`
},
{
text: `Определите, какое из чисел является решением уравнения $3 = -6x$:`,
opts: [
["а", "$-2$"], ["б", "$2$"], ["в", "$\\dfrac{1}{2}$"],
["г", "$-\\dfrac{1}{2}$"], ["д", "$-3$"],
],
sol: `$$3 = -6x \\implies x = \\dfrac{3}{-6} = -\\dfrac{1}{2}$$
Проверка: $-6\\cdot\\bigl(-\\tfrac{1}{2}\\bigr)=3$ ✓
Ответ: г) $-\\dfrac{1}{2}$
`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений НЕ верно:`,
opts: [
["а", "сумма смежных углов равна $180^{\\circ}$;"],
["б", "на плоскости две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой;"],
["в", "в любом параллелограмме противоположные углы равны между собой;"],
["г", "существует треугольник со сторонами, равными $3$ см, $5$ см и $8$ см?"],
],
sol: `
`
},
{
text: `Таня затратила на выполнение домашнего задания $2$ ч.
На выполнение домашнего задания по алгебре она затратила $\\dfrac{1}{3}$ всего времени.
Сколько минут Таня выполняла оставшуюся часть домашнего задания?`,
sol: `Правило нахождения части от числа: чтобы найти $\\dfrac{m}{n}$ от числа $A$, умножают $A$ на $\\dfrac{m}{n}$.
Шаг 1. Переведём общее время в минуты, так как ответ нужен именно в минутах:
$$2\\text{ ч} = 2\\cdot 60 = 120\\text{ мин}.$$
Шаг 2. Найдём время, затраченное на алгебру. По условию это $\\dfrac{1}{3}$ всего времени:
$$\\dfrac{1}{3}\\cdot 120 = 40\\text{ мин}.$$
Шаг 3. Оставшаяся часть задания — это разность общего времени и времени на алгебру:
$$120 - 40 = 80\\text{ мин}.$$
Ответ: $80$ мин
`
},
{
text: `Сумма длин гипотенузы и катета, лежащего в данном треугольнике против угла в $30^{\\circ}$,
равна $24$ см. Найдите площадь круга, описанного около треугольника.`,
sol: `Свойство прямоугольного треугольника с углом $30°$: катет, лежащий против угла $30°$, равен половине гипотенузы.
Свойство описанной окружности прямоугольного треугольника: центр окружности лежит в середине гипотенузы, поэтому $R = \\dfrac{c}{2}$, где $c$ — гипотенуза.
Формула площади круга: $S = \\pi R^2$.
Шаг 1. Обозначим гипотенузу через $c$. Тогда катет, лежащий против угла $30°$, равен $\\dfrac{c}{2}$.
Шаг 2. Составим уравнение из условия «сумма равна $24$»:
$$c + \\dfrac{c}{2} = 24 \\;\\implies\\; \\dfrac{3c}{2} = 24 \\;\\implies\\; c = 16\\text{ см}$$
Шаг 3. Так как гипотенуза — диаметр описанной окружности, радиус:
$$R = \\dfrac{c}{2} = \\dfrac{16}{2} = 8\\text{ см}$$
Шаг 4. Применяем формулу площади круга:
$$S = \\pi R^2 = \\pi\\cdot 8^2 = 64\\pi\\text{ см}^2$$
Ответ: $64\\pi$ см²
`
},
{
text: `Найдите наибольшее целое решение неравенства
$\\dfrac{(x-9)^2}{x^2+x-12} \\leq 0$.`,
sol: `Метод интервалов для дробного неравенства: сначала находим ОДЗ (знаменатель $\\neq 0$), затем определяем знаки числителя и знаменателя.
Шаг 1. Разложим знаменатель на множители. Ищем числа с произведением $-12$ и суммой $1$ — это $4$ и $-3$:
$$x^2+x-12=(x+4)(x-3)$$
ОДЗ: $x\\neq -4$ и $x\\neq 3$, иначе знаменатель равен нулю.
Шаг 2. Числитель $(x-9)^2$ — квадрат, значит он всегда неотрицателен. Дробь будет $\\leq 0$ в двух случаях:
числитель равен нулю, то есть $x=9$ (тогда вся дробь $=0$; знаменатель при $x=9$ равен $9^2+9-12=78\\neq 0$, ОДЗ соблюдено);
числитель строго больше нуля, а знаменатель отрицателен (дробь отрицательна).
Шаг 3. Решаем неравенство $(x+4)(x-3)\\lt 0$. Произведение двух множителей отрицательно, когда они разных знаков, поэтому $-4\\lt x\\lt 3$.
Шаг 4. Объединяем оба случая: $x\\in(-4;\\,3)\\cup\\{9\\}$.
Шаг 5. Целые числа в $(-4;\\;3)$: $-3,-2,-1,0,1,2$. И ещё $x=9$.
Наибольшее из всех целых решений — $x=9$.
Ответ: наибольшее целое решение $x = 9$
`
},
{
text: `Постройте графики уравнений системы
$$\\begin{cases} x + y = 5, \\\\[4pt] y - x^2 = 3 \\end{cases}$$
и найдите сумму ординат точек пересечения.`,
sol: `Метод решения: точки пересечения графиков — это решения системы. Решаем методом подстановки.
