VARIANTS[4] = { label: "Вариант 4", tasks: [ { text: `Определите, какое из следующих равенств верно:`, opts: [ ["а", "$b^2 \\cdot b^9 = b^{18}$"], ["б", "$b^2 \\cdot b^9 = 11b$"], ["в", "$b^2 \\cdot b^9 = b^{11}$"], ["г", "$b^2 \\cdot b^9 = b^7$"], ["д", "$b^2 \\cdot b^9 = 18b$"], ], sol: `При умножении степеней с одним основанием показатели складываются: $$b^2 \\cdot b^9 = b^{2+9} = b^{11}$$
Ответ: в) $b^{11}$
` }, { text: `Значение выражения $14\\dfrac{10}{21} - 2\\dfrac{12}{21}$ равно:`, opts: [ ["а", "$12\\dfrac{2}{21}$"], ["б", "$12\\dfrac{19}{21}$"], ["в", "$11\\dfrac{19}{21}$"], ["г", "$10\\dfrac{19}{21}$"], ["д", "$11\\dfrac{2}{21}$"], ], sol: `$$14\\tfrac{10}{21} - 2\\tfrac{12}{21} = (14-2) + \\left(\\tfrac{10}{21}-\\tfrac{12}{21}\\right) = 12 - \\tfrac{2}{21} = 11\\tfrac{21}{21} - \\tfrac{2}{21} = 11\\tfrac{19}{21}$$
Ответ: в) $11\\dfrac{19}{21}$
` }, { text: `Какое из следующих утверждений НЕ верно:`, opts: [ ["а", "на плоскости через точку можно провести только одну прямую, параллельную данной;"], ["б", "если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный;"], ["в", "у любого прямоугольника диагонали перпендикулярны;"], ["г", "сумма двух соседних углов параллелограмма равна $180^{\\circ}$?"], ], sol: ` Диагонали прямоугольника равны между собой, но не обязательно перпендикулярны — перпендикулярны диагонали ромба.
Ответ: в)
` }, { text: `Определите количество целых решений системы неравенств $$\\begin{cases} x < 8, \\\\[4pt] 5 - x \\leq 0. \\end{cases}$$`, sol: `Из второго неравенства: $5-x \\leq 0 \\Rightarrow x \\geq 5$.
Система: $5 \\leq x \\lt 8$
Целые числа: $5,\\ 6,\\ 7$ — ровно 3 числа.
Ответ: 3
` }, { text: `В окружность с радиусом $25$ см вписан треугольник, одна сторона которого является диаметром, а другая — равна $14$ см. Найдите площадь этого треугольника.`, sol: `Теорема Фалеса (о вписанном угле): вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, равен $90°$.
Теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике $c^2 = a^2 + b^2$, где $c$ — гипотенуза.
Формула площади прямоугольного треугольника: $S = \\dfrac{1}{2}\\cdot a\\cdot b$.

Шаг 1. Одна сторона треугольника — диаметр окружности, значит: $$d = 2R = 2\\cdot 25 = 50\\text{ см}$$ Шаг 2. По теореме Фалеса вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой ($90°$). Значит, треугольник прямоугольный, его гипотенуза $= 50$ см. A B C 50 см 14 см Шаг 3. По условию один катет равен $14$ см. По теореме Пифагора находим второй катет: $$b = \\sqrt{50^2-14^2} = \\sqrt{2500-196} = \\sqrt{2304} = 48\\text{ см}$$ Шаг 4. Площадь прямоугольного треугольника — полупроизведение катетов: $$S = \\tfrac{1}{2}\\cdot 14\\cdot 48 = 336\\text{ см}^2$$
Ответ: $336$ см²
` }, { text: `Найдите значение выражения $\\dfrac{b - 5}{b - 2\\sqrt{5b} + 5}$ при $b = 20$.`, sol: `Формула разности квадратов: $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.
Формула квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$.
Идея: при работе с радикалами представляем $b$ как $(\\sqrt{b})^2$, чтобы увидеть структуру формул сокращённого умножения.

