите расстояние от точки $M$ до вершины угла $A$.`, sol: `Опустим перпендикуляры $MH_1=4$ и $MH_2=8$ на стороны угла. d=AM 60° A M 4 H₁ 8 H₂ 4√7 120° O Шаг 1 — угол при M.
Четырёхугольник $AH_1MH_2$ имеет три известных угла. Так как сумма углов любого четырёхугольника равна $360°$: $$\\angle H_1MH_2 = 360° - \\underbrace{90°}_{\\angle H_1} - \\underbrace{60°}_{\\angle A} - \\underbrace{90°}_{\\angle H_2} = \\boldsymbol{120°}$$ Шаг 2 — длина отрезка H₁H₂.
Теорема косинусов в $\\triangle H_1MH_2$: $$H_1H_2^2 = 4^2 + 8^2 - 2\\cdot4\\cdot8\\cdot\\cos120° = 16+64-64\\cdot\\left(-\\tfrac{1}{2}\\right) = 112$$ $$H_1H_2 = 4\\sqrt{7}$$ Шаг 3 — четыре точки на одной окружности.
Так как $\\angle AH_1M = \\angle AH_2M = 90°$, по обратной теореме Фалеса: точки $H_1$ и $H_2$ лежат на окружности с диаметром $AM$.
Итого все четыре точки $A, H_1, H_2, M$ вписаны в одну окружность, диаметр которой равен $AM$.

Шаг 4 — теорема синусов.
В описанной окружности (диаметр $= AM$) вписанный угол $\\angle H_1AH_2 = 60°$ опирается на хорду $H_1H_2$. По теореме синусов: $$\\dfrac{H_1H_2}{\\sin\\angle H_1AH_2} = AM \\implies \\dfrac{4\\sqrt{7}}{\\sin 60°} = AM$$ $$AM = \\dfrac{4\\sqrt{7}}{\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}} = \\dfrac{8\\sqrt{7}}{\\sqrt{3}} = \\dfrac{8\\sqrt{21}}{3} \\approx 12{,}2\\text{ см}$$
Ответ: $\\dfrac{8\\sqrt{21}}{3}$ см
` }, { text: `Решите уравнение $(x^2 + 4x + 5)^2 - 16(x^2 + 4x + 5) = 17$. В ответ запишите целые корни уравнения, удовлетворяющие неравенству $|x| \\leq 3$.`, sol: `Метод замены переменной: если в уравнении повторяется одно и то же выражение, удобно обозначить его новой буквой и решить как обычное квадратное уравнение.
Теорема Виета (обратная) для $t^2+pt+q=0$: $t_1+t_2=-p$, $t_1\\cdot t_2=q$.
Дискриминант: $D=b^2-4ac$; при $D\\lt 0$ корней нет.

Шаг 1. Замечаем, что выражение $x^2+4x+5$ встречается дважды. Сделаем замену: $$t = x^2+4x+5$$ Тогда уравнение примет вид: $$t^2 - 16t - 17 = 0$$ Шаг 2. По теореме Виета: $t_1+t_2=16$, $t_1\\cdot t_2=-17$. Подходят $17$ и $-1$: $$(t-17)(t+1)=0 \\implies t=17 \\text{ или } t=-1$$ Шаг 3. Возвращаемся к переменной $x$. Рассмотрим два случая.
Случай 1: $x^2+4x+5=17$, то есть $x^2+4x-12=0$.
Раскладываем: $(x+6)(x-2)=0 \\Rightarrow x=-6$ или $x=2$.
Проверяем условие $|x|\\leq 3$: $x=2$ подходит, $x=-6$ — нет.
Случай 2: $x^2+4x+5=-1$, то есть $x^2+4x+6=0$.
Дискриминант: $D=16-24=-8\\lt 0$, значит вещественных корней нет.
Шаг 4. Из всех найденных корней условию $|x|\\leq 3$ удовлетворяет только $x=2$.
Ответ: $x=2$
` }, ] };