`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений НЕ верно:`,
opts: [
["а", "около четырёхугольника $ABCD$, где $\\angle A = 40^{\\circ}$, $\\angle C = 140^{\\circ}$, можно описать окружность;"],
["б", "$\\sin 30^{\\circ} = \\sin 150^{\\circ}$;"],
["в", "вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой;"],
["г", "в любом равнобедренном треугольнике все высоты равны между собой?"],
],
sol: `
а) $\\angle A + \\angle C = 40°+140°=180°$ ⟹ около него можно описать окружность — верно
г) «Все высоты равнобедренного треугольника равны» — НЕВЕРНО. В равнобедренном (но не равностороннем) треугольнике две высоты к боковым сторонам равны, но высота к основанию — другая.
Ответ: г)
`
},
{
text: `Из $4$ кг муки получается $3{,}2$ кг печенья.
Сколько надо муки, чтобы испечь $2{,}4$ кг печенья?`,
sol: `Метод прямой пропорции: если две величины прямо пропорциональны, то отношение их соответствующих значений равно: $\\dfrac{a_1}{b_1} = \\dfrac{a_2}{b_2}$.
Шаг 1. Обозначим $x$ — искомое количество муки (в кг), необходимое для $2{,}4$ кг печенья.
Шаг 2. Так как количество печенья прямо пропорционально количеству муки (чем больше муки — тем больше печенья), составим пропорцию:
$$\\dfrac{4\\text{ кг муки}}{3{,}2\\text{ кг печенья}} = \\dfrac{x}{2{,}4\\text{ кг печенья}}$$
Шаг 3. По основному свойству пропорции произведение крайних членов равно произведению средних, откуда:
$$x = \\dfrac{4\\cdot 2{,}4}{3{,}2} = \\dfrac{9{,}6}{3{,}2} = 3\\text{ кг}$$
Ответ: $3$ кг муки
`
},
{
text: `Найдите $\\text{НОК}(14;\\; 42;\\; 336)$.
В ответ запишите число, обратное полученному.`,
sol: `Разложим на простые множители:
$$14 = 2\\cdot7, \\quad 42 = 2\\cdot3\\cdot7, \\quad 336 = 2^4\\cdot3\\cdot7$$
НОК берёт наибольшие степени каждого простого:
$$\\text{НОК} = 2^4\\cdot3\\cdot7 = 16\\cdot21 = 336$$
Обратное число: $\\dfrac{1}{336}$.
Ответ: $\\dfrac{1}{336}$
`
},
{
text: `$ABCD$ — параллелограмм, $BK$ — высота, проведённая к стороне $AD$,
$CD = 10$ см, $KD = 7$ см, $\\angle A = 60^{\\circ}$.
Найдите периметр параллелограмма.`,
sol: `Свойство параллелограмма: противоположные стороны параллелограмма равны.
Значит, $AB = CD = 10$ см.
Шаг 1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABK$ ($\\angle BKA = 90°$, $\\angle A = 60°$, $AB = 10$ см).
По определению косинуса острого угла прямоугольного треугольника: $\\cos\\alpha = \\dfrac{\\text{прилежащий катет}}{\\text{гипотенуза}}$.
Здесь прилежащий к углу $A$ катет — $AK$, гипотенуза — $AB$:
$$\\cos 60° = \\dfrac{AK}{AB} \\implies AK = AB\\cdot\\cos 60° = 10\\cdot\\dfrac{1}{2} = 5\\text{ см}$$
Шаг 2. Находим длину стороны $AD$:
$$AD = AK + KD = 5 + 7 = 12\\text{ см}$$
Шаг 3.Формула периметра параллелограмма: $P = 2(a + b)$, где $a$, $b$ — соседние стороны.
$$P = 2(AB + AD) = 2(10 + 12) = 44\\text{ см}$$
Ответ: $44$ см
`
},
{
text: `Сократите дробь $\\dfrac{b^2 + 15b + 56}{b^2 + 3b - 28}$
и найдите значение полученного выражения при $b = -6$.`,
sol: `Теорема Виета (для разложения квадратного трёхчлена): $x^2 + px + q = (x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$, $x_2$ — корни уравнения $x^2 + px + q = 0$, причём $x_1 + x_2 = -p$, $x_1\\cdot x_2 = q$.
Шаг 1. Разложим числитель $b^2 + 15b + 56$.
Подберём такие два числа, сумма которых $= -15$ (точнее, $= 15$ для $-p$), а произведение $= 56$. Это $7$ и $8$ (так как $7 + 8 = 15$ и $7\\cdot 8 = 56$):
$$b^2 + 15b + 56 = (b + 7)(b + 8)$$
Шаг 2. Разложим знаменатель $b^2 + 3b - 28$.
