VARIANTS[20] = { label: "Вариант 20", tasks: [ { text: `Определите рисунок, на котором изображён график функции $y = (x-1)^2$:`, figure: ``, sol: `Функция $y=(x-1)^2$ — это парабола $y=x^2$, сдвинутая на $1$ единицу вправо. На рисунке ищем параболу с вершиной в точке $(1;\\,0)$, ветви направлены вверх.
Ответ: рисунок с параболой, вершина которой в точке $(1;\\,0)$
` }, { text: `Какие из данных чисел являются решениями системы неравенств $$\\left\\{\\begin{array}{l} a > -4, \\\\[4pt] a \\leq 3\\dfrac{1}{2}; \\end{array}\\right.$$`, opts: [ ["а", "$3$"], ["б", "$-4$"], ["в", "$0$"], ["г", "$4{,}5$"], ["д", "$-4{,}5$"], ], sol: `Решение системы: $-4 < a \\leq 3{,}5$. −4 0 3,5 Проверяем каждое:
Ответ: а) и в)
` }, { text: `Какое из следующих утверждений НЕ верно:`, opts: [ ["а", "диагонали равнобедренной трапеции точкой пересечения делятся пополам;"], ["б", "периметр квадрата со стороной $6$ см равен $24$ см;"], ["в", "если у четырёхугольника $ABCD$ $\\angle A + \\angle C = 180^{\\circ}$, то около него можно описать окружность;"], ["г", "если у $\\triangle ABC$ $\\angle C = 90^{\\circ}$, $AC = 3$, $BC = 4$, то $\\operatorname{ctg} A = \\dfrac{3}{4}$?"], ], sol: ` Диагонали равнобедренной трапеции равны по длине, но не делятся пополам в точке пересечения (это свойство параллелограмма).
Ответ: а)
` }, { text: `Найдите значение выражения $10A$, если $A = \\sqrt{0{,}49} \\cdot \\sqrt{25} - \\sqrt{1{,}96}$.`, sol: `Извлекаем корни: $$\\sqrt{0{,}49}=0{,}7;\\quad \\sqrt{25}=5;\\quad \\sqrt{1{,}96}=1{,}4$$ Подставляем: $$A = 0{,}7\\cdot 5 - 1{,}4 = 3{,}5 - 1{,}4 = 2{,}1$$ $$10A = 10\\cdot 2{,}1 = 21$$
Ответ: $21$
` }, { text: `Первый член арифметической прогрессии равен $-4\\dfrac{1}{2}$, разность прогрессии равна $-0{,}5$. Является ли членом данной прогрессии число $-10$? Ответ обоснуйте.`, sol: `Дано: $a_1 = -4\\dfrac{1}{2} = -\\dfrac{9}{2}$, $d = -0{,}5 = -\\dfrac{1}{2}$.
Формула $n$-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Если $-10$ — член прогрессии, найдём его номер $n$: $$-10 = -\\dfrac{9}{2} + (n-1)\\cdot\\left(-\\dfrac{1}{2}\\right)$$ Умножим обе части на $-2$: $$20 = 9 + (n-1)$$ $$n-1 = 11 \\implies n = 12$$ Получили натуральное число $n=12$, значит $-10$ — это 12-й член прогрессии.
Ответ: да, $-10$ — член прогрессии (12-й по счёту)
` }, { text: `$ABCD$ — прямоугольник с периметром $36$ см, сторона $AD$ в $2$ раза больше стороны $AB$. Найдите площадь прямоугольника.`, sol: `Формула периметра прямоугольника: $P = 2(a+b)$.
Формула площади прямоугольника: $S = a\\cdot b$.
Шаг 1. Введём обозначение: пусть $AB = x$ см. Тогда $AD = 2x$ см, так как по условию $AD$ в $2$ раза больше $AB$.
Шаг 2. Составим уравнение по формуле периметра: $$2(AB+AD) = 36 \\;\\implies\\; 2(x+2x) = 36 \\;\\implies\\; 6x = 36 \\;\\implies\\; x = 6$$ Шаг 3. Находим стороны: $AB = 6$ см, $AD = 12$ см. A D C B AD = 12 AB=6 Шаг 4. Подставляем в формулу площади: $$S = AD\\cdot AB = 12\\cdot 6 = 72\\text{ см}^2$$
Ответ: $72$ см²
` }, { text: `Оптовая стоимость справочного издания «Образование в Беларуси: истоки, история, современность» $28$ р. Какое наибольшее количество данных книг по розничной цене можно купить на $5500$ р., если розничная цена на $25\\%$ выше оптовой?`, sol: `Правило увеличения числа на $p$ процентов: новое значение равно $N\\cdot\\left(1+\\dfrac{p}{100}\\right)$.
Шаг 1. Найдём розничную цену. Так как она на $25\\%$ выше оптовой: $$28\\cdot\\left(1+\\dfrac{25}{100}\\right) = 28\\cdot 1{,}25 = 35\\text{ р.}$$ Шаг 2. Делим имеющуюся сумму на цену одной книги, чтобы узнать, сколько книг можно купить: $$\\dfrac{5500}{35} = 157{,}14\\ldots$$ Шаг 3. Так как количество книг — натуральное число, округляем результат вниз: получаем $157$ книг.
