`
},
{
text: `Определите, какое из чисел является решением уравнения $-5 = 10x$:`,
opts: [
["а", "$-2$"], ["б", "$2$"], ["в", "$\\dfrac{1}{2}$"],
["г", "$-\\dfrac{1}{2}$"], ["д", "$-5$"],
],
sol: `$$-5 = 10x \\implies x = \\dfrac{-5}{10} = -\\dfrac{1}{2}$$
Проверка: $10\\cdot\\bigl(-\\tfrac{1}{2}\\bigr)=-5$ ✓
Ответ: г) $-\\dfrac{1}{2}$
`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений НЕ верно:`,
opts: [
["а", "вертикальные углы равны;"],
["б", "на плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой;"],
["в", "в любой трапеции углы, прилежащие к боковой стороне, в сумме равны $180^{\\circ}$;"],
["г", "существует треугольник со сторонами, равными $10$ см, $6$ см и $4$ см?"],
],
sol: `
а) Вертикальные углы равны — верно
б) На плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой — верно
в) В любой трапеции углы, прилежащие к боковой стороне, в сумме равны $180^{\\circ}$ — верно
г) Стороны $10$, $6$, $4$: $6+4=10$, но для треугольника нужно строгое неравенство $a+b>c$ — НЕВЕРНО (вырожденный «треугольник»)
`
},
{
text: `На уроке математики, который длится $45$ минут, $\\dfrac{4}{9}$ всего времени
учащиеся выполняли самостоятельную работу, а оставшееся время изучали новую тему.
Сколько минут учащиеся изучали новую тему?`,
sol: `Правило нахождения части от числа: чтобы найти $\\dfrac{m}{n}$ от числа $A$, умножают $A$ на $\\dfrac{m}{n}$.
Шаг 1. Найдём время, затраченное на самостоятельную работу. По условию оно составляет $\\dfrac{4}{9}$ от всего времени урока:
$$\\dfrac{4}{9}\\cdot 45 = \\dfrac{4\\cdot 45}{9} = \\dfrac{180}{9} = 20\\text{ мин}.$$
Шаг 2. Оставшееся время — это разность между длительностью урока и временем на самостоятельную работу:
$$45 - 20 = 25\\text{ мин}.$$
Значит, новую тему изучали $25$ минут.
Ответ: $25$ минут
`
},
{
text: `Разность длин гипотенузы и катета, лежащего в данном треугольнике против угла в $30^{\\circ}$,
равна $12$ см. Найдите длину окружности, описанной около треугольника.`,
sol: `Свойство прямоугольного треугольника с углом $30°$: катет, лежащий против угла $30°$, равен половине гипотенузы.
Свойство описанной окружности прямоугольного треугольника: гипотенуза является диаметром окружности, описанной около треугольника, поэтому $R=\\dfrac{c}{2}$.
Формула длины окружности: $L = 2\\pi R$.
Шаг 1. Обозначим гипотенузу $c$. Тогда катет против $30°$ равен $\\dfrac{c}{2}$.
Шаг 2. Составим уравнение из условия «разность равна $12$»:
$$c - \\dfrac{c}{2} = 12 \\;\\implies\\; \\dfrac{c}{2} = 12 \\;\\implies\\; c = 24\\text{ см}$$
Шаг 3. Радиус описанной окружности:
$$R = \\dfrac{c}{2} = \\dfrac{24}{2} = 12\\text{ см}$$
Шаг 4. Применяем формулу длины окружности:
$$L = 2\\pi R = 2\\pi\\cdot 12 = 24\\pi\\text{ см}$$
Ответ: $24\\pi$ см
`
},
{
text: `Найдите наименьшее целое решение неравенства
$\\dfrac{(x-5)^2}{x^2+x-20} \\leq 0$.`,
sol: `Метод интервалов для дробного неравенства: сначала находим ОДЗ (знаменатель $\\neq 0$), затем определяем знаки числителя и знаменателя.
Шаг 1. Разложим знаменатель на множители. Ищем два числа с произведением $-20$ и суммой $1$ — это $5$ и $-4$:
$$x^2+x-20=(x+5)(x-4)$$
ОДЗ: $x\\neq -5$ и $x\\neq 4$, иначе знаменатель равен нулю.
Шаг 2. Числитель $(x-5)^2$ — квадрат, поэтому $\\geq 0$. Значит дробь $\\leq 0$ в двух случаях:
числитель строго положителен, а знаменатель отрицателен.
Шаг 3. Решаем $(x+5)(x-4)\\lt 0$. Произведение отрицательно, когда множители разных знаков: $-5\\lt x\\lt 4$.
Шаг 4. Объединяем: $x\\in(-5;\\,4)\\cup\\{5\\}$.
Шаг 5. Целые числа в интервале $(-5;\\;4)$: $-4,-3,-2,-1,0,1,2,3$, и ещё $x=5$.
Наименьшее целое решение — $x=-4$.
Ответ: наименьшее целое решение $x = -4$
`
},
{
text: `Постройте графики уравнений системы
$$\\begin{cases} 3x + y = 5, \\\\[4pt] y - x^2 = 1 \\end{cases}$$
и найдите сумму ординат точек пересечения.`,
sol: `Метод решения: точки пересечения графиков — это решения системы. Используем метод подстановки.
Шаг 1. Из первого уравнения выразим $y$: $y = 5 - 3x$.
Шаг 2. Подставим во второе уравнение $y - x^2 = 1$:
$$(5-3x)-x^2 = 1 \\;\\implies\\; -x^2 - 3x + 4 = 0 \\;\\implies\\; x^2+3x-4=0$$
Шаг 3. По теореме Виета ищем корни: сумма $-3$, произведение $-4$ — это $-4$ и $1$:
$$(x+4)(x-1)=0 \\;\\implies\\; x_1 = -4,\\; x_2 = 1$$
Шаг 4. Находим $y$ по формуле $y = 5 - 3x$:
при $x = -4$: $y = 5 - 3\\cdot(-4) = 5 + 12 = 17$;
при $x = 1$: $y = 5 - 3\\cdot 1 = 2$.
Шаг 5. Точки пересечения: $(-4;\\,17)$ и $(1;\\,2)$. Сумма ординат:
$$17 + 2 = 19$$
Ответ: $19$
`
},
{
text: `Три числа, дающие в сумме $18$, являются последовательными членами арифметической прогрессии.
Если от первого числа вычесть $2$, от второго вычесть $3$, а третье число оставить без изменения,
то полученные числа будут последовательными членами геометрической прогрессии.
Найдите эти числа.`,
sol: `Пусть три члена АП: $6-d$, $6$, $6+d$ (сумма $=3\\cdot6=18$).
После преобразований получаем три члена ГП: $(4-d)$, $3$, $(6+d)$.
Условие ГП ($b^2=ac$):
$$3^2=(4-d)(6+d) \\implies 9=24+4d-6d-d^2$$
$$9=24-2d-d^2 \\implies d^2+2d-15=0$$
$$D=4+60=64=8^2 \\implies d=\\dfrac{-2\\pm8}{2}$$
$d=3$: АП: $3,\\ 6,\\ 9$. ГП: $1,\\ 3,\\ 9$ (знаменатель $3$) ✓
$d=-5$: АП: $11,\\ 6,\\ 1$. ГП: $9,\\ 3,\\ 1$ (знаменатель $\\tfrac{1}{3}$) ✓
Ответ: $3,\\ 6,\\ 9$ или $1,\\ 6,\\ 11$
`
},
{
text: `$CK$ — медиана треугольника $ABC$, площадь которого $240$ см².
Точка $E$ — середина медианы $CK$.
Луч $AE$ пересекает сторону $BC$ в точке $M$.
Найдите площадь четырёхугольника $КЕМВ$.`,
sol: `
Шаг 1. Медиана $CK$ делит $\\triangle ABC$ пополам ($K$ — середина $AB$):
$$S_{ACK} = S_{BCK} = 120\\text{ см}^2$$
Шаг 2. Находим точку $M$ на $BC$. Координаты: $A=(0,0)$, $B=(2,0)$, $C=(0,h)$, $K=(1,0)$, $E=\bigl(\tfrac{1}{2},\tfrac{h}{2}\bigr)$.
Прямая $AE$: $y=hx$. Прямая $BC$: $hx+2y=2h$.
Подставляем $y=hx$: $3hx=2h \\implies x=\\dfrac{2}{3}$, $y=\\dfrac{2h}{3}$.
Шаг 3. $S_{\\triangle KEM}$ (вершины $K=(1,0)$, $E=(\tfrac{1}{2},\tfrac{h}{2})$, $M=(\tfrac{2}{3},\tfrac{2h}{3})$):
$$S_{KEM}=\\dfrac{1}{2}\\left|\\left(-\\dfrac{1}{2}\\right)\\cdot\\dfrac{2h}{3}-\\dfrac{h}{2}\\cdot\\left(-\\dfrac{1}{3}\\right)\\right|=\\dfrac{1}{2}\\cdot\\dfrac{h}{6}=\\dfrac{h}{12}$$
Шаг 4. $S_{\\triangle BKM}$: основание $BK=1$, высота из $M$ на $BK$ равна $\\dfrac{2h}{3}$:
$$S_{BKM}=\\dfrac{1}{2}\cdot1\\cdot\\dfrac{2h}{3}=\\dfrac{h}{3}$$
Шаг 5. $S_{\\triangle ABC}=h=240$.
$$S_{\\text{КЕМВ}}=S_{KEM}+S_{BKM}=\\dfrac{240}{12}+\\dfrac{240}{3}=20+80=100\\text{ см}^2$$