Подберём числа с суммой $-3$ и произведением $-28$. Это $7$ и $-4$ (так как $7 + (-4) = 3$, а $7\\cdot(-4) = -28$):
$$b^2 + 3b - 28 = (b + 7)(b - 4)$$
Шаг 3. Сокращаем общий множитель $(b + 7)$, считая $b \\neq -7$ и $b \\neq 4$:
$$\\dfrac{(b+7)(b+8)}{(b+7)(b-4)} = \\dfrac{b+8}{b-4}$$
Шаг 4. Подставляем $b = -6$ в полученное выражение:
$$\\dfrac{-6+8}{-6-4} = \\dfrac{2}{-10} = -\\dfrac{1}{5}$$
Ответ: $\\dfrac{b+8}{b-4}$; при $b=-6$ значение равно $-\\dfrac{1}{5}$
`
},
{
text: `Найдите сумму всех натуральных чисел, больших $12$ и не превосходящих $121$,
которые при делении на $6$ дают в остатке $1$.`,
sol: `Формула суммы $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \\dfrac{n(a_1 + a_n)}{2}$, где $a_1$ — первый член, $a_n$ — последний, $n$ — число членов.
Шаг 1. По определению деления с остатком число вида «$6k+1$» при делении на $6$ даёт остаток $1$. Значит, нужные числа имеют вид $a = 6k+1$, где $k$ — целое неотрицательное.
Шаг 2. Найдём допустимые значения $k$ из условия $12 \\lt a \\leq 121$:
$$12 \\lt 6k+1 \\leq 121 \\implies 11 \\lt 6k \\leq 120 \\implies \\dfrac{11}{6} \\lt k \\leq 20$$
Так как $k$ целое, получаем $k = 2,\\ 3,\\ \\ldots,\\ 20$.
Шаг 3. Найдём первый и последний члены последовательности:
$$a_1 = 6\\cdot 2 + 1 = 13, \\quad a_n = 6\\cdot 20 + 1 = 121$$
Шаг 4. Числа $13,\\ 19,\\ 25,\\ \\ldots,\\ 121$ образуют арифметическую прогрессию с разностью $d = 6$ (каждое следующее больше предыдущего на $6$).
Шаг 5. Найдём количество членов по формуле $n = \\dfrac{a_n - a_1}{d} + 1$:
$$n = \\dfrac{121 - 13}{6} + 1 = 18 + 1 = 19$$
Шаг 6. Применяем формулу суммы:
$$S = \\dfrac{n(a_1 + a_n)}{2} = \\dfrac{19\\cdot(13 + 121)}{2} = \\dfrac{19\\cdot 134}{2} = 19\\cdot 67 = 1273$$
Ответ: $1273$
`
},
{
text: `Квадратный участок земли разбили на четыре части: газон, цветник, огород и сад.
Сад и цветник — квадраты. Периметр сада — $84$ м, а цветника — $24$ м.
Чему равен периметр газона?`,
sol: `Формула периметра квадрата: $P = 4a$, откуда сторона $a = \\dfrac{P}{4}$.
Шаг 1. Находим стороны квадратных частей:
— Сторона сада: $84 \\div 4 = 21$ м.
— Сторона цветника: $24 \\div 4 = 6$ м.
Шаг 2. Участок разбит одной горизонтальной и одной вертикальной линией на 4 прямоугольные части. Сад и цветник — квадраты, значит их стороны определяют, как поделён участок:
Шаг 3. Сторона всего квадратного участка $= 21 + 6 = 27$ м.
Шаг 4. Газон — прямоугольник со сторонами $21$ м и $6$ м (по рисунку).
По формуле периметра прямоугольника $P = 2(a + b)$:
$$P_{\\text{газон}} = 2(21 + 6) = 2\\cdot 27 = 54\\text{ м}$$
Ответ: $54$ м
`
},
{
text: `Дан треугольник $ABC$ со сторонами $AC = 6$, $BC = 8$, $AB = 10$.
Найдите расстояние между центрами описанной и вписанной окружностей треугольника.`,
sol: `
Шаг 1. Тип треугольника.
$$6^2+8^2 = 36+64 = 100 = 10^2 \\checkmark$$
Треугольник прямоугольный — прямой угол при $C$.
Шаг 2. Центр и радиус описанной окружности $O$. В прямоугольном треугольнике гипотенуза — диаметр описанной окружности.
Значит, центр $O$ — это просто середина гипотенузы $AB$:
$$R = \\dfrac{AB}{2} = \\dfrac{10}{2} = 5\\text{ см}$$
Шаг 3. Центр и радиус вписанной окружности $I$. Вписанная окружность касается всех трёх сторон. Её радиус:
$$r = \\dfrac{AC + BC - AB}{2} = \\dfrac{6+8-10}{2} = 2\\text{ см}$$
Центр $I$ стоит на расстоянии $r=2$ от каждой стороны треугольника.
Шаг 4. Как далеко $O$ и $I$ от катетов? Смотрим на рисунок — пунктирные линии от $O$ и $I$ до катетов.
Центр $O$ — середина $AB$. Смотрим, как далеко вершины от катета $BC$: