`
},
{
text: `Какое из следующих утверждений НЕ верно:`,
opts: [
["а", "если все стороны квадрата увеличить в $2$ раза, то его площадь увеличится в $2$ раза;"],
["б", "внешний угол треугольника является смежным с его внутренним углом;"],
["в", "медианы равностороннего треугольника равны между собой;"],
["г", "диагональ квадрата со стороной $a$ равна $a\\sqrt{2}$?"],
],
sol: `
а) Стороны $\\times2$ ⟹ площадь $\\times 2^2 = 4$, а не в $2$ — НЕВЕРНО
б) Внешний угол смежен с внутренним — верно
в) В равностороннем треугольнике все медианы равны — верно
`
},
{
text: `Найдите больший корень уравнения $x^4 - 15x^2 - 16 = 0$.`,
sol: `Метод решения биквадратного уравнения: уравнение вида $ax^4 + bx^2 + c = 0$ решается заменой $t = x^2$, причём $t \\geq 0$ (так как квадрат любого числа неотрицателен).
Шаг 1. Делаем замену $t = x^2$, где $t \\geq 0$:
$$t^2 - 15t - 16 = 0$$
Шаг 2. Решаем квадратное уравнение по формуле дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$$D = (-15)^2 - 4\\cdot 1\\cdot(-16) = 225 + 64 = 289 = 17^2$$
$$t = \\dfrac{15 \\pm 17}{2} \\implies t_1 = \\dfrac{32}{2} = 16, \\quad t_2 = \\dfrac{-2}{2} = -1$$
Шаг 3. Поскольку $t = x^2 \\geq 0$, корень $t_2 = -1$ не подходит. Остаётся $t = 16$.
Шаг 4. Возвращаемся к $x$:
$$x^2 = 16 \\implies x = \\pm\\sqrt{16} = \\pm 4$$
Шаг 5. Из корней $x = 4$ и $x = -4$ больший — это $x = 4$.
Ответ: больший корень $x = 4$
`
},
{
text: `В треугольнике $ABC$ $AB = 6$ см, $AC = 5$ см, $CM$ — медиана,
$\\angle ACM = \\angle BCM$. Найдите синус угла $A$.`,
sol: `Шаг 1. Определяем тип треугольника. $CM$ — медиана, значит $M$ — середина $AB$. Равенство $\\angle ACM=\\angle BCM$ означает, что $CM$ — также биссектриса угла $C$.
По теореме о биссектрисе: $\\dfrac{AM}{MB} = \\dfrac{AC}{BC}$. Так как $AM=MB$ (медиана), то $AC = BC$.
$$BC = AC = 5\\text{ см}$$
Треугольник равнобедренный с основанием $AB=6$ и боковыми сторонами $=5$.
Шаг 2. Находим высоту $CM$. В равнобедренном треугольнике медиана из $C$ на $AB$ является одновременно высотой. Из прямоугольного $\\triangle CAM$:
$$h = CM = \\sqrt{AC^2 - AM^2} = \\sqrt{25 - 9} = \\sqrt{16} = 4\\text{ см}$$
Шаг 3. Синус угла $A$.
$$\\sin A = \\dfrac{h}{AC} = \\dfrac{4}{5}$$
Ответ: $\\sin A = \\dfrac{4}{5}$
`
},
{
text: `Найдите число целых решений неравенства
$\\dfrac{(x-3)(-x^2+5x+6)}{x-5} \\geq 0$.`,
sol: `Раскладываем числитель:
$$-x^2+5x+6 = -(x^2-5x-6) = -(x-6)(x+1)$$
Неравенство принимает вид:
$$\\dfrac{-(x-3)(x-6)(x+1)}{x-5}\\geq0 \\iff \\dfrac{(x-3)(x-6)(x+1)}{x-5}\\leq0$$
Метод интервалов. Корни: $x=-1,\\,3,\\,5,\\,6$ (при $x=5$ — ОДЗ).
Интервал
Знак
$\\leq0$?
$x<-1$
$+$
✗
$x=-1$
$0$
✓
$-1\\lt x\\lt 3$
$-$
✓
$x=3$
$0$
✓
$3\\lt x\\lt 5$
$+$
✗
$x=5$
не определено
$5\\lt x\\lt 6$
$-$
✓
$x=6$
$0$
✓
$x>6$
$+$
✗
Решение: $x\\in[-1;\\,3]\\cup(5;\\,6]$.
Целые из $[-1;3]$: $-1,0,1,2,3$ — $5$ чисел. Из $(5;6]$: $6$ — $1$ число.
Ответ: $6$ целых решений
`
},
{
text: `График линейной функции проходит через точки $A(-2;\\; 11)$ и $B(4;\\; -10)$.
Запишите формулу, задающую эту функцию.