Шаг 4. Проверим граничные значения:
$\\bullet$ $157\\cdot 35 = 5495$ р. — меньше $5500$, значит $157$ книг купить можно;
$\\bullet$ $158\\cdot 35 = 5530$ р. — больше $5500$, значит $158$ книг купить уже нельзя.
Ответ: $157$ книг
` }, { text: `Упростите выражение $$\\left(\\dfrac{y+2}{y^2-y-6} - \\dfrac{y}{y^2-6y+9}\\right) : \\dfrac{1}{(2y-6)^2}.$$`, sol: `Формула квадрата разности: $a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$. Разложение квадратного трёхчлена: $y^2-y-6=(y-3)(y+2)$, так как корни $3$ и $-2$. Правило деления дробей: $\\dfrac{A}{B}:\\dfrac{C}{D}=\\dfrac{A}{B}\\cdot\\dfrac{D}{C}$.
Шаг 1. Разложим знаменатели на множители: $$y^2-y-6 = (y-3)(y+2);$$ $$y^2-6y+9 = (y-3)^2;$$ $$(2y-6)^2 = \\bigl(2(y-3)\\bigr)^2 = 4(y-3)^2.$$ Шаг 2. Запишем ОДЗ: знаменатели не равны нулю, значит $y\\neq 3$ и $y\\neq -2$.
Шаг 3. Сократим первую дробь в скобках — множитель $(y+2)$ есть в числителе и в знаменателе: $$\\dfrac{y+2}{(y-3)(y+2)} = \\dfrac{1}{y-3}.$$ Шаг 4. Приведём дроби в скобках к общему знаменателю $(y-3)^2$. Дробь $\\dfrac{1}{y-3}$ умножим на $\\dfrac{y-3}{y-3}$: $$\\dfrac{y-3}{(y-3)^2} - \\dfrac{y}{(y-3)^2} = \\dfrac{(y-3)-y}{(y-3)^2} = \\dfrac{-3}{(y-3)^2}.$$ Шаг 5. Заменим деление умножением на обратную дробь: $$\\dfrac{-3}{(y-3)^2} : \\dfrac{1}{(2y-6)^2} = \\dfrac{-3}{(y-3)^2}\\cdot 4(y-3)^2.$$ Сокращаем $(y-3)^2$: $$\\dfrac{-3}{(y-3)^2}\\cdot 4(y-3)^2 = -3\\cdot 4 = -12.$$
Ответ: $-12$
` }, { text: `Найдите сумму координат точки пересечения прямых, заданных уравнениями $2x + 3y = -23$ и $x - y = 11(10 + y)$.`, sol: `Метод решения: точка пересечения двух прямых — общее решение их уравнений. Используем метод подстановки.
Шаг 1. Упростим второе уравнение, раскрыв скобки в правой части: $$x - y = 110 + 11y \\;\\implies\\; x = 110 + 12y$$ Шаг 2. Подставим $x = 110+12y$ в первое уравнение и решим относительно $y$: $$2(110+12y)+3y = -23$$ $$220+24y+3y = -23$$ $$27y = -243 \\;\\implies\\; y = -9$$ Шаг 3. Найдём $x$, подставив $y=-9$: $$x = 110 + 12\\cdot(-9) = 110 - 108 = 2$$ Шаг 4. Точка пересечения — $(2;\\,-9)$. Сумма координат: $$x+y = 2+(-9) = -7$$
Ответ: $-7$
` }, { text: `Диагонали трапеции $ABCD$ ($AD \\| BC$) пересекаются в точке $O$. Площади треугольников $AOD$ и $COD$ равны соответственно $54$ см² и $18$ см². Найдите площадь трапеции.`, sol: ` O A D B C 18 6 54 18 Шаг 1 — отношение оснований.
Треугольники $AOD$ и $COD$ имеют общую вершину $D$, основания $AO$ и $OC$ лежат на диагонали $AC$. Отношение площадей равно отношению оснований: $$\\dfrac{S_{AOD}}{S_{COD}} = \\dfrac{AO}{OC} = \\dfrac{54}{18} = 3$$ По свойству трапеции $\\dfrac{AO}{OC} = \\dfrac{AD}{BC}$, значит $\\dfrac{AD}{BC} = 3$.

Шаг 2 — площадь треугольника BOC.
Треугольники $AOD$ и $BOC$ подобны (т.к. $AD\\parallel BC$), коэффициент подобия $k = 3$. Отношение площадей $= k^2 = 9$: $$S_{BOC} = \\dfrac{S_{AOD}}{9} = \\dfrac{54}{9} = 6\\text{ см}^2$$ Шаг 3 — площадь треугольника ABO.
В трапеции: $S_{ABO} = S_{COD}$ (известное свойство). Значит, $S_{ABO} = 18$ см².

Шаг 4 — итог. $$S_{ABCD} = S_{ABO}+S_{BOC}+S_{COD}+S_{AOD} = 18+6+18+54 = 96\\text{ см}^2$$
Ответ: $96$ см²
` }, ] };