`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений НЕ верно:`,
opts: [
["а", "через точку, лежащую вне окружности, можно провести ровно две касательные к этой окружности;"],
["б", "площадь ромба равна произведению диагоналей;"],
["в", "если стороны одного треугольника равны $6$, $8$ и $10$, другого — $3$, $4$ и $5$, то треугольники подобны между собой;"],
["г", "$\\cos 60^{\\circ} = \\dfrac{1}{2}$?"],
],
sol: `
а) Через внешнюю точку окружности проходят ровно две касательные — верно
б) «Площадь ромба равна произведению диагоналей» — НЕВЕРНО. Правильная формула: $S=\\dfrac{1}{2}d_1 d_2$ (половина произведения диагоналей).
в) Стороны $6:8:10=3:4:5$, коэффициент подобия $2$ — верно
г) $\\cos60°=\\dfrac{1}{2}$ — верно
Ответ: б)
`
},
{
text: `Определите, принадлежит ли точка $A(-1;\\;1)$ графику функции $y = 3x + 4$.
Ответ обоснуйте.`,
sol: `Подставляем координаты точки $A(-1;\\,1)$ в уравнение $y=3x+4$:
$$y = 3\\cdot(-1)+4 = -3+4 = 1$$
Получили $y=1$, и у точки $A$ координата $y=1$.
Так как $1=1$, точка $A(-1;\\,1)$ принадлежит графику функции.
Ответ: да, принадлежит
`
},
{
text: `Учащемуся в возрасте $10$ лет требуется не менее $9$–$10$ часов сна.
Выполняется ли это требование, если он спит $\\dfrac{5}{12}$ суток? Ответ обоснуйте.`,
sol: `Правило нахождения части от числа: чтобы найти $\\dfrac{m}{n}$ от числа $A$, нужно умножить $A$ на $\\dfrac{m}{n}$. Длительность суток: $24$ часа.
Шаг 1. Найдём, сколько часов составляет $\\dfrac{5}{12}$ суток:
$$\\dfrac{5}{12}\\cdot 24 = \\dfrac{5\\cdot 24}{12} = \\dfrac{120}{12} = 10\\text{ ч}.$$
Шаг 2. Сравним полученное время с нижней границей нормы. По условию требуется не менее $9$ часов, значит нужно, чтобы фактическое время сна было $\\geq 9$ ч.
Так как $10\\geq 9$, требование выполняется.
Ответ: да, требование выполняется — ровно $10$ часов сна
`
},
{
text: `Сравните значение выражения
$\\dfrac{5}{12} \\cdot \\left(-\\dfrac{3}{5}\\right) + \\dfrac{1}{4} \\cdot \\left(-\\dfrac{3}{8}\\right) - \\dfrac{1}{7} \\cdot \\dfrac{4}{7}$
с числом $-2$.`,
sol: `Порядок действий: сначала умножения, потом сложение и вычитание. Правило умножения дробей: $\\dfrac{a}{b}\\cdot\\dfrac{c}{d}=\\dfrac{ac}{bd}$. Знак произведения: минус на плюс — минус, плюс на плюс — плюс.
Шаг 1. Вычислим каждое произведение, сокращая по ходу:
$$\\dfrac{5}{12}\\cdot\\left(-\\dfrac{3}{5}\\right) = -\\dfrac{5\\cdot 3}{12\\cdot 5} = -\\dfrac{3}{12} = -\\dfrac{1}{4};$$
$$\\dfrac{1}{4}\\cdot\\left(-\\dfrac{3}{8}\\right) = -\\dfrac{3}{32};$$
$$\\dfrac{1}{7}\\cdot\\dfrac{4}{7} = \\dfrac{4}{49}.$$
Шаг 2. Подставим найденные значения в исходное выражение:
$$-\\dfrac{1}{4} + \\left(-\\dfrac{3}{32}\\right) - \\dfrac{4}{49} = -\\dfrac{1}{4} - \\dfrac{3}{32} - \\dfrac{4}{49}.$$
Шаг 3. Найдём общий знаменатель. НОК$(4;32;49) = 32\\cdot 49 = 1568$. Приведём дроби:
$$-\\dfrac{1}{4} = -\\dfrac{392}{1568},\\quad -\\dfrac{3}{32} = -\\dfrac{147}{1568},\\quad -\\dfrac{4}{49} = -\\dfrac{128}{1568}.$$
Шаг 4. Сложим числители:
$$-\\dfrac{392+147+128}{1568} = -\\dfrac{667}{1568}\\approx -0{,}43.$$
Шаг 5. Сравним с числом $-2$. Так как $-0{,}43\\gt -2$ (отрицательное число с меньшим модулем больше), получаем:
Ответ: выражение $\\gt -2$
`
},
{
text: `Найдите площадь треугольника со сторонами $10$ см, $24$ см и $26$ см.`,
sol: `Теорема, обратная теореме Пифагора: если для сторон $a$, $b$, $c$ треугольника выполнено равенство $a^2+b^2=c^2$, то треугольник прямоугольный, а $c$ — гипотенуза.