Найдите, при каких значениях переменной функция принимает неположительные значения.`,
sol: `Линейная функция: график $y = kx + b$ — прямая. Чтобы найти $k$ и $b$, подставляем координаты двух точек графика.
Шаг 1. По условию график проходит через $A(-2;\\,11)$ и $B(4;\\,-10)$. Угловой коэффициент по формуле $k = \\dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$:
$$k = \\dfrac{-10 - 11}{4 - (-2)} = \\dfrac{-21}{6} = -\\dfrac{7}{2}$$
Шаг 2. Найдём $b$, подставив координаты точки $A(-2;\\,11)$ в уравнение $y = kx + b$:
$$11 = -\\dfrac{7}{2}\\cdot(-2) + b \\implies 11 = 7 + b \\implies b = 4$$
Значит, формула функции: $f(x) = -\\dfrac{7}{2}x + 4$.
Шаг 3. Проверка: подставим $x = 4$:
$$f(4) = -\\dfrac{7}{2}\\cdot 4 + 4 = -14 + 4 = -10 \\quad \\checkmark$$
Шаг 4. «Функция принимает неположительные значения» означает $f(x) \\leq 0$. Решаем неравенство:
$$-\\dfrac{7}{2}x + 4 \\leq 0$$
Переносим $4$ в правую часть со сменой знака:
$$-\\dfrac{7}{2}x \\leq -4$$
Делим на $-\\dfrac{7}{2}$ (отрицательное число — знак неравенства меняется на противоположный):
$$x \\geq \\dfrac{-4}{-7/2} = \\dfrac{8}{7}$$
Ответ: $f(x)=-\\dfrac{7}{2}x+4$; функция неположительна при $x\\geq\\dfrac{8}{7}$
`
},
{
text: `Найдите площадь треугольника, если две его стороны равны $6$ см и $8$ см,
а медиана, проведённая к третьей стороне, равна $5$ см.`,
sol: `Шаг 1. Строим параллелограмм. Пусть $M$ — середина третьей стороны $AB$, а $CM=5$ — медиана. Отметим точку $D$ так, чтобы $M$ стала серединой отрезка $CD$ (то есть $MD=CM=5$, $CD=10$).
Тогда $ACBD$ — параллелограмм, ведь его диагонали $AB$ и $CD$ делятся точкой $M$ пополам.
Шаг 2. Стороны параллелограмма. В параллелограмме $ACBD$: $AC = BD = 6$ и $BC = AD = 8$ (противоположные стороны). Диагональ $CD = 2\\cdot CM = 10$.
Шаг 3. Треугольник $ACD$ — прямоугольный. Рассмотрим $\\triangle ACD$ со сторонами $AC=6$, $AD=8$, $CD=10$:
$$6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2 \\checkmark$$
По обратной теореме Пифагора: $\\angle A = 90°$ (зелёный прямой угол на рисунке).
$$S_{\\triangle ACD} = \\dfrac{1}{2}\\cdot AC\\cdot AD = \\dfrac{1}{2}\\cdot6\\cdot8 = 24\\text{ см}^2$$
Шаг 4. Площадь исходного треугольника. Диагональ $CD$ делит параллелограмм на два равных треугольника: $\\triangle ACD$ и $\\triangle ABC$.
$$S_{\\triangle ABC} = S_{\\triangle ACD} = 24\\text{ см}^2$$
Ответ: $24$ см²
`
},
{
text: `Из двух домов, расстояние между которыми $180$ м, вышли и одновременно пошли
в одном направлении в школу мальчик и девочка. Девочка идёт впереди мальчика.
Скорость мальчика $6$ км/ч, скорость девочки $60$ м/мин.
Догонит ли мальчик девочку до прихода в школу, если путь девочки занимает $4$ мин?
Ответ обоснуйте.`,
sol: `Переводим скорость мальчика:
$$6\\text{ км/ч} = \\dfrac{6000\\text{ м}}{60\\text{ мин}} = 100\\text{ м/мин}$$
Расстояние до школы (от девочки): $60\\times4=240$ м. Мальчик стартует на $180$ м позади, значит ему до школы $240+180=420$ м.
Скорость сближения: мальчик быстрее на $100-60=40$ м/мин. Начальный разрыв $=180$ м.
Время до нагона:
$$t = \\dfrac{180}{40} = 4{,}5\\text{ мин}$$
Но девочка добирается до школы за $4$ мин, а мальчику нужно $4{,}5>4$ мин, чтобы её нагнать.
Проверим по позициям (отсчёт от старта девочки):
Момент
Девочка
Мальчик
$t=0$
$0$ м
$-180$ м
$t=4$ мин
$240$ м (школа) ✓
$-180+400=220$ м
В момент, когда девочка прибыла в школу ($240$ м), мальчик находится на расстоянии $240-220=20$ м позади.
Ответ: нет, мальчик не догонит — время нагона $4{,}5$ мин, а путь девочки $4$ мин