Шаг 1. Из первого уравнения выразим $y$: $y = 5 - x$.
Шаг 2. Подставим во второе уравнение $y - x^2 = 3$:
$$(5-x)-x^2 = 3 \\;\\implies\\; -x^2 - x + 2 = 0 \\;\\implies\\; x^2+x-2=0$$
Шаг 3. Раскладываем на множители (по теореме Виета: сумма корней $-1$, произведение $-2$, значит корни $-2$ и $1$):
$$(x+2)(x-1)=0 \\;\\implies\\; x_1 = -2,\\; x_2 = 1$$
Шаг 4. Находим $y$ по формуле $y = 5 - x$:
при $x = -2$: $y = 5 - (-2) = 7$;
при $x = 1$: $y = 5 - 1 = 4$.
Шаг 5. Точки пересечения: $(-2;\\,7)$ и $(1;\\,4)$. Сумма ординат:
$$7 + 4 = 11$$
Ответ: $11$
`
},
{
text: `Три числа, дающие в сумме $36$, являются последовательными членами арифметической прогрессии.
Если от первого числа вычесть $5$, от второго вычесть $6$, а третье число увеличить вдвое,
то полученные числа будут последовательными членами геометрической прогрессии.
Найдите эти числа.`,
sol: `Пусть три члена АП: $12-d$, $12$, $12+d$ (сумма $=3\\cdot12=36$).
После преобразований получаем три члена ГП: $(7-d)$, $6$, $(24+2d)$.
Условие ГП ($b^2=ac$):
$$6^2=(7-d)(24+2d) \\implies 36=168-10d-2d^2$$
$$2d^2+10d-132=0 \\implies d^2+5d-66=0$$
$$D=25+264=289=17^2 \\implies d=\\dfrac{-5\\pm17}{2}$$
$d=6$: АП: $6,12,18$. ГП: $1,6,36$ (знаменатель $6$) ✓
$d=-11$: АП: $23,12,1$. ГП: $18,6,2$ (знаменатель $\\tfrac{1}{3}$) ✓
Ответ: $6,\\ 12,\\ 18$ или $1,\\ 12,\\ 23$
`
},
{
text: `$AM$ — медиана треугольника $ABC$, площадь которого $120$ см².
Точка $E$ — середина медианы $AM$.
Луч $BE$ пересекает сторону $AC$ в точке $K$.
Найдите площадь четырёхугольника $МЕКС$.`,
sol: `
Шаг 1. Медиана $AM$ делит $\\triangle ABC$ пополам:
$$S_{ABM} = S_{ACM} = 60\\text{ см}^2$$
Шаг 2. Ключевой факт: $S_{ABK} = S_{MBK}$. Треугольники $ABK$ и $MBK$ имеют общее основание $BK$. Точка $E$ — середина $AM$ — лежит на луче $BK$ (по условию). Значит, прямая $BK$ пересекает отрезок $AM$ ровно в его середине, то есть $A$ и $M$ находятся по разные стороны от прямой $BK$ на одинаковом расстоянии. Следовательно, высоты из $A$ и $M$ на $BK$ равны, и:
$$S_{ABK} = S_{MBK}$$
Шаг 3. $M$ — середина $BC$ ⟹ треугольники $MBK$ и $CBK$ имеют основания $MB$ и $CB$ при одинаковой высоте из $K$:
$$\\dfrac{S_{MBK}}{S_{CBK}} = \\dfrac{MB}{CB} = \\dfrac{1}{2} \\implies S_{CBK} = 2\\cdot S_{ABK}$$
Шаг 4. Обозначим $S_{ABK} = p$. Тогда $S_{CBK} = 2p$. Точка $K$ на $AC$ делит $\\triangle ABC$ на два треугольника:
$$p + 2p = 120 \\implies p = 40$$
Итак, $S_{ABK}=40$ см², $S_{CBK}=80$ см².
Шаг 5. $M$ — середина $BC$ ⟹
$$S_{MKC} = \\dfrac{1}{2}\\cdot S_{CBK} = 40\\text{ см}^2$$
Шаг 6. Из $S_{ABK}=40$ находим $AK:KC$. Треугольники $ABK$ и $ABC$ — общая вершина $B$, основания $AK$ и $AC$:
$$\\dfrac{AK}{AC} = \\dfrac{S_{ABK}}{S_{ABC}} = \\dfrac{40}{120} = \\dfrac{1}{3}$$
Шаг 7. Треугольники $AMK$ и $AMC$ — общая вершина $M$, основания на $AC$:
$$S_{AMK} = \\dfrac{AK}{AC}\\cdot S_{AMC} = \\dfrac{1}{3}\\cdot 60 = 20\\text{ см}^2$$
Шаг 8. $E$ — середина $AM$ ⟹ треугольники $AEK$ и $AMK$ имеют основания $AE$ и $AM$:
$$S_{AEK} = \\dfrac{AE}{AM}\\cdot S_{AMK} = \\dfrac{1}{2}\\cdot 20 = 10\\text{ см}^2$$
Шаг 9. $S_{MEK} = S_{AMK} - S_{AEK} = 20 - 10 = 10$ см².
Итог:
$$S_{МЕКС} = S_{MEK} + S_{MKC} = 10 + 40 = 50\\text{ см}^2$$