Формула площади прямоугольного треугольника: $S = \\dfrac{1}{2}\\cdot a\\cdot b$, где $a$ и $b$ — катеты.
Шаг 1. Проверим, прямоугольный ли треугольник. Сравним квадрат большей стороны с суммой квадратов двух других:
$$10^2+24^2 = 100+576 = 676$$
$$26^2 = 676$$
Поскольку $10^2+24^2=26^2$, треугольник прямоугольный, его катеты — $10$ и $24$.
Шаг 2. Применяем формулу площади:
$$S = \\dfrac{1}{2}\\cdot 10\\cdot 24 = 120\\text{ см}^2$$
Ответ: $120$ см²
`
},
{
text: `Найдите частное $m$ и $n$, если
$m = 3^{-2} \\cdot 3^2 \\cdot \\dfrac{(7^{-1})^{-2}}{3^{-5}}$
и $n = \\dfrac{1}{7^{-2}} \\cdot 9^{-1} \\cdot \\dfrac{1}{3^{-5}}$.`,
sol: `Свойства степеней: $x^m\\cdot x^n=x^{m+n}$, $(x^m)^n=x^{mn}$, $\\dfrac{x^m}{x^n}=x^{m-n}$, $\\dfrac{1}{x^{-n}}=x^n$.
Шаг 1. Упростим $m$. По свойству степени степени $(7^{-1})^{-2}=7^2$, а деление на $3^{-5}$ равно умножению на $3^5$:
$$m = 3^{-2}\\cdot 3^2\\cdot 7^2\\cdot 3^5 = 3^{-2+2+5}\\cdot 7^2 = 3^5\\cdot 7^2.$$
Шаг 2. Упростим $n$. Имеем $\\dfrac{1}{7^{-2}}=7^2$, $9^{-1}=3^{-2}$ (так как $9=3^2$), $\\dfrac{1}{3^{-5}}=3^5$:
$$n = 7^2\\cdot 3^{-2}\\cdot 3^5 = 7^2\\cdot 3^{-2+5} = 7^2\\cdot 3^3.$$
Шаг 3. Найдём частное. Сокращаем $7^2$ и применяем правило $\\dfrac{x^m}{x^n}=x^{m-n}$:
$$\\dfrac{m}{n} = \\dfrac{3^5\\cdot 7^2}{3^3\\cdot 7^2} = 3^{5-3} = 3^2 = 9.$$
Ответ: $\\dfrac{m}{n}=9$
`
},
{
text: `Барановичскому станкостроительному заводу поступил заказ на изготовление $1200$ дробилок,
которые используют для дробления пластиковых деталей к определённому сроку.
Работая точно по графику, рабочие изготовили $25\\%$ заказа,
а затем стали производить в день на $50$ дробилок больше и выполнили заказ за $3$ дня
до назначенного срока. За сколько дней рабочие выполнили заказ?`,
sol: `Метод введения переменной: обозначим неизвестную плановую выработку буквой $x$ и составим уравнение по условию о сроках.
Шаг 1. Пусть $x$ — количество дробилок, которое нужно было выпускать в день по плану. Тогда плановый срок выполнения заказа: $\\dfrac{1200}{x}$ дней.