Шаг 1. Разложим знаменатель. Представим $b=(\\sqrt{b})^2$ и $5=(\\sqrt{5})^2$: $$b - 2\\sqrt{5b} + 5 = (\\sqrt{b})^2 - 2\\sqrt{b}\\cdot\\sqrt{5} + (\\sqrt{5})^2 = (\\sqrt{b}-\\sqrt{5})^2$$ (это квадрат разности).
Шаг 2. Разложим числитель по формуле разности квадратов: $$b - 5 = (\\sqrt{b})^2 - (\\sqrt{5})^2 = (\\sqrt{b}-\\sqrt{5})(\\sqrt{b}+\\sqrt{5})$$ Шаг 3. Сокращаем общий множитель $(\\sqrt{b}-\\sqrt{5})$: $$\\dfrac{(\\sqrt{b}-\\sqrt{5})(\\sqrt{b}+\\sqrt{5})}{(\\sqrt{b}-\\sqrt{5})^2} = \\dfrac{\\sqrt{b}+\\sqrt{5}}{\\sqrt{b}-\\sqrt{5}}$$ Шаг 4. Подставляем $b=20$. Заметим, что $\\sqrt{20} = \\sqrt{4\\cdot 5} = 2\\sqrt{5}$: $$\\dfrac{\\sqrt{20}+\\sqrt{5}}{\\sqrt{20}-\\sqrt{5}} = \\dfrac{2\\sqrt{5}+\\sqrt{5}}{2\\sqrt{5}-\\sqrt{5}} = \\dfrac{3\\sqrt{5}}{\\sqrt{5}} = 3$$
Ответ: $3$
` }, { text: `Функция задана формулой $f(x) = \\dfrac{3}{x}$. Расположите в порядке возрастания $f(-2{,}3)$, $f(-11{,}5)$, $f(-\\sqrt{3})$. Ответ обоснуйте.`, sol: `Свойство гиперболы $y=\\dfrac{k}{x}$ при $k\\gt 0$: функция убывает на каждом из промежутков $(-\\infty;0)$ и $(0;+\\infty)$.
Правило сравнения значений убывающей функции: чем больше аргумент, тем меньше значение функции.

Шаг 1. Определим характер функции. У функции $f(x)=\\dfrac{3}{x}$ коэффициент $k=3\\gt 0$, поэтому на промежутке $(-\\infty;0)$ функция убывает.
Шаг 2. Все три аргумента отрицательны, значит, лежат на промежутке убывания.
Оценим $\\sqrt{3}$: так как $1\\lt 3\\lt 4$, то $1\\lt\\sqrt{3}\\lt 2$, точнее $\\sqrt{3}\\approx 1{,}73$, поэтому $-\\sqrt{3}\\approx -1{,}73$.
Расставим аргументы по возрастанию: $$-11{,}5 \\lt -2{,}3 \\lt -\\sqrt{3}$$ Шаг 3. Так как функция убывает, при увеличении аргумента значение $f$ уменьшается: $$f(-11{,}5) \\gt f(-2{,}3) \\gt f(-\\sqrt{3})$$ Шаг 4. Перепишем по возрастанию (от меньшего к большему): $$f(-\\sqrt{3}) \\lt f(-2{,}3) \\lt f(-11{,}5)$$ Проверка вычислением: $f(-\\sqrt{3})=-\\sqrt{3}\\approx -1{,}73$; $f(-2{,}3)\\approx -1{,}30$; $f(-11{,}5)\\approx -0{,}26$. Действительно, $-1{,}73\\lt -1{,}30\\lt -0{,}26$ ✓.
Ответ (по возрастанию): $f(-\\sqrt{3}) \\lt f(-2{,}3) \\lt f(-11{,}5)$
` }, { text: `Найдите сумму всех двузначных натуральных чисел, которые при делении на $11$ дают в остатке $6$.`, sol: `Теорема о делении с остатком: если число $n$ при делении на $d$ даёт остаток $r$, то $n = d\\cdot k + r$, где $k$ — целое неотрицательное число.
Формула суммы арифметической прогрессии: $S_n = \\dfrac{(a_1+a_n)\\cdot n}{2}$.