Шаг 2. Сначала рабочие изготовили $25\\%$ заказа, то есть $\\dfrac{25}{100}\\cdot 1200 = 300$ дробилок. По плановой выработке это заняло $\\dfrac{300}{x}$ дней.
Шаг 3. Оставшиеся $1200-300=900$ дробилок делали по $x+50$ штук в день. Это заняло $\\dfrac{900}{x+50}$ дней.
Шаг 4. Закончили на $3$ дня раньше плана, значит фактический срок на $3$ меньше планового:
$$\\dfrac{1200}{x} - \\left(\\dfrac{300}{x}+\\dfrac{900}{x+50}\\right) = 3.$$
Упрощаем левую часть, $\\dfrac{1200}{x}-\\dfrac{300}{x}=\\dfrac{900}{x}$:
$$\\dfrac{900}{x} - \\dfrac{900}{x+50} = 3.$$
Шаг 5. Умножим обе части на $x(x+50)$, чтобы избавиться от знаменателей:
$$900(x+50) - 900x = 3x(x+50);$$
$$45000 = 3x^2+150x \\;\\implies\\; x^2+50x-15000 = 0.$$
Шаг 6. Решим квадратное уравнение через дискриминант:
$$D = 50^2 + 4\\cdot 15000 = 2500+60000 = 62500 = 250^2;$$
$$x = \\dfrac{-50+250}{2} = 100\\;\\;\\text{(второй корень отрицательный, не подходит)}.$$
Шаг 7. Найдём фактический срок. По плану заказ занял бы $\\dfrac{1200}{100}=12$ дней, фактически — на $3$ дня меньше: $12-3=9$ дней.
Проверка: первые $\\dfrac{300}{100}=3$ дня + последние $\\dfrac{900}{150}=6$ дней = $9$ дней.
Ответ: $9$ дней
`
},
{
text: `В окружности проведены две взаимно перпендикулярные хорды $AB$ и $CD$,
которые пересекаются в точке $K$, $AK = 4$, $KB = 9$, $DK = 3$.
Найдите площадь круга, ограниченного этой окружностью.`,
sol: `Теорема о пересекающихся хордах: если две хорды пересекаются в точке $K$, то $AK\\cdot KB = CK\\cdot KD$.
Свойство хорды: серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности.
Теорема Пифагора: $c^2 = a^2+b^2$ для прямоугольного треугольника.
Формула площади круга: $S=\\pi R^2$.
Шаг 1. По теореме о пересекающихся хордах:
$$AK\\cdot KB = CK\\cdot KD \\;\\implies\\; 4\\cdot 9 = CK\\cdot 3 \\;\\implies\\; CK = 12$$
Длины хорд: $AB = AK+KB = 4+9 = 13$, $CD = CK+KD = 12+3 = 15$.
Шаг 2. Пусть $M$ — середина $AB$, $N$ — середина $CD$. Тогда $OM\\perp AB$ и $ON\\perp CD$ (по свойству перпендикуляра из центра к хорде).
Шаг 3. Так как $AB\\perp CD$ и $OM\\perp AB$, $ON\\perp CD$, четырёхугольник $ONKM$ — прямоугольник, поэтому $OM=KN$ и $ON=KM$.
Шаг 4. Находим $AM$ и $KM$:
$$AM = \\dfrac{AB}{2} = \\dfrac{13}{2} = 6{,}5$$
$$KM = AM - AK = 6{,}5 - 4 = 2{,}5$$
Шаг 5. Находим $CN$ и $KN$:
$$CN = \\dfrac{CD}{2} = \\dfrac{15}{2} = 7{,}5$$
$$KN = CK - CN = 12 - 7{,}5 = 4{,}5$$
Значит $OM=KN=4{,}5$.
Шаг 6. В прямоугольном треугольнике $OMA$ (прямой угол при $M$): $OA = R$, $OM = 4{,}5$, $AM = 6{,}5$. По теореме Пифагора:
$$R^2 = OM^2 + AM^2 = 4{,}5^2 + 6{,}5^2 = 20{,}25 + 42{,}25 = 62{,}5 = \\dfrac{125}{2}$$
Шаг 7. Площадь круга:
$$S = \\pi R^2 = \\dfrac{125\\pi}{2}\\text{ см}^2$$