Шаг 1. Запишем общий вид искомых чисел. По условию число делится на $11$ с остатком $6$, поэтому имеет вид: $$n = 11k + 6,\\quad k = 0, 1, 2, \\ldots$$ Шаг 2. Найдём, при каких $k$ число будет двузначным: $10\\leq 11k+6\\leq 99$.
Левое неравенство: $11k\\geq 4 \\Rightarrow k\\geq 1$.
Правое неравенство: $11k\\leq 93 \\Rightarrow k\\leq 8$ (так как $11\\cdot 8=88\\leq 93$, а $11\\cdot 9=99\\gt 93$).
Итак, $k = 1, 2, \\ldots, 8$ — всего $8$ значений.
Шаг 3. Выпишем все двузначные числа: $$17,\\ 28,\\ 39,\\ 50,\\ 61,\\ 72,\\ 83,\\ 94$$ Это арифметическая прогрессия с $a_1=17$, разностью $d=11$, $n=8$, $a_8=94$.
Шаг 4. По формуле суммы арифметической прогрессии: $$S = \\dfrac{(a_1+a_n)\\cdot n}{2} = \\dfrac{(17+94)\\cdot 8}{2} = \\dfrac{111\\cdot 8}{2} = 111\\cdot 4 = 444$$
Ответ: $444$
` }, { text: `Внутри угла $B$, равного $60^{\\circ}$, взята точка $K$. Расстояния от точки $K$ до сторон угла равны $2$ см и $3$ см. Найдите расстояние от точки $K$ до вершины угла $B$.`, sol: `Опустим перпендикуляры $KH_1=2$ и $KH_2=3$ на стороны угла. d=BK 60° B K 2 H₁ 3 H₂ √19 120° O Шаг 1 — угол при K.
Четырёхугольник $BH_1KH_2$ имеет три известных угла. Сумма углов четырёхугольника $= 360°$: $$\\angle H_1KH_2 = 360° - 90° - 60° - 90° = 120°$$ Шаг 2 — длина отрезка H₁H₂.
Теорема косинусов в $\\triangle H_1KH_2$: $$H_1H_2^2 = 2^2 + 3^2 - 2\\cdot2\\cdot3\\cdot\\cos120° = 4+9-12\\cdot\\left(-\\tfrac{1}{2}\\right) = 13+6 = 19$$ $$H_1H_2 = \\sqrt{19}$$ Шаг 3 — четыре точки на одной окружности.
Так как $\\angle BH_1K = \\angle BH_2K = 90°$, по обратной теореме Фалеса все четыре точки $B, H_1, K, H_2$ лежат на одной окружности с диаметром $BK$.

Шаг 4 — теорема синусов.
В описанной окружности (диаметр $= BK$) вписанный угол $\\angle H_1BH_2 = 60°$ опирается на хорду $H_1H_2$: $$\\dfrac{H_1H_2}{\\sin\\angle H_1BH_2} = BK \\implies BK = \\dfrac{\\sqrt{19}}{\\sin 60°} = \\dfrac{\\sqrt{19}}{\\tfrac{\\sqrt{3}}{2}} = \\dfrac{2\\sqrt{19}}{\\sqrt{3}} = \\dfrac{2\\sqrt{57}}{3}$$
Ответ: $\\dfrac{2\\sqrt{57}}{3}$ см
` }, { text: `Решите уравнение $(x^2 + 2x + 3)^2 - 17(x^2 + 2x + 3) = 18$. В ответ запишите целые корни уравнения, удовлетворяющие неравенству $|x| \\leq 4$.`, sol: `Метод замены переменной: если в уравнении повторяется одно и то же выражение, обозначаем его новой буквой и сводим к квадратному уравнению.
Теорема Виета (обратная) для $t^2+pt+q=0$: $t_1+t_2=-p$, $t_1\\cdot t_2=q$.
Дискриминант: $D=b^2-4ac$; при $D\\lt 0$ вещественных корней нет.

Шаг 1. Выражение $x^2+2x+3$ встречается дважды. Сделаем замену: $$t = x^2+2x+3$$ Уравнение примет вид: $$t^2 - 17t - 18 = 0$$ Шаг 2. По теореме Виета: $t_1+t_2=17$, $t_1\\cdot t_2=-18$. Подходят $18$ и $-1$: $$(t-18)(t+1)=0 \\implies t=18 \\text{ или } t=-1$$ Шаг 3. Возвращаемся к $x$.
Случай 1: $x^2+2x+3=18$, то есть $x^2+2x-15=0$.
Раскладываем: $(x+5)(x-3)=0 \\Rightarrow x=-5$ или $x=3$.
Проверяем условие $|x|\\leq 4$: $x=3$ подходит, $x=-5$ — нет.
Случай 2: $x^2+2x+3=-1$, то есть $x^2+2x+4=0$.
Дискриминант: $D=4-16=-12\\lt 0$, значит корней нет.
Шаг 4. Условию $|x|\\leq 4$ удовлетворяет только $x=3$.
Ответ: $x=3$
` }